Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал шум

1 Цель работы

1.1 Изучение
методики экспериментального исследования
помехоустойчивости приема сигналов
цифровых модуляций.

1.2 Экспериментальное
исследование помехоустойчивости прием
сигналов АМ-2, ЧМ-2, ФМ-2, ОФМ-2 и ФМ-4.

2 Ключевые положения

2.1 На
вход демодулятора поступает сумма
переданного модулированного сигнала
s(t)
и помехи n(t):
z(t)
= s(t)
+ n(t).
По сигналу z(t)
демодулятор должен восстановить цифровой
сигнал. Сигнал цифровой модуляции s(t)
– это последовательность импульсных
элементарных сигналов, которые отображают
цифровой сигнал и следуют через тактовый
интервал Т:

,
(5.1)

где
s_i(t),
и = 0, …, М
– 1 – элементарные сигналы (импульсы);

М
– число элементарных сигналов, в двоичных
видов модуляции М
= 2;

– i-й
импульс, который передается на k-м
тактовом интервале.

Демодулятор
на каждом тактовом интервале выносит
решение о номере переданного элементарного
сигнала и выдает набор с n
= log₂M
бит, который отвечают сигналу с этим
номером. Критерием оптимальности
демодулятора является минимум вероятности
ошибки бита (двоичного символа) цифрового
сигнала.

2.2 Оптимальный
демодулятор реализует потенциальную
помехоустойчивость элементарных
сигналов, которые используются.
Потенциальная помехоустойчивость
произвольных двоичных равновероятных
сигналов при условии, что помеха n(t)
– белый гауссовский шум, выражается
формулой для вероятности ошибки сигнала

P_ош
(2) = 0,5 –

=

, (5.2)

где
d
– расстояние между сигналами;

N₀
– удельная мощность шума;

и

– (5.3)

разные
формы записи интеграла вероятности (в
математической и научно-технической
литературе Украины преимущественно
используется функция Ф₀(x),
которую еще называют функцией Лапласа).

В
двоичных системах передачи вероятность
ошибки бита р
= Р_ош(2).

Функция
Ф₀(x)
монотонно возрастающая. Поэтому, чем
больший аргумент функции, тем меньшая
вероятность ошибки. Очевидно, что, чем
меньшая удельная мощность шума N₀,
тем меньшая вероятность ошибки. Увеличение
расстояния между сигналами d
приводит к уменьшению вероятности
ошибки. Значение d
определяется с сигнального созвездия
модулированного сигнала и выражается
через энергию сигнала, который
затрачивается на передачу одного бита
Е_б.
Энергию на бит можно выразить через
среднюю мощность сигнала P_s
и продолжительность битового интервала
Т_б
или скорость цифрового сигнала R,
что передается:

Е_б
= P_sТ_б
= P_s/R. (5.4)

2.3 В
случае многопозиционных сигналов (М
> 2) вероятность ошибки сигнала выражают
суммой вероятностей ошибки в двоичных
системах, образованных элементарным
сигналом, который рассматривается, и
сигналами, переход в как наиболее
возможные. Итак, и в случае многопозиционных
сигналов вероятность ошибки сигнала
зависит от N₀
и d.
Перерасчет вероятности ошибки сигнала
в вероятность ошибки бита проводится
с учетом манипуляционого кода. В табл.
5.1 для методов модуляции, которые
рассматриваются в лабораторной работе,
приведенные: сигнальные созвездия,
расстояния между сигналами и выражения
для вероятности ошибки бита. Для
компактной записи формул вероятности
ошибки бита введены обозначения

– отношение энергии, которая расходуется
на передачу одного бита, к удельной
мощности шума (коротко – отношение
сигнал/шум). Формула вероятности ошибки
бита при ОФМ-2 записанная с учетом того,
что при относительном декодировании
количество ошибок удваивается: р_ОФМ-2
= 2р_ФМ-2,
что верно, если р_ФМ-2
<< 1.

Таблица
5.1 – Характеристики
сигналов, которые определяют их
помехоустойчивость

2.4 Для
удобства определения вероятности ошибки
бита р
при заданном отношении сигнал/шум

или необходимого отношения сигнал/шум
при заданной вероятности ошибки бита
строят зависимость р
= f
(

), образец которой приведен на рис. 5.1.
Во время построения графика значения
отношение сигнал/шум принято выражать
в децибелах и использовать для них
линейный масштаб. Следует помнить, что
в формулах для вероятности ошибки
величина h_б
предоставлена в разах. Переходы выполняют
по формулам

(5.5)

Графики
зависимости вероятности ошибки бита
от отношения сигнал/шум р
= f
(

) строят с использованием логарифмического
масштаба для вероятности ошибки р,
как показано на рис. 5.1.

2
.5 Экспериментально
определяется относительная частота
ошибки бит, которую коротко называют
частотой ошибки или коэффициентом
ошибок

К_ош
_ош

_общ,
(5.6)

где _общ
– число бит, переданных за время
наблюдения T_наб;

N_ош
– число по ошибке принятых бит за время
T_габ.

Вероятность
ошибки и коэффициент ошибок совпадают
при бесконечно значительном числе
испытаний (то есть количество переданных
бит _общ)

Время
наблюдения (ли _общ)
выбирается довольно большим, чтобы
коэффициент ошибок практически давал
значения вероятности ошибки. Считают,
что такое приближение имеет место при
N_ош

20.

2.6
Отношение сигнал/шум с учетом соотношения
(5.4) можно подать как

,
(5.7)

где
P_s
и P_n
– средние мощности сигнала и шума на
входе демодулятора;

F_к
– ширина спектра шума, которая равняется
ширине полосы частот канала связи.

Итак,
для измерения отношения сигнал/шум
необходимо измерить мощность сигнала
и шума квадратичным вольтметром и
выполнить вычисления по формуле (5.7) при
известных величинах F_к
(Гц) и R
(бит/с).

2.7
Полоса частот канала связи F_к
должна быть согласована с шириной
спектра сигнала F_s:
F_к

F_s.
Ширина спектра (Гц) сигналов цифровых
видов модуляции определяется в случае
ФМ-М,
ОФМ-М
и АМ-2

,
(5.8)

а в случае ЧМ-2

F_s
= 2R(1+), (5.9)

где
 – коэффициент
расширения (закругление) спектра,
0    1,
типичные значения  = 0,15……0,35

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  10.02.2016107.75 Кб73.docx

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Отношение сигнал шум бывает разный, по мощности SNR (signal to noise ratio) который мы рассмотрели вот в этой статье “Отношение сигнал/шум Гаусс” это отношение средней мощности сигнала к средней мощности шума.

В цифровых система связи в основном применяют другое отношение сигнал/шум – отношение сигнал/шум на бит Eb/No, где Eb это отношение энергии бита к спектральной плотности мощности шума No. Под энергией бита Eb подразумевается энергия сигнала за длительность бита. SNR=Ps/PN

Между SNR и Eb/No существует связь. По своей сути Eb/No представляет собой SNR, нормированное на ширину полосы W и битовую скорость R. Чтобы преобразовать одно выражение в другое необходимо среднюю мощность сигнала PS выразить через энергию бита Eb и битовую скорость R. Мощность – это энергия, деленная на время.  В данном случае PS это энергия бита Eb, деленная на длительность бита Tb.

Если расписать среднюю мощность сигнала. Мощность – это энергия, деленная на время. В качестве энергии возьмем энергию бита Eb, деленная на длительность бита Tb. Мощность – это энергия, деленная на время. В данном случае Ps это энергия бита Eb, деленная на длительность бита Tb. Ps=Eb/Tb

Длительность бита Tb и битовая скорость R взаимно обратны, и Tb можно заменить на 1/R. Тогда это выражение  можно переписать в следующем виде: Ps=Eb/R 

Распишем среднюю мощность шума PN. Средняя мощность белого гауссовского шума бесконечна! А чтобы она стала конечной необходимо ограничить полосу шума. Поэтому под средней мощностью шума PN в данном случае подразумевается та мощность шума, которая попадает в полосу фильтра приемника (фильтра основной селекции).

Определим среднюю мощность шума PN как произведение спектральной плотности мощности белого гауссовского шума No на ширину полосы пропускания идеального прямоугольного фильтра W (см. рисунок выше): Pn=W·N0. 

Отношение сигнал/шум по мощности SNR можно переписать в следующем виде: SNR=Eb·R/N0·W

И битовая скорость R, и полоса пропускания фильтра W имеют размерность Гц. Таким образом, отношение сигнал/шум на бит Eb/No – это SNR, нормированное по битовой скорости R и полосе пропускания фильтра W.

На рисунке ниже представлена зависимость вероятности битовой ошибки от отношения сигнал/шум: на левом графике от SNR, на правом от Eb/No.

Для начала рассмотрим левый график. На графиках представлены зависимости для трех разных битовых скоростей. Средняя мощность сигнала во всех случаях одинаковая. 

Пусть начальная битовая скорость равна R бит/с (красная кривая). Если битовую скорость увеличить в 2 раза (2R бит/с), то кривая сместится правее (синяя кривая). Это объясняется тем, что энергия бита Eb уменьшается в 2 раза, так как равенство Ps=Eb·R  сохраняется, следовательно, если битовая скорость увеличивается 2 раза, то энергия бита уменьшается в 2 раза. А энергия бита в свою очередь напрямую определяет вероятность битовой ошибки.

Если битовую скорость R уменьшить в 2 раза, не изменяя среднюю мощность сигнала, то энергия бита Eb увеличиться в 2 раза (желтая кривая). Это приводит к смещению кривой влево, и следовательно, увеличению помехоустойчивости. Чем ниже скорость передачи данных, тем лучше помехоустойчивость. 

Рассмотри теперь правый график. На графике представлены все три случая: три разных битовых скорости, но мы видим только одну кривую. Дело в том, что при переходе от SNR к Eb/No мы отвязались от битовой скорости. По этой причине, вне зависимости от битовой скорости, зависимость вероятности битовой ошибки от Eb/No будет представляться одной кривой. Данная кривая определяется только модуляцией и приемником (оптимальный приемник или нет; когерентный прием или нет и т.д.).

Отношение сигнал/шум для цифровых систем

Отношение Eb/No можно рассматривать как величину, позволяющую сравнивать различные модуляции, помехоустойчивое кодирование, приемники и т.д. в отрыве от конкретных скоростей передачи.

Вывод выражения для Eb/No был сделан исходя из того, что приемный фильтр является прямоугольным с полосой W. Данное условие не выполняется никогда, т.к. фильтр с прямоугольной АЧХ физически нереализуем. Для того чтобы обойти данную проблему, необходимо использовать эквивалентную шумовую полосу. 

Эквивалентная шумовая полоса – это полоса идеализированного прямоугольного фильтра, в который попадает такая же мощность шума, как и в реальный фильтр с непрямоугольной характеристикой.

Для того чтобы получить значение W для реального фильтра необходимо вычислить площадь под кривой АЧХ, а затем взять (мысленно) фильтр с прямоугольной АЧХ, коэффициент передачи в полосе пропускная которого равен 1, а площадь под кривой, такая же, как и в реальном фильтре. В этом случая в фильтр с прямоугольной АЧХ будет попадать такая же мощность шума. Ширина такого эквивалентного фильтра с прямоугольной АЧХ и есть эквивалентная шумовая полоса W. 

Мощность шума, попавшего в реальный фильтр, равна мощности шума эквивалентного прямоугольного фильтра. N = Nэкв.

Переходи в раздел Радиосвязь и читай полезные статьи.

Вероятности
ошибок  зависят от отношения сигнал/шум q, а также
от величины порога z₀. Для равновероятного источника порог
выставляется симметрично, таким образом, чтобы добиться  равных вероятностей
перепутывания . В таком случае вероятность
ошибки равна просто вероятности перепутывания символов .

В
системе с амплитудной модуляцией вероятность ошибки равна

Данная
величина ошибки достигается для равновероятного источника при оптимальной
величине порога z₀=Э/2.

При
моделировании системы передачи информации производится экспериментальное
определение вероятности ошибки. По классическому определению вероятностью
события А называется отношение количество экспериментов, в которых событие А
произошло, к общему количеству экспериментов

В
нашем случае отношение ошибочно переданных символов к общему количеству принятых
символов.

При
конечном количестве экспериментов  N<¥ мы имеем дело с
оценкой вероятности. При этом оцененная величина вероятности ошибки сама
является случайной величиной. Для уменьшения ошибки измерения необходимо
увеличивать объём эксперимента. Количество испытаний  зависит от порядка
вероятности, которую необходимо измерить, и от допустимой величины погрешности:

где
— допустимая погрешность, P –оцениваемая
вероятность. Очевидно, что чем меньшего порядка вероятность мы хотим измерить,
и с чем большей точностью, тем больше необходимый объём эксперимента.

Описание пакета «Математика», и используемых 
подпрограмм

Пакет «Математика» является мощным комплексом
для проведения инженерных и научных вычислений. Программирование в
«Математике» осуществляется на Си – подобном языке. Всё поле
программы поделено на ячейки, каждая из которых ограничена скобкой справа.
Запуск ячейки на выполнение производится нажатием клавиш Shift+Enter. Основными
объектами на рабочем поле являются а) текст программы б) результат вычислений в) графики, рисунки, диаграммы и пр.

Система передачи информации смоделирована с помощью набора
подпрограмм, каждая из которых реализует то или иное преобразование сигнала:

1.  datasource[ ]
– генератор бинарного  равновероятного сообщения длиной 60 бит, длительность
одной информационной посылки 1мсек;

2.  modulatorAM[u,f]
– генератор амплитудно – манипулированного сигнала амплитудой 1 вольт, u
– модулирующее сообщение, f – несущая частота, может принимать значения
от 1 до 40 кГц.

3.  noise[s,q]
– канал передачи, осуществляет зашумление сигнала s аддитивным
гауссовским шумом, с отношением сигнал/шум равным q на выходе канала;

4.  optimfilter[s,f]
–блок оптимальной фильтрации, реализует оптимальный  фильтр, согласованный с
сигналом s по форме, и настроенный на частоту f;

5.  detector[s]
–  амплитудный детектор сигнала s;

6.  threshold[s,z]
–  пороговое устройство, сравнивает сигнал s с порогом z;

7.  signalview[s,t1,t2]
– оператор просмотра сигнала s на промежутке времени от момента t1
до момента t2 миллисекунд;

8.  dataview[u,n1,n2] – оператор просмотра бинарного сообщения u от бита  n1 до бита n2.

Любая строка в пакете «Математика» должна
заканчиваться точкой с запятой, в противном случае на экран выводится результат
вычисления.

Домашнее задание:

1.  определить
необходимый объём эксперимента для измерения вероятности ошибки в пределах 0.1
до 0.9 с погрешностью не более 5%.

2.  определить
оптимальную величину порога для равновероятного источника

Лабораторное задание

1.  Запустить
программу «Математика» и реализовать когерентную СПИ с помощью
имеющихся подпрограмм.

2.  Пронаблюдать и
зарисовать сигнал во всех точках системы передачи информации: а) на выходе источника сообщения б) на выходе модулятора или
на выходе канала в) после согласованного
фильтра при отношении сигнал/шум q=100.

3.  Измерить
зависимость вероятности ошибки от величины отношения сигнал/шум при а) оптимальном пороге б) пороге больше оптимального в) пороге ниже оптимального

4.  Исследовать
величину ошибки при оптимальном пороге и частотной расстройке согласованного
фильтра.

5.  Выполнить пункты
1-5 для некогерентной системы

Контрольные вопросы:

1.  Структура и
принцип работы системы передачи информации с амплитудной модуляцией

2.  Критерии выбора
оптимального порога z₀

3.  Основное отличие
когерентной системы передачи информации от некогерентной.

4.  От чего зависит вероятность
ошибки в системе, каким образом можно её уменьшить.

5.  От чего зависит
точность измерения случайных величин при моделировании СПИ.

6.  В каких случаях
возникает необходимость в применении некогерентной системы обработки сигнала.

4.9.1. Вероятность символьной ошибки для модуляции MPSK

4.9.2. Вероятность символьной ошибки для модуляции MFSK

4.9.3. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности символьной ошибки для ортогональных сигналов

4.9.4. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности символьной ошибки для многофазных сигналов

4.9.5. Влияние межсимвольной интерференции

4.9.1. Вероятность символьной ошибки для модуляции MPSK

Для больших отношений сигнал/шум вероятность символьной ошибки для равновероятных сигналов в M-арной модуляции PSK с когерентным обнаружением можно выразить как [7]

(4.105)

где — вероятность символьной ошибки, — энергия, приходящаяся на символ, а М = 2^k — размер множества символов. Зависимость от для передачи сигналов MPSK с когерентным обнаружением показана на рис. 4.35.

Рис. 4.35. Вероятность символьной ошибки для многофазной передачи сигналов с когерентным обнаружением. (Перепечатано с разрешения авторов из W. С. Lindsey and M. К. Simon. Telecommunication Systems Engineering. Prentice-Hall, Inc., Engle-wood Cliffs, N. J., 1973.)

Вероятность символьной ошибки для дифференциального когерентного обнаружения М-арной схемы DPSK (для больших значений ) выражается подобно тому, как это было приведено выше [7].

(4.106)

4.9.2. Вероятность символьной ошибки для модуляции MFSK

Вероятность символьной ошибки для равновероятных ортогональных сигналов с когерентным обнаружением можно выразить как [5]

(4.107)

где — энергия, приходящаяся на символ, а M — размер множества символов. Зависимость от для М-арных ортогональных сигналов с когерентным обнаружением показана на рис. 4.36.

Вероятность символьной ошибки для равновероятных М-арных ортогональных сигналов с некогерентным обнаружением дается следующим выражением [9].

(4.108)

где

(4.109)

является стандартным биномиальным коэффициентом, выражающим число способов выбора j ошибочных символов из М возможных. Отметим, что для бинарного случая формула (4. 108) сокращается до

(4.110)

что совпадает с результатом, полученным в выражении (4.96). Кривая зависимости от для M-арной передачи сигналов с некогерентным обнаружением изображена на рис. 4.37. При сравнении данных графиков с приведенными на рис. 4.6 и соответствующими когерентному обнаружению можно заметить, что для k > 7 различием уже можно пренебрегать. В заключение отметим, что для когерентного и некогерентного приема ортогональных сигналов верхний предел вероятности ошибки дается выражением [9].

(4.111)

Здесь Es — энергия на символ, а М — размер алфавита символов.

Рис. 4.36. Вероятность символьной ошибки для М-арной ортогональной передачи сигналов с когерентным обнаружением. (Перепечатано с разрешения авторов из W. С. Lindsey and M. К. Simon. Telecommunication Systems Engineering. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1973.)

4.9.3. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности символьной ошибки для ортогональных сигналов

Можно показать [9], что соотношение между вероятностью битовой ошибки (Р_В) и вероятностью символьной ошибки (Р_Е) для ортогональных M-арных сигналов дается следующим выражением.

(4.112)

Рис. 4.37. Вероятность символьной ошибки для М-арной ортогональной передачи сигналов с некогерентным обнаружением. (Перепечатано с разрешения авторов из W. С. Lindsey and М. К. Simon, Telecommunication Systems Engineering. Prentice-Hall, Inc., Engtewood Cliffs, N. J., 1973.)

В пределе при увеличении k получаем следующее.

Понять формулу (4.112) позволяет простой пример. На рис. 4.38 показан восьмеричный набор символов сообщения. Эти символы (предполагаемые равновероятными) передаются с помощью ортогональных сигналов, таких как сигналы FSK. При использовании ортогональной передачи ошибка принятия решения равновероятно преобразует верный сигнал в один из (М — 1) неверных. Пример на рисунке демонстрирует передачу символа, состоящего из битов 011. Ошибка с равной вероятностью может перевести данный символ в любой из оставшихся 2^k— 1 = 7 символов. Отметим, что наличие ошибки еще не означает, что все биты символа являются ошибочными. Если (рис. 4.38) приемник решит, что переданным символом является нижний из указанных, состоящий из битов 111, два из трех переданных битов будут верными. Должно быть очевидно, что для недвоичной передачи Р_Ввсегда будет меньше Р_Е (Р_B и Р_Е — средние частоты появления ошибок).

Рис. 4.38. Пример зависимости рв от ре

Рассмотрим любой из столбцов битов на рис. 4.38. Каждая битовая позиция на 50% заполнена нулями и на 50% — единицами. Рассмотрим первый бит переданного символа (правый столбец). Сколько существует возможностей появления ошибочного бита 1? Всего существует 2^k— 1 =4 возможности (нули в столбце появляются в четырех местах) появления битовой ошибки; то же значение получаем для каждого столбца. Окончательное соотношение рв/ре Для ортогональной передачи сигналов в формуле (4.112) получается следующим образом: число возможностей появления битовой ошибки (2^k-1) делится на число возможностей появления символьной ошибки (2^k— 1). Для случая, изображенного на рис. 4.38, .

4.9.4. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности символьной ошибки для многофазных сигналов

При передаче сигналов MPSK значение Р_Вменьше или равно Р_Е, так же как и при передаче сигналов MFSK. В то же время имеется и существенное отличие. Для ортогональной передачи сигналов выбор одного из (М- 1) ошибочных символов равновероятен. При передаче в модуляции MPSK каждый сигнальный вектор не является равноудаленным от всех остальных. На рис. 4.39, а показано восьмеричное пространство решений, где области решений обозначены 8-ричными символами в двоичной записи. При передаче символа (011) и появлении в нем ошибки наиболее вероятными являются ближайшие соседние символы, (010) и (100). Вероятность превращения символа (011) вследствие ошибки в символ (111) относительно мала. Если биты распределяются по символам согласно двоичной последовательности, показанной на рис. 4.39, а, то некоторые символьные ошибки всегда будут давать две (или более) битовые ошибки, даже при значительном отношении сигнал/шум.

а) б)

Рис. 4.39. Области решения в сигнальном пространстве MPSK: а) в бинарной кодировке; 6) в кодировке Грея

Для неортогональных схем, таких как MPSK, часто используется код преобразования бинарных символов в M-арные, такие, что двоичные последовательности, соответствующие соседним символам (сдвигам фаз), отличаются единственной битовой позицией; таким образом, при появлении ошибки в М-арном символе высока вероятность того, что ошибочным является только один из k прибывших битов. Кодом, обеспечивающим подобное свойство, является код Грея (Gray code) [7]; на рис/4.39, б для восьмеричной схемы PSK показано распределение битов по символам с использованием кода Грея. Можно видеть, что соседние символы отличаются одним двоичным разрядом. Следовательно, вероятность появления многобитовой ошибки при данной символьной ошибке значительно меньше по сравнению с некодированным распределением битов, показанным на рис. 4.39, а. Реализация подобного кода Грея представляет один из редких случаев в цифровой связи, когда определенная выгода может быть получена без сопутствующих недостатков. Код Грея — это просто присвоение, не требующее специальных или дополнительных схем. Можно показать [5], что при использовании кода Грея вероятность ошибки будет следующей.

(4.113)

Напомним из раздела 4.8.4, что передача сигналов BPSK и QPSK имеет одинаковую вероятность битовой ошибки. Формула (4.113) доказывает, что вероятности символьных ошибок этих схем отличаются. Для модуляции BPSK Р_Е = Р_В, а для QPSK Р_Е 2Р_В. Точное аналитическое выражение вероятности битовой ошибки Р_B в восьмеричной схеме PSK, а также довольно точные аппроксимации верхнего и нижнего пределов Р_B для M-арной PSK при больших М можно найти в работе [10].

4.9.5. Влияние межсимвольной интерференции

Обнаружение сигналов рассматривалось при наличии шума AWGN в предположении, что межсимвольная интерференция (intersymbol interference — ISI) отсутствует. Это упростило анализ, поскольку процесс AWGN с нулевым средним описывается единственным параметром — дисперсией. На практике обычно оказывается, что межсимвольная интерференция — это второй (после теплового шума) источник помех, которому необходимо уделять пристальное внимание. ISI может возникать вследствие использования узкополосных фильтров на выходе передатчика, в канале или на входе приемника. Результатом этой дополнительной интерференции является ухудшение достоверности передачи как для когерентного, так и некогерентного приема. Вычисление вероятности ошибки при ISI (помимо AWGN) является значительно более сложной задачей, поскольку в вычислениях будет фигурировать импульсная характеристика канала. Этот вопрос мы не рассматриваем; впрочем, для читателей, интересующихся данной темой, можно порекомендовать работы [11-16].