Законы накопления ошибок при геометрическом нивелировании

На точность определения превышений влияют многочисленные факторы, среди которых основными являются: влияние кривизны Земли и рефракции атмосферы; невыполнение главного условия нивелира; погрешности отсчетов по шкалам реек; погрешности установки зрительной трубы; погрешности в нанесении делений шкал реек и др.

Рассмотрим влияние указанных погрешностей и факторов на точность нивелирования.

1. Влияние кривизны Земли.

На физической поверхности Земли на расстоянии L находятся точки А и В, превышение между которыми равно h (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Погрешности нивелирования из-за влияния кривизны Земли, рефракции и невыполнения главного условия нивелира

Установим нивелир точно посредине между точками А и В и возьмем отсчеты по рейкам, полагая, что световой луч (1) в направлении визирной оси распространяется в атмосфере прямолинейно. Для правильных отсчетов по рейкам следовало бы потребовать, чтобы световой луч проходил по уровенной поверхности, определяемой высотой прибора, т.е. по пути (2). В этом

случае превышение между точками будет соответствовать истинному:
hист = З2 – П2	(9.13)
На самом деле мы имеем
h1 = З1 – П1	(9.14)

Очевидно, что для симметричной схемы погрешности в отсчетах по рейкам ∆З1 = З1 – З2 и ∆П1 = П1 – П2 , определяемые влиянием кривизны Земли, будут одинаковыми, поскольку LA = LB. Следовательно,

h = (З2 + З1 ) − (П2 + П1 ) = З2 − П2

(9.15)

При нивелировании вперед (рис. 9.3 б) ∆З1 значительно меньше ∆П1, в связи с чем погрешность ∆П1 полностью входит в значение измеренного превышения.

Таким образом, при нивелировании из середины влияние кривизны Земли, как систематическая погрешность, исключается в разности отсчетов по рейкам.

Величина погрешности k из-за кривизны Земли в отсчете по рейке, находящейся на расстоянии L от нивелира, может быть оценена по формуле

	k =	L2	,	(9.16)
	2R

где R – радиус Земли.

Указанная погрешность при нивелировании может быть определена практически с любой точностью с учетом эллиптичности Земли, т.е. с учетом параметров референц-эллипсоида Красовского. Данные вопросы рассматриваются подробно в курсе высшей геодезии.

2. Влияние рефракции атмосферы.

Визирные лучи (3), проходя в атмосфере через слои воздуха, имеющие разную плотность, искривляются, отклоняясь в сторону земной поверхности. Погрешность в отсчете, вызванная влиянием рефракции атмосферы, r = (З3 – З2 ), r = (П3 – П2), может быть оценена по приближенной формуле

	r = 0,07	L2	(9.17)
	R

Если условия измерений стабильны для визирных лучей в направлениях А и В, то можно полагать, что при симметричной схеме измерений погрешность из-за рефракции атмосферы исключается в разности отсчетов, как и при влиянии кривизны Земли. Часто погрешности k и r объединяют и определяют общую погрешность влияния кривизны Земли и рефракции

	f = 0,43	L2	(9.18)
	R

Приведем в качестве сравнительных характеристик значения погрешностей k и r и суммарной погрешности f для радиуса Земли R = 6371,11 км и различных расстояний L от нивелира до рейки (табл. 9.1)

								Таблица 9.1
L	10	50	100	200	300	400	500	1000
k	0,0078	0,196	0,785	3,14	7,06	12,56	19,62	78,45
r	0,0011	0,027	0,110	0,44	0,99	1,76	2,75	10,99
f	0,0067	0,169	0,675	2,70	6,07	10,80	16,87	67,49

Как видно из этой таблицы, уже при расстояниях 100 м погрешность изза влияния кривизны Земли составляет почти 1 мм. Погрешность из-за

влияния рефракции атмосферы имеет знак, обратный знаку погрешности изза кривизны Земли, в связи с чем общая погрешность отклонения отсчета от истинного меньше, чем k.

При нивелировании из середины (при симметричной схеме) rЗ = rП , т.е. исключаются из значения полученного превышения, а при нивелировании вперед rЗ значительно меньше rП, что приводит к погрешности в определении превышения.

Таким образом, при нивелировании из середины влияние рефракции атмосферы, как систематическая погрешность, значительно ослабляется и во многих случаях исключается в разности отсчетов по рейкам.

3. Невыполнение главного условия нивелира.

Если в нивелире не выполняется главное условие, т.е. после установки нивелира в рабочее положение визирный луч (4) занимает не горизонтальное положение, а отклонен от него на угол i, то отсчеты по рейкам будут равны З4 и П4. Разность отсчетов (З4 – З1) и (П4 – П1) характеризуют погрешность изза невыполнения главного условия нивелира. Ее величина может быть оценена по формуле

	u = i	L	,	(9.19)
	ρ

где ρ = 206265″.

При нивелировании из середины, при использовании симметричной схемы измерений, погрешности в отсчетах по рейкам из-за невыполнения главного условия нивелира будут одинаковыми и исключатся в разности отсчетов. При нивелировании вперед превышение будет содержать систематическую погрешность, если визирная ось зрительной трубы не будет при измерениях совпадать с горизонтальной плоскостью.

Таким образом, при нивелировании из середины остаточным невыполнением главного условия нивелира можно пренебречь.

Вообще говоря, при любом неравенстве плеч на станции, если остаточная погрешность в превышении будет больше установленного допуска, схему измерений следует характеризовать как нивелирование вперед.

Рассмотрим пример оценки влияния погрешностей k, r и u на результат измерения превышения.

Пример 9.1. Оценка влияния кривизны Земли, рефракции атмосферы и невыполнения главного условия нивелира на результаты измерения превышений при разных плечах на станции.

Исходные данные. Предположим, что точки А и В находятся на расстоянии 100 м друг от друга. Неравенство плеч на станции равно 20 м (LA = 40 м; LB = 60 м). Угол i = 10″. Заданная точность определения превышения mh = 1 мм. Требуется оценить возможность обеспечения указанной точности измерений при данном неравенстве плеч.

Решение.

По формуле (9.16)

	k = kB − kA =	L2B − L2A	= 0,16мм
	2R

По формуле (9.17)

r	=	r	− r = 0,07	L2B − L2A	= 0,02мм
	B	A	R

По формуле (9.19)

u = uB − uA = ρi (LB − LA ) = 0,97 мм

Как следует из результатов оценки, при разности плеч в 20 м практически можно пренебречь влиянием рефракции атмосферы, влияние кривизны Земли можно считать пренебрегаемо малым, а вот невыполнение главного условия нивелира вызывает погрешность того же порядка, что и заданная точность измерения превышения.

В таких случаях необходимо оценить допустимую величину разности плеч на станции, при которой погрешность из-за невыполнения главного условия составляла бы 1:3 …

1:5 от заданной (допустимой) погрешности измерений, т.е. была бы пренебрегаемо малой. Примем ∆u = 0,2mh = 0,2 мм. Тогда

	L		= (L		− L		) =		ρ	≈ 4м
	ДОП	B	A	u i

Очевидно, что при такой разности плеч погрешности из-за влияния кривизны Земли и рефракции атмосферы практически будут равны нулю.

4. Погрешность установки зрительной трубы.

Погрешность обусловлена неточностью установки пузырька цилиндрического уровня в нульпункте, а также недостаточной чувствительностью уровня к малым перемещениям трубы элевационным винтом.

Принимая погрешность установки пузырька уровня mτ = 2″ (для контактных уровней), расстояние от нивелира до реек L = 100 м, определим значение вероятной погрешности в отсчете

	D τ	=	mτ	L = 0,96 мм	(9.20)
	ρ
	Для превышения, определяемого разностью отсчетов, ∆h(τ) =		∙0,96 мм =
	2

=1,35 мм.

5.Погрешность отсчета по рейке — mтр.

Указанная погрешность определяется недостаточной разрешающей способностью зрительной трубы нивелира:

mтр	60′′ L	,	(9.21)
	ρ Г х

где Гх – увеличение зрительной трубы. Предположим, что для тех же условий

измерений Гх = 25х. Тогда mтр = 1,16 мм, а для превышения ∆h(тр) = 2 ∙1,16 мм = 1,64 мм .

6.Погрешность в отсчете из-за наклона рейки.

Очевидно, что чем больше наклон рейки, тем больше будет и погрешность отсчета. Предположим, что рейка отклонилась от вертикального положения на угол α (рис. 9.4). Визирный луч находится на высоте ао, соответствующей вертикальному положению рейки. Из-за наклона по рейке читается отсчет а. Погрешность из-за наклона рейки может быть получена по формуле

		æ					ö
				α	2	,	(9.22)
D Н	= ao	ç	1 +	2	— 1
		ç			ρ
		è					ø

Глава 2 Источники ошибок при нивелировании

2.1 Классификация ошибок нивелирования

Процесс определения превышений сопровождается случайными и систематическими ошибками. Случайные ошибки измерений компенсируются, а систематические накапливаются. В связи с этим методика работ по нивелированию должна быть такой, чтобы систематические ошибки в значительной мере исключались в процессе производства работ или же исключались путем введения соответствующих поправок в результаты измерений.

Систематические ошибки обусловлены действием следующих трех групп основных факторов:

— влиянием внешних условий,

— влиянием приборных ошибок,

— влиянием личных ошибок наблюдателя.

Каждая группа факторов состоит из нескольких источников ошибок.

Систематические ошибки, обусловленные влиянием внешних условий, вызываются следующими основными источниками: кривизной Земли, рефракцией, вертикальным перемещением нивелирных реек, вертикальным перемещением штатива (нивелира).

Систематические приборные ошибки вызываются источниками:

— непараллельностью визирной оси и оси цилиндрического уровня (несоблюдение главного условия), или не горизонтальностью визирной оси из-за погрешностей работы компенсатора;

— неправильным ходом фокусирующей линзы,

— недостаточной разрешающей способностью зрительной трубы,

— наклоном нивелирных реек,

— несовпадением нулевых делений реек с их пятками (смещение пяток),

— ошибками делений метровых интервалов реек,

— ошибками из-за изменения длин реек при изменении температуры воздуха и его влажности.

Систематические личные ошибки наблюдателя включают:

— ошибку округления отсчета по рейке при визировании через трубу,

— ошибку в отсчете по рейке из-за неточной установки визирной оси в горизонтальное положение.

Случайные ошибки обусловлены действием следующих факторов:

— ошибками (случайными) нанесения дециметровых делений реек,

— влиянием конвекционных потоков воздуха.

Кроме этого на определяемое превышение оказывают влияние ошибки, вызванные:

— гидротермическим движением земной коры (оседание грунта в весенне — летний период и его поднятие при замерзании в осенне — зимний),

— изменением величины уклонения отвесной линии под действием Луны и Солнца.

В нивелировании III и IV классов влияние последних двух источников не учитывается.

2.2 Систематические ошибки, обусловленные влиянием внешних факторов

2.2.1 Влияние кривизны Земли на определяемое превышение.

Рисунок 2. 1 – Влияние кривизны Земли на определяемые превышения

          При определении превышения h между точками А и В (рис.2.1); как уже отмечалось в 1.4, уровенные поверхности U_A, U_{B ,}U_N в точках А, В, N можно считать дугами концентрических окружностей.

Уровенной поверхности нивелира соответствуют отсчеты по рейкам а_и и b_и.Тогда превышение h будет вычислено по формуле (1.2). Горизонтальному лучу визирования соответствуют отсчеты по рейкам а и b. Поправки за кривизну Земли c_A ,c_B вычисляются как разности соотвествующих отсчетов согласно формулам (1.3), из которых можно записать

 (2.1)

Подставим значения а_и и b_и из формул (2.1) в формулу (1.2). 

                        (2.2)

Для определения с_A из треугольника ОNа запишем

ON=R+H,

где Н – высота визирного луча относительно отсчетной уровенной поверхности U_H; R-радиус земного шара.

; аN = d_a,

где d_a – расстояние вдоль горизонтального визирного луча от нивелира до рейки.

откуда получаем

c_a — величина малая, а  — малая второго порядка, и ею можно пренебречь. Поэтому

H — абсолютная отметка мала по сравнению с радиусом Земли. Ее в знаменателе можно не учитывать, тогда

 (2.3)

Аналогично из треугольника ОNb найдем

 (2.4)

Вычислим величину c c учетом формул (2.3) и (2.4)

 (2.5)

Введем обозначения: d_a + d_b =S; и d_a — d_b =d.

Тогда формула (2.5) примет вид

 (2.6)

Суммарная поправка по ходу нивелирования (считая d_a + d_b постоянным) будет равна

 (2.7)

При установке нивелира посредине между точками А и В величина d равна нулю, следовательно  и как следует из формулы (2.2) , т. е. кривизна Земли не вызывает ошибки в превышении, если выдерживается равенство расстояний от нивелира до реек на станции.

Инструкцией [5] требуется чтобы неравенство плеч на станции при нивелировании III кл. не превышало 2 м, а при нивелировании IV класса — 5 м.

При длине визирного луча 75 м и неравенстве плеч 2 м, как следует из (2.6) ошибка в превышении будет равна

Поскольку ошибка накапливается с увеличением длины хода по формуле (2.7), то рекомендуется чередовать знак d и не допускать накопления неравенств по ходу более 5 м при нивелировании III класса и 10 м — при нивелировании IV класса.

2.2.2 Ошибка в превышении из-за влияния рефракции.

Под влиянием рефракции подразумевается преломление визирного луча (луча света) в земной атмосфере при прохождении его в слоях различной плотности воздуха (армосферы).

Из рисунка 1.7 видно, что влияние рефракции на отсчет по рейке аналогично влиянию кривизны Земли, но рефракционная кривая имеет радиус в 6 — 7 раз больше земного, поэтому

 , , (2.8)

где R₁ –радиус рефракционнй кривой.

При вычислении величин r_А и r_В вводится понятие «Коэффициент рефракции» как отношение

 (2.9)

Так как преломление луча, строго подходя, будет разное у задней и передней реек, то

, , (2.10)

где R₁, R₂ радиусы рефракционных кривых у точек A и B соответственно; К₁, K₂ – коэффициенты рефракции для тех же точек.

Формулы (2.8) с учетом формул (2.10) преобразуются к виду

 , , (2.11)

и

 (2.12)

Допуская что К₁ = К₂ = К получим по аналогии с формулой (2.6)

 (2.13)

Очевидно если нивелировать из середины, то влияние рефракции исключается, но это справедливо только для равнинных районов.

Для более полного исключения рефракции необходимо еще соблюдать следующее:

— не допускать прохождения визирного луча непосредственно у земной поверхности (инструкцией [5] требуется, чтобы при нивелировании III класса отсчеты по рейке были не менне 0.3 м, а при нивелировании IV класса — 0.2 м),

— в летние ясные, солнечные дни нивелирование начинать спустя 1 — 2 часа после восхода солнца (когда прогреется воздух) и заканчивать за 1 — 2 часа до захода солнца.