Задания на нахождение ошибок математика - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Задания на поиск ошибки, как инструмент формирования
регулятивных УУД

Задания на поиск ошибки активизируют внимание учащихся, формируют умение анализировать информацию, умение применять знания в нестандартной ситуации, умение критически оценивать полученную информацию.
С целью формирования регулятивных универсальных действий учителем предлагается проверить работу виртуального ученика с последующим выставлением оценки, согласно критериям, предложенным учителем (I). После обсуждения правильности выполнения задания, ученик выставляет оценку за проверку работы себе (II). Итоговая оценка выставляется учителем с учетом самооценки ученика.
Таким образом происходит формирование самооценки, возрастает ответственность за оценку, выставленную товарищу. А ответы на вопросы анкеты в конце задания позволят учителю более адекватно планировать дальнейшую работу с данным учеником.
Ниже приведены примеры карточек с заданиями на поиск ошибки из различных тем курса математики.

Проверь работу ученика 5 Екласса Иванова Вани.		I	II
1) 185х+272х=457х	1
2) 230у-175у=55у	2
3) 156а+79а+21а+44а=300а	3
4) 35х+17х+65+33х=150х	4
5) 55а+а=56а	5
6) 1307у-500у+93=807у+93	6
7) 14+17с-8с=14+9с	7
Отметка

Задание на поиск ошибки по теме: «Упрощение выражений» (5 класс)
Критерии оценивания
менее 4 верных заданий — отметка «2»
4-5 верных заданий – отметка «3»
6 верных заданий — отметка «4»
7 верных заданий — отметка «5»

— Мне было все понятно
— Я испытывал небольшие затруднения, которые сумел преодолеть
— Мне нужно еще поработать над этой темой
— Мне не понятно, без помощи учителя я не справлюсь

Задание на поиск ошибки по теме: « Законы арифметических действий»
(5 класс)

Проверь работу ученика 5 Екласса Иванова Вани.		I	II
1) 2	1
2) 72	2
3) 9 =90+972=1062	3
4) 321+266+134=321+300=621	4
5)	5
6) 3 =621-27=594	6
7)	7
Отметка

Критерии оценивания
менее 4 верных заданий — отметка «2»
4-5 верных заданий – отметка «3»
6 верных заданий — отметка «4»
7 верных заданий — отметка «5»

Задание на поиск ошибки по теме: « Разложение многочленов на множители» (7 класс)

Проверь работу ученика 7 Д класса Иванова Вани.		I	II
1) 15ас – 7с — ас = с ( 15а -7-а )	1
2) 2х ²у + ху = 2ху( х )	2
3) 16а³с²х — 2ас² =2 ас²( 8ас – 1 )	3
4) 6х²у( х –у) + ( у – х )= (х-у)(6х²у -1)	4
5) 35ас – 14 ас² + 4 = а ( 35с – 14с² + 4 )	5
6) 49 – а²= ( 7 – а )( 7 + а )	6
7) 16х⁴у² – 64 =( 4х²у – 8 )( 4х²у + 8 )	7
Отметка

Задание на поиск ошибки по теме: «Признаки равенства треугольников и равнобедренный треугольник» (7 класс)

Проверь работу ученика 7 Д класса Иванова Вани.		I	II
1)Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам	1
2) Если треугольник равносторонний, то все его углы равны	2
3) Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними	3
4) Медиана в равнобедренном треугольнике всегда является биссектрисой и высотой.	4
5) Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам	5
6) Треугольники равны по трем сторонам	6
7) Если треугольник равносторонний, то он равнобедренный.	7
Отметка

В конце урока заполни анкету:

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/245757-zadanija-na-poisk-oshibki-kak-instrument-form

Источник

Муниципальное
автономное общеобразовательное учреждение

Туендатская
основная общеобразовательная школа

Учебно-методическое
пособие по математике

«Найдите
ошибку»

для
учителей и учащихся средней школы

Автор:
Кара Светлана Ивановна,

учитель математики.

Туендат
2019

Пояснительная
записка.

Многолетний опыт
работы учителем математики показывает, что поговорка «на ошибках учатся» на
практике не «работает». При выполнении математических заданий и упражнений
учащиеся, допуская ошибки, их не замечают и вовремя не исправляют.

Анализируя
учебники математики, обращаем внимание на то, что в них достаточно много
образцов решения различных заданий, но совсем нет рекомендаций о том, какие
ошибки мы можем допустить при выполнении математических упражнений. Поэтому
вопрос о том, как учиться без ошибок, как научиться находить собственные ошибки
в решениях, является актуальным и требует исследования.

Для пробного
исследования были выбраны математические понятия – уравнения, приводящиеся к
линейным (далее уравнения) и системы линейных уравнений (далее системы
уравнений). Считаем, что эти понятия являются основными в алгебре. Предметом
исследования будут ошибки, которые допускают учащиеся, когда решают уравнения и
системы уравнений.

На основании
детального анализа теоретического материала по проблеме исследования, можно
предположить, что при решении уравнений и систем уравнений можно допустить
ошибки в тех преобразованиях, которые мы выполняем, решая их.

Для подтверждения
данного предположения были составлены анкеты с целью опроса учащихся: анкета –
опрос, анкета – уравнение, анкета – система уравнений. В опросе приняли
участие 20 учащихся (7, 8, 9 классы) МАОУ Туендатская ООШ.

Проанализировав
результаты анкетирования, мы получили следующий результат.

В основном все
старшеклассники считают, что они умеют решать уравнения и системы уравнений
(70%). Но при этом отмечают, что без ошибок могут решать уравнения только 25%
опрошенных учащихся и системы уравнений — 15%. Находить, же ошибки в
собственных решениях могут, по мнению ребят 40% опрошенных, и 45% учащихся с помощью
учителя или его подсказки. И абсолютно все ребята хотят решать без ошибок.

Во второй анкете
учащимся было предложено решить уравнение

Анализ результатов
показал, что ошибки допускаются в преобразованиях:

1.
Раскрытие
скобок (30%).

2.
Перенос
членов уравнения из одной части уравнения в другую(30%).

3.
Приведение
подобных слагаемых (40%).

4.
Деление
обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля (20%).

5.
Вычислительные
ошибки (30%).

В третьей анкете
было предложено учащимся решить систему уравнений несколькими способами: методом
подстановки, методом сложения, графическим методом и методом сравнения.

Анализ результатов
показал, что ошибки допускаются в преобразованиях:

1.
При
решении методом подстановки – при выражении одной переменной через
другую (35%); при решении уравнения (30%); при записи ответа (15%).

2.
При
решении методом сложения – при умножении обеих частей уравнения на одно и то же
число (20%); при сложении или вычитании равенств (10%); при решении уравнения
(30%); при подстановке найденного числового значения для одной переменной в
выражение для нахождения значения другой переменной (25%).

3.
При
решении графическим методом – при выражении одной переменной через
другую (35%); при построении графика линейной зависимости (30%); при нахождении
решения системы уравнений по графической иллюстрации (20%).

4.
При
решении методом сравнения – при выражении одной переменной через другую
(35%); при решении уравнения с дробными коэффициентами (30%); при подстановке
найденного числового значения одной переменной в выражение для нахождения
значения другой переменной (25%).

Таким
образом, мы получили подтверждение того, что ошибки учащиеся допускают в
преобразованиях при решении уравнений и систем уравнений. При этом не умеют
находить ошибки в собственных решениях (60%) опрошенных или находят их с
помощью подсказки (40%), но все обучающиеся хотят быть успешными по математике
и решать без ошибок.

Как
же научиться находить ошибки и использовать их с пользой для дела? Думаем, что
способы поиска ошибок в готовых решениях частично помогут решить данную
проблему.

С
этой целью было разработано учебно-методическое пособие для учителей и
учащихся, в котором представлены серии заданий по темам: «Уравнения» и «Системы
уравнений» с ошибками в тех преобразованиях, которые мы используем при решении
данного класса задач. Задания оформили как книгу для учащихся «Найди ошибку», в
которую вошли различные уравнения и системы уравнений с ошибками. Эту книгу
можно использовать для того, чтобы научиться находить ошибки и контролировать
свои учебно-предметные действия.

Муниципальное
автономное общеобразовательное учреждение

Туендатская
основная общеобразовательная школа

Задания
с ошибками по темам:

«Линейные
уравнения и системы линейных уравнений».

КНИГА
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

Составитель:
Кара Светлана Ивановна,

учитель математики.

Туендат
2019

Оглавление стр.

Предисловие………………………………………………………………………….
. 3

Тема 1. Учимся
находить ошибки в уравнениях …………………………………… 4

Тема
2. Учимся находить ошибки в системах линейных уравнений………………8

§1.
Метод подстановки…….. .…………………………………………………..8

§2.
Метод сложения……………………..………..……………………………12

§3.
Метод сравнения………….. .………………………………………………16

§4.
Графический метод………………..………..………………………………20

Литература
…………………………………………………………………………… 24

Ответы к
заданиям …………………………………………………………………… 25

«Ошибка
одного – урок другому».

Д.
Рей

Предисловие.

Дорогие
ребята!

Перед вами
необычная книга. Здесь вы не найдете привычных для вас правил и заданий по
математике. Эта книга написана для тех, кто хочет научиться решать уравнения и
системы линейных уравнений без ошибок.

В книге есть
теоретический материал, который поможет вам повторить и вспомнить алгоритмы
решения линейных уравнений и систем линейных уравнений, но для самостоятельной
работы вам предлагаются задания с ошибками. В этих заданиях вы должны сами
найти допущенную ошибку и исправить ее, а также попробовать составить свои
собственные задания с ошибками и предложить их своим друзьям.

Не пугайтесь, если
сразу не сможете найти ошибку, начните с тех заданий, в которых есть подсказка.
Помните о том, что ошибка – вещь полезная, а поиск ошибок увлекательное
занятие.

Удачи вам, ребята!

Тема 1. Учимся находить
ошибки в уравнениях.

Внимательно прочтите этот текст!

Чтобы научиться решать уравнения без
ошибок, надо знать, какие преобразования нужно выполнить при решении уравнений
и уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь уравнение, ведь именно в
преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении уравнений, которые приводятся к линейным
уравнениям, мы выполняем следующие преобразования.

1. Преобразование
выражений, составляющих части уравнения (мы раскрываем скобки, применяя
распределительный закон умножения и правило раскрытия скобок, перед которыми
стоит знак плюс или минус).

2. Второе
преобразование – переносим члены уравнения из одной части уравнения в другую.
При переносе членов из одной части в другую мы меняем у них знак.

3. Третье
преобразование – преобразование выражений, составляющих части уравнения (мы
приводим подобные слагаемые).

4. Четвертое
преобразование – делим обе части уравнения на одно и то же число, отличное от
нуля.

Изучите
таблицу с верно решенным уравнением.

Какие
преобразования выполняют при решении уравнений? Попробуем узнать это, решив
уравнение.
Рассмотрим
цепочку преобразований данного уравнения.

Номер шага	Преобразование	Решение уравнения
1 шаг	Преобразуем выражения в правой и левой частях уравнения — раскроем скобки.
2 шаг	Перенесем члены, содержащие неизвестное в левую часть уравнения, а все постоянные числа в правую часть уравнения. При переносе члена уравнения из одной части в другую мы меняем у него знак.
3 шаг	Преобразуем выражения в правой и левой частях уравнения — приведем подобные слагаемые.
4 шаг	Делим обе части уравнения на одно и то же число (в данном случае на 4).
5 шаг	Записываем ответ.	Ответ:
Уравнение имеет корень , так как верным равенством уравнение становиться при .

Задания для самостоятельной работы.

I.
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении уравнений.

1)
Подсказка.
Ошибка допущена при раскрытии скобок.

2)
Подсказка.
Ошибка допущена при раскрытии скобок.

3)
Подсказка.
Ошибка допущена при переносе членов уравнения из одной части в другую.

4)
Подсказка.
Ошибка допущена при делении обеих частей уравнения на одно и то же число.

Дорогой
друг! После того как ты выполнил предложенные задания, полезно будет решить эти
уравнения, с учетом найденных ошибок, так как все эти уравнения решены неверно.
Верные ответы к данным уравнениям ты найдешь в конце книги.

II.
Найдите
ошибки, допущенные при решении уравнений.

Итак,
уравнения с ошибками закончились. Вы справились с предложенным заданием? Если у
вас не все получилось, не огорчайтесь. К этим уравнениям можно вернуться еще не
один раз.

А,
если вы нашли все ошибки в уравнениях, попробуйте придумать свои уравнения с
ошибками и предложите найти эти ошибки своим друзьям или одноклассникам.

Помните,
что, если вы нашли ошибку и решили уравнение правильно, всегда можно сделать
проверку, подставив найденное значение переменной в уравнение.

Тема 2. Учимся
находить ошибки в системах линейных уравнений.

§
1. Метод подстановки.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений методом подстановки без ошибок,
надо знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении систем уравнений методом подстановки, мы выполняем
следующие преобразования.

1) Выражаем
одну переменную через другую.

2) Заменяем
переменную алгебраическим выражением.

3) Преобразования
при решении линейного уравнения:

a. Раскрываем
скобки.

b. Переносим
члены уравнения из одной части в другую.

c. Преобразуем
выражения, составляющие части уравнения

(приведение подобных слагаемых).

d. Делим
обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

4. Подставляем
найденное числовое значение одной переменной в выражение для нахождения
значения другой переменной.

Изучите
таблицу с верно решенной системой линейных уравнений методом подстановки.

Какие
преобразования выполняют при решении системы уравнений методом подстановки?
Попробуем узнать это, решив систему уравнений Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер
шага

Выполняемое
действие

Решение данного
шага системы уравнений

1 шаг

Из
первого уравнения выразим .

2 шаг

Подставляем
вместово второе уравнение выражение

3 шаг

Решаем
получившееся уравнение относительно y.

4 шаг

Находим
x из
первого уравнения системы.

5 шаг

Записываем
ответ.

Ответ: (2; 1)

Полное решение данной системы линейных уравнений
будет выглядеть так:

Задания для
самостоятельной работы.

I.
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений методом подстановки.

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при выражении одной переменной через другую.

Ответ: (3; 1/3)

2)
Подсказка.
Ошибка допущена на третьем шаге, при решении линейного уравнения.

Ответ: (-7;
-16)

3)
Подсказка.
Ошибка допущена на четвертом шаге, при нахождении числового значения второй
переменной.

Ответ:
(6; 2)

II.
Найдите
ошибки, допущенные при решении системы уравнений методом подстановки.

1)
Найдите
две ошибки.

Найдите четыре
ошибки.

Ответ: (1; 15)

Дорогой
друг! Если ты нашел все ошибки, то обязательно реши эти системы самостоятельно.

Верный
ответ ты найдешь в конце книги.

§ 2. Метод сложения.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений методом сложения без ошибок, надо
знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении системы уравнений методом
сложения нам приходится выполнять следующие преобразования.

1. Умножать
обе части уравнения на одно и то же число.

2. Складывать
или вычитать равенства.

3. Выполнять
преобразования при решении линейного уравнения:

a. Перенос
членов уравнения из одной части уравнения в другую.

b. Преобразовывать
выражения, составляющие части уравнения (приведение подобных слагаемых).

c. Делить
обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

4) Подставлять
найденное числовое значение для одной переменной в выражение для нахождения
значения другой переменной.

Изучите таблицу с
верно решенной системой линейных уравнений методом сложения.

Какие
преобразования выполняют при решении системы уравнений методом сложения?
Попробуем узнать это, решив систему уравнений Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер
шага

Выполняемое
действие

Решение
данного шага системы уравнений

1 шаг

Умножим
обе части второго уравнения на 3.

2 шаг

Сложим
почленно оба уравнения.

3 шаг

Решаем
получившееся уравнение относительно x.

4 шаг

Находим
y из второго
уравнения системы.

5 шаг

Записываем
ответ.

Ответ: (2; 1)

Полное решение данной системы
линейных уравнений будет выглядеть так:

Ответ: (2;1)

Задания для
самостоятельной работы.

I.
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений методом сложения.

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при умножении первого уравнения на число.

Ответ:
(1,8; 3,8)

2)
Подсказка.
Ошибка допущена при сложении уравнений.

Ответ: (3; 13)

Подсказка.
Ошибка допущена на четвертом шаге, при нахождении числового значения второй
переменной.

Ответ: (-2; 7)

II.
Найдите
ошибки, допущенные при решении системы уравнений методом сложения.

Найдите
три ошибки.

Ответ: (-3; 2)

2)
Найдите
четыре ошибки.

Ответ:
(22; 9)

Дорогой
друг! После того как ты выполнил предложенные задания, полезно будет решить эти
системы уравнений, с учетом найденных ошибок. Данные системы уравнений решены неверно.
Верные ответы ты найдешь в конце книги.

§ 3. Метод сравнения.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений методом сравнения без ошибок, надо
знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении систем уравнений методом сравнения, мы выполняем
следующие преобразования.

1. Выражаем
одну переменную через другую.

2. Преобразования
при решении линейного уравнения с дробными коэффициентами:

a. Умножаем
обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

b. Раскрываем
скобки.

c. Переносим
члены уравнения из одной части в другую.

d. Преобразуем
выражения, составляющие части уравнения (приведение подобных слагаемых).

e. Делим
обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

5. Подставляем
найденное числовое значение одной переменной в выражение для нахождения
значения другой переменной.

Изучите
таблицу с верно решенной системой линейных уравнений методом сравнения.

Какие
преобразования выполняют при решении системы уравнений методом сравнения?
Попробуем узнать это, решив систему уравнений

Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер шага	Выполняемое действие	Решение данного шага системы уравнений
1 шаг	Из первого и второго уравнений выразим .
2 шаг	Приравняем левые части данных уравнений.
3 шаг	Решаем получившееся уравнение относительно y.
4 шаг	Находим x из первого уравнения системы.
5 шаг	Записываем ответ.	Ответ: (2;1)

Полное решение данной системы линейных уравнений будет
выглядеть так:

Ответ: (2;1)

Задания
для самостоятельной работы.

I.
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений методом сравнения.

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при выражении одной переменной через другую.

Ответ: (3; 6)

2)
Подсказка.
Ошибка допущена на третьем шаге, при решении уравнения.

Ответ: (1; -11)

Подсказка.
Ошибка допущена на четвертом шаге, при нахождении числового значения второй
переменной.

Ответ: (1; 3)

II.
Найдите
ошибки, допущенные при решении системы уравнений методом сравнения.

Найдите
две ошибки.

Ответ:
(-6;-7)

2)
Найдите
три ошибки.

Ответ:
(19; -5,5)

Сейчас
самое время решить эти задания самостоятельно!

§ 4. Графический метод.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений графическим способом без ошибок,
надо знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении систем уравнений методом
подстановки, мы выполняем следующие действия.

1. Выражаем
одну переменную через другую.

2. Сроим
график линейной зависимости.

3. Находим
решение системы уравнений по графической иллюстрации.

Изучите
таблицу с верно решенной системой линейных уравнений графическим методом.

Какие
действия выполняют при решении системы уравнений графическим методом? Попробуем
узнать это, решив систему уравнений

Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер
шага

Выполняемое
действие

Решение
данного шага системы уравнений

1 шаг

Из
первого и второго уравнений выразим .

2 шаг

Строим в
одной системе координат графики данных функций.

3 шаг

Находим
решение системы уравнений по графической иллюстрации – это координаты точки
пересечения графиков данных функций.

А(-2; 0)

4 шаг

Записываем
ответ.

Ответ: (-2;0)

Задания для самостоятельной работы.

1.
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений графическим методом.

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при выражении одной переменной через другую.

Построим
в одной системе координат графики функций: и .

Координаты
точки А – решение системы уравнений, то есть

Ответ: (1; 0)

2)
Подсказка.
Ошибка допущена на втором шаге, при построении графика.

Построим в одной системе координат графики функций: и .

Координаты
точки А – решение системы уравнений, то есть

Ответ: (-2; 6)

Подсказка.
Ошибка допущена на третьем шаге, при нахождении решения системы линейных
уравнений.

Построим
в одной системе координат графики функций: и.

Координаты
точки А – решение системы уравнений, то есть

Ответ:
(-2; -3)

Графический
метод – «красив» и прост. Реши эти системы графическим методом без ошибок.

Литература.

1.
Башмаков
М.И. Алгебра: Учеб. Для 7 класса общеобразовательных учреждений.– М.:
Просвещение, 2003г. – 320с.

2. Мордкович
А.Г. Алгебра 7 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных
учреждений. – М.: Мнемозина, 2010. -270 с.

3.
Росошек
С.К., Хают Л.Б., Малова И.Е. Системы уравнений: Учебное пособие по математике
для 9 класса. Под редакцией Э.Г. Гельфман. – Томск: Изд-во Том. Ун-та. – 256с.

Ответы
к заданиям.

Страница 8

1. .

2. .

3. .

Страница 9

4. .

1. .

2. .

3. .

Страница 10

Страница
13

1. .

2. .

3. .

Страница
14

1. .

2. .

Страница
17

1. .

2. .

3. .

1. .

Страница 18

2. .

Страница 21

1. .

2. .

3. .

Страница 22

1. .

2. .

Страница 25, 26

1. .

Источник

Математические софизмы и задания «Найди ошибку»

Авторы
Руководители
Файлы работы
Наградные документы

Сафарова А.Г. 1

1IT лицей № 9 имени О.А.Жолдасбекова

Ильина Светлана Владимировна 1

1IT лицей № 9 имени О.А.Жолдасбекова

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию»

И. П. Павлов

ВВЕДЕНИЕ

Бесконечно разнообразны ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь такой ошибкой, мы защитим себя от повторения такой ошибки в будущем; во- вторых, сам процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.

Рассуждение, в котором допущена та или иная ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь нелепости, или так называемый софизм.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику.

Цель исследования софизмов заключается в приобщении к критическому мышлению, умению не только воспроизводить определенные логические мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления.

Наверняка, каждый человек слышал хоть раз в жизни подобную фразу:

«Дважды два равно пяти» или «Два равно трем». На самом деле таких примеров очень много. Что они обозначают? Имеют ли какое-то логическое объяснение или это вымысел?

Именно это я хочу рассмотреть в этой работе, название которой «Математические софизмы и задания «Найди ошибку». Целью моей работы является исследование разнообразных математических софизмов для формирования критического мышления, приобретения необходимых в жизни навыков правильного мышления и разбор собственных заданий «Найди ошибку» по различным темам курса алгебры и геометрии. 1

СОФИЗМЫ

Софизм (в переводе с греческого sophisma — уловка, выдумка, головоломка), формально кажущийся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренном неправильном подборе исходных положений. Каков бы не был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применимости теорем, форму и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

ИСТОРИЯ СОФИЗМОВ

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки математических исследований, допускаемые выдающимися математиками. Именно уяснение ошибок математических рассуждение часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформировать эту аксиому можно так: через данную точку лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение на протяжении более двух тысяч лет пытались доказать, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И все же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит Н.И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи.

Понятие софизмов включает в себя несколько видов софизмов: арифметические, алгебраические и геометрические.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Арифметические софизмы — это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда. Рассмотрим такие примеры.

Пример 1

« 5 = 6 »

Решение:

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель

Получаем 5 = 6.

Где ошибка?

Ответ: общий множитель (7 + 2 – 9) = 0, а делить на 0 нельзя.

Пример 2

« 2 * 2 = 5 »

Решение:

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим:

4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому

4 = 5 или 2 * 2 = 5.

Где ошибка?

Ответ: допущена ошибка в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5. Общий множитель нельзя вынести.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие ее от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приемов для решения однотипных арифметических задач. Приемы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений, т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример 1

«Любое число равно его половине»

Возьмем два равных числа а и b, а =b обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведений по b². Получим: а² – b² = ab — b² или (а + b)(a — b)=b(a — b).

Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = a.

Значит, 2а = а, .

Где ошибка?

Ответ: нельзя делить на (а – b), так как ( a – b) = 0.

Пример 2

«Любое число равно нулю»

Возьмем произвольное положительное число а и рассмотрим сумму х и бесконечного числа слагаемых, равных а:

х = а + а + а + а + … . (1)

Очевидно, что мы можем представить эту сумму как

х = а + (а + а + а +…), (2)

в которой сумма, стоящая в скобках, так же ровна х, как сумма бесконечного числа слагаемых, равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0

Где ошибка?

Ответ: ошибка допущена в равенстве (1), в котором бесконечная сумма чисел а обозначена конечным числом х.

Пример 3

«Всякое число равно своему удвоенному значению»

Запишем очевидное для любого числа а тождество:

а² – а² = а² – а².

Вынесем множитель а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим:

а (а — а) = ( а + а) ( а – а ). (1)

Разделив обе части на ( а – а ), получим:

а = а + а , а = 2а.

Где ошибка?

Ответ: используется распространенная ошибка, а именно деление на 0 в неравенстве (1) (а—а=0).

Пример 4

«Все числа равны между собой»

Возьмем любые два числа х , у.

Рассмотрим тождество:

х²— 2ху + у²= у²— 2ху + х². Имеем: ( х – у )²= ( у – х )².

отсюда: х – у = у – х или 2х = 2у, а значит, х = у.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что из равенства ( х – у )² = (у – х )² следует, что х = у, а это равенство справедливо для любых чисел х, у.

Пример 5

Если «а» больше «b», в тогда «а» всегда больше, чем «2b».

Возьмем два произвольных положительных числа а и b, такие, что а > b. Умножив это неравенство на b, получим новое неравенство аb > bb, а отняв от обеих его частей аа, получим неравенства аb – аа > bb – аа, которое равносильно следующему: а ( b – a ) > ( b + a ) ( b — a ). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на (b – а), получим а > b + a (2).

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство а > b, имеем 2а > 2b + a, откуда а > 2b. Итак, если а > b, то а > 2b.

Где ошибка?

Ответ: ошибка совершена при переходе от равенства (1) к (2). Так как а > b, то b – a < 0, следовательно, при делении неравенства (1) на b – а, мы должны

поменять знак неравенства на противоположный.

Пример 6

« 8 = 6 »

Решим систему уравнений:

Решим подстановкой у из второго уравнения в первое, получаем

х + 8 – х = 6, откуда 8 = 6.

Где ошибка?

Ответ: второе уравнение системы можно записать как х + 2у = 8, так что исходная система запишется в виде:

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система не имеет ни одного решения.

Графически это означает, что прямые у = 3 — и у = 4 — параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 7

«Неравные числа равны»

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b.

Пусть их разность равна с, то есть а – b = с. Умножив обе части этого равенства на ( а – b ), получим ( а – b )² = с ( а – b ). Раскрыв скобки, придем к равенству а²– 2аb + b²= ca – cb. После преобразования получаем а²– аb — ас= аb – b² – bc. Выносим общий множитель а слева и общий множитель b справа, получим: а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ).

Разделив последнее равенство на ( а – b – c ), получаем : а = b.

Где ошибка?

Ответ: здесь ошибка совершена при переходе от равенства а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, то есть а – b = с, откуда а – b — c = 0. Можно записать равенство а ( а – b – c ) = b ( a – b – c ) в виде: а*0 = b*0. Переход от этого равенства к равенству, а=b осуществляется путем деления обеих частей на равное нулю число а – b – с = 0.Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство, а*0=b*0 выполняется при любых а и b. Поэтому, вывод о том, что числа а и b равны, неверен.

Пример 8

« 7 = 13 »

Рассмотрим уравнение: . (1)

Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, получим

= , откуда – = , или

= . (2)

Поскольку числители дробей в левой и в правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

7 = 13.

Где ошибка? Ответ: область допустимых значений исходного уравнения (1) состоит из всех значений переменой х, кроме х=7, х=13. В этом софизме неявно подразумевается, что равенство (2) является не уравнением, а тождеством, равным при любых значениях х, что неверно. Поэтому, утверждение софизма неверно.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Геометрические софизмы – это умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Пример 1

«Катет равен гипотенузе»

Доказательство

Угол С равен 90°, ВД — биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярно СА, О – точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярно АВ, ОL перпендикулярно ВС. Имеем: ∆LВО равен ∆МВО, ВL=ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, ∆КОА = ∆ОМА (ОА- общая сторона, КА = ОМ, ∠ОКА и ∠ОМА- прямые), ∠ОАК= ∠МОА, ОК=МА=СL, ВА= ВМ+МА, ВС=ВL+LС, но ВМ=ВL, МА=СL, и потому ВА=ВС.

С К D A

К D

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Пример 2

«Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны»

Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки которых АВ и СD заключены между сторонами этого угла.

Как известно параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, откуда АЕ · DE = BE · CE.

Умножив обе части последнего равенства на отличную от нуля разность

АВ – СD , запишем AE · DE · AB – AE · DE · CD = AE · DE · CD – BE · CE · CD,

ИлиАВ (AE · DE – BE · CE) = CD (AE · DE – BE · CE).

Разделив обе части последнего равенства на (AE · DE – BE · CE) получим равенство АВ = СD.

D А

B С

Где ошибка?

Ответ: так как АЕ · DE = BE · CE, то АЕ · DE – ВЕ · СЕ = 0, то ошибка в делении на 0.

Пример 3

«Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе»

Пусть BO (рис.1) – биссектриса угла B, D – середина катета AC, DO ┴ AC, OE ┴ BC, OF ┴ BA.

Так как О — на биссектрисе угла B,

то Δ BFO = Δ BEO (по гипотенузе и острому углу). Поэтому

BF = BE. (1)

Далее, OA = OC, ибо каждая точка перпендикулярна к отрезку AC,

9проходящего через середину AC, равноудалена от А и С. Так как ОF = OE,

то Δ AOF = Δ СОЕ, и поэтому АF = СЕ. (2)

n DD D

кладывая почленно (1) и (2), получим AB = CB, то есть катет равен гипотенузе, что и требовалось доказать.

n O

O O

В В

E A C

F F О Е

А D С Рис. 2

Рис. 1

Где ошибка? Ответ: точка О не может быть внутри Δ ABC. Тогда можно показать, что если точка О лежит вне Δ ABC или на его стороне, то опять AB = CB (рис.2). Именно, показываем, что BF = BE, АF = СЕ. Отсюда AB = CB.

Пример 4

«Прямой угол равен тупому!»

Пусть угол АDC — прямой, угол DCВ — тупой, СВ=DА, СМ=DМ, АF=ВА, МО ┴ СD, FО ┴ АВ. Следовательно, ∆DMO = ∆СМО (по двум катетам). Поэтому, ∠ МDО= ∠ МСО. (1) OD=ОС, ∆ AFO =∆ ВFО (по двум катетам).

Следовательно, АО=ОВ и ∆ АDО= ∆ ВСО (по трем сторонам).

Значит, ∠АDО = ∠ВСО. (2)

A F B

D M C

∠АDO –∠ МDО =∠ ВСО – ∠МСО, то есть ∠АDC=∠ BCD.

Таким образом, прямой угол равен тупому углу. Что и требовалось доказать.

ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ»

В процессе изучения и исследования математических софизмов мне стало интересно, а как можно предупредить ошибки учеников моего класса в решении примеров на уроках. Ведь часто при неправильном решении получается явно неверный результат, который не могут увидеть сами ученики. Поэтому, я заинтересовалась заданиями с ошибками в решении. Используя учебную литературу, я попробовала самостоятельно составить задания, в которых есть ошибка.

Пример 1

Решить неравенство:

( 4 — х²)³ ( х – 3 )²≥ 0.

( х²-4)³ ( х – 3 )²≤ 0,

( х – 2 )³( х + 2 )³( х – 3 )²≤ 0.

Найдем нули выражения

х – 2 =0, х + 2 =0, х – 3 = 0,

х = 2, х = -2, х = 3.

— + — +

-2 2 3

х (-∞; -2] υ [2; 3]

Где ошибка?

Ответ: в выражении второй множитель в квадрате. Поэтому, при переходе через точку х=3 знак выражения не должен измениться.

+ — + +

-2 2 3

х [-2; 2] Ответ: [-2; 2]

Пример 2

Найти производную функции f(х) = sin⁶ .

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ = 3sin⁵ .

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в нахождении производной степенной функции.

f‘ꞌ(х) = (sin⁶)’ =6sin⁵ · · · (5х²-6х) = =6sin⁵ =sin⁵ .

Пример 3 Решить биквадратное уравнение:

9х⁴– 2х²— 7 = 0.

Введем замену х²=z, решаем квадратное уравнение:

9z²— 2z – 7 = 0, k=

Д₁ = k²— ac = (-1)²— 9 · (-7) = 1 +63 = 64 > 0, имеет 2 корня

z_1,2= =

z₁₌-1, z₂= ,

х²= — 1, х²= ,

не имеет решения, х = ± .

Где ошибка? Ответ: при нахождении корней уравнения допущена ошибка: k=-1, а в формуле корней знак не изменен. Правильное решение:

z_1,2 = = ,

z₁= 1,z₂=- ,

х²= 1 , х²= — ,

х = ± 1, не имеет решения. Ответ: ± 1

Пример 4

Решить тригонометрические уравнения:

а) 2соsх = 1.

соsх = ,

х = аrccos + 2n, n Z,

x = + 2n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: ошибка заключается в неправильном определении табличного значения косинуса.

х = аrccos + 2 n, n Z

x = + 2 n, n Z

б) 3sin²x — 2sinx -1 = 0.

Введем замену sinx=t , тогда получим и решим квадратное уравнение:

3t²-2t -1 = 0.

По свойству коэффициентов a+ b +c = 0 получаем:

t₁ = 1, t₂ = — ,

sinx= 1, sinx= — ,

х =(-1)ⁿ + n, n Z. х= (-1)ⁿarcsin(- ) + n, n Z,

х= — (-1)ⁿarcsin + n, n Z.

Где ошибка?

Ответ: 1) ошибка заключается в нахождении корня тригонометрического уравнения sinx= 1. Это частный случай. Поэтому, х = + 2n, n Z.

2) ошибка при определении корня уравнения sinx= — . Отрицательное значение синуса увеличивает степень числа (-1) на единицу.

Правильный ответ: х= (-1)ⁿ⁺¹arcsin + n, n Z

Пример 5. Задача.

Стороны параллелограмма АВСD относятся как 2:3, а его периметр равен 20 см, угол между сторонами равен 60°. Найдите его площадь.

А В

С D

Решение.

АВ : АD = 2 : 3.

х – коэффициент пропорциональности,

тогда АВ = 2х (см), АD = 3х (см)., Р_АВ_CD = 2(АВ + АD), получим

(2х + 3х) · 2 = 20,

5х = 10,

х = 2 (см).

АВ = 2 · 2 = 4 (см), АD = 2 · 3 = 6 (см).

S_АВ_CD = аbsinα = АВ · АD · sin60°,

S_АВ_CD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

Где ошибка?

Ответ: ошибка в определении значения синуса. Правильно sin60° = .

Поэтому, S_АВ_CD = 4 · 6 · = 12 (cм²).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовать софизмы очень интересно и необычно. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными.

Изучая и исследуя математические софизмы, я научилась контролировать логические рассуждения при решении задач и примеров.. Поэтому, я могу найти ошибку в своем решении и увидеть ошибку в решении других учеников во время урока.

Мне было очень интересно изучать и исследовать математические софизмы, а особенно придумывать новые задания, содержащие ошибку и анализировать их.

Такие задания помогут мне еще лучше подготовиться к государственному экзамену по математике и сдаче ЕНТ.

Литература

1. М. Б. Балк, Г. Д. Балк, «Математика после уроков», «Просвещение», Москва, 1971

2. сайт ppt4.web.ru\matematisheskie—sofizmy.htlm

3. А. Н. Шыныбеков, учебник «Геометрия 8», «Атамура», Алматы, 2004

4. А. Н. Шыныбеков, учебник «Алгебра 8», «Атамура», Алматы, 2004

5. А. Е. Абылкасомова, З .А Жумагулова, К. Д. Шойынбеков,

6. В. Е. Корчевский, учебник «Алгебра и начала анализа 10», «Мектеп», Алматы, 2014

7. И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова, «Тренажер по математике для подготовки к Единому Национальному Тестированию (ЕНТ)», Алматы,2011

Просмотров работы: 181

Источник

Ошибки в задачах

МБОУ СОШ ж.д.ст.БАМ

учитель начальных классов

Шнякина Наталья Николаевна