Виды ошибок измерений свойства случайных ошибок измерений геодезия

Погрешности
бывают систематические, грубые,
случайные.

Грубые
-возникают в результате невнимательности
(просчеты, неверные записи). Для их
устранения измерения повторяют несколько
раз.

Систематические
— обусловлены неточностью измерительных
приборов. Для уменьшения влияния вводят
поправки.

Случайные
погрешности обусловлены несовершенством
приборов, изменением условий измерений,
личными ошибками, неточным наведением
и другими. Случайные погрешности
определяются по формуле

Χi=
li — Х,

где
li — результат измерения

Х
— истинное значение определяемой
величины.

Статистические
свойства случайных погрешностей:

1.
Свойство ограниченности (при данных
условиях измерений случайные погрешности
не могут превышать предела |Δi | <Δпред.
В качестве предельной погрешности с
вероятностью р = 0.9973 принимают утроенное
значение стандарта Δiпред.= 3m;

2.
Свойство плотности — малые по абсолютной
величине погрешности появляются чаще
больших.

3.
Свойство компенсации — среднее
арифметическое из случайных погрешностей
стремится к нулю при неограниченном
возрастании числа измерений limΣΔi= 0;

4.
Свойство симметрии — одинаковые по
абсолютной величине положительные и
отрицательные погрешности равновозможны.

6. Критерии оценки точности.

Все
измерения, как бы тщательно они не были
выполнены, сопровождаются погрешностями.
В этом легко убедиться, измерив одну и
ту же величину несколько раз и сравнив
полученные результаты. В общем случае
они будут отличаться друг от друга.

Все
погрешности измерений можно подразделить
на три группы:

1.
Грубые погрешности или промахи,
резко отклоняют результаты измерений
от истинного значения. Всегда они
возникают только по вине исполнителя.
Наиболее действенными методами
обнаружения грубых погрешностей является
производство избыточных измерений. Вот
почему в геодезии каждую величину
измеряют, как правило, не менее двух
раз.

2.
Систематические элементарные
погрешностипорождаются существенными
связями между факторами измерений и
возникают всякий раз при одних и тех же
условиях. Систематическиепогрешности
подчинены какой-то в той или иной степени
определенной закономерности.

Закономерности
эти поддаются изучению. И при определенных
условиях систематические погрешности
могут быть исключены из отдельного
результата измерений.

3.
Случайные элементарные погрешностипорождаются не существенными, а
второстепенными случайными связями
между факторами измерений, при данных
условиях измерений они могут быть, а
могут и не появиться, могут быть большими
или меньшими, положительными или
отрицательными.Величина
и знак этих погрешностей носит случайный
характер.

Суммарное
влияние элементарных систематических
погрешностей образует систематическую
погрешностьθ результата
измерения, а суммарное влияние элементарных
случайных погрешностей—
случайную погрешностьΔ
результата измерений.

Таким
образом, погрешность измерения ε можно
представить как сумму двух составляющих:
ε= θ +Δ.

7. Методы построения геодезических сетей.

Конечной
целью построения ГС является определение
координат геодезических пунктов.
Существуют следующие методы построения
ГС:

1)
Триангуляция
—
метод построения на местности ГС в виде
треугольников, у которых измерены все
углы и базисные выходные стороны
(рис.14.1). Длины остальных сторон вычисляют
по тригонометрическим формулам, затем
находят дирекционные углы сторон и
определяют координаты.

2)
Трилатерация
—
метод построения ГС в виде треугольников,
у которых измерены длины сторон
(расстояния между геодезическими
пунктами), а углы между сторонами
вычисляют. Например, на рис.14 имеем
cosA=(b2+c2-a2) / 2bc.

Рис.14.1.
Схема геодезической сети в виде
триангуляции
3)
Полигонометрия
—
метод построения ГС на местности в виде
ломаных линий, называемых ходами
(рис.14.2), вершины которых закреплены
геодезическими пунктами. Измеряются
длины сторон хода и горизонтальные углы
между ними.

Рис.14.2.Схема
полигонометрического хода Полигонометрические
ходы опираются на пункты триагуляции,
относительно которых вычисляются
плановые координаты пунктов хода, а их
высотные координаты определяются
нивелированием.

4)
Линейно-угловые построения, в которых
сочетаются линейные и угловые измерения.
Форма сети может быть различная, например
четырехугольник, у которого измеряют
все горизонтальные углы и две смежные
стороны, а две другие стороны вычисляют.

5)
Методы с использованием спутниковых
технологий, в которых координаты пунктов
определяются с помощью спутниковых
систем — российской Глонасс и американской
GPS.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Случайные
погрешности характеризуются следующими свойствами.

1. При
определенных условиях измерений случайные погреш­ности по абсолютной величине
не могут превышать известного предела, называемого предельной погрешностью. Это свойство по­зволяет
обнаруживать и Исключать из результатов измерений гру­бые погрешности.

2. Положительные
и отрицательные случайные

погрешности примерно одинаково часто встречаются в
ряду измерений, что помогает выявлению систематических погрешностей.

3.  Чем больше абсолютная величина погрешности,
тем реже она встречается в ряду измерений.

4.
Среднее арифметическое из случайных погрешностей изме­рений одной и той же
величины, выполненных при одинаковых условиях, при неограниченном возрастании
числа измерений стре­мится к нулю. Это свойство, называемое свойством компенсации, можно
математически записать так: lim ([Δ]/n) =где [Δ] – знак суммы, т.е. [Δ]= Δ₁+ Δ₂+
Δ₃+….. Δ_n –

число измерений.

Последнее
свойство случайных погрешностей позволяет уста­новить принцип получения из ряда
измерений одной и той же величины результата, наиболее близкого к ее истинному
значе­нию, т.е. наиболее точного. Таким результатом является среднее
арифметическое из и измеренных значений данной величины. 

      При конечном числе измерений
арифметическая средина х=[1]/п содержит остаточную случайную
погрешность, однако от точного значения X  измеряемой величины она отличается меньше,
чем любой результат l непосредственного измерения. Это
позволяет при любом числе измерений, если п > 1, принимать
арифметичес­кую средину за окончательное значение измеренной величины. Точность
окончательного результата тем выше, чем больше п.

1.

4. Элементы
теории
ошибок
геодезических
измерений

2.

1. Общие сведения об измерениях
2. Погрешности измерений и их классификация
3. Свойства случайных погрешностей
равноточных измерений и критерии их оценки
4. Основные правила выполнений вычислений

3. 1. Общие сведения об измерениях

Основным содержанием геодезических работ является
измерение физических величин (горизонтальных и
вертикальных углов, длин линий и др.).
Измерения любой величины следует рассматривать с двух
точек зрения:
количественной, выражающей числовое значение
измеренной величины;
качественной, характеризующей точность измерений.
Измерения выполняют с помощью технических средств
измерений, которые имеют нормированные метрологические
характеристики и (или) хранящие единицу физической
величины, размер которой принимают неизменным (в
пределах установленной погрешности) в течение некоторого
интервала времени.

4. Общие сведения об измерениях

Измерения производят по определенному алгоритму,
называемому методом выполнения измерений.
После выполнения измерения и получения числового
значения (результата измерения) производят оценку
погрешности измерения.
Измерения
Непосредственные
Косвенные

5. Общие сведения об измерениях

Факторы
геодезических
измерений
Объект
измерений
Исполнитель
Прибор
Метод
измерения
Внешняя
среда

6. Общие сведения об измерениях

Внешние условия
Рельеф и грунт местности
Растительный покров
Температура
Влажность и запыленность воздуха
Освещение
Ветер
Облачность

7. Общие сведения об измерениях

Конкретное содержание этих факторов в процессе измерения определяет
так называемые условия измерения.
С условиями измерения связаны понятия равноточных и неравноточных
измерений:
— измерения, выполняемые при неизменных условиях, позволяющих
считать результаты измерений одинаково надежными, называют
равноточными.
— если хотя бы один из факторов определяющих содержание условий
измерений будет изменяться, то такие измерения называют
неравноточными.
Как правило, результаты геодезических измерений непосредственно
не используются, а предварительно подвергаются математической
обработке, которая с помощью вычислительных методов и средств
приводит результаты измерений к виду удобному для практического
использования.

8. Общие сведения об измерениях

При вычислительной обработке результатов измерений
выделяют необходимые и избыточные (добавочные)
измерения:
Необходимыми называют такие измерения, которые
позволяют получить единственный результат прямого или
косвенного измерения данной величины.
Избыточные измерения позволяют получить два и более
значений определяемой величины. Если одна и та же
величина измерена n раз, то одно из этих измерений будет
необходимым, а остальные – избыточными.

9. Общие сведения об измерениях

Внешние условия измерений, методы и средства измерений
обуславливают разделение измерений на независимые и
зависимые:
Независимыми считают измерения, в которых отсутствуют
погрешности, одинаково искажающие результаты этих измерений.
Геодезические измерения, выполненные разными наблюдателями,
приборами и методами, в различных внешних условиях являются
независимыми;
Поскольку при производстве геодезических измерений
наблюдатель, прибор и метод измерений часто остаются
неизменными, то полученные результаты будут зависимыми.
Однако анализ влияния этих факторов показывает, что в пределах
необходимой для инженерных работ точности возникающими в
этом случае зависимостями можно пренебречь.

10. 2. Погрешности измерений и их классификация

Под погрешностью измерения величины
понимают отклонение результата измерения от
его истинного (действительного) значения:
∆=l-x,
где:
∆ — истинная погрешность измерения;
l – результат измерения;
х – истинное значение величины.

11. Погрешности измерений и их классификация

Под истинным значением физической величины
понимается такое значение физической величины,
которое идеальным образом характеризует ее в
количественном и качественном отношениях.
Действительное значение физической величины –
это значение величины, полученное в результате ее
измерения и настолько близкое к истинному
значению, что в поставленной задаче может быть
использовано вместо него.
Результат измерения представляет собой
приближенную оценку истинного значения величины.

12. Погрешности измерений и их классификация

Погрешности измерений можно классифицировать по двум
признакам:
по характеру происхождения;
по характеру их действия на результаты измерений и свойствам.
По источнику
происхождения
Средства
измерения
(приборные)
Личные
(субъективные)
Внешние
Метода
измерений

13. Погрешности измерений и их классификация

По характеру
действия
Грубые
Систематические
Случайные
Поскольку грубые и систематические погрешности могут
быть обнаружены, изучены и исключены из результатов
измерений, то на результаты измерений основное влияние
оказывают случайные погрешности.

14. 3. Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

На случайные погрешности распространяются законы теории
вероятностей и математической статистики. Они обладают
свойствами, отвечающими закону нормального распределения Гаусса,
а именно:
1. Случайные погрешности по абсолютной величине не могут
превосходить известного предела.
2. Малые по абсолютной величине случайные погрешности
появляются чаще, чем большие.
3. Случайные погрешности, равные по абсолютной величине, но
противоположные по знаку, одинаково вероятны.
4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей равноточных
измерений стремиться к нулю с увеличением числа измерений:
lim ([∆]/n) = 0
где: [∆] – сумма случайных погрешностей;
n – число измерений.

15. Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Для оценки точности измерений может быть использовано
несколько критериев.
В геодезии наибольшее применение получила средняя
квадратичная погрешность, которую вычисляют по формуле
Гаусса:
2
m= n
где: 2 12 22 … n2 — сумма квадратов истинных случайных
погрешностей отдельных измерений;
n – число измерений в ряду.
Этот критерий точности достаточно надежно работает при n
≥10/

16. Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Средняя квадратическая погрешность может быть
вычислена и через поправки V, которые представляют
собой разность между средним арифметическим X и
результатом отдельного измерения хi:
Vi = X-xi,
где: Х = [x]/n – среднее арифметическое данного ряда
равноточных измерений (арифметическая середина).
При этом среднюю квадратическую погрешность
вычисляют по формуле Бесселя:
V
2
m=
n 1

17. Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Кроме средней квадратической погрешности в практике используют
среднюю, вероятную и предельную погрешности.
Среднее арифметическое из абсолютных значений случайных
погрешностей называют средней погрешностью.
Вероятная погрешность находиться в середине ранжированного ряда
погрешностей, т.е. погрешностей, расположенных в порядке возрастания
или убывания их абсолютных величин.
Предельная погрешность – это такое абсолютное значение случайной
погрешности, превзойти которое не может ни одна из погрешностей
данного ряда измерений. При геодезических работах в качестве
предельной используют погрешность, равную 2m, m – средняя
квадратичная погрешность.
Если полученная на практике погрешность оказалась больше
предельной, то ее относят к числу грубых и исключают из дальнейшей
обработки.
Рассмотренные выше погрешности называют абсолютными.

18. Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

В тех случаях, когда погрешность измерения зависит от
измеряемой величины, удобнее пользоваться
относительной погрешностью, которая представляет
собой отношение абсолютной m погрешности измерения к
самой измеряемой величине M, выраженное в виде дроби:
m
1
1
M M /m N
Знаменатель дроби N показывает, какую часть от
измеренной величины составляет погрешность.

19. Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Часто возникает задача оценки точности величины,
которая непосредственно не измерялась, а была
получена через другие величины, функционально с
ней связанные. При этом погрешность функции
зависит от точности аргументов, через которые она
получена.
Эта задача называется прямой задачей теории
погрешностей.

20. Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Функциональные зависимости могут быть различными. В
общем случае функция имеет вид:
U = f(x1, x2, …..xn),
где: x1, x2, …..xn – аргументы, которые были измерены
соответственно со средними квадратичными погрешностями.
Тогда среднюю квадратическую погрешность функции общего
вида можно вычислить по формуле:
mU =
где:
f
— частные производные функции по каждому
xi
аргументу.
2
f 2
mx
i 1 xi
n

21. 4. Основные правила выполнения вычислений

Результаты измерений, содержащие неизбежные
погрешности, используют для вычисления тех или иных
величин. Погрешности попадают в вычисления, переходят
от одной вычислительной операции к другой, накапливают
и поражают новые погрешности.
Кроме того, источником погрешностей является операция
округления, т.е. процесс приближенного представления
чисел с помощью конечного количества цифр. При этом
важно не загромождать вычисления лишними цифрами, а
ограничивать их нужным числом знаков.

22. Основные правила выполнения вычислений

В вычислительной практике операцию округления приято проводить
по правилам Гаусса, а именно: чтобы округлить число до n значащих
цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа от n-й значащей
цифры, при этом:
если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся
десятичные знаки сохраняют без изменения (например, 53,4≈53);
если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней
значащей цифре прибавляют единицу (например, 53,7≈54);
если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных
отброшенных цифр имеются ненулевые, то последнюю оставшуюся
цифру увеличивают на единицу (например, 53,51 ≈ 54);
если первая из отброшенных цифр равна 5, а все остальные
отброшенные цифры являются нулевыми, то последняя оставшаяся
цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на
единицу, если она нечетная (например, 52,50≈52; 53,50≈54).

23. Продолжение следует…

Спасибо за внимание!

Теория ошибок измерений изучает свойства ошибок и законы их распределения, методы обработки измерений с учетом их ошибок, а также способы вычисления числовых характеристик точности измерений. При многократных измерениях одной и той же величины результаты измерений получаются неодинаковыми. Этот очевидный факт говорит о том, что измерения сопровождаются разными по величине и по знаку ошибками. Задача теории ошибок – нахождение наиболее надежного значения измеренной величины, оценка точности результатов измерений и их функций и установление допусков, ограничивающих использование результатов обработки измерений.

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.

Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник какой-либо систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной ошибкой, ухудшающей качество измерений.

Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений (строгостью теории), точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий. Закономерности случайных ошибок проявляются в массе, то-есть, при большом количестве измерений; такие закономерности называют статистическими. Освободить результат единичного измерения от случайных ошибок невозможно; невозможно также предсказать случайную ошибку единичного измерения. Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная истинная ошибка измерения Δ – это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением X:
(1.25)

Свойства случайных ошибок. Случайные ошибки подчиняются некоторым закономерностям:

1. при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, она считается грубой,
2. положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны,
3. среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений. Третье свойство случайных ошибок записывается так:
(1.26)
4. малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Кроме того, во всей массе случайных ошибок не должно быть явных закономерностей ни по знаку, ни по величине. Если закономерность обнаруживается, значит здесь сказывается влияние какой-то систематической ошибки.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения. Для оценки точности измерений можно применять разные критерии; в геодезии таким критерием является средняя квадратическая ошибка. Это понятие было введено Гауссом; он же разработал основные положения теории ошибок. Средняя квадратическая ошибка одного измерения обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:
(1.27)

где: ;
n – количество измерений одной величины.

Средняя квадратическая ошибка очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, так как каждая ошибка возводится в квадрат. В то же время она является устойчивым критерием для оценки точности даже при небольшом количество измерений; начиная с некоторого n дальнейшее увеличение числа измерений почти не изменяет значения m; доказано, что уже при n = 8 значение m получается достаточно надежным.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается Δпред; она обычно принимается равной 3*m при теоретических исследованиях и 2*m или 2.5*m при практических измерениях. Считается, что из тысячи измерений только три ошибки могут достигать или немного превосходить значение Δпред = 3*m.

Отношение mx/X называется средней квадратической относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, mx/X = 1/10 000.

Средняя квадратическая ошибка функции измеренных величин. Выведем формулу средней квадратической ошибки функции нескольких аргументов произвольного вида:

F = f( X, Y, Z … ),                        (1.28)

здесь: X, Y, Z … – истинные значения аргументов,
F – истинное значение функции.

В результате измерений получены измеренные значения аргументов lX, lY, lZ, при этом:
(1.29)

где ΔX, ΔY, ΔZ – случайные истинные ошибки измерения аргументов.

Функцию F можно выразить через измеренные значения аргуметов и их истинные ошибки:

Разложим функцию F в ряд Тейлора, ограничившись первой степенью малых приращений ΔX, ΔY, ΔZ:
(1.30)

Разность является случайной истинной ошибкой функции с противоположным знаком, поэтому:
(1.31)

Если выполнить n измерений аргументов X, Y, Z, то можно записать n уравнений вида (1.31). Возведем все эти уравнения в квадрат и сложим их; суммарное уравнение разделим на n и получим

В силу третьего свойства случайных ошибок члены, содержащие произведения случайных ошибок, будут незначительными по величине, и их можно не учитывать; таким образом,
(1.32)

Как частные случаи формулы (1.32) можно написать выражения для средней квадратической ошибки некоторых функций:

Если функция имеет вид произведения нескольких аргументов,

F = x * y * z,

то для нее можно записать выражение относительной ошибки функции:
(1.33)

которое в некоторых случаях оказывается более удобным, чем формула (1.32).

Принцип равных влияний. В геодезии часто приходится определять средние квадратические ошибки аргументов по заданной средней квадратической ошибке функции. Если аргумент всего один, то решение задачи не представляет трудности. Если число аргументов t больше одного, то возникает задача нахождения t неизвестных из одного уравнения, которую можно решить, применяя принцип равных влияний. Согласно этому принципу все слагаемые правой части формулы (1.32) или (1.33) считаются равными между собой.

Арифметическая середина. Пусть имеется n измерений одной величины X, то-есть,
(1.34)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:
(1.35)

Величина   (1.36)

называется средним арифметическим или простой арифметической серединой. Запишем (1.35) в виде

по третьему свойству ошибок (1.26) можно написать:

что означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины. При ограниченном количестве измерений арифметическая середина является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.

Запишем формулу (1.36) в виде

и подсчитаем среднюю квадратическую ошибку арифметической середины, которая обозначается буквой M. Согласно формуле (1.32) напишем:

или

Но ml1 = ml2 = … = mln= m по условию задачи, так как величина X измеряется при одних и тех же условиях. Тогда в квадратных скобках будет n * m2, одно n сократится и в итоге получим:

M2 = m2/n

или
(1.37)

то-есть, средняя квадратическая ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.

Вычисление средней квадратической ошибки по уклонениям от арифметической середины. Формулу Гаусса (1.27) применяют лишь в теоретических выкладках и при исследованиях приборов и методов измерений, когда известно истинное значение измеряемой величины. На практике оно, как правило, неизвестно, и оценку точности выполняют по уклонениям от арифметической середины.

Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

l1, l2 , …, ln .

Вычислим арифметическую середину X0 = [1]/n и образуем разности:
(1.38)

Сложим все разности и получим [l] – n * X0 = [V]. По определению арифметической середины n * X0 = [l], поэтому:

[V] = 0.                   (1.39)

Величины V называют вероятнейшими ошибками измерений; именно по их значениям и вычисляют на практике среднюю квадратическую ошибку одного измерения, используя для этого формулу Бесселя:
(1.40)

Приведем вывод этой формулы. Образуем разности случайных истинных ошибок измерений Δ и вероятнейших ошибок V:
(1.41)

Разность (X0 – X) равна истинной ошибке арифметической середины; обозначим ее Δ0 и перепишем уравнения (1.41):
(1.42)
Возведем все уравнения (1.42) в квадрат, сложим их и получим:
.

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю по свойству (1.39), следовательно,
.

Разделим это уравнение на n и учтя, что [Δ2]/n =m2, получим:
(1.43)

Заменим истинную ошибку арифметической середины Δ0 ее средней квадратической ошибкой ; такая замена практически не изменит правой части формулы (1.43). Итак,

,
откуда ;

после перенесения (n-1) в правую часть и извлечения квадратного корня получается формула Бесселя (1.40).

Для вычисления средней квадратической ошибки арифметической середины на основании (1.37) получается формула:
(1.44)

Веса измерений. Измерения бывают равноточные и неравноточные. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом, и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол можно измерить разным количеством приемов; результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что средние квадратические ошибки неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения – это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия; вес обозначается буквой p. Значение веса измерения получают по формуле:

p = C/m2                  (1.45)

где C – в общем случае произвольное положительное число.

При неравноточных измерениях одной величины наиболее надежное ее значение получают по формуле средневесовой арифметической середины:
(1.46)
или              X0 = [l*p] / [p] .

Ошибку измерения, вес которого равен 1, называют средней квадратической ошибкой единицы веса; она обозначается буквой m. Из формулы (1.45) получаем

откуда  (1.47)

то-есть, за число C принимают квадрат ошибки единицы веса.

Подсчитаем вес P средневесовой арифметической середины. По определению веса имеем:
(1.48)

Согласно (1.46) и (1.32) напишем:

Подставим сюда вместо mli2 их выражения через вес m2 = C/p , тогда:

Подставим это выражение в формулу (1.48) и получим,

P = [p],                 (1.49)

то-есть, вес средневесовой арифметической середины равен сумме весов отдельных измерений.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице, формула (1.49) принимает вид:

P = n.                  (1.50)

При обработке больших групп измерений (при уравнивании геодезических построений по МНК) вычисляются значение ошибки единицы веса, веса измерений и других элементов после уравнивания, а ошибка любого уравненного элемента подсчитывается по формуле:
(1.51)

где pi – вес i-того элемента.