Верхняя граница относительной ошибки

Протокол исследований с учетом знаний о метрологии

Термины и определения в метрологии

Как и любая другая наука, метрология имеет свой собственный язык – это термины и определения. Эти понятия используются дальше при знакомстве с нормативными документами и оценках результатов измерений или их сравнений. И нам необходимы эти знания, чтобы научиться правильно работать с нормативными документами, извлекая из них требуемую информацию.

В нормативном документе – рекомендациям по межгосударственной стандартизации «РМГ 29-2013 ГСИ Метрология. Основные термины и определения» дано пояснение и толкование 231 метрологическому понятию. Конечно, для наших целей такой список слишком велик. Наша цель – выделить тот их необходимый минимум, который позволит нам на практике правильно воспринимать и оценивать результаты измерений.

Рассмотрим пока всего только 9 самых важных понятий:

Метрология — Наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.
Комментарий: мы должны привлечь аппарат этой науки для целей объективной оценки качества измерений в измерительных лабораториях.

Результат измерения (РИ) – Множество значений величины, приписываемых измеряемой величине вместе с любой другой доступной и существенной информацией.
Комментарий: значения измеряемых показателей, которые мы видим, например, в протоколах испытаний/

Метрологические характеристики:

Погрешность РИ – Разность между измеренным значением величины и опорным значением величины.
Комментарий:на примере пакета с мукой: мы видим опорное значение (2 кг), а погрешность (разность с опорным значением) может достигать или 40 г, или 2% в зависимости от формы представления погрешности (см. ниже).

Абсолютная погрешность РИ – Погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.
Комментарий: на примере пакета с мукой: абсолютная погрешность может составлять 40 г.

Относительная погрешность РИ – Погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к опорному значению измеряемой величины.
Комментарий: на примере пакета с мукой: относительная погрешность прямо указана на его этикетке – 2%.

Границы абсолютной (относительной) погрешности: — Верхняя и нижняя границы интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится значение погрешности измерений.
Комментарий: на примере пакета с мукой: видим на этикетке пакета границу относительной погрешности +/-2% или на этикетке может быть также указано +/-40 г в виде границы абсолютной погрешности.

Диапазон измерений – Множество значений величин одного рода, которые могут быть измерены данным средством измерений или измерительной системой с указанными инструментальной неопределенностью или указанными показателями точности при определенных условиях.
Комментарий: на примере пакета с мукой: например, весы для взвешивания пакетов с мукой могут обеспечивать указанную погрешность только в пределах от 100 г и до 10 кг (исходя из технических характеристик технических весов). Это и есть их рабочий диапазон измерений.

Повторяемость измерений (сходимость) – Прецизионность (точность) измерений в условиях повторяемости измерений (Один из наборов условий измерений, включающий применение одной и той же методики измерений, того же средства измерений, участие тех же операторов, те же рабочие условия, то же местоположение и выполнение повторных измерений на одном и том же или подобных объектах в течение короткого промежутка времени).
Комментарий: на примере лабораторных испытаний:допускаемый разброс результатов определений, по одной и той же пробе у одного и того же оператора, работающего на одной и той же измерительной установке в режиме непрерывных определений параметров пробы в одной и той же лаборатории.

Воспроизводимость измерений (прецизионность): — Прецизионность (точность) измерений в условиях воспроизводимости измерений (Один из наборов условий измерений, включающий разные местоположения, разные средства измерений, участие разных операторов и выполнение повторных измерений на одном и том же или аналогичных объектах).
Комментарий: на примере протокола лабораторных испытаний из 2-х или более лабораторий: допускаемый разброс результатов измерений, выполненных по одной и той же пробе в разных лабораториях у разных операторов, работающих на разных измерительных установках по одной и той же методике измерений.

Более наглядно указанные метрологические характеристики можно увидеть на нижеприведенных иллюстрациях, но перед этим снова обратимся к уже знакомому нам Протоколу испытаний:

Рассмотрим в качестве примера более подробно метрологические характеристики метода определения содержания сухого вещества (далее по тексту – СВ) в общем смешанном рационе (далее по тексту – ОСР). В протоколе имеется ссылка на соответствующий нормативный документ — ГОСТ 31640-2012 Корма. Методы определения содержания сухого вещества (можно найти в Интернете в свободном доступе).

В разделе 3, Таблица 1 документа помещены метрологические характеристики этого метода:

Используя формулы, приведенные в Таблице 1, и данные из Протокола по содержанию СВ в ОСР (y = 45,5%), можно выполнить расчет и оценить метрологические характеристики метода в его рабочем диапазоне измерений от 5% до 95% массовой доли СВ:

Итак, мы теперь можем разобрать 4 наиболее важные характеристики любого метода измерений: диапазон измерений, повторяемость, воспроизводимость и погрешность. В метрологии их принято представлять пределами или границами (см. пояснения по тексту ниже).

Диапазон измерений

Характеристика средства измерений (прибора) или методики выполнения измерений, описывающая допускаемый интервал значений для результатов измерений, простирающийся от минимального до максимального возможного значения измеряемой величины.

Так рабочий диапазон измерения этой линейки от 0 см и до 20 см. То же справедливо и для методик физико-химического анализа – каждая из них имеет свой диапазон измерений.

Что это означает на практике?

Например, в случае методики выполнения измерений содержания СВ в кормах по ГОСТ 31640-2012 диапазон измерения составляет от 5% и до 95%.

Зачем нужно его знать?

Это нужно для понимания: к каким именно образцам применим этот метод измерения. Для образцов содержанием СВ выше 95% или ниже 5% указанный метод применять нельзя, в этом случае надо искать другой метод, который обеспечивает измерения в более широком диапазоне содержания СВ.

Ответственность за выбор подходящего метода лежит на лаборатории, хотя заказчик, исходя из своих задач и требований, может также самостоятельно делать выбор конкретного метода измерения.

Сходимость (повторяемость) результатов измерений

Качество измерений, отражающее близость друг к другу результатов измерений (x1 и x2), выполненных в одинаковых условиях. Оценивается через предел сходимости (d) или предел повторяемости (r):

│x1 — x2│ ≤r или d

Предел сходимости (повторяемости) характеризует разброс единичных измерений, например, у одного оператора при выполнении измерений в серии при стабильных условиях.

При этом 95% единичных измерений укладывается в предел повторяемости.

Для наглядности снова обратимся ГОСТ 31640-2012. В Таблице 1 приводится формула для расчета предела повторяемости (r_abs, %, P = 0,95).

Как расшифровать эту запись? Она означает, что предел повторяемости по этой формуле будет выражен в абсолютных процентах от измеренного значения содержания СВ, а доверительная вероятность (P) при этом составляет 0,95. В пояснениях к Таблице 1 в ГОСТ 31640-2012 по этому поводу сказано следующее: «Расхождение результатов двух параллельных определений, полученными в условиях повторяемости, может превышать предел повторяемости r не более одного раза из двадцати». Последнее означает, что 95% указанных расхождений укладывается в данный предел.

Теперь снова обратимся к Протоколу. Результат измерения содержания СВ в нем представлен значением 45,5%. Выполним расчет по формуле для предела повторяемости (r_abs), задавая значение содержание СВ из Протокола вместо (y) в формуле и по требованию ГОСТ 31640-2012, проведя округление результата вычислений до первого десятичного знака. Полученное значение предела повторяемости составит 1,5% абсолютных.

Что это означает на практике?

Например, если оператор в лаборатории выполнил 2 параллельных определения СВ для одного и того же образца ОСР, а результаты этих определений были: 44,8 и 46,2%, и разница результатов определений составляет т.о. 1,4%, то оператор может выполнить вычисление среднего значения определений, которое будет 45,5% и будет представлено в итоговом Протоколе в качестве результата измерения, т.к. норматив оперативного контроля результатов измерений у оператора (r_abs = 1,5%) не был превышен.

Однако, если бы результаты определений были бы другими: 44,3% и 46,7%, а разница в этом случае составила бы 2,4%, имело бы место значительное превышение предела повторяемости, равного 1,5%, хотя среднее значение было бы тем же – 45,5%!

В этом случае оператор НЕ ИМЕЕТ ПРАВА вычислять среднее и представлять его как результат измерений. Оператор должен снова повторить 2 определения, вычислить разницу и проверить: не превышен ли норматив оперативного контроля 1,5 %. Если не превышен, вычислить результат измерения как среднее из 2-х определений – 45,5%, или, в противном случае, все измерения прекращаются до выяснения причин превышения предела: неисправное оборудование, испорченные реактивы, не соблюдение стабильных условий при выполнении определений и т.д.

Воспроизводимость результатов измерений

• измерений, отражающее близость друг к другу результатов измерений (x1 и x2), выполненных в различных условиях (в различное время, в различных местах, разными методами и средствами). При выполнении измерений в различных лабораториях оценивается предел межлабораторной воспроизводимости (D) или межлабораторной прецизионности (R).

Предел воспроизводимости (межлабораторной прецизионности) характеризует разброс результатов измерений, например, у разных операторов при выполнении измерений в различных условиях или разброс результатов измерений одного и того же объекта в различных лабораториях.

При этом 95% результатов измерений укладывается в предел воспроизводимости (прецизионности).

Понятно, что R или D для одного и того же объекта измерения и метода всегда больше r или d.

Совершенно аналогично на основании формулы из Таблицы 1 и измеренного содержания СВ, указанного в Протоколе (у = 45,5%) можно оценить предел воспроизводимости (R), который в данном случае составит 2,9% (после округления).

Что это означает на практике?

Если один и тот же материал образца был отправлен на анализ в ДВЕ различные лаборатории, выполняющие измерения ОДНИМ и ТЕМ ЖЕ методом, но на разных комплектах оборудования, разными операторами и т.д., то мы получим два Протокола.

Рассмотрим теперь эти два Протокола из 2-х лабораторий. Пусть в первом был представлен результат измерения содержания СВ на уровне 45,5%, а во втором – 47,9%, соответственно.

Разность РИ составляет 2,4% и НЕ ПРЕВЫШАЕТ предел воспроизводимости (R = 2,9%), который рассчитан для среднего из 2-х РИ 46,7%. В таком случае наиболее достоверным будет среднее из 2-х РИ, т.е. 46,7%. Именно его надо использовать в дальнейшем как окончательный РИ.

Однако в случае, если в первом Протоколе было представлен результат измерения содержания СВ в ОСР, например, 42,3%, а во втором Протоколе – 45,5%. Разность РИ будет достигать 3,2%.

Как в таком случае оценить такие результаты: приемлемы ли они?

Если разность между РИ в условиях воспроизводимости составляет 3,2%, это ПРЕВЫШАЕТ предел воспроизводимости (R = 2,9%) — значит такие результаты не могут рассматриваться как удовлетворяющие условию воспроизводимости РИ и достоверные.

Как определить какой результат ближе к истинному?

Это требует привлечения метрологических знаний, выходящих за рамки предмета данной статьи. Но сделать это возможно с помощью специальных процедур контроля точности лабораторных измерений, описываемых, в частности в международном стандарте ГОСТ ИСО/МЭК 17025-2009 ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К КОМПЕТЕНТНОСТИ ИСПЫТАТЕЛЬНЫХ И КАЛИБРОВОЧНЫХ ЛАБОРАТОРИЙ ISO/IEC 17025:2005.

Погрешность результата измерений

Погрешность выглядит как отклонение (в любую возможную сторону) результата измерений от опорного значения:

Но, поскольку отклонения результата измерений от опорного значения может быть как в минимальную (-), так и в максимальную (+) сторону, то в качестве метрологической характеристики в нормативных документах обычно приводят границы абсолютной или относительной погрешности при доверительной вероятности 95% (Р = 0,95) и тогда такую границу представляют в виде + , например, для абсолютной погрешности.

Для наглядности обратимся к Протоколу. В нем для РИ содержания СВ в ОСР (45,5%) указана погрешность +/-2% (а точнее — ее границы при доверительной вероятности 95%).

Как она была вычислена?

В формулу для оценки границ абсолютной погрешности РИ (см. Таблицу 1, раздел 3, ГОСТ 31640-2012) подставили значение РИ (у = 45,5%), и после округления получили границу погрешности: = +/-2%.

Что это означает на практике?

Среднее значение массовой доли СВ, согласно Протоколу, составляет 45,5%. Реальное (действительное) значение массовой доли сухого вещества в представленном образце корма № 55441/19 находится в границах от 43,5 до 47,5 % при доверительной вероятности (P = 0,95). Это означает, что на 100 повторных результатов измерений одного и того же образца 5 результатов из этой серии даже могут выйти за пределы указанных границ.

Как читать протокол лабораторных исследований с учетом знаний о метрологии

И только теперь, вооружившись необходимыми знаниями, мы может приступить снова к более полному рассмотрению и анализу данных Протокола.

Это, конечно, возможно только в том случае, если такой Протокол отвечает требованиям международного и национального стандарта ГОСТ ИСО/МЭК 17025-2009 ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К КОМПЕТЕНТНОСТИ ИСПЫТАТЕЛЬНЫХ И КАЛИБРОВОЧНЫХ ЛАБОРАТОРИЙ ISO/IEC 17025:2005.

Наш Протокол отвечает этим требованиям.

Выводы из протокола:

1. Если обратиться к тексту нормативного документа ГОСТ 31640-2012 Корма. Методы определения содержания сухого вещества (можно найти в Интернете в свободном доступе), то можно в разделе 3 «Метрологические характеристики» найти формулы расчета границ абсолютной погрешности и убедиться, что погрешность измерения содержания сухого вещества в ОСР составляет 2%!

Таким образом, измеренное значение содержания может реально находится в границах от 43,5 и до 47,5%, а указанное в протоколе значение 45,5% НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ТОЧНЫМ, но наиболее вероятным в серии повторных измерений.

Можно также вычислить предел межлабораторной прецизионности (R, %), и он составляет 2,9%. Это показывает насколько МОГУТ ОТЛИЧАТЬСЯ два результата для одного и того же образца, измеренного одним и тем же методом в 2-х разных лабораториях! И оба результата в этом случае надо оценивать как удовлетворяющие требованиям ГОСТ по точности.

1. Если аналогично рассмотреть второй нормативный документ из протокола ГОСТ 32044.1-2012 (ISO 5983-1:2005) КОРМА, КОМБИКОРМА, КОМБИКОРМОВОЕ СЫРЬЕ Определение массовой доли азота и вычисление массовой доли сырого протеина. Часть 1. Метод Къельдаля, то границы погрешностей для определения содержания сырого протеина составят (= +/- 1,2%, а предел межлабораторной прецизионности (R, %), составляет 1,8%.

Таким образом, для массовой доли сырого протеина в этом же образце среднее значение составляет 15,3%, а реальное значение этого показателя находится в пределах границ от 14,1 до 16,5% при доверительной вероятности (P = 0,95).

1. Все вышеуказанные результаты свидетельствуют, что даже самые лучшие мировые лаборатории, выполняющие измерения, не могут обеспечить абсолютную точность результатов своих измерений. И поэтому так важно учитывать погрешность при представлении результатов измерений для объективных оценок их качества. Сделать это возможно, если научиться правильно пользоваться нормативными документами на методы физико-химического анализа и не переоценивать их точности, а объективно воспринимать результаты измерений.

Общее заключение

Из всего вышеизложенного можно заключить:

• В науке и технике не существует абсолютно точных результатов измерений, всегда имеют место погрешности, которые надо правильно оценивать и адекватно воспринимать. Надо помнить: результат измерений носит вероятностный характер, а потому должен укладываться в допускаемые пределы отклонений от среднего.
• Граничные пределы отклонений для различных метрологических характеристик могут быть рассчитаны на основании нормативных документов на методы измерений (в частности, стандарты) или оценены на основании специального метрологического эксперимента – сравнения результатов измерений одних и тех же образцов в различных лабораториях. Допустимыми считаются отклонения, не превышающие граничные по абсолютной величине.
• Надо помнить, что наиболее вероятной оценкой результата измерения будет среднее значение из протоколов двух лабораторий, полученное в условиях воспроизводимости измерений.

Мы благодарим всех наших читателей, кто взял на себя труд дочитать до конца эту статью. В этой публикации мы постарались лишь в общих чертах затронуть подходы к восприятию и оценке результатов лабораторных физико-химических измерений. Если тема метрологии вызовет у нашей аудитории повышенный интерес, мы будем готовы продолжить цикл статей, посвященных проблемам метрологии и правилам организации работ по анализу образцов для обеспечения достоверности результатов их измерений.

С уважением, Владимир Шептун

---

Автор статьи: Владимир Шептун, к.х.н., методическая поддержка приложений и обслуживание клиентов компании Dinamica Generale S.p.A.в странах СНГ

Источники
погрешности:

1. Человек
   измеряет входные данные приближенно.

2. В
   результате запоминания вещественных
   чисел в памяти ЭВМ.

3. Накопление
   ошибки в ходе арифметической операции.

4. Плохообусловленная
   исходная задача.

Классификация
погрешностей:

Вычисляя
какую-нибудь величину на ЭВМ, мы, как
правило, получаем лишь ее приближенное
значение, и надо уметь оценивать степень
его уклонения от точного значения.
Обозначим через x — точное, а через x^~
— приближенное значения величины. Тогда
ошибка будет равна  x-x^~
, а неотрицательную величину |x-x^~|
принято называть абсолютной погрешностью
приближения x^~:

.                                            
(1)

Однако
абсолютной погрешности недостаточно,
чтобы оценить близость приближения к
точному значению. (10000 и 10001!). Относительная
погрешность:

.                                            
(2)

Когда
точное значение рассчитываемой величины
близко к нулю, то вместо формулы (2),
которой воспользоваться в этом случае
трудно, удобнее использовать формулу:

.                                            
(3)

Данная
величина объединяет в себе черты
абсолютной и относительной погрешностей.
Она близка к первой при |x|<<1 и мало
отличается от второй при |x|>>1.

Абсолютная
ошибка:
;

абсолютная
точность:
;

-точная
верхняя граница абсолютной ошибки.

Относительная
ошибка:
;
относительная точность:;

-точная
верхняя граница относительной ошибки.

1.2. Представление числа в эвм. Зависимость машинной точности от формата представления числа с плавающей точкой.

Среди
множества используемых форматов, для
хранения произвольных вещественных
чисел используется формат с плавающей
запятой. В этом формате число x задается
в виде

x
= m D^k,                                                   
(4)

где
m — мантисса x, k — целое число, именуемое
порядком числа, D — основание системы
счисления. При конкретном значении D
это представление будет единственным,
если потребовать, чтобы мантисса была
нормализована:

.                                              
(5)

В
этом случае и мантиссу и порядок можно
хранить в формате чисел с фиксированной
запятой. При этом значащие цифры в
мантиссе начинаются сразу после запятой
—
.
Наименьшая мантисса, таким образом,
равна 0.1. Так как нуль в этом случае
является ненормализованным числом, то
должен предусматриваться особый способ
хранения нуля.

Вследствие
данного способа записи и хранения чисел
возникают определенные ограничения по
представлению чисел. Так, например, в
двоичной системе чисел, характерной
для ЭВМ, нельзя точно представить число
0.1 . Порядок данного числа равен -3, а
мантисса самого близкого к 0.1 числа
будет зависеть от количества разрядов,
отведенных под нее, и будет равна:

а)
для 4-х разрядной мантиссы
;

б)
для 6-ти разрядной мантиссы
;

в)
для 8-ми разрядной мантиссы
.

В
общем случае, если под число отводится
n разрядов в системе счисления с основанием
D , то всего можно запомнить Dⁿ
различных чисел. Эти Dⁿ
чисел формируют так называемое
представимое множество машины. Все
иные, не попавшие в это множество числа,
не могут быть представлены в ней точно,
и запись любого из них в память машины
будет сопровождаться некоторой ошибкой.
Такие ошибки будем называть ошибками
представления или ошибками округления,
так как в случае записи не представимого
в ЭВМ числа, происходит его округление
или замена ближайшим представимым
числом. Результат такого округления
при запоминании числа x будем обозначать
через fl(x).

Максимальное
и минимальное по модулю числа определяются
максимальным и минимальным порядком
числа. Так, если k_min
и k_max
— это минимальное и максимальное значения
порядка, то минимальное и максимальное
представимые в памяти ЭВМ числа будут
и.

Если
округление происходит до ближайшего
представимого числа, то точность
представления любого числа определяется
количеством разрядов мантиссы и порядком
данного числа и не превышает
(k-
порядок числа, n — количество разрядов
в мантиссе). Пусть x-ненулевое число, а
x^~=
fl(x) -его округленное значение. Обозначим
через m и m^~
-мантиссы x и x^~
соответственно. Тогда, получим

,                                            
(6)

а
так как относительная ошибка в данном
случае

.                                      
(7)

Из
(5) и (6) следует, что

.   
                                   (8)

Число
D^1-n
необходимо для анализа погрешностей
вычислений с плавающей запятой. Его
принято называть относительной точностью
ЭВМ или машинной точностью. Далее будем
обозначать ее через e_м.
Так, например, для формата SINGLE в языке
Паскаль под мантиссу отводится 3 байта.
Один бит отводится под знак, т.е. 23 бита
остается под абсолютное значение. Таким
образом, машинная точность в данном
случае составит =
Для двойной точности.
В случае неизвестного формата,
используемого в конкретной среде
программирования, для определения
машинной точности можно воспользоваться
следующим алгоритмом.

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

• #
• #
• #
• #
• #

  01.05.20144.04 Кб42Лабораторная 1 (matlab).m

• #
• #
• #
• #

ИЗМЕРЕНИЯ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ.

1.1 ЧТО ЗНАЧИТ – ИЗМЕРИТЬ ВЕЛИЧИНУ?

От других наук физика отличается тем, что при изучении свойств материи и её изменений вводятся физические величины, которые можно измерять и выражать числами. Для обозначения при письме каждой физической величины используется символ – буква алфавита. Благодаря этому ход явлений и связи явлений выражаются математическими соотношениями (формулами) между введенными величинами. Самые важные соотношения между величинами называются законами природы.

ИЗМЕРИТЬ ФИЗИЧЕСКУЮ ВЕЛИЧИНУ – это значит с использованием технических средств (средств измерения) найти опытным путем значение физической величины, а также степень её приближения к истинному значению, которое в принципе неизвестно.

Для измерения физической величины необходимо ввести единицу величины и определить способ, при помощи которого можно сравнивать численные значения данной физической величины у разных тел или в различных процессах.

1.2. ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

Общепринятой в настоящее время является Международная система единиц (СИ). Она строится на семи основных единицах:

— единица длины – метр.

— единица массы – килограмм.

— единица времени – секунда.

— единица силы электрического тока – Ампер.

— единица температуры – Кельвин.

— единица силы света – кандела.

— единица количества вещества – моль.

Для обеспечения единства физических измерений созданы международные эталоны каждой из основных единиц СИ.

ЗНАЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ – это произведение отвлеченного числа на принятую для данной физической величины единицу измерения.

ПРИМЕР. Масса тела 5 кг.

Физический смысл данного выражения можно раскрыть двояко.

а) Это означает следующее:

— «5 кг» – это значение массы тела.

— «5» – отвлеченное число, показывающее, во сколько раз масса данного тела больше массы эталона, у которого масса тела 1 кг

б) Иначе:

— «5» — числовое значение физической величины.

— «кг» — единица массы.

2. ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

2.1. ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

Истинное значение измеряемой величины определить невозможно прежде всего потому, что ограничено воспроизведение эталона единицы физической величины, т.е. сам эталон не абсолютен. Например, точность изготовления эталона массы составляет 2 · 10 – 9 кг. Скорость света, являющаяся основой для создания эталонов метра и секунды, также измерена с некоторой погрешностью. По последним данным, истинное значение скорости находится с точностью: С = (299 792 458 ± 1, 2) м /с.

Истинное значение измеряемой величины неизвестно и не может быть найдено в конкретном сколь угодно точном эксперименте.

Нельзя определить и абсолютную погрешность измерения в виде алгебраической разности:

∆ абсолют. Х = Х изм. – Х где Х – истинное значение,

Х изм. – результат измерения.

Физическая величина измеряется в единицах физической величины, записывается с наименованием.

2.2. ГРАНИЦА АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ.

В каждом измерении, в принципе, возможно определить так называемую границу абсолютной погрешности. Если при выполнении опыта его результат получен Х изм., то можно представить его графически в виде интервала (рис.1).

Рис. 1

Соответствующая запись такова:

Х изм — ∆ Х < Х изм < Х изм — ∆ Х

Х = Х изм ± ∆ Х

Граница абсолютной погрешности – это половина 

длины интервала 2 ∆Х, достоверно содержащего

истинное значение измеряемой величины.

Граница абсолютной погрешности всегда положительное число.

Граница абсолютной погрешности не в полной мере характеризует измерение.

ПРИМЕР. Измерили размеры крышки стола, получили:

— длина крышки (100 ± 1) см

— толщина крышки (2 ± 1) см

Граница абсолютной погрешности измерения в этих двух случаях одинакова (1 см), но интуитивно угадываем, что в первом случае качество измерения выше.

Качество измерения характеризуется понятием границы относительной погрешности.

Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. Выражается числом без наименования или в процентах:

                                                ∆ Х                      ∆Х

ξ = ——- или ξ = ——- · 100 %

                                              Х изм               Х изм

2.3. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ.

Способ определения значения измеряемой физической величины и граница абсолютной погрешности зависят от вида измерений. Измерения могут быть прямыми, косвенными и совместными.

Измерения, в которых результат находится непосредственно в процессе считывания со шкалы прибора, называются прямыми.

Измерения, в которых результат определяется на основе расчетов, называют косвенными.

Измерения двух или нескольких неодноимённых величин, производимые одновременно с целью нахождения функциональной зависимости между ними, называют совместными.

2.4. МЕРЫ.

Кроме измерительных приборов, используют так называемые меры.

Мера – это тело или устройство, служащее для воспроизведения одного или нескольких известных значений данной величины.

Меры бывают однозначные и многозначные.

К однозначным мерам относятся гири и наборы гирь, наборы грузов по механике, наборы сопротивлений наборы конденсаторов.

К многозначным мерам относятся линейки, измерительные цилиндры, мензурки, амперметры, вольтметры.

Номинальное значение меры – значение данной физической величины, обозначенное на мере или её футляре (от латинского «nominalis» – именной). Например, на каждой гире обозначено её номинальное значение в килограммах, граммах или миллиграммах.

3. ТРЕБОВАНИЯ К ЗАПИСЯМ ПРИ ОБРАБОТКЕ ИЗМЕРЕНИЙ.

Процесс измерения сопровождается вычислениями. Правильная организация вычислений связана с учетом абсолютных и относительных погрешностей. Принципиальная особенность вычислений состоит в том, что приходится работать с приближенными числами.

3.1. ВЕРНАЯ ЦИФРА.

В физике пользуются понятием «верная цифра» в узком смысле: цифра п-го разряда называется верной, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы этого разряда.

ПРИМЕР. Если по таблице плотностей для газа азота плотность равна 1,25 кг/м 3, то цифра 5 в разряде сотых верная. Следовательно, граница погрешности числа 1,25 равна 0,005 кг/м 3. Также построена подпрограмма по округлению чисел микрокалькулятора.

3.2. ЗНАЧАЩАЯ ЦИФРА.

Значащими цифрами называются все верные цифры в записи числа, кроме нулей, стоящих перед первой, отличной от нуля, цифрой.

ПРИМЕР. В числе 0, 00060 = 6,0 · 10 – 4     две значащие цифры.

Число значащих цифр и десятичных знаков связано с относительными и абсолютными погрешностями. Число десятичных знаков определяет абсолютную погрешность приближенного числа. Количество значащих цифр определяет относительную погрешность числа.

ПРИМЕР. Число Х = 25,6 записано верными цифрами. Это значит, что

Х = 25,60 ± 0,05.

                                                                         0,05

Следовательно, относительная погрешность ξ х = ———-

                                                                         25,60

Относительная погрешность не зависит от положения запятой.

3.3. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Результат измерений и расчетов не должен записываться с бόльшим числом десятичных знаков, чем их имеется в абсолютной погрешности.

ПРИМЕР. При вычислении скорости тела, брошенного под углом к горизонту, получили с помощью микрокалькулятора результат 0,560325035 м/с. Это означает, что скорость измерена с погрешностью 0,0000000005 м/с = 5 · 10 – 10 м/с и это абсурдно, т.к. реальная погрешность значительно выше. Чтобы не делать таких ошибок, при округлении числа цифры в разрядах за верными цифрами отбрасываются, т.к. они не являются верными.

В приведенном примере результат нужно записать (0,56 ± 0,**) м/с.

3.4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ГРАНИЦЫ АБСОЛЮТНОЙ ПОГРЕШНОСТИ.

Чаще всего погрешность записывается с одной значащей цифрой. Первая слева цифра погрешности определяет сомнительную цифру результата. Вторая цифра погрешности обычно не вносит существенных изменений в результат.

При записи приближенного значения достаточно одной значащей цифры в погрешности, т.к. число записывается не более чем с одной сомнительной цифрой.

ПРИМЕР № 1. Было получено число (27,47 ± 0,18) м. Округляем погрешность до одной значащей цифры (∆ = 0,2 м), округляем приближенное значение до десятых и записываем результат следующим образом: (27,5 ± 0,2) м.

ПРИМЕР № 2. Вместо записи (5391 ± 28) м при округлении погрешности до одной значащей цифры с избытком получим (5391 ± 30) м. Это означает, что цифра десятков в числе 5391 сомнительна, а цифра единиц неверна. Правильная запись результата такова (5390 ± 30) м.

ПРИМЕР № 3. При записи (5398 ± 30) м верной будет запись (5400 ± 30) м.

ПРИМЕР №4. Можно отступить от основного правила округления погрешности с избытком до одной значащей цифры, если вторая цифра 5, её можно оставить и записать результат (73,48 ± 0.25) м.

Особое внимание следует обращать на использование нуля в качестве значащей цифры.

ПРИМЕР № 1. Запись (2,4 ± 0,08) м нарушает правило об одинаковом числе знаков в числе и его погрешности. Правильная запись такова (2,40 ± 0,08) м.

ПРИМЕР № 2. При измерении длины отрезка получен результат (72 ± 0,5) см. Если результат записать так 720 мм, то в числе 720 нуль значащий, а абсолютная погрешность равна 0,5 мм, тогда как в действительности погрешность измерения длины отрезка равна 0,5 см, т.е. в 10 раз больше. Таким образом, нуль в числе 720 не является значащим. Именно поэтому необходимо пользоваться стандартной формой записи числа с наименованием в системе СИ: 7,2 · 10 – 1 м.

При сложении приближенных значений границы абсолютных погрешностей складываются арифметически.

ПРИМЕР. По формуле Ф = а + в + с + … запишем: ∆Ф = ∆а + ∆в + ∆с + …

При арифметическом сложении погрешностей можно пренебречь малыми слагаемыми, которые не превышают (1/3 ÷ 1/4) от максимальных. Это правило называют правилом ничтожных погрешностей и его учет значительно упрощает вычислительную работу при оценке погрешностей.

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.

ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА

х – точное число

а – приближенное число

Разность   х – а    между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:

| х – а | = ∆

Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина

Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:

| х – а | ≤ ∆а

Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают

х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3

В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.

Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:

25,63 ± 0,2

Граница погрешности 0,2 , поэтому рассмотрим

цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2 < 1 (граница погрешности не превышает единицу разряда), значит цифра 5 – верная, тогда цифра десятков – 2  данного числа тоже верная.

Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1  (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной

2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа

Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:

табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.

Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;

приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;

приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.

Если целое число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то их заменяют множителем 10^р, где р – число таких нулей.

В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:

• Оставлять в записи приближенного числа только верные цифры;
• Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписать;
• Если число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то они должны быть заменены на 10^р , где р – число нулей, которые надо заменить

Например,

Записать правильно следующие приближенные числа:  

1. а = 0,075 ± 0,000005 – здесь погрешность меньше, чем 0,00001 (0,000005<0,00001), значит а = 0,07500 (последние верные цифры нули и их надо выписать, см. правило)
2. а = 746000000 ± 5000 здесь погрешность меньше, чем 10000 (5000<10000), значит последние четыре нуля не являются верными цифрами и их надо заменить на  10^р  а = 74600·10⁴
3. а = 0,35  ∆а = 0,00005 – здесь погрешность меньше, чем 0,0001 значит

а = 0,3500 (последние верные цифры нули)

1. а = 765000  ∆а = 5 – здесь погрешность  5<10  значит а = 76500·10, т.к. последний нуль не является верной цифрой
2. а = 0,3700  ∆а = 0,05 – здесь погрешность 0,05<0,1 и цифра 7 не является верной, она отбрасывается, значит а = 0,4

В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,

Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:

1. а = 14,5 ·10, значит ∆а = 10
2. а = 34,20 т.к. последний нуль является верной цифрой, то ∆а = 0,01
3. а = 263·10⁴ , значит ∆а = 10000

Число в стандартном виде записывают так:

а = а_0, а₁ а₂ … а_k  ·10^m , где 1 ≤ а₀ ≤ 10,

а_0, а₁ а₂ … а_k  –  все верные цифры числа,

показатель m – называется порядком числа.

Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:

7,03 – три значащие цифры

4400 – четыре значащие цифры

0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной   от нуля цифры, не считаются значащими  0,000270).

Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,

например:

Округлить число с заданной точностью:

• с точностью до 10^-3   (10^-3  = 0,001)

1,5783

Значащие цифры – 1, 5, 7  и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)

1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3<5, значит предыдущую оставляем без изменений)

23,4997

Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная

7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим

23,4997 ≈ 23,500

• с точностью до 10^-2  (10^-2  = 0,01)

4,761 ≈ 4,76

31,009 ≈ 31,01

• с точностью до 10³  (10³ = 1000)

159734 ≈ 160000 = 160·10³

28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

ПРИМЕР:

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями  0,5 см  и линейка с
делениями  1 мм. В обоих случаях получен результат  3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины  3,5
см  от истинной, не
должно по модулю превышать  0,5 см, во втором случае 
0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае  ∆l = 0,5  и, следовательно,

3
≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1  и

3,4
≤ l ≤ 3,6.

ПРИМЕР:

Длина листа бумаги формата  А4  равна  (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно  (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.

РЕШЕНИЕ:

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной  погрешности не
превышает  1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает  0,1 см на  29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%

измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 
1 км 
на  650 км, что в процентном соотношении составляет

1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%

измеряемой величины.

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата  А4.

Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.

Относительная погрешность.

Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах. 

Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.

ПРИМЕР:

Округлим дробь  14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:

14,7 ≈ 15,

Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.

ПРИМЕР:

При измерении в (сантиметрах) толщины 
b 
стекла и длины  l  книжной полки
получили следующие результаты:

b ≈ 0,4 с
точностью до  0,1,

l ≈ 100 с
точностью до  0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит  0,1. Однако  0,1  составляет
существенную часть числа  0,4  и
ничтожную часть числа  100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.

В результате измерения нашли,
что  b ≈ 0,4  с точностью до  0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит  0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно

то есть относительная погрешность приближения не превосходит  25%.

Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до  25%,
а во втором – с относительной точностью до  0,1%.

ПРИМЕР:

Если взять абсолютную погрешность в  1
см,  при измерении длины отрезков  10
см  и  10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны  10%  и  0,1%. Для
отрезка длиной в  10 см  погрешность
в  1
см  очень велика, это ошибка в  10%. А для десятиметрового отрезка  1 см  не имеет значения, эта ошибка всего в   0,1%.

Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.

Различают
систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.

В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

ПРИМЕР:

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало  3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает  50
г. Относительная погрешность не превосходит 

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈
1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.

В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять  50 г, а за предельную относительную погрешность  1,4%.

Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность 
100 г, 150 г  и вообще всякое
число, большее чем  50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число  4,78  без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет  0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.

Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой  ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой  δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой  а,