Величина ошибки выборки прямо пропорциональна

1. Ошибка выборки

2.1. Понятие и виды ошибок выборки

Поскольку изучаемая статистическая
совокупность состоит из единиц с
варьирующими признаками, то состав
выборочной совокупности может в той
или иной мере отличаться от состава
генеральной совокупности.

Расхождение
между характеристиками выборки и
генеральной совокупности составляет
ошибку
выборки.

Виды ошибок выборки

Ошибки выборки	Систематические	Случайные
Ошибки регистрации	Обусловлены причинами, действующими в одном направлении (например, округление цифр).	Проявляются в различных направлениях и уравновешивают друг друга (невнимательность).
Ошибки репрезентативности	Неправильный, тенденциозный отбор единиц, без соблюдения принципа случайности (выбираются преднамеренно худшие или лучшие единицы).	Несмотря на принцип случайности отбора единиц, все же имеются расхождения между характеристиками выборки и генеральной совокупности (но эти ошибки объективны и не связаны с волей наблюдателя).

Основная
задача выборочного метода – изучение
случайных ошибок репрезентативности.

2.2. Средняя ошибка выборки

Случайная ошибка
репрезентативности зависит от следующих
фактов (при этом считается, что ошибок
регистрации нет):

1. Чем
   больше численность выборки при прочих
   равных условиях, тем меньше величина
   ошибки выборки, т.е. ошибка выборки
   обратно пропорциональна ее численности.

2. Чем
   меньше варьирование признака, тем
   меньше ошибка выборки. Если признак
   совсем не варьирует, а, следовательно,
   величина дисперсии равна нулю, то ошибки
   выборки не будет, т.к. любая единица
   совокупности будет совершенно точно
   характеризовать всю совокупность по
   этому признаку. Таким образом, ошибка
   выборки прямо пропорциональна величине
   дисперсии.

В
математической статистике доказывается,
что величина средней ошибки случайной
повторной выборки может быть определена
по формуле

(6.1)

Однако
следует иметь в виду, что величина
дисперсии в генеральной совокупности

²
нам не известна, т.к. наблюдение выборочное.
Мы можем рассчитать лишь дисперсию в
выборочной совокупности S².
Соотношение между дисперсиями генеральной
и выборочной совокупности выражается
формулой:

(6.2)

Если
n
велико, следовательно

Таким
образом, можно приблизительно считать,
что выборочная дисперсия равна генеральной
дисперсии.


² =
S²

И формула средней ошибки повторной
выборки (6.1.) примет вид:

(6.3)

Но
здесь мы рассмотрели только ошибку
выборки для средней величины интересующего
признака. Существует также показатель
доли единиц с интересующим признаком.
Расчет ошибки этого показателя имеет
свои особенности.

Дисперсия
для показателя доли признака определяется
по формуле:

S²=(1-)
(6.4)

Тогда средняя ошибка повтора выборки
для показателя доли признака будет
равна:

(6.5)

Доказательство
формул (6.3) и (6.5) исходит из схемы повторной
выборки. Обычно же выборку организуют
бесповторным способом. Т.к. при бесповторном
отборе численность генеральной
совокупности N
в коде выборки сокращается, то в формулы
ошибки выборки включают дополнительный
множитель
,
и формулы
принимают вид:

(6.6)

(6.7)

Пример
1. Определим, на сколько отличаются
выборочные и генеральные показатели
по данным 10%-ной бесповторной выборки
успеваемости студентов.

Оценка, хi	Число студентов в выборке, fi
2	9
3	27
4	54
5	10
Итого	100

Расчет ошибки бесповторной выборки для
средней величины:

n
= 100 N
= 1000

Найдем выборочную
дисперсию по формуле:

Здесь
не известна величина
,
которую можно найти как обычную среднюю
взвешенную величину:

Таким
образом,

Т.е.
можно сказать, что средний балл всех
студентов ()
равен 3,650,07

Теперь
рассчитаем долю студентов в генеральной
совокупности, обучающихся на «4» и «5».

Найдем по выборке
долю студентов, получивших оценки «4»
и «5».

(или
64%)

Расчет
ошибки бесповторной выборки для доли
производится по формуле:

(или
4,5%)

Таким образом, доля студентов, обучающихся
на «4» и «5» по генеральной совокупности
(P) составляет
0,640,045 (или 64%4,5%).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

При проведении любого статистического наблюдения возникают ошибки наблюдения, которые могут быть случайными и преднамеренными. При высоком уровне организации наблюдения их можно избежать.

При проведении выборочных наблюдений возникают ошибки репрезентативности, которые связаны не с организацией наблюдения, а с самой сутью выборочного исследования, которая заключается в том, что по части (по выборочной совокупности) приходится судить о целом (о генеральной совокупности). Ошибка выборки неизбежна и состоит в том, что значения характеристик выборочной совокупности (показатели, рассчитанные по выборке), в той или иной степени, не совпадают со значениями аналогичных параметров генеральной совокупности. Задача исследователя состоит в том, чтобы сформировать репрезентативную выборку, позволяющую получить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности и минимальную ошибку выборки. Основной принцип формирования выборки – случайность отбора, т.е. каждой единице в генеральной совокупности должна быть обеспечена равная вероятность попадания в выборку.

Теоретической основой определения ошибки выборки являются теоремы Чебышева, Ляпунова и Бернулли.

§ Суть теоремы Чебышевасостоит в том, что при неограниченном увеличении числа наблюдений в генеральной совокупности с ограниченной дисперсией (вариацией), с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что величина ошибки выборки не превысит сколь угодно малой положительной величины .

n→∞, , (34)

где — выборочное среднее значение признака; — генеральное среднее значение; Р — вероятность события, записанного в скобках. Суть события в том, что отклонение выборочной средней от генеральной сколь угодно мало, т.е. ошибка выборки при больших объемах выборки чрезвычайно мала и вероятность такого утверждения близка к 1. Теорема Чебышева доказывает принципиальную возможность оценки параметров генеральной совокупности на основе выборочных данных. При этом остается неясным то, чему конкретно равна ошибка выборки, и с какой именно вероятностью можно гарантировать не превышение конкретной величины ошибки.

На эти вопросы отвечает теорема Ляпунова,которая одновременно доказывает, что распределение ошибок выборки при больших объемах выборки подчинено нормальному закону распределения.Суть теоремы состоит в том, что при неограниченном увеличении числа наблюдений в генеральной совокупности с ограниченной дисперсией, вероятность того, что ошибка выборки не превысит величины tμ (предельная ошибка), равна нормированной функции Лапласа (Ф (t)):

, (35)

где μ – средняя ошибка выборки, μ= ; — генеральное среднее значение; – среднее значение признака по i-й выборке; n- число выборок; tμ – предельная ошибка выборки

Данная формула средней ошибки выборки не может быть использована на практике, так как при организации выборочного наблюдения формируется лишь одна выборка и исследователю не известна величина генеральной средней.

Математической статистикой доказано, что величина μ² прямо пропорциональна дисперсии генеральной совокупности () и обратно пропорциональна объему выборки (n), т.е. μ²= , следовательно, средняя ошибка выборки может быть рассчитана: . В данной формуле предполагается использование дисперсии генеральной совокупности, величина которой исследователю не известна. Между выборочной () и генеральной() дисперсиями существует следующее соотношение: ²=S² . При большом объеме выборки , поэтому на практике этот коэффициент игнорируют и в расчете средней ошибки используют величину выборочной дисперсии. Окончательная формула средней ошибки выборки:

. (36)

Т.о., величина средней ошибки выборки прямо пропорциональна вариации признака в генеральной совокупности (хотя в практических расчетах вынужденно используется выборочная дисперсия ()) и обратно пропорциональна объему выборки (n).

В теореме Ляпунова речь идет о предельной ошибке, которую принято обозначать (). Предельная ошибка – это t-кратное значение средней ошибки. Как же определяется величина t?

Известно, что — плотность нормального распределения, которому, согласно теореме, подчинено распределение ошибок больших выборок, где . В условиях выборочного наблюдения — нормированное отклонение выборочной и генеральной средних.

На практике нет необходимости рассчитывать величину t. Ее находят по таблице нормального распределения, исходя из установленного исследователем уровня вероятности. Социально-экономические исследования проводятся, как правило, с вероятностью Р=0,95. Согласно таблице нормального распределения, если Р=0,954, то t=1,96 2; если Р=0,997, t 3.

Т.о., если исследователь устанавливает вероятность оценок 95%, то , то есть величина предельной ошибки равна двукратному значению средней ошибки выборки.

Представленная выше формула расчета ошибки выборки применима при проведении выборки методом повторного отбора. В статистике понятия «повторного» и «бесповторного» отбора соответствуют понятиям «возвратного» и «безвозвратного» шара в теории вероятности. При осуществлении повторного отбора, единицы совокупности, изъятые в выборку, возвращаются назад в генеральную совокупность и могут быть повторно выбраны в выборочную совокупность. При осуществлении бесповторной выборки единицы совокупности, изъятые в выборку, не возвращаются назад в генеральную совокупность и не могут быть повторно выбраны в выборочную совокупность.

При повторном отборе от начала до конца вероятность попадания единиц в выборку сохраняется неизменной, т.е. , N-объем генеральной совокупности.

При бесповторном отборе вероятность изменяется от (для первой единицы отбора) до (для последней единицы отбора), n – объем выборочной совокупности.

Формула средней ошибки выборки для бесповторного отбора, который используется чаще, имеет вид:

. (37)

Величина ошибки выборки зависит и от вида выборки. В формулах средней ошибки при реализации различных видов выборки используются разные дисперсии, для чего необходимо знание и понимание правило сложения дисперсий.

Правило сложения дисперсий заключается в том, что общая дисперсия изучаемого признака есть сумма межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

Пример: проведена группировка рабочих по признаку «наличие специального технического образования» и зафиксирован уровень производительности труда, результаты приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1.

Зависимость производительности труда рабочих (число деталей в смену) от наличия специального образования

Группы рабочих	Число рабочих, чел.	Производительность труда, дет./смена	Средняя производительность труда, дет./смена	Дисперсия
Имеющие специальное техническое образование		84, 93, 95, 101, 102
Не имеющие специального технического образования		62, 68, 82, 88, 105		231,2
Всего		—		185,6

Средний уровень производительности труда в целом по совокупности рабочих: производительность труда i-го рабочего.

Средний уровень производительности труда рабочих первой группы: .

Средний уровень производительности труда рабочих второй группы:

Общая дисперсия:

. (38)

Дисперсия каждой группы:

, (39)

где — производительности труда i-го рабочего j-й группы; — средняя выработка рабочих j-й группы; — число рабочих j-й группы. Следовательно, дисперсия первой группы:

;

дисперсия второй группы:

.

На основе внутригрупповых дисперсий рассчитывается среднее значение внутригрупповой дисперсии:

; . (40)

Межгрупповая дисперсия:

(41)

Правило сложения дисперсии: общая дисперсия равна сумма внутригрупповой и межгрупповой дисперсий: 185,6=49+13,6:

(42)

Общая дисперсия – это дисперсия, характеризующая вариацию результативного признака под влиянием всех факторов. В данном случае она отражает степень варьирования уровня производительности труда рабочих под влиянием всех факторов, ее определяющих в конкретных условиях.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию признака (производительности труда), обусловленную вариацией группировочного признака (есть специальное техническое образование или нет).

Внутригрупповая дисперсия оценивает вариацию признака, обусловленную всеми факторами, за исключением группировочного, поскольку внутри групп этот фактор не варьирует.

В условиях собственно случайной выборки в формуле средней ошибки выборки используется общая дисперсия, поскольку в генеральной совокупности не выделяются группы (страты):

. (43)

При стратифицированной выборке для расчета ошибки репрезентативности используется внутригрупповая дисперсия:

. (44)

При серийной выборке в формуле средней ошибки выборки используется межгрупповая дисперсия, поскольку внутри отобранных серий проводится сплошное обследование, то вариация не носит характер случайной составляющей:

, (45)

где r-число серий в выборочной совокупности; R- число серий в генеральной совокупности.

Наибольшая величина ошибки возникает в условиях собственно случайной выборки.

Стратифицированная и серийная выборки, позволяющие сформировать выборочную совокупность по структуре, закономерности распределения более близкую к генеральной совокупности, дают наименьшую величину ошибки (это демонстрируют и формулы расчета величины ошибки).

Ошибка выборки для показателя доли единиц, обладающих тем или иным признаком.

В практических исследованиях часто используется такая характеристика, как доля, доля единиц совокупности, обладающих тем или иным признаком, например: не абсолютное число рабочих, имеющих техническое образование, а их доля в общей численности; доля пенсионеров в общей численности населения города; доля инновационных предприятий в общем числе предприятий отрасли и т.п.

Теоретической основой расчета ошибки выборки для доли служит теорема Бернулли, являющаяся частным случаем теоремы Чебышева (хотя исторически доказана раньше).

При расчете средней ошибки доли используется формула, аналогичная формуле ошибки выборки для средней величины, но при этом учитывается дисперсия доли.

Долю единиц, обладающих тем или иным значением признака (например, доля женщин среди работающего населения) в выборочной совокупности принято обозначать , а долю в генеральной совокупности – P.

Средняя ошибка показателя доли рассчитывается:

, (46)

где — дисперсия доли.

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ().

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки () равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

.

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

• степени вариации единиц генеральной совокупности;
• объема выборки;
• выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
• уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

1. Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

1. По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

1. Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки

   

2. Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

1. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна

   

2. Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

   

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

1. рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

1. рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

;

1. средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

1. зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

1. установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

   

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

1. Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Здесь — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

• общий объем выборочной совокупности:

  n = 2550/130*5 =128 (чел.);

• количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

  

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

1. Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:

   

2. Средняя из внутригрупповых дисперсий

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

   С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

   

4. Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

1. Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

1. Среднее значение признака в выборке равно

   

2. Значение среднего квадратического отклонения составляет

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

4. Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
5. Предельная ошибка выборки:

   

6. Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

1. вид предполагаемой выборки;
2. способ отбора (повторный или бесповторный);
3. выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.

Содержание курса лекций “Статистика”

---

Выборочное наблюдение как источник статистической информации в изучении социально-экономических явлений и процессов

Статистическая методология исследования массовых явлений различает, как известно, два способа наблюдения в зависимости от полноты охвата объекта: сплошное и несплошное. Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное, которое в условиях рыночных отношений в России находит все более широкое применение. Переход статистики РФ на международные стандарты системы национального счетоводства требует более широкого применения выборки для получения и анализа показателей СНС не только в промышленности, но и в других секторах экономики.

Под выборочным наблюдением понимается несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу ‑ по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов проведения статистического наблюдения и науч­но организованной работы по отбору единиц.

---

---

К выборочному наблюдению статистика прибегает по различным причинам. На современном этапе появилось множество субъектов хозяйствен­ной деятельности, которые характерны для рыночной экономики. Речь идет об акционерных обществах, малых и совместных предприятиях, фермерских хозяйствах и т.д. Сплошное обследование этих статистических совокупностей, состоящих из десятков и сотен тысяч единиц, потребовало бы огромных материальных, финансовых и иных затрат. Использование же выборочного обследования позволяет значительно сэкономить силы и средства, что имеет немаловажное значение.

---

Наряду с экономией ресурсов одной из причин превращения выборочного наблюдения в важнейший источник статистической информации является возможность значительно ускорить получение необходимых данных. Ведь при обследовании, скажем, 10% единиц совокупности будет затрачено гораздо меньше времени, а результаты могут быть представлены быстрее, и будут более актуальными. Фактор времени важен для статисти­ческого исследования особенно в условиях изменяющейся социально-экономической ситуации.

---

Реализация выборочного метода базируется на понятиях генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральной совокупностью называется вся исходная изучаемая статистическая совокупность, из которой на основе отбора единиц или групп единиц формируется совокупность выборочная. Поэтому генеральную совокупность также называют основой выборки.

Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или беспо­вторным.

При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Таким образом, некоторые единицы могут попадать в выборку дважды, трижды или даже большее число раз. И при изучении выборочной совокупности они будут рассматриваться как отдельные независимые наблюдения.

Отметим, что число единиц генеральной совокупности, участвующих в отборе, при таком подходе остается постоянным. Поэтому вероятность попадания в выборку для всех единиц совокупности на протяжении всего процесса отбора также не меняется.

---

На практике методология повторного отбора обычно используется в тех случаях, когда объем генеральной совокупности не известен и теоретически возможно повторение единиц с уже встречавшимися значениями всех регистрируемых признаков.

Например, при проведении маркетинговых исследований мы не можем сколько-нибудь точно оценить, какое число потребителей предпочитают стиральный порошок конкретной торговой марки, сколько покупателей предпочитают делать покупки именно в данном супермаркете и т.д. Поэтому возможно повторение совершенно идентичных единиц как по причине практически неограниченных объемов совокупности, так и вследствие возможной повторной регистрации. Предположим, при проведении обследования один и тот же покупатель может дважды прийти в магазин и дважды подвергнуться обследованию.

---

---

При выборочном контроле качества продукции объем генеральной совокупности также часто не определен, так как процесс производства может осуществляться постоянно, каждый день дополняя генеральную совокупность новыми единицами-изделиями. Поэтому в выборочную совокупность могут попасть два и более изделий с абсолютно одинаковыми характеристиками. Следовательно, и в этом случае при обработке результатов выборки необходимо ориентироваться на методологию, используемую при повторном отборе.

---

При бесповоротном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследова­нию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Такой отбор целесообразен и практически возможен в тех случаях, когда объем генеральной совокупности четко определен. Получаемые при этом результаты, как правило, являются более точными по сравнению с результатами, основанными на повторной выборке.

Как уже отмечалось выше, выборочное наблюдение всегда связано с определенны­ми ошибками получаемых характеристик. Эти ошибки называются ошибками репрезента­тивности (представительности).

---

---

Ошибки репрезентативности обусловлены тем обстоятельством, что выборочная совокупность не может по всем параметрам в точности воспроизвести совокупность генеральную. Получаемые расхождения или ошибки репрезентативности позволяют заключить, в какой степени попавшие в выборку единицы могут представлять всю генеральную совокупность. При этом следует различать систематические и случайные ошибки репре­зентативности.

---

Систематические ошибки репрезентативности связаны с нарушением принципов формирования выборочной совокупности. Например, вследствие каких-либо причин, связанных с организацией отбора, в выборку попали единицы, характеризующиеся несколько большими или, наоборот, несколько меньшими по сравнению с другими единицами значениями наблюдаемых признаков. В этом случае и рассчитанные выборочные характеристики будут завышенными или заниженными.

---

Случайные ошибки репрезентативности обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики. Но даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характе­ристики будут несколько различаться. Получаемые случайные ошибки могут быть стати­стически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка ошибок выборочного наблюдения основана на теоремах теории вероятностей.

---

При дальнейшем рассмотрении теории и методов выборочного наблюдения используются следующие общепринятые условные обозначения:

    N ‑ объем (число единиц) генеральной совокупности;

    n ‑ объем (число единиц) выборочной совокупности;

 ‑ генеральная средняя, т.е. среднее значение изучаемого признака по генераль­ной совокупности (средняя прибыль, средняя величина активов, средняя численность ра­ботников предприятия и т.п.);

‑ выборочная средняя,
т.е. среднее значение изучаемого признака по выборочной совокупности;
 

     М ‑ численность единиц генеральной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака (численность городского населения, численность сельского населения, количество бракованных изделий, число нерентабельных предприятий и т.п.);

     р ‑ генеральная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, во всей генеральной совокупности (доля городского населения в общей численности населения, доля бракованной продукции в общем выпуске, доля нерентабельных предприятий в общей численности предприятий и т.п.); определяетcя как

     m ‑ численность единиц выборочной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака;

     w ‑ выборочная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, в выборочной совокупности,

определяется как ;

‑ средняя ошибка выборки;

‑ предельная ошибка выборки;

‑ коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности.

---

---

Ошибка выборки или отклонение выборочной средней от средней генеральной находится в прямой зависимости от дисперсии изучаемого признака в генеральной совокуп­ности, и в обратной зависимости ‑ от объема выборки.

Таким образом среднюю ошибку выборки можно представить как

(10.1)

---

При проведении выборочного наблюдения дисперсия изучаемого признака в генеральной совокупности, как правило, не известна. В то же время, между генеральной дисперсией и средней из всех возможных выборочных дисперсий существует следующее соотношение:

(10.2)

---

В связи с тем, что на практике в большинстве случаев из генеральной совокупности в определенный момент времени производится только одна выборка, дисперсия изучаемого признака по этой выборке и используется при расчете ошибки.

Учитывая, что при достаточно большом объеме выборки отношение  близко к 1, формула средней ошибки повторной выборки принимает следующий вид:

(10.3)

---

Где  ‑ дисперсия изучаемого признака по выборочной совокупности.

---

При определении возможных границ значений характеристик генеральной сово­купности рассчитывается предельная ошибка выборки, которая зависит от величины ее средней ошибки и уровня вероятности, с которым гарантируется, что генеральная средняя не выйдет за указанные границы.

Согласно теореме А.М. Ляпунова, вероятность той или иной величины предельной ошибки, при достаточно большом объеме выборочной сово­купности, подчиняется нормальному закону распределения и может быть определена на основе интеграла Лапласа.

Значения интеграла Лапласа при различных величинах t табулированы и представ­лены в статистических справочниках.

---

При обобщении результатов выборочного наблюдения наиболее часто используются следующие уровни вероятности и соответствующие им значения t:

Таблица 10.1 ‑ !!!Некоторые значения t

Вероятность, рi.	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

Например, если при расчете предельной ошибки выборки мы используем значение t=2, то с вероятностью 0,954 можно утверждать, что расхождение между выборочной средней и генеральной средней не превысит двукратной величины средней ошибки вы­борки.

---

---

Теоретической основой для определения границ генеральной доли, т.е. доли еди­ниц, обладающих тем или иным вариантом признака, является теорема Вернули. Согласно данной теореме вероятность получения сколь угодно малого расхождения между выборочной долей и генеральной долей при достаточно большом объеме выборки будет стремиться к единице. С учетом того, что вероятность расхождения между выборочной и генеральной долями подчиняется нормальному закону распределения, эта вероятность также определяется по функции F(t) при заданном значении t.

---

---

Процесс подготовки и проведения выборочного наблюдения включает ряд после­довательных этапов:

1. Определение цели обследования.
2. Установление границ генеральной совокупности.
3. Составление программы наблюдения и программы разработки данных
4. Определение вида выборки, процента отбора и метода отбора
5. Отбор и регистрация наблюдаемых признаков у отобранных единиц.
6. Насчет выборочных характеристик и их ошибок.
7. Распространение полученных результатов на генеральную совокупность.
   

   ---

   ---

В зависимости от состава и структуры генеральной совокупности выбирается вид выборки или способ отбора.

К наиболее распространенным на практике видам относятся:

• собственно-случайная (простая случайная) выборка;
• механическая (систематическая) выборка;
• типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка;
• серийная (гнездовая) выборка.
  

  ---

  ---

Отбор единиц из генеральной совокупности может быть комбинированным, много­ступенчатым и многофазным.

Комбинированный отбор предполагает объединение нескольких видов выборки. Так, например, можно комбинировать типическую и серийную, серийную и собственно-случайную выборки. Ошибка такой выборки определяется ступенчатостью отбора.

---

Многоступенчатым называется отбор, при котором из генеральной совокупности сначала извлекаются укрупненные группы, потом ‑ более мелкие и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы, которые подвергаются обследованию.

---

Многофазная выборка, в отличие от многоступенчатой, предполагает сохранение одной и той же единицы отбора на всех этапах его проведения; при этом отобранные на каждой стадии единицы подвергаются обследованию, каждый раз – по более расширенной программе.

---

Собственно-случайная (простая случайная) выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системности.

Однако прежде чем производить собственно-случайный отбор, необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку, в списках или перечне отсутствуют пропуски, игнорирования отдельных единиц и т.п. Следует также установить четкие границы генеральной сово­купности таким образом, чтобы включение или не включение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений. Так, например, при обследовании студентов необходимо указать, будут ли приниматься во внимание лица, находящиеся в академическом отпуске, студенты негосударственных вузов, военных училищ и т.п.; при обследовании торговых предприятий важно определиться, включит ли генеральная совокупность торговые павильоны, коммерческие палатки и прочие подобные объекты.

---

Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.

---

Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения – оценить репрезентативность (представительность) выборочной совокупности.

Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида связаны следующим соотношением:

(10.4)

---

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференциро­ванно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки.

Так, при собственно-случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле:

(10.5)

---

а при расчете средней ошибки  собственно-случайной бесповторной выборки:

(10.6)

---

Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности.

Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:

(10.7)

---

где  и ‑ генеральная и выборочная средняя соответственно;

‑ предельная ошибка выборочной средней.

---

---

Пример.

При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г. при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделия в генеральной совокупности.

---

Решение. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так как при р = 0,997, t = 3, она равна:

Определим пределы генеральной средней:

или

Вывод: Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 29,16 г. до 30,84 г.

---

---

Пример 2.

В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распре­деление семей по числу детей:

Таблица 10.2 ‑ Распределение семей по числу детей в городе N

Число детей в семье	0	1	2	3	4	5
Количество семей	1000	2000	1200	400	200	200

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находить­ся среднее число детей в генеральной совокупности.

---

Решение. В начале на основе имеющегося распределения семей определим выборочные среднюю и дисперсию:

Таблица 10.3 ‑ Вспомогательная таблица для расчета среднего числа детей

Число детей в семье, х;	Количество семей,     f
0 1 2 3 4 5	1000 2000 1200 400 200 200	0 2000 2400 1200 800 1000	-1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5	2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25	2250 500 300 900 1250 2450
Итого	5000	7400	–	–	7650

Вычислим теперь предельную ошибку выборки (с учетом того, что при р = 0,954 t = 2).

---

Следовательно, пределы генеральной средней:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее число детей в семьях города практически не отличается от 1,5, т.е. в среднем на каждые две семьи приходится три ребенка.

---

---

Наряду с определением ошибок выборки и пределов для генеральной средней эти же показатели могут быть определены для доли признака.

В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется так:

(10.8)

---

где  ‑ доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности, определяемая как отношение количества соответствующих единиц к объему выборки.

---

Тогда, например, при собственно-случайном повторном отборе для определения предельной ошибки выборки используется следующая формула:

(10.9)

---

Соответственно, при бесповторном отборе:

(10.10)

---

Пределы доли признака в генеральной совокупности p выглядят следующим образом:

(10.11)

---

Рассмотрим пример.

С целью определения средней фактической продолжитель­ности рабочего дня в государственном учреждении с численностью слу­жащих 480 человек, в январе 2009 г. было проведена 25%-ная случайная бесповторная выборка. По результатам наблюдения оказалось, что у 10% обследованных потери времени достигали более 45 мин. в день. С вероят­ностью 0,683 установите пределы, в которых находится генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45 мин. в день.

Решение. Определим объем выборочной совокупности:

n= 480 х 0,25 = 120 чел.

Выборочная доля w равна по условию 10%.

Учитывая, что при р = 0,683   t=1, вычислим предельную ошибку выборочной доли:

---

Пределы доли признака в генеральной совокупности:

---

Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля ра­ботников учреждения с потерями рабочего времени более 45 мин. в день находится в пределах от 7,6% до 12,4%.

---

Мы рассмотрели определение границ генеральной средней и генеральной доли по результатам уже проведенного выборочного наблюдения, при известном объеме выборки или проценте отбора. На этапе же проектирования выборочного наблюдения именно объ­ем выборочной совокупности и требует определения.

---

---

Для определения необходимого объема собственно-случайной повторной выборки применяют следующую формулу:

(10.12)

---

Полученный на основе использования данной формулы результат всегда округляется в большую сторону. Например, если мы получили, что необходимый объем выборки составляет 493,1 единицы, то обследовав 493 единицы мы не достигнем требуемой точности. Поэтому, для достижения желаемого результата обследованием должны быть охвачены 494 единицы.

С другой стороны, рассчитанное значение необходимого объема выборки свободно может быть увеличено в большую сторону на несколько единиц. Если мы располагаем необходимыми ресурсами, если по причинам организационного порядка (компактность расположения единиц, фиксированная нагрузка на каждого регистратора и т.п.) мы вполне можем охватить больший объем, то включение в выборочную совокуп­ность 500 или, например, 550 единиц только уменьшит значения полученных случайной и предельной ошибок.

---

При определении необходимого объема выборки для определения границ генеральной доли задача оценки вариации решается значительно проще. Если дисперсия изучаемого альтернативного признака неизвестна, то можно использовать ее максимальное возможное значение:

---

Например, предприятию связи с вероятностью 0,954 необходимо определить удельный вес телефонный разговоров продолжительностью менее 1 минуты с предельной ошибкой 2%. Сколько разговоров нужно обследовать в порядке собственно-случайного повторного отбора для решения этой задачи?

Для получения ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (10.12) и будем ориентироваться на максимальную возможную дисперсию доли телефонных разговоров такой продолжительности. Расчет приводит к следующему результату:

Таким образом, обследованием должны быть охвачены не менее 2500 разговоров на предмет их продолжительности.

---

---

Необходимый объем собственно-случайной бесповторной выборки может быть определен по следующей формуле:

(10.13)

---

Укажем на одну особенность формулы (10.13). При проведении вычислений объем генеральной совокупности должен быть выражен только в единицах, а не в тысячах или в миллионах единиц.

Например, подставив в данную формулу общую численность населения региона, выраженную в тысячах человек, мы не получим правильное значение необходимой численности выборки, также выраженное в тысячах человек, как это иногда бывает в других расчетах. Результат вычислений будет неверен.

---

Механическая выборка может быть применена в тех случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определенная последова­тельность в расположении единиц (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т.п.). Для проведения отбора желательно, чтобы все единицы также имели порядковые номера от 1 до N.

Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и генеральной совокупностей.

Так, если из совокупности в 500000 единиц предполагается отобрать 10000 единиц, то пропорция отбора составит

Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы.

Например, при пропорции 1:50 (2%-ная выборка) отбирается каждая 50-я единица, при пропорции 1:20 (5%-ная выборка) – каждая 20-я единица и т.д.

---

---

Интервал отбора также можно определить как частное от деления 100% на уста­новленный процент отбора.

Так, например  при 2%-ном отборе интервал составит 50 (100%:2%), при 4%-ном отборе ‑ 25 (100%:4%). В тех случаях, когда результат деления получается дробным, сформировать выборку механическим способом при строгом соблюдении процента отбора не представляется возможным.

Например, по этой причине нельзя сформировать 3%-ную или 6%-ную выборки.

---

---

Генеральную совокупность при механическом отборе можно ранжировать или упорядочить по величине изучаемого или коррелирующего с ним признака, что позволит повысить репрезентативность выборки. Однако в этом случае возрастает опасность систе­матической ошибки, связанной с занижением значений изучаемого признака (если из каждого интервала регистрируется первое значение) или его завышением (если из каждого интервала регистрируется последнее значение). Поэтому целесообразно из каждого интервала отбирать центральную или одну из двух центральных единиц.

---

Например, при 5%-ной выборке интервал отбора составит 20 единиц, тогда отбор целесообразно начинать с 10-й или с 11-й единицы. В первом случае в выборку попадут 10, 30, 50, 70 и с таким же интервалом последующие единицы; во втором случае – единицы с номерами 11,31,51,71 и т.д.

При механической выборке также может появиться опасность систематической ошибки, обусловленной случайным совпадением выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Так, при переписи населения 1989 г. в ходе 25%-го выборочного обследования семей имела место опасность попадания в выборку квартир только одного типа (например, только однокомнатных или только трехкомнатных), так как на лестничных площадках многих типовых домов распо­лагаются именно по 4 квартиры. Чтобы избежать систематической ошибки, в каждом новом подъезде счетчик менял начало отбора.

---

Для определения средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, используются соответствующие формулы, применяемые при собственно-случайном бесповторном отборе(10.6 и 10.13). При этом, определив необходимую численность выборки и сопоставив ее с объемом генеральной совокупности, как правило, приходится производить соответствующее округление для получения целочисленного интервала отбора.

---

Например, в области зарегистрировано 12000 фермерских хозяйств. Определим, сколько из них нужно отобрать в порядке механического отбора для определения средней площади сельхозугодий с ошибкой ± 2 га. (Р=0,997). По результатам ранее проведенного обследования известно, что среднее квадратическое отклонение площади сельхозугодий составляет 8 га. Произведем расчет, воспользовавшись формулой (10.13).

---

С учетом полученного необходимого объема выборки (143 фермерских хозяйства) определим интервал отбора: 12000:143=83,9.

Определенный таким способом интервал всегда округляется в меньшую сторону, так как при округлении в большую сторону про­изведенная выборка не достигнет рассчитанного по формуле необходимого объема.

Сле­довательно, в нашем примере, из общего списка фермерских хозяйств необходимо отобрать для обследования каждое 83-е хозяйство. При этом процент отбора составит 1,2% (100% : 83).

---

---

Типический отбор целесообразно использовать в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типических групп.. Такие группы также называют стартами или слоями, в связи с чем типический отбор также называют стратифицированным или расслоенным. При обследованиях населения в качестве типических групп могут быть выбраны области, районы, социальные, возрастные или об­разовательные группы, при обследовании предприятий – отрасли или подотрасли, формы собственности и т.п.

Рассматривать генеральную совокупность в разрезе нескольких крупных групп единиц имеет смысл только в том случае, если средние значения изучаемых признаков по группам существенно различаются. Например, с большой уверенностью можно предпо­ложить, что доходы населения крупного города будут в среднем выше доходов населения, проживающего в сельской местности; численность работников промышленного предприятия в среднем будет выше численности работников торгового или сельскохозяйственного предприятия; средний возраст студентов будет значительно меньше среднего возраста занятого населения и, тем более, пенсионеров. В то же время, нет никакого смысла при выделении типических групп ориентироваться на признак, не связанный или очень слабо связанный с изучаемым.

---

Отбор единиц в выборочную совокупность из каждой типической группы осущест­вляется собственно-случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции обязательно попадают представители всех групп, типизация генеральной совокупности позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. В то же время, в выделенных типических группах обследуются далеко не все единицы, а только включенные в выборку. Следовательно, на величине полученной ошибки будет сказываться различие между единицами внутри этих групп, т.е. внутригрупповая вариация. Поэтому, ошибка типической выборки будет опре­деляться величиной не общей дисперсии, а только ее части – средней из внутригрупповых дисперсий.

---

При типической выборке, пропорциональной объему типических групп, число еди­ниц, подлежащих отбору из каждой группы, определяется следующим образом:

 (10.14)

---

Где N_i – объем i-ой группы. а n_i ‑ объем выборки из i-ой группы.

---

Пример. Предположим, общая численность населения области составляет 1,5 млн. чел., в том числе городское – 900 тыс. чел. и сельское – 600 тыс. чел. Если в ходе выборочного наблюдения планируется обследовать 100 тыс. жителей, то эта численность должна быть поделена пропорционально объему типических групп следующим образом:

---

Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:

(10.15)

---

                                                   (10.16)

---

где  – средняя из внутригрупповых дисперсий.

---

При выборке, пропорциональной дифференциации признака, число наблюдений по каждой группе рассчитывается по формуле:

(10.17)

---

Где ‑ среднее отклонение признака в i-ой группе.

---

Cредняя ошибка такого отбора определяется следующим образом:

(10.18)

---

(10.19)

---

Отбор, пропорциональный дифференциации признака, дает лучшие результаты, однако на практике его применение затруднено вследствие трудности получения сведений о вариации до проведения выборочного наблюдения.

Таблица 10.4 ‑ Результаты обследования рабочих предприятия

Цех	Всего рабочих, человек	Обследовано, человек	Число дней временной не­трудоспособности за год
средняя	дисперсия
I II III	1000 1400 800	100 140 80	18 12 15	49 25 16

Рассмотрим оба варианта типической выборки на условном примере. Предположим, 10% бесповторный типический отбор рабочих предприятия, пропорциональный размерам цехов, проведенный с целью оценки потерь из-за временной нетрудоспособности, привел к следующим результатам (табл. 10.4)

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

---

Определим  среднюю  и  предельную  ошибки  выборки  (с  вероятностью 0,954):

---

Рассчитаем выборочную среднюю:

---

С вероятностью 0,954 можно сделать вывод, что среднее число дней временной нетрудоспособности одного рабочего в целом по предприятию находится в пределах:

Воспользуемся полученными внутригрупповыми дисперсиями для проведения отбора пропорционального дифференциации признака. Опре­делим необходимый объем выборки по каждому цеху:

---

---

С учетом полученных значений рассчитаем среднюю ошибку выборки:

---

В данном случае средняя, а следовательно, и предельная ошибки будут несколько меньше, что отразится и на границах генеральной средней.

Серийный отбор. Данный способ отбора удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном или механическом отборе серий, внутри которых произ­водится сплошное обследование единиц.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка серийной выборки (при отборе равновеликих серий) зависит от величины только межгрупповой (межсерийной) дисперсии и определяется по следующим формулам:

(10.20)

---

(10.21)

---

Где r ‑ число отобранных серий; R ‑ общее число серий.

---

---

Межгрупповую дисперсию вычисляют следующим образом:

 (10.22)

---

где  ‑ средняя i-й серии;

‑ общая средняя по всей выборочной совокупности.

---

Пример.

В области, состоящей из 20 районов, проводилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серий (районов). Выбо­рочные средние по районам составили соответственно 14,5 ц/га; 16 ц/га; 15,5 ц/га; 15 ц/га и 14 ц/га. С вероятностью 0,954 определите пределы урожайности во всей области.

Решение. Рассчитаем общую среднюю:

---

Межгрупповая (межсерийная) дисперсия равна:

---

Определим теперь предельную ошибку серийной бесповторной выборки (t = 2 при р = 0,954):

---

Вывод: Следовательно, урожайность будет с вероятностью 0,954 находиться в пределах:

---

Определение необходимого объема выборки

При проектировании выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки. Эта численность может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблюдении, исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину устанавливае­мой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора.

Формулы необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности могут быть выведены из соот­ветствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки. Приведем наиболее часто применяемые на практике выражения необходимого объема выборки:

– собственно-случайная и механическая выборка:

---

---

---

– типическая выборка:

---

---

 – серийная выборка:

---

---

---

При этом в зависимости от целей исследования дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины или доли признака.

---

Рассмотрим примеры определения необходимого объема выборки при различных способах формирования выборочной совокупности.

Пример.

В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность вы­борки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225.

Решение. Рассчитаем необходимый объем выборки:

---

Пример.

С целью определения доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорциональную численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 12 тыс. чел., в том числе 7 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин.

На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.

Решение. Рассчитаем общую численность типической выборки:

---

Вычислим теперь объем отдельных типических групп:

Вывод: Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников банков составляет 550 чел., в т.ч. 319 мужчин и 231 женщина.

---

Пример.

В акционерном обществе 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного ве­са рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество бригад для обследования рабочих, если ошибка вы­борки не должна превышать 5%.

Решение. Необходимое количество бригад рассчитаем на основе формулы объема серийной бесповторной выборки:

---

---

---

Содержание курса лекций “Статистика”

---

Контрольные задания

Самостоятельно проведите выборочное наблюдение и произведите соответствующие расчеты.

Statistikanın ümumi n z riyy si – 3526 — rus

1.    Что изучает статистика?

изучение взаимосвязей;

+массовые социально-экономические явления и процессы;

экономические процессы; общественно-политические процессы. природные явление.

2.    Единица статистической совокупности – это: отдельные значения признаков совокупности; именованные числа;

предел дробления объекта исследования, при котором сохраняются все свойства изучаемого процесса; перечень данных описательной статистики.

+первичный элемент являющийся носителем признаков, подлежащих регистрации.

3.    Что понимается под признаком в статистике?

статистический показатель; показатель динамики совокупности; показатель структуры совокупности;
свойство изучаемой единицы статистической совокупности.

+свойство объекта совокупности, рассматриваемый как случайная величина

4.    Как называется перечень вопросов, на которые должны быть получены ответы в процессе наблюдения:

+программа статистического наблюдения;

статистическая отчетность; критический срок наблюдения; формуляр наблюдения инструментарий.

5.    Многообразие, изменяемость величины признака у отдельных единиц совокупности наблюдения является:

признаком

совокупностью

показателем

6.    Изменение значений признака у единиц совокупности называется … величиной результатом

+вариацией

разностью

коэффициентом

7.    Укажите атрибутивный признак:

+семейное положение

количества осадков площадь поля число работников разновидность почв

8.    По характеру изменения признаки делятся на: моментные и интервальные прямые и косвенные

+дискретные, непрерывные

альтернативные, дискретные моментные и вторичные

9.    Статистика – это…

общественная наука, изучающая состояние предприятий в стране.

+общественная наука, изучающая количественную сторону качественно закономерностей определенных массовых социально-экономических

планомерный и систематический учет массовых социально экономических явлений и процессов.

10.    Система статистических показателей – это… совокупность социально-экономических объектов

совокупность статистических показателей, отражающие взаимосвязи между людьми;

+совокупность статистических показателей, отражающие взаимосвязи между явлениями;

совокупность статистических показателей, отражающие взаимосвязи между объектами качественная особенность единицы совокупности.

11.    Какие из перечисленных признаков относят к качественным:

тарифный разряд рабочего; балл успеваемости; форма собственности;
+все перечисленные;

все перечисленные являются количественными;

12.    Какие из нижеперечисленных признаков являются альтернативными: состояние в браке;

пол человека; наличие брака в изготовленных изделиях; успеваемость студента;

+все перечисленные.

13.    Статистическая закономерность – это определенный порядок: состояния явлений.; соотношения явлений.;

+изменения явлений.

учета явлений. законов явлений..
 

14.    При составлении отчётности проверяются арифметические расчёты. Какой контроль материалов наблюдения здесь проводится?

+счётный контроль

геометрический контроль логический контроль среднеарифметический контроль умственный контроль

15.    Назовите вид признака, по которому построено распределение квартир: Число комнат в квартире: 1 2 3 4 Число квартир: 10 35 15 5

непрерывный

альтернативный

+дискретный

порядковый

прямой

16.    Дискретными признаками являются:

пол человека семейное положение

+число членов семьи

возраст человека жилая площадь квартир

17.    По отношению ко времени признаки классифицируются: альтернативные, интервальные интервальные, объектные; объектные, моментные;

+интервальные, моментные

альтернативные, объектные

18.    Какие из признаков являются качественными : 1. национальность, 2. стаж, 3. пол, 4. семейное положение 5. возраст, 6 тарифный разряд рабочих

2,4,5,

2,3,6,

1,3,6

19.    Какие из признаков являются количественными : 1. национальность, 2. стаж, 3. пол, 4. семейное положение 5. возраст, 6 тарифный разряд рабочих

+2,5,6

1.3.4

1,4,6

2,3,6

2,4,6

20.    На предприятии работники классифицированы на : ниже и выше 30 летнего возраста. Какой признак при распределении использован?

+альтернативный

описательный

атрибутивный

моментный

интервальный

21. Определите очередность этапов стадий статистического исследования:

статистическое наблюдение, статистическая сводка, типизация данных, статистический анализ;

+статистическая сводка, статистическое наблюдение типизация данных; статистический анализ.

типизация данных, статистическое наблюдение; статистический анализ, статистическая сводка;

типизация данных, статистический анализ, статистическое наблюдение.

22. Что понимается под статистическим показателем?

типизация статистический данных наблюдения.

23.    Как называется множество элементов, обладающих массовостью, качественной однородностью, определенной целостностью, взаимозависимостью состояний отдельных единиц и наличием вариации?

системой статистических показателей; группировкой

+статистической совокупностью;

объектом наблюдения единицей наблюдения.

24.    Определите, какой из следующих признаков не является количественным:

размер собственного капитала банка; величина товарооборота торгового предприятия;

+форма собственности предприятия;

размер ВВП. объем инвестиций.

25.    Определите, какой из следующих признаков не является качественным пол человека;

+возраст сотрудника фирмы;

форма собственности предприятия; материал стен здания; состояние человека в браке.

26.    Наблюдение, которое проводится по мере надобности, время от времени, без соблюдения строгой периодичности или вообще проводится единожды- это

+единовременное наблюдение

27.    Ошибки, возникающие из-за того, что совокупность отобранных единиц наблюдения неполно воспроизводит всю совокупность в целом, называются

+случайными ошибками репрезентативности

систематическими ошибками репрезентативности случайными ошибками регистрации систематическими ошибками регистрации стандартными ошибками

28.    Укажите формы организация статистического наблюдения: 1) выборочное наблюдение 2) само регистрация 3) статистическая отчетность 4) мониторинг 5) специально- организованное наблюдение

+3,5

1,3

4,5

1,2

2,4

29.    Расхождение между расчетным значением в наблюдении и действительным значением в генеральной совокупности – это:

ошибка регистрации;

+ошибка репрезентативности;

ошибка метода расчета; ошибка вычислительного устройства. ошибка регистратора

30.    Всеобщая перепись населения АР 2009 г. – это

статистическая отчетность;

+специально организованное несплошное наблюдение;

+единовременное наблюдение.

специально организованное сплошное наблюдение; выборочное наблюдение;

32.    Под объектом статистического наблюдения понимается

перечень вопросов и признаков, по которым собираются сведения;

+социально-экономические процессы и явления в обществе;

набор анкет, формуляров, бланков, подлежащих заполнению; единица совокупности, от которой получают информацию.

совокупность предметов, явлений, у которых должны быть собраны сведения.

33. Программа СН – это:

+перечень вопросов, на которые должны быть получены ответы в процессе наблюдения;

признаков, учитываемых у единиц наблюдения; статистический инструментарий – учетный формуляр и рабочая инструкция; календарно-тематический план по наблюдению; конечные результаты наблюдения.

34. Упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по изучаемому признаку- это

+Статистический ряд распределения

Динамический ряд распределения Статистический ряд динамики Вариационный ряд динамики Атрибутивный ряд динамики

35.    Процесс образования групп единиц статистической совокупности, однородных в каком-либо отношении, а также имеющих одинаковые или близкие значения группировочного признака – это:

+группировка

36.    Таблицы, в которых подлежащее содержит группировку единиц совокупности по двум или более признакам, взятым в сочетании, называются:

+комбинационные

групповые

простые

перечневые

монографические

37. Монографическое наблюдение – это… с татистическая отчетность

+вид статистического наблюдения

способ статистического наблюдения форма статистического наблюдения характер статистического наблюдения

38. Учет посещаемости студентов – это…

+текущее наблюдение

единовременное наблюдение специально организованное наблюдение периодическое наблюдение регистровое наблюдение

39. Искажение показателей прибора из-за природных воздействий– это: случайная ошибка;

систематическая преднамеренная ошибка; случайная и систематическая ошибки;

+систематическая непреднамеренная ошибка;

случайная преднамеренная ошибка.
 

40.    В зависимости от временного фактора статистическое наблюдение подразделяется следующим образом:

документальное, периодическое и единовременные; непосредственное

+текущее, периодическое и единовременные;;

единовременное, документальное,. непрерывное, непосредственное;

41.    К виду статистического наблюдения по времени регистрации фактов не относится:

+монографическое

периодическое

текущее

единовременное

Непрерывное

42.    Объект статистического наблюдения – это

+множество подвергшихся статистическому исследованию объектов и явлений, объединенных общими признаками;

статистическая совокупность, разделенная на группы единиц по существенным для них признакам; ограниченное в пространстве и во времени определенное целостное множество

взаимосвязанных единиц наблюдения. совокупность признаков изучаемого явления. составной неделимый элемент объекта наблюдения.

43. Статистическая отчетность – это :

+организационная форма наблюдения;

особый вид проведения наблюдения; информационный способ получения данных; специально-организованное наблюдение формуляр наблюдения.
 

45.    Если состав населения сгруппирован по возрасту, то это-типологическая

+структурная

многомерная

аналитическая

комбинированная

46.    Пояснение содержания графика, включающего в себя заголовок графика, объяснения масштабных шкал, пояснения отдельных элементов графического образа – это:

+экспликация графика

масштабные ориентиры графика пространственные ориентиры графика поле графика графический образ

47.    Вид графика, который иллюстрирует содержание статистических таблиц, где подлежащим является административное или географическое деление совокупности и вся информация на ней отображается в виде штриховки, линий, точек, окраски, отражающих изменение какого-либо показателя– это:

48.    По степени охвата единиц совокупности перепись населения страны является наблюдением:

+сплошным;

выборочным;

монографическим;

обшегосударственным; основного массива.

49.    По учету фактов во времени перепись населения является наблюдением: единовременным;

анкетным;

сплошным

+периодическим;

текущим.

50.    Статистическое наблюдение по времени проведения – это…

документальный способ опрос монографическое наблюдение регистровое наблюдение

+единовременное наблюдение

51. Инвентаризация товарно-материальных ценностей осуществляется способом наблюдения:

+непосредственным;

опроса;

документальным

текущим

экспедиционный
 

52.    К организационным формам статистического наблюдения относятся: статистическая отчетность;

специально организованное статистическое наблюдение; регистры наблюдения; опрос;

+правильные пункты 1 и 2

53.    Непосредственным является наблюдение при котором регистраторы

сами устанавливают учитываемые факты на основании документов или опроса соответствующих лиц и сами заполняют формуляр наблюдения;

+путем замера, взвешивания или подсчета устанавливают факты, подлежащие регистрации и на этом основании производят записи в формуляре наблюдения;

раздают бланки наблюдения опрашиваемым, инструктируют их и затем собирают заполненные самими опрашиваемыми формуляры наблюдения.

сами устанавливают учитываемые факты на основании документов или опроса соответствующих лиц и другой работник заполняют формуляр наблюдения; сами устанавливают учитываемые факты на основании документов или опроса соответствующих лиц и затем собирают заполненные самими опрашиваемыми формуляры наблюдения

54. Фактический срок наблюдения – это:

конкретная дата, на которую учитывается наблюдение; период времени, в течение которого происходит явление;

+время заполнения отчетного формуляра;

общее время проведения наблюдения конкретный день, час дня, по состоянию на который должна быть проведена регистрация признаков.

55. Формой статистического наблюдения является :

+специально организованное и отчетность;

выборочное и монографическое; статистическое и текущее; периодическое и выборочное; монографическое и корреспондентское;
 

56.    По времени регистрации фактов учет естественного движения населения (рождаемости и смертности) ЗАГСами относится к наблюдению:

+текущему;

единовременному;

периодическому;

сплошному;

монографическому.

57.    Организационной формой наблюдения естественного движения населения (рождаемости и смертности) является:

+специально организованное наблюдение;

статистическая отчетность; регистр; монографическим;

непосредственное наблюдение.

58.    Определите вид относительных показателей, характеризующих сравнительные размеры одноименных величин, относящихся к одному и тому же периоду либо моменту времен, но к различным объектам или территориям:

относительные показатели динамики; относительные показатели интенсивности; относительные показатели структурных соотношений;
+относительные показатели сравнения.

относительные показатели задания.

59.    В какой относительных величин можно включить показатель часовая производительность труда:

+относительная величина интенсивности;

относительная величина выполнения плана; относительная величина дифференциации; относительная величина сравнения относительная величина динамики.
 

60. Под относительным статистическим показателем понимается:

обобщающий показатель, представляющий сумму нескольких показателей, характеризующих социально-экономическое явление;

+обобщающий показатель представляющий количественное соотношение между двумя показателями, характеризующими социально-экономическое явление;

показатель, характеризующий размеры,, уровни социально-экономических процессов, численность совокупности обобщающий уровень явления.

средний уровень явления

61.    Назовите способ вычисления относительных показателей динамики, при котором показатели каждого последующего периода сопоставляются с предшествующими:

+цепной

ступенчатый;

базисный;

агрегатный

средний.

62.    Численность населения на начало 2008 г. составила 147114,1 тыс. человек, из них число лиц в возрасте 25-29 лет составило 6,5%, а в возрасте 30-34 года – 8,2%. Численность населения на начало 2009 г. составила 146327,6 тысяч человек, из них в возрасте 25-29 лет – 6,9%, а в возрасте 30-34 года – 6,6%. Определите вид относительных величин.

относительные величины динамики;

+относительные величины структуры;

относительные величины координации и структуры относительные величины динамики, структуры, координации. относительные величины интенсивности

63.    Каковы единицы измерения относительных показателей динамики?

Условно-натуральные.

+Коэффициент.

Натуральные

денежные

трудовые.
 

64.    Показатели обеспеченности населения учреждениями здравоохранения, торговли — это относительная величина:

координации;

+интенсивности;

структуры;

плана;

динамики.

65.    Относительной величиной динамики является …

+процент увеличения реальной заработной платы за год

объем уменьшения дефицита бюджета (млрд. ман.) процент выполнения плана производства ВВП на душу населения объем увеличения выпуска продукции (млн. т)

66.    Фондоотдача, т.е. стоимость продукции, произведенной на 1ман основных производственных фондов, является относительным показателем:

+интенсивности;

сравнения

координации

структуры

динамики

67.    Определите вид относительных показателей, характеризующих отношение частей изучаемой совокупности к одной из них принятой за базу сравнения:

+относительные показатели координации;

относительные показатели интенсивности; относительные показатели структуры; относительные показатели сравнения относительные величины планового задания;

относительные показатели интенсивности; относительные показатели структуры; относительные показатели сравнения; относительные величины планового задания.

69. Относительные величины сравнения получают в результате:

соотношения двух разноименных показателей, находящихся в определенной взаимосвязи; соотношения отдельных частей явления, входящих в его состав, из которых одна

принимается за базу для сравнения;

+соотношения двух одноименных показателей, относящихся к различным объектам наблюдения за один и тот же период;

сопоставления показателей текущего периода с предыдущим или первоначальным, принятым за базу сравнения.

сопоставления показателей планируемого периода с предыдущим или первоначальным, принятым за базу сравнения.

70.    Какова должна быть сумма относительных величин структуры, рассчитанных по какой-либо статистической совокупности в процентах

меньше или равна 100;

+равна 100;

меньше 100. больше 100 больше или равно 100

71.    Какой из расчетных показателей можно отнести к относительным показателям структуры?

+Удельный вес автоматизированного оборудования в общей численности оборудования.

Соотношение автоматизированного оборудования и полуавтоматизированного. Соотношение общей численности оборудования и численности автоматизированного оборудования.

+Показатель средней выработки продукции на одного рабочего.

Показатель общего объема выпуска продукции по предприятию. Показатель общего объема выпуска продукции всеми участками цеха. изменение показателя средней выработки продукции за два периода Показатель средней выработки продукции по двум предприятиям

73.    Какой их расчетных показателей можно отнести к относительным показателям координации?

Удельный вес рабочих в общей численности промышленно-производственного персонала.

+Соотношение численности рабочих и служащих.

Соотношение численности рабочих на двух предприятиях. Соотношение численности рабочих на трех предприятиях Соотношение численности рабочих за два периода

74.    Из 5 тысяч юношей, явившихся на призывные комиссии города, лишь 68% признаны годными к военной службе. Определите относительную величину координации.

+2,13; 0,47;

0,68; 0,32; 1,47; 3,125; 2,13; 1,47; 0,68; 0,47;

75.    План выполнен на 125%, а прирост выпуска продукции по сравнению с прошлым годом составил 36%. Относительный показатель плана по выпуску продукции равен … %,

+108,8

105

11

61

+76,8

80

21

130,2

100

77.    План реализован на …, если выпуск продукции по сравнению с прошлым годом не изменился, а планировалось его уменьшить на 20%.

+125%

25%

20%

120%

100%

79.    Доля постоянных рабочих в общей численности рабочих организации составляет 89 %. К какому виду относительных величин можно отнести данный показатель:

относительная величина сравнения. относительная величина координации.

80.    Планом торговой фирмы на предстоящий период предусматривалось увеличение розничного товарооборота на 2 %. Плановое задание перевыполнили на 1,5 %. Как изменился розничный товарооборот по сравнению с предыдущим периодом?

+увеличился на 3,5%

уменьшился на 1% увеличился на 0,5%; уменьшился на0,5% не изменился

81.    Численность студентов института по формам обучения составляет: дневная — 2130 чел. вечерняя — 1150 чел. заочная — 3030 чел. Какие виды относительной величины можно исчислить?

+динамики;сравнения;

сравнения;сравнения;

координации;сравнения;

координации;структуры.

сравнения;структуры.

82.    По плану завод должен был выпустить в отчетном периоде товарной продукции на 12 млн ман. Фактический выпуск товарной продукции составил в этом периоде 13,1 млн ман. Определите относительную величину выполнения плана по выпуску товарной продукции:
91,6%;

+109,2%;

9,2%

8,4%

100,3 %.

83.    Выпуск продукции по предприятию в предыдущем периоде составил 40 млн ман. В отчетном периоде предусматривалось произвести продукциина 50 млн. ман., фактически произведено на 56 млн ман. Определите относительную величину планового задания:

84.    Имеются следующие данные по району: число родившихся за год детей составляет 1701 человек, среднегодовая численность населения 94980 человек. Определите относительную величину интенсивности

40,0 ‰;

0,558 ‰;

55,8 ‰; 0,017‰;

+18,0 ‰.

85.    В области по плану на 2010 год был предусмотрен прирост розничного товарооборота на 8,5%. Фактически розничный товарооборот увеличился по сравнению с предыдущим годом на 7%. Определите, на сколько процентов был выполнен план.

+98,6%;

101,4%;

82,4%;

121,4%;

59,5%.

86.    В июне предприятие перевыполнило план реализации продукции на 4,3%. По сравнению с маем отчетного года объем реализации увеличился на 8,4%. Определите относительный показатель планового задания по росту объема реализации на июнь.

+103,9%;

96,2%;

95,3%;

195,3%

51,2%.

+102%;

142%;

112,5%;

98,03%;

112,1%.

88.    Какие из приведенных чисел могут быть значениями эмпирического корреляционного отношения:

+0,3;

2,7;

1,5;

33;

1,2;

89.    Дисперсия признака это:

отклонение отдельных значений признака от их средних значений;

+квадрат отклонения значений признака от их среднего значения;

средний квадрат отклонения значений признака от среднего значения. квадрат отклонения значений признака от их минимального значения; квадрат отклонения значений признака от их максимального значения;

90. Среднее квадратическое отклонение это:

среднее отклонение значений признака от средней;

+средний квадрат отклонения значений признака от средней;

отношение среднего отклонения признака от средней к среднему значению признака. средний квадрат отклонения значений признака от их минимального значения; средний квадрат отклонения значений признака от их максимального значения;

91.    Вариацию, обусловленную фактором, положенным в основание группировки, принято считать:

+межгрупповой или систематической;

случайной.

типичной

характерной

незначительной
 

92.    Если все значения признака уменьшить на постоянную величину А, то дисперсия:

+не изменится;

уменьшится на величину А; увеличится на величину А; предсказать изменения нельзя. дисперсия от этого независит

93.    Какой показатель следует вычислять для сравнения вариации двух совокупностей? средний квадрат отклонений;

размах вариации; среднее линейное отклонение;

+коэффициент вариации;

среднее квадратическое отклонение.

94.    Как вычисляется среднее квадратическое отклонение?

средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений варьирующего признака от средней; разность между наибольшим и наименьшим значением признака в совокупности;

+корень второй степени из среднего квадрата отклонений значений признака от их средней величины;

средний квадрат отклонений значений признака от средней арифметической; отношение абсолютного показателя вариации к средней.

95.    Для ряда цифр 1,3,5,7 определите размах вариации:

+6

5

7

1

3

96.    Одним из основных показателей вариации является… средняя квадратическая величина коэффициент рангов Кендэла

+ размах вариации
коэффициент рангов Спирмена мода
 

97.    Для измерения вариации значения признака не включают показатели:

+Моду

Дисперсию Размах вариации

Среднее линейное отклонение Коэффициент вариации

98.    Если уменьшить все значения признака в К раз, то среднее квадратическое отклонение: уменьшится в К раз; увеличится в К раз;

+уменьшится в К квадрат раз;

не изменится.

увеличится в К квадрат раз

99.    В группе 10% студентов имеют задолженность по результатам сессии. Это означает, что:

+средняя успеваемость составила 90%;

доля успевающих студентов составила 10%. доля неуспевающих студентов составила 90%. средняя успеваемость составила 10%; доля успевающих студентов составила 10%.

100.    Если все значения признака уменьшить в 10 раз, то дисперсия:

не изменится; уменьшится в 10 раз;
+уменьшится в 100 раз;

предсказать изменения нельзя. удвоится

101. Средняя урожайность пшеницы по области – 25 ц/га, дисперсия – 49. Средняя урожайность ржи – 20 ц/га, дисперсия – 25. Сравните между собой вариация урожайности пшеницы и ржи:

+вариация урожайности пшеницы выше;

вариация урожайности ржи выше; вариация урожайности одинаковая;

сравнить вариации урожайности пшеницы и ржи не представляется возможным. вариация равна нулю
 

102.
0.24

0.66

1.56

15.6

1.5

103.    Дисперсия составляет 25 ед. Коэффициент вариации равен 30 %. Чему равняется среднее значение признака?

8.33

20

+16.7

0.83

10.2

104.    Групповые дисперсии равны 15 и 21 ед. Общая дисперсия 40 ед. Чему равняется межгрупповая дисперсия?

9

12

18

+22

58

105.    Правило сложения дисперсий состоит в том, что …

общая дисперсия равна сумме внутригрупповых дисперсий межгрупповая дисперсия равна сумме внутригрупповых дисперсий

+общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий

общая дисперсия равна сумме межгрупповых дисперсий общая дисперсия равна разности межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий
 

106.    Самому молодому студенту 17 лет, самому старшему 25 лет. В среднем возраст студентов составил 20 лет. Чему равен размах вариации

+8

5

3

28

37

107.    Для ряда цифр 1,3,5,7 определите среднее линейное отклонение

+2

4

8

7

1

108.    Определите среднее квадратическое отклонение, если известно, что средняя величина признака – 260, а коэффициент вариации составляет – 30%

40,0

61,3

15,0

+78,0

7800,0

109.    Средняя величина признака равна 200, а коэффициент вариации составляет 25%. Определите среднее квадратическое отклонение.

10,1

+50,0

2,03

8,0

80

110.    Величина дисперсии альтернативного признака существует в интервале:

+0,0-0,25;

0,0 – 0,50;

0,0 – 1,0

+молока;

процент жирности. обоих признаков

эти признаки вариацией не обладают процент жирности отрицательно влияет на средний удой

112.    Межгрупповая дисперсия результативного признака составила 80, средняя дисперсия из внутригрупповых – 20. Дайте оценку величины коэффициента детерминации. При этом она будет находиться в интервале:

менее 0,667; 0,667 – 0,8;

+0,8 и более;

в    указанных интервалах не находится;

20 – 80.

113.    Определите среднюю квадратическую отклонению веса спирали если известно что средний вес составляет 42 мг, коэффициент вариации среднего срока службы электроламп по данным предыдущих обследований составляет 6%.

+2,52

6,35

0,6

0,36

48

114.    Определите дисперсию веса спирали если известно что средний вес составляет 42 мг, коэффициент вариации среднего срока службы электроламп по данным предыдущих обследований составляет 6%.

2,52

+6,35

0,6

0,36

48
 

115.    Дисперсия стажа нескольких рабочих 9 лет. Коэффициент вариации 30 %. Чему равняется средний стаж рабочих?

30;

+10

15

27

21

116.    В соответствии с результатами опытных испытаний электроламп на продолжительность горения средняя величина этого показателя составляет 6 часов. Средний квадрат продолжительности горения электроламп равен 61. Определите коэффициент вариации.
1.2

+0.83

0.06

0.36

0.12

117.    Размер товарооборота магазина составляет в среднем 350 ман. ежедневно. Средний квадрат отклонения этого показателя равен 22500. Определите среднее квадратическое отклонение товарооборота магазинов фирмы.

+150

6.13

6.43

2.3

1

118.    В партии продукции механического цеха из 100 готовых изделий девять оказались нестандартными. Определите дисперсию.

+0,0819

0.09

0.098

10.1

+36

6

600

3600

266,7

120.    Выборочная доля –это:

среднее значение признака у единиц, которые подверглись выборочному наблюдению доля единиц, обладающих тем или иным признаком в совокупности

отношение численности выборочной совокупности к численности генеральной совокупности

+доля единиц, обладающих тем или иным признаком в выборочной совокупности

доля единиц, не обладающих тем или иным признаком в совокупности

121.    Основные причины, по которым выборочному наблюдению отдается предпочтение перед сплошным наблюдением, следующие:

сведение к минимуму порчи или даже уничтожения исследуемых объектов

+экономия средств и времени в результате сокращения объема работы

возможность охвата всех единиц изучаемой совокупности достижение большой точности результатов обследования благодаря сокращению ошибок регистрации

экономия средств и времени в результате уничтожения исследуемых объектов

122.    Типический отбор применяется в тех случаях, когда генеральная совокупность:

+неоднородна по показателям, подлежащим изучению

однородно по показателям, подлежащим изучению однородно по показателям, но разнородно по характеру неоднородна по показателям, но однородно по характеру однородно по показателям, но разнородно по структуре.

123.    Укажите, от чего зависит величина T:

+от вероятности, с какой необходимо гарантировать пределы ошибки выборки

124.    Величина ошибки выборки:

прямо пропорциональна

обратно пропорционально

+обратно пропорционально n

зависит абсолютного отклонения линейного отклонения

125.    Укажите, при каком виде выборки обеспечивается наибольшая репрезентативность: серийной

+типической

случайной

механической

линейной

126.    Часть единиц совокупности, которая подвергается выборочному обследованию, называют:

+выборочной совокупностью;

генеральной совокупностью; случайной совокупностью систематической совокупностью непреднамеренной совокупностью.

127.    Возможное отклонение показателей выборочной совокупности от показателей генеральной совокупности измеряют:

средним квадратическим отклонением; дисперсией;

+ошибкой выборки

метод основного массива монографическое наблюдение

129.    Какая выборка может быть реализована только на основе бесповторного Отбора? собственно — случайная

+механическая

Типическая

монографическая

серийная

132.    Размер ошибки выборки прямо пропорционален: дисперсии признака

+среднему квадратическому отклонению признака

объему численности выборки абсолютному отклонению линейному отклонению

133.    Величина ошибки выборки при типическом отборе меньше, поскольку в ее расчете используется:

общая дисперсия межгрупповая дисперсия

+средняя из внутригрупповых дисперсий

средняя дисперсия абсолютное отклонение

134.    По данным выборочного наблюдения оценивается среднее значение некоторой величины. Укажите, в каком направлении изменится

уменьшится

+увеличится

не изменится предельная ошибка не зависит от доверительной вероятности.

предельная ошибка обратно пропорционален к доверительной вероятности.

135.    Как изменится численность выборки, если ошибка выборочного наблюдения уменьшится в 2 раза?

уменьшится в 2 раза; увеличится в 2 раза;
+увеличится в 4 раза;

не изменится уменьшится в 4 раза .

136.    Предельная ошибка случайной повторной выборки составила 6 ед. Как изменить объем выборки, чтобы уменьшить величину предельной ошибки в два раза?

+увеличить в 4 раза;

уменьшить в 4 раза; уменьшить в 2 раза уменьшить в 3 раза увеличить в 3 раза
 

137.    Средняя жилая площадь, приходящаяся на одного жителя, в выборке составила 17 м2, а средняя ошибка выборки — 1,2 м2. Определите пределы, в которых находится средняя жилая площадь в расчете на одного жителя в генеральной совокупности (при вероятности 0,954).
+14,6≤х≤19,4

15,8≤х≤18,2

13,4≤х≤20,6

17≤х≤34

14,6≤х≤20,6

138.    Как меняется величина средней ошибки репрезентативности при увеличении дисперсии признака

уменьшается

+увеличивается

не меняется зависимость отсутствует равно единице

139.    При дисперсии 400, предельной ошибке средней 2, с вероятностью 0,683, определите необходимую численность выборки.

+100

200

50

75

250

140. Между ошибкой выборки и дисперсией выборочной совокупности существует… прямая связь

+обратная связь

связи нет стохастическая связь слабая связь