Сзади него шла нагруженная вещами телега исправить ошибку

Прежде чем исправлять ошибки в первой части упражнения, надо вспомнить, что обозначает местоимение. 

Если говорить о второй части упражнения, она направлена на употребление нужной формы глагола. Надо знать, что некоторые формы глаголов не употребляются вовсе.

Местоимение. Ошибки в его употреблении

Так как местоимение обозначает предмет не называя его, с употреблением этой части речи могут возникать некоторые путаницы. Дело в том, что если в речи (устной или письменной) будет слишком много местоимений, то сложно понять, к какому именно предмету они относятся. 

Например: 

Маша подарила книгу младшей сестре, и она (сестра) предложила ей (Маше) почитать ее (книгу) вместе.

Как видим, здесь даже три местоимения. Очень сложно понять, что именно они обозначают.

Есть одно правило, которое нужно знать: местоимение обозначает последнее существительное, которое перед ним идет. 

Исправляем ошибки

Мы будем исправлять ошибку в каждом предложении, объясняя почему изначальный вариант не является правильным.

1. Мальчик теперь сирота; отец умер, когда ему было три года. («Ему» по правилам употребления местоимений должно относится к последнему существительному. Получается, что отцу было 3 года. Чтобы избежать такой ошибки, можно переписать предложение: мальчик теперь сирота; когда ему было три года, отец умер).
2. Сзади его шла нагруженная вещами телега. (Здесь неуместно это местоимение, нужно использовать «него» (по правилам изменения местоимения): сзади него шла нагруженная вещами телега).
3. Больной попросил сестру налить себе воды. («Себе» относится к последнему существительному — сестре, хотя по смыслу налить воды надо больному; меняем: больной попросил сестру налить ему воды).
4. Хозяйка сняла со стола чемодан и отодвинула его в сторону. («Его» относится к последнему слову — чемодан, что не подходит по смыслу. Скорее всего чемодан просто сняли со стола, а вот стол уже двигали в сторону).

Переходим к ошибкам в употреблении глаголов:

1. Не махай так сильно руками. (Такая форма глагола является грубой ошибкой, так как ее не существует; правильно — не маши). 
2. По совету врача больной полоскает горло раствором питьевой соды. (Неправильная форма глагола, правильно полощет).
3. Надо помогать молодежи расти и проявить свои способности. (Надо помогать (что делать?) расти и проявлять).

Укажите правильный и неправильный варианты употребления местоимений в предложениях.

1. У ей нет имени.

2. У неё нет имени.

3. Ихний ребёнок.

4. Их ребёнок.

5. Она писала дочери в письме, что ей следует приехать.

6. Она писала дочери, что той следует приехать.

7. В комедии обличается провинциальное чиновничество.

Среди них процветают взяточничество, беззаконие, воровство.

8. В комедии обличается провинциальное чиновничество.

Среди него процветают взяточничество, беззаконие, воровство.

9. Тургенев приводит героя к постепенному осознанию своих ошибок.

10. Тургенев приводит героя к постепенному осознанию совершенных им ошибок.

11. Каждый уговаривает почтенного гостя поехать к себе.

12. Каждый уговаривает почтенного гостя поехать к нему.

13. Мальчик теперь сирота ; отец умер, когда ему было три года.

14. Мальчик теперь сирота.

Ребёнку было три года, когда умер его отец.

15. Жилец попросил дворника отнести вещи к себе.

16. Жилец попросил дворника отнести вещи к нему.

17. Профессор предложил ассистенту прочитать свой доклад.

18. Профессор предложил ассистенту, чтобы тот прочитал свой доклад.

19. Группа сдала все зачёты и просила проэкзаменовать их в начале месяца.

20. Группа сдала все зачёты и просила проэкзаменовать её в начале месяца.

21. Когда наступили каникулы, студенты поехали к своим родным ; они ждали их с большим нетерпением, надеясь хорошо отдохнуть.

22. Во время каникул, надеясь хорошо отдохнуть, студенты поехали к своим родным, которые ждали их с большим нетерпением.

23. Больной попросил сестру налить себе воды.

24. Больной попросил сестру налить ему воды.

25. Первое выступление молодого артиста принесло ему большой успех, и от него можно ждать многого в дальнейшем.

26. Первое выступление молодого артиста принесло ему большой успех.

Критики считают, что от этого актёра можно ждать многого в дальнейшем.

27. Адъютант скомкал записку, закурил сигарету, потом бросил её в мусорную корзину.

28. Адъютант закурил сигарету, скомкал записку, потом бросил её в мусорную корзину.