Стандартная ошибка модели это - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Когда мы подгоняем регрессионную модель к набору данных, нас часто интересует, насколько хорошо регрессионная модель «подходит» к набору данных. Две метрики, обычно используемые для измерения согласия, включают R -квадрат (R2) и стандартную ошибку регрессии , часто обозначаемую как S.

В этом руководстве объясняется, как интерпретировать стандартную ошибку регрессии (S), а также почему она может предоставить более полезную информацию, чем R 2 .

Стандартная ошибка по сравнению с R-квадратом в регрессии

Предположим, у нас есть простой набор данных, который показывает, сколько часов 12 студентов занимались в день в течение месяца, предшествующего важному экзамену, а также их баллы за экзамен:

Если мы подгоним простую модель линейной регрессии к этому набору данных в Excel, мы получим следующий результат:

R-квадрат — это доля дисперсии переменной отклика, которая может быть объяснена предикторной переменной. При этом 65,76% дисперсии экзаменационных баллов можно объяснить количеством часов, потраченных на учебу.

Стандартная ошибка регрессии — это среднее расстояние, на которое наблюдаемые значения отклоняются от линии регрессии. В этом случае наблюдаемые значения отклоняются от линии регрессии в среднем на 4,89 единицы.

Если мы нанесем фактические точки данных вместе с линией регрессии, мы сможем увидеть это более четко:

Обратите внимание, что некоторые наблюдения попадают очень близко к линии регрессии, в то время как другие не так близки. Но в среднем наблюдаемые значения отклоняются от линии регрессии на 4,19 единицы .

Стандартная ошибка регрессии особенно полезна, поскольку ее можно использовать для оценки точности прогнозов. Примерно 95% наблюдений должны находиться в пределах +/- двух стандартных ошибок регрессии, что является быстрым приближением к 95% интервалу прогнозирования.

Если мы заинтересованы в прогнозировании с использованием модели регрессии, стандартная ошибка регрессии может быть более полезной метрикой, чем R-квадрат, потому что она дает нам представление о том, насколько точными будут наши прогнозы в единицах измерения.

Чтобы проиллюстрировать, почему стандартная ошибка регрессии может быть более полезной метрикой для оценки «соответствия» модели, рассмотрим другой пример набора данных, который показывает, сколько часов 12 студентов занимались в день в течение месяца, предшествующего важному экзамену, а также их экзаменационная оценка:

Обратите внимание, что это точно такой же набор данных, как и раньше, за исключением того, что все значения s сокращены вдвое.Таким образом, студенты из этого набора данных учились ровно в два раза дольше, чем студенты из предыдущего набора данных, и получили ровно половину экзаменационного балла.

Обратите внимание, что R-квадрат 65,76% точно такой же, как и в предыдущем примере.

Однако стандартная ошибка регрессии составляет 2,095 , что ровно вдвое меньше стандартной ошибки регрессии в предыдущем примере.

Если мы нанесем фактические точки данных вместе с линией регрессии, мы сможем увидеть это более четко:

Обратите внимание на то, что наблюдения располагаются гораздо плотнее вокруг линии регрессии. В среднем наблюдаемые значения отклоняются от линии регрессии на 2,095 единицы .

Таким образом, несмотря на то, что обе модели регрессии имеют R-квадрат 65,76% , мы знаем, что вторая модель будет давать более точные прогнозы, поскольку она имеет более низкую стандартную ошибку регрессии.

Преимущества использования стандартной ошибки

Стандартную ошибку регрессии (S) часто бывает полезнее знать, чем R-квадрат модели, потому что она дает нам фактические единицы измерения. Если мы заинтересованы в использовании регрессионной модели для получения прогнозов, S может очень легко сказать нам, достаточно ли точна модель для прогнозирования.

Например, предположим, что мы хотим создать 95-процентный интервал прогнозирования, в котором мы можем прогнозировать результаты экзаменов с точностью до 6 баллов от фактической оценки.

Наша первая модель имеет R-квадрат 65,76%, но это ничего не говорит нам о том, насколько точным будет наш интервал прогнозирования. К счастью, мы также знаем, что у первой модели показатель S равен 4,19. Это означает, что 95-процентный интервал прогнозирования будет иметь ширину примерно 2*4,19 = +/- 8,38 единиц, что слишком велико для нашего интервала прогнозирования.

Наша вторая модель также имеет R-квадрат 65,76%, но опять же это ничего не говорит нам о том, насколько точным будет наш интервал прогнозирования. Однако мы знаем, что вторая модель имеет S 2,095. Это означает, что 95-процентный интервал прогнозирования будет иметь ширину примерно 2*2,095= +/- 4,19 единиц, что меньше 6 и, следовательно, будет достаточно точным для использования для создания интервалов прогнозирования.

Дальнейшее чтение

Введение в простую линейную регрессию
Что такое хорошее значение R-квадрата?

Источник

Имея
прямую регрессии, необходимо оценить
насколько сильно точки исходных данных
отклоняются от прямой регрессии. Можно
выполнить оценку разброса, аналогичную
стандартному отклонению выборки. Этот
показатель, называемый стандартной
ошибкой оценки, демонстрирует величину
отклонения точек исходных данных от
прямой регрессии в направлении оси Y.
Стандартная ошибка оценки ()
вычисляется по следующей формуле.

Стандартная
ошибка оценки измеряет степень отличия
реальных значений Y от оцененной величины.
Для сравнительно больших выборок следует
ожидать, что около 67% разностей по модулю
не будет превышать

и около 95% модулей разностей будет не
больше 2.

Стандартная
ошибка оценки подобна стандартному
отклонению. Ее можно использовать для
оценки стандартного отклонения
совокупности. Фактически

оценивает стандартное отклонение

слагаемого ошибки

в статистической модели простой линейной
регрессии. Другими словами,

оценивает общее стандартное отклонение

нормального распределения значений Y,
имеющих математические ожидания

для каждого X.

Малая
стандартная ошибка оценки, полученная
при регрессионном анализе, свидетельствует,
что все точки данных находятся очень
близко к прямой регрессии. Если стандартная
ошибка оценки велика, точки данных могут
значительно удаляться от прямой.

2.3 Прогнозирование величины y

Регрессионную
прямую можно использовать для оценки
величины переменной Y
при данных значениях переменной X. Чтобы
получить точечный прогноз, или предсказание
для данного значения X, просто вычисляется
значение найденной функции регрессии
в точке X.

Конечно
реальные значения величины Y,
соответствующие рассматриваемым
значениям величины X, к сожалению, не
лежат в точности на регрессионной
прямой. Фактически они разбросаны
относительно прямой в соответствии с
величиной
.
Более того, выборочная регрессионная
прямая является оценкой регрессионной
прямой генеральной совокупности,
основанной на выборке из определенных
пар данных. Другая случайная выборка
даст иную выборочную прямую регрессии;
это аналогично ситуации, когда различные
выборки из одной и той же генеральной
совокупности дают различные значения
выборочного среднего.

Есть
два источника неопределенности в
точечном прогнозе, использующем уравнение
регрессии.

Неопределенность,
обусловленная отклонением точек данных
от выборочной прямой регрессии.
Неопределенность,
обусловленная отклонением выборочной
прямой регрессии от регрессионной
прямой генеральной совокупности.

Интервальный
прогноз значений переменной Y
можно построить так, что при этом будут
учтены оба источника неопределенности.

Стандартная
ошибка прогноза

дает меру вариативности предсказанного
значения Y
около истинной величины Y
для данного значения X.
Стандартная ошибка прогноза равна:

Стандартная
ошибка прогноза зависит от значения X,
для которого прогнозируется величина
Y.

минимально, когда
,
поскольку тогда числитель в третьем
слагаемом под корнем в уравнении будет
0. При прочих неизменных величинах
большему отличию соответствует большее
значение стандартной ошибки прогноза.

Если
статистическая модель простой линейной
регрессии соответствует действительности,
границы интервала прогноза величины Y
равны:

где

— квантиль распределения Стьюдента с
n-2 степенями свободы ().
Если выборка велика (),
этот квантиль можно заменить соответствующим
квантилем нормального распределения.
Например, для большой выборки 95%-ный
интервал прогноза задается следующими
значениями:

Завершим
раздел обзором предположений, положенных
в основу статистической модели линейной
регрессии.

Для
заданного значения X генеральная
совокупность значений Y имеет нормальное
распределение относительно регрессионной
прямой совокупности. На практике
приемлемые результаты получаются
и
тогда, когда значения Y имеют
нормальное распределение лишь
приблизительно.
Разброс
генеральной совокупности точек данных
относительно регрессионной прямой
совокупности остается постоянным всюду
вдоль этой прямой. Иными словами, при
возрастании значений X в точках данных
дисперсия генеральной совокупности
не увеличивается и не уменьшается.
Нарушение этого предположения называется
гетероскедастичностью.
Слагаемые
ошибок

независимы между собой. Это предположение
определяет случайность выборки точек
Х-Y.
Если точки данных X-Y
записывались в течение некоторого
времени, данное предположение часто
нарушается. Вместо независимых данных,
такие последовательные наблюдения
будут давать серийно коррелированные
значения.
В
генеральной совокупности существует
линейная зависимость между X и Y.
По аналогии с простой линейной регрессией
может рассматриваться и нелинейная
зависимость между X и У. Некоторые такие
случаи будут обсуждаться ниже.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Загрузить PDF

Стандартная ошибка оценки служит для того, чтобы выяснить, как линия регрессии соответствует набору данных. Если у вас есть набор данных, полученных в результате измерения, эксперимента, опроса или из другого источника, создайте линию регрессии, чтобы оценить дополнительные данные. Стандартная ошибка оценки характеризует, насколько верна линия регрессии.

1

Создайте таблицу с данными. Таблица должна состоять из пяти столбцов, и призвана облегчить вашу работу с данными. Чтобы вычислить стандартную ошибку оценки, понадобятся пять величин. Поэтому разделите таблицу на пять столбцов. Обозначьте эти столбцы так:^[1]
2
Введите данные в таблицу. Когда вы проведете эксперимент или опрос, вы получите пары данных — независимую переменную обозначим как , а зависимую или конечную переменную как . Введите эти значения в первые два столбца таблицы.
- Не перепутайте данные. Помните, что определенному значению независимой переменной должно соответствовать конкретное значение зависимой переменной.
- Например, рассмотрим следующий набор пар данных:
  - (1,2)
  - (2,4)
  - (3,5)
  - (4,4)
  - (5,5)
3
Вычислите линию регрессии. Сделайте это на основе представленных данных. Эта линия также называется линией наилучшего соответствия или линией наименьших квадратов. Расчет можно сделать вручную, но это довольно утомительно. Поэтому рекомендуем воспользоваться графическим калькулятором или онлайн-сервисом, которые быстро вычислят линию регрессии по вашим данным.^[2]
- В этой статье предполагается, что уравнение линии регрессии дано (известно).
- В нашем примере линия регрессии описывается уравнением $y^{{\prime }}=0,6x+2,2$ .
4

Вычислите прогнозируемые значения по линии регрессии. С помощью уравнения линии регрессии можно вычислить прогнозируемые значения «y» для значений «x», которые есть и которых нет в наборе данных.

Реклама

1
Вычислите ошибку каждого прогнозируемого значения. В четвертом столбце таблицы запишите ошибку каждого прогнозируемого значения. В частности, вычтите прогнозируемое значение ( $y^{{\prime }}$ ) из фактического (наблюдаемого) значения ().^[3]
- В нашем примере вычисления будут выглядеть так:
2
Вычислите квадраты ошибок. Возведите в квадрат каждое значение четвертого столбца, а результаты запишите в последнем (пятом) столбце таблицы.
- В нашем примере вычисления будут выглядеть так:
3
Найдите сумму квадратов ошибок. Она пригодится для вычисления стандартного отклонения, дисперсии и других величин. Чтобы найти сумму квадратов ошибок, сложите все значения пятого столбца. ^[4]
- В нашем примере вычисления будут выглядеть так:
4
Завершите расчеты. Стандартная ошибка оценки — это квадратный корень из среднего значения суммы квадратов ошибок. Обычно ошибка оценки обозначается греческой буквой $\sigma$ . Поэтому сначала разделите сумму квадратов ошибок на число пар данных. А потом из полученного значения извлеките квадратный корень.^[5]
- Если рассматриваемые данные представляют всю совокупность, среднее значение находится так: сумму нужно разделить на N (количество пар данных). Если же рассматриваемые данные представляют некоторую выборку, вместо N подставьте N-2.
- В нашем примере, скорее всего, имеет место выборка, потому что мы рассматриваем всего 5 пар данных. Поэтому стандартную ошибку оценки вычислите следующим образом:
5
Интерпретируйте полученный результат. Стандартная ошибка оценки — это статистический показатель, которые оценивает, насколько близко измеренные данные лежат к линии регрессии. Ошибка оценка «0» означает, что каждая точка лежит непосредственно на линии. Чем выше ошибка оценки, тем дальше от линии регрессии лежат точки.^[6]
- В нашем примере выборка достаточно маленькая, поэтому стандартная оценка ошибки 0,894 является довольно низкой и характеризует близко расположенные данные.
Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 5003 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник