Средняя относительная ошибка аппроксимации оценки

Для
оценки точности полученной модели будем
использовать показатель относительной
ошибки аппроксимации, который вычисляется
по формуле:

,
где

Расчет
относительной ошибки аппроксимации

Таблица
4.4

	t	Y	Предсказанное Y
	1	5	4,58	0,42	0,08
	2	7	7,21	-0,21	0,03
	3	10	9,84	0,16	0,02
	4	12	12,48	-0,48	0,04
	5	15	15,11	-0,11	0,01
	6	18	17,74	0,26	0,01
	7	20	20,38	-0,38	0,02
	8	23	23,01	-0,01	0,00
	9	26	25,64	0,36	0,01
Сумма	45	136		0,00	0,23
Среднее	5	15,11

Если
ошибка, вычисленная по формуле, не
превосходит 15%, точность модели считается
приемлемой.

5)
По построенной модели
осуществить прогноз спроса на следующие
две недели (доверительный интервал
прогноза рассчитать при доверительной
вероятности р = 70%).

Воспользуемся
функцией Excel
СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.10)

t
= 1,12

Рис.
4.6

Для
построения интервального прогноза
рассчитаем доверительный интервал.
Примем значение уровня значимости
,
следовательно, доверительная вероятность
равна 70 %, а критерий Стьюдента приравен 1,12.

Ширину
доверительного интервала вычислим по
формуле:

,
где

(находим
из таблицы 4.1)

,

.

Вычисляем
верхнюю и нижнюю границы прогноза (таб.
4.11).

Таблица
4.5

Таблица
прогноза

n +k	U (k)	Прогноз	Формула	Верхняя граница	Нижняя граница
10	U(1) =0.84	28.24	Прогноз + U(1)	29.сен	27.40
11	U(2) =1.02	30.87	Прогноз — U(2)	31.89	29.85

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Преобразуем
график подбора (рис. 4.5), дополнив его
данными прогноза.

Рис.
4.7

Соседние файлы в предмете Методы оптимизации

• #
• #

Средняя ошибка аппроксимации

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Район	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская респ.	68,8	45,1
Свердловская обл.	61,2	59,0
Башкортостан	59,9	57,2
Челябинская обл.	56,7	61,8
Пермская обл.	55,0	58,8
Курганская обл.	54,3	47,2
Оренбургская обл.	49,3	55,2

Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А_ср и F-критерий Фишера.

Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии.
а) линейное уравнение регрессии;
Использование графического метода.
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс — индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = -0.35, a = 76.88
Уравнение регрессии: y = -0.35 x + 76.88

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(y i -y cp ) 2	(y-y(x)) 2	|y — y x |:y
45,1	68,8	2034,01	4733,44	3102,88	61,28	119,12	56,61	0,1094
59	61,2	3481	3745,44	3610,8	56,47	10,98	22,4	0,0773
57,2	59,9	3271,84	3588,01	3426,28	57,09	4,06	7,9	0,0469
61,8	56,7	3819,24	3214,89	3504,06	55,5	1,41	1,44	0,0212
58,8	55	3457,44	3025	3234	56,54	8,33	2,36	0,0279
47,2	54,3	2227,84	2948,49	2562,96	60,55	12,86	39,05	0,1151
55,2	49,3	3047,04	2430,49	2721,36	57,78	73,71	71,94	0,172
384,3	405,2	21338,41	23685,76	22162,34	405,2	230,47	201,71	0,5699

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
. . .

Ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических:

F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5, Fkp = 6.61
Поскольку фактическое значение F b
в) показательная регрессия;
г) модель равносторонней гиперболы.
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 1054.67, a = 38.44
Уравнение регрессии:
y = 1054.67 / x + 38.44
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Задача №3. Расчёт параметров регрессии и корреляции с помощью Excel

По территориям региона приводятся данные за 200Х г.

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии

.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

Решим данную задачу с помощью Excel.

1. Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.

Чтобы построить поле корреляции можно воспользоваться ППП Excel. Введите исходные данные в последовательности: сначала х, затем у.

Выделите область ячеек, содержащую данные.

Затем выберете: Вставка / Точечная диаграмма / Точечная с маркерами как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 Построение поля корреляции

Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

2. Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии
воспользуемся встроенной статистической функцией ЛИНЕЙН.

1) Откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
2) Выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики.
3) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.
4) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ЛИНЕЙН. Щёлкните по кнопке ОК как показано на Рисунке 2;

Рисунок 2 Диалоговое окно «Мастер функций»

5) Заполните аргументы функции:

Известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения х – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щёлкните по кнопке ОК;

Рисунок 3 Диалоговое окно аргументов функции ЛИНЕЙН

6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу , а затем на комбинацию клавиш + + .

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента b	Значение коэффициента a
Стандартная ошибка b	Стандартная ошибка a
Коэффициент детерминации R 2	Стандартная ошибка y
F-статистика	Число степеней свободы df
Регрессионная сумма квадратов

Остаточная сумма квадратов

Рисунок 4 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Получили уровнение регрессии:

Делаем вывод: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

3. Коэффициент детерминации означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума, а 48% — действием других факторов, не включённых в модель.

По вычисленному коэффициенту детерминации можно рассчитать коэффициент корреляции: .

Связь оценивается как тесная.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результат.

Для уравнения прямой средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:

Средние значения найдём, выделив область ячеек со значениями х, и выберем Формулы / Автосумма / Среднее, и то же самое произведём со значениями у.

Рисунок 5 Расчёт средних значений функции и аргумент

Таким образом, при изменении среднедушевого прожиточного минимума на 1% от своего среднего значения среднедневная заработная плата изменится в среднем на 0,51%.

С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить:
— результаты регрессионной статистики,
— результаты дисперсионного анализа,
— результаты доверительных интервалов,
— остатки и графики подбора линии регрессии,
— остатки и нормальную вероятность.

Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к Пакету анализа. В главном меню последовательно выберите: Файл/Параметры/Надстройки.

2) В раскрывающемся списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.

3) В окне Надстройки установите флажок Пакет анализа, а затем нажмите кнопку ОК.

• Если Пакет анализа отсутствует в списке поля Доступные надстройки, нажмите кнопку Обзор, чтобы выполнить поиск.

• Если выводится сообщение о том, что пакет анализа не установлен на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить его.

4) В главном меню последовательно выберите: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия, а затем нажмите кнопку ОК.

5) Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

6) Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Затем нажмите кнопку ОК.

Рисунок 6 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 7.

Рисунок 7 Результат применения инструмента регрессия

5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Воспользуемся результатами регрессионного анализа представленного на Рисунке 8.

Рисунок 8 Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»

Составим новую таблицу как показано на рисунке 9. В графе С рассчитаем относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Рисунок 9 Расчёт средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 – 10%.

6. Из таблицы с регрессионной статистикой (Рисунок 4) выпишем фактическое значение F-критерия Фишера:

Поскольку при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

8. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

.

для числа степеней свободы

На рисунке 7 имеются фактические значения t-статистики:

t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:

I способ:

где – случайная ошибка коэффициента корреляции.

Данные для расчёта возьмём из таблицы на Рисунке 7.

II способ:

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

Поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Доверительный интервал для параметра a определяется как

Для параметра a 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как

Для коэффициента регрессии b 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:

где

Дисперсию посчитаем также с помощью ППП Excel. Для этого:

1) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.

2) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ДИСП.Г. Щёлкните по кнопке ОК.

3) Заполните диапазон, содержащий числовые данные факторного признака. Нажмите ОК.

Рисунок 10 Расчёт дисперсии

Получили значение дисперсии

Для подсчёта остаточной дисперсии на одну степень свободы воспользуемся результатами дисперсионного анализа как показано на Рисунке 7.

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при с вероятностью 0,95 определяются выражением:

Интервал достаточно широк, прежде всего, за счёт малого объёма наблюдений. В целом выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надёжным.

Условие задачи взято из: Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.: ил.

Средней ошибки аппроксимации качество уравнений

Оценка этой формы связи по коэффициенту множественной корреляции и средней ошибке аппроксимации показывает, что адекватность данной модели не подтверждается. Действительно, хотя значение коэффициента достаточно высокое (0,92), средняя ошибка аппроксимации составляет более 10% (I = 14,5%). Поэтому данная форма должна быть исключена из перебора известных уравнений регрессии. [c.29]

Анализ полученной формы связи по той же причине, что и в первом случае, позволяет сделать вывод о непригодности и этой модели. Коэффициент множественной корреляции хотя и имеет более высокое значение, чем в линейной зависимости (0,93), но по величине средней ошибки аппроксимации (б = 12,4%) это уравнение регрессии подлежит исключению из дальнейшего перебора. [c.29]

Последняя модель себестоимости добычи нефти, как показывает оценка ее по известным критериям, удовлетворяет условиям адекватности. Коэффициент множественной корреляции R составляет 0,98, что свидетельствует о том, что колеблемость исследуемого показателя более чем на 96 % определяется факторами, включенными в эту модель. При оценке по f-критерию (t R = 30,5) можно утверждать, что с вероятностью 0,99 факторы, включенные в модель, имеют существенную связь с исследуемым показателем (t a n = 2,58). Средняя ошибка аппроксимации составляет всего лишь 2,9 %, а F-критерий, характеризующий уровень остаточной дисперсии, превышает критическое (табличное) значение в четыре раза. К этому следует добавить, что полученная модель себестоимости добычи нефти представляет собой достаточно простую форму связи, легко решается и поддается экономической интерпретации. [c.30]

Оценка полученной модели по статистическим характеристикам показывает, что колеблемость затрат исследуемой подсистемы на 85 % обусловлена колеблемостью факторов, включенных в модель, коэффициент множественной корреляции высокий (/ = 0,92) и существенный (f = = 39,8), модель является адекватной, средняя ошибка аппроксимации (ё = 5,7%) меньше 10%. [c.39]

Статистический анализ показывает, что уравнение значимо Рф = 5,054 при /»табл = 3,01, корреляционное отношение равно 0,9959, ее»стандартная ошибка равна 0,0015. Среднее квадратическое отклонение расчетной себестоимости от фактической равно 0,018. Средняя ошибка аппроксимации 1,1%. [c.90]

Средняя ошибка аппроксимации [c.94]

Средняя ошибка аппроксимации. [c.95]

В случаях, когда трудно обосновать форму зависимости, решение задачи можно провести по разным моделям и сравнить полученные результаты. Адекватность разных моделей фактическим зависимостям проверяется по критерию Фишера, показателю средней ошибки аппроксимации и величине множественного коэффициента детерминации, о которых речь пойдет несколько позже (см. 7.4). [c.144]

Эти сведения вводятся в ПЭВМ и рассчитываются матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, уравнение множественной регрессии, а также показатели, с помощью которых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнения связи критерий Стьюдента, критерий Фишера, средняя ошибка аппроксимации, множественные коэффициенты корреляции и детерминации. [c.145]

Для того чтобы убедиться в надежности уравнения связи и правомерности его использования для практической цели, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи. Для этого используются критерий Фишера (F-отношение), средняя ошибка аппроксимации ( ), коэффициенты множественной корреляции (/ ) и детерминации (D). [c.151]

Для статистической оценки точности уравнения связи используется также средняя ошибка аппроксимации [c.152]

Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпиричной), тем меньше средняя ошибка аппроксимации. В нашем примере она составляет 0,0364, или 3,64 %. Учитывая, что в экономических расчетах допускается погрешность 5-8 %, можно сделать вывод, что исследуемое уравнение связи довольно точно описывает изучаемые зависимости. [c.152]

После построения уравнения регрессии необходимо сделать проверку его значимости с помощью специальных критериев установить, не является ли полученная зависимость, выраженная уравнением регрессии, случайной, т.е. можно ли ее использовать в прогнозных целях и для факторного анализа. В статистике разработаны методики строгой проверки значимости коэффициентов регрессии с помощью дисперсионного анализа и расчета специальных критериев (например, F-критерия). Нестрогая проверка может быть выполнена путем расчета среднего относительного линейного отклонения (ё), называемого средней ошибкой аппроксимации [c.123]

Модель считается адекватной, т.е. пригодной для практического использования, если средняя ошибка аппроксимации не превосходит 15%. [c.123]

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации. [c.6]

Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических [c.6]

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата ух. По ним рассчитаем показатели тесноты связи — индекс корреляции рху и среднюю ошибку аппроксимации 7, [c.13]

Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. [c.16]

Это означает, что 52% вариации заработной латы (у) объясняется вариацией фактора х — среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации [c.18]

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. [c.38]

Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации. [c.42]

Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации. [c.92]

Оцените качество каждого тренда через среднюю ошибку аппроксимации, линейный коэффициент автокорреляции отклонений. [c.166]

СРЕДНЯЯ ОШИБКА АППРОКСИМАЦИИ [c.87]

Представим расчет средней ошибки аппроксимации для уравнения ух = 9,876 + 5,129 hue в табл. 2.7. А = — 7,3 = 1,2%, что [c.88]

Расчет средней ошибки аппроксимации [c.88]

В стандартных программах чаще используется первая формула для расчета Средней ошибки аппроксимации. [c.88]

В чем смысл средней ошибки аппроксимации и как она определяется [c.89]

Средняя ошибка аппроксимации [c.10]

Выбор вида модели основан на логическом анализе изучаемых показателей, сравнении статистических характеристик (средняя ошибка аппроксимации, критерий Фишера, коэффициенты множественной корреляции и детерминации), рассчитанных для различных функций по одним и тем же первичным данным. [c.31]

Проверка приведенной в формуле (154) себестоимости по фактическим данным 103 СМУ показала, что средняя ошибка аппроксимации, определяющая степень соответствия расчетных значений фактическим, составила всего 1,5%, что вполне допустимо. [c.227]

Исчисляемый коэффициент детерминации получился равным 0,869. Это говорит о том, что размер заработной платы водителей на 86,9% зависит от Р и Л ри на 13,1% — от неучтенных в модели факторов. Средняя ошибка аппроксимации составила всего лишь 0,17%. Модель была получена на основе конкретных показателей ряда автотранспортных предприятий Владимирского транспортного управления, поэтому она может -быть использована в практической работе только на этих предприятиях. Предлагаемая же методика может быть использована в любом транспортном управлении, министерстве при планировании и анализе себестоимости автомобильных перевозок и установлении нормативов по заработной плате водителей за время работы на линии. [c.36]

После выполнения указанных действий проводится проверка на адекватность и надежность модели в целом по всем участвующим в переборе уравнениям регрессии. Для этого применяют такие показатели, как коэффициенты множественной корреляции, средняя ошибка аппроксимации и -критерий. Оценка моделей по совокупности этих характеристик позволяет установить наиболее оптимальную форму связи.
 [c.18]

Оценка этой формы связи по коэффициенту множественной корреляции и средней ошибке аппроксимации показывает, что адекватность данной модели не подтверждается. Действительно, хотя значение коэффициента достаточно высокое (0,92), средняя ошибка аппроксимации составляет более 10% (I = 14,5%). Поэтому данная форма должна быть исключена из перебора известных уравнений регрессии.
 [c.29]

Анализ полученной формы связи по той же причине, что и в первом случае, позволяет сделать вывод о непригодности и этой модели. Коэффициент множественной корреляции хотя и имеет более высокое значение, чем в линейной зависимости (0,93), но по величине средней ошибки аппроксимации (б = 12,4%) это уравнение регрессии подлежит исключению из дальнейшего перебора.
 [c.29]

Последняя модель себестоимости добычи нефти, как показывает оценка ее по известным критериям, удовлетворяет условиям адекватности. Коэффициент множественной корреляции R составляет 0,98, что свидетельствует о том, что колеблемость исследуемого показателя более чем на 96 % определяется факторами, включенными в эту модель. При оценке по f-критерию (t R = 30,5) можно утверждать, что с вероятностью 0,99 факторы, включенные в модель, имеют существенную связь с исследуемым показателем (t a n = 2,58). Средняя ошибка аппроксимации составляет всего лишь 2,9 %, а F-критерий, характеризующий уровень остаточной дисперсии, превышает критическое (табличное) значение в четыре раза. К этому следует добавить, что полученная модель себестоимости добычи нефти представляет собой достаточно простую форму связи, легко решается и поддается экономической интерпретации.
 [c.30]

Оценка полученной модели по статистическим характеристикам показывает, что колеблемость затрат исследуемой подсистемы на 85 % обусловлена колеблемостью факторов, включенных в модель, коэффициент множественной корреляции высокий (/ = 0,92) и существенный (f = = 39,8), модель является адекватной, средняя ошибка аппроксимации (ё = 5,7%) меньше 10%.
 [c.39]

Чем продолжительнее период, по данным которого построены модели, тем меньше темп роста ошибки аппроксимации при прочих равных условиях. Следовательно, чем короче период упреждения, тем короче следует брать и период анализа, и, наоборот, при долгосрочном планировании необходимо использовать максимально возможную продолжитель-
 [c.64]

Статистический анализ показывает, что уравнение значимо Рф = 5,054 при /»табл = 3,01, корреляционное отношение равно 0,9959, ее»стандартная ошибка равна 0,0015. Среднее квадратическое отклонение расчетной себестоимости от фактической равно 0,018. Средняя ошибка аппроксимации 1,1%.
 [c.90]

Средняя ошибка аппроксимации
 [c.94]

Средняя ошибка аппроксимации……,…….
 [c.95]

В случаях, когда трудно обосновать форму зависимости, решение задачи можно провести по разным моделям и сравнить полученные результаты. Адекватность разных моделей фактическим зависимостям проверяется по критерию Фишера, показателю средней ошибки аппроксимации и величине множественного коэффициента детерминации, о которых речь пойдет несколько позже (см. 7.4).
 [c.144]

Эти сведения вводятся в ПЭВМ и рассчитываются матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, уравнение множественной регрессии, а также показатели, с помощью которых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнения связи критерий Стьюдента, критерий Фишера, средняя ошибка аппроксимации, множественные коэффициенты корреляции и детерминации.
 [c.145]

Для того чтобы убедиться в надежности уравнения связи и правомерности его использования для практической цели, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи. Для этого используются критерий Фишера (F-отношение), средняя ошибка аппроксимации ( ), коэффициенты множественной корреляции (/ ) и детерминации (D).
 [c.151]

Для статистической оценки точности уравнения связи используется также средняя ошибка аппроксимации  [c.152]

Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпиричной), тем меньше средняя ошибка аппроксимации. В нашем примере она составляет 0,0364, или 3,64 %. Учитывая, что в экономических расчетах допускается погрешность 5-8 %, можно сделать вывод, что исследуемое уравнение связи довольно точно описывает изучаемые зависимости.
 [c.152]

После построения уравнения регрессии необходимо сделать проверку его значимости с помощью специальных критериев установить, не является ли полученная зависимость, выраженная уравнением регрессии, случайной, т.е. можно ли ее использовать в прогнозных целях и для факторного анализа. В статистике разработаны методики строгой проверки значимости коэффициентов регрессии с помощью дисперсионного анализа и расчета специальных критериев (например, F-критерия). Нестрогая проверка может быть выполнена путем расчета среднего относительного линейного отклонения (ё), называемого средней ошибкой аппроксимации  [c.123]

Модель считается адекватной, т.е. пригодной для практического использования, если средняя ошибка аппроксимации не превосходит 15%.
 [c.123]

Подобное обоснование является приблизительным и нуждается в дальнейшем уточнении с помощью ошибки аппроксимации.
 [c.50]

Наибольшее значение ошибки аппроксимации свидетельствует о том, что оцениваемая модель дает наиболее адекватное описание формы взаимосвязи. Причем ошибка аппроксимации не должна превышать 0,2, или 20%.
 [c.52]

Подставляя последовательно значения времени /, получим теоретические уровни товарооборота. Ошибка аппроксимации для прямолинейной формы тренда составит  [c.184]

Далее рассчитывается ошибка аппроксимации для функции тренда в виде параболы второго порядка по формуле  [c.187]

Для повышения надежности прогноза потребности в нефтепродуктах по управлению в целом и определения границ его достоверности на всех этапах прогнозирования предусматривается проведение верификации. При верификации принимаются в расчет не все частные прогнозы, а только те из них, которые удовлетворяют требованиям статистической надежности, дают наименьшую ошибку аппроксимации, подтверждаются проверкой ретроспективным методом и дают результаты, близкие к фактическим значениям за последний год ретроспективного периода. Для облегчения проведения расчетов по алгоритму (рис. 7) на каждом этапе прогнозирования (кратко-, средне- и долгосрочный прогнозы) составляются подсобные таблицы по форме 010107 (табл. 6).
 [c.63]

Очевидно, что ошибки аппроксимации носят непериодический характер. В противном случае нужно было бы повторить всю процедуру, используя в качестве исходной выборки эти ошибки, и повторять ее до тех пор, пока не будут выделены все значимые гармоники.
 [c.137]

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.
 [c.6]

Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических  [c.6]

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата ух. По ним рассчитаем показатели тесноты связи — индекс корреляции рху и среднюю ошибку аппроксимации 7,  [c.13]

А = 8,0%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.
 [c.15]

Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
 [c.16]

Это означает, что 52% вариации заработной латы (у) объясняется вариацией фактора х — среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации  [c.18]

Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера.
 [c.32]

Оцените качество модели. Для этого а) определите ошибку аппроксимации t б) найдите показатель тесноты связи прибыли с исследуемым в мо-
 [c.33]

Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
 [c.38]

Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.
 [c.42]

Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.
 [c.92]

Оцените качество каждого тренда через среднюю ошибку аппроксимации, линейный коэффициент автокорреляции отклонений.
 [c.166]

СРЕДНЯЯ ОШИБКА АППРОКСИМАЦИИ
 [c.87]

Параметры моделей и выбор формы связи, определяющие уровень затрат в зависимости от значений отобранных факторов, вычисляются по методике, изложенной в работе [51]. Затем исследуется характер изменения случайных отклонений (ошибки аппроксимации) по каждому НГДУ отдельно. Если обнаружится определенная закономерность их изменений, то вычисляется функция их изменения во времени, и далее плановый
 [c.68]

Такого рода характеристика явлений, влияющих на уровень и динамику валютного курса, является непременным этапом, предшествующим самостоятельному статистическому анализу факторов на основе конкретного цифрового материала. Дальнейший анализ выглядит чаще как моделирование взаимосвязей и оценка тесноты взаимозависимости (корреляционно-регрессионный анализ). Напомним, что выбор функции осуществляется исходя из показателей значимости уравнения и ошибок аппроксимации. Это относительная ошибка аппроксимации, средняя квадратическая ошибка аппроксимации (6ОСТ) (чем они меньше, тем лучше уравнение) и коэффициент множественной детерминации (R2) или коэффициент множественной корреляции (R) (чем ближе он к 1, тем более вероятность, что уравнение регрессии носит совершенно случайный характер). Для проверки значимости используют F-критерий с распределением Фишера.
 [c.670]

Оценка точности модели кривой роста, выбор наилучшей кривой роста

Точность модели характеризуется разностью между фактическими и расчетными значениями исследуемого показателя Y. Мерой точности является стандартная ошибка модели

.

Точность модели удобнее оценивать с помощью средней относительной ошибки аппроксимации

,

которая показывает, на сколько процентов в среднем модельные значения отличаются от фактических y_t. Если , то считается, что модель имеет достаточно высокую точность, при точность модели хорошая, при — удовлетворительная, а при — неудовлетворительная.

Если одновременно исследуются несколько моделей, то лучшей считается модель, имеющая наименьшую S_мод или Е_отн.

Продолжение примера 9. Проверить точность модели.

Решение. Стандартная ошибка линейной модели может быть определена с помощью функции Excel «СТОШYX»: млн. руб.

Средняя относительная ошибка аппроксимации

%.

Предсказанные моделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических в среднем на 4,54 млн руб., или на 6,5 %. Модель имеет хорошую точность.

Коэффициент корреляции

Тесноту (силу) связи изучаемых показателей в предмете эконометрика оценивают с помощью коэффициента корреляции Rxy, который может принимать значения от -1 до +1.

Если Rxy > 0,7 — связь между изучаемыми показателями сильная, можно проводить анализ линейной модели

Если 0,3 < Rxy < 0,7 — связь между показателями умеренная, можно использовать нелинейную модель при отсутствии Rxy > 0,7

Если Rxy < 0,3 — связь слабая, модель строить нельзя

Для нелинейной регрессии используют индекс корреляции (0 < Рху < 1):

Средняя ошибка аппроксимации

Для оценки качества однофакторной модели в эконометрике используют коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации определяется как среднее отклонение полученных значений от фактических

Допустимая ошибка аппроксимации не должна превышать 10%.

В эконометрике существует понятие среднего коэффициента эластичности Э – который говорит о том, на сколько процентов в среднем изменится показатель у от своего среднего значения при изменении фактора х на 1% от своей средней величины.

Пример нахождения коэффициента корреляции

Исходные данные:

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,	Среднедневная заработная плата, руб.,
1	81	124
2	77	131
3	85	146
4	79	139
5	93	143
6	100	159
7	72	135
8	90	152
9	71	127
10	89	154
11	82	127
12	111	162

Рассчитаем параметры парной линейной регрессии, составив таблицу

формула расчета дисперсии σ2 приведена здесь.

Коэффициенты уравнения y = a + bx определяются по формуле

Получаем уравнение регрессии: y = 0,947x + 60,279.

Коэффициент уравнения b = 0,947 показывает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1 руб. среднедневная заработная плата увеличивается на 0,947 руб.
Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Значение коэффициента корреляции более — 0,7, это означает, что связь между среднедушевым прожиточным минимумом в день одного трудоспособного и среднедневной заработной платой сильная.

Коэффициент детерминации равен R2 = 0.838^2 = 0.702
т.е. 70,2% результата объясняется вариацией объясняющей переменной x.

По территориям региона приводятся данные за 200Х г.

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии

.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

Решим данную задачу с помощью Excel.

1. Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.

Чтобы построить поле корреляции можно воспользоваться ППП Excel. Введите исходные данные в последовательности: сначала х, затем у.

Выделите область ячеек, содержащую данные.

Затем выберете: Вставка / Точечная диаграмма / Точечная с маркерами как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 Построение поля корреляции

Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

2. Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии
воспользуемся встроенной статистической функцией ЛИНЕЙН.

Для этого:

1) Откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
2) Выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики.
3) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.
4) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ЛИНЕЙН. Щёлкните по кнопке ОК как показано на Рисунке 2;

Рисунок 2 Диалоговое окно «Мастер функций»

5) Заполните аргументы функции:

Известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения х – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щёлкните по кнопке ОК;

Рисунок 3 Диалоговое окно аргументов функции ЛИНЕЙН

6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем на комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Рисунок 4 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Получили уровнение регрессии:

Делаем вывод: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

3. Коэффициент детерминации означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума, а 48% — действием других факторов, не включённых в модель.

По вычисленному коэффициенту детерминации можно рассчитать коэффициент корреляции: .

Связь оценивается как тесная.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результат.

Для уравнения прямой  средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:

Средние значения найдём, выделив область ячеек со значениями х, и выберем Формулы / Автосумма / Среднее, и то же самое произведём со значениями у.

Рисунок 5 Расчёт средних значений функции и аргумент

Таким образом, при изменении среднедушевого прожиточного минимума на 1% от своего среднего значения среднедневная заработная плата изменится в среднем на 0,51%.

С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить:
— результаты регрессионной статистики,
— результаты дисперсионного анализа,
— результаты доверительных интервалов,
— остатки и графики подбора линии регрессии,
— остатки и нормальную вероятность.

Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к Пакету анализа. В главном меню последовательно выберите: Файл/Параметры/Надстройки.

2) В раскрывающемся списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.

3) В окне Надстройки установите флажок Пакет анализа, а затем нажмите кнопку ОК.

• Если Пакет анализа отсутствует в списке поля Доступные надстройки, нажмите кнопку Обзор, чтобы выполнить поиск.

• Если выводится сообщение о том, что пакет анализа не установлен на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить его.

4) В главном меню последовательно выберите: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия, а затем нажмите кнопку ОК.

5) Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

6) Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Затем нажмите кнопку ОК.

Рисунок 6 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 7.

Рисунок 7 Результат применения инструмента регрессия

5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Воспользуемся результатами регрессионного анализа представленного на Рисунке 8.

Рисунок 8 Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»

Составим новую таблицу как показано на рисунке 9. В графе С рассчитаем относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Рисунок 9 Расчёт средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как  не превышает 8 – 10%.

6. Из таблицы с регрессионной статистикой (Рисунок 4) выпишем фактическое значение F-критерия Фишера:

Поскольку при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

8. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

.

для числа степеней свободы

На рисунке 7 имеются фактические значения t-статистики:

t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:

I способ:  

где – случайная ошибка коэффициента корреляции.

Данные для расчёта возьмём из таблицы на Рисунке 7.

II способ:

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

Поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Доверительный интервал для параметра a определяется как

Для параметра a 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как

Для коэффициента регрессии b 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:

где

Дисперсию посчитаем также с помощью ППП Excel. Для этого:

1) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.

2) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ДИСП.Г. Щёлкните по кнопке ОК.

3) Заполните диапазон, содержащий числовые данные факторного признака. Нажмите ОК.

Рисунок 10 Расчёт дисперсии

Получили значение дисперсии

Для подсчёта остаточной дисперсии на одну степень свободы воспользуемся результатами дисперсионного анализа как показано на Рисунке 7.

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при с вероятностью 0,95 определяются выражением:

Интервал достаточно широк, прежде всего, за счёт малого объёма наблюдений. В целом выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надёжным.

Условие задачи взято из: Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.: ил.

Качество регрессионной модели. Нелинейная регрессия

Значимость уравнения регрессии еще не означает, что выбранная модель достаточно правильно (адекватно) описывает исследуемое экономическое явление. Применение неадекватной модели для целей анализа и прогнозирования может приводить к неоправданно большим ошибкам. Если модель адекватна, то остатки регрессии представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины с одинаковой дисперсией. В случае неадекватности модели остатки содержат также и систематическую составляющую, а закон их распределения отличается от нормального. Проверка адекватности регрессионной модели рассматривается в § 3.8.

Обычно в начале исследуется линейная модель, для которой после оценки параметров и проверки значимости уравнения регрессии определяется коэффициент детерминации и оценивается точность.

Коэффициент детерминации R 2 рассчитывается по формуле

.

(2.19)

Его значение показывает долю вариации результата Y, обусловленную вариацией фактора X. К примеру, если R 2 =0,856, то это означает, что 85,6 % вариации результата Y вызвано вариацией фактора X, а соответственно 14,4 % ( ) — неучтенными и случайными факторами. Коэффициент детерминации принимает значения в интервале от 0 до 1. Чем ближе R 2 к единице, тем лучше модель объясняет вариацию Y, а уравнение регрессии аппроксимирует фактические данные.

Заметим, что для линейной парной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции: , а стандартная ошибка регрессии S_рег связана с R 2 соотношением

,

(2.20)

где S_y — стандартное отклонение зависимой переменной Y в исходных данных.

Коэффициент детерминации и F–статистика Фишера (см. § 2.3) связаны между собой соотношением

,

(2.21)

где n — число наблюдений; m — число оцениваемых параметров регрессионной модели, включая свободный коэффициент b₀.

В случае парной линейной регрессии m=2 и

.

(2.22)

Точность модели, т.е. близость линии регрессии к фактическим данным,характеризует средняя относительная ошибка аппроксимации

.

(2.23)

Если Е_отн не превышает 10 %, то считается, что модель имеет высокую точность, при точность модели хорошая, при — удовлетворительная, а при — неудовлетворительная.

Средняя относительная ошибка аппроксимации Е_отн связана со стандартной ошибкой регрессии S_рег приближенным соотношением

.

(2.24)

Расхождение между формулами (2.23) и (2.24) обычно незначительное, особенно при достаточно большом объеме наблюдений ( ).

После анализа качества линейной модели переходят к исследованию нелинейных моделей, коэффициент детерминации и средняя относительная ошибка аппроксимации которых, определяются по тем же самым формулам и имеют тот же смысл, что и для линейной модели. Наиболее часто на практике используются нелинейные модели, приведенные в табл. 2.2.

Значимость нелинейного уравнения регрессии проверяется по F‑критерию Фишера. Лучшей считается модель, имеющая наибольший коэффициент детерминации R 2 . При незначительных расхождениях в значениях R 2 предпочтение отдается более простой модели. Если модель предполагается использовать для целей анализа, то ее параметры должны иметь содержательную экономическую интерпретацию. Интерпретация параметров степенной, показательной и логарифмической регрессий рассматривается в приведенных ниже примерах.

Таблица	2.2
Часто используемые на практике нелинейные модели

Форма связи	Модель	Уравнение регрессии
1. Степенная
2. Показательная
3. Экспоненциальная (другой вид показательной связи)
4. Логарифмическая
5. Гиперболическая
6. Полиноминальная разных степеней (q — степень полинома)

Решение типовых задач

Пример 2.1

По десяти однородным предприятиям имеется информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (результативная переменная Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (фактор X, млн. руб.):

Предприятие	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К
Y
X

1. Рассчитать парный коэффициент корреляции между переменными Y и X и проверить его статистическую значимость (уровень значимости a=0,05).

2. Найти параметры уравнения линейной регрессии Y по X и дать их экономическую интерпретацию.

3. Вычислить коэффициент детерминации R 2 и пояснить его смысл.

4. Проверить статистическую значимость уравнения регрессии по F-критерию Фишера (a=0,05).

5. Определить стандартную ошибку регрессии и оценить точность модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

6. Построитьдоверительные интервалы для истинных параметров b₀ и b₁ регрессионной модели и проверить статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии по t-критерию Стьюдента (a=0,05).

7. Спрогнозировать с доверительной вероятностью 0,9 значение показателя Y, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от максимального значения в исходных данных.

8. Изобразить графически результаты моделирования и прогнозирования.

1. Для определения парного коэффициента корреляции r_y,x между переменными Y и X в EXCEL может быть использована любая из встроенных функций «КОРРЕЛ» или «ПИРСОН». Использование встроенных функций EXCEL рассмотрено в § 5.4.

Коэффициент корреляции имеет значение

.

Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы составляет r_кр=0,632, где n=10 — число пар значений переменных. Видно, что коэффициент корреляции превышает по абсолютной величине критическое значение и следовательно является статистически значимым. Положительное значение коэффициента корреляции свидетельствует о прямой связи между переменными Y и X, а превышение им по абсолютной величине 0,8 — о тесной линейной связи.

2. Линейная модель парной регрессии Y по X и уравнение регрессии соответственно имеют вид:

;

.

Коэффициенты уравнения регрессии определяем с помощью встроенных функций «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» соответственно. Они имеют значения:

млн. руб.;

.

Окончательно уравнение регрессии —

.

Значение свободного коэффициента b₀ показывает, что при нулевом объеме капиталовложений X объем выпускаемой продукции Y будет составлять в среднем 13,92 млн. руб. Значение углового коэффициента b₁=0,785 показывает, что при увеличении объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции возрастает в среднем на 0,785 млн. руб.

3. Коэффициент детерминации R 2 парной линейной регрессии определяется с помощью встроенной функции EXCEL «КВПИРСОН». Получим:

.

Значение R 2 показывает, что линейная модель объясняет 86,9 % вариации Y. Другими словами, 86,9 % вариации объема выпускаемой продукции Y обусловлена вариацией объема капиталовложений X.

4. Для проверки статистической значимости уравнения регрессии F‑статистику Фишера определимчерез коэффициент детерминации по формуле (2.22):

.

Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости a=0,05 и чисел степеней свободы числителя (регрессии) и знаменателя (остатка) составляет F_таб=5,32. Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом.

5. Стандартная ошибка линейной парной регрессии S_рег (см. § 2.2) определяется с помощью встроенной функции EXCEL «СТОШYX». Имеем:

млн. руб.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн рассчитаем по приближенной формуле

%,

где млн. руб. — средний объем выпускаемой продукции, определенный с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ».

Значение Е_отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,1 %. Так как средняя относительная ошибка аппроксимации меньше 10 %, то это свидетельствует о высокой точности линейной модели.

6. Для определения интервальных оценок истинных параметров b₀ и b₁ регрессионной модели рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии:

млн. руб.;

,

где млн. руб. — стандартное отклонение переменной X в исходных данных, определяемое с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»; — сумма квадратов значений переменной X в исходных данных (функция «СУММКВ»).

Доверительный интервал, «накрывающий» с заданной надежностью 0,95 неизвестное значение параметра b₀ модели, имеет вид:

млн. руб.,

где t_таб=2,306 — табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии .

Таким образом, с доверительной вероятностью 95 % истинное значение параметра b₀ будет находиться в интервале от 3,89 до 23,95 млн. руб. Так как нижняя и верхняя границы доверительного интервала имеют одинаковый знак, то коэффициент b₀ уравнения регрессии признается статистически значимым на уровне значимости a=0,05.

Доверительный интервал для параметра b₁ модели имеет вид:

.

Это означает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y с вероятностью 95 % возрастает в среднем на величину, заключенную в интервале от 0,536 до 1,034 млн. руб. Один и тот же знак доверительных границ свидетельствует о статистической значимости коэффициента b₁ и уравнения регрессии в целом на уровне a=0,05.

7. Спрогнозируем объем выпускаемой продукции Y, если прогнозное значение x₀ объема капиталовложений X составит 80 % от своего максимального значения в исходных данных x_max=59 млн. руб.:

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение объема выпускаемой продукции (точечный прогноз) равно

млн. руб.

Точечный прогноз можно рассчитать и с помощью встроенной функции «ПРЕДСКАЗ».

Стандартная ошибка прогноза фактического значенияобъема выпускаемой продукции y₀ рассчитывается по формуле

млн. руб.,

где млн. руб. — средний объем капиталовложений, определенный с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ».

Интервальный прогноз фактического значения объема выпускаемой продукции y₀ с надежностью g=0,9 (уровень значимости a=0,1) имеет вид:

млн. руб.,

где t_таб=1,860 — табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости a=0,1 и числе степеней свободы .

Объем выпускаемой продукции с вероятностью 90 % будет находиться в интервале от 43,13 до 58,81 млн. руб.

8. График, на котором изображены фактические и предсказанные уравнением регрессии значения Y, строим с помощью надстройки «Мастер диаграмм» EXCEL (рис. 2.5). Данная надстройка позволяет построить линии нескольких видов регрессии (линейной, степенной, логарифмической, экспоненциальной и полиноминальной), определить их уравнение и коэффициент детерминации. Использование «Мастера диаграмм» рассмотрено в § 5.1.

рис. 2.5. Линия линейной парной регрессии и точки прогноза

Пример 2.2

Используя исходные данные предыдущего примера, выполнить следующие действия:

1. С помощью табличного процессора EXCEL построить уравнения линейной, логарифмической, степенной и показательной регрессий Y по X. Для указанных регрессий:

· привести графики их линий;

· дать экономическую интерпретацию параметрам уравнений;

· найти коэффициенты детерминации;

· проверить статистическую значимость уравнений по F-критерию Фишера;

· оценить точность моделей с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

2. Сравнить построенные модели между собой и выбрать лучшую из них для целей анализа и прогнозирования.

1. Линейную, степенную, логарифмическую и показательную регрессии строим с помощью «Мастера диаграмм» EXCEL. Линейная и степенная регрессии показаны на рис. 2.6, логарифмическая и показательная — на рис. 2.7. На графиках приводятся не только линии регрессии, но также их уравнения и коэффициенты детерминации (см. § 5.1).

рис. 2.6. Линии линейной и степенной регрессий

рис. 2.7. Линии логарифмической и показательной регрессий

Рассмотрим последовательно каждую модель.

1) Уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

Угловой коэффициент b₁=0,785 является показателем среднего абсолютного прироста. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,785 млн. руб.

Коэффициент детерминации R 2 =0,869 показывает, что линейная модель объясняет 89,8 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F-статистика Фишера линейной модели определяем через коэффициент детерминации R 2 по формуле

.

Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости a=0,05 и чисел степеней свободы числителя (регрессии) и знаменателя (остатка) составляет F_таб=5,32. Так как F-статистика превышает табличное значение, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения линейной регрессии в целом.

Следует заметить, что табличное значение F-критерия Фишера одинаково как для линейной, так и для всех нелинейных моделей, которые здесь строятся (F_таб=5,32).

Стандартная ошибка линейной регрессии рассчитывается по формуле

млн. руб.,

где млн. руб. — стандартное отклонение переменной X в исходных данных, определенное с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН».

Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

%,

где млн. руб. — средний объем выпускаемой продукции, определенный с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ».

Предсказанные уравнением линейной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,1 %.

2) Уравнение степенной регрессии выглядит следующим образом:

.

Показатель степени b₁=0,721 является средним коэффициентом эластичности. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,721 %.

Коэффициент детерминации R 2 =0,873 показывает, что степенная модель объясняет 87,3 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F-статистика степенной модели

также превышает табличное значение F-критерия Фишера (F_таб=5,32), что указывает на статистическую значимость уравнения степенной регрессии.

Стандартную ошибку и среднюю относительную ошибку аппроксимации нелинейных регрессий будем определять по тем же самым формулам, что и для линейной модели. Для степенной регрессии они равны:

млн. руб.;

%.

Предсказанные уравнением степенной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,0 %.

3) Уравнение логарифмической регрессии имеет вид:

.

Значение параметра b₁=29,9 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на млн. руб.

Коэффициент детерминации R 2 =0,898 показывает, что логарифмическая модель объясняет 89,8 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F-статистика Фишера логарифмической модели равна

и превышает табличное значение F-критерия Фишера (F_таб=5,32). Это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии.

Стандартная ошибка логарифмической регрессии составляет

млн. руб.

Средняя относительная ошибка аппроксимации имеет значение

%.

Предсказанные уравнением логарифмической регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 6,2 %.

4) Уравнение показательной регрессии определяется через экспоненциальную регрессию:

,

где е=2,718… — основание натуральных логарифмов; — функция экспоненты (в EXCEL встроенная функция «EXP»).

Параметр b₁=1,019 показательной регрессии является средним коэффициентом роста. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпуска продукции Y возрастает в среднем в 1,019 раза, т.е. на 1,9 %.

Заметим, что параметр b₁ экспоненциальной регрессии , умноженный на 100, является средним темпом прироста, выраженным в процентах. Данный вывод вытекает из приближенного соотношения , при относительно малых значениях a ( ).

Уравнения показательной и экспоненциальной регрессии являются эквивалентными.

Коэффициент детерминации R 2 =0,821 показывает, что показательная модель объясняет 82,1 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

F-статистика показательной модели

превышает табличное значение F-критерия Фишера (F_таб=5,32), что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии.

Стандартная ошибка показательной регрессии

млн. руб.

Средняя относительная ошибка аппроксимации

%.

Предсказанные уравнением показательной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 8,3 %.

2. Сравнивая между собой коэффициенты детерминации R 2 четырех моделей, можно придти к выводу, что лучшей из них является логарифмическая модель, так как она имеет самое большое значение R 2 . Эту модель и целесообразно использовать в качестве рабочей для анализа и прогнозирования изменения объема выпускаемой продукции Y в зависимости от изменения объема капиталовложений X.

Заметим, что при выборе лучшей модели из четырех рассмотренных для целей анализа параметр b₁ должен иметь содержательную интерпретацию. Так, если бы переменные X и Y были относительными величинами и измерялись в процентах, то корректная интерпретация параметра b₁ нелинейных моделей оказалась бы затруднительной. В этом случае для прогнозирования следовало бы выбрать модель с большим R 2 , а для целей анализа — линейную модель.

Пример 2.3

В магазине исследуется зависимость количества реализованных за день упаковок шампуня (Y, шт.) от цены одной упаковки (X, руб.). Имеется информация по одиннадцати наименованиям шампуня:

Шампунь	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л
Y
X

Выполнить те же самые действия, что и в предыдущем примере.

1. Линейную, степенную, логарифмическую и показательную регрессии строим с помощью «Мастера диаграмм» EXCEL. Линейная и степенная регрессии показаны на рис. 2.8, логарифмическая и показательная — на рис. 2.9.

Используя формулы предыдущего примера, рассчитаем для каждой модели коэффициент детерминации R 2 , F-статистику Фишера, стандартную ошибку регрессии S_рег и среднюю относительную ошибку аппроксимации E_отн ( шт.; S_y=13,631 шт.). Полученные результаты сведены в табл. 2.3.

рис. 2.8. Линии линейной и степенной регрессий

рис. 2.9. Линии логарифмической и показательной регрессий

Таблица	2.3
Сводная таблица результатов моделирования

Модель	Уравнение регрессии	R 2	F	Sрег, шт.	Eотн, %
1. Линейная		0,788	33,45	6,62	11,8
2. Степенная		0,857	53,94	5,43	9,7
3. Логарифмическая		0,834	45,22	5,86	10,4
4. Показательная (экспоненциальная)	( )	0,825	42,43	6,01	10,7

Очевидно, что между переменными X и Y имеется обратная статистическая связь. На это указывают отрицательные значения параметра b₁ линейного, степенного и логарифмического уравнений регрессии, а также меньшее единицы значение параметра b₁ показательного уравнения. Все уравнения регрессии статистически значимы на уровне значимости a=0,05 ( ; ; F_таб=5,12).

Угловой коэффициент b₁=–0,933 линейной регрессии показывает, что при увеличении цены шампуня X на 1 руб. количество проданных упаковок Y уменьшается в среднем на 0,933 шт. Линейная модель объясняет 78,8 % вариации Y (R 2 =0,788). Предсказанные уравнением регрессии значения Y отличаются от фактических значений в среднем на 11,8 %.

Показатель степени b₁=–0,888 степенной регрессии показывает, что при увеличении цены X на 1 % число реализованных упаковок Y уменьшается в среднем на 0,888 %. Степенная модель объясняет 85,7 % вариации Y. Предсказанные уравнением регрессии значения Y отличаются от фактических в среднем на 9,7 %.

Значение параметра b₁=39,6 логарифмической регрессии показывает, что при увеличении цены единицы продукции X на 1 % количество проданных упаковок Y уменьшается в среднем на шт. Логарифмическая модель объясняет 83,4 % вариации Y. Средняя погрешность предсказания составляет 10,4 %.

Значение основания степени b₁=0,979 показательной регрессии показывает, что при увеличении цены X на 1 руб. объем реализации Y составит в среднем 97,9 % от первоначального значения, или, другими словами, уменьшится на . Это же значение получается, если умножить на 100 параметр «–0,021» экспоненциальной регрессии (см. табл. 2.3). Показательная модель объясняет 82,5 % вариации Y. Предсказанные уравнением регрессии значения Y отличаются от фактических в среднем на 10,7 %.

2. Сравнивая между собой коэффициенты детерминации R 2 четырех построенных моделей, приходим к выводу, что лучшей является степенная модель, имеющая наибольший R 2 . Эту модель и целесообразно использовать в качестве рабочей для анализа и прогнозирования изменения объема реализации Y от изменения цены единицы продукции X.

Контрольные задания

Используя приведенные ниже данные, выполнить расчеты в соответствии с заданием к примерам 2.1 и 2.2. В вариантах 1 – 5 между переменными присутствует прямая связь, в вариантах 6 – 10 — обратная связь.

Вариант 1(прямая связь)

Вариант 2(прямая связь)

Вариант 3(прямая связь)

Вариант 4(прямая связь)

Вариант 5(прямая связь)

Вариант 6(обратная связь)

Вариант 7(обратная связь)

Вариант 8(обратная связь)

Вариант 9(обратная связь)

Вариант 10(обратная связь)

Тестовые вопросы для самоконтроля

Из перечня предлагаемых ответов на вопрос только один является правильным. Правильные ответы приведены на с. 151. Числовые данные тестов можно использовать как исходные для рассмотренных в § 2.7 примеров.

По десяти интернет-брокерам в секции фондового рынка имеются данные, характеризующие зависимость годового торгового оборота (Y, млрд. руб.) от средней ставки маржинального кредитования (X, % годовых):

Компания	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К
Y	30,82	30,8	25,14	14,1	12,73	10,8	9,74	8,42	7,65
X	16,5

Парный коэффициент линейной корреляции между переменными Y и X имеет значение r_y,x=–0,451.

Охарактеризовать линейную связь между торговым оборотом Y и средней ставкой маржинального кредитования X, если критическое значение коэффициента корреляции на уровне значимости a=0,05 составляет r_кр=0,632.

а) Линейная связь статистически значимая.

б) Линейная связь статистически незначимая.

в) Линейная связь тесная.

г) Линейная связь прямая функциональная.

д) Линейная связь обратная функциональная.

По семи целлюлозно-бумажным компаниям имеются данные, характеризующие зависимость объема выпускаемой продукции (Y, млн. долл. США) от производственной мощности (X, тыс. тонн целлюлозы в год), по итогам года:

Компания	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж
Y
X

Стандартные отклонения переменных Y и X и парный коэффициент корреляции между ними имеют соответственно значения: S_y=344 млн. долл. США, S_x=824 тыс. тонн, r_y,x=0,988.

На сколько в среднем увеличивается объем выпускаемой продукции Y при росте производственной мощности X на одну тысячу тонн целлюлозы в год?

а) На 0,344 млн. долл.

б) На 0,824 млн. долл.

в) На 0,412 млн. долл.

г) На 0,988 млн. долл.

д) На 0,280 млн. долл.

Исследуется связь между официальными курсами доллара США (Y, руб./USD) и евро (X, руб./EUR), установленными Центральным банком Российской Федерации. Имеются данные за десять последовательных дней:

День
Y	28,11	27,97	27,97	28,01	27,98	28,12	28,19	28,13	28,09	28,07
X	36,59	36,46	36,56	36,47	36,28	36,13	35,98	35,97	36,00	36,13

Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной регрессии Y по X:

.

Суммы квадратов отклонений зависимой переменной Y от своего среднего значения составляют:

· обусловленная регрессией — SS_рег=0,0240;

Рассчитать F-статистику и проверить статистическую значимость уравнения регрессии, если табличное значение F‑критерия Фишера на уровне значимости a=0,05 составляет F_таб=5,32.

а) F=6,17; уравнение регрессии статистически значимо.

б) F=0,77; уравнение регрессии статистически незначимо.

в) F=1,77; уравнение регрессии статистически незначимо.

г) F=2,54; уравнение регрессии статистически незначимо.

д) F=14,17; уравнение регрессии статистически значимо.

По девяти из наиболее прибыльных компаний региона имеются данные, характеризующие зависимость чистой прибыли (Y, млн. руб.) от объема реализации (X, млн. руб.) по итогам одного года:

Компания	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И
Y
X

Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной регрессии Y по X:

.

Коэффициент детерминациисоставляет R 2 =0,540.

Рассчитать F-статистику и проверить статистическую значимость уравнения регрессии на уровне a=0,05, если табличное значение F‑критерия Фишера составляет F_таб=5,59.

а) F=0,73; уравнение регрессии статистически незначимо.

б) F=1,17; уравнение регрессии статистически незначимо.

в) F=3,91; уравнение регрессии статистически значимо.

г) F=8,22; уравнение регрессии статистически значимо.

д) F=22,6; уравнение регрессии статистически значимо.

По восьми крупнейшим западным банкам-консультантам на рынке M&A (сопровождение сделок по слияниям и поглощениям) имеются данные, характеризующие зависимость размера комиссионных (Y, млн. долл. США) от объема сделок (X, млрд. долл. США), по итогам трех кварталов года:

Банк	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З
Y
X	305,5	265,7	240,4	149,3	101,6	114,6	122,2

Уравнение линейной регрессии Y по X имеет вид:

.

Стандартные ошибки коэффициентов уравнения составляют:

· свободного коэффициента — млн. долл.;

· углового коэффициента — млн. долл./млрд. долл.

Проверить статистическую значимость уравнения регрессии на уровне значимости a=0,05 для чего рассчитать соответствующую t-статистику. Табличное значение t‑критерия Стьюдента составляет t_таб=2,447.

а) t=0,892; уравнение регрессии статистически незначимо.

б) t=2,510; уравнение регрессии статистически значимо.

в) t=1,121; уравнение регрессии статистически незначимо.

г) t=3,404; уравнение регрессии статистически значимо.

д) t=3,816; уравнение регрессии статистически значимо.

По семи оценочным компаниям имеются данные, характеризующие зависимость совокупной выручки за полугодие (Y, тыс. руб.) от количества специалистов-оценщиков (X, чел.):

Компания	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж
Y
X

С помощью «Мастера диаграмм» EXCEL были получены уравнения линейной, степенной, показательной и логарифмической регрессий Y по X, и для каждой модели определен коэффициент детерминации R 2 :

· линейная: ; R 2 =0,877;

· степенная: ; R 2 =0,858;

· показательная: ; R 2 =0,939;

· логарифмическая: ; R 2 =0,780.

Какая из моделей лучше характеризует вариацию совокупной выручки Y?

Исследуется связь между ценой нефти марки Urals (Y, долл. США/баррель) и ценой нефти марки Brent (X, долл./баррель) по итогам торгов на Международной нефтяной бирже за десять торговых дней:

День
Y	39,91	41,18	40,38	39,4	39,44	39,54	40,04	38,42	38,49	39,81
X	44,8	45,87	44,64	43,65	43,38	43,69	43,05	42,93	42,98	44,42

Было получено уравнение линейной регрессии Y по X:

.

Дать правильную экономическую интерпретацию угловому коэффициенту b₁=0,715 уравнения регрессии.

Угловой коэффициент b₁=0,715 уравнения регрессии показывает, что …

а) … 71,5 % вариации цены нефти Urals объясняется вариацией цены нефти Brent.

б) … с ростом цены нефти Brent на один процент цена нефти Urals возрастает в среднем на 0,715 %.

в) … с ростом цены нефти Brent на один процент цена нефти Urals возрастает в среднем на 0,715 долл./баррель.

г) … с ростом цены барреля нефти Brent на один доллар цена барреля нефти Urals возрастает в среднем на 0,715 %.

д) … с ростом цены барреля нефти Brent на один доллар цена барреля нефти Urals возрастает в среднем на 0,715 доллара.

Исследуется зависимость месячного торгового оборота универсального магазина (Y, млн. руб.) от размера торговых площадей (X, м 2 ). Имеются данные по восьми универмагам города:

Магазин	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З
Y
X

Было получено уравнение степенной регрессии Y по X:

.

Дать правильную экономическую интерпретацию показателю степени b₁=0,552 в уравнении регрессии.

Показатель степени b₁=0,552 в уравнении регрессии показывает, что …

а) … 55,2 % вариации торгового оборота объясняется вариацией размера торговых площадей.

б) … с увеличением размера торговых площадей на один процент торговый оборот возрастает в среднем на 0,552 %.

в) … с увеличением размера торговых площадей на один процент торговый оборот возрастает в среднем на 0,552 млн. руб.

г) … с увеличением размера торговых площадей на один квадратный метр торговый оборот возрастает в среднем на 0,552 %.

д) … с увеличением размера торговых площадей на один квадратный метр торговый оборот возрастает в среднем на 0,552 млн. руб.

По девяти туристическим агентствам города исследуется зависимость месячного торгового оборота (Y, тыс. долл. США) от количества менеджеров по туризму (X, чел.):

Турагентство	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И
Y
X

Было получено уравнение показательной регрессии Y по X:

.

Дать правильную экономическую интерпретацию основанию степени b₁=1,076 в уравнении регрессии.

Основание степени b₁=1,076 в уравнении регрессии показывает, что …

а) … с увеличением численности менеджеров по туризму на одного человека торговый оборот возрастает в среднем в 1,076 раз, т.е. на 7,6 %.

б) … с увеличением численности менеджеров по туризму на одного человека торговый оборот возрастает в среднем на 1,076 %.

в) … с увеличением численности менеджеров по туризму на одного человека торговый оборот возрастает в среднем на 1,076 тыс. руб.

г) … с увеличением численности менеджеров по туризму на один процент торговый оборот возрастает в среднем в 1,076 раз, т.е. на 7,6 %.

д) … 1,076 % вариации торгового оборота объясняется вариацией численности менеджеров по туризму.

Исследуется связь между учетной ценой Банка России на аффинированное золото (Y, руб./г) и ценой золота на мировых рынках (X, долл. за тройскую унцию) по данным за десять последовательных дней:

День
Y	390,38	391,74	393,61	378,8	377,01	381,28	383,09	372,84	374,48	381,19
X	438,9	441,1	422,2	422,5	423,3	426,8	415,9	418,85	427,1

Методом наименьших квадратов было получено уравнение линейной регрессии Y по X:

.

Построить интервальный прогноз учетной цены Банка России на аффинированное золото y₀ с надежностью 90 % при цене золота x₀=410 долл. за тройскую унцию, если стандартная ошибка прогноза фактического значения Y при этом составляет руб./г, а табличное значение t-критерия Стьюдента — t_таб=1,86.

С вероятностью 0,9 учетная цена золота будет находиться в интервале …

Уравнение нелинейной регрессии

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии

Виды нелинейной регрессии

Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.

Уравнению регрессии первого порядка — это уравнение парной линейной регрессии.

Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .

Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .

Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):

1. Замена переменных.
2. Логарифмирование обеих частей уравнения.
3. Комбинированный.

y = f(x)	Преобразование	Метод линеаризации
y = b x a	Y = ln(y); X = ln(x)	Логарифмирование
y = b e ax	Y = ln(y); X = x	Комбинированный
y = 1/(ax+b)	Y = 1/y; X = x	Замена переменных
y = x/(ax+b)	Y = x/y; X = x	Замена переменных. Пример
y = aln(x)+b	Y = y; X = ln(x)	Комбинированный
y = a + bx + cx 2	x1 = x; x2 = x 2	Замена переменных
y = a + bx + cx 2 + dx 3	x1 = x; x2 = x 2 ; x3 = x 3	Замена переменных
y = a + b/x	x1 = 1/x	Замена переменных
y = a + sqrt(x)b	x1 = sqrt(x)	Замена переменных

Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
8. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Год	Фактическое конечное потребление домашних хозяйств (в текущих ценах), млрд. руб. (1995 г. — трлн. руб.), y	Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), руб. (1995 г. — тыс. руб.), х
1995	872	515,9
2000	3813	2281,1
2001	5014	3062
2002	6400	3947,2
2003	7708	5170,4
2004	9848	6410,3
2005	12455	8111,9
2006	15284	10196
2007	18928	12602,7
2008	23695	14940,6
2009	25151	16856,9

Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии. Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) — 49694.9535

Нелинейные модели регрессии. Виды нелинейных уравнений регрессии. Линеаризация нелинейных моделей регрессии. Оценка качества нелинейных уравнений регрессии.

При исследовании социально-экономических явлений и процессов далеко не все зависимости можно описать с помощью линейной связи. Поэтому в эконометрическом моделировании широко используется класс нелинейных моделей регрессии, которые делятся на два класса:

1) модели регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ независимых переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) модели регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

К моделям регрессии, нелинейным относительно включённых в анализ независимых переменных (но линейных по оцениваемым параметрам), относятся полиномы выше второго порядка и гиперболическая функция.

Модели регрессии, нелинейным относительно включённых в анализ независимых переменных, характеризуются тем, что зависимая переменная yi линейно связана с параметрами β0…βn модели.

Полиномы или полиномиальные функции применяются при анализе процессов с монотонным развитием и отсутствием пределов роста. Данному условию отвечают большинство экономических показателей (например, натуральные показатели промышленного производства). Полиномиальные функции характеризуются отсутствием явной зависимости приростов факторных переменных от значений результативной переменной yi.

Общий вид полинома n-го порядка (n-ой степени):

Чаще всего в эконометрическом моделировании применяется полином второго порядка (параболическая функция), характеризующий равноускоренное развитие процесса (равноускоренный рост или снижение уровней):

Полиномы, чей порядок выше четвёртого, в эконометрических исследованиях обычно не применяются, потому что они не способны точно отразить существующую зависимость между результативной и факторными переменными.

Гиперболическая функция характеризует нелинейную зависимость между результативной переменной yi и факторной переменной xi, однако, данная функция является линейной по оцениваемым параметрам β0 и β1.

Гиперболоид или гиперболическая функция имеет вид:

Данная гиперболическая функция является равносторонней.

В качестве примера эконометрической модели в виде гиперболической функции можно привести модель зависимости затрат на единицу продукции от объёма производства.

Неизвестные параметры β0…βn модели регрессии, нелинейной по факторным переменным, можно найти только после того, как модели будет приведена к линейному виду.

Для того чтобы оценить неизвестные параметры β0…βn нелинейной регрессионной модели необходимо привести её к линейному виду. Суть процесс линеаризации нелинейных по факторным переменным моделей регрессии заключается в замене нелинейных факторных переменных на линейные переменные.

Рассмотрим процесс линеаризации полиномиальной функции порядка n:

Заменим все факторные переменные на линейные следующим образом:

Тогда модель множественной регрессии можно записать в виде:

yi=β0+β1c1i+ β2c2i+…+ βncni+εi.

Рассмотрим процесс линеаризации гиперболической функции:

Данная функция может быть приведена к линейному виду путём замены нелинейной факторной переменной 1/x на линейную переменную с. Тогда модель регрессии можно записать в виде:

Следовательно, модели регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ независимых переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, могут быть преобразованы к линейному виду. Это позволяет применять к линеаризованным моделям регрессии классические методы определения неизвестных параметров модели (метод наименьших квадратов), а также методы проверки различных гипотез

Характеристика временных рядов. Временные ряды данных. Структура временного ряда. Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов. Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация.

Система одновременных уравнений. Общие понятие о системах уравнений, используемых эконометрике. Классификация систем уравнений. Идентификация систем эконометрических уравнений. Методы оценки параметров систем одновременных уравнений.