Средняя ошибка выборки при повторном отборе зависит от

1. Понятие о
   выборочном наблюдении

Выборочное
наблюдение представляет собой один из
наиболее широко применяемых видов
сплошного наблюдения.

Выборочное
наблюдение
– это метод статистического исследования,
при котором характеристика всей
совокупности фактов (генеральной
совокупности) дается по некоторой ее
части (выборочной совокупности).

В последние годы
выборочное наблюдение широко применяется
в работе органов статистики, так как
это позволяет:

− сэкономить
затраты средств и труда на обработку
информации;

− сократить ошибки
регистрации на этапе сбора данных;

− повысить
оперативность получения сведений.

В отличие от других
методов несплошного наблюдения
(монографического наблюдения, метода
основного массива) выборочное наблюдения
имеет важную особенность – возможность
попадания в выборочную совокупность
равна для всех единиц генеральной
совокупности.

Это предупреждает
появление тенденциозных ошибок при
формировании выборки.

1. Виды выборочного
   наблюдения

Рис.1. Классификация
выборочного наблюдения

В зависимости
от способа отбора единиц различают:

− повторную
выборку –
после отбора, какой-то единицы, она снова
возвращается в совокупность и может
быть снова набрана, т.е. вероятность
попадания каждой отдельной единицы в
выборочную совокупность остается
постоянной;

− бесповторную
выборку
– отобранная
единица не возвращается обратно и
возможность попадания у оставшихся
единиц в выборочную совокупность
постоянно возрастает.

По форме организации
способа отбора выборочное наблюдение
может быть:

• случайным –
  случайный отбор;

• механическим –
  отбор единиц в выборочную совокупность
  из генеральной производится через
  равные интервалы (группы);

• типическим – в
  выборочной совокупности более равномерно
  представлены различные типы (части)
  генеральной совокупности;

• серийным –
  отбираются серии единиц, которые
  подвергаются сплошному исследованию;

• комбинированным
  – комбинация нескольких форм организации
  выборочного наблюдения.

1. Ошибки выборочного
   наблюдения

Между характеристиками
выборочной и генеральной совокупности,
как правило, существует расхождение,
которое называется ошибкой.

Ошибки выборочного
наблюдения могут быть двух видов:

− ошибки регистрации
– свойственны любому наблюдению, вызваны
несовершенством измерительных приборов,
недостаточной квалификацией работников
и т.п.;

− ошибки
репрезентативности
(представительности)
присущи только несплошным наблюдениям,
возникают из-за того, что выборочная
совокупность не точно характеризует
генеральную.

Ошибка выборки
зависит от следующих факторов:

− степени вариации
изучаемого признака;

− численности
выборки;

− метода отбора
единиц в выборочную совокупность;

− принятого уровня
достоверности результатов исследования.

В математической
статистике доказывается, что значение
средней ошибки повторной выборки равно:

−средняя,

−среднее
квадратическое отклонение выборочное
или генеральное,

где µ
− ошибка
выборки;

δ²
− дисперсия
(средний квадрат отклонений);

n
− объем
выборки (число обследованных единиц).

При бесповторном
отборе формула средней ошибки выборки
принимает вид:

,
где

N
– объем
генеральной совокупности.

Предельная ошибка
выборки
,
гдеt
– коэффициент доверия. Определяется
по справочным таблицам в зависимости
от уровня вероятности.

В целом ряде случаев
средние и относительные величины для
какой-либо совокупности рассчитываются
на основе данных выборочного наблюдения,
суть которого заключается в том, что из
генеральной совокупности, наудачу,
чисто случайно, отбирается n
единиц, составляющих выборочную
совокупность; для отобранных единиц
рассчитываются обобщенные характеристики
(средние или относительные показатели),
а затем результаты выборочного
обследования распространяются на всю
генеральную совокупность. Основной
задачей при этом является определение
ошибок выборки, т.е. возможных расхождений
между выборочной средней ()
и генеральной ()
или выборочной долей единиц (w),
обладающих изучаемым признаком, и
генеральной долей (p).

Различают среднюю
и предельную ошибки выборки.

Средняя ошибка
выборки (µ)
характеризует среднюю величину возможных
расхождений выборочной и генеральной
средней (или доли) и представляет собой
по форме и содержанию среднее квадратическое
отклонение возможных значений выборочной
средней от генеральной.

В математической
статистике доказывается, что
— дисперсия возможных значений выборочной
средней – вn
раз меньше дисперсии изучаемого признака
и генеральной совокупности, т.е.
.

Исходя из этого
средняя
ошибка выборочной средней
при повторном
отборе определяется по формуле:

,

где
— дисперсия изучаемого показателя в
генеральной совокупности (т.к. дисперсия
изучаемого показателя в генеральной
совокупности неизвестна, то фактически
в формулу подставляется дисперсия
выборочная, которая при большом числе
наблюдений близка к генеральной), аn
– объем (численность) выборки.

Как видно из
формулы, средняя ошибка выборки (µ)
при повторном отборе зависит от показателя
вариации ()
и от объема выборки (n).

Средняя ошибка
выборочной доли определяется по формуле:

,
где w
– выборочная доля единиц, обладающих
изучаемым признаком, а w(1
− w)
– дисперсия доли (альтернативного
признака).

При бесповторном
отборе в формулах под знаком радикала
появляется множитель
,
гдеN
–численность генеральной совокупности.

Говоря об ошибках
выборки, следует иметь в виду, что в
каждой конкретной выборке разность
может быть меньше, больше или равнаµ.
И вероятность каждой такой ошибки
различна.

Отклонение
выборочной характеристики от генеральной
называется предельной
ошибкой выборки.

Предельная ошибка
выборки, обозначаемая через
,
рассчитывается как

,

где µ
− средняя ошибка выборки,

t
– коэффициент доверия.

При бесповторной
выборке формула ошибки выборки имеет
вид:

,

где δ²
– межсерийная
дисперсия;

s
– число
отобранных серий;

S
– число
серий в генеральной совокупности.

Все рассмотренные
выше формулы используются при так
называемой большой
выборке.

Если n
< 20 (у некоторых авторов n
<30), то
выборка именуется малой и при расчете
ошибок выборки необходимо учитывать
следующие моменты. Во-первых, в формуле
средней ошибки в знаменателе принимается
n
– 1, т.е.

.

И, во-вторых, при
нахождении вероятности допуска той или
иной ошибки или определении доверительных
интервалов исследуемого показателя в
генеральной совокупности пользуются
таблицами вероятность Стьюдента, где
определяется в зависимости от объема
выборки иt.

Формулы предельной
ошибки выборки позволяют решить следующие
три задачи:

1. Определить
   доверительные пределы:

для генеральной
средней

;

для доли

.

1. Определить
   вероятность допуска той или иной
   заданной ошибки
   .

В этом случае
определяется
и по таблице (приn>20)
находится вероятность (P).

3. Определить
необходимую численность выборки (n),
обеспечивающую с определенной вероятностью
заданную точность ().

Формулы для n
определяются из соответствующих формул
предельной ошибки.

Так, для определения
средней ()
из формулыприповторном
отборе
имеем:

.

Для доли аналогично
из
получаем:

.

При бесповторном
отборе из
иимеем:

−для средней ();

−для доля (w).

Как видно, в формулах
для определения необходимой численности
выборки, получаемых из формул случайной
ошибки выборки, предполагается
обязательное знание величины дисперсии
признака ()
или [w
(1
– w)].

Обычно в этих
формулах используется значение дисперсии
признака в аналогичных предшествующих
исследованиях или же проводится пробное
обследование небольшого числа единиц,
для которых определяется значение
.
В случае изучения доли определенных
единиц в совокупности при отсутствии
каких-либо сведений о дисперсии
принимается максимальное значение [w
(1
– w)],
равное 0,25.

Рассмотрим решение
некоторых задач к этой теме с применением
формул предельной ошибки выборки.

Задача 1.

Методом собственно
случайной выборки обследована жирность
молока у 100 коров. По данным выборки
средняя жирность молока оказалась
равной 3,64%, а дисперсия составила 2,56.

Определить: а)
среднюю ошибку выборки; б) с вероятностью,
равной 0,954, предельные значения генеральной
средней.

Решение.

А. Формула средней
ошибки выборки:
.

По условию n
= 100,
=2,56.
Отсюда

Б. Формула предельной
ошибки выборки:
.

По таблице значений
F(t)
при P
= 0,954 находим,
что t
= 2. Отсюда
,
или,
т.е. предельные значения жирности молока
(или доверительный интервал генеральной
средней) определяются как.

Задача 2.

На основе выборочного
обследования 600 рабочих (n
= 600) одной из отраслей промышленности
установлено, что удельный вес численности
женщин составил 0,4 (w
= 0,4).

С какой вероятностью
можно утверждать, что при определении
доли женщин, занятых в отрасли, допущена
ошибка (),
не превышающая 5% (0,05)?

Решение.

Чтобы определить
вероятность допуска той или иной ошибки,
из формулы
находим показательt,
связанный с вероятностью:

По таблице значений
F(t)
для t=2,5
находим, что P=0,988,
т.е. с вероятностью 0,988 можно утверждать,
что при определении доли женщин (0,4) в
общем числе рабочих допущена ошибка не
более 0,05 (5%).

Задача 3.

Сколько рабочих
завода нужно обследовать в порядке
случайной выборки для определения
средней заработной платы, чтобы с
вероятностью (P),равной
0,954, можно было бы гарантировать ошибку
не более 50 руб.? Предполагаемое среднее
квадратическое отклонение заработной
платы
=200
руб.

Решение.

Из формулы
находимn:

(человека).

Контрольные
вопросы к теме:

1. Дайте определение
   выборочного наблюдения. Для чего в
   экономике применяют выборочное
   наблюдение.

2. Перечислите и
   охарактеризуйте виды выборочного
   наблюдения.

3. Расскажите об
   ошибках выборочного наблюдения, от
   каких факторов они зависят.

4. Расскажите о
   предельной ошибке выборки, какие задачи
   позволяют решить формулы предельной
   ошибки выборки.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

3. Ошибки выборки

Каждая единица при выборочном наблюдении должна иметь равную с другими возможность быть отобранной – это является основой собственнослучайной выборки.

Собственнослучайная выборка – это отбор единиц из всей генеральной совокупности посредством жеребьевки или другим подобным способом.

Принципом случайности является то, что на включение или исключение объекта из выборки не может повлиять любой фактор, кроме случая.

Доля выборки – это отношение числа единиц выборочной совокупности к числу единиц генеральной совокупности:

Собственнослучайный отбор в чистом виде является исходным среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются основные принципы выборочного статистического наблюдения.

Два основных вида обобщающих показателей, которые используют в выборочном методе – это средняя величина количественного признака и относительная величина альтернативного признака.

Выборочная доля (w), или частность, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной совокупности (n):

Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.

Ошибка выборки, ее еще называют ошибкой репрезентативности, представляет собой разность соответствующих выборочных и генеральных характеристик:

1) для средней количественного признака:

?х =|х – х|;

2) для доли (альтернативного признака):

?w =|х – p|.

Только выборочным наблюдениям присуща ошибка выборки

Выборочная средняя и выборочная доля – это случайные величины, принимающие различные значения в зависимости от единиц изучаемой статистической совокупности, которые попали в выборку. Соответственно ошибки выборки – тоже случайные величины и также могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок – среднюю ошибку выборки.

Средняя ошибка выборки определяется объемом выборки: чем больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, все более точно характеризуем всю генеральную совокупность.

Средняя ошибка выборки зависит от степени варьирования изучаемого признака, в свою очередь степень варьирования характеризуется дисперсией ?² или w(l – w) – для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот.

При случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по следующим формулам:

1) для средней количественного признака:

где ?² – средняя величина дисперсии количественного признака.

2) для доли (альтернативного признака):

Так как дисперсия признака в генеральной совокупности ?² точно неизвестна, на практике пользуются значением дисперсии S² , рассчитанным для выборочной совокупности на основании закона больших чисел, согласно которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Формулы средней ошибки выборки при случайном повторном отборе следующие. Для средней величины количественного признака: генеральная дисперсия выражается через выборную следующим соотношением:

где S² – значение дисперсии.

Механическая выборка – это отбор единиц в выборочную совокупность из генеральной, которая разбита по нейтральному признаку на равные группы; производится так, что из каждой такой группы в выборку отбирается лишь одна единица.

При механическом отборе единицы изучаемой статистической совокупности предварительно располагают в определенном порядке, после чего отбирают заданное число единиц механически через определенный интервал. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратному значению доли выборки.

При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результатов близок к собственнослучайному Поэтому для определения средней ошибки механической выборки используют формулы собственнослучайной бесповторной выборки.

Для отбора единиц из неоднородной совокупности применяется так называемая типическая выборка, используется, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько качественно однородных, однотипных групп по признакам, от которых зависят изучаемые показатели.

Затем из каждой типической группы собственнослучайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборочную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей.

Типическая выборка дает более точные результаты. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. Поэтому при определении средней ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.

Серийная выборка предполагает случайный отбор из генеральной совокупности равновеликих групп для того, чтобы в таких группах подвергать наблюдению все без исключения единицы.

Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка выборки (при отборе равновеликих серий) зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Средние ошибки повторной и бесповторной выборки

Средняя ошибка выборки

Средняя ошибка выборки представляет из себя такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностями, которое не превышает ±б (дельта).

На основании теоремы Чебышева П. Л. величина средней ошибки при случайном повторном отборе в контрольных работах по статистике рассчитывается по формуле (для среднего количественного признака):

где числитель — дисперсия признака х в выборочной совокупности;
n — численность выборочной совокупности.

Для альтернативного признака формула средней ошибки выборки для доли по теореме Я. Бернулли рассчитывается по формуле:

где р(1- р) — дисперсия доли признака в генеральной совокупности;
n — объем выборки.

Вследствие, того что дисперсия признака в генеральной совокупности точно не известна, на практике используют значение дисперсии, которое рассчитано для выборочной совокупности на основании закона больших чисел. Согласно данному закону выборочная совокупность при большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Поэтому расчетные формулы средней ошибки при случайном повторном отборе будут выглядеть таким образом:

1. Для среднего количественного признака:

где S^2 — дисперсия признака х в выборочной совокупности;
n — объем выборки.

2. Для доли (альтернативного признака):

где w (1 — w) — дисперсия доли изучаемого признака в выборочной совокупности.

В теории вероятностей было показано, что генеральная дисперсия выражается через выборочную согласно формуле:

В случаях малой выборки, когда её объем меньше 30, необходимо учитывать коэффициент n/(n-1). Тогда среднюю ошибку малой выборки рассчитывают по формуле:

Так как в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности, то в представленных выше формулах расчета средних ошибок выборки нужно подкоренное выражение умножить на 1- (n/N).

Расчетные формулы для такого вида выборки будут выглядеть так:

1. Для средней количественного признака:

где N — объем генеральной совокупности; n — объем выборки.

2. Для доли (альтернативного признака):

где 1- (n/N) — доля единиц генеральной совокупности, не попавших в выборку.

Поскольку n всегда меньше N, то дополнительный множитель 1 — (n/N) всегда будет меньше единицы. Это означает, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. Когда доля единиц генеральной совокупности, которые не попали в выборку, существенная, то величина 1 — (n/N) близка к единице и тогда расчет средней ошибки производится по общей формуле.

Средняя ошибка зависит от следующих факторов:

1. При выполнении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определяется во-первых объемом выборки: чем больше численность, тем меньше величины средней ошибки выборки. Генеральная совокупность характеризуется точнее тогда, когда больше единиц данной совокупности охватывает выборочное наблюдение

2. Средняя ошибка также зависит от степени варьирования признака. Степень варьирования характеризуется дисперсией. Чем меньше вариация признака (дисперсия), тем меньше средняя ошибка выборки. При нулевой дисперсии (признак не варьируется) средняя ошибка выборки равна нулю, таким образом, любая единица генеральной совокупности будет характеризовать всю совокупность по этому признаку.

Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.