Средняя ошибка средней арифметической величины ошибка репрезентативности это

В
статистике выделяют два основных метода
исследования — сплошной и выборочный.
При проведении выборочного исследования
обязательным является соблюдение
следующих требований: репрезентативность
выборочной совокупности и достаточное
число единиц наблюдений. При выборе
единиц наблюдения возможны ошибки
смещения,
т.е. такие события, появление которых
не может быть точно предсказуемым. Эти
ошибки являются объектив­ными и
закономерными. При определении степени
точности выборочно­го исследования
оценивается величина ошибки, которая
может прои­зойти в процессе выборки
— случайная
ошибка репрезентативности (m)
— является
фактической разностью между средними
или относительными величинами, полученными
при проведении выборочного исследования
и аналогичными величинами, которые были
бы получены при проведении исследования
на гене­ральной совокупности.

Оценка
достоверности результатов исследования
предусматривает определение:

1.
ошибки репрезентативности

2.
доверительных границ средних (или
относительных) величин в генеральной
совокупности

3.
достоверности разности средних (или
относительных) величин (по критерию t)

Расчет
ошибки репрезентативности
(m_м)
средней арифмети­ческой величины
(М):

,
где σ
— среднее квадратическое отклонение; n
— численность выборки (>30).

Расчет
ошибки репрезентативности (m_Р)
относительной величины (Р):

,
где Р — соответствующая относительная
величина (рассчитанная, например, в %);

q
=100 — Ρ%
— величина, обратная Р; n
— численность выборки (n>30)

В
клинических и экспериментальных работах
довольно часто приходится использовать
малую
выборку, когда
число наблюдений меньше или равно 30.
При малой выборке для расчета ошибок
репрезентатив­ности, как средних, так
и относительных величин,
число
наблюде­ний уменьшается на единицу,
т.е.

;
.

Величина
ошибки репрезентативности зависит от
объема выборки: чем больше число
наблюдений, тем меньше ошибка. Для оценки
достоверности выборочного показателя
принят следующий подход: показатель
(или средняя величина) должен в 3 раза
превышать свою ошибку, в этом случае он
считается достоверным.

83. Определение доверительных границ средних и относительных величин.

Знание
величины ошибки недостаточно для того,
чтобы быть уве­ренным в результатах
выборочного исследования, так как
конкрет­ная ошибка выборочного
исследования может быть значительно
больше (или меньше) величины средней
ошибки репрезентативности. Для
оп­ределения точности, с которой
исследователь желает получить ре­зультат,
в статистике используется такое понятие,
как вероят­ность безошибочного
прогноза, которая является характеристикой
надежности результатов выборочных
медико-биологических статистических
исследований. Обычно, при проведении
медико-биологических статистических
исследований используют вероятность
безошибочного прогноза 95% или 99%. В
наиболее ответственных случаях, когда
необходимо сделать особенно важные
выводы в теоретическом или практическом
отношении, используют вероятность
безошибочного прогноза 99,7%

Определенной
степени вероятности безошибочного
прогноза соот­ветствует определенная
величина предельной
ошибки случайной выборки (Δ
— дельта),
которая определяется по формуле:

Δ=t
* m
, где t
— доверительный коэффициент, который
при большой выборке при вероятности
безо­шибочного прогноза 95% равен 2,6;
при вероятности безоши­бочного
прогноза 99% — 3,0; при вероятности
безошибочно­го прогноза 99,7% — 3,3, а при
малой выборке определяется по специальной
таблице значений t
Стьюдента.

Используя
предельную ошибку выборки (Δ),
можно определить до­верительные
границы,
в которых с определенной вероятностью
безо­шибочного прогноза заключено
действительное значение статистичес­кой
величины,
характеризующей
всю генеральную совокупность (сред­ней
или относительной).

Для
определения доверительных границ
используются следующие формулы:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Представление результатов исследования

В научных публикациях важно представление результатов исследования. Очень часто окончательный результат приводится в следующем виде: M±m, где M – среднее арифметическое, m –ошибка среднего арифметического. Например, 163,7±0,9 см.

Прежде чем разбираться в правилах представления результатов исследования, давайте точно усвоим, что же такое ошибка среднего арифметического.

Ошибка среднего арифметического

Среднее арифметическое, вычисленное на основе выборочных данных (выборочное среднее), как правило, не совпадает с генеральным средним (средним арифметическим генеральной совокупности). Экспериментально проверить это утверждение невозможно, потому что нам неизвестно генеральное среднее. Но если из одной и той же генеральной совокупности брать повторные выборки и вычислять среднее арифметическое, то окажется, что для разных выборок среднее арифметическое будет разным.

Чтобы оценить, насколько выборочное среднее арифметическое отличается от генерального среднего, вычисляется ошибка среднего арифметического или ошибка репрезентативности.

Ошибка среднего арифметического обозначается как m или 

Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле:

где: S — стандартное отклонение, n – объем выборки; Например, если стандартное отклонение равно S=5 см, объем выборки n=36 человек, то ошибка среднего арифметического равна: m=5/6 = 0,833.

Ошибка среднего арифметического показывает, какая ошибка в среднем допускается, если использовать вместо генерального среднего выборочное среднее.

Так как при небольшом объеме выборки истинное значение генерального среднего не может быть определено сколь угодно точно, поэтому при вычислении выборочного среднего арифметического нет смысла оставлять большое число значащих цифр.

Правила записи результатов исследования

1. В записи ошибки среднего арифметического оставляем две значащие цифры, если первые цифры в ошибке «1» или «2».
2. В остальных случаях в записи ошибки среднего арифметического оставляем одну значащую цифру.
3. В записи среднего арифметического положение последней значащей цифры должно соответствовать положению первой значащей цифры в записи ошибки среднего арифметического.

Представление результатов научных исследований

В своей статье «Осторожно, статистика!», опубликованной в 1989 году В.М. Зациорский указал, какие числовые характеристики должны быть представлены в публикации, чтобы она имела научную ценность. Он писал, что исследователь «…должен назвать: 1) среднюю величину (или другой так называемый показатель положения); 2) среднее квадратическое отклонение (или другой показатель рассеяния) и 3) число испытуемых. Без них его публикация научной ценности иметь не будет “с. 52

В научных публикациях в области физической культуры и спорта очень часто окончательный результат приводится в виде:  (М±m) (табл.1).

Таблица 1 — Изменение механических свойств латеральной широкой мышцы бедра под воздействием физической нагрузки (n=34)

	Эффективный модуль упругости (Е), кПа	Эффективный модуль вязкости (V), Па с
Этап эксперимента	Рассл.	Напряж.	Рассл.	Напряж.
До ФН	7,0±0,3	17,1±1,4	29,7±1,7	46±4
После ФН	7,7±0,3	18,7±1,4	30,9±2,0	53±6

Литература

1. Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
2. Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976.- 495 с.
3. Зациорский В.М. Осторожно — статистика! // Теория и практика физической культуры, 1989.- №2.
4. Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
5. Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.

В практической и научно-практической работе
врачи обобщают результаты, полученные как правило на выборочных
совокупностях.
Для более широкого распространения и применения полученных при изучении
репрезентативной выборочной совокупности данных и выводов
надо уметь по части явления судить о явлении и его закономерностях в
целом.

Учитывая, что врачи, как правило, проводят исследования на
выборочных совокупностях, теория статистики позволяет с помощью
математического аппарата (формул) переносить данные с выборочного
исследования на генеральную совокупность. При этом врач должен
уметь не только воспользоваться математической формулой, но сделать
вывод, соответствующий каждому способу оценки достоверности
полученных данных. С этой целью врач должен знать способы оценки
достоверности.

Применяя метод оценки достоверности результатов исследования для изучения общественного здоровья и деятельности учреждений
здравоохранения, а также в своей научной деятельности, исследователь должен уметь правильно выбрать способ данного метода.
Среди методов оценки достоверности различают параметрические и непараметрические.

Параметрическими называют количественные методы статистической обработки данных, применение которых требует обязательного
знания закона распределения изучаемых признаков в совокупности и вычисления их основных параметров.

Непараметрическими являются количественные методы статистической обработки данных, применение которых не требует знания
закона распределения изучаемых признаков в совокупности и вычисления их основных параметров.

Как параметрические, так и непараметрические методы, используемые
для сравнения результатов исследований, т.е. для сравнения
выборочных совокупностей, заключаются в применении определенных формул и
расчете определенных показателей в соответствии с
предписанными алгоритмами. В конечном результате высчитывается
определенная числовая величина, которую сравнивают с табличными
пороговыми значениями. Критерием достоверности будет результат сравнения
полученной величины и табличного значения при данном числе
наблюдений (или степеней свободы) и при заданном уровне безошибочного
прогноза.

Таким образом, в статистической процедуре оценки основное
значение имеет полученный критерий достоверности, поэтому сам способ
оценки достоверности в целом иногда называют тем или иным критерием по
фамилии автора, предложившего его в качестве основы метода.

---

Применение параметрических методов

При проведении выборочных исследований полученный результат не обязательно совпадает с результатом, который мог бы быть получен
при исследовании всей генеральной совокупности. Между этими величинами существует определенная разница, называемая ошибкой
репрезентативности, т.е. это погрешность, обусловленная переносом результатов выборочного исследования на всю генеральную
совокупность.

Определение доверительных границ средних
и относительных величин

Формулы определения доверительных границ представлены следующим образом:

• для средних величин (М): М_ген = М_выб ± tm
• для относительных показателей (Р): Р_ген = Р_выб ± tm
  
  где М_ген и Р_ген — соответственно, значения средней величины и относительного показателя генеральной
  совокупности;
  
  М_вы6 и Р_вы6 — значения средней величины и относительного показателя выборочной совокупности;
  
  m — ошибка репрезентативности;
  
  t — критерий достоверности (доверительный коэффициент).

Данный способ применяется в тех случаях, когда по результатам выборочной совокупности необходимо судить о размерах изучаемого
явления (или признака) в генеральной совокупности.

Обязательным условием для применения способа является репрезентативность выборочной совокупности. Для переноса результатов,
полученных при выборочных исследованиях, на генеральную совокупность необходима степень вероятности безошибочного прогноза (Р),
показывающая, в каком проценте случаев результаты выборочных исследований по изучаемому признаку (явлению) будут иметь место в
генеральной совокупности.

При определении доверительных границ средней величины или относительного показателя генеральной совокупности, исследователь сам
задает определенную (необходимую) степень вероятности безошибочного прогноза (Р).

Для большинства медико-биологических исследований считается
достаточной степень вероятности безошибочного прогноза, равная 95%,
а число случаев генеральной совокупности, в котором могут наблюдаться
отклонения от закономерностей, установленных при выборочном
исследовании, не будут превышать 5%. При ряде исследований, связанных,
например, с применением высокотоксичных веществ, вакцин,
оперативного лечения и т.п., в результате чего возможны тяжелые
заболевания, осложнения, летальные исходы, применяется степень
вероятности Р = 99,7%, т.е. не более чем у 1% случаев генеральной
совокупности возможны отклонения от закономерностей,
установленных в выборочной совокупности.

Заданной степени вероятности (Р) безошибочного прогноза соответствует определенное, подставляемое в формулу, значение критерия
t, зависящее также и от числа наблюдений.

При n>30 степени вероятности безошибочного прогноза Р = 99,7% — соответствует значение t = 3, а при Р = 95,5% — значение
t = 2.

При п<30 величина t при соответствующей степени вероятности безошибочного прогноза определяется по специальной таблице
(Н.А. Плохинского).

на определение ошибок репрезентативности (m) и доверительных границ средней величины генеральной совокупности (М_ген)
при числе наблюдений больше 30

Условие задачи: при изучении комбинированного воздействия шума и низкочастотной вибрации на организм человека было
установлено, что средняя частота пульса у 36 обследованных водителей сельскохозяйственных машин через 1 ч работы составила 80
ударов в 1 минуту; σ = ± 6 ударов в минуту.

Задание: определить ошибку репрезентативности (m_M) и доверительные границы средней величины генеральной
совокупности (М_ген).

Решение.

1. Вычисление средней ошибки средней арифметической (ошибки репрезентативности) (m):

   m = σ / √n =
   6 / √36 =
   ±1 удар в минуту

2. Вычисление доверительных границ средней величины генеральной совокупности (М_ген). Для этого необходимо:
   • а) задать степень вероятности безошибочного прогноза (Р = 95 %);
   • б) определить величину критерия t. При заданной степени вероятности (Р=95%) и числе наблюдений меньше 30 величина критерия t,
     определяемого по таблице, равна 2 (t = 2). Тогда М_ген = М_выб ± tm = 80 ± 2×1 = 80 ± 2
     удара в минуту.

Вывод. Установлено с вероятностью безошибочного прогноза Р =
95%, что средняя частота пульса в генеральной совокупности,
т.е. у всех водителей сельскохозяйственных машин, через 1 ч работы в
аналогичных условиях будет находиться в пределах от 78 до 82
ударов в минуту, т.е. средняя частота пульса менее 78 и более 82 ударов в
минуту возможна не более, чем у 5% случаев генеральной
совокупности.

на определение ошибок репрезентативности (m) и доверительных границ относительного показателя генеральной совокупности
(Р_ген)

Условие задачи: при медицинском осмотре 164 детей 3 летнего возраста, проживающих в одном из районов городе Н., в 18%
случаев обнаружено нарушение осанки функционального характера.

Задание: определить ошибку репрезентативности (m_p) и доверительные границы относительного показателя
генеральной совокупности (Р_ген).

Решение.

1. Вычисление ошибки репрезентативности относительного показателя:

   m = √P x q / n =
   √18 x (100 — 18) / 164 =
   ± 3%

2. Вычисление доверительных границ средней величины генеральной совокупности (Р_ген) производится следующим образом:
   • необходимо задать степень вероятности безошибочного прогноза (Р=95%);
   • при заданной степени вероятности и числе наблюдений больше 30, величина критерия t равна 2 (t = 2).
     Тогда Р_ген = Р_выб± tm = 18% ± 2 х 3 = 18% ± 6%.

Вывод. Установлено с вероятностью безошибочного прогноза Р=95%, что частота нарушения осанки функционального характера у
детей 3 летнего возраста, проживающих в городе Н., будет находиться в пределах от 12 до 24% случаев.

---

Оценка достоверности разности результатов исследования

Данный способ применяется в тех случаях, когда необходимо определить, случайны или достоверны (существенны), т.е. обусловлены
какой-то причиной, различия между двумя средними величинами или относительными показателями.

Обязательным условием для применения данного способа является репрезентативность выборочных совокупностей, а также наличие
причинно-следственной связи между сравниваемыми величинами (показателями) и факторами, влияющими на них.

Формулы определения достоверности разности представлены следующим образом:

Если вычисленный критерий t более или равен 2 (t ≥ 2), что соответствует вероятности безошибочного прогноза Р равном или
более 95% (Р ≥ 95%), то разность следует считать достоверной (существенной), т.е. обусловленной влиянием какого-то фактора, что
будет иметь место и в генеральной совокупности.

При t < 2, вероятность безошибочного прогноза Р < 95%, это означает, что разность недостоверна, случайна, т.е. не
обусловлена какой-то закономерностью (не обусловлена влиянием какого-то фактора).

Поэтому полученный критерий должен всегда оцениваться по отношению к конкретной цели исследования.

на оценку достоверности разности средних величин

Условие задачи: при изучении комбинированного воздействия шума
и низкочастотной вибрации на организм человека было
установлено, что средняя частота пульса у водителей сельскохозяйственных
машин через 1 ч после начала работы составила 80 ударов в
минуту; m = ± 1 удар в мин. Средняя частота пульса у этой же группы
водителей до начала работы равнялась 75 ударам в минуту;
m = ± 1 удар в минуту.

Задание: оценить достоверность различий средних значений пульса у водителей сельскохозяйственных машин до и после 1 ч
работы.

Решение.

Вывод. Значение критерия t = 3,5 соответствует вероятности безошибочного прогноза Р > 99,7%, следовательно можно
утверждать, что различия в средних значениях пульса у водителей сельскохозяйственных машин до и после 1 ч работы не случайно, а
достоверно, существенно, т.е. обусловлено влиянием воздействия шума и низкочастотной вибрации.

на оценку достоверности разности относительных показателей

Условие задачи: при медицинском осмотре детей 3 летнего возраста в 18% (m = ± 3%) случаях обнаружено нарушение
осанки функционального характера. Частота аналогичных нарушений осанки при медосмотре детей 4-летнего возраста составила 24%
(m = ± 2,64%).

Задание: оценить достоверность различий в частоте нарушения осанки у детей 2 возрастных групп.

Решение.

Вывод. Значение критерия t=1,5 соответствует вероятности безошибочного прогноза Р<95%. Следовательно, различие в
частоте нарушений осанки среди детей, сравниваемых возрастных групп случайно, недостоверно, несущественно, т.е. не обусловлено
влиянием возраста детей.

---

Типичные ошибки, допускаемые исследователями при
применении способа оценки достоверности разности результатов исследования

• При оценке достоверности разности результатов исследования по критерию t часто делается вывод о достоверности (или
  недостоверности) самих результатов исследования. В действительности же этот способ позволяет судить только о достоверности
  (существенности) или случайности различий между результатами исследования.

• При полученном значении критерия t<2 часто делается вывод о необходимости увеличения числа наблюдений. Если же
  выборочные совокупности репрезентативны, то нельзя делать вывод о необходимости увеличения числа наблюдений, т.к. в данном
  случае значение критерия t<2 свидетельствует о случайности, недостоверности различия между двумя сравниваемыми результатами
  исследования.

---

Применение методов статистического анализа для изучения общественного здоровья и здравоохранения.
Под ред. чл.-корр. РАМН, проф. В.З.Кучеренко. М., «Гэотар-Медиа», 2007, учебное пособие для вузов

1. Власов В.В. Эпидемиология. — М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. — 464 с.
2. Лисицын Ю.П. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для вузов. — М.: ГЭОТАР-МЕД, 2007. — 512 с.
3. Медик В.А., Юрьев В.К. Курс лекций по общественному здоровью
   и здравоохранению: Часть 1. Общественное здоровье. — М.: Медицина,
   2003. — 368 с.
4. Миняев В.А., Вишняков Н.И. и др. Социальная медицина и организация здравоохранения (Руководство в 2 томах). — СПб, 1998. -528 с.
5. Кучеренко В.З., Агарков Н.М. и др.Социальная гигиена и организация здравоохранения (Учебное пособие) — Москва, 2000. — 432 с.
6. С. Гланц. Медико-биологическая статистика. Пер с англ. — М., Практика, 1998. — 459 с.

Справочник /
Лекторий Справочник /
Лекционные и методические материалы по статистике /
Ошибка репрезентативности и доверительный интервал для
генерального параметра

Статистика

Статистика

Курс : Статистика
Статистика В.М. Гусаров Москва, Юнити , 2003г
Статистика В.С. Мхиторян , Москва, Экономист, 2005г.
Статистика И.И. Елисеева
Статисти…

Смотреть все

Доверительный интервал за 15 минут

Добрый день, уважаемые читатели!

Меня зовут Кирилл Мильчаков. Сегодня мы продолжаем наш разговор о биостатистике. Тема сегодняшней нашей беседы будет «Доверительный интервал». Что такое доверительный интервал? Вы наверняка встречались с ним в научной литературе. Доверительный интервал 95 %, либо сочетание символов ДИ и CI (confidence interval) 95 %. Что же означают эти 95 %? Какие он еще может принимать значения? И как его рассчитывать самостоятельно? Об этом обо всем сегодня мы и поговорим в этой статье.

Видео-версия статьи о доверительном интервале

Генеральная совокупность и выборочная совокупность

Прежде чем углубляться в тайны доверительного интервала, хотел бы вспомнить с вами 2 основных понятия статистической совокупности, с которыми чаще всего работают – это генеральная совокупность или выборочная совокупность или выборка.

Генеральная совокупность – это тот массив данных, о которых вы хотите сделать выводы.

Выборка является частью генеральной совокупности, которая участвует непосредственно в вашем эксперименте. Есть такое понятие как репрезентативность, сегодня мы не будем его касаться, главное запомнить, что выборка должна быть репрезентативной.

Если привести небольшой пример относительно генеральной совокупности и выборки, то можно вспомнить о простом случае из вашей жизни. Когда вы хотите узнать, достаточно ли посолен суп, вы берете ложку супа и пробуете его. Вам необязательно есть весь суп, чтобы понять, насколько он посолен. Ложка в данном случае является выборкой, по которой вы делаете вывод обо всей кастрюле супа. В данном случае кастрюля супа является генеральной совокупностью, а ложка супа является выборкой.

Итак, мы вспомнили с вами о 2 ключевых статистических совокупностях – о генеральной совокупности и выборочной совокупности. Теперь нужно вспомнить, что типы исследования, которые проводятся над генеральной совокупностью и выборочной совокупностью, называют по-разному. Над генеральной совокупностью проводятся так называемые сплошные исследования, над выборочной совокупностью – выборочные.

Теперь вспомним небольшие отличия между параметрами этих 2 совокупностей. Сегодня для того, чтобы понять, что такое доверительный интервал, нам понадобятся следующие вещи: во-первых, отличие средней арифметической в генеральной совокупности и в выборочной совокупности. В генеральной совокупности она имеет значок µ (мю), в выборочной – это x̅ (х с чертой) — это средние арифметические по каждому виду совокупности.

Далее нужно знать, что стандартное отклонение имеет значок выборочной – либо S, либо SD (standard deviation), а в случае генеральной совокупности оно носит название среднеквадратичного отклонения и обозначается буквой σ (сигма).

Приведем пример расчета доврительного интервала

Представьте чисто гипотетическую ситуацию, когда перед нами стоит задача исследований среднего роста марсианина. Для того, чтобы его узнать, было отправлено 3 экспедиции. Первой из них повезло больше всего: они смогли поймать каждого из 200 марсианин и померить его рост.

Как мы помним, по закону нормального распределения по оси Х находится величина изучаемого признака, либо варианта (в данном случае это рост в сантиметрах), а по оси Y – частота встречаемости какого-то признака (мы его обозначаем буквой П.

Итак, оказалось, что у всех 200 марсиан средний рост составил 40 сантиметров. Таким образом, первая экспедиция смогла провести так называемое сплошное исследование, так как поработала со всеми единицами наблюдения генеральной совокупности. Поэтому мы имеем право назвать этот параметр µ.

Однако, второй и третьей экспедиции повезло гораздо меньше. Они попали в самые плохо населенные участки Марса и смогли отобрать только 10 марсиан. В данном случае оказалось, что средний рост по их выборке составил всего 38 сантиметров в первом случае и 41 сантиметр во втором случае.

Что же делать? Да, у нас есть данные из самого полного исследования, которое относится к первой экспедиции. Но представьте, что ни одна бы из них не смогла бы поработать со всей совокупностью полностью, и у нас были бы данные только от второй и третьей экспедиции. Что же в этой ситуации делать? Видно, что никто 40 сантиметров в действительности не достиг: во второй экспедиции Б она равна 38 сантиметрам, а в экспедиции В – 41 сантиметр. То есть в реальности никто не достиг 40 сантиметров. Что же делать в данном случае?

И вот здесь на помощь к нам приходит доверительный интервал, точнее оценка параметра. Доверительный интервал является вторым этапом оценки параметра. Прежде чем строить доверительный интервал, нам нужно понять, насколько в принципе этот параметр наша средняя (x̅_б, x̅_в) может отличаться, ошибаться от реального параметра в генеральной совокупности. Насколько?

И тут нам помогает оценка параметра или нахождение ошибки репрезентативности. Ошибка репрезентативности обозначается m_r или m_x. Чаще я использую m_r. Что же это значит? m_r по-английски обозначается как standard error, по-русски она часто называется стандартная ошибка средней или ошибка репрезентативности. Как же она находится? А находится она следующим образом? Она учитывает стандартное квадратичное отклонение в генеральной совокупности и размер в выборке. От чего же зависит ошибка репрезентативности? А зависит она от 2 вещей: от среднеквадратичного отклонения в генеральной совокупности (я напоминаю, это насколько каждая варианта отличается от средней, о законе нормального распределения мы с вами поговорим в следующий раз) и от размера выборки или . То есть, таким образом, чем менее разбросан признак генеральной совокупности, и чем больше у нас размер выборки, тем меньше наша ошибка репрезентативности.

Итак, предположим, мы нашли нашу ошибку репрезентативности m_r. В данном случае она составила 2,7 сантиметра. Но что же это нам дает? А дает нам это уже достаточно много. Теперь мы, зная, насколько в принципе наша выборка может ошибаться относительно генеральной совокупности, можем составить определенное предположение о том, где же находится реальный параметр – реальные 40 сантиметров генеральной совокупности на основании данных лишь нашей выборки.

Каким же образом это происходит? Мы провели точечную оценку нашего параметра. Дальше происходит второй этап построения доверительного интервала – это интервальная оценка параметра. Каким же образом строится этот интервал? А складывается он из 2 вещей: так называемой предельной ошибки +∆ и -∆. Формула нахождения предельной ошибки достаточно проста и составляет:

±∆ = t*m_r

Для того, чтобы не залезать в критерий Стьюдента сегодня, я скажу лишь, что:

для доверительного интервала 95 % используется t=2,

для доверительного интервала 99 % используется t=3

и для доверительного интервала 68 % используется t=1.

Итак, после того, как мы нашли нашу предельную ошибку, мы можем построить доверительный интервал. Но для этого нам нужно самим задать тот доверительный интервал, который для нас подходит больше всего. Чаще всего в медицине используется вероятность ошибки 5 %, то есть доверительный интервал 95 % или вероятность ошибки 5 % (р=0,05, р=5 %).

Что же значат эти 95 %? А значат они следующее, что с 95%-ной вероятностью в нашем интервале лежит реальное значение, и лишь в 5 % случаев мы ошибаемся. То есть в нашем конкретном случае наша ошибка репрезентативности составила 2,7 сантиметра. Предельная ошибка отсюда будет равна чему? Именно 5,4 сантиметра, то есть доверительный интервал, так как здесь и плюс, и минус, то есть нам нужно ошибку умножить на 2, составил 10,8 сантиметров. А именно наши 38 см±5,4 см. Ширина всего доверительного интервала составляет 10,8 см. Напомню, что он складывается из положительной и отрицательной предельных ошибок вокруг нашей выборочной средней.

Итак, говоря о доверительном интервале, нужно сделать ряд важных выводов.

• Во-первых, доверительный интервал относится к выборочной совокупности. Он показывает, насколько параметры из выборочной совокупности могут отличаться от реально существующих данных в генеральной совокупности. Насколько мы ошибаемся при формировании той или иной выборки, мы закладываем в так называемую ошибку репрезентативности, в ошибку средней и вокруг нее собственно и строим доверительный интервал.
• Ширину доверительного интервала задает собственно сам исследователь, варьируя тот критерий t, который он принимает в качестве необходимого. Чаще всего применяется t=2, которое и соответствует ширине доверительного интервала 95 %. 95 % означает, что с 95%-ной вероятностью действительно вокруг выборочной средней существует определенный доверительный интервал, в который и попадает реально существующая средняя из генеральной совокупности. Этот доверительный интервал может быть либо уже, если t=1; либо шире, если t=3.
• Доверительный интервал задается самостоятельно исследователем. Чаще всего он равен 95 %.

Если это видео оказалось Вам полезным, оно хотя бы немного раскрыло тайны доверительного интервала, ставьте лайки, подписывайтесь на наши рассылки и в комментариях пишите, какие темы по биостатистике вам бы были интересны для следующих выпусков. На этом я с вами прощаюсь. Меня зовут Кирилл. Пока!

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы

«ЮРИДИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

по ОП.11 Статистика

учебной дисциплине/междисциплинарному курсу

для обучающихся 2 курса

специальность 40.02.01 Право и организация социального обеспечения

(набор 2016 г.)

(углубленная подготовка)

дата проведения занятия по расписанию

Тема 3.1. Выборочное наблюдение

Занятие 15.  ПЗ №8 Определение ошибки репрезентативности.

Определение объема выборочной совокупности

Цель занятия: отработать практические навыки по определению доверительных пределов и исчислению ошибок выборки 

Задачи занятия:

Обучающая: Обеспечить усвоение обучающимися материала о понятиях: ошибки репрезентативности, выборка, выборочная совокупность;

Воспитательная: воспитывать навыки самостоятельной работы, чувство ответственности за порученный участок работы, дисциплину  умственного труда, уверенность в своих силах, стремление к достижению результата;

Развивающая: создавать условия для развития самостоятельности мышления, способности высказывания собственной точки зрения, систематизировать необходимую информацию, анализировать, сравнивать и обобщать информацию, развивать монологическую речь.

Основная литература:

Глава 11. Выборочное наблюдение. (211-220) Статистика: учебник / И.В. Гладун. – 2-е издание, стер. – М.: КНОРУС, 2014. – 232 с. – СПО 

Дополнительная литература:

 Савюк Л.К. Правовая статистика: Учебник. — М.: Юрист, 2016

Интернет-ресурсы:

1. Информационно-издательский центр «Статистика России» http://www.statbook.ru 
2. Электронный фонд правовой и технической документации http://docs.cntd.ru 
3. Информационно правовой портал http://www.garant.ru/

Междисциплинарные связи: Право социальное обеспечение

Внутридисциплинарные связи: Тема 2.1. Сводка и группировка статистических данных

1. Актуализация знаний по ранее пройденному материалу учебного курса

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 1.

Вопрос (тестовое задание)	Ответ
Задача сводки… дать характеристику объекту исследования с помощью запроектированных систем статистических показателей, выявить и измерить такие путем его существенные черты и особенности; дать характеристику объекту исследования с помощью запроектированных систем статистических показателей; выявить и измерить такие путем его существенные черты и особенности; подсчет общих и групповых итогов, получение системы взаимосвязанных показателей.
Перегруппировка ранее сгруппированных данных статистического наблюдения называется: типологической группировкой; структурной группировкой; вторичной группировкой; аналитической группировкой.
Плотность распределения – это частота, рассчитанная на единицу ширины интервала; количество единиц в ширине интервала; все верно; нет верного ответа.
К атрибутивным группировочным признакам относятся: пол человека; возраст человека; среднедушевой доход семьи; правильного ответа нет.
«Объем производства товаров и услуг», по временному фактору относятся к … моментному виду; интервальному виду; минутному виду; интенсивному виду.

2. Изучаемые вопросы занятия

1. Определение ошибки репрезентативности.

2. Определение объема выборочной совокупности.

Вопрос 1.        Определение ошибки репрезентативности

В статистике выделяют два основных метода исследования – сплошной и выборочный. При проведении выборочного исследования обязательным является соблюдение следующих требований: репрезентативность выборочной совокупности и достаточное число единиц наблюдений. При выборе единиц наблюдения возможны Ошибки смещения, т. е. такие события, появление которых не может быть точно предсказуемым. Эти ошибки являются объективными и закономерными. При определении степени точности выборочного исследования оценивается величина ошибки, которая может произойти в процессе выборки – Случайная ошибка репрезентативности (M) – Является фактической разностью между средними или относительными величинами, полученными при проведении выборочного исследования и аналогичными величинами, которые были бы получены при проведении исследования на генеральной совокупности.

Оценка достоверности результатов исследования предусматривает определение:

1. ошибки репрезентативности

2. доверительных границ средних (или относительных) величин в генеральной совокупности

3. достоверности разности средних (или относительных) величин (по критерию t)

Расчет ошибки репрезентативности (mм) средней арифметической величины (М):

, где σ – среднее квадратическое отклонение; n – численность выборки (>30).

Расчет ошибки репрезентативности (mР) относительной величины (Р):

, где Р – соответствующая относительная величина (рассчитанная, например, в %);

Q =100 – Ρ% – величина, обратная Р; n – численность выборки (n>30)

В клинических и экспериментальных работах довольно часто приходится использовать Малую выборку, Когда число наблюдений меньше или равно 30. При малой выборке для расчета ошибок репрезентативности, как средних, так и относительных величин, Число наблюдений уменьшается на единицу, т. е.

; .

Величина ошибки репрезентативности зависит от объема выборки: чем больше число наблюдений, тем меньше ошибка. Для оценки достоверности выборочного показателя принят следующий подход: показатель (или средняя величина) должен в 3 раза превышать свою ошибку, в этом случае он считается достоверным.

Знание величины ошибки недостаточно для того, чтобы быть уверенным в результатах выборочного исследования, так как конкретная ошибка выборочного исследования может быть значительно больше (или меньше) величины средней ошибки репрезентативности. Для определения точности, с которой исследователь желает получить результат, в статистике используется такое понятие, как вероятность безошибочного прогноза, которая является характеристикой надежности результатов выборочных медико-биологических статистических исследований. Обычно, при проведении медико-биологических статистических исследований используют вероятность безошибочного прогноза 95% или 99%. В наиболее ответственных случаях, когда необходимо сделать особенно важные выводы в теоретическом или практическом отношении, используют вероятность безошибочного прогноза 99,7%

Определенной степени вероятности безошибочного прогноза соответствует определенная величина Предельной ошибки случайной выборки (Δ – дельта), которая определяется по формуле:

Δ=t * m, где t – доверительный коэффициент, который при большой выборке при вероятности безошибочного прогноза 95% равен 2,6; при вероятности безошибочного прогноза 99% – 3,0; при вероятности безошибочного прогноза 99,7% – 3,3, а при малой выборке определяется по специальной таблице значений t Стьюдента.

Используя предельную ошибку выборки (Δ), можно определить Доверительные границы, в которых с определенной вероятностью безошибочного прогноза заключено действительное значение статистической величины, Характеризующей всю генеральную совокупность (средней или относительной).

Для определения доверительных границ используются следующие формулы:

1. для средних величин:

 ,где Мген – доверительные границы средней величины в генеральной совокупности;

Мвыб – средняя величина, Полученная при проведении исследования на выборочной совокупности; t – доверительный коэффициент, значение которого определяется степенью вероятности безошибочного прогноза, с которой исследователь желает получить результат; mM – ошибка репрезентативности средней величины.

     2) для относительных величин:

, где Рген – доверительные границы относительной величины в генеральной совокупности; Рвыб – относительная величина, полученная при проведении исследования на выборочной совокупности; t – доверительный коэффициент; mP – ошибка репрезентативности относительной величины.

Доверительные границы показывают, в каких пределах может колебаться размер выборочного показателя в зависимости от причин случайного характера.

При малом числе наблюдений (n<30), для вычисления доверительных границ значение коэффициента t находят по специальной таблице Стьюдента. Значения t расположены в таблице на пересечении с избранной вероятностью безошибочного прогноза и строки, Указывающей на имеющееся число степеней свободы (n), Которое равно n-1.

на определение ошибок репрезентативности (m) и доверительных границ средней величины генеральной совокупности (Мген) при числе наблюдений больше 30

Условие задачи: при изучении комбинированного воздействия шума и низкочастотной вибрации на организм человека было установлено, что средняя частота пульса у 36 обследованных водителей сельскохозяйственных машин через 1 ч работы составила 80 ударов в 1 минуту; σ = ± 6 ударов в минуту.

Задание: определить ошибку репрезентативности (mM) и доверительные границы средней величины генеральной совокупности (Мген).

Решение.

1. Вычисление средней ошибки средней арифметической (ошибки репрезентативности) (m): m = σ / √n = 6 / √36 = ±1 удар в минуту
2. Вычисление доверительных границ средней величины генеральной совокупности (Мген). Для этого необходимо:

• а) задать степень вероятности безошибочного прогноза (Р = 95 %);
• б) определить величину критерия t. При заданной степени вероятности (Р=95%) и числе наблюдений меньше 30 величина критерия t, определяемого по таблице, равна 2 (t = 2). Тогда Мген = Мвыб ± tm = 80 ± 2×1 = 80 ± 2 удара в минуту.

Вывод. Установлено с вероятностью безошибочного прогноза Р = 95%, что средняя частота пульса в генеральной совокупности, т.е. у всех водителей сельскохозяйственных машин, через 1 ч работы в аналогичных условиях будет находиться в пределах от 78 до 82 ударов в минуту, т.е. средняя частота пульса менее 78 и более 82 ударов в минуту возможна не более, чем у 5% случаев генеральной совокупности.

на определение ошибок репрезентативности (m) и доверительных границ относительного показателя генеральной совокупности (Рген)

Условие задачи: при медицинском осмотре 164 детей 3 летнего возраста, проживающих в одном из районов городе Н., в 18% случаев обнаружено нарушение осанки функционального характера.

Задание: определить ошибку репрезентативности (mp) и доверительные границы относительного показателя генеральной совокупности (Рген).

Решение.

1. Вычисление ошибки репрезентативности относительного показателя: m = √P x q / n = √18 x (100 — 18) / 164 = ± 3%
2. Вычисление доверительных границ средней величины генеральной совокупности (Рген) производится следующим образом:

• необходимо задать степень вероятности безошибочного прогноза (Р=95%);
• при заданной степени вероятности и числе наблюдений больше 30, величина критерия t равна 2 (t = 2). Тогда Рген = Рвыб± tm = 18% ± 2 х 3 = 18% ± 6%.

Вывод. Установлено с вероятностью безошибочного прогноза Р=95%, что частота нарушения осанки функционального характера у детей 3 летнего возраста, проживающих в городе Н., будет находиться в пределах от 12 до 24% случаев.

на оценку достоверности разности средних величин

Условие задачи: при изучении комбинированного воздействия шума и низкочастотной вибрации на организм человека было установлено, что средняя частота пульса у водителей сельскохозяйственных машин через 1 ч после начала работы составила 80 ударов в минуту; m = ± 1 удар в мин. Средняя частота пульса у этой же группы водителей до начала работы равнялась 75 ударам в минуту; m = ± 1 удар в минуту.

Задание: оценить достоверность различий средних значений пульса у водителей сельскохозяйственных машин до и после 1 ч работы.

Решение.

Вывод. Значение критерия t = 3,5 соответствует вероятности безошибочного прогноза Р > 99,7%, следовательно можно утверждать, что различия в средних значениях пульса у водителей сельскохозяйственных машин до и после 1 ч работы не случайно, а достоверно, существенно, т.е. обусловлено влиянием воздействия шума и низкочастотной вибрации.

на оценку достоверности разности относительных показателей

Условие задачи: при медицинском осмотре детей 3 летнего возраста в 18% (m = ± 3%) случаях обнаружено нарушение осанки функционального характера. Частота аналогичных нарушений осанки при медосмотре детей 4-летнего возраста составила 24% (m = ± 2,64%).

Задание: оценить достоверность различий в частоте нарушения осанки у детей 2 возрастных групп.

Решение.

Вывод. Значение критерия t=1,5 соответствует вероятности безошибочного прогноза Р<95%. Следовательно, различие в частоте нарушений осанки среди детей, сравниваемых возрастных групп случайно, недостоверно, несущественно, т.е. не обусловлено влиянием возраста детей.

Источники информации по 1 вопросу	Автор и наименование	Страницы (форма доступа для Интернет-ресурсов)
Основная литература	Глава 11. Выборочное наблюдение. Статистика: учебник / И.В. Гладун. – 2-е издание, стер. – М.: КНОРУС, 2014. – 232 с. – СПО	стр. 211-220
Интернет ресурсы	Информационно-издательский центр «Статистика России»	http://www.statbook.ru
Электронный фонд правовой и технической документации	http://docs.cntd.ru
Информационно правовой портал	http://www.garant.ru/

Контрольное задание по Вопросу 1

1. Записать в тетрадь конспект (1-2 стр.)

Вопрос 2. Определение объема выборочной совокупности

 Социологические исследования редко бывают сплошными, как, например, перепись населения. Обычно сплошное исследование проводится при небольшой генеральной совокупности.

Чаще всего исследования носят выборочный характер, при котором наиболее важным основанием является возможность распространения полученных результатов и выводов на всю генеральную совокупность. В таком случае сплошное исследование  нецелесообразно. Обеспечение этой нецелесообразности — вопрос о репрезентативности выборки, т.е. достаточной количественной и качественной представительности генеральной совокупности в выборке.

Условиями соблюдения репрезентативности выборки являются:

1) равная возможность каждого члена генеральной совокупности попасть в выборку;

2) отбор необходимо проводить независимо от изучаемого признака (иначе в выборку могут попасть, например, только спортсмены);

3) отбор по возможности должен производиться из однородных совокупностей;

4) величина выборки должна быть достаточно большой.

Далее возникает вопрос: как определить достаточный объем выборки? Для этого необходимо иметь характеристики генеральной совокупности по важнейшим (с точки зрения исследования) признакам. К ним, например, можно отнести сведения о количестве желающих заниматься физической культурой и спортом, о числе занимающихся и т.д. Но, как правило, такие характеристики (или многие из них) не известны. Пилотажные исследования как раз и направлены на их выявление.

Приведем пример определения объема выборочной совокупности. В ходе подготовки к проведению конкретно-социологического исследования на основании теоретических посылок были выделены характеристики и признаки, подлежащие изучению. Например, желание заниматься физической культурой, спортом, величина потребности, участие в видах деятельности и др.

На основании результатов изучения этих признаков в пробном исследовании (30 и более респондентов) определяется объем выборки.

Предположим, что в пробном исследовании опрошено 147 студентов 4-х курсов в четырех вузах Республики Беларусь.

Для желания заниматься физической культурой получены следующие распределения:

1.«Нет, не хочу» — 5 человек;

2.«Скорее не хочу, чем хочу» — 3 человека;

3.«Безразлично» — 11 человек;

4.«Скорее хочу, чем не хочу» — 34 человека;

5.«Да, хочу» — 72 человека.

Для расчета объема выборки используются формулы:

t — 1,96 — распределение Стьюдента для вероятности 0,95 или 95% (т.е., если требуемая вероятность соответствия характеристик выборки и характеристик генеральной совокупности 95%, всегда = 1,96. Их соответствие на 95% — общепринятое требование в социологических исследованиях.

Для нашего распределения:

При условии, что выборка в пробном исследовании представляла бы собой модель генеральной совокупности, величина выборочной совокупности для изучения желания заниматься физической культурой должна быть не меньше 147 человек. Тогда с вероятностью 95% можно утверждать, что генеральное среднее лежит в пределах 4,39+0,155.

Поскольку модель выборки в пробном исследовании во вузам не представляет собой модели генеральной совокупности (опрос был в четырех вузах из 30), то увеличиваем полученное n (30/4) в 7,5 раза. Тогда необходимый объем выборки — 1102 респондента.

Качественная представительность полученной выборки оценивается сравнением существенных характеристик (либо связанных с существенными) генеральной совокупности и выборки. Для студенчества, например, такими характеристиками являются: соотношение по полу, охват учебными занятиями по физическому воспитанию, соотношение форм занятий и др.

Когда информация о признаках элементов генеральной совокупности отсутствует, исключается возможность определения объема выборочной совокупности при помощи формул. В этом случае можно опереться на многолетний опыт социологов — практиков, свидетельствующий о том, что для пробных опросов достаточна выборка объемом 100-250 человек. При массовых опросах, если величина генеральной совокупности 5000 человек, достаточный объем выборочной совокупности — не менее 500 человек, если же величина генеральной совокупности 5000 человек и более, то — 10% ее состава (но не более 2000-2500 человек). Это характеризует достаточно достоверные результаты исследования.

ПРИМЕР 1

При проверке импортирования груза на таможне методом случайной выборки было обработано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30г., при СКО=4г с вероятностью 0,997. Определите пределы в которых находится средний вес изделий генеральной совокупности.

Решение.

В данном примере – случайный повторный отбор.

n=200

=30г

=4г — СКО

p=0,997, тогда t=3

Формула средней ошибки для случайного повторного отбора:

=0,84 г

г

Определяем величину средней ошибки.

Ответ: пределы в которых находится средний вес изделий: г

ПРИМЕР 2

 В городе проживает 250тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-я бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распространение семей по числу детей:

 P=0,954. Найти пределы в которых будет находится среднее число детей в генеральной совокупности.

Число детей в семье, xi	0	1	2	3	4	5
Кол-во детей в семье	1000	2000	1200	400	200	200

Решение

2%-я выборка означает: n=250000*0,02= 5000 семей было исследовано.

Т.к. выборка бесповторная, используем следующую формулу для определения средней величины ошибки:

Найдем среднее число детей в выборочной совокупности:

 ребенка

Определим дисперсию

 ребенка – средняя величина ошибки

Т.к p = 0,954, то t = 2

ребенка

ребенка

Вывод: из-за слишком малой величины ошибки, среднее число детей в генеральной совокупности можно принять за 1,5 ребенка.

Источники информации по 2 вопросу	Автор и наименование	Страницы (форма доступа для Интернет-ресурсов)
Основная литература	Глава 11. Выборочное наблюдение. Статистика: учебник / И.В. Гладун. – 3-е издание, стер. – М.: КНОРУС, 2019. – 232 с. – СПО	стр. 211-220
Интернет ресурсы	Информационно-издательский центр «Статистика России»	http://www.statbook.ru
Электронный фонд правовой и технической документации	http://docs.cntd.ru
Информационно правовой портал	http://www.garant.ru/

Контрольное задание по Вопросу 2

1. Записать в тетрадь конспект (1-2 стр.)

3. Подведение итогов учебного занятия

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Таблица 2.

Наименование изученного вопроса учебного занятия	Контрольное задание по изученному вопросу	Ответ
Определение ошибки репрезентативности.	ЗАДАНИЕ 1   Условие задачи: при медицинском осмотре 126 детей 6 летнего возраста, проживающих в одном из районов городе А., в 12% случаев обнаружено нарушение осанки функционального характера. Задание: определить ошибку репрезентативности (mp) и доверительные границы относительного показателя генеральной совокупности (Рген).
Определение ошибки репрезентативности.	ЗАДАНИЕ 2.   Условие задачи: при медицинском осмотре детей 6 летнего возраста в 15% (m = ± 3%) случаях обнаружено нарушение осанки функционального характера. Частота аналогичных нарушений осанки при медосмотре детей 7-летнего возраста составила 24% (m = ± 2,64%). Задание: оценить достоверность различий в частоте нарушения осанки у детей 2 возрастных групп.
Определение объема выборочной совокупности	ЗАДАНИЕ 3. В городе проживает 300 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-я бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распространение семей по числу детей:  P=0,954. Найти пределы в которых будет находится среднее число детей в генеральной совокупности
Определение объема выборочной совокупности	Сформулируйте понятие генеральной совокупности
Определение объема выборочной совокупности	Перечислите способы отбора единиц для выборочного наблюдения

1. Домашнее задание на следующее занятие

1. Выучить основные понятия. Глава 11. Выборочное наблюдение. Статистика: учебник / И.В. Гладун. – 2-е издание, стер. – М.: КНОРУС, 2014. – 232 с. – СПО (стр. 211-220)
2. Выполнить задание 11.1. в тетради (стр. 224) учебник / И.В. Гладун. – 2-е издание, стер. – М.: КНОРУС, 2014. – 232 с. – СПО

Преподаватель                                                                 Ю.В. Древаль

СОГЛАСОВАНО Протокол заседания ЦК дисциплин профессионального цикла специальности «Право и организация социального обеспечения» ГБПОУ Юридический колледж от ____________ 2017 г. № ___