Градация значений средней ошибки аппроксимации
|
Значение |
Менее |
10% – |
20% – |
Более 50% |
|
Уровень |
высокая |
хорошая |
удовлетворительная |
неудовлетворительная |
Как
видно из таблицы, чем меньше ошибка
аппроксимации, тем ближе расчетные
уровни признака, полученные из уравнения
регрессии, к их фактическим значениям.
Коэффициент
регрессии применяют для расчета
коэффициента
эластичности,
который показывает на сколько процентов
изменится величина результативного Y
при изменении признак-фактора Х на 1%.
Для
определения коэффициента эластичности
используется формула:
.
(11.14)
4. Измерение тесноты связей в корреляционно-регрессионном анализе: определение линейного коэффициента корреляции и детерминации
В
случае линейной зависимости между Х и
Y
тесноту связи между признаками
устанавливают с помощью коэффициента
линейной корреляции (
):
.
(11.15)
Значение
коэффициента линейной корреляции
изменяется в пределах от
.
Если
знак с положительным коэффициентом, то
связь прямая, а если с отрицательным,
то связь обратная. Чем ближе он к 1, тем
теснее связь.
Показатели
тесноты связи характеризуют зависимость
вариации результативного признака от
вариации факторного признака.
К
этим показателям относятся:
-
индекс
корреляции; -
индекс
детерминации.
Для
расчета этих индексов необходимы
сведения о различных видах дисперсий:
-
общей;
-
факторной;
-
остаточной.
Используем
условные обозначения:
– фактические
значения результативного признака;
–
расчетные значения результативного
признака;
–
среднее значение результативного
признака.
Общая
дисперсия
– характеризует общую вариацию
результативного признака у, объясняемую
влиянием всех факторов, действующих в
данной совокупности.
Общая
дисперсия
для несгруппированных данных:
.
(11.16)
Общая
взвешенная дисперсия (по сгруппированным
данным):
.
(11.17)
Общая
дисперсия раскладывается на 2 части:
Факторная
дисперсия (
):
,
(11.18)
где
–
расчетное значение признака из уравнения
регрессии.
Она
объясняется фактором Х и характеризует
меру колеблемости расчетных значений
признака около их средней величины.
Остаточная
дисперсия:
.
(11.19)
Остаточная
дисперсия объясняется другими кроме Х
факторами и показывает меру колеблемости
фактических значений результативного
признака (
)
около теоретической линии регрессии
(
).
Эти
дисперсии связаны по правилу сложения
дисперсий, т.е.
.
(11.20)
Общая
дисперсия равна сумме факторной и
остаточной дисперсий.
На
основе правила сложения дисперсий
рассчитаем показатели тесноты связи:
-
Индекс
детерминации
(причинности), который выражает долю
факторной дисперсии в общей и показывает,
какая часть колеблемости результативного
признака Y
объясняется изучаемым фактором X.
Расчет производится по формуле:
.
(11.21)
Изменяется
в пределах
.
Долю
случайной вариации результативного
признака (под влиянием всех прочих
факторов, кроме Х) показывает отношение:
.
-
R
– индекс корреляции
(теоретическое корреляционное отношение):
(11.22)
или
.
(11.23)
Он
характеризует тесноту связи между
результативным и факторным признаками
и изменяется в пределах
.
При
функциональной зависимости значения
Yx
полностью совпадают с соответствующими
индивидуальными значениями Yij
. Тогда:
,
а
.
При
отсутствии связи вариация Х не отражается
на изменении Y.
В этом случае:
,
а
.
При
наличии корреляционной (соотносительной)
связи
.
При этом величина
изменяется
в пределах
.
Для
получения выводов о практической
значимости полученных в анализе моделей,
показаниям тесноты связи дается
качественная оценка (табл. 11.2).
Таблица
11.2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Коэффициент корреляции
Тесноту (силу) связи изучаемых показателей в предмете эконометрика оценивают с помощью коэффициента корреляции Rxy, который может принимать значения от -1 до +1.
Если Rxy > 0,7 — связь между изучаемыми показателями сильная, можно проводить анализ линейной модели
Если 0,3 < Rxy < 0,7 — связь между показателями умеренная, можно использовать нелинейную модель при отсутствии Rxy > 0,7
Если Rxy < 0,3 — связь слабая, модель строить нельзя
Для нелинейной регрессии используют индекс корреляции (0 < Рху < 1):
Средняя ошибка аппроксимации
Для оценки качества однофакторной модели в эконометрике используют коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации определяется как среднее отклонение полученных значений от фактических
Допустимая ошибка аппроксимации не должна превышать 10%.
В эконометрике существует понятие среднего коэффициента эластичности Э – который говорит о том, на сколько процентов в среднем изменится показатель у от своего среднего значения при изменении фактора х на 1% от своей средней величины.
Пример нахождения коэффициента корреляции
Исходные данные:
|
Номер региона |
Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., |
Среднедневная заработная плата, руб., |
|
1 |
81 |
124 |
|
2 |
77 |
131 |
|
3 |
85 |
146 |
|
4 |
79 |
139 |
|
5 |
93 |
143 |
|
6 |
100 |
159 |
|
7 |
72 |
135 |
|
8 |
90 |
152 |
|
9 |
71 |
127 |
|
10 |
89 |
154 |
|
11 |
82 |
127 |
|
12 |
111 |
162 |
Рассчитаем параметры парной линейной регрессии, составив таблицу
| x |
x2 |
y |
xy |
y2 |
|
|
1 |
81 |
6561 |
124 |
10044 |
15376 |
|
2 |
77 |
5929 |
131 |
10087 |
17161 |
|
3 |
85 |
7225 |
146 |
12410 |
21316 |
|
4 |
79 |
6241 |
139 |
10981 |
19321 |
|
5 |
93 |
8649 |
143 |
13299 |
20449 |
|
6 |
100 |
10000 |
159 |
15900 |
25281 |
|
7 |
72 |
5184 |
135 |
9720 |
18225 |
|
8 |
90 |
8100 |
152 |
13680 |
23104 |
|
9 |
71 |
5041 |
127 |
9017 |
16129 |
|
10 |
89 |
7921 |
154 |
13706 |
23716 |
|
11 |
82 |
6724 |
127 |
10414 |
16129 |
|
12 |
111 |
12321 |
162 |
17982 |
26244 |
|
Среднее |
85,8 |
7491 |
141,6 |
12270,0 |
20204,3 |
|
Сумма |
1030,0 |
89896 |
1699 |
147240 |
242451 |
| σ |
11,13 |
12,59 |
|||
| σ2 |
123,97 |
158,41 |
формула расчета дисперсии σ2 приведена здесь.
Коэффициенты уравнения y = a + bx определяются по формуле
Получаем уравнение регрессии: y = 0,947x + 60,279.
Коэффициент уравнения b = 0,947 показывает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1 руб. среднедневная заработная плата увеличивается на 0,947 руб.
Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:
Значение коэффициента корреляции более — 0,7, это означает, что связь между среднедушевым прожиточным минимумом в день одного трудоспособного и среднедневной заработной платой сильная.
Коэффициент детерминации равен R2 = 0.838^2 = 0.702
т.е. 70,2% результата объясняется вариацией объясняющей переменной x.
Оценка этой формы связи по коэффициенту множественной корреляции и средней ошибке аппроксимации показывает, что адекватность данной модели не подтверждается. Действительно, хотя значение коэффициента достаточно высокое (0,92), средняя ошибка аппроксимации составляет более 10% (I = 14,5%). Поэтому данная форма должна быть исключена из перебора известных уравнений регрессии. [c.29]
Анализ полученной формы связи по той же причине, что и в первом случае, позволяет сделать вывод о непригодности и этой модели. Коэффициент множественной корреляции хотя и имеет более высокое значение, чем в линейной зависимости (0,93), но по величине средней ошибки аппроксимации (б = 12,4%) это уравнение регрессии подлежит исключению из дальнейшего перебора. [c.29]
Последняя модель себестоимости добычи нефти, как показывает оценка ее по известным критериям, удовлетворяет условиям адекватности. Коэффициент множественной корреляции R составляет 0,98, что свидетельствует о том, что колеблемость исследуемого показателя более чем на 96 % определяется факторами, включенными в эту модель. При оценке по f-критерию (t R = 30,5) можно утверждать, что с вероятностью 0,99 факторы, включенные в модель, имеют существенную связь с исследуемым показателем (t a n = 2,58). Средняя ошибка аппроксимации составляет всего лишь 2,9 %, а F-критерий, характеризующий уровень остаточной дисперсии, превышает критическое (табличное) значение в четыре раза. К этому следует добавить, что полученная модель себестоимости добычи нефти представляет собой достаточно простую форму связи, легко решается и поддается экономической интерпретации. [c.30]
Оценка полученной модели по статистическим характеристикам показывает, что колеблемость затрат исследуемой подсистемы на 85 % обусловлена колеблемостью факторов, включенных в модель, коэффициент множественной корреляции высокий (/ = 0,92) и существенный (f = = 39,8), модель является адекватной, средняя ошибка аппроксимации (ё = 5,7%) меньше 10%. [c.39]
Чем продолжительнее период, по данным которого построены модели, тем меньше темп роста ошибки аппроксимации при прочих равных условиях. Следовательно, чем короче период упреждения, тем короче следует брать и период анализа, и, наоборот, при долгосрочном планировании необходимо использовать максимально возможную продолжитель- [c.64]
Статистический анализ показывает, что уравнение значимо Рф = 5,054 при /»табл = 3,01, корреляционное отношение равно 0,9959, ее»стандартная ошибка равна 0,0015. Среднее квадратическое отклонение расчетной себестоимости от фактической равно 0,018. Средняя ошибка аппроксимации 1,1%. [c.90]
Средняя ошибка аппроксимации [c.94]
Средняя ошибка аппроксимации……,……. [c.95]
В случаях, когда трудно обосновать форму зависимости, решение задачи можно провести по разным моделям и сравнить полученные результаты. Адекватность разных моделей фактическим зависимостям проверяется по критерию Фишера, показателю средней ошибки аппроксимации и величине множественного коэффициента детерминации, о которых речь пойдет несколько позже (см. 7.4). [c.144]
Эти сведения вводятся в ПЭВМ и рассчитываются матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, уравнение множественной регрессии, а также показатели, с помощью которых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнения связи критерий Стьюдента, критерий Фишера, средняя ошибка аппроксимации, множественные коэффициенты корреляции и детерминации. [c.145]
Для того чтобы убедиться в надежности уравнения связи и правомерности его использования для практической цели, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи. Для этого используются критерий Фишера (F-отношение), средняя ошибка аппроксимации ( ), коэффициенты множественной корреляции (/ ) и детерминации (D). [c.151]
Для статистической оценки точности уравнения связи используется также средняя ошибка аппроксимации [c.152]
Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической (эмпиричной), тем меньше средняя ошибка аппроксимации. В нашем примере она составляет 0,0364, или 3,64 %. Учитывая, что в экономических расчетах допускается погрешность 5-8 %, можно сделать вывод, что исследуемое уравнение связи довольно точно описывает изучаемые зависимости. [c.152]
После построения уравнения регрессии необходимо сделать проверку его значимости с помощью специальных критериев установить, не является ли полученная зависимость, выраженная уравнением регрессии, случайной, т.е. можно ли ее использовать в прогнозных целях и для факторного анализа. В статистике разработаны методики строгой проверки значимости коэффициентов регрессии с помощью дисперсионного анализа и расчета специальных критериев (например, F-критерия). Нестрогая проверка может быть выполнена путем расчета среднего относительного линейного отклонения (ё), называемого средней ошибкой аппроксимации [c.123]
Модель считается адекватной, т.е. пригодной для практического использования, если средняя ошибка аппроксимации не превосходит 15%. [c.123]
Подобное обоснование является приблизительным и нуждается в дальнейшем уточнении с помощью ошибки аппроксимации. [c.50]
Наибольшее значение ошибки аппроксимации свидетельствует о том, что оцениваемая модель дает наиболее адекватное описание формы взаимосвязи. Причем ошибка аппроксимации не должна превышать 0,2, или 20%. [c.52]
Подставляя последовательно значения времени /, получим теоретические уровни товарооборота. Ошибка аппроксимации для прямолинейной формы тренда составит [c.184]
Далее рассчитывается ошибка аппроксимации для функции тренда в виде параболы второго порядка по формуле [c.187]
Для повышения надежности прогноза потребности в нефтепродуктах по управлению в целом и определения границ его достоверности на всех этапах прогнозирования предусматривается проведение верификации. При верификации принимаются в расчет не все частные прогнозы, а только те из них, которые удовлетворяют требованиям статистической надежности, дают наименьшую ошибку аппроксимации, подтверждаются проверкой ретроспективным методом и дают результаты, близкие к фактическим значениям за последний год ретроспективного периода. Для облегчения проведения расчетов по алгоритму (рис. 7) на каждом этапе прогнозирования (кратко-, средне- и долгосрочный прогнозы) составляются подсобные таблицы по форме 010107 (табл. 6). [c.63]
Очевидно, что ошибки аппроксимации носят непериодический характер. В противном случае нужно было бы повторить всю процедуру, используя в качестве исходной выборки эти ошибки, и повторять ее до тех пор, пока не будут выделены все значимые гармоники. [c.137]
Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации. [c.6]
Средняя ошибка аппроксимации — среднее отклонение расчетных значений от фактических [c.6]
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата ух. По ним рассчитаем показатели тесноты связи — индекс корреляции рху и среднюю ошибку аппроксимации 7, [c.13]
А = 8,0%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость. [c.15]
Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. [c.16]
Это означает, что 52% вариации заработной латы (у) объясняется вариацией фактора х — среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации [c.18]
Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера. [c.32]
Оцените качество модели. Для этого а) определите ошибку аппроксимации t б) найдите показатель тесноты связи прибыли с исследуемым в мо- [c.33]
Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. [c.38]
Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации. [c.42]
Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации. [c.92]
Оцените качество каждого тренда через среднюю ошибку аппроксимации, линейный коэффициент автокорреляции отклонений. [c.166]
СРЕДНЯЯ ОШИБКА АППРОКСИМАЦИИ [c.87]
Параметры моделей и выбор формы связи, определяющие уровень затрат в зависимости от значений отобранных факторов, вычисляются по методике, изложенной в работе [51]. Затем исследуется характер изменения случайных отклонений (ошибки аппроксимации) по каждому НГДУ отдельно. Если обнаружится определенная закономерность их изменений, то вычисляется функция их изменения во времени, и далее плановый [c.68]
Такого рода характеристика явлений, влияющих на уровень и динамику валютного курса, является непременным этапом, предшествующим самостоятельному статистическому анализу факторов на основе конкретного цифрового материала. Дальнейший анализ выглядит чаще как моделирование взаимосвязей и оценка тесноты взаимозависимости (корреляционно-регрессионный анализ). Напомним, что выбор функции осуществляется исходя из показателей значимости уравнения и ошибок аппроксимации. Это относительная ошибка аппроксимации, средняя квадратическая ошибка аппроксимации (6ОСТ) (чем они меньше, тем лучше уравнение) и коэффициент множественной детерминации (R2) или коэффициент множественной корреляции (R) (чем ближе он к 1, тем более вероятность, что уравнение регрессии носит совершенно случайный характер). Для проверки значимости используют F-критерий с распределением Фишера. [c.670]