Средняя абсолютная ошибка выборки - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ( $\mu$ ).

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения $\mu$ , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то $\mu$ определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки ( $\Delta$ ) равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

$\Delta =t \mu$ .

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

степени вариации единиц генеральной совокупности;
объема выборки;
выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Таблица
11.2.

Значение доверительной вероятности P	0,683	0,954	0,997
Значение коэффициента доверия t	1,0	2,0	3,0

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Таблица
11.3.
Формулы для расчета средней ошибки собственно случайной и механической выборки ( $\mu$ )

где $\sigma^{2}$ — дисперсия признака в выборочной совокупности.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

Таблица
11.4.

Уровень фондоотдачи, руб.	До 1,4	1,4-1,6	1,6-1,8	1,8-2,0	2,0-2,2	2,2 и выше	Итого
Количество предприятий	13	15	17	15	16	14	90

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Таблица
11.5.

Результаты наблюдения	Расчетные значения
уровень фондоотдачи, руб., x_i	количество предприятий, f_i	середина интервала, x_i^\xb4	x_i^\xb4f_i	x_i^\xb4²f_i
До 1,4	13	1,3	16,9	21,97
1,4-1,6	15	1,5	22,5	33,75
1,6-1,8	17	1,7	28,9	49,13
1,8-2,0	15	1,9	28,5	54,15
2,0-2,2	16	2,1	33,6	70,56
2,2 и выше	14	2,3	32,2	74,06
Итого	90	—	162,6	303,62

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки
Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна
$\delta_{x}= t\mu_{x}= 2*0.035 = 0.07$
Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

$\delta_{x}= t\mu_{x}= 2*0.027 = 0.054$

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

$\sigma_{w}^{2}= w(1 - w) = 0,667(1 - 0,667) = 0,222$ ;

средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

$\delta_{x}= t\mu_{x}= 3*0.04 = 0.12$

установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Таблица
11.6.
Формулы для расчета средней ошибки выборки ( $\mu$ ) при использовании типического отбора, пропорционального объему типических групп

Здесь $\sigma^{2}$ — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Таблица
11.7.

Номер курса	Всего студентов, чел., N_i	Обследовано в результате выборочного наблюдения, чел., n_i	Среднее число посещений библиотеки одним студентом за семестр, x_i	Внутригрупповая выборочная дисперсия, $\sigma_{i}^{2}$
1	650	33	11	6
2	610	31	8	15
3	580	29	5	18
4	360	18	6	24
5	350	17	10	12
Итого	2 550	128	8	—

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

общий объем выборочной совокупности:
n = 2550/130*5 =128 (чел.);
количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:
Средняя из внутригрупповых дисперсий
Средняя ошибка выборки:

С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

$\delta_{x} = t\mu_{x} = 2*0.334 = 0.667$
Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

$\delta_{MB}= t\mu_{MB}$

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

Среднее значение признака в выборке равно
Значение среднего квадратического отклонения составляет
Средняя ошибка выборки:
Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
Предельная ошибка выборки:
$\delta_{MB}= t\mu_{MB}=2,365*0,344 = 0,81356 ~ 0,81 (ч)$
Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

вид предполагаемой выборки;
способ отбора (повторный или бесповторный);
выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Таблица
11.8.
Формулы для определения численности выборочной совокупности

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.

Источник

Ошибкой
выборочного среднего
или ошибкой
выборки
называется абсолютная величина разности
генерального и выборочного средних.
Так как генеральное среднее неизвестно,
ошибку выборки вычислить нельзя, но ее
можно оценить с помощью предельной
ошибки:

,
(1.10.15)

где

 предельная
ошибка выборки;

 средняя ошибка,
вычисляемая по формуле, зависящей от
вида выборки;


доверительный
коэффициент, значение которого находится
по заданной вероятности р
в специальных таблицах.

Доверительный
интервал, в котором с вероятностью р
находится генеральное среднее, имеет
вид:

.
(1.10.16)

Средняя
ошибка

малой выборки
вычисляется
по формуле

,
(1.10.17)

где

дисперсия
малой выборки, вычисляемая по формуле

(1.10.18)

Предельная
ошибка малой выборки
вычисляется по формуле (1.10.15), где
коэффициент

находится по уровню значимости

и числу

в табл. П4.

Пример
1.10.4.
При проверке качества партии колбасы
получены следующие данные о процентном
содержании поваренной соли в 10 пробах:
4,3; 4,2; 3,8; 4,3; 3,7; 3,9; 4,5; 4,4; 4,0; 3,9. Найдем с
вероятностью 0,95 границы, в которых
находится средний процент содержания
поваренной соли в партии колбасы.

Составим
расчётную табл. 1.10.10. По суммам в итоговой
строке табл. 1.10.10 вычислим
выборочную среднюю, выборочную дисперсию
и среднюю ошибку выборки:

Таблица
1.10.10

Расчетные показатели

i	(%)
1	4,3	0,2	0,04
2	4,2	0,1	0,01
3	3,8	0,3	0,09
4	4,3	0,2	0,04
5	3,7	– 0,4	0,16
6	3,9	– 0,2	0,04
7	4,5	0,4	0,16
8	4,4	0,3	0,09
9	4,0	–0,1	0,01
10	3,9	– 0,2	0,04
	41,0		0,68

В
табл. П4 по уровню значимости

и числу

находим доверительный коэффициент:

=2,262.
Вычислим предельную ошибку выборки:

.
Найдем доверительный интервал (1.10.16):

или

.

Таким
образом, с вероятностью 0,95 можно
утверждать, что в партии колбасы
содержание поваренной соли находится
в пределах от 3,9%
до 4,3%.

1.10.6. Вычисление предельной ошибки (пример 1.10.4)

Предельную
ошибку малой выборки можно найти,
применяя Excel
(рис. 1.10.6).
Для этого надо:

1)
в столбце
ячеек записать выборку;

2)
в меню
СЕРВИС
выбрать ОПИСАТЕЛЬНАЯ
СТАТИСТИКА;

3)
указать
уровень надежности
(доверительную
вероятность);

4)
снять остальные флажки, указать ячейку
выходного интервала и выбрать ОК.

Упражнение
1.10.7.
Отобрано 10 рабочих цеха для определения
среднего времени выполнения определенной
операции рабочими цеха. Выборочное
среднее время оказалось равным 10,4 мин,
а выборочное среднеквадратическое
отклонение –
2 мин. Найдите границы, в которых с
вероятностью 0,99 находится генеральная
средняя.

Приведем
следующие формулы для вычисления средней
ошибки 
большой выборки (
):

1)
средняя ошибка 
случайной повторной или бесповторной
выборки вычисляется соответственно
по формуле

или

;
(1.10.19)

2)
средняя ошибка 
типической повторной или бесповторной
выборки вычисляется соответственно
по формуле

или

,
(1.10.20)

где

– средняя
генеральных групповых дисперсий;

3)
средняя ошибка 
серийной повторной или бесповторной
выборки вычисляется соответственно по
формуле

или

,
(1.10.21)

где

– генеральная
межгрупповая (межсерийная) дисперсия;

r
и
R

число серий
соответственно в выборке и в генеральной
совокупности.

Генеральная
дисперсия

связана с выборочной дисперсией

соотношением

.
(1.10.22)

При
больших значениях n
генеральная
дисперсия приближенно равна выборочной
дисперсии.

Предельная
ошибка

большой выборки
вычисляется по формуле (1.10.15), где
коэффициент

определяется
из соотношения

.

Напомним,
что выборочное среднее значение
альтернативного признака равно выборочной
доле единиц в выборке, обладающих этим
признаком (
),
а выборочная дисперсия равна произведению

Пример
1.10.5.
При проверке
качества хлебобулочных изделий проведено
5%-е выборочное обследование партии
нарезных батонов. Из 100 отобранных в
выборку батонов 90 батонов оказались
стандартными. Средний вес одного батона
в выборке составил 500,5 г при
среднеквадратическом отклонении 15,4 г.
Найдем с вероятностью 0,95 доверительные
интервалы для доли стандартных батанов
и среднего веса одного батона во всей
партии.

По
условию выборочная доля:

Было
проведено 5%-е
выборочное обследование, следовательно,
во всей партии 
2000 батонов. Так как выборка
бесповторная механическая или случайная,
средняя ошибка выборочной доли равна:

Из
соотношения

,
используя табл. П2, найдем доверительный
коэффициент:

.

Вычислим
предельную ошибку:

.

Найдем
доверительный интервал (1.10.16):

или

.

Таким
образом, с вероятностью 0,95 можно
утверждать, что доля стандартных батонов
во всей партии батонов находится в
интервале от 0,84 до 0,96.

Вычислим
среднюю и предельную ошибки выборочного
среднего веса одного батона:

1,5
и

.

Найдем
доверительный интервал (1.10.16):

или

.

Таким
образом, с вероятностью 0,95 можно
утверждать, что средний вес одного
батона во всей партии батонов находится
в интервале от 497,6 г до 503,4 г.

Упражнение
1.10.8.
Дано распределение пачек чая по весу в
выборке из партии чая (табл. 1.10.11).

Таблица
1.10.11

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Чтобы
судить о том, насколько точно проведенные
измерения отражают состав генеральной
совокупности, необходимо вычислить
стандартную ошибку средней арифметической
выборочной совокупности.

Стандартная
ошибка средней арифметической
характеризует степень отклонения
выборочной средней арифметической от
средней арифметической генеральной
совокупности.

Стандартная
ошибка средней арифметической вычисляется
по формуле:

где 
– стандартное отклонение результатов
измерений, n
– объем выборки.

Зачастую
мы имеем дело с одной случайной выборкой
и с одной полученной при ее обработке
выборочной средней. Задача заключается
в суждении о величине неизвестной
генеральной средней по полученной
неточной величине случайной выборочной
средней.

Вычислим
среднюю ошибку найденного выборочного
среднего значения роста:

195
см; σ = 8,8 см;
см.

2,8 см
составляют не максимальную, а среднюю
возможную ошибку среднего. Отдельные
выборочные средние могут отклоняться
от генеральной как больше, так и меньше,
чем на 2,8 см.

Каковы
же пределы возможных ошибок случайной
выборки, какова ее максимальная ошибка?
Величина максимальной ошибки зависит
от величины средней ошибки и вычисляется
по формуле

При
объеме выборки n
= 10:

Все
случайные выборочные средние, которые
могут быть получены в подобных опытах
(в том числе и фактически полученная
выборочная средняя
= 195 см), при своем варьировании около
неизвестного генерального среднего в
подавляющем количестве группируются
около него так, что лишь ничтожный
процент их отклоняется от генеральной
средней более, чем на величину максимальной
ошибки.

Другими
словами, генеральная средняя определяется
как

Эти пределы
колебаний значительно сужаются, если
средняя ошибка уменьшается благодаря
увеличению численности выборки.

Искомая
генеральная средняя лежит между
и.
Таким образом, при высокой точности
выполнения эксперимента и достаточно
большом числе измерений можно определить
среднюю арифметическую бесконечно
большого числа экспериментов.

До сих
пор мы определяли максимальную ошибку
выборочной средней, исходя из того, что
все остальные показатели известны. Если
же мы хотим достичь определенной
точности, определенного приближения к
генеральной средней, в этом случае
встает вопрос о численности выборки (о
том, сколько измерений, опытов необходимо
провести).

Допустим, что
максимальная ошибка должна быть равна
5 см. Сколько человек надо обследовать
(измерить) в нашем случае?

Следовательно,
мы должны провести измерения роста у
36 баскетболистов высокого класса.

10. Достоверность различий

Следующим
важным вопросом практически для каждого
экспериментатора является умение
доказать достоверность различий между
двумя рядами признаков.

Проверку
достоверности различия двух рядов
измерений производят путем вычисления
критерия достоверности различия – t:

где
– средняя одной выборки;– средняя другой выборки;– средняя ошибка первой выборки;– второй выборки. Если t < 2, то различие
между двумя выборками считается
недостоверным, если t
2, то различие между двумя выборками
достоверно на 95%.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Ранее мы рассматривали пример анализа, где аналитик оценивал средние планируемые капитальные затраты клиентов на телекоммуникационное оборудование.

Если предположить, что выборка репрезентативна для совокупности, то как аналитик может оценить ошибку выборки при расчете среднего значения по совокупности?

Рассматриваемое как формула, которая использует функцию случайных исходов случайной величины, выборочное среднее само по себе является случайной величиной с распределением вероятностей. Это распределение вероятностей называется выборочным распределением статистики (англ. ‘sampling distribution’).

Иногда возникает путаница, потому что термин «выборочное среднее» также используется в другом смысле. При расчете выборочного среднего для конкретной выборки, мы получаем определенное число, скажем, 8.

Если мы говорим, что «выборочное среднее равно 8», мы используем термин «выборочное среднее» в смысле конкретного исхода выборочного среднего как случайной величины. Число 8 является, конечно же, постоянной величиной и не имеет распределения вероятностей.

В данном обсуждении, мы не рассматриваем «выборочное среднее» как постоянную величину, относящуюся к конкретной выборке.

Для того, чтобы оценить, насколько близко выборочное среднее к среднему по совокупности, аналитик должен понимать распределение выборочного среднего. К счастью, у нас есть для этого инструмент, — центральная предельная теорема, которая помогает нам понять распределение выборочного среднего для многих задач оценивания, с которыми мы сталкиваемся.

Центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема — одна из наиболее практически полезных теорем теории вероятностей. Она имеет важное значение для того, как мы строим доверительные интервалы и проверяем статистические гипотезы.

Формально она формулируется следующим образом:

Для данной генеральной совокупности, описанной любым распределением вероятностей, имеющим среднее ( mu ) и конечную дисперсию ( sigma^2 ), распределение выборочного среднего ( overline X), вычисленное по выборке размера (n) из этой совокупности будет приблизительно нормальным со средним ( mu ) (среднее значение совокупности) и дисперсией ( sigma^2 / n ) (дисперсия совокупности деленная на n), при большом размере выборки (n).

Центральная предельная теорема позволяет сделать довольно точные вероятностные утверждения о среднем значении совокупности на основе выборочного среднего, независимо от размера распределения совокупности (так как оно имеет конечную дисперсию), потому что выборочное среднее приблизительно соответствует нормальному распределению для выборок большого размера.

Тут сразу возникает очевидный вопрос:

«Какой размер выборки можно считать достаточно большим, чтобы мы могли считать, что выборочное среднее соответствует нормальному распределению?»

В целом, если размер выборки ( n ) больше или равен 30, то можно считать, что выборочное среднее приблизительно нормально распределено.

Если генеральная совокупность сильно отличается от нормального распределения, то чтобы получить нормальное распределение, хорошо описывающее распределение выборочного среднего, необходим размер выборки намного больше 30.

Центральная предельная теорема утверждает, что дисперсия распределения выборочного среднего равна ( sigma^2 / n ). Положительный квадратный корень из дисперсии является стандартным отклонением.

Стандартное отклонение выборочной статистики также называют стандартной ошибкой статистики (англ. ‘standard error’).

Стандартная ошибка выборочного среднего является важной величиной в применении центральной предельной теоремы на практике.

Определение стандартной ошибки среднего значения выборки.

Для среднего значения выборки ( overline X) рассчитанного на основе выборки из совокупности со стандартным отклонением ( sigma ), стандартная ошибка среднего значения выборки определяется одним из двух выражений:

( Large dst sigma_{overline X} = {sigma over sqrt n} ) (Формула 1)

когда мы знаем стандартное отклонение совокупности ( sigma ), или

( Large dst s_{overline X} = {s over sqrt n} ) (Формула 2)

когда нам не известно стандартное отклонение совокупности и необходимо использовать стандартное отклонение выборки (s), чтобы оценить его.

Необходимо отметить технический момент: Когда мы делаем выборку размера (n) из конечной совокупности размера (N), мы применяем уменьшающий коэффициент к стандартной ошибке выборочного среднего, который называется поправкой для конечной совокупности (или FPC, от англ. ‘finite population correction factor’).

FPC равна ( [(N — n)/(N — 1)]^{1/2} ).

Таким образом, если (N = 100) и (n = 20), то ( [(100 — 20)/(100 — 1)]^{1/2} = 0.898933 ).

Если мы рассчитали стандартную ошибку равную, скажем, 20, в соответствии с Формулой 1 или Формулой 2, то оценка ошибки с поправкой составляет ( 20(0.898933) = 17.978663 ).

FPC применяется только когда мы делаем выборку из конечной совокупности без замены.

На практике, большинство аналитиков не применяют FPC, если размер выборки (n) слишком мал по сравнению с ( N ) (скажем, менее 5% от (N) ).

Для получения дополнительной информации о поправке для конечной совокупности см. Daniel and Terrell (1995).

На практике, нам почти всегда приходится использовать Формулу 2. Стандартное отклонение выборки (s) можно рассчитать, найдя квадратный корень из дисперсии выборки (s^2), которая рассчитывается следующим образом:

( Large dst
s^2 = {dsum_{i=1}^{n} big ( X_i — overline {X} big )^2 over n-1 } ) (Формула 3)

Мы скоро увидим, как мы можем использовать среднее значение выборки и его стандартную ошибку, чтобы сделать вероятностные утверждения о среднем значении совокупности, используя технику доверительных интервалов.

Но сначала мы проиллюстрируем всю силу центральной предельной теоремы.

Пример (3) применения центральной предельной теоремы.

Примечательно, что выборочное среднее для выборок больших размеров будет распределяться нормально, независимо от распределения генеральной совокупности.

Чтобы проиллюстрировать центральную предельную теорему в действии, мы используем в этом примере явное ненормальное распределение и используем его для создания большого количества случайных выборок размером 100.

Затем мы рассчитываем выборочное среднее для каждой выборки. Частотное распределение рассчитываемых выборочных средних является приближением распределения выборочного среднего для данного размера выборки.

Выглядит ли выборочное распределение как нормальное распределение?

Вернемся к примеру с аналитиком, изучающим планы капитальных затрат клиентов на покупку телекоммуникационного оборудования.

Предположим, что капитальные затраты на оборудование образуют непрерывную равномерную случайную величину с нижним пределом равным $0, и верхним пределом, равным $100. Для краткости, обозначим эту равномерную случайную величину как (0, 100).

Функция вероятности этой непрерывной равномерной случайной величины имеет довольно простую форму, не соответствующую нормальному распределению. Это горизонтальная линия с пересечением на вертикальной оси в точке 1/100. В отличии от нормальной случайной величины, для которой близкие к среднему исходы были бы наиболее вероятны, для равномерной случайной величины все возможные исходы равновероятны.

Чтобы проиллюстрировать силу центральной предельной теоремы, мы проводим моделирование методом Монте-Карло для изучения планируемых капитальных расходов на телекоммуникационное оборудование.

Моделирование методом Монте-Карло предполагает использование компьютера, чтобы смоделировать работу рассматриваемой системы с учетом риска. Составной частью моделирования методом Монте-Карло является генерация большого числа случайных выборок из заданного распределения вероятностей или распределений.

[см. также: CFA — Метод Монте-Карло]

В этом моделировании мы делаем 200 случайных выборок капитальных затрат 100 компаний (200 сгенерированных случайных исходов, каждый из которых состоит из капитальных затрат 100 компаний при (n = 100 )).

В каждом испытании моделирования, 100 значений капитальных затрат генерируются из равномерного распределения (0, 100). Для каждой случайной выборки, мы вычисляем выборочное среднее. Всего мы проводим 200 имитационных испытаний.

Поскольку мы определили распределение, генерирующее выборки, мы знаем, что средние капитальные затраты генеральной совокупности равны ($0 + $100 млн.)/2 = $50 млн.; дисперсия капитальных затрат совокупности равна ( (100 — 0)^2/12 = 833.33 ).

Таким образом, стандартное отклонение составляет $28.87 млн. и стандартная ошибка равна ( 28.87 Big / sqrt {100} = 2.887 ) в соответствии с центральной предельной теоремой.

Если ( a ) является нижним пределом равномерной случайной величины и ( b ) является верхним пределом, то среднее значение случайной величины определяется по формуле ( (a + b)/2 ), а ее дисперсия определяется по формуле ( (b — a)^2/12 ).

В чтении об обычных распределениях вероятности подробно описаны непрерывные равномерные случайные величины.

Результаты этого моделирования методом Монте-Карло приведены в Таблице 2 в виде частотного распределения. Это распределение является рассчитанным выборочным распределением среднего значения.

Таблица 2. Частотное распространение:

Диапазон выборки средних значений ($ млн.)	Абсолютная частота
42.5 (leq overline X <) 44	1
44 (leq overline X <) 45.5	6
45.5 (leq overline X <)47	22
47 (leq overline X <) 48.5	39
48.5 (leq overline X <) 50	41
50 (leq overline X <) 51.5	39
51.5 (leq overline X <) 53	23
53 (leq overline X <) 54.5	12
54.5 (leq overline X <) 56	12
56 (leq overline X <) 57.5	5

200 случайных выборок
равномерной случайной величины (0,100).

Примечание: ( overline X ) представляет собой средние капитальные затраты для каждой выборки.

Полученное распределение частот можно описать как колоколообразное, с центром, расположенным близко к среднему значению совокупности: 50. Наиболее частый или модальный диапазон, с 41 наблюдениями: от 48.5 до 50.

Общее среднее выборочных средних составляет $49.92, со стандартной ошибкой, равной $2.80. Рассчитанная стандартная ошибка близка к значению 2.887, заданному центральной предельной теоремой.

Расхождение между вычисленными и ожидаемыми значениями среднего и стандартного отклонения, полученными в соответствии с центральной предельной теоремой, является результатом случайности (ошибка выборки).

Таким образом, хотя распределение совокупности очень не нормальное, моделирование показало, что нормальное распределение хорошо описывает рассчитанное распределение выборочного среднего. При этом среднее и стандартная ошибка приближительно равны значениям, предсказанным с помощью центральной предельной теоремы.

Итак, в соответствии с центральной предельной теоремой, когда мы делаем выборку из любого распределения, распределение выборочного среднего будет иметь следующие свойства, если размер нашей выборки достаточно велик:

Распределение выборочного среднего ( overline X) будет приблизительно соответствовать нормальному распределению.
Среднее значение распределения ( overline X) будет равно среднему значению генеральной совокупности, из которой сделана выборка.
Дисперсия распределения ( overline X) будет равна дисперсии совокупности, деленной на размер выборки.

Далее мы обсудим концепции и инструменты, связанные с оценкой параметров совокупности, с особым акцентом на среднее значение совокупности.

Мы фокусируем внимание на среднем значении совокупности, потому что интервальные оценки среднего значения совокупности интересуют финансовых аналитиков, как правило, больше, чем любой другой тип интервальных оценок.

См. далее:

CFA — Точечные оценки среднего значения совокупности
CFA — Доверительные интервалы для среднего значения совокупности
CFA — Определение размера выборки для доверительного интервала
CFA — Систематическая ошибка добычи данных (дата-майнинга)
CFA — Систематическая ошибка выборки, ошибки опережения и временного периода

Один из первых шагов при планировании количественного маркетингового исследования – определение объема выборки.

Калькулятор для расчета достаточного объема выборки
Калькулятор ошибки выборки для доли признака
Калькулятор ошибки выборки для среднего значения
Калькулятор значимости различий долей
Калькулятор значимости различий средних

1. Формула (даже две)

Бытует заблуждение, что чем больше объем генеральной совокупности, тем больше должен быть объем выборки маркетингового исследования. Это отчасти так, когда объем выборки сопоставим с размером генеральной совокупности. Например, при опросах организаций (B2B).

Если речь идет об исследовании жителей городов, то не важно, Москва это или Рязань – оптимальный объем выборки будет одинаков в обоих городах. Этот принцип следует из закона больших чисел и применим, только если выборка простая случайная.

На рис.1. пример выборки 15000 человек (!) при опросе в муниципальном районе. Возможно, от численности населения взяли 10%?
Размер выборки никогда не рассчитывается как процент от генеральной совокупности!

Рис.1. Размер выборки 15000 человек, как реальный пример некомпетентности (или хуже).

В таких случаях для расчета объема выборки используется следующая формула:

где

n – объем выборки,
Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня,
p – доля респондентов с наличием исследуемого признака,
q = 1 – p – доля респондентов, у которых исследуемый признак отсутствует,
∆ – предельная ошибка выборки.

Доверительный уровень – это вероятность того, что реальная доля лежит в границах полученного доверительного интервала: выборочная доля (p) ± ошибка выборки (Δ). Доверительный уровень устанавливает сам исследователь в соответствии со своими требованиями к надежности полученных результатов. Чаще всего применяются доверительные уровни, равные 0,95 или 0,99. В маркетинговых исследованиях, как правило, выбирается доверительный уровень, равный 0,95. При этом уровне коэффициент Z равен 1,96.

Значения p и q чаще всего неизвестны до проведения исследования и принимаются за 0,5. При этом значении размер ошибки выборки максимален.

Допустимая предельная ошибка выборки выбирается исследователем в зависимости от целей исследования. Считается, что для принятия бизнес-решений ошибка выборки должна быть не больше 4%. Этому значению соответствует объем выборки 500-600 респондентов. Для важных стратегических решений целесообразно минимизировать ошибку выборки.

Рассмотрим кривую зависимости ошибки выборки от ее объема (Рис.2).

Рис.2. Зависимость ошибки выборки от ее объема при 95% доверительном уровне

Как видно из диаграммы, с ростом объема выборки значение ошибки уменьшается все медленнее. Так, при объеме выборки 1500 человек предельная ошибка выборки составит ±2,5%, а при объеме 2000 человек – ±2,2%. То есть, при определенном объеме выборки дальнейшее его увеличение не дает значительного выигрыша в ее точности.

ШПАРГАЛКА (скопируйте ссылку или текст)

Подходы к решению проблемы:

Случай 1. Генеральная совокупность значительно больше выборки:

Случай 2. Генеральная совокупность сопоставима с объемом выборки: (см. раздел исследований B2B)

где
n – объем выборки,

N – объем генеральной совокупности,

Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня,

p – доля респондентов с наличием исследуемого признака,

q = 1 – p – доля респондентов, у которых исследуемый признак отсутствует, (значения p и q обычно принимаются за 0,5, поскольку точно неизвестны до проведения исследования)

∆ – предельная ошибка выборки.

Например,

рассчитаем ошибку выборки объемом 1000 человек при 95% доверительном уровне, если генеральная совокупность значительно больше объема выборки:

Ошибка выборки = 1,96 * КОРЕНЬ(0,5*0,5/1000) = 0,031 = ±3,1%

При расчете объема выборки следует также учитывать стоимость проведения исследования. Например, при цене за 1 анкету 200 рублей стоимость опроса 1000 человек составит 200 000 рублей, а опрос 1500 человек будет стоить 300 000 рублей. Увеличение затрат в полтора раза сократит ошибку выборки всего на 0,6%, что обычно неоправданно экономически.

2. Причины «раздувать» выборку

Анализ полученных данных обычно включает в себя и анализ подвыборок, объемы которых меньше основной выборки. Поэтому ошибка для выводов по подвыборкам больше, чем ошибка по выборке в целом. Если планируется анализ подгрупп / сегментов, объем выборки должен быть увеличен (в разумных пределах).

Рис.3 демонстрирует данную ситуацию. Если для исследования авиапассажиров используется выборка численностью 500 человек, то для выводов по выборке в целом ошибка составляет 4,4%, что вполне приемлемо для принятия бизнес-решений. Но при делении выборки на подгруппы в зависимости от цели поездки, выводы по каждой подгруппе уже недостаточно точны. Если мы захотим узнать какие-либо количественные характеристики группы пассажиров, совершающих бизнес-поездку и покупавших билет самостоятельно, ошибка полученных показателей будет достаточно велика. Даже увеличение выборки до 2000 человек не обеспечит приемлемой точности выводов по этой подвыборке.

Рис.3. Проектирование объема выборки с учетом необходимости анализа подвыборок

Другой пример – анализ подгрупп потребителей услуг торгово-развлекательного центра (Рис.4).

Рис.4. Потенциальный спрос на услуги торгово-развлекательного центра

При объеме выборки в 1000 человек выводы по каждой отдельной услуге (например, социально-демографический профиль, частота пользования, средний чек и др.) будут недостаточно точными для использования в бизнес планировании. Особенно это касается наименее популярных услуг (Таблица 1).

Таблица 1. Ошибка по подвыборкам потенциальных потребителей услуг торгово-развлекательного центра при выборке 1000 чел.

Чтобы ошибка в самой малочисленной подвыборке «Ночной клуб» составила меньше 5%, объем выборки исследования должен составлять около 4000 человек. Но это будет означать 4-кратное удорожание проекта. В таких случаях возможно компромиссное решение:

увеличение выборки до 1800 человек, что даст достаточную точность для 6 самых популярных видов услуг (от кинотеатра до парка аттракционов);
добор 200-300 пользователей менее популярных услуг с опросом по укороченной анкете (см. Таблицу 2).

Таблица 2. Разница в ошибке выборки по подвыборкам при разных объемах выборки.

При обсуждении с исследовательским агентством точности результатов планируемого исследования рекомендуется принимать во внимание бюджет, требования к точности результатов в целом по выборке и в разрезе подгрупп. Если бюджет не позволяет получить информацию с приемлемой ошибкой, лучше пока отложить проект (или поторговаться).

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ДЛЯ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ:

КАЛЬКУЛЯТОР ДЛЯ РАСЧЕТА
ДОСТАТОЧНОГО ОБЪЁМА ВЫБОРКИ

Доверительный уровень:

Ошибка выборки (?):
%

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

РЕЗУЛЬТАТ

Один из важных вопросов, на которые нужно ответить при планировании исследования, — это оптимальный объем выборки. Слишком маленькая выборка не сможет обеспечить приемлемую точность результатов опроса, а слишком большая приведет к лишним расходам.

Онлайн-калькулятор объема выборки поможет рассчитать оптимальный размер выборки, исходя из максимально приемлемого для исследователя размера ошибки выборки.

Все дальнейшие формулы и расчеты относятся только к простой случайной выборке!
Формулы для других типов выборки отличаются.

Объем выборки рассчитывается по следующим формулам

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня. Доверительный уровень (или доверительная вероятность) – это вероятность того, что реальное значение измеряемого показателя (по всей генеральной совокупности) находится в пределах доверительного интервала, полученного в исследовании. Доверительный уровень выбирает сам исследователь, исходя из требований к надежности результатов исследования. В маркетинговых исследованиях обычно применяется 95%-й доверительный уровень. Ему соответствует значение Z = 1,96.

N – объем генеральной совокупности. Генеральная совокупность – это все люди, которые изучаются в исследовании (например, все покупатели соков и нектаров, постоянно проживающие в Москве и Московской области). Если генеральная совокупность значительно больше объема выборки (в сотни и более раз), ее размером можно пренебречь (формула 1).

p – доля респондентов с наличием исследуемого признака. Например, если 20% опрошенных заинтересованы в новом продукте, то p = 0,2.

q = 1 — p – доля респондентов, у которых исследуемый признак отсутствует. Значения p и q обычно принимаются за 0,5, поскольку точно неизвестны до проведения исследования. При этом значении размер ошибки выборки максимален. В данном калькуляторе значения p и q по умолчанию равны 0,5.

Δ– предельная ошибка выборки (для доли признака), приемлемая для исследователя. Считается, что для принятия бизнес-решений ошибка выборки не должна превышать 4%.

n – объем выборки. Объем выборки – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОБЪЕМА ВЫБОРКИ:

Допустим, мы хотим рассчитать объем выборки, предельная ошибка которой составит 4%. Мы принимаем доверительный уровень, равный 95%. Генеральная совокупность значительно больше выборки. Тогда объем выборки составит:

n = 1,96 * 1,96 * 0,5 * 0,5 / (0,04 * 0,04) = 600,25 ≈ 600 человек

Таким образом, если мы хотим получить результаты с предельной ошибкой 4%, нам нужно опросить 600 человек.

КАЛЬКУЛЯТОР ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ ДОЛИ ПРИЗНАКА

Доверительный уровень:

Объём выборки (n):

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

Доля признака (p):
%

РЕЗУЛЬТАТ

Зная объем выборки исследования, можно рассчитать значение ошибки выборки (или, другими словами, погрешность выборки).

Если бы в ходе исследования мы могли опросить абсолютно всех интересующих нас людей, мы могли бы быть на 100% уверены в полученном результате. Но ввиду экономической нецелесообразности сплошного опроса применяют выборочный подход, когда опрашивается только часть генеральной совокупности. Выборочный метод не гарантирует 100%-й точности измерения, но, тем не менее, вероятность ошибки может быть сведена к приемлемому минимуму.

Все дальнейшие формулы и расчеты относятся только к простой случайной выборке! Формулы для других типов выборки отличаются.

Ошибка выборки для доли признака рассчитывается по следующим формулам.

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

N – объем генеральной совокупности. Генеральная совокупность – это все люди, которые изучаются в исследовании (например, все покупатели шоколада, постоянно проживающие в Москве). Если генеральная совокупность значительно больше объема выборки (в сотни и более раз), ее размером можно пренебречь (формула 1).

n – объем выборки. Объем выборки – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании. Существует заблуждение, что чем больше объем генеральной совокупности, тем больше должен быть и объем выборки маркетингового исследования. Это отчасти так, когда объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности. Например, при опросах организаций (B2B). Если же речь идет об исследовании жителей городов, то не важно, Москва это или Рязань – оптимальный объем выборки будет одинаков в обоих городах. Этот принцип следует из закона больших чисел и применим, только если выборка простая случайная. ВАЖНО: если предполагается сравнивать какие-то группы внутри города, например, жителей разных районов, то выборку следует рассчитывать для каждой такой группы.

Δ– предельная ошибка выборки.

Таким образом, зная объем выборки исследования, мы можем заранее оценить показатель ее ошибки.
А получив значение p, мы можем рассчитать доверительный интервал для доли признака: (p — ∆; p + ∆)

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ ДОЛИ ПРИЗНАКА:

Например, в ходе исследования были опрошены 1000 человек (n=1000). 20% из них заинтересовались новым продуктом (p=0,2). Рассчитаем показатель ошибки выборки по формуле 1 (выберем доверительный уровень, равный 95%):

∆ = 1,96 * КОРЕНЬ (0,2*0,8/1000) = 0,0248 = ±2,48%

Рассчитаем доверительный интервал:

(p — ∆; p + ∆) = (20% — 2,48%; 20% + 2,48%) = (17,52%; 22,48%)

Таким образом, с вероятностью 95% мы можем быть уверены, что реальная доля заинтересованных в новом продукте (среди всей генеральной совокупности) находится в пределах полученного диапазона (17,52%; 22,48%).

Если бы мы выбрали доверительный уровень, равный 99%, то для тех же значений p и n ошибка выборки была бы больше, а доверительный интервал – шире. Это логично, поскольку, если мы хотим быть более уверены в том, что наш доверительный интервал «накроет» реальное значение признака, то интервал должен быть более широким.

КАЛЬКУЛЯТОР ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ

Доверительный уровень:

Объём выборки (n):

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

Среднее значение (x̄):

Стандартное отклонение (s):

РЕЗУЛЬТАТ

Ошибка выборки для среднего значения рассчитывается по следующим формулам.

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

N – объем генеральной совокупности. Генеральная совокупность – это все люди, которые изучаются в исследовании (например, все покупатели мороженого, постоянно проживающие в Москве). Если генеральная совокупность значительно больше объема выборки (в сотни и более раз), ее размером можно пренебречь (формула 1).

s — выборочное стандартное отклонение измеряемого показателя. В идеале на месте этого аргумента должно быть стандартное отклонение показателя в генеральной совокупности (σ), но так как обычно оно неизвестно, используется выборочное стандартное отклонение, рассчитываемое по следующей формуле:

где, x ̅ – среднее арифметическое показателя, x_i– значение i-го показателя, n – объем выборки

Δ– предельная ошибка выборки.

Зная среднее значение показателя x ̅ и ошибку ∆, мы можем рассчитать доверительный интервал для среднего значения:(x ̅ — ∆; x ̅ + ∆)

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ:

Например, в ходе исследования были опрошены 1000 человек (n=1000). Каждого из них попросили указать их примерную среднюю сумму покупки (средний чек) в известной сети магазинов. Среднее арифметическое всех ответов составило 500 руб. (x ̅=500), а стандартное отклонение составило 120 руб. (s=120). Рассчитаем показатель ошибки выборки по формуле 1 (выберем доверительный уровень, равный 95%):

∆ = 1,96 * 120 / КОРЕНЬ (1000) = 7,44

Рассчитаем доверительный интервал:

(x ̅ — ∆; x ̅ + ∆) = (500 – 7,44; 500 + 7,44) = (492,56; 507,44)

Таким образом, с вероятностью 95% мы можем быть уверены, что значение среднего чека по всей генеральной совокупности находится в границах полученного диапазона: от 492,56 руб. до 507,44 руб.

КАЛЬКУЛЯТОР ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ ДОЛЕЙ

Доверительный уровень:

	Измерение 1	Измерение 2
Доля признака (p):	%	%
Объём выборки (n):

РЕЗУЛЬТАТ

Если в прошлогоднем исследовании вашу марку вспомнили 10% респондентов, а в исследовании текущего года – 15%, не спешите открывать шампанское, пока не воспользуетесь нашим онлайн-калькулятором для оценки статистической значимости различий.

Сравнивая два разных значения, полученные на двух независимых выборках, исследователь должен убедиться, что различия статистически значимы, прежде чем делать выводы.

Как известно, выборочные исследования не обеспечивают 100%-й точности измерения (для этого пришлось бы опрашивать всю целевую аудиторию поголовно, что слишком дорого). Тем не менее, благодаря методам математической статистики, мы можем оценить точность результатов любого количественного исследования и учесть ее в выводах.

В приведенном здесь калькуляторе используется двухвыборочный z-тест для долей. Для его применения должны соблюдаться следующие условия:

Обе выборки – простые случайные
Выборки независимы (между значениями двух выборок нет закономерной связи)
Генеральные совокупности значительно больше выборок
Произведения n*p и n*(1-p), где n=размер выборки а p=доля признака, – не меньше 5.

В калькуляторе используются следующие вводные данные:

Доверительный уровень (или доверительная вероятность) – это вероятность того, что реальное значение измеряемого показателя (по всей генеральной совокупности) находится в пределах доверительного интервала, полученного в исследовании. Доверительный уровень выбирает сам исследователь, исходя из требований к надежности результатов исследования. В маркетинговых исследованиях обычно применяется 95%-й доверительный уровень.

Доля признака (p) – доля респондентов с наличием исследуемого признака. Например, если 20% опрошенных заинтересованы в новом продукте, то p = 0,2.

Объем выборки (n) – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

Результат расчетов – вывод о статистической значимости или незначимости различий двух измерений.

КАЛЬКУЛЯТОР ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ СРЕДНИХ

Доверительный уровень:

	Измерение 1	Измерение 2
Среднее значение (x̄):
Стандартное отклонение (s):
Объём выборки (n):

РЕЗУЛЬТАТ

Допустим, выборочный опрос посетителей двух разных ТРЦ показал, что средний чек в одном из них равен 1000 рублей, а в другом – 1200 рублей. Следует ли отсюда вывод, что суммы среднего чека в двух этих ТРЦ действительно отличаются?

В приведенном здесь калькуляторе используется двухвыборочный z-тест для средних значений. Для его применения должны соблюдаться следующие условия:

Обе выборки – простые случайные
Выборки независимы (между значениями двух выборок нет закономерной связи)
Генеральные совокупности значительно больше выборок
Распределения значений в выборках близки к нормальному распределению.

В калькуляторе используются следующие вводные данные:

Среднее значение ( ̅x) – среднее арифметическое показателя.

Стандартное отклонение (s) – выборочное стандартное отклонение измеряемого показателя. В идеале на месте этого аргумента должно быть стандартное отклонение показателя в генеральной совокупности (σ), но так как обычно оно неизвестно, используется выборочное стандартное отклонение, рассчитываемое по следующей формуле:

где, x ̅ – среднее арифметическое показателя, x_i– значение i-го показателя, n – объем выборки

Объем выборки (n) – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

Результат расчетов – вывод о статистической значимости или незначимости различий двух измерений.

Вы можете подписаться на уведомления о новых материалах СканМаркет

Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

В статистике студенты часто путают два термина: стандартное отклонение и стандартная ошибка .

Стандартное отклонение измеряет, насколько разбросаны значения в наборе данных.

Стандартная ошибка — это стандартное отклонение среднего значения в повторных выборках из совокупности.

Давайте рассмотрим пример, чтобы ясно проиллюстрировать эту идею.

Пример: стандартное отклонение против стандартной ошибки

Предположим, мы измеряем вес 10 разных черепах.

Для этой выборки из 10 черепах мы можем вычислить среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки:

Предположим, что стандартное отклонение оказалось равным 8,68. Это дает нам представление о том, насколько распределен вес этих черепах.

Но предположим, что мы собираем еще одну простую случайную выборку из 10 черепах и также проводим их измерения. Более чем вероятно, что эта выборка из 10 черепах будет иметь немного другое среднее значение и стандартное отклонение, даже если они взяты из одной и той же популяции:

Теперь, если мы представим, что мы берем повторные выборки из одной и той же совокупности и записываем выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение для каждой выборки:

Теперь представьте, что мы наносим каждое среднее значение выборки на одну и ту же строку:

Стандартное отклонение этих средних значений известно как стандартная ошибка.

Формула для фактического расчета стандартной ошибки:

Стандартная ошибка = s/ √n

куда:

s: стандартное отклонение выборки
n: размер выборки

Какой смысл использовать стандартную ошибку?

Когда мы вычисляем среднее значение данной выборки, нас на самом деле интересует не среднее значение этой конкретной выборки, а скорее среднее значение большей совокупности, из которой взята выборка.

Однако мы используем выборки, потому что для них гораздо проще собирать данные, чем для всего населения. И, конечно же, среднее значение выборки будет варьироваться от выборки к выборке, поэтому мы используем стандартную ошибку среднего значения как способ измерить, насколько точна наша оценка среднего значения.

Вы заметите из формулы для расчета стандартной ошибки, что по мере увеличения размера выборки (n) стандартная ошибка уменьшается:

Стандартная ошибка = s/ √n

Это должно иметь смысл, поскольку большие размеры выборки уменьшают изменчивость и увеличивают вероятность того, что среднее значение нашей выборки ближе к фактическому среднему значению генеральной совокупности.

Когда использовать стандартное отклонение против стандартной ошибки

Если мы просто заинтересованы в измерении того, насколько разбросаны значения в наборе данных, мы можем использовать стандартное отклонение .

Однако, если мы заинтересованы в количественной оценке неопределенности оценки среднего значения, мы можем использовать стандартную ошибку среднего значения .

В зависимости от вашего конкретного сценария и того, чего вы пытаетесь достичь, вы можете использовать либо стандартное отклонение, либо стандартную ошибку.

Источник