Среднеквадратическая ошибка модели формула - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Среднеквадратичная ошибка (Mean Squared Error) – Среднее арифметическое (Mean) квадратов разностей между предсказанными и реальными значениями Модели (Model) Машинного обучения (ML):

MSE как среднее дистанций между предсказаниями и реальными наблюдениями

Рассчитывается с помощью формулы, которая будет пояснена в примере ниже:

$$MSE = \frac{1}{n} × \sum_{i=1}^n (y_i — \widetilde{y}_i)^2$$
$$MSE\space{}{–}\space{Среднеквадратическая}\space{ошибка,}$$
$$n\space{}{–}\space{количество}\space{наблюдений,}$$
$$y_i\space{}{–}\space{фактическая}\space{координата}\space{наблюдения,}$$
$$\widetilde{y}_i\space{}{–}\space{предсказанная}\space{координата}\space{наблюдения,}$$

MSE практически никогда не равен нулю, и происходит это из-за элемента случайности в данных или неучитывания Оценочной функцией (Estimator) всех факторов, которые могли бы улучшить предсказательную способность.

Пример. Исследуем линейную регрессию, изображенную на графике выше, и установим величину среднеквадратической Ошибки (Error). Фактические координаты точек-Наблюдений (Observation) выглядят следующим образом:

Мы имеем дело с Линейной регрессией (Linear Regression), потому уравнение, предсказывающее положение записей, можно представить с помощью формулы:

$$y = M * x + b$$
$$y\space{–}\space{значение}\space{координаты}\space{оси}\space{y,}$$
$$M\space{–}\space{уклон}\space{прямой}$$
$$x\space{–}\space{значение}\space{координаты}\space{оси}\space{x,}$$
$$b\space{–}\space{смещение}\space{прямой}\space{относительно}\space{начала}\space{координат}$$

Параметры M и b уравнения нам, к счастью, известны в данном обучающем примере, и потому уравнение выглядит следующим образом:

$$y = 0,5252 * x + 17,306$$

Зная координаты реальных записей и уравнение линейной регрессии, мы можем восстановить полные координаты предсказанных наблюдений, обозначенных серыми точками на графике выше. Простой подстановкой значения координаты x в уравнение мы рассчитаем значение координаты ỹ:

Рассчитаем квадрат разницы между Y и Ỹ:

Сумма таких квадратов равна 4 445. Осталось только разделить это число на количество наблюдений (9):

$$MSE = \frac{1}{9} × 4445 = 493$$

Само по себе число в такой ситуации становится показательным, когда Дата-сайентист (Data Scientist) предпринимает попытки улучшить предсказательную способность модели и сравнивает MSE каждой итерации, выбирая такое уравнение, что сгенерирует наименьшую погрешность в предсказаниях.

MSE и Scikit-learn

Среднеквадратическую ошибку можно вычислить с помощью SkLearn. Для начала импортируем функцию:

import sklearn
from sklearn.metrics import mean_squared_error

Инициализируем крошечные списки, содержащие реальные и предсказанные координаты y:

y_true = [5, 41, 70, 77, 134, 68, 138, 101, 131]
y_pred = [23, 35, 55, 90, 93, 103, 118, 121, 129]

Инициируем функцию mean_squared_error(), которая рассчитает MSE тем же способом, что и формула выше:

mean_squared_error(y_true, y_pred)

Интересно, что конечный результат на 3 отличается от расчетов с помощью Apple Numbers:

496.0

Ноутбук, не требующий дополнительной настройки на момент написания статьи, можно скачать здесь.

Автор оригинальной статьи: @mmoshikoo

Фото: @tobyelliott

Источник

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Регрессионный анализ — это метод, который мы можем использовать для понимания взаимосвязи между одной или несколькими переменными-предикторами и переменной отклика .

Один из способов оценить, насколько хорошо регрессионная модель соответствует набору данных, — вычислить среднеквадратичную ошибку , которая представляет собой показатель, указывающий нам среднее расстояние между прогнозируемыми значениями из модели и фактическими значениями в наборе данных.

Чем ниже RMSE, тем лучше данная модель может «соответствовать» набору данных.

Формула для нахождения среднеквадратичной ошибки, часто обозначаемая аббревиатурой RMSE , выглядит следующим образом:

СКО = √ Σ(P i – O i ) 2 / n

куда:

Σ — причудливый символ, означающий «сумма».
P i — прогнозируемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
O i — наблюдаемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
n — размер выборки

В следующем примере показано, как интерпретировать RMSE для данной модели регрессии.

Пример: как интерпретировать RMSE для регрессионной модели

Предположим, мы хотим построить регрессионную модель, которая использует «учебные часы» для прогнозирования «экзаменационного балла» студентов на конкретном вступительном экзамене в колледж.

Мы собираем следующие данные для 15 студентов:

Затем мы используем статистическое программное обеспечение (например, Excel, SPSS, R, Python) и т. д., чтобы найти следующую подогнанную модель регрессии:

Экзаменационный балл = 75,95 + 3,08 * (часы обучения)

Затем мы можем использовать это уравнение, чтобы предсказать экзаменационную оценку каждого студента, исходя из того, сколько часов они учились:

Затем мы можем вычислить квадрат разницы между каждой прогнозируемой оценкой экзамена и фактической оценкой экзамена. Затем мы можем извлечь квадратный корень из среднего значения этих разностей:

RMSE для этой регрессионной модели оказывается равным 5,681 .

Напомним, что остатки регрессионной модели представляют собой разницу между наблюдаемыми значениями данных и значениями, предсказанными моделью.

Остаток = (P i – O i )

куда

P i — прогнозируемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.
O i — наблюдаемое значение для i -го наблюдения в наборе данных.

И помните, что RMSE регрессионной модели рассчитывается как:

СКО = √ Σ(P i – O i ) 2 / n

Это означает, что RMSE представляет собой квадратный корень из дисперсии остатков.

Это значение полезно знать, поскольку оно дает нам представление о среднем расстоянии между наблюдаемыми значениями данных и прогнозируемыми значениями данных.

Это отличается от R-квадрата модели, который сообщает нам долю дисперсии переменной отклика, которая может быть объяснена предикторной переменной (переменными) в модели.

Сравнение значений RMSE из разных моделей

RMSE особенно полезен для сравнения соответствия различных моделей регрессии.

Например, предположим, что мы хотим построить регрессионную модель, чтобы предсказать результаты экзаменов студентов, и мы хотим найти наилучшую возможную модель среди нескольких потенциальных моделей.

Предположим, мы подгоняем три разные модели регрессии и находим соответствующие им значения RMSE:

RMSE модели 1: 14,5
RMSE модели 2: 16,7
RMSE модели 3: 9,8

Модель 3 имеет самый низкий RMSE, что говорит нам о том, что она способна лучше всего соответствовать набору данных из трех потенциальных моделей.

Дополнительные ресурсы

Калькулятор среднеквадратичной ошибки
Как рассчитать RMSE в Excel
Как рассчитать RMSE в R
Как рассчитать RMSE в Python

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, the mean squared error (MSE)^[1] or mean squared deviation (MSD) of an estimator (of a procedure for estimating an unobserved quantity) measures the average of the squares of the errors—that is, the average squared difference between the estimated values and the actual value. MSE is a risk function, corresponding to the expected value of the squared error loss.^[2] The fact that MSE is almost always strictly positive (and not zero) is because of randomness or because the estimator does not account for information that could produce a more accurate estimate.^[3] In machine learning, specifically empirical risk minimization, MSE may refer to the empirical risk (the average loss on an observed data set), as an estimate of the true MSE (the true risk: the average loss on the actual population distribution).

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

The MSE is the second moment (about the origin) of the error, and thus incorporates both the variance of the estimator (how widely spread the estimates are from one data sample to another) and its bias (how far off the average estimated value is from the true value).^{[citation needed]} For an unbiased estimator, the MSE is the variance of the estimator. Like the variance, MSE has the same units of measurement as the square of the quantity being estimated. In an analogy to standard deviation, taking the square root of MSE yields the root-mean-square error or root-mean-square deviation (RMSE or RMSD), which has the same units as the quantity being estimated; for an unbiased estimator, the RMSE is the square root of the variance, known as the standard error.

Definition and basic properties[edit]

The MSE either assesses the quality of a predictor (i.e., a function mapping arbitrary inputs to a sample of values of some random variable), or of an estimator (i.e., a mathematical function mapping a sample of data to an estimate of a parameter of the population from which the data is sampled). The definition of an MSE differs according to whether one is describing a predictor or an estimator.

Predictor[edit]

If a vector of predictions is generated from a sample of data points on all variables, and is the vector of observed values of the variable being predicted, with $\hat{Y}$ being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

$\operatorname {MSE} ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-{\hat {Y_{i}}}\right)^{2}.$

In other words, the MSE is the mean ${\textstyle \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\right)}$ of the squares of the errors ${\textstyle \left(Y_{i}-{\hat {Y_{i}}}\right)^{2}}$ . This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

$\operatorname {MSE} ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(e_{i})^{2}={\frac {1}{n}}\mathbf {e} ^{\mathsf {T}}\mathbf {e}$

where $e_{i}$ is $(Y_{i}-{\hat {Y_{i}}})$ and $\mathbf {e}$ is a $n\times 1$ column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as cross-validation, the MSE is often called the test MSE,^[4] and is computed as

$\operatorname {MSE} ={\frac {1}{q}}\sum _{i=n+1}^{n+q}\left(Y_{i}-{\hat {Y_{i}}}\right)^{2}.$

Estimator[edit]

The MSE of an estimator $\hat{\theta}$ with respect to an unknown parameter $\theta$ is defined as^[1]

$\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {E} _{\theta }\left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right].$

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator $\hat{\theta}$ is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

The MSE can be written as the sum of the variance of the estimator and the squared bias of the estimator, providing a useful way to calculate the MSE and implying that in the case of unbiased estimators, the MSE and variance are equivalent.^[5]

$\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})=\operatorname {Var} _{\theta }({\hat {\theta }})+\operatorname {Bias} ({\hat {\theta }},\theta )^{2}.$

Proof of variance and bias relationship[edit]

${\begin{aligned}\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})&=\operatorname {E} _{\theta }\left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]+\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)^{2}+2\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)+\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+\operatorname {E} _{\theta }\left[2\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)\right]+\operatorname {E} _{\theta }\left[\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+2\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)\operatorname {E} _{\theta }\left[{\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right]+\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}&&\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta ={\text{const.}}\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+2\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)+\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}&&\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]={\text{const.}}\\&=\operatorname {E} _{\theta }\left[\left({\hat {\theta }}-\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]\right)^{2}\right]+\left(\operatorname {E} _{\theta }[{\hat {\theta }}]-\theta \right)^{2}\\&=\operatorname {Var} _{\theta }({\hat {\theta }})+\operatorname {Bias} _{\theta }({\hat {\theta }},\theta )^{2}\end{aligned}}$

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable ${\textstyle X}$ , ${\textstyle \mathbb {E} (X^{2})=\operatorname {Var} (X)+(\mathbb {E} (X))^{2}}$ . By substituting ${\textstyle X}$ with, ${\textstyle {\hat {\theta }}-\theta }$ , we have

${\begin{aligned}\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})&=\mathbb {E} [({\hat {\theta }}-\theta )^{2}]\\&=\operatorname {Var} ({\hat {\theta }}-\theta )+(\mathbb {E} [{\hat {\theta }}-\theta ])^{2}\\&=\operatorname {Var} ({\hat {\theta }})+\operatorname {Bias} ^{2}({\hat {\theta }},\theta )\end{aligned}}$

But in real modeling case, MSE could be described as the addition of model variance, model bias, and irreducible uncertainty (see Bias–variance tradeoff). According to the relationship, the MSE of the estimators could be simply used for the efficiency comparison, which includes the information of estimator variance and bias. This is called MSE criterion.

In regression[edit]

In regression analysis, plotting is a more natural way to view the overall trend of the whole data. The mean of the distance from each point to the predicted regression model can be calculated, and shown as the mean squared error. The squaring is critical to reduce the complexity with negative signs. To minimize MSE, the model could be more accurate, which would mean the model is closer to actual data. One example of a linear regression using this method is the least squares method—which evaluates appropriateness of linear regression model to model bivariate dataset,^[6] but whose limitation is related to known distribution of the data.

The term mean squared error is sometimes used to refer to the unbiased estimate of error variance: the residual sum of squares divided by the number of degrees of freedom. This definition for a known, computed quantity differs from the above definition for the computed MSE of a predictor, in that a different denominator is used. The denominator is the sample size reduced by the number of model parameters estimated from the same data, (n−p) for p regressors or (n−p−1) if an intercept is used (see errors and residuals in statistics for more details).^[7] Although the MSE (as defined in this article) is not an unbiased estimator of the error variance, it is consistent, given the consistency of the predictor.

In regression analysis, «mean squared error», often referred to as mean squared prediction error or «out-of-sample mean squared error», can also refer to the mean value of the squared deviations of the predictions from the true values, over an out-of-sample test space, generated by a model estimated over a particular sample space. This also is a known, computed quantity, and it varies by sample and by out-of-sample test space.

In the context of gradient descent algorithms, it is common to introduce a factor of 1/2 to the MSE for ease of computation after taking the derivative. So a value which is technically half the mean of squared errors may be called the MSE.

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size from a population, $X_{1},\dots ,X_{n}$ . Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all draws. The usual estimator for the $\mu$ is the sample average

$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$

which has an expected value equal to the true mean $\mu$ (so it is unbiased) and a mean squared error of

$\operatorname {MSE} \left({\overline {X}}\right)=\operatorname {E} \left[\left({\overline {X}}-\mu \right)^{2}\right]=\left({\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

where $\sigma ^{2}$ is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

$S_{n-1}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}={\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\overline {X}}^{2}\right).$

This is unbiased (its expected value is $\sigma ^{2}$ ), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is^[8]

$\operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})={\frac {1}{n}}\left(\mu _{4}-{\frac {n-3}{n-1}}\sigma ^{4}\right)={\frac {1}{n}}\left(\gamma _{2}+{\frac {2n}{n-1}}\right)\sigma ^{4},$

where $\mu _{4}$ is the fourth central moment of the distribution or population, and $\gamma_2=\mu_4/\sigma^4-3$ is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for $\sigma ^{2}$ which are proportional to $S^2_{n-1}$ , and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

$S_{a}^{2}={\frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}={\frac {1}{a}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\,\right)^{2}$

then we calculate:

${\begin{aligned}\operatorname {MSE} (S_{a}^{2})&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}-\sigma ^{2}\right)^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[{\frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}S_{n-1}^{4}-2\left({\frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}\right)\sigma ^{2}+\sigma ^{4}\right]\\&={\frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}\operatorname {E} \left[S_{n-1}^{4}\right]-2\left({\frac {n-1}{a}}\right)\operatorname {E} \left[S_{n-1}^{2}\right]\sigma ^{2}+\sigma ^{4}\\&={\frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}\operatorname {E} \left[S_{n-1}^{4}\right]-2\left({\frac {n-1}{a}}\right)\sigma ^{4}+\sigma ^{4}&&\operatorname {E} \left[S_{n-1}^{2}\right]=\sigma ^{2}\\&={\frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}\left({\frac {\gamma _{2}}{n}}+{\frac {n+1}{n-1}}\right)\sigma ^{4}-2\left({\frac {n-1}{a}}\right)\sigma ^{4}+\sigma ^{4}&&\operatorname {E} \left[S_{n-1}^{4}\right]=\operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})+\sigma ^{4}\\&={\frac {n-1}{na^{2}}}\left((n-1)\gamma _{2}+n^{2}+n\right)\sigma ^{4}-2\left({\frac {n-1}{a}}\right)\sigma ^{4}+\sigma ^{4}\end{aligned}}$

This is minimized when

$a=\frac{(n-1)\gamma_2+n^2+n}{n} = n+1+\frac{n-1}{n}\gamma_2.$

For a Gaussian distribution, where $\gamma_2=0$ , this means that the MSE is minimized when dividing the sum by a=n+1 . The minimum excess kurtosis is $\gamma_2=-2$ ,^[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for $a=n-1+{\tfrac {2}{n}}.$ Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Further, while the corrected sample variance is the best unbiased estimator (minimum mean squared error among unbiased estimators) of variance for Gaussian distributions, if the distribution is not Gaussian, then even among unbiased estimators, the best unbiased estimator of the variance may not be $S^2_{n-1}.$

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ², for the Gaussian case.^[9]

True value	Estimator	Mean squared error
$\theta =\mu$	$\hat{\theta}$ = the unbiased estimator of the population mean, $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i)$	$\operatorname{MSE}(\overline{X})=\operatorname{E}((\overline{X}-\mu)^2)=\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2$
$\theta =\sigma ^{2}$	$\hat{\theta}$ = the unbiased estimator of the population variance, $S^2_{n-1} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2$	$\operatorname{MSE}(S^2_{n-1})=\operatorname{E}((S^2_{n-1}-\sigma^2)^2)=\frac{2}{n - 1}\sigma^4$
$\theta =\sigma ^{2}$	$\hat{\theta}$ = the biased estimator of the population variance, $S^2_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2$	$\operatorname{MSE}(S^2_{n})=\operatorname{E}((S^2_{n}-\sigma^2)^2)=\frac{2n - 1}{n^2}\sigma^4$
$\theta =\sigma ^{2}$	$\hat{\theta}$ = the biased estimator of the population variance, $S^2_{n+1} = \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2$	$\operatorname{MSE}(S^2_{n+1})=\operatorname{E}((S^2_{n+1}-\sigma^2)^2)=\frac{2}{n + 1}\sigma^4$

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator $\hat{\theta}$ predicts observations of the parameter $\theta$ with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

Values of MSE may be used for comparative purposes. Two or more statistical models may be compared using their MSEs—as a measure of how well they explain a given set of observations: An unbiased estimator (estimated from a statistical model) with the smallest variance among all unbiased estimators is the best unbiased estimator or MVUE (Minimum-Variance Unbiased Estimator).

Both analysis of variance and linear regression techniques estimate the MSE as part of the analysis and use the estimated MSE to determine the statistical significance of the factors or predictors under study. The goal of experimental design is to construct experiments in such a way that when the observations are analyzed, the MSE is close to zero relative to the magnitude of at least one of the estimated treatment effects.

In one-way analysis of variance, MSE can be calculated by the division of the sum of squared errors and the degree of freedom. Also, the f-value is the ratio of the mean squared treatment and the MSE.

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Squared error loss is one of the most widely used loss functions in statistics^{[citation needed]}, though its widespread use stems more from mathematical convenience than considerations of actual loss in applications. Carl Friedrich Gauss, who introduced the use of mean squared error, was aware of its arbitrariness and was in agreement with objections to it on these grounds.^[3] The mathematical benefits of mean squared error are particularly evident in its use at analyzing the performance of linear regression, as it allows one to partition the variation in a dataset into variation explained by the model and variation explained by randomness.

Criticism[edit]

The use of mean squared error without question has been criticized by the decision theorist James Berger. Mean squared error is the negative of the expected value of one specific utility function, the quadratic utility function, which may not be the appropriate utility function to use under a given set of circumstances. There are, however, some scenarios where mean squared error can serve as a good approximation to a loss function occurring naturally in an application.^[10]

Like variance, mean squared error has the disadvantage of heavily weighting outliers.^[11] This is a result of the squaring of each term, which effectively weights large errors more heavily than small ones. This property, undesirable in many applications, has led researchers to use alternatives such as the mean absolute error, or those based on the median.

Notes[edit]

^ This can be proved by Jensen’s inequality as follows. The fourth central moment is an upper bound for the square of variance, so that the least value for their ratio is one, therefore, the least value for the excess kurtosis is −2, achieved, for instance, by a Bernoulli with p=1/2.

References[edit]

^ ^a ^b «Mean Squared Error (MSE)». www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-12.
^ Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2015). Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics. Vol. I (Second ed.). p. 20. If we use quadratic loss, our risk function is called the mean squared error (MSE) …
^ ^a ^b Lehmann, E. L.; Casella, George (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-98502-2. MR 1639875.
^ Gareth, James; Witten, Daniela; Hastie, Trevor; Tibshirani, Rob (2021). An Introduction to Statistical Learning: with Applications in R. Springer. ISBN 978-1071614174.
^ Wackerly, Dennis; Mendenhall, William; Scheaffer, Richard L. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7 ed.). Belmont, CA, USA: Thomson Higher Education. ISBN 978-0-495-38508-0.
^ A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
^ Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 288.
^ Mood, A.; Graybill, F.; Boes, D. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 229.
^ DeGroot, Morris H. (1980). Probability and Statistics (2nd ed.). Addison-Wesley.
^ Berger, James O. (1985). «2.4.2 Certain Standard Loss Functions». Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 978-0-387-96098-2. MR 0804611.
^ Bermejo, Sergio; Cabestany, Joan (2001). «Oriented principal component analysis for large margin classifiers». Neural Networks. 14 (10): 1447–1461. doi:10.1016/S0893-6080(01)00106-X. PMID 11771723.

Источник

Из данной статьи вы узнаете:

Для чего нужна среднеквадратическая ошибка прогноза;
Как она рассчитывается.

+ сможете скачать пример расчета в Excel.

MSE (mean squared error) – среднеквадратическая ошибка прогноза.

MSE – среднеквадратическая ошибка прогноза применяется в ситуациях, когда нам надо подчеркнуть большие ошибки и выбрать модель, которая дает меньше больших ошибок прогноза.

Грубые ошибки становятся заметнее за счет того, что ошибку прогноза мы возводим в квадрат. И модель, которая дает нам меньшее значение среднеквадратической ошибки, можно сказать, что что у этой модели меньше грубых ошибок.

Как рассчитать среднеквадратическую ошибку?

Рассчитываем ошибку для каждого значения модели;
Возводим ошибку в квадрат;
Рассчитываем среднее по квадрату ошибки, т.е. среднеквадратическую ошибку MSE:

Скачайте файл с примером расчета ошибки MSE

1. Ошибка = фактические продаж минус значения прогнозной модели для каждого момента времени:

2. Возводим ошибку в квадрат для каждого момента времени:

3. Рассчитываем среднеквадратическую ошибку MSE, для этого определяем среднее значение квадратов ошибок:

Скачайте файл с примером расчета ошибки MSE

Из данной статьи вы узнали, для чего использовать среднеквадратическую ошибку прогноза и как ее рассчитать. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте в комментариях, буду рад помочь!

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:

Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel.
4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.

Зарегистрируйтесь и скачайте решения

Статья полезная? Поделитесь с друзьями

Источник

MSE как среднее дистанций между предсказаниями и реальными наблюдениями

Рассчитывается с помощью формулы, которая будет пояснена в примере ниже:

$$MSE = frac{1}{n} × sum_{i=1}^n (y_i — widetilde{y}_i)^2$$
$$MSEspace{}{–}space{Среднеквадратическая}space{ошибка,}$$
$$nspace{}{–}space{количество}space{наблюдений,}$$
$$y_ispace{}{–}space{фактическая}space{координата}space{наблюдения,}$$
$$widetilde{y}_ispace{}{–}space{предсказанная}space{координата}space{наблюдения,}$$

$$y = M * x + b$$
$$yspace{–}space{значение}space{координаты}space{оси}space{y,}$$
$$Mspace{–}space{уклон}space{прямой}$$
$$xspace{–}space{значение}space{координаты}space{оси}space{x,}$$
$$bspace{–}space{смещение}space{прямой}space{относительно}space{начала}space{координат}$$

$$y = 0,5252 * x + 17,306$$

Рассчитаем квадрат разницы между Y и Ỹ:

Сумма таких квадратов равна 4 445. Осталось только разделить это число на количество наблюдений (9):

$$MSE = frac{1}{9} × 4445 = 493$$

MSE и Scikit-learn

Среднеквадратическую ошибку можно вычислить с помощью SkLearn. Для начала импортируем функцию:

import sklearn
from sklearn.metrics import mean_squared_error

Инициализируем крошечные списки, содержащие реальные и предсказанные координаты y:

y_true = [5, 41, 70, 77, 134, 68, 138, 101, 131]
y_pred = [23, 35, 55, 90, 93, 103, 118, 121, 129]

Инициируем функцию mean_squared_error(), которая рассчитает MSE тем же способом, что и формула выше:

mean_squared_error(y_true, y_pred)

Интересно, что конечный результат на 3 отличается от расчетов с помощью Apple Numbers:

496.0

Ноутбук, не требующий дополнительной настройки на момент написания статьи, можно скачать здесь.

Автор оригинальной статьи: @mmoshikoo

Фото: @tobyelliott

From Wikipedia, the free encyclopedia

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

Definition and basic properties[edit]

Predictor[edit]

If a vector of predictions is generated from a sample of data points on all variables, and is the vector of observed values of the variable being predicted, with hat{Y} being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

${displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}.}$

In other words, the MSE is the mean ${textstyle left({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}right)}$ of the squares of the errors ${textstyle left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}}$ . This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

${displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}(e_{i})^{2}={frac {1}{n}}mathbf {e} ^{mathsf {T}}mathbf {e} }$

where $e_{i}$ is ${displaystyle (Y_{i}-{hat {Y_{i}}})}$ and is the column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as statistical learning, the MSE is often called the test MSE,^[4] and is computed as

${displaystyle operatorname {MSE} ={frac {1}{q}}sum _{i=n+1}^{n+q}left(Y_{i}-{hat {Y_{i}}}right)^{2}.}$

Estimator[edit]

The MSE of an estimator with respect to an unknown parameter theta is defined as^[1]

${displaystyle operatorname {MSE} ({hat {theta }})=operatorname {E} _{theta }left[({hat {theta }}-theta )^{2}right].}$

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

${displaystyle operatorname {MSE} ({hat {theta }})=operatorname {Var} _{theta }({hat {theta }})+operatorname {Bias} ({hat {theta }},theta )^{2}.}$

Proof of variance and bias relationship[edit]

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} ({hat {theta }})&=operatorname {E} _{theta }left[({hat {theta }}-theta )^{2}right]\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]+operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}+2left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+operatorname {E} _{theta }left[2left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)right]+operatorname {E} _{theta }left[left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}right]\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+2left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)operatorname {E} _{theta }left[{hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right]+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}&&operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta ={text{const.}}\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+2left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}&&operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]={text{const.}}\&=operatorname {E} _{theta }left[left({hat {theta }}-operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]right)^{2}right]+left(operatorname {E} _{theta }[{hat {theta }}]-theta right)^{2}\&=operatorname {Var} _{theta }({hat {theta }})+operatorname {Bias} _{theta }({hat {theta }},theta )^{2}end{aligned}}}$

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable , ${textstyle mathbb {E} (X^{2})=operatorname {Var} (X)+(mathbb {E} (X))^{2}}$ . By substituting with, , we have

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} ({hat {theta }})&=mathbb {E} [({hat {theta }}-theta )^{2}]\&=operatorname {Var} ({hat {theta }}-theta )+(mathbb {E} [{hat {theta }}-theta ])^{2}\&=operatorname {Var} ({hat {theta }})+operatorname {Bias} ^{2}({hat {theta }})end{aligned}}}$

In regression[edit]

Examples[edit]

Mean[edit]

Suppose we have a random sample of size from a population, $X_{1},dots ,X_{n}$ . Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all draws. The usual estimator for the is the sample average

$overline{X}=frac{1}{n}sum_{i=1}^n X_i$

which has an expected value equal to the true mean (so it is unbiased) and a mean squared error of

${displaystyle operatorname {MSE} left({overline {X}}right)=operatorname {E} left[left({overline {X}}-mu right)^{2}right]=left({frac {sigma }{sqrt {n}}}right)^{2}={frac {sigma ^{2}}{n}}}$

where $sigma ^{2}$ is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

Variance[edit]

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

${displaystyle S_{n-1}^{2}={frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}}right)^{2}={frac {1}{n-1}}left(sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{overline {X}}^{2}right).}$

This is unbiased (its expected value is $sigma ^{2}$ ), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is^[8]

${displaystyle operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})={frac {1}{n}}left(mu _{4}-{frac {n-3}{n-1}}sigma ^{4}right)={frac {1}{n}}left(gamma _{2}+{frac {2n}{n-1}}right)sigma ^{4},}$

where $mu _{4}$ is the fourth central moment of the distribution or population, and is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for $sigma ^{2}$ which are proportional to $S^2_{n-1}$ , and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

${displaystyle S_{a}^{2}={frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}={frac {1}{a}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}},right)^{2}}$

then we calculate:

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {MSE} (S_{a}^{2})&=operatorname {E} left[left({frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}-sigma ^{2}right)^{2}right]\&=operatorname {E} left[{frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}S_{n-1}^{4}-2left({frac {n-1}{a}}S_{n-1}^{2}right)sigma ^{2}+sigma ^{4}right]\&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]-2left({frac {n-1}{a}}right)operatorname {E} left[S_{n-1}^{2}right]sigma ^{2}+sigma ^{4}\&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}&&operatorname {E} left[S_{n-1}^{2}right]=sigma ^{2}\&={frac {(n-1)^{2}}{a^{2}}}left({frac {gamma _{2}}{n}}+{frac {n+1}{n-1}}right)sigma ^{4}-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}&&operatorname {E} left[S_{n-1}^{4}right]=operatorname {MSE} (S_{n-1}^{2})+sigma ^{4}\&={frac {n-1}{na^{2}}}left((n-1)gamma _{2}+n^{2}+nright)sigma ^{4}-2left({frac {n-1}{a}}right)sigma ^{4}+sigma ^{4}end{aligned}}}$

This is minimized when

$a=frac{(n-1)gamma_2+n^2+n}{n} = n+1+frac{n-1}{n}gamma_2.$

For a Gaussian distribution, where , this means that the MSE is minimized when dividing the sum by a=n+1 . The minimum excess kurtosis is ,^[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for ${displaystyle a=n-1+{tfrac {2}{n}}.}$ Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Gaussian distribution[edit]

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ², for the Gaussian case.^[9]

True value	Estimator	Mean squared error
	= the unbiased estimator of the population mean, $overline{X}=frac{1}{n}sum_{i=1}^n(X_i)$	$operatorname{MSE}(overline{X})=operatorname{E}((overline{X}-mu)^2)=left(frac{sigma}{sqrt{n}}right)^2$
${displaystyle theta =sigma ^{2}}$	= the unbiased estimator of the population variance, $S^2_{n-1} = frac{1}{n-1}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2$	$operatorname{MSE}(S^2_{n-1})=operatorname{E}((S^2_{n-1}-sigma^2)^2)=frac{2}{n - 1}sigma^4$
${displaystyle theta =sigma ^{2}}$	= the biased estimator of the population variance, $S^2_{n} = frac{1}{n}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2$	$operatorname{MSE}(S^2_{n})=operatorname{E}((S^2_{n}-sigma^2)^2)=frac{2n - 1}{n^2}sigma^4$
${displaystyle theta =sigma ^{2}}$	= the biased estimator of the population variance, $S^2_{n+1} = frac{1}{n+1}sum_{i=1}^nleft(X_i-overline{X},right)^2$	$operatorname{MSE}(S^2_{n+1})=operatorname{E}((S^2_{n+1}-sigma^2)^2)=frac{2}{n + 1}sigma^4$

Interpretation[edit]

An MSE of zero, meaning that the estimator predicts observations of the parameter theta with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

Applications[edit]

Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss function[edit]

Criticism[edit]

Notes[edit]

^ This can be proved by Jensen’s inequality as follows. The fourth central moment is an upper bound for the square of variance, so that the least value for their ratio is one, therefore, the least value for the excess kurtosis is −2, achieved, for instance, by a Bernoulli with p=1/2.

References[edit]

^ ^a ^b «Mean Squared Error (MSE)». www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-12.
^ Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2015). Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics. Vol. I (Second ed.). p. 20. If we use quadratic loss, our risk function is called the mean squared error (MSE) …
^ ^a ^b Lehmann, E. L.; Casella, George (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-98502-2. MR 1639875.
^ Gareth, James; Witten, Daniela; Hastie, Trevor; Tibshirani, Rob (2021). An Introduction to Statistical Learning: with Applications in R. Springer. ISBN 978-1071614174.
^ Wackerly, Dennis; Mendenhall, William; Scheaffer, Richard L. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7 ed.). Belmont, CA, USA: Thomson Higher Education. ISBN 978-0-495-38508-0.
^ A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
^ Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 288.
^ Mood, A.; Graybill, F.; Boes, D. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 229.
^ DeGroot, Morris H. (1980). Probability and Statistics (2nd ed.). Addison-Wesley.
^ Berger, James O. (1985). «2.4.2 Certain Standard Loss Functions». Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 978-0-387-96098-2. MR 0804611.
^ Bermejo, Sergio; Cabestany, Joan (2001). «Oriented principal component analysis for large margin classifiers». Neural Networks. 14 (10): 1447–1461. doi:10.1016/S0893-6080(01)00106-X. PMID 11771723.

Перевод

Ссылка на автора

Каждая модель машинного обучения пытается решить проблему с другой целью, используя свой набор данных, и, следовательно, важно понять контекст, прежде чем выбрать метрику. Обычно ответы на следующий вопрос помогают нам выбрать подходящий показатель:

Тип задачи: регрессия? Классификация?
Бизнес цель?
Каково распределение целевой переменной?

Ну, в этом посте я буду обсуждать полезность каждой метрики ошибки в зависимости от цели и проблемы, которую мы пытаемся решить. Часть 1 фокусируется только на показателях оценки регрессии.

Остров Андрос в Греции

Метрики регрессии

Средняя квадратическая ошибка (MSE)
Среднеквадратическая ошибка (RMSE)
Средняя абсолютная ошибка (MAE)
R в квадрате (R²)
Скорректированный R квадрат (R²)
Среднеквадратичная ошибка в процентах (MSPE)
Средняя абсолютная ошибка в процентах (MAPE)
Среднеквадратичная логарифмическая ошибка (RMSLE)

Это, пожалуй, самый простой и распространенный показатель для оценки регрессии, но, вероятно, наименее полезный. Определяется уравнением

гдеyᵢфактический ожидаемый результат иŷᵢэто прогноз модели.

MSE в основном измеряет среднеквадратичную ошибку наших прогнозов. Для каждой точки вычисляется квадратная разница между прогнозами и целью, а затем усредняются эти значения.

Чем выше это значение, тем хуже модель. Он никогда не бывает отрицательным, поскольку мы возводим в квадрат отдельные ошибки прогнозирования, прежде чем их суммировать, но для идеальной модели это будет ноль.

Преимущество:Полезно, если у нас есть неожиданные значения, о которых мы должны заботиться. Очень высокое или низкое значение, на которое мы должны обратить внимание.

Недостаток:Если мы сделаем один очень плохой прогноз, возведение в квадрат сделает ошибку еще хуже, и это может исказить метрику в сторону переоценки плохости модели. Это особенно проблематичное поведение, если у нас есть зашумленные данные (то есть данные, которые по какой-либо причине не совсем надежны) — даже в «идеальной» модели может быть высокий MSE в этой ситуации, поэтому становится трудно судить, насколько хорошо модель выполняет. С другой стороны, если все ошибки малы или, скорее, меньше 1, то ощущается противоположный эффект: мы можем недооценивать недостатки модели.

Обратите внимание, чтоесли мы хотим иметь постоянный прогноз, лучшим будетсреднее значение целевых значений.Его можно найти, установив производную нашей полной ошибки по этой константе в ноль, и найти ее из этого уравнения.

Среднеквадратическая ошибка (RMSE)

RMSE — это просто квадратный корень из MSE. Квадратный корень введен, чтобы масштаб ошибок был таким же, как масштаб целей.

Теперь очень важно понять, в каком смысле RMSE похож на MSE, и в чем разница.

Во-первых, они похожи с точки зрения их минимизаторов, каждый минимизатор MSE также является минимизатором для RMSE и наоборот, поскольку квадратный корень является неубывающей функцией. Например, если у нас есть два набора предсказаний, A и B, и скажем, что MSE для A больше, чем MSE для B, то мы можем быть уверены, что RMSE для A больше RMSE для B. И это также работает в противоположном направлении. ,

Что это значит для нас?

Это означает, что, если целевым показателем является RMSE, мы все равно можем сравнивать наши модели, используя MSE, поскольку MSE упорядочит модели так же, как RMSE. Таким образом, мы можем оптимизировать MSE вместо RMSE.

На самом деле, с MSE работать немного проще, поэтому все используют MSE вместо RMSE. Также есть небольшая разница между этими двумя моделями на основе градиента.

Градиент СКО относительно i-го прогноза

Это означает, что путешествие по градиенту MSE эквивалентно путешествию по градиенту RMSE, но с другой скоростью потока, и скорость потока зависит от самой оценки MSE.

Таким образом, хотя RMSE и MSE действительно схожи с точки зрения оценки моделей, они не могут быть сразу взаимозаменяемыми для методов на основе градиента. Возможно, нам нужно будет настроить некоторые параметры, такие как скорость обучения.

Средняя абсолютная ошибка (MAE)

В MAE ошибка рассчитывается как среднее абсолютных разностей между целевыми значениями и прогнозами. MAE — это линейная оценка, которая означает, чтовсе индивидуальные различия взвешены одинаковов среднем. Например, разница между 10 и 0 будет вдвое больше разницы между 5 и 0. Однако то же самое не верно для RMSE. Математически он рассчитывается по следующей формуле:

Что важно в этой метрике, так это то, что онанаказывает огромные ошибки, которые не так плохо, как MSE.Таким образом, он не так чувствителен к выбросам, как среднеквадратическая ошибка.

MAE широко используется в финансах, где ошибка в 10 долларов обычно в два раза хуже, чем ошибка в 5 долларов. С другой стороны, метрика MSE считает, что ошибка в 10 долларов в четыре раза хуже, чем ошибка в 5 долларов. MAE легче обосновать, чем RMSE.

Еще одна важная вещь в MAE — это его градиенты относительно прогнозов. Gradiend — это пошаговая функция, которая принимает -1, когда Y_hat меньше цели, и +1, когда она больше.

Теперь градиент не определен, когда предсказание является совершенным, потому что, когда Y_hat равен Y, мы не можем оценить градиент. Это не определено.

Таким образом, формально, MAE не дифференцируемо, но на самом деле, как часто ваши прогнозы точно измеряют цель. Даже если они это сделают, мы можем написать простое условие IF и вернуть ноль, если это так, и через градиент в противном случае. Также известно, что вторая производная везде нулевая и не определена в нулевой точке.

Обратите внимание, чтоесли мы хотим иметь постоянный прогноз, лучшим будетсрединное значение целевых значений.Его можно найти, установив производную нашей полной ошибки по этой константе в ноль, и найти ее из этого уравнения.

R в квадрате (R²)

А что если я скажу вам, что MSE для моих моделей предсказаний составляет 32? Должен ли я улучшить свою модель или она достаточно хороша? Или что, если мой MSE был 0,4? На самом деле, трудно понять, хороша наша модель или нет, посмотрев на абсолютные значения MSE или RMSE. Мы, вероятно, захотим измерить, как Во многом наша модель лучше, чем постоянная базовая линия.

Коэффициент детерминации, или R² (иногда читаемый как R-два), является еще одним показателем, который мы можем использовать для оценки модели, и он тесно связан с MSE, но имеет преимущество в том, чтобезмасштабное— не имеет значения, являются ли выходные значения очень большими или очень маленькими,R² всегда будет между -∞ и 1.

Когда R² отрицательно, это означает, что модель хуже, чем предсказание среднего значения.

MSE модели рассчитывается, как указано выше, в то время как MSE базовой линии определяется как:

гдеYс чертой означает среднее из наблюдаемогоyᵢ.

Чтобы сделать это более ясным, этот базовый MSE можно рассматривать как MSE, чтопростейшиймодель получит. Простейшей возможной моделью было бывсегдапредсказать среднее по всем выборкам. Значение, близкое к 1, указывает на модель с ошибкой, близкой к нулю, а значение, близкое к нулю, указывает на модель, очень близкую к базовой линии.

В заключение, R² — это соотношение между тем, насколько хороша наша модель, и тем, насколько хороша модель наивного среднего.

Распространенное заблуждение:Многие статьи в Интернете утверждают, что диапазон R² лежит между 0 и 1, что на самом деле не соответствует действительности. Максимальное значение R² равно 1, но минимальное может быть минус бесконечность.

Например, рассмотрим действительно дрянную модель, предсказывающую крайне отрицательное значение для всех наблюдений, даже если y_actual положительно. В этом случае R² будет меньше 0. Это крайне маловероятный сценарий, но возможность все еще существует.

MAE против MSE

Я заявил, что MAE более устойчив (менее чувствителен к выбросам), чем MSE, но это не значит, что всегда лучше использовать MAE. Следующие вопросы помогут вам решить:

Взять домой сообщение

В этой статье мы обсудили несколько важных метрик регрессии. Сначала мы обсудили среднеквадратичную ошибку и поняли, что наилучшей константой для нее является среднее целевое значение. Среднеквадратичная ошибка и R² очень похожи на MSE с точки зрения оптимизации. Затем мы обсудили среднюю абсолютную ошибку и когда люди предпочитают использовать MAE вместо MSE.

Спасибо за чтение, и я с нетерпением жду, чтобы услышать ваши вопросы Наслаждайтесь!

P.SСледите за моей следующей статьей, которая изучает другие более продвинутые метрики регрессии. Если вы хотите больше узнать о мире машинного обучения, вы также можете подписаться на меня в Instagram, напишите мне напрямую или найди меня на linkedin, Я хотел бы услышать от вас.

Ресурсы:
[1] https://dmitryulyanov.github.io/about

The MSE is a measure of the quality of an estimator. As it is derived from the square of Euclidean distance, it is always a positive value that decreases as the error approaches zero.

Definition and basic propertiesEdit

PredictorEdit

If a vector of predictions is generated from a sample of data points on all variables, and is the vector of observed values of the variable being predicted, with being the predicted values (e.g. as from a least-squares fit), then the within-sample MSE of the predictor is computed as

In other words, the MSE is the mean of the squares of the errors . This is an easily computable quantity for a particular sample (and hence is sample-dependent).

In matrix notation,

where is and is the column vector.

The MSE can also be computed on q data points that were not used in estimating the model, either because they were held back for this purpose, or because these data have been newly obtained. Within this process, known as statistical learning, the MSE is often called the test MSE,^[4] and is computed as

EstimatorEdit

The MSE of an estimator with respect to an unknown parameter is defined as^[1]

This definition depends on the unknown parameter, but the MSE is a priori a property of an estimator. The MSE could be a function of unknown parameters, in which case any estimator of the MSE based on estimates of these parameters would be a function of the data (and thus a random variable). If the estimator is derived as a sample statistic and is used to estimate some population parameter, then the expectation is with respect to the sampling distribution of the sample statistic.

Proof of variance and bias relationshipEdit

An even shorter proof can be achieved using the well-known formula that for a random variable , . By substituting with, , we have

In regressionEdit

ExamplesEdit

MeanEdit

Suppose we have a random sample of size from a population, . Suppose the sample units were chosen with replacement. That is, the units are selected one at a time, and previously selected units are still eligible for selection for all draws. The usual estimator for the is the sample average

which has an expected value equal to the true mean (so it is unbiased) and a mean squared error of

where is the population variance.

For a Gaussian distribution, this is the best unbiased estimator (i.e., one with the lowest MSE among all unbiased estimators), but not, say, for a uniform distribution.

VarianceEdit

The usual estimator for the variance is the corrected sample variance:

This is unbiased (its expected value is ), hence also called the unbiased sample variance, and its MSE is^[8]

where is the fourth central moment of the distribution or population, and is the excess kurtosis.

However, one can use other estimators for which are proportional to , and an appropriate choice can always give a lower mean squared error. If we define

then we calculate:

This is minimized when

For a Gaussian distribution, where , this means that the MSE is minimized when dividing the sum by . The minimum excess kurtosis is ,^[a] which is achieved by a Bernoulli distribution with p = 1/2 (a coin flip), and the MSE is minimized for Hence regardless of the kurtosis, we get a «better» estimate (in the sense of having a lower MSE) by scaling down the unbiased estimator a little bit; this is a simple example of a shrinkage estimator: one «shrinks» the estimator towards zero (scales down the unbiased estimator).

Gaussian distributionEdit

The following table gives several estimators of the true parameters of the population, μ and σ², for the Gaussian case.^[9]

True value	Estimator	Mean squared error
	= the unbiased estimator of the population mean,
	= the unbiased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,
	= the biased estimator of the population variance,

InterpretationEdit

An MSE of zero, meaning that the estimator predicts observations of the parameter with perfect accuracy, is ideal (but typically not possible).

MSE is also used in several stepwise regression techniques as part of the determination as to how many predictors from a candidate set to include in a model for a given set of observations.

ApplicationsEdit

Minimizing MSE is a key criterion in selecting estimators: see minimum mean-square error. Among unbiased estimators, minimizing the MSE is equivalent to minimizing the variance, and the estimator that does this is the minimum variance unbiased estimator. However, a biased estimator may have lower MSE; see estimator bias.
In statistical modelling the MSE can represent the difference between the actual observations and the observation values predicted by the model. In this context, it is used to determine the extent to which the model fits the data as well as whether removing some explanatory variables is possible without significantly harming the model’s predictive ability.
In forecasting and prediction, the Brier score is a measure of forecast skill based on MSE.

Loss functionEdit

CriticismEdit

NotesEdit

^ This can be proved by Jensen’s inequality as follows. The fourth central moment is an upper bound for the square of variance, so that the least value for their ratio is one, therefore, the least value for the excess kurtosis is −2, achieved, for instance, by a Bernoulli with p=1/2.

ReferencesEdit

^ ^a ^b «Mean Squared Error (MSE)». www.probabilitycourse.com. Retrieved 2020-09-12.
^ Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2015). Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics. Vol. I (Second ed.). p. 20. If we use quadratic loss, our risk function is called the mean squared error (MSE) …
^ ^a ^b Lehmann, E. L.; Casella, George (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-98502-2. MR 1639875.
^ Gareth, James; Witten, Daniela; Hastie, Trevor; Tibshirani, Rob (2021). An Introduction to Statistical Learning: with Applications in R. Springer. ISBN 978-1071614174.
^ Wackerly, Dennis; Mendenhall, William; Scheaffer, Richard L. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7 ed.). Belmont, CA, USA: Thomson Higher Education. ISBN 978-0-495-38508-0.
^ A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
^ Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences., McGraw Hill, 1960, page 288.
^ Mood, A.; Graybill, F.; Boes, D. (1974). Introduction to the Theory of Statistics (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 229.
^ DeGroot, Morris H. (1980). Probability and Statistics (2nd ed.). Addison-Wesley.
^ Berger, James O. (1985). «2.4.2 Certain Standard Loss Functions». Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 978-0-387-96098-2. MR 0804611.
^ Bermejo, Sergio; Cabestany, Joan (2001). «Oriented principal component analysis for large margin classifiers». Neural Networks. 14 (10): 1447–1461. doi:10.1016/S0893-6080(01)00106-X. PMID 11771723.

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Модели регрессии используются для количественной оценки взаимосвязи между одной или несколькими переменными-предикторами и переменной отклика .

Всякий раз, когда мы подбираем регрессионную модель, мы хотим понять, насколько хорошо модель может использовать значения переменных-предикторов для прогнозирования значения переменной отклика.

Две метрики, которые мы часто используем для количественной оценки того, насколько хорошо модель соответствует набору данных, — это среднеквадратическая ошибка (MSE) и среднеквадратическая ошибка (RMSE), которые рассчитываются следующим образом:

MSE : метрика, которая сообщает нам среднеквадратичную разницу между прогнозируемыми значениями и фактическими значениями в наборе данных. Чем ниже MSE, тем лучше модель соответствует набору данных.

СКО = Σ(ŷ i – y i ) 2 / n

куда:

Σ — это символ, который означает «сумма»
ŷ i — прогнозируемое значение для i -го наблюдения
y i — наблюдаемое значение для i -го наблюдения
n — размер выборки

RMSE : метрика, которая сообщает нам квадратный корень из средней квадратичной разницы между прогнозируемыми значениями и фактическими значениями в наборе данных. Чем ниже RMSE, тем лучше модель соответствует набору данных.

Он рассчитывается как:

СКО = √ Σ(ŷ i – y i ) 2 / n

куда:

Σ — это символ, который означает «сумма»
ŷ i — прогнозируемое значение для i -го наблюдения
y i — наблюдаемое значение для i -го наблюдения
n — размер выборки

Обратите внимание, что формулы почти идентичны. На самом деле среднеквадратическая ошибка — это просто квадратный корень из среднеквадратичной ошибки.

RMSE против MSE: какую метрику следует использовать?

При оценке того, насколько хорошо модель соответствует набору данных, мы чаще используем RMSE , потому что он измеряется в тех же единицах, что и переменная ответа.

И наоборот, MSE измеряется в квадратах переменной отклика.

Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что мы используем регрессионную модель для прогнозирования количества очков, которые 10 игроков наберут в баскетбольном матче.

В следующей таблице показаны прогнозируемые очки по модели и фактические очки, набранные игроками:

Мы бы рассчитали среднеквадратичную ошибку (MSE) как:

СКО = Σ(ŷ i – y i ) 2 / n
MSE = ((14-12) 2 +(15-15) 2 +(18-20) 2 +(19-16) 2 +(25-20) 2 +(18-19) 2 +(12-16) 2 +(12-20) 2 +(15-16) 2 +(22-16) 2 ) / 10
СКО = 16

Среднеквадратическая ошибка равна 16. Это говорит нам о том, что среднеквадратическая разница между предсказанными значениями, сделанными моделью, и фактическими значениями составляет 16.

Среднеквадратическая ошибка (RMSE) будет просто квадратным корнем MSE:

СКО = √ СКО
СКО = √ 16
СКО = 4

Среднеквадратическая ошибка равна 4. Это говорит нам о том, что среднее отклонение между прогнозируемыми набранными баллами и фактическими набранными баллами равно 4.

Обратите внимание, что интерпретация среднеквадратичной ошибки намного проще, чем среднеквадратическая ошибка, потому что мы говорим о «набранных очках», а не о «набранных квадратичных очках».

Как использовать RMSE на практике

На практике мы обычно подгоняем несколько моделей регрессии к набору данных и вычисляем среднеквадратичную ошибку (RMSE) каждой модели.

Затем мы выбираем модель с самым низким значением RMSE в качестве «лучшей» модели, потому что именно она делает прогнозы, наиболее близкие к фактическим значениям из набора данных.

Обратите внимание, что мы также можем сравнивать значения MSE каждой модели, но RMSE проще интерпретировать, поэтому он используется чаще.

Дополнительные ресурсы

Введение в множественную линейную регрессию
RMSE против R-Squared: какую метрику следует использовать?
Калькулятор среднеквадратичной ошибки

Источник

MSE и Scikit-learn

Пример: как интерпретировать RMSE для регрессионной модели

Сравнение значений RMSE из разных моделей

Дополнительные ресурсы

Definition and basic properties[edit]

Predictor[edit]

Estimator[edit]

Proof of variance and bias relationship[edit]

In regression[edit]

Examples[edit]

Mean[edit]

Variance[edit]

Gaussian distribution[edit]

Interpretation[edit]

Applications[edit]

Loss function[edit]

Criticism[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Как рассчитать среднеквадратическую ошибку?

Присоединяйтесь к нам!

Зарегистрируйтесь и скачайте решения

Статья полезная? Поделитесь с друзьями

MSE и Scikit-learn

Definition and basic properties[edit]

Predictor[edit]

Estimator[edit]

Proof of variance and bias relationship[edit]

In regression[edit]

Examples[edit]

Mean[edit]

Variance[edit]

Gaussian distribution[edit]

Interpretation[edit]

Applications[edit]

Loss function[edit]

Criticism[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Метрики регрессии

Среднеквадратическая ошибка (RMSE)

Средняя абсолютная ошибка (MAE)

R в квадрате (R²)

MAE против MSE

Взять домой сообщение

Definition and basic propertiesEdit

PredictorEdit

EstimatorEdit

Proof of variance and bias relationshipEdit

In regressionEdit

ExamplesEdit

MeanEdit

VarianceEdit

Gaussian distributionEdit

InterpretationEdit

ApplicationsEdit

Loss functionEdit

CriticismEdit

See alsoEdit

NotesEdit

ReferencesEdit

RMSE против MSE: какую метрику следует использовать?

Как использовать RMSE на практике

Дополнительные ресурсы