Способы обнаружения и устранения ошибок при передаче данных - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Способы обнаружения и устранения ошибок при передачи данных в сетях.

Ошибки
связаны с искажением бит в кадре или с
потерей кадра. Методы обнаружения ошибок
основаны на передаче в составе кадра
избыточной информации (контрольных
разрядов). Кр вычисляются в передатчике
как функция от информационных разрядов(ир).
Приемник повторно вычисляет кр по тому
же алгоритму и при несовпадении с
полученными кр фиксируется ошибка.
Методы вычисления кр: контроль по
паритету(обнаруживает одиночные и
нечетное количество ошибок – контроль
по четности, по нечетности), вертикальный
и горизонтальный контроль по паритету
(обнаруживается большая часть двойных
ошибок, велика избыточность), контрольная
сумма (передатчик дополняет сумму всех
байт кадра до 0 или FF,
приемник суммирует по модулю равному
разрядности контрольного кода, включая
кр, вероятность обнаружения ошибок
99,6%, уменьшается при увеличении разрядности
кода), циклический контроль(исходные
данные предоставляются многоразрядным
двоичным числом в качестве кр берется
остаток от деления этого числа на
известный делитель, при приеме снова
вычисляется остаток от деления на тот
же делитель, но делятся данные кадры с
полученным кр, если остаток = 0, то ошибки
нет, если не =, то ошибка. Обнаруживаются
одиночные, двойные и ошибки в нечетном
числе бит.)

Методы
исправления ошибок основаны на повторной
передаче кадра данных. Отправитель
нумерует посылаемые кадры и для каждого
ожидает положительной квитанции
(служебного кадра «ошибок нет»). При
получении искаженного кадра приемник
посылает отрицательную квитанцию,
указывающую, что кадр надо передать
повторно. При отправки каждого кадра
передатчик запускает таймер, и если по
его истечении не получена квитанция,
то кадр (возможно квитанция) утерян и
выполняется повторная передача. Методы
исправления: метод с простоями (передатчик
ожидает положительной квитанции и
только после этого посылает следующий
кадр, иначе повторяет передачу, +:
надежность передачи, -: уменьшение
производительности), метод скользящего
окна (при отправке кадра источнику
разрешается до получения квитанции на
кадр передать еще некоторое количество
кадров, если за это время квитанция так
и не пришла, то передача приостанавливается
и кадр передается снова, +: увеличивается
скорость обмена, -: передатчик должен
хранить в буфере все кадры на которые
нет квитанций, надо отслеживать номер
кадра на который пришла квитанция и
номер кадра который можно передать до
получения следующей квитанции).

IP
адресация: классы сетей, деление на сети
и подсети, маски подсетей.

В
современных сетях для адресации узлов
одновременно используются аппаратные,
числовые и символьные адреса. Пользователи
адресуют комп-ы с символьными адресами,
которые автоматически заменяются в
сообщениях передаваемых по сети на
числовые адреса. После доставки в сеть
назначения вместо числового адреса
используется аппаратный адрес комп-а.
типы адресов: лок адреса- используются
для доставки сообщений в пределах
подсети, IP
адреса – используются для передачи
пакетов между сетями, DNS-имя
– символьные адреса с их помощью
пользователи адресуют комп-ы.

4
класса IP-адресов:
А(1 сеть 10.0.0.0), В(16 сетей 172.16.0.0-172.31.0.0),
С(255 сетей 192.161.0.0-192.161.255.0).

Ограничение
на IP-адреса
узлов и сетей: 1) ни номер сети, ни номер
узла не равны всем двоичным 0 или 1.
2)127.х.х.х – запрещен для узлов и сетей,
т.к. используется для тестирования
программ и взаимодействия процессов в
пределах 1 комп-а 3)групповой адрес не
содержит ни номера сети, ни номера узла.

Маска
– содержит непрерывную последовательность
двоичных единиц в тех разрядах, которые
в IP
адресе и непрерывную последовательность
нулей в тех разрядах, которые соответствуют
номеру узла.

+
: маска позволяет отказаться от класса
адресов, маска используется в
маршрутизаторе, маска позволяет
администратору структурировать сеть,
т.е. делить ее на подсети не требуя от
поставщика услуг доп адреса, поставщики
услуг могут объединять адресное
пространство лс вводя прификсы, уменьшая
объем маршрутизации.

Порядок
назначения адресов — номера сетей
назначаются: централизованно(поставщиками
услуг), произвольно(если сеть работает
автономно), номера узлов администратор
назначает произвольно в пределах
разрешенного диапазона адресов, для
лок сетей зарезервированы адреса трех
классов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Канальный уровень должен обнаруживать ошибки передачи данных, связанные с
искажением бит в принятом кадре данных или с потерей кадра, и по возможности их
корректировать.

Большая часть протоколов канального уровня выполняет только первую задачу —
обнаружение ошибок, считая, что корректировать ошибки, то есть повторно
передавать данные, содержавшие искаженную информацию, должны протоколы верхних
уровней. Так работают такие популярные протоколы локальных сетей, как Ethernet,
Token Ring, FDDI и другие. Однако существуют протоколы канального уровня, например
LLC2 или LAP-B, которые самостоятельно решают задачу восстановления искаженных
или потерянных кадров.

Очевидно, что протоколы должны работать наиболее эффективно в типичных
условиях работы сети. Поэтому для сетей, в которых искажения и потери кадров являются
очень редкими событиями, разрабатываются протоколы типа Ethernet, в которых не
предусматриваются процедуры устранения ошибок. Действительно, наличие процедур
восстановления данных потребовало бы от конечных узлов дополнительных
вычислительных затрат, которые в условиях надежной работы сети являлись бы
избыточными.

Напротив, если в сети искажения и потери случаются часто, то желательно уже
на канальном уровне использовать протокол с коррекцией ошибок, а не оставлять
эту работу протоколам верхних уровней. Протоколы верхних уровней, например
транспортного или прикладного, работая с большими тайм-аутами, восстановят
потерянные данные с большой задержкой. В глобальных сетях первых поколений,
например сетях Х.25, которые работали через ненадежные каналы связи, протоколы
канального уровня всегда выполняли процедуры восстановления потерянных и
искаженных кадров.

Поэтому нельзя считать, что один протокол лучше другого потому, что он
восстанавливает ошибочные кадры, а другой протокол — нет. Каждый протокол должен
работать в тех условиях, для которых он разработан.

Методы обнаружения ошибок

Все методы обнаружения ошибок основаны на передаче в составе кадра данных
служебной избыточной информации, по которой можно судить с некоторой степенью
вероятности о достоверности принятых данных. Эту служебную информацию принято
называть контрольной суммой или (последовательностью
контроля кадра — Frame Check Sequence, FCS). Контрольная сумма вычисляется
как функция от основной информации, причем необязательно только путем суммирования.
Принимающая сторона повторно вычисляет контрольную сумму кадра по известному
алгоритму и в случае ее совпадения с контрольной суммой, вычисленной передающей
стороной, делает вывод о том, что данные были переданы через сеть корректно.

Существует несколько распространенных алгоритмов вычисления контрольной
суммы, отличающихся вычислительной сложностью и способностью обнаруживать
ошибки в данных.

Контроль по паритету представляет собой наиболее простой метод контроля данных. В то же
время это наименее мощный алгоритм контроля, так как с его помощью можно
обнаружить только одиночные ошибки в проверяемых данных. Метод заключается в
суммировании по модулю 2 всех бит контролируемой информации. Например, для
данных 100101011 результатом контрольного суммирования будет значение 1.
Результат суммирования также представляет собой один бит данных, который
пересылается вместе с контролируемой информацией. При искажении при пересылке
любого одного бита исходных данных (или контрольного разряда) результат суммирования
будет отличаться от принятого контрольного разряда, что говорит об ошибке.
Однако двойная ошибка, например 110101010, будет неверно принята за корректные
данные. Поэтому контроль по паритету применяется к небольшим порциям данных,
как правило, к каждому байту, что дает коэффициент избыточности для этого
метода 1/8. Метод редко применяется в вычислительных сетях из-за его большой
избыточности и невысоких диагностических способностей.

Вертикальный и горизонтальный контроль по паритету представляет собой модификацию
описанного выше метода. Его отличие состоит в том, что исходные данные
рассматриваются в виде матрицы, строки которой составляют байты данных.
Контрольный разряд подсчитывается отдельно для каждой строки и для каждого
столбца матрицы. Этот метод обнаруживает большую часть двойных ошибок, однако
обладает еще большей избыточностью. На практике сейчас также почти не
применяется.

Циклический избыточный контроль (Cyclic Redundancy Check, CRC) является в настоящее время наиболее
популярным методом контроля в вычислительных сетях (и не только в сетях,
например, этот метод широко применяется при записи данных на диски и дискеты).
Метод основан на рассмотрении исходных данных в виде одного многоразрядного
двоичного числа. Например, кадр стандарта Ethernet, состоящий из 1024 байт,
будет рассматриваться как одно число, состоящее из 8192 бит. В качестве
контрольной информации рассматривается остаток от деления этого числа на
известный делитель R. Обычно в качестве делителя выбирается семнадцати- или тридцати
трехразрядное число, чтобы остаток от деления имел длину 16 разрядов (2 байт)
или 32 разряда (4 байт). При получении кадра данных снова вычисляется остаток
от деления на тот же делитель R, но при этом к данным кадра добавляется и
содержащаяся в нем контрольная сумма. Если остаток от деления на R равен нулю¹ (¹ Существуетнесколько
модифицированная процедура вычисления остатка, приводящая к получению в случае
отсутствия ошибок известного ненулевого остатка, что является более надежным
показателем корректности.), то делается вывод об отсутствии ошибок в полученном
кадре, в противном случае кадр считается искаженным.

Этот метод обладает более высокой вычислительной сложностью, но его
диагностические возможности гораздо выше, чем у методов контроля по паритету.
Метод CRC обнаруживает все одиночные ошибки, двойные ошибки и ошибки в нечетном
числе бит. Метод обладает также невысокой степенью избыточности. Например, для
кадра Ethernet размером в 1024 байт контрольная информация длиной в 4 байт
составляет только 0,4 %.

Методы восстановления искаженных и потерянных кадров

Методы коррекции ошибок в вычислительных сетях основаны на повторной
передаче кадра данных в том случае, если кадр теряется и не доходит до адресата
или приемник обнаружил в нем искажение информации. Чтобы убедиться в
необходимости повторной передачи данных, отправитель нумерует отправляемые
кадры и для каждого кадра ожидает от приемника так называемой положительной
квитанции — служебного кадра, извещающего о том, что исходный кадр был
получен и данные в нем оказались корректными. Время этого ожидания ограничено —
при отправке каждого кадра передатчик запускает таймер, и, если по его
истечении положительная квитанция на получена, кадр считается утерянным.
Приемник в случае получения кадра с искаженными данными может отправить отрицательную
квитанцию — явное указание на то, что данный кадр нужно передать
повторно.

Существуют два подхода к организации процесса обмена квитанциями: с
простоями и с организацией «окна».

Метод с простоями (Idle Source) требует, чтобы источник, пославший кадр, ожидал получения квитанции
(положительной или отрицательной) от приемника и только после этого посылал
следующий кадр (или повторял искаженный). Если же квитанция не приходит в
течение тайм-аута, то кадр (или квитанция) считается утерянным и его передача
повторяется. На рис. 2.24, а видно, что в этом случае производительность обмена
данными существенно снижается, — хотя передатчик и мог бы послать следующий
кадр сразу же после отправки предыдущего, он обязан ждать прихода квитанции.
Снижение производительности этого метода коррекции особенно заметно на
низкоскоростных каналах связи, то есть в территориальных сетях.

Рис. 2.24. Методы восстановления искаженных и
потерянных кадров

Второй метод называется методом «скользящего окна» (sliding
window). В этом методе для повышения коэффициента использования линии
источнику разрешается передать некоторое количество кадров в непрерывном
режиме, то есть в максимально возможном для источника темпе, без получения на
эти кадры положительных ответных квитанций. (Далее, где это не искажает
существо рассматриваемого вопроса, положительные квитанции для краткости будут
называться просто «квитанциями».) Количество кадров, которые разрешается
передавать таким образом, называется размером окна. Рисунок 2.24, б
иллюстрирует данный метод для окна размером в W кадров.

В начальный момент, когда еще не послано ни одного кадра, окно определяет
диапазон кадров с номерами от 1 до W включительно. Источник начинает передавать
кадры и получать в ответ квитанции. Для простоты предположим, что квитанции
поступают в той же последовательности, что и кадры, которым они соответствуют.
В момент t₁ при получении первой квитанции К1 окно сдвигается
на одну позицию, определяя новый диапазон от 2 до (W+1).

Процессы отправки кадров и получения квитанций идут достаточно независимо
друг от друга. Рассмотрим произвольный момент времени tn, когда источник
получил квитанцию на кадр с номером n. Окно сдвинулось вправо и определило
диапазон разрешенных к передаче кадров от (n+1) до (W+n). Все множество кадров,
выходящих из источника, можно разделить на перечисленные ниже группы (рис.
2.24, б).

Кадры с номерами от 1 доп. уже были отправлены и квитанции на них
получены, то есть они находятся за пределами окна слева.
Кадры, начиная с номера (п+1) и кончая номером
(W+n), находятся в пределах окна и
потому могут быть отправлены не дожидаясь прихода какой-либо квитанции.
Этот диапазон может быть разделен еще на два поддиапазона:

кадры с номерами от (n+1) до
т, которые уже отправлены, но квитанции на них еще не получены;
кадры с номерами от m до
(W+n), которые пока не отправлены, хотя запрета на это нет.

Все кадры с номерами, большими или равными
(W+n+1), находятся за пределами окна
справа и поэтому пока не могут быть отправлены.

Перемещение окна вдоль последовательности номеров кадров показано на рис.
2.24, в. Здесь t₀ — исходный момент, t₁ и t_n —
моменты прихода квитанций на первый и n-й кадр соответственно. Каждый раз,
когда приходит квитанция, окно сдвигается влево, но его размер при этом не
меняется и остается равным W. Заметим, что хотя в данном примере размер окна в
процессе передачи остается постоянным, в реальных протоколах (например, TCP)
можно встретить варианты данного алгоритма с изменяющимся размером окна.

Итак, при отправке кадра с номером n источнику разрешается передать еще W-1
кадров до получения квитанции на кадр n, так что в сеть последним уйдет кадр с
номером (W+n-1). Если же за это время квитанция на кадр n так и не пришла, то
процесс передачи приостанавливается, и по истечении некоторого тайм-аута кадр n
(или квитанция на него) считается утерянным, и он передается снова.

Если же поток квитанций поступает более-менее регулярно, в пределах допуска
в W кадров, то скорость обмена достигает максимально возможной величины для
данного канала и принятого протокола.

Метод скользящего окна более сложен в реализации, чем метод с простоями,
так как передатчик должен хранить в буфере все кадры, на которые пока не
получены положительные квитанции. Кроме того, требуется отслеживать несколько
параметров алгоритма: размер окна W, номер кадра, на который получена
квитанция, номер кадра, который еще можно передать до получения новой
квитанции.

Приемник может не посылать квитанции на каждый принятый корректный кадр.
Если несколько кадров пришли почти одновременно, то приемник может послать
квитанцию только на последний кадр. При этом подразумевается, что все
предыдущие кадры также дошли благополучно.

Некоторые методы используют отрицательные квитанции. Отрицательные
квитанции бывают двух типов — групповые и избирательные. Групповая квитанция
содержит номер кадра, начиная с которого нужно повторить передачу всех кадров,
отправленных передатчиком в сеть. Избирательная отрицательная квитанция требует
повторной передачи только одного кадра.

Метод скользящего окна реализован во многих протоколах: LLC2, LAP-B, X.25,
TCP, Novell NCP Burst Mode.

Метод с простоями является частным случаем метода скользящего окна, когда
размер окна равен единице.

Метод скользящего окна имеет два параметра, которые могут заметно влиять на
эффективность передачи данных между передатчиком и приемником, — размер окна и
величина тайм-аута ожидания квитанции. В надежных сетях, когда кадры искажаются
и теряются редко, для повышения скорости обмена данными размер окна нужно
увеличивать, так как при этом передатчик будет посылать кадры с меньшими
паузами. В ненадежных сетях размер окна следует уменьшать, так как при частых
потерях и искажениях кадров резко возрастает объем вторично передаваемых через
сеть кадров, а значит, пропускная способность сети будет расходоваться во
многом вхолостую — полезная пропускная способность сети будет падать.

Выбор тайм-аута зависит не от надежности сети, а от задержек передачи
кадров сетью.

Во многих реализациях метода скользящего окна величина окна и тайм-аут
выбираются адаптивно, в зависимости от текущего состояния сети.

Способы обнаружения и устранения ошибок при передачи данных в сетях.

IP
адресация: классы сетей, деление на сети
и подсети, маски подсетей.

4
класса IP-адресов:
А(1 сеть 10.0.0.0), В(16 сетей 172.16.0.0-172.31.0.0),
С(255 сетей 192.161.0.0-192.161.255.0).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Data-link layer uses error control techniques to ensure that frames, i.e. bit streams of data, are transmitted from the source to the destination with a certain extent of accuracy.

Errors

When bits are transmitted over the computer network, they are subject to get corrupted due to interference and network problems. The corrupted bits leads to spurious data being received by the destination and are called errors.

Types of Errors

Errors can be of three types, namely single bit errors, multiple bit errors, and burst errors.

Single bit error − In the received frame, only one bit has been corrupted, i.e. either changed from 0 to 1 or from 1 to 0.
Multiple bits error − In the received frame, more than one bits are corrupted.
Burst error − In the received frame, more than one consecutive bits are corrupted.

Error Control

Error control can be done in two ways

Error detection − Error detection involves checking whether any error has occurred or not. The number of error bits and the type of error does not matter.
Error correction − Error correction involves ascertaining the exact number of bits that has been corrupted and the location of the corrupted bits.

For both error detection and error correction, the sender needs to send some additional bits along with the data bits. The receiver performs necessary checks based upon the additional redundant bits. If it finds that the data is free from errors, it removes the redundant bits before passing the message to the upper layers.

Error Detection Techniques

There are three main techniques for detecting errors in frames: Parity Check, Checksum and Cyclic Redundancy Check (CRC).

Parity Check

The parity check is done by adding an extra bit, called parity bit to the data to make a number of 1s either even in case of even parity or odd in case of odd parity.

While creating a frame, the sender counts the number of 1s in it and adds the parity bit in the following way

In case of even parity: If a number of 1s is even then parity bit value is 0. If the number of 1s is odd then parity bit value is 1.
In case of odd parity: If a number of 1s is odd then parity bit value is 0. If a number of 1s is even then parity bit value is 1.

On receiving a frame, the receiver counts the number of 1s in it. In case of even parity check, if the count of 1s is even, the frame is accepted, otherwise, it is rejected. A similar rule is adopted for odd parity check.

The parity check is suitable for single bit error detection only.

Checksum

In this error detection scheme, the following procedure is applied

Data is divided into fixed sized frames or segments.
The sender adds the segments using 1’s complement arithmetic to get the sum. It then complements the sum to get the checksum and sends it along with the data frames.
The receiver adds the incoming segments along with the checksum using 1’s complement arithmetic to get the sum and then complements it.
If the result is zero, the received frames are accepted; otherwise, they are discarded.

Cyclic Redundancy Check (CRC)

Cyclic Redundancy Check (CRC) involves binary division of the data bits being sent by a predetermined divisor agreed upon by the communicating system. The divisor is generated using polynomials.

Here, the sender performs binary division of the data segment by the divisor. It then appends the remainder called CRC bits to the end of the data segment. This makes the resulting data unit exactly divisible by the divisor.
The receiver divides the incoming data unit by the divisor. If there is no remainder, the data unit is assumed to be correct and is accepted. Otherwise, it is understood that the data is corrupted and is therefore rejected.

Error Correction Techniques

Error correction techniques find out the exact number of bits that have been corrupted and as well as their locations. There are two principle ways

Backward Error Correction (Retransmission) − If the receiver detects an error in the incoming frame, it requests the sender to retransmit the frame. It is a relatively simple technique. But it can be efficiently used only where retransmitting is not expensive as in fiber optics and the time for retransmission is low relative to the requirements of the application.
Forward Error Correction − If the receiver detects some error in the incoming frame, it executes error-correcting code that generates the actual frame. This saves bandwidth required for retransmission. It is inevitable in real-time systems. However, if there are too many errors, the frames need to be retransmitted.

The four main error correction codes are

Hamming Codes
Binary Convolution Code
Reed – Solomon Code
Low-Density Parity-Check Code

Кодирование и защита от ошибок

Существует три наиболее распространенных орудия борьбы с ошибками в процессе передачи данных:

коды обнаружения ошибок;
коды с коррекцией ошибок, называемые также схемами прямой коррекции ошибок (Forward Error Correction — FEC);
протоколы с автоматическим запросом повторной передачи (Automatic Repeat Request — ARQ).

Код обнаружения ошибок позволяет довольно легко установить наличие ошибки. Как правило, подобные коды используются совместно с определенными протоколами канального или транспортного уровней, имеющими схему ARQ. В схеме ARQ приемник попросту отклоняет блок данных, в котором была обнаружена ошибка, после чего передатчик передает этот блок повторно. Коды с прямой коррекцией ошибок позволяют не только обнаружить ошибки, но и исправить их, не прибегая к повторной передаче. Схемы FEC часто используются в беспроводной передаче, где повторная передача крайне неэффективна, а уровень ошибок довольно высок.

1) Методы обнаружения ошибок

Методы обнаружения ошибок основаны на передаче в составе блока данных избыточной служебной информации, по которой можно судить с некоторой степенью вероятности о достоверности принятых данных.

Избыточную служебную информацию принято называть контрольной суммой, или контрольной последовательностью кадра (Frame Check Sequence, FCS). Контрольная сумма вычисляется как функция от основной информации, причем не обязательно путем суммирования. Принимающая сторона повторно вычисляет контрольную сумму кадра по известному алгоритму и в случае ее совпадения с контрольной суммой, вычисленной передающей стороной, делает вывод о том, что данные были переданы через сеть корректно. Рассмотрим несколько распространенных алгоритмов вычисления контрольной суммы, отличающихся вычислительной сложностью и способностью обнаруживать ошибки в данных.

Контроль по паритету представляет собой наиболее простой метод контроля данных. В то же время это наименее мощный алгоритм контроля, так как с его помощью можно обнаружить только одиночные ошибки в проверяемых данных. Метод заключается в суммировании по модулю 2 всех битов контролируемой информации. Нетрудно заметить, что для информации, состоящей из нечетного числа единиц, контрольная сумма всегда равна 1, а при четном числе единиц — 0. Например, для данных 100101011 результатом контрольного суммирования будет значение 1. Результат суммирования также представляет собой один дополнительный бит данных, который пересылается вместе с контролируемой информацией. При искажении в процессе пересылки любого бита исходных данных (или контрольного разряда) результат суммирования будет отличаться от принятого контрольного разряда, что говорит об ошибке.
Однако двойная ошибка, например 110101010, будет неверно принята за корректные данные. Поэтому контроль по паритету применяется к небольшим порциям данных, как правило, к каждому байту, что дает коэффициент избыточности для этого метода 1/8. Метод редко применяется в компьютерных сетях из-за значительной избыточности и невысоких диагностических способностей.

Вертикальный и горизонтальный контроль по паритету представляет собой модификацию описанного выше метода. Его отличие состоит в том, что исходные данные рассматриваются в виде матрицы, строки которой составляют байты данных. Контрольный разряд подсчитывается отдельно для каждой строки и для каждого столбца матрицы. Этот метод обнаруживает значительную часть двойных ошибок, однако обладает еще большей избыточностью. Он сейчас также почти не применяется при передаче информации по сети.

Циклический избыточный контроль (Cyclic Redundancy Check — CRC) является в настоящее время наиболее популярным методом контроля в вычислительных сетях (и не только в сетях; в частности, этот метод широко применяется при записи данных на гибкие и жесткие диски). Метод основан на рассмотрении исходных данных в виде одного многоразрядного двоичного числа. Например, кадр стандарта Ethernet, состоящий из 1024 байт, будет рассматриваться как одно число, состоящее из 8192 бит. Контрольной информацией считается остаток от деления этого числа на известный делитель R. Обычно в качестве делителя выбирается семнадцати- или тридцатитрехразрядное число, чтобы остаток от деления имел длину 16 разрядов (2 байт) или 32 разряда (4 байт). При получении кадра данных снова вычисляется остаток от деления на тот же делитель R, но при этом к данным кадра добавляется и содержащаяся в нем контрольная сумма.
Если остаток от деления на R равен нулю, то делается вывод об отсутствии ошибок в полученном кадре, в противном случае кадр считается искаженным.

Этот метод обладает более высокой вычислительной сложностью, но его диагностические возможности гораздо шире, чем у методов контроля по паритету. Метод CRC обнаруживает все одиночные ошибки, двойные ошибки и ошибки в нечетном числе битов. Метод также обладает невысокой степенью избыточности. Например, для кадра Ethernet размером 1024 байта контрольная информация длиной 4 байта составляет только 0,4 %.

2) Методы коррекции ошибок

Техника кодирования, которая позволяет приемнику не только понять, что присланные данные содержат ошибки, но и исправить их, называется прямой коррекцией ошибок (Forward Error Correction — FEC). Коды, обеспечивающие прямую коррекцию ошибок, требуют введения большей избыточности в передаваемые данные, чем коды, которые только обнаруживают ошибки.

При применении любого избыточного кода не все комбинации кодов являются разрешенными. Например, контроль по паритету делает разрешенными только половину кодов. Если мы контролируем три информационных бита, то разрешенными 4-битными кодами с дополнением до нечетного количества единиц будут:

000 1, 001 0, 010 0, 011 1, 100 0, 101 1, 110 1, 111 0, то есть всего 8 кодов из 16 возможных.

Для того чтобы оценить количество дополнительных битов, необходимых для исправления ошибок, нужно знать так называемое расстояние Хемминга между разрешенными комбинациями кода. Расстоянием Хемминга называется минимальное число битовых разрядов, в которых отличается любая пара разрешенных кодов. Для схем контроля по паритету расстояние Хемминга равно 2.

Можно доказать, что если мы сконструировали избыточный код с расстоянием Хемминга, равным n, такой код будет в состоянии распознавать (n-1) -кратные ошибки и исправлять (n-1)/2 -кратные ошибки. Так как коды с контролем по паритету имеют расстояние Хемминга, равное 2, они могут только обнаруживать однократные ошибки и не могут исправлять ошибки.

Коды Хемминга эффективно обнаруживают и исправляют изолированные ошибки, то есть отдельные искаженные биты, которые разделены большим количеством корректных битов. Однако при появлении длинной последовательности искаженных битов (пульсации ошибок) коды Хемминга не работают.

Наиболее часто в современных системах связи применяется тип кодирования, реализуемый сверхточным кодирующим устройством (Сonvolutional coder), потому что такое кодирование несложно реализовать аппаратно с использованием линий задержки (delay) и сумматоров. В отличие от рассмотренного выше кода, который относится к блочным кодам без памяти, сверточный код относится к кодам с конечной памятью (Finite memory code); это означает, что выходная последовательность кодера является функцией не только текущего входного сигнала, но также нескольких из числа последних предшествующих битов. Длина кодового ограничения (Constraint length of a code) показывает, как много выходных элементов выходит из системы в пересчете на один входной. Коды часто характеризуются их эффективной степенью (или коэффициентом) кодирования (Code rate). Вам может встретиться сверточный код с коэффициентом кодирования 1/2.
Этот коэффициент указывает, что на каждый входной бит приходится два выходных. При сравнении кодов обращайте внимание на то, что, хотя коды с более высокой эффективной степенью кодирования позволяют передавать данные с более высокой скоростью, они, соответственно, более чувствительны к шуму.

В беспроводных системах с блочными кодами широко используется метод чередования блоков. Преимущество чередования состоит в том, что приемник распределяет пакет ошибок, исказивший некоторую последовательность битов, по большому числу блоков, благодаря чему становится возможным исправление ошибок. Чередование выполняется с помощью чтения и записи данных в различном порядке. Если во время передачи пакет помех воздействует на некоторую последовательность битов, то все эти биты оказываются разнесенными по различным блокам. Следовательно, от любой контрольной последовательности требуется возможность исправить лишь небольшую часть от общего количества инвертированных битов.

3) Методы автоматического запроса повторной передачи

В простейшем случае защита от ошибок заключается только в их обнаружении. Система должна предупредить передатчик об обнаружении ошибки и необходимости повторной передачи. Такие процедуры защиты от ошибок известны как методы автоматического запроса повторной передачи (Automatic Repeat Request — ARQ). В беспроводных локальных сетях применяется процедура «запрос ARQ с остановками» (stop-and-wait ARQ).

В этом случае источник, пославший кадр, ожидает получения подтверждения (Acknowledgement — ACK), или, как еще его называют, квитанции, от приемника и только после этого посылает следующий кадр. Если же подтверждение не приходит в течение тайм-аута, то кадр (или подтверждение) считается утерянным и его передача повторяется. На
рис.
1.13 видно, что в этом случае производительность обмена данными ниже потенциально возможной; хотя передатчик и мог бы послать следующий кадр сразу же после отправки предыдущего, он обязан ждать прихода подтверждения.

Обнаружение ошибок в технике связи — действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) — процедура восстановления информации после чтения её из устройства хранения или канала связи.

Для обнаружения ошибок используют коды обнаружения ошибок, для исправления — корректирующие коды (коды, исправляющие ошибки, коды с коррекцией ошибок, помехоустойчивые коды).

Способы борьбы с ошибками

В процессе хранения данных и передачи информации по сетям связи неизбежно возникают ошибки. Контроль целостности данных и исправление ошибок — важные задачи на многих уровнях работы с информацией (в частности, физическом, канальном, транспортном уровнях модели OSI).

В системах связи возможны несколько стратегий борьбы с ошибками:

обнаружение ошибок в блоках данных и автоматический запрос повторной передачи повреждённых блоков — этот подход применяется в основном на канальном и транспортном уровнях;
обнаружение ошибок в блоках данных и отбрасывание повреждённых блоков — такой подход иногда применяется в системах потокового мультимедиа, где важна задержка передачи и нет времени на повторную передачу;
исправление ошибок (forward error correction) применяется на физическом уровне.

Коды обнаружения и исправления ошибок

Корректирующие коды — коды, служащие для обнаружения или исправления ошибок, возникающих при передаче информации под влиянием помех, а также при её хранении.

Для этого при записи (передаче) в полезные данные добавляют специальным образом структурированную избыточную информацию (контрольное число), а при чтении (приёме) её используют для того, чтобы обнаружить или исправить ошибки. Естественно, что число ошибок, которое можно исправить, ограничено и зависит от конкретного применяемого кода.

С кодами, исправляющими ошибки, тесно связаны коды обнаружения ошибок. В отличие от первых, последние могут только установить факт наличия ошибки в переданных данных, но не исправить её.

В действительности, используемые коды обнаружения ошибок принадлежат к тем же классам кодов, что и коды, исправляющие ошибки. Фактически, любой код, исправляющий ошибки, может быть также использован для обнаружения ошибок (при этом он будет способен обнаружить большее число ошибок, чем был способен исправить).

По способу работы с данными коды, исправляющие ошибки делятся на блоковые, делящие информацию на фрагменты постоянной длины и обрабатывающие каждый из них в отдельности, и свёрточные, работающие с данными как с непрерывным потоком.

Блоковые коды

Пусть кодируемая информация делится на фрагменты длиной бит, которые преобразуются в кодовые слова длиной бит. Тогда соответствующий блоковый код обычно обозначают . При этом число ${displaystyle R={frac {k}{n}}}$ называется скоростью кода.

Если исходные бит код оставляет неизменными, и добавляет проверочных, такой код называется систематическим, иначе несистематическим.

Задать блоковый код можно по-разному, в том числе таблицей, где каждой совокупности из информационных бит сопоставляется бит кодового слова. Однако, хороший код должен удовлетворять, как минимум, следующим критериям:

способность исправлять как можно большее число ошибок,
как можно меньшая избыточность,
простота кодирования и декодирования.

Нетрудно видеть, что приведённые требования противоречат друг другу. Именно поэтому существует большое количество кодов, каждый из которых пригоден для своего круга задач.

Практически все используемые коды являются линейными. Это связано с тем, что нелинейные коды значительно сложнее исследовать, и для них трудно обеспечить приемлемую лёгкость кодирования и декодирования.

Линейные коды общего вида

Линейный блоковый код — такой код, что множество его кодовых слов образует -мерное линейное подпространство (назовём его ) в -мерном линейном пространстве, изоморфное пространству -битных векторов.

Это значит, что операция кодирования соответствует умножению исходного -битного вектора на невырожденную матрицу , называемую порождающей матрицей.

Пусть ${displaystyle C^{perp }}$ — ортогональное подпространство по отношению к , а — матрица, задающая базис этого подпространства. Тогда для любого вектора справедливо:

${displaystyle {overrightarrow {v}}H^{T}={overrightarrow {0}}.}$

Минимальное расстояние и корректирующая способность

Основная статья: Расстояние Хемминга

Расстоянием Хемминга (метрикой Хемминга) между двумя кодовыми словами и называется количество отличных бит на соответствующих позициях, ${displaystyle d_{H}({overrightarrow {u}},;{overrightarrow {v}})=sum _{s}{|u^{(s)}-v^{(s)}|}}$ , что равно числу «единиц» в векторе .

Минимальное расстояние Хемминга ${displaystyle d_{min }=min _{uneq v}d_{H}({overrightarrow {u}},;{overrightarrow {v}})}$ является важной характеристикой линейного блокового кода. Она показывает насколько «далеко» расположены коды друг от друга. Она определяет другую, не менее важную характеристику — корректирующую способность:

${displaystyle t=leftlfloor {frac {d_{min }-1}{2}}rightrfloor }$

, округляем «вниз», так чтобы ${displaystyle 2t<d_{min }}$

Корректирующая способность определяет, сколько ошибок передачи кода (типа ) можно гарантированно исправить. То есть вокруг каждого кода имеем -окрестность ${displaystyle A_{t}}$ , которая состоит из всех возможных вариантов передачи кода с числом ошибок () не более . Никакие две окрестности двух любых кодов не пересекаются друг с другом, так как расстояние между кодами (то есть центрами этих окрестностей) всегда больше двух их радиусов ${displaystyle d_{H}(A,;B)geqslant d_{min }>2t}$ .

Таким образом получив искажённый код из ${displaystyle A_{t}}$ декодер принимает решение, что был исходный код , исправляя тем самым не более ошибок.

Поясним на примере. Предположим, что есть два кодовых слова и , расстояние Хемминга между ними равно 3. Если было передано слово , и канал внёс ошибку в одном бите, она может быть исправлена, так как даже в этом случае принятое слово ближе к кодовому слову , чем к любому другому, и в частности к . Но если каналом были внесены ошибки в двух битах (в которых отличалось от ) то результат ошибочной передачи окажется ближе к , чем , и декодер примет решение что передавалось слово .

Коды Хемминга

Коды Хемминга — простейшие линейные коды с минимальным расстоянием 3, то есть способные исправить одну ошибку. Код Хемминга может быть представлен в таком виде, что синдром

${displaystyle {overrightarrow {s}}={overrightarrow {r}}H^{T}}$

, где

— принятый вектор, будет равен номеру позиции, в которой произошла ошибка. Это свойство позволяет сделать декодирование очень простым.

Общий метод декодирования линейных кодов

Любой код (в том числе нелинейный) можно декодировать с помощью обычной таблицы, где каждому значению принятого слова ${displaystyle {overrightarrow {r}}_{i}}$ соответствует наиболее вероятное переданное слово ${displaystyle {overrightarrow {u}}_{i}}$ . Однако, данный метод требует применения огромных таблиц уже для кодовых слов сравнительно небольшой длины.

Для линейных кодов этот метод можно существенно упростить. При этом для каждого принятого вектора ${displaystyle {overrightarrow {r}}_{i}}$ вычисляется синдром ${displaystyle {overrightarrow {s}}_{i}={overrightarrow {r}}_{i}H^{T}}$ . Поскольку ${displaystyle {overrightarrow {r}}_{i}={overrightarrow {v}}_{i}+{overrightarrow {e}}_{i}}$ , где ${displaystyle {overrightarrow {v}}_{i}}$ — кодовое слово, а ${displaystyle {overrightarrow {e}}_{i}}$ — вектор ошибки, то ${displaystyle {overrightarrow {s}}_{i}={overrightarrow {e}}_{i}H^{T}}$ . Затем с помощью таблицы по синдрому определяется вектор ошибки, с помощью которого определяется переданное кодовое слово. При этом таблица получается гораздо меньше, чем при использовании предыдущего метода.

Линейные циклические коды

Несмотря на то, что декодирование линейных кодов уже значительно проще декодирования большинства нелинейных, для большинства кодов этот процесс всё ещё достаточно сложен. Циклические коды, кроме более простого декодирования, обладают и другими важными свойствами.

Циклическим кодом является линейный код, обладающий следующим свойством: если является кодовым словом, то его циклическая перестановка также является кодовым словом.

Слова циклического кода удобно представлять в виде многочленов. Например, кодовое слово ${displaystyle {overrightarrow {v}}=(v_{0},;v_{1},;ldots ,;v_{n-1})}$ представляется в виде полинома ${displaystyle v(x)=v_{0}+v_{1}x+ldots +v_{n-1}x^{n-1}}$ . При этом циклический сдвиг кодового слова эквивалентен умножению многочлена на по модулю ${displaystyle x^{n}-1}$ .

В дальнейшем, если не указано иное, мы будем считать, что циклический код является двоичным, то есть ${displaystyle v_{0},;v_{1},;ldots }$ могут принимать значения 0 или 1.

Порождающий (генераторный) полином

Можно показать, что все кодовые слова конкретного циклического кода кратны определённому порождающему полиному . Порождающий полином является делителем ${displaystyle x^{n}-1}$ .

С помощью порождающего полинома осуществляется кодирование циклическим кодом. В частности:

Коды CRC

Коды CRC (cyclic redundancy check — циклическая избыточная проверка) являются систематическими кодами, предназначенными не для исправления ошибок, а для их обнаружения. Они используют способ систематического кодирования, изложенный выше: «контрольная сумма» вычисляется путем деления ${displaystyle x^{n-k}u(x)}$ на . Ввиду того, что исправление ошибок не требуется, проверка правильности передачи может производиться точно так же.

Таким образом, вид полинома задаёт конкретный код CRC. Примеры наиболее популярных полиномов:

название кода	степень	полином
CRC-12	12	${displaystyle x^{12}+x^{11}+x^{3}+x^{2}+x+1}$
CRC-16	16	${displaystyle x^{16}+x^{15}+x^{2}+1}$
CRC-CCITT	16	${displaystyle x^{16}+x^{12}+x^{5}+1}$
CRC-32	32	${displaystyle x^{32}+x^{26}+x^{23}+x^{22}+x^{16}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1}$

Коды БЧХ

Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ) являются подклассом циклических кодов. Их отличительное свойство — возможность построения кода БЧХ с минимальным расстоянием не меньше заданного. Это важно, потому что, вообще говоря, определение минимального расстояния кода есть очень сложная задача.

Математически полинома на множители в поле Галуа.

Коды коррекции ошибок Рида — Соломона

Коды Рида — Соломона — недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида-Соломона, работающие с байтами (октетами).

Математически коды Рида — Соломона являются кодами БЧХ.

Преимущества и недостатки блоковых кодов

Хотя блоковые коды, как правило, хорошо справляются с редкими, но большими пачками ошибок, их эффективность при частых, но небольших ошибках (например, в канале с АБГШ), менее высока.

Свёрточные коды

Файл:ECC NASA standard coder.png

Свёрточный кодер ()

Свёрточные коды, в отличие от блоковых, не делят информацию на фрагменты и работают с ней как со сплошным потоком данных.

Свёрточные коды, как правило, порождаются дискретной линейной инвариантной во времени системой. Поэтому, в отличие от большинства блоковых кодов, свёрточное кодирование — очень простая операция, чего нельзя сказать о декодировании.

Кодирование свёрточным кодом производится с помощью регистра сдвига, отводы от которого суммируются по модулю два. Таких сумм может быть две (чаще всего) или больше.

Декодирование свёрточных кодов, как правило, производится по алгоритму Витерби, который пытается восстановить переданную последовательность согласно критерию максимального правдоподобия.

Преимущества и недостатки свёрточных кодов

Свёрточные коды эффективно работают в канале с белым шумом, но плохо справляются с пакетами ошибок. Более того, если декодер ошибается, на его выходе всегда возникает пакет ошибок.

Каскадное кодирование. Итеративное декодирование

Преимущества разных способов кодирования можно объединить, применив каскадное кодирование. При этом информация сначала кодируется одним кодом, а затем другим, в результате получается код-произведение.

Например, популярной является следующая конструкция: данные кодируются кодом Рида-Соломона, затем перемежаются (при этом символы, расположенные близко, помещаются далеко друг от друга) и кодируются свёрточным кодом. На приёмнике сначала декодируется свёрточный код, затем осуществляется обратное перемежение (при этом пачки ошибок на выходе свёрточного декодера попадают в разные кодовые слова кода Рида — Соломона), и затем осуществляется декодирование кода Рида — Соломона.

Некоторые коды-произведения специально сконструированы для итеративного декодирования, при котором декодирование осуществляется в несколько проходов, каждый из которых использует информацию от предыдущего. Это позволяет добиться большой эффективности, однако, декодирование требует больших ресурсов. К таким кодам относят турбо-коды и LDPC-коды (коды Галлагера).

Оценка эффективности кодов

Эффективность кодов определяется количеством ошибок, которые тот может исправить, количеством избыточной информации, добавление которой требуется, а также сложностью реализации кодирования и декодирования (как аппаратной, так и в виде программы для ЭВМ).

Граница Хемминга и совершенные коды

Основная статья: Граница Хэмминга

Пусть имеется двоичный блоковый код с корректирующей способностью . Тогда справедливо неравенство (называемое границей Хемминга):

${displaystyle sum _{i=0}^{t}{n choose i}leqslant 2^{n-k}.}$

Коды, удовлетворяющие этой границе с равенством, называются совершенными. К совершенным кодам относятся, например, коды Хемминга. Часто применяемые на практике коды с большой корректирующей способностью (такие, как коды Рида — Соломона) не являются совершенными.

Энергетический выигрыш

При передаче информации по каналу связи вероятность ошибки зависит от отношения сигнал/шум на входе демодулятора, таким образом при постоянном уровне шума решающее значение имеет мощность передатчика. В системах спутниковой и мобильной, а также других типов связи остро стоит вопрос экономии энергии. Кроме того, в определённых системах связи (например, телефонной) неограниченно повышать мощность сигнала не дают технические ограничения.

Поскольку помехоустойчивое кодирование позволяет исправлять ошибки, при его применении мощность передатчика можно снизить, оставляя скорость передачи информации неизменной. Энергетический выигрыш определяется как разница отношений с/ш при наличии и отсутствии кодирования.

Применение кодов, исправляющих ошибки

Коды, исправляющие ошибки, применяются:

в системах цифровой связи, в том числе: спутниковой, радиорелейной, сотовой, передаче данных по телефонным каналам.
в системах хранения информации, в том числе магнитных и оптических.

Коды, обнаруживающие ошибки, применяются в сетевых протоколах различных уровней.

Автоматический запрос повторной передачи

Системы с автоматическим запросом повторной передачи (ARQ — Automatic Repeat reQuest) основаны на технологии обнаружения ошибок. Распространены следующие методы автоматического запроса:

Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)

Идея этого метода заключается в том, что передатчик ожидает от приемника подтверждения успешного приема предыдущего блока данных перед тем как начать передачу следующего. В случае, если блок данных был принят с ошибкой, приемник передает отрицательное подтверждение (negative acknowledgement, NAK), и передатчик повторяет передачу блока. Данный метод подходит для полудуплексного канала связи. Его недостатком является низкая скорость из-за высоких накладных расходов на ожидание.

Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)

Для этого метода необходим полнодуплексный канал. Передача данных от передатчика к приемнику производится одновременно. В случае ошибки передача возобновляется, начиная с ошибочного блока (то есть, передается ошибочный блок и все последующие).

Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)

При этом подходе осуществляется передача только ошибочно принятых блоков данных.

См. также

Цифровая связь
Линейный код
Циклический код
Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема
Код Рида — Соломона
LDPC
Свёрточный код
Турбо-код

Литература

Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Радио и связь, 1979.
Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. М.: Мир, 1986.
Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2005. — ISBN 5-94836-035-0

Ссылки

Имеется викиучебник по теме:
Обнаружение и исправление ошибок

Помехоустойчивое кодирование (11 ноября 2001). — реферат по проблеме кодирования сообщений с исправлением ошибок. Проверено 25 декабря 2006.

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Обнаружение и исправление ошибок. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Дисциплина: ТЕХНОЛОГИИ ФИЗИЧЕСКОГО УРОВНЯ
ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ

Занятие №10

Методы обнаружения и коррекции ошибок
при передаче информации в компьютерных сетях.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ:

1. Обнаружение и коррекция ошибок

2. Методы обнаружения ошибок

3. Методы коррекции ошибок

4. Вопросы

Обнаружение и коррекция ошибок

Надежную передачу
информации обеспечивают различные методы. Основной

принцип работы протоколов, которые
обеспечивают надежность передачи информации —

повторная передача искаженных или потерянных
пакетов.

Такие протоколы
основаны на том, что приемник в состоянии распознать факт искажения информации
в принятом кадре информации.

Еще одним, более
эффективным подходом, чем повторная передача пакетов,

является использование самокорректирующихся
кодов, которые позволяют не только

обнаруживать, но и исправлять ошибки в
принятом кадре.

Методы обнаружения ошибок

Методы
обнаружения ошибок основаны на передаче в составе блока данных

избыточной служебной информации, по которой можно судить с некоторой степенью

вероятности о достоверности принятых данных. В
сетях с коммутацией пакетов такой

единицей информации может быть PDU
любого уровня, для определенности будем

считать, что мы контролируем кадры.

Избыточную
служебную информацию принято называть контрольной суммой,

или контрольной последовательностью
кадра (Frame Check Sequence, FCS).

Контрольная сумма
вычисляется как функция от основной информации, причем не

обязательно путем суммирования.

Принимающая
сторона повторно вычисляет контрольную сумму кадра по

известному алгоритму и в случае ее совпадения
с контрольной суммой, вычисленной

передающей стороной, делает вывод о том,
что данные были переданы через сеть

корректно.

Рассмотрим
несколько распространенных алгоритмов вычисления контрольной

суммы, отличающихся вычислительной
сложностью и способностью обнаруживать

ошибки в данных.

Контроль по
паритету.

Контроль по
паритету представляет собой наиболее простой метод контроля

данных. В то же время это наименее мощный
алгоритм контроля, так как с его помощью

можно обнаруживать только одиночные
ошибки в проверяемых данных.

Метод заключается в
суммировании по модулю 2 всех битов контролируемой информации.

Нетрудно заметить, что для информации,
состоящей из нечетного числа единиц,

контрольная сумма всегда равна 1, а при четном
числе единиц — 0.

Например, для данных 100101011 результатом контрольного суммирования будет

значение 1. Результат суммирования также
представляет собой один дополнительный бит

данных, который пересылается вместе с
контролируемой информацией. При искажении в

процессе пересылки любого одного бита исходных
данных (или контрольного разряда)

результат суммирования будет отличаться
от принятого контрольного разряда, что

говорит об ошибке.

Однако двойная
ошибка, например 110101010, будет неверно принята за

корректные данные.
Поэтому контроль по паритету применяется к небольшим порциям

данных, как правило, к каждому байту, что дает
коэффициент избыточности для этого

метода 1/8.

Метод редко
используется в компьютерных сетях из-за значительной

избыточности и невысоких диагностических
возможностей.

Вертикальный и
горизонтальный контроль по паритету

Вертикальный и
горизонтальный контроль по паритету представляет собой

модификацию описанного метода. Его отличие
состоит в том, что исходные данные

рассматриваются в виде матрицы, строки
которой составляют байты данных.

Контрольный разряд
подсчитывается отдельно для каждой строки и для каждого столбца

матрицы. Этот метод позволяет обнаруживать
большую часть двойных ошибок, однако он

обладает еще большей избыточностью. На
практике этот метод сейчас также почти не

применяется при передаче информации по сети.

Циклический избыточный контроль

Циклический
избыточный контроль (Cyclic Redundancy Check, CRC) является в

настоящее время наиболее популярным методом
контроля в вычислительных сетях (и не

только в сетях, например, этот метод широко
применяется при записи данных на гибкие и

жесткие диски).

Метод основан на
представлении исходных данных в виде одного многоразрядного

двоичного числа.

Например, кадр стандарта Ethernet, состоящий из 1024 байт, рассматривается как

одно число, состоящее из 8192 бит. Контрольной
информацией считается остаток от

деления этого числа на известный делитель R.
Обычно в качестве делителя выбирается

семнадцати- или тридцатитрехразрядное число,
чтобы остаток от деления имел длину 16

разрядов (2 байт) или 32 разряда (4 байт).

При получении кадра
данных снова вычисляется остаток от деления на тот же делитель R, но при этом к
данным кадра добавляется и содержащаяся в нем контрольная сумма.

Если остаток от
деления на R равен нулю, то делается вывод об отсутствии ошибок в полученном
кадре, в противном случае кадр считается искаженным.

Этот метод
обладает более высокой вычислительной сложностью, но его

диагностические возможности гораздо выше, чем
у методов контроля по паритету.

Этот метод
позволяет обнаруживать все одиночные ошибки, двойные ошибки и

ошибки в нечетном числе битов.

Метод обладает
также невысокой степенью избыточности. Например, для кадра

Ethernet размером 1024 байт контрольная
информация длиной 4 байт составляет только

0,4 %.

Методы коррекции ошибок

Техника
кодирования, которая позволяет приемнику не только понять, что

присланные данные содержат ошибки, но и
исправить их, называется прямой

коррекцией ошибок — (Forward Error Correction, FEC).

Коды, которые
обеспечивают прямую коррекцию ошибок, требуют введения большей избыточности в
передаваемые данные, чем коды, только обнаруживающие ошибки.

При применении
любого избыточного кода не все комбинации кодов являются

разрешенными. Например, контроль по паритету
делает разрешенными только половину

кодов.

Если мы
контролируем три информационных бита, то разрешенными 4-битными

кодами с дополнением до нечетного количества
единиц будут:

000 1, 001 0, 010 0, 011 1, 100
0, 101 1, 110 1, 111 0

То есть всего 8 кодов из 16 возможных.

Для того чтобы
оценить количество дополнительных битов, требуемых для

исправления ошибок, нужно знать так
называемое расстояние Хемминга между

разрешенными комбинациями кода.

Расстоянием
Хемминга называется минимальное число битовых разрядов, в

которых отличается любая пара разрешенных
кодов.

Для схем контроля
по паритету расстояние Хемминга равно 2.

Можно доказать, что если мы сконструировали
избыточный код с расстоянием

Хемминга, равным N, то
такой код будет в состоянии распознавать (N-1)-кратные
ошибки

и исправлять (N-1)/2-кратные
ошибки.

Так как коды с
контролем по паритету имеют расстояние Хемминга, равное 2, то

они могут только обнаруживать однократные
ошибки и не могут исправлять ошибки.

Коды Хемминга
эффективно обнаруживают и исправляют изолированные ошибки,

то есть отдельные искаженные биты,
которые разделены большим количеством

корректных битов.

Однако при
появлении длинной последовательности искаженных битов (пульсации

ошибок) коды Хемминга не работают.

Пульсации ошибок
характерны для беспроводных каналов, в которых применяют

сверточные коды.
Поскольку для распознавания наиболее вероятного корректного кода в

этом методе задействуется решетчатая
диаграмма, то такие коды еще называют

решетчатыми.

Эти коды
используются не только в беспроводных каналах, но и в модемах.

Методы прямой коррекции ошибок особенно
эффективны для технологий

физического уровня, которые не поддерживают
сложные процедуры повторной передачи

данных в случае их искажения.

Вопросы
:

1. Что называется контрольной
последовательностью кадра?

2. Что представляет собой контроль по
паритету?

3. Что представляет собой вертикальный и
горизонтальный контроль по паритету?

4. Что представляет собой циклический избыточный
контроль?

5. Что называется прямой коррекцией ошибок?

6. Что называется расстоянием Хемминга?

7. Какие коды называются решетчатыми?

8. Где используются решетчатые коды?

Контроль правильности передачи данных

Проверка
правильности передачи данных может
выполняться с использованием 3-х различных
подходов:

Обнаружение
ошибок.
Контроль
ошибок (обнаружение + попытка исправления
путем запроса повторной передачи
данных).
Исправление
ошибок (восстановление искаженных
данных без их повторной передачи).
Вместе с основной информацией по каналу
связи передаются дополнительные
контрольные данные, позволяющие
приемнику самому восстановить информацию
в случае ее искажения при передаче.

Простейшим
способом обнаружения ошибок при
асинхронной
последовательной передаче
является контроль
четности.

При
этом в состав кадра
вводится дополнительный служебный бит
— бит паритета (рис. 1).

Рис. 1.

Собственно
алгоритм обнаружения ошибок выглядит
следующим образом:

Действия
передатчика

Бит
паритета устанавливается в «0»
Подсчитывается
количество единиц во всех информационных
битах
Значение
бита паритета устанавливается таким,
чтобы полученная сумма плюс бит паритета
была четной

Действия
приемника

Подсчитывается
количество единиц во всех принятых
информационных битах полюс бит паритета.
Если
полученная сумма является четной,
данные приняты без искажений, в противном
случае имела место ошибка.

Достоинством
данного метода является его простота.
Недостатком — то, что он может определить
состояние ошибки, только если искажению
подверглось нечетное количество бит.
При искажении, например, двух бит в
символе, данный метод не выявит ошибки.
Тем не менее, он получил очень широкое
распространение и реализован на
аппаратном уровне в большинстве
современных асинхронных приемопередатчиков.

Метод
контроля четности может быть использован
также и при параллельной передаче
данных, если это необходимо. В этом
случае необходимо использовать
дополнительную линию связи для передачи
бита паритета.

Пакетный метод передачи данных по последовательному каналу

При
пакетном методе передачи информация
передается порциями, каждая порция
называется пакетом
(рис. 1).

Рис. 1.

Пакет
состоит из отдельных символов,
а символ состоит из определенного числа
бит.
В начале пакета находятся стартовые
символы, которые имеют фиксированное
значение. Они определяют момент начала
передачи пакета и позволяют выполнить
синхронизацию приемника
с передатчиком
аналогично варианту асинхронной
передачи. Далее идут информационные
символы, в которых отсутствуют служебные
биты. Далее — контрольные символы,
содержащие информацию, позволяющую
проверить правильность передачи
информационных символов. Стоп-символы
имеют также фиксированное значение и
прием последнего стоп-символа определяет
момент окончания передачи пакета.

При
таком способе с одной стороны отсутствуют
служебные биты в каждом символе (т.е.
сохраняется высокая скорость передачи
данных), с другой стороны существует
возможность синхронизации передатчика
и приемника. Данный способ является
своеобразным «гибридом» синхронной
и асинхронной передачи.

Управление последовательным каналом при полудуплексной связи

При
полудуплексном
режиме
последовательной
передачи,
передача данных возможна в обоих
направлениях, но не одновременно. Это
означает, что на обоих концах линии
связи установлены и приемник,
и передатчик.
Но так как линия связи одна, она
используется поочередно то одной парой
«приемник-передатчик» (для передачи
в одном направлении), то другой парой
(рис. 1).

Рис. 1.

Следовательно,
необходима процедура согласования
между двумя парами «приемник-передатчик»
для определения права на занятие линии
связи и недопущения одновременного
занятия линии двумя передатчиками.

Для
решения этой задачи используются два
дополнительных управляющих сигнала:
RTS
(Request To Send — запрос на передачу данных)
и CTS
(Clear To Send — разрешение передачи данных).
Устройство, желающее начать передачу
данных, устанавливает активным сигнал
RTS.
Второе устройство, если оно освободило
линию и готово к приему, устанавливает
в ответ сигнал CTS.
Таким образом, в полудуплексном обмене
передача может начаться только при
получении активного сигнала CTS
от устройства, находящегося на другом
конце линии.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Способы обнаружения ошибок при передаче данных

8. МЕТОДЫ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ КАНАЛЬНОГО УРОВНЯ

8.4. Методы обнаружения ошибок

Канальный уровень должен обнаруживать ошибки передачи данных, связанные с искажением бит в принятом кадре данных или с потерей кадра, и по возможности их корректировать.

Большая часть протоколов канального уровня выполняет только первую задачу — обнаружение ошибок, считая, что корректировать ошибки, то есть повторно передавать данные, содержавшие искаженную информацию, должны протоколы верхних уровней. Так работают такие популярные протоколы локальных сетей, как Ethernet , Token Ring , FDDI и другие. Однако существуют протоколы LLC2 или LAP-B самостоятельно решают задачу восстановления искаженных или потерянных кадров.

Однако наличие процедур восстановления данных требует от конечных узлов дополнительных вычислительных затрат, которые в условиях надежной работы сети являются избыточными.

Поэтому нельзя считать, что один протокол лучше другого потому, что он восстанавливает ошибочные кадры, а другой протокол — нет. Каждый протокол должен работать в тех условиях, для которых он разработан.

Все методы обнаружения ошибок основаны на передаче в составе кадра данных служебной избыточной информации, по которой можно судить о достоверности принятых данных. Эту служебную информации принято называть контрольной суммой (или последовательностью контроля кадра — Frame Check Sequence , PCS). Контрольная сумма вычисляется как функция от основной информации. Принимающая сторона повторно вычисляет контрольную сумму кадра по известному алгоритму и в случае ее совпадения с контрольной суммой, вычисленной передающей стороной, делает вывод о корректости переданных данных.

Существует несколько распространенных алгоритмов вычисления контрольной суммы, отличающихся вычислительной сложностью и способностью обнаруживать ошибки в данных.

Контроль по паритету представляет собой наиболее простой метод контроля данных. В то же время это наименее мощный алгоритм контроля, так как с его помощью можно обнаружить только одиночные ошибки в проверяемых данных. Метод заключается в суммировании по модулю 2 всех бит контролируемой информации. Например, для данных 100101011 результатом контрольного суммирования будет значение 1. Результат суммирования также представляет собой один бит данных, который пересылается вместе с контролируемой информацией. При искажении при пересылке любого одного бита исходных данных (или контрольного разряда) результат суммирования будет отличаться от принятого контрольного разряда, что говорит об ошибке. Однако двойная ошибка, например 110101010, будет неверно принята за корректные данные. Поэтому контроль по паритету применяется к небольшим порциям данных, как правило, к каждому байту, что дает коэффициент избыточности для этого метода 1/8. Метод редко применяется в вычислительных сетях из-за его большой избыточности и невысоких диагностических способностей.

Вертикальный и горизонтальный контроль по паритету представляет собой модификацию описанного выше метода. Его отличие состоит в том, что исходные данные рассматриваются в виде матрицы, строки которой составляют байты данных. Контрольный разряд подсчитывается отдельно для каждой строки и для каждого столбца матрицы. Этот метод обнаруживает большую часть двойных ошибок, однако обладает еще большей избыточностью. На практике сейчас почти не применяется.

Циклический избыточный контроль ( Cyclic Redundancy Check , CRC) является в настоящее время наиболее популярным методом контроля в вычислительных сетях (и не только в сетях, например, этот метод широко применяется при записи данных на диски и дискеты). Метод основан на рассмотрении исходных данных в виде одного многоразрядного двоичного числа. Например, кадр стандарта Ethernet , состоящий из 1024 байт, будет рассматриваться как одно число, состоящее из 8192 бит . В качестве контрольной информации рассматривается остаток от деления этого числа на известный делитель R. Обычно в качестве делителя выбирается семнадцати- или тридцати трехразрядное число, чтобы остаток от деления имел длину 16 разрядов (2 байт) или 32 разряда (4 байт). При получении кадра данных снова вычисляется остаток от деления на тот же делитель R, но при этом к данным кадра добавляется и содержащаяся в нем контрольная сумма. Если остаток от деления на R равен нулю, то делается вывод об отсутствии ошибок в полученном кадре, в противном случае кадр считается искаженным.

Этот метод обладает более высокой вычислительной сложностью, но его диагностические возможности гораздо выше, чем у методов контроля по паритету. Метод CRC обнаруживает все одиночные ошибки, двойные ошибки и ошибки в нечетном числе бит. Метод обладает также невысокой степенью избыточности. Например, для кадра Ethernet размером в 1024 байт контрольная информация длиной в 4 байт составляет только 0,4 %.

Источник

Способы обнаружения и устранения ошибок при передачи данных в сетях.

Ошибки связаны с искажением бит в кадре или с потерей кадра. Методы обнаружения ошибок основаны на передаче в составе кадра избыточной информации (контрольных разрядов). Кр вычисляются в передатчике как функция от информационных разрядов(ир). Приемник повторно вычисляет кр по тому же алгоритму и при несовпадении с полученными кр фиксируется ошибка. Методы вычисления кр: контроль по паритету(обнаруживает одиночные и нечетное количество ошибок – контроль по четности, по нечетности), вертикальный и горизонтальный контроль по паритету (обнаруживается большая часть двойных ошибок, велика избыточность), контрольная сумма (передатчик дополняет сумму всех байт кадра до 0 или FF, приемник суммирует по модулю равному разрядности контрольного кода, включая кр, вероятность обнаружения ошибок 99,6%, уменьшается при увеличении разрядности кода), циклический контроль(исходные данные предоставляются многоразрядным двоичным числом в качестве кр берется остаток от деления этого числа на известный делитель, при приеме снова вычисляется остаток от деления на тот же делитель, но делятся данные кадры с полученным кр, если остаток = 0, то ошибки нет, если не =, то ошибка. Обнаруживаются одиночные, двойные и ошибки в нечетном числе бит.)

Методы исправления ошибок основаны на повторной передаче кадра данных. Отправитель нумерует посылаемые кадры и для каждого ожидает положительной квитанции (служебного кадра «ошибок нет»). При получении искаженного кадра приемник посылает отрицательную квитанцию, указывающую, что кадр надо передать повторно. При отправки каждого кадра передатчик запускает таймер, и если по его истечении не получена квитанция, то кадр (возможно квитанция) утерян и выполняется повторная передача. Методы исправления: метод с простоями (передатчик ожидает положительной квитанции и только после этого посылает следующий кадр, иначе повторяет передачу, +: надежность передачи, -: уменьшение производительности), метод скользящего окна (при отправке кадра источнику разрешается до получения квитанции на кадр передать еще некоторое количество кадров, если за это время квитанция так и не пришла, то передача приостанавливается и кадр передается снова, +: увеличивается скорость обмена, -: передатчик должен хранить в буфере все кадры на которые нет квитанций, надо отслеживать номер кадра на который пришла квитанция и номер кадра который можно передать до получения следующей квитанции).

IP адресация: классы сетей, деление на сети и подсети, маски подсетей.

В современных сетях для адресации узлов одновременно используются аппаратные, числовые и символьные адреса. Пользователи адресуют комп-ы с символьными адресами, которые автоматически заменяются в сообщениях передаваемых по сети на числовые адреса. После доставки в сеть назначения вместо числового адреса используется аппаратный адрес комп-а. типы адресов: лок адреса- используются для доставки сообщений в пределах подсети, IP адреса – используются для передачи пакетов между сетями, DNS-имя – символьные адреса с их помощью пользователи адресуют комп-ы.

4 класса IP-адресов: А(1 сеть 10.0.0.0), В(16 сетей 172.16.0.0-172.31.0.0), С(255 сетей 192.161.0.0-192.161.255.0).

Ограничение на IP-адреса узлов и сетей: 1) ни номер сети, ни номер узла не равны всем двоичным 0 или 1. 2)127.х.х.х – запрещен для узлов и сетей, т.к. используется для тестирования программ и взаимодействия процессов в пределах 1 комп-а 3)групповой адрес не содержит ни номера сети, ни номера узла.

Маска – содержит непрерывную последовательность двоичных единиц в тех разрядах, которые в IP адресе и непрерывную последовательность нулей в тех разрядах, которые соответствуют номеру узла.

+ : маска позволяет отказаться от класса адресов, маска используется в маршрутизаторе, маска позволяет администратору структурировать сеть, т.е. делить ее на подсети не требуя от поставщика услуг доп адреса, поставщики услуг могут объединять адресное пространство лс вводя прификсы, уменьшая объем маршрутизации.

Порядок назначения адресов — номера сетей назначаются: централизованно(поставщиками услуг), произвольно(если сеть работает автономно), номера узлов администратор назначает произвольно в пределах разрешенного диапазона адресов, для лок сетей зарезервированы адреса трех классов.

Сетевая технология Ethernet: физический и канальный уровни. Метод доступа CSMA/CD. Обработка коллизий. Топологии. Адресация. Формат кадров.

CSMA/CD реализуется сетевым адаптером аппаратно или микропрограммно, он используется в лс с логической общей шиной, включая радио сети. Сетевой адаптер прослушивает разделяемую среду, признаком ее незанятости является отсутствие несущей, т.е. основной гармоники сигнала. Частота несущей 5-10 МГц, при манчестерском кодировании, если среда не занята, сетевой адаптер передает кадр, который распространяется в обе стороны, после окончания передачи кадра все узлы выдерживают технологическую паузу. Если 2 и более станции передают кадр, возникает коллизия. Приемник обнаруживает коллизию по длине кадра меньше 64Б, а передатчик по несовпадению передаваемых и наблюдаемых сигналов. После этого сетевой адаптер прерывает передачу и усиливает коллизию, посылая jam-последовательность в 32 бита для оповещения других станций, затем сетевой адаптер делает случайную паузу. После 16 неудачных попыток кадр отбрасывается.

Формат кадра: сетевые адаптеры и их драйверы, мосты, коммутаторы, и маршрутизаторы работают со всеми форматами кадров. а) кадр 802.3/LLC: преамбула(необходима для синхронизации приемника и передатчика), SFD (начальный ограничитель кадра), DA (адрес назначения индивидуальный, широковещательный, групповой), SA (адрес источника), L(длина поля данных в байтах), FCS(контрольные разряды CRC). б) кадр Raw802.3/Novell 802.3 такой же как и предыдущий, но без вложенного LLC кадра. в) Ethernet DIX(II) = (б), но вместо поля L, поле Т (тип протокола верхнего уровня, вложившего свой пакет в поле данных кадра). г) Ethernet SWAP – расширение кадра (а), введением заголовка SWAP, который вложен в протокол LLC.

Топологии: шина, звезда с активным центром, двухстороннее соединение пары узлов без хаба, дерево.

Скорость – 10 Мб/с, мах диаметр сети 2500м, мах число станций в сети 1024

Стандарты Ethernet 10 Мб/с.

Толстый коксиал, диаметр 0,5, топология – шина, сегмент кабеля ограничивают терминаторы (заглушки), поглощающие сигналы и препятствующие возникновению отраженных сигналов, трансиверы – с их помощью станции подключаются к кабелю, функции трансивера – приемо-передача данных, определение коллизий по уровню постоянной составляющей, гальваническая развязка, контроль болтливости (если из-за неисправности повышается мах время передачи кадра, то трансивер отсоединяет кабель от передатчика). Повторитель побитно синхронно повторяет сигналы с одного сегмент в другой, улучшая их форму и мощность и синхронизируя их.

Правило «5-4-3» — мах конфигурация стандарта: 5- мах число сегментов, 4- мах число повторителей, 3- мах число нагруженных сегментов. Мах диаметр сети 2500м, мах число узлов 297.

Тонкий коксиал, BNST коннектор – это тройник, одна точка которого соединяется с СА, 2 других с точками разрыва.

Мах диаметр сети – 925м, мах число уровней – 87

Общий недостаток отсутствие оперативной информации о состоянии моноканала. Повреждение кабеля обнаруживается по неработоспособности сети, а поиск – кабельным тестером.

Топология – звезда с активным центром

Мах длина сегмента 100м, определяется полосой пропускания UTP позволяющей передавать данные в манчестерском коде со скоростью 10 Мб/с на 100м мах. Hub выполняет функции повторителя сигналов на всех отрезках подключенных к его портам, обнаруживает коллизию.

Правило 4 хабов. Мах число хабов между любыми двумя станциями равно 4. можно соединять в древовидную структуру. Петли, замкнутые контуры запрещены.

Мах диаметр сети 500м, мах число узлов 1024 достигается в двухуровневом соединении хабов.

Структура, топология как предыдущий.

Стандарты: FOIRL- мах длина сегмента 1000м мах диаметр сети 2500м, 10Base-FL- мах длина сегмента 2000м мах диаметр сети 2500м, 10Base-FB только для соединения «5 хабов», мах длина сегментов 2000м, мах диаметр сети 2740м.

Источник

ИТ База знаний

Курс по Asterisk

Полезно

— Узнать IP — адрес компьютера в интернете

— Онлайн генератор устойчивых паролей

— Онлайн калькулятор подсетей

— Калькулятор инсталляции IP — АТС Asterisk

— Руководство администратора FreePBX на русском языке

— Руководство администратора Cisco UCM/CME на русском языке

— Руководство администратора по Linux/Unix

Серверные решения

Телефония

FreePBX и Asterisk

Настройка программных телефонов

Корпоративные сети

Протоколы и стандарты

Ошибки в компьютерных сетях

12 минут чтения

Онлайн курс по Кибербезопасности

Изучи хакерский майндсет и научись защищать свою инфраструктуру! Самые важные и актуальные знания, которые помогут не только войти в ИБ, но и понять реальное положение дел в индустрии

Ни одна среда передачи данных не может считаться совершенной. Если среда передачи является общей, как радиочастота (RF), существует возможность возникновения помех или даже столкновений дейтаграмм. Это когда несколько отправителей пытаются передать информацию одновременно. Результатом является искаженное сообщение, которое не может быть понято предполагаемым получателем. Даже специализированная среда, такая как подводный оптический кабель типа point-to-point (световолновой), может испытывать ошибки из—за деградации кабеля или точечных событий-даже, казалось бы, безумных событий, таких как солнечные вспышки, вызывающие излучение, которое, в свою очередь, мешает передаче данных по медному кабелю.

Существует два ключевых вопроса, на которые сетевой транспорт должен ответить в области ошибок:

Как можно обнаружить ошибки при передаче данных?
Что должна делать сеть с ошибками при передаче данных?

Далее рассматриваются некоторые из возможных ответов на эти вопросы.

Обнаружение ошибок

Первый шаг в работе с ошибками, независимо от того, вызваны ли они отказом носителя передачи, повреждением памяти в коммутационном устройстве вдоль пути или любой другой причиной, заключается в обнаружении ошибки. Проблема, конечно, в том, что когда получатель изучает данные, которые он получает, нет ничего, с чем можно было бы сравнить эти данные, чтобы обнаружить ошибку.

Проверка четности — это самый простой механизм обнаружения. Существуют два взаимодополняющих алгоритма проверки четности. При четной проверке четности к каждому блоку данных добавляется один дополнительный бит. Если сумма битов в блоке данных четная—то есть если в блоке данных имеется четное число битов 1, то дополнительный бит устанавливается равным 0. Это сохраняет четное состояние четности блока. Если сумма битов нечетна, то дополнительный бит устанавливается равным 1, что переводит весь блок в состояние четной четности. Нечетная четность использует ту же самую дополнительную битную стратегию, но она требует, чтобы блок имел нечетную четность (нечетное число 1 бит). В качестве примера вычислите четную и нечетную четность для этих четырех октетов данных:

Простой подсчет цифр показывает, что в этих данных есть 14 «1» и 18 «0». Чтобы обеспечить обнаружение ошибок с помощью проверки четности, вы добавляете один бит к данным, либо делая общее число «1» в недавно увеличенном наборе битов четным для четной четности, либо нечетным для нечетной четности. Например, если вы хотите добавить четный бит четности в этом случае, дополнительный бит должен быть установлен в «0». Это происходит потому, что число «1» уже является четным числом. Установка дополнительного бита четности на «0» не добавит еще один «1» и, следовательно, не изменит, является ли общее число «1» четным или нечетным. Таким образом, для четной четности конечный набор битов равен:

С другой стороны, если вы хотите добавить один бит нечетной четности к этому набору битов, вам нужно будет сделать дополнительный бит четности «1», так что теперь есть 15 «1», а не 14. Для нечетной четности конечный набор битов равен:

Чтобы проверить, были ли данные повреждены или изменены при передаче, получатель может просто отметить, используется ли четная или нечетная четность, добавить число «1» и отбросить бит четности. Если число «1» не соответствует используемому виду четности (четное или нечетное), данные повреждены; в противном случае данные кажутся такими же, как и первоначально переданные.

Этот новый бит, конечно, передается вместе с оригинальными битами. Что произойдет, если сам бит четности каким-то образом поврежден? Это на самом деле нормально — предположим, что даже проверка четности на месте, и передатчик посылает

Приемник, однако, получает

Сам бит четности был изменен с 0 на 1. Приемник будет считать «1», определяя, что их 15. Поскольку даже проверка четности используется, полученные данные будут помечены как имеющие ошибку, даже если это не так. Проверка на четность потенциально слишком чувствительна к сбоям, но в случае обнаружения ошибок лучше ошибиться в начале.

Есть одна проблема с проверкой четности: она может обнаружить только один бит в передаваемом сигнале. Например, если даже четность используется, и передатчик отправляет

Приемник, однако, получает

Приемник подсчитает число «1» и обнаружит, что оно равно 12. Поскольку система использует четную четность, приемник будет считать данные правильными и обработает их в обычном режиме. Однако оба бита, выделенные жирным шрифтом, были повреждены. Если изменяется четное число битов в любой комбинации, проверка четности не может обнаружить изменение; только когда изменение включает нечетное число битов, проверка четности может обнаружить изменение данных.

Циклическая проверка избыточности (Cyclic Redundancy Check — CRC) может обнаруживать более широкий диапазон изменений в передаваемых данных, используя деление (а не сложение) в циклах по всему набору данных, по одной небольшой части за раз. Работа с примером — лучший способ понять, как рассчитывается CRC. Расчет CRC начинается с полинома, как показано на рисунке 1.

На рис. 1 трехчленный многочлен x3 + x2 + 1 расширен, чтобы включить все члены, включая члены, предшествующие 0 (и, следовательно, не влияют на результат вычисления независимо от значения x). Затем эти четыре коэффициента используются в качестве двоичного калькулятора, который будет использоваться для вычисления CRC.

Чтобы выполнить CRC, начните с исходного двоичного набора данных и добавьте три дополнительных бита (поскольку исходный полином без коэффициентов имеет три члена; следовательно, это называется трехбитной проверкой CRC), как показано здесь:

Эти три бита необходимы для обеспечения того, чтобы все биты в исходных данных были включены в CRC; поскольку CRC перемещается слева направо по исходным данным, последние биты в исходных данных будут включены только в том случае, если эти заполняющие биты включены. Теперь начните с четырех битов слева (потому что четыре коэффициента представлены в виде четырех битов). Используйте операцию Exclusive OR (XOR) для сравнения крайних левых битов с битами CRC и сохраните результат, как показано здесь:

XOR’инг двух двоичных цифр приводит к 0, если эти две цифры совпадают, и 1, если они не совпадают. Контрольные биты, называемые делителем, перемещаются на один бит вправо (некоторые шаги здесь можно пропустить), и операция повторяется до тех пор, пока не будет достигнут конец числа:

CRC находится в последних трех битах, которые были первоначально добавлены в качестве заполнения; это «остаток» процесса разделения перемещения по исходным данным плюс исходное заполнение. Получателю несложно определить, были ли данные изменены, оставив биты CRC на месте (в данном случае 101) и используя исходный делитель поперек данных, как показано здесь:

Если данные не были изменены, то результат этой операции всегда должен быть равен 0. Если бит был изменен, результат не будет равен 0, как показано здесь:

Исправление ошибок

Однако обнаружение ошибки — это только половина проблемы. Как только ошибка обнаружена, что должна делать транспортная система? Есть, по существу, три варианта.

Транспортная система может просто выбросить данные. В этом случае транспорт фактически переносит ответственность за ошибки на протоколы более высокого уровня или, возможно, само приложение. Поскольку некоторым приложениям может потребоваться полный набор данных без ошибок (например, система передачи файлов или финансовая транзакция), у них, вероятно, будет какой-то способ обнаружить любые пропущенные данные и повторно передать их. Приложения, которые не заботятся о небольших объемах отсутствующих данных (например, о голосовом потоке), могут просто игнорировать отсутствующие данные, восстанавливая информацию в приемнике, насколько это возможно, с учетом отсутствующей информации.

Транспортная система может подать сигнал передатчику, что произошла ошибка, и позволить передатчику решить, что делать с этой информацией (как правило, данные при ошибке будут повторно переданы).

Транспортная система может выйти за рамки отбрасывания данных, включив достаточное количество информации в исходную передачу, определить, где находится ошибка, и попытаться исправить ее. Это называется Прямой коррекцией ошибок (Forward Error Correction — FEC). Коды Хэмминга, один из первых разработанных механизмов FEC, также является одним из самых простых для объяснения.

Код Хэмминга лучше всего объяснить на примере — для иллюстрации будет использована таблица 1.

Каждый бит в 12-битном пространстве, представляющий собой степень двух (1, 2, 4, 6, 8 и т. д.) и первый бит, устанавливается в качестве битов четности.
8-битное число, которое должно быть защищено с помощью FEC, 10110011, распределено по оставшимся битам в 12-битном пространстве.
Каждый бит четности устанавливается равным 0, а затем четность вычисляется для каждого бита четности путем добавления числа «1» в позиции, где двоичный бит имеет тот же бит, что и бит четности. В частности:
- P1 имеет набор крайних правых битов в своем битовом номере; другие биты в числовом пространстве, которые также имеют набор крайних правых битов, включены в расчет четности (см. вторую строку таблицы, чтобы найти все позиции битов в номере с набором крайних правых битов). Они указаны в таблице с X в строке P1. Общее число «1»-нечетное число, 3, поэтому бит P1 устанавливается равным 1 (в этом примере используется четная четность).
- P2 имеет второй бит из правого набора; другие биты в числовом пространстве, которые имеют второй из правого набора битов, включены в расчет четности, как указано с помощью X в строке P2 таблицы. Общее число «1»-четное число, 4, поэтому бит P2 установлен в 0.
- P4 имеет третий бит из правого набора, поэтому другие биты, которые имеют третий бит из правого набора, имеют свои номера позиций, как указано с помощью X в строке P3. В отмеченных столбцах есть нечетное число «1», поэтому бит четности P4 установлен на 1.

Чтобы определить, изменилась ли какая-либо информация, получатель может проверить биты четности таким же образом, как их вычислял отправитель; общее число 1s в любом наборе должно быть четным числом, включая бит четности. Если один из битов данных был перевернут, приемник никогда не должен найти ни одной ошибки четности, потому что каждая из битовых позиций в данных покрыта несколькими битами четности. Чтобы определить, какой бит данных является неправильным, приемник добавляет позиции битов четности, которые находятся в ошибке; результатом является положение бита, которое было перевернуто. Например, если бит в позиции 9, который является пятым битом данных, перевернут, то биты четности P1 и P8 будут ошибочными. В этом случае 8 + 1 = 9, так что бит в позиции 9 находится в ошибке, и его переворачивание исправит данные. Если один бит четности находится в ошибке—например, P1 или P8—то это тот бит четности, который был перевернут, и сами данные верны.

В то время как код Хэмминга гениален, есть много битовых шаблонов-перевертышей, которые он не может обнаружить. Более современный код, такой как Reed-Solomon, может обнаруживать и исправлять более широкий диапазон условий ошибки, добавляя меньше дополнительной информации в поток данных.

Существует большое количество различных видов CRC и кодов исправления ошибок, используемых во всем мире связи. Проверки CRC классифицируются по количеству битов, используемых в проверке (количество битов заполнения или, точнее, длины полинома), а в некоторых случаях — по конкретному применению. Например, универсальная последовательная шина использует 5-битный CRC (CRC-5-USB); Глобальная система мобильной связи (GSM), широко используемый стандарт сотовой связи, использует CRC-3-GSM; Мультидоступ с кодовым разделением каналов (CDMA), другой широко используемый стандарт сотовой связи, использует CRC-6-CDMA2000A, CRC-6-CDMA2000B и CRC-30; и некоторые автомобильные сети (CAN), используемые для соединения различных компонентов в автомобиле, используют CRC-17-CAN и CRC-21-CAN. Некоторые из этих различных функций CRC являются не единственной функцией, а скорее классом или семейством функций со многими различными кодами и опциями внутри них.

Полный курс по Сетевым Технологиям

В курсе тебя ждет концентрат ТОП 15 навыков, которые обязан знать ведущий инженер или senior Network Operation Engineer

Источник

Методы обнаружения ошибок

Методы восстановления искаженных и потерянных кадров

Существуют два подхода к организации процесса обмена квитанциями: с
простоями и с организацией «окна».

Рис. 2.24. Методы восстановления искаженных и
потерянных кадров

Кадры с номерами от 1 доп. уже были отправлены и квитанции на них
получены, то есть они находятся за пределами окна слева.
Кадры, начиная с номера (п+1) и кончая номером
(W+n), находятся в пределах окна и
потому могут быть отправлены не дожидаясь прихода какой-либо квитанции.
Этот диапазон может быть разделен еще на два поддиапазона:

кадры с номерами от (n+1) до
т, которые уже отправлены, но квитанции на них еще не получены;
кадры с номерами от m до
(W+n), которые пока не отправлены, хотя запрета на это нет.

Все кадры с номерами, большими или равными
(W+n+1), находятся за пределами окна
справа и поэтому пока не могут быть отправлены.

Метод скользящего окна реализован во многих протоколах: LLC2, LAP-B, X.25,
TCP, Novell NCP Burst Mode.

Метод с простоями является частным случаем метода скользящего окна, когда
размер окна равен единице.

Выбор тайм-аута зависит не от надежности сети, а от задержек передачи
кадров сетью.

Data-link layer uses error control techniques to ensure that frames, i.e. bit streams of data, are transmitted from the source to the destination with a certain extent of accuracy.

Errors

Types of Errors

Errors can be of three types, namely single bit errors, multiple bit errors, and burst errors.

Single bit error − In the received frame, only one bit has been corrupted, i.e. either changed from 0 to 1 or from 1 to 0.
Multiple bits error − In the received frame, more than one bits are corrupted.
Burst error − In the received frame, more than one consecutive bits are corrupted.

Error Control

Error control can be done in two ways

Error detection − Error detection involves checking whether any error has occurred or not. The number of error bits and the type of error does not matter.
Error correction − Error correction involves ascertaining the exact number of bits that has been corrupted and the location of the corrupted bits.

Error Detection Techniques

There are three main techniques for detecting errors in frames: Parity Check, Checksum and Cyclic Redundancy Check (CRC).

Parity Check

The parity check is done by adding an extra bit, called parity bit to the data to make a number of 1s either even in case of even parity or odd in case of odd parity.

While creating a frame, the sender counts the number of 1s in it and adds the parity bit in the following way

In case of even parity: If a number of 1s is even then parity bit value is 0. If the number of 1s is odd then parity bit value is 1.
In case of odd parity: If a number of 1s is odd then parity bit value is 0. If a number of 1s is even then parity bit value is 1.

The parity check is suitable for single bit error detection only.

Checksum

In this error detection scheme, the following procedure is applied

Data is divided into fixed sized frames or segments.
The sender adds the segments using 1’s complement arithmetic to get the sum. It then complements the sum to get the checksum and sends it along with the data frames.
The receiver adds the incoming segments along with the checksum using 1’s complement arithmetic to get the sum and then complements it.
If the result is zero, the received frames are accepted; otherwise, they are discarded.

Cyclic Redundancy Check (CRC)

Cyclic Redundancy Check (CRC) involves binary division of the data bits being sent by a predetermined divisor agreed upon by the communicating system. The divisor is generated using polynomials.

Here, the sender performs binary division of the data segment by the divisor. It then appends the remainder called CRC bits to the end of the data segment. This makes the resulting data unit exactly divisible by the divisor.
The receiver divides the incoming data unit by the divisor. If there is no remainder, the data unit is assumed to be correct and is accepted. Otherwise, it is understood that the data is corrupted and is therefore rejected.

Error Correction Techniques

Error correction techniques find out the exact number of bits that have been corrupted and as well as their locations. There are two principle ways

Backward Error Correction (Retransmission) − If the receiver detects an error in the incoming frame, it requests the sender to retransmit the frame. It is a relatively simple technique. But it can be efficiently used only where retransmitting is not expensive as in fiber optics and the time for retransmission is low relative to the requirements of the application.
Forward Error Correction − If the receiver detects some error in the incoming frame, it executes error-correcting code that generates the actual frame. This saves bandwidth required for retransmission. It is inevitable in real-time systems. However, if there are too many errors, the frames need to be retransmitted.

The four main error correction codes are

Hamming Codes
Binary Convolution Code
Reed – Solomon Code
Low-Density Parity-Check Code

Data-link layer uses error control techniques to ensure that frames, i.e. bit streams of data, are transmitted from the source to the destination with a certain extent of accuracy.

Errors

Types of Errors

Errors can be of three types, namely single bit errors, multiple bit errors, and burst errors.

Single bit error − In the received frame, only one bit has been corrupted, i.e. either changed from 0 to 1 or from 1 to 0.
Multiple bits error − In the received frame, more than one bits are corrupted.
Burst error − In the received frame, more than one consecutive bits are corrupted.

Error Control

Error control can be done in two ways

Error detection − Error detection involves checking whether any error has occurred or not. The number of error bits and the type of error does not matter.
Error correction − Error correction involves ascertaining the exact number of bits that has been corrupted and the location of the corrupted bits.

Error Detection Techniques

There are three main techniques for detecting errors in frames: Parity Check, Checksum and Cyclic Redundancy Check (CRC).

Parity Check

The parity check is done by adding an extra bit, called parity bit to the data to make a number of 1s either even in case of even parity or odd in case of odd parity.

While creating a frame, the sender counts the number of 1s in it and adds the parity bit in the following way

In case of even parity: If a number of 1s is even then parity bit value is 0. If the number of 1s is odd then parity bit value is 1.
In case of odd parity: If a number of 1s is odd then parity bit value is 0. If a number of 1s is even then parity bit value is 1.

The parity check is suitable for single bit error detection only.

Checksum

In this error detection scheme, the following procedure is applied

Data is divided into fixed sized frames or segments.
The sender adds the segments using 1’s complement arithmetic to get the sum. It then complements the sum to get the checksum and sends it along with the data frames.
The receiver adds the incoming segments along with the checksum using 1’s complement arithmetic to get the sum and then complements it.
If the result is zero, the received frames are accepted; otherwise, they are discarded.

Cyclic Redundancy Check (CRC)

Cyclic Redundancy Check (CRC) involves binary division of the data bits being sent by a predetermined divisor agreed upon by the communicating system. The divisor is generated using polynomials.

Here, the sender performs binary division of the data segment by the divisor. It then appends the remainder called CRC bits to the end of the data segment. This makes the resulting data unit exactly divisible by the divisor.
The receiver divides the incoming data unit by the divisor. If there is no remainder, the data unit is assumed to be correct and is accepted. Otherwise, it is understood that the data is corrupted and is therefore rejected.

Error Correction Techniques

Error correction techniques find out the exact number of bits that have been corrupted and as well as their locations. There are two principle ways

Backward Error Correction (Retransmission) − If the receiver detects an error in the incoming frame, it requests the sender to retransmit the frame. It is a relatively simple technique. But it can be efficiently used only where retransmitting is not expensive as in fiber optics and the time for retransmission is low relative to the requirements of the application.
Forward Error Correction − If the receiver detects some error in the incoming frame, it executes error-correcting code that generates the actual frame. This saves bandwidth required for retransmission. It is inevitable in real-time systems. However, if there are too many errors, the frames need to be retransmitted.

The four main error correction codes are

Hamming Codes
Binary Convolution Code
Reed – Solomon Code
Low-Density Parity-Check Code

Корректирующие (или помехоустойчивые) коды — это коды, которые могут обнаружить и, если повезёт, исправить ошибки, возникшие при передаче данных. Даже если вы ничего не слышали о них, то наверняка встречали аббревиатуру CRC в списке файлов в ZIP-архиве или даже надпись ECC на планке памяти. А кто-то, может быть, задумывался, как так получается, что если поцарапать DVD-диск, то данные всё равно считываются без ошибок. Конечно, если царапина не в сантиметр толщиной и не разрезала диск пополам.

Как нетрудно догадаться, ко всему этому причастны корректирующие коды. Собственно, ECC так и расшифровывается — «error-correcting code», то есть «код, исправляющий ошибки». А CRC — это один из алгоритмов, обнаруживающих ошибки в данных. Исправить он их не может, но часто это и не требуется.

Давайте же разберёмся, что это такое.

Для понимания статьи не нужны никакие специальные знания. Достаточно лишь понимать, что такое вектор и матрица, как они перемножаются и как с их помощью записать систему линейных уравнений.

Внимание! Много текста и мало картинок. Я постарался всё объяснить, но без карандаша и бумаги текст может показаться немного запутанным.

Каналы с ошибкой

Разберёмся сперва, откуда вообще берутся ошибки, которые мы собираемся исправлять. Перед нами стоит следующая задача. Нужно передать несколько блоков данных, каждый из которых кодируется цепочкой двоичных цифр. Получившаяся последовательность нулей и единиц передаётся через канал связи. Но так сложилось, что реальные каналы связи часто подвержены ошибкам. Вообще говоря, ошибки могут быть разных видов — может появиться лишняя цифра или какая-то пропасть. Но мы будем рассматривать только ситуации, когда в канале возможны лишь замены нуля на единицу и наоборот. Причём опять же для простоты будем считать такие замены равновероятными.

Ошибка — это маловероятное событие (а иначе зачем нам такой канал вообще, где одни ошибки?), а значит, вероятность двух ошибок меньше, а трёх уже совсем мала. Мы можем выбрать для себя некоторую приемлемую величину вероятности, очертив границу «это уж точно невозможно». Это позволит нам сказать, что в канале возможно не более, чем $k$ ошибок. Это будет характеристикой канала связи.

Для простоты введём следующие обозначения. Пусть данные, которые мы хотим передавать, — это двоичные последовательности фиксированной длины. Чтобы не запутаться в нулях и единицах, будем иногда обозначать их заглавными латинскими буквами ( $A$ , $B$ , $C$ , …). Что именно передавать, в общем-то неважно, просто с буквами в первое время будет проще работать.

Кодирование и декодирование будем обозначать прямой стрелкой (), а передачу по каналу связи — волнистой стрелкой (). Ошибки при передаче будем подчёркивать.

Например, пусть мы хотим передавать только сообщения $A=0$ и $B=1$ . В простейшем случае их можно закодировать нулём и единицей (сюрприз!):

Передача по каналу, в котором возникла ошибка будет записана так:

Цепочки нулей и единиц, которыми мы кодируем буквы, будем называть кодовыми словами. В данном простом случае кодовые слова — это $0$ и $1$ .

Код с утроением

Давайте попробуем построить какой-то корректирующий код. Что мы обычно делаем, когда кто-то нас не расслышал? Повторяем дважды:

Правда, это нам не очень поможет. В самом деле, рассмотрим канал с одной возможной ошибкой:

Какие выводы мы можем сделать, когда получили $01$ ? Понятно, что раз у нас не две одинаковые цифры, то была ошибка, но вот в каком разряде? Может, в первом, и была передана буква $B$ . А может, во втором, и была передана $A$ .

То есть, получившийся код обнаруживает, но не исправляет ошибки. Ну, тоже неплохо, в общем-то. Но мы пойдём дальше и будем теперь утраивать цифры.

Проверим в деле:

Получили $010$ . Тут у нас есть две возможности: либо это $B$ и было две ошибки (в крайних цифрах), либо это $A$ и была одна ошибка. Вообще, вероятность одной ошибки выше вероятности двух ошибок, так что самым правдоподобным будет предположение о том, что передавалась именно буква $A$ . Хотя правдоподобное — не значит истинное, поэтому рядом и стоит вопросительный знак.

Если в канале связи возможна максимум одна ошибка, то первое предположение о двух ошибках становится невозможным и остаётся только один вариант — передавалась буква $A$ .

Про такой код говорят, что он исправляет одну ошибку. Две он тоже обнаружит, но исправит уже неверно.

Это, конечно, самый простой код. Кодировать легко, да и декодировать тоже. Ноликов больше — значит передавался ноль, единичек — значит единица.

Если немного подумать, то можно предложить код исправляющий две ошибки. Это будет код, в котором мы повторяем одиночный бит 5 раз.

Расстояния между кодами

Рассмотрим поподробнее код с утроением. Итак, мы получили работающий код, который исправляет одиночную ошибку. Но за всё хорошее надо платить: он кодирует один бит тремя. Не очень-то и эффективно.

И вообще, почему этот код работает? Почему нужно именно утраивать для устранения одной ошибки? Наверняка это всё неспроста.

Давайте подумаем, как этот код работает. Интуитивно всё понятно. Нолики и единички — это две непохожие последовательности. Так как они достаточно длинные, то одиночная ошибка не сильно портит их вид.

Пусть мы передавали $000$ , а получили $001$ . Видно, что эта цепочка больше похожа на исходные $000$ , чем на $111$ . А так как других кодовых слов у нас нет, то и выбор очевиден.

Но что значит «больше похоже»? А всё просто! Чем больше символов у двух цепочек совпадает, тем больше их схожесть. Если почти все символы отличаются, то цепочки «далеки» друг от друга.

Можно ввести некоторую величину , равную количеству различающихся цифр в соответствующих разрядах цепочек $alpha$ и $beta$ . Эту величину называют расстоянием Хэмминга. Чем больше это расстояние, тем меньше похожи две цепочки.

Например, , так как все цифры в соответствующих позициях равны, а вот .

Расстояние Хэмминга называют расстоянием неспроста. Ведь в самом деле, что такое расстояние? Это какая-то характеристика, указывающая на близость двух точек, и для которой верны утверждения:

Расстояние между точками неотрицательно и равно нулю только, если точки совпадают.
Расстояние в обе стороны одинаково.
Путь через третью точку не короче, чем прямой путь.

Достаточно разумные требования.

Математически это можно записать так (нам это не пригодится, просто ради интереса посмотрим):

Предлагаю читателю самому убедиться, что для расстояния Хэмминга эти свойства выполняются.

Окрестности

Таким образом, разные цепочки мы считаем точками в каком-то воображаемом пространстве, и теперь мы умеем находить расстояния между ними. Правда, если попытаться сколько нибудь длинные цепочки расставить на листе бумаги так, чтобы расстояния Хэмминга совпадали с расстояниями на плоскости, мы можем потерпеть неудачу. Но не нужно переживать. Всё же это особое пространство со своими законами. А слова вроде «расстояния» лишь помогают нам рассуждать.

Пойдём дальше. Раз мы заговорили о расстоянии, то можно ввести такое понятие как окрестность. Как известно, окрестность какой-то точки — это шар определённого радиуса с центром в ней. Шар? Какие ещё шары! Мы же о кодах говорим.

Но всё просто. Ведь что такое шар? Это множество всех точек, которые находятся от данной не дальше, чем некоторое расстояние, называемое радиусом. Точки у нас есть, расстояние у нас есть, теперь есть и шары.

Так, скажем, окрестность кодового слова $000$ радиуса 1 — это все коды, находящиеся на расстоянии не больше, чем 1 от него, то есть отличающиеся не больше, чем в одном разряде. То есть это коды:

Да, вот так странно выглядят шары в пространстве кодов.

А теперь посмотрите. Это же все возможные коды, которые мы получим в канале в одной ошибкой, если отправим $000$ ! Это следует прямо из определения окрестности. Ведь каждая ошибка заставляет цепочку измениться только в одном разряде, а значит удаляет её на расстояние 1 от исходного сообщения.

Аналогично, если в канале возможны две ошибки, то отправив некоторое сообщение $x$ , мы получим один из кодов, который принадлежит окрестности $x$ радиусом 2.

Тогда всю нашу систему декодирования можно построить так. Мы получаем какую-то цепочку нулей и единиц (точку в нашей новой терминологии) и смотрим, в окрестность какого кодового слова она попадает.

Сколько ошибок может исправить код?

Чтобы код мог исправлять больше ошибок, окрестности должны быть как можно шире. С другой стороны, они не должны пересекаться. Иначе если точка попадёт в область пересечения, непонятно будет, к какой окрестности её отнести.

В коде с удвоением между кодовыми словами $00$ и $11$ расстояние равно 2 (оба разряда различаются). А значит, если мы построим вокруг них шары радиуса 1, то они будут касаться. Это значит, точка касания будет принадлежать обоим шарам и непонятно будет, к какому из них её отнести.

Именно это мы и получали. Мы видели, что есть ошибка, но не могли её исправить.

Что интересно, точек касания в нашем странном пространстве у шаров две — это коды $01$ и $10$ . Расстояния от них до центров равны единице. Конечно же, в обычно геометрии такое невозможно, поэтому рисунки — это просто условность для более удобного рассуждения.

В случае кода с утроением, между шарами будет зазор.

Минимальный зазор между шарами равен 1, так как у нас расстояния всегда целые (ну не могут же две цепочки отличаться в полутора разрядах).

В общем случае получаем следующее.

Этот очевидный результат на самом деле очень важен. Он означает, что код с минимальным кодовым расстоянием $d_{min}$ будет успешно работать в канале с $k$ ошибками, если выполняется соотношение

$d_{min} geqslant 2k+1.$

Полученное равенство позволяет легко определить, сколько ошибок будет исправлять тот или иной код. А сколько код ошибок может обнаружить? Рассуждения такие же. Код обнаруживает $k$ ошибок, если в результате не получится другое кодовое слово. То есть, кодовые слова не должны находиться в окрестностях радиуса $k$ других кодовых слов. Математически это записывается так:

$d_{min}geqslant k + 1.$

Рассмотрим пример. Пусть мы кодируем 4 буквы следующим образом.

Чтобы найти минимальное расстояние между различными кодовыми словами, построим таблицу попарных расстояний.

	A	B	C	D
A	—	3	3	4
B	3	—	4	3
C	3	4	—	3
D	4	3	3	—

Минимальное расстояние $d_{min}=3$ , а значит , откуда получаем, что такой код может исправить до $k=1$ ошибок. Обнаруживает же он две ошибки.

Рассмотрим пример:

Чтобы декодировать полученное сообщение, посмотрим, к какому символу оно ближе всего.

Минимальное расстояние получилось для символа $A$ , значит вероятнее всего передавался именно он:

Итак, этот код исправляет одну ошибку, как и код с утроением. Но он более эффективен, так как в отличие от кода с утроением здесь кодируется уже 4 символа.

Таким образом, основная проблема при построении такого рода кодов — так расположить кодовые слова, чтобы они были как можно дальше друг от друга, и их было побольше.

Для декодирования можно было бы использовать таблицу, в которой указывались бы все возможные принимаемые сообщения, и кодовые слова, которым они соответствуют. Но такая таблица получилась бы очень большой. Даже для нашего маленького кода, который выдаёт 5 двоичных цифр, получилось бы варианта возможных принимаемых сообщений. Для более сложных кодов таблица будет значительно больше.

Попробуем придумать способ коррекции сообщения без таблиц. Мы всегда сможем найти полезное применение освободившейся памяти.

Интерлюдия: поле GF(2)

Для изложения дальнейшего материала нам потребуются матрицы. А при умножении матриц, как известно мы складываем и перемножаем числа. И тут есть проблема. Если с умножением всё более-менее хорошо, то как быть со сложением? Из-за того, что мы работаем только с одиночными двоичными цифрами, непонятно, как сложить 1 и 1, чтобы снова получилась одна двоичная цифра. Значит вместо классического сложения нужно использовать какое-то другое.

Введём операцию сложения как сложение по модулю 2 (хорошо известный программистам XOR):

Умножение будем выполнять как обычно. Эти операции на самом деле введены не абы как, а чтобы получилась система, которая в математике называется полем. Поле — это просто множество (в нашем случае из 0 и 1), на котором так определены сложение и умножение, чтобы основные алгебраические законы сохранялись. Например, чтобы основные идеи, касающиеся матриц и систем уравнений по-прежнему были верны. А вычитание и деление мы можем ввести как обратные операции.

Множество из двух элементов с операциями, введёнными так, как мы это сделали, называется полем Галуа GF(2). GF — это Galois field, а 2 — количество элементов.

У сложения есть несколько очень полезных свойств, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

Это свойство прямо следует из определения.

А в этом можно убедиться, прибавив $y$ к обеим частям равенства. Это свойство, в частности означает, что мы можем переносить в уравнении слагаемые в другую сторону без смены знака.

Проверяем корректность

Вернёмся к коду с утроением.

Для начала просто решим задачу проверки, были ли вообще ошибки при передаче. Как видно, из самого кода, принятое сообщение будет кодовым словом только тогда, когда все три цифры равны между собой.

Пусть мы приняли вектор-строку $x$ из трёх цифр. (Стрелочки над векторами рисовать не будем, так как у нас почти всё — это вектора или матрицы.)

Математически равенство всех трёх цифр можно записать как систему:

$left{ begin{aligned} x_1 &= x_2, x_2 &= x_3. end{aligned} right.$

Или, если воспользоваться свойствами сложения в GF(2), получаем

$left{ begin{aligned} x_1 + x_2 &= 0, x_2 + x_3 &= 0. end{aligned} right.$

Или

$left{ begin{aligned} 1cdot x_1 + 1cdot x_2 + 0cdot x_3 &= 0, 0cdot x_1 + 1cdot x_2 + 1cdot x_3 &= 0. end{aligned} right.$

В матричном виде эта система будет иметь вид

где

Транспонирование здесь нужно потому, что $x$ — это вектор-строка, а не вектор-столбец. Иначе мы не могли бы умножать его справа на матрицу.

Будем называть матрицу $H$ проверочной матрицей. Если полученное сообщение — это корректное кодовое слово (то есть, ошибки при передаче не было), то произведение проверочной матрицы на это сообщение будет равно нулевому вектору.

Умножение на матрицу — это гораздо более эффективно, чем поиск в таблице, но у нас на самом деле есть ещё одна таблица — это таблица кодирования. Попробуем от неё избавиться.

Кодирование

Итак, у нас есть система для проверки

$left{ begin{aligned} x_1 + x_2 &= 0, x_2 + x_3 &= 0. end{aligned} right.$

Её решения — это кодовые слова. Собственно, мы систему и строили на основе кодовых слов. Попробуем теперь решить обратную задачу. По системе (или, что то же самое, по матрице $H$ ) найдём кодовые слова.

Правда, для нашей системы мы уже знаем ответ, поэтому, чтобы было интересно, возьмём другую матрицу:

Соответствующая система имеет вид:

$left{ begin{aligned} x_1 + x_3 &= 0, x_2 + x_3 + x_5 &= 0, x_4 + x_5 &= 0. end{aligned} right.$

Чтобы найти кодовые слова соответствующего кода нужно её решить.

В силу линейности сумма двух решений системы тоже будет решением системы. Это легко доказать. Если $a$ и $b$ — решения системы, то для их суммы верно

что означает, что она тоже — решение.

Поэтому если мы найдём все линейно независимые решения, то с их помощью можно получить вообще все решения системы. Для этого просто нужно найти их всевозможные суммы.

Выразим сперва все зависимые слагаемые. Их столько же, сколько и уравнений. Выражать надо так, чтобы справа были только независимые. Проще всего выразить .

Если бы нам не так повезло с системой, то нужно было бы складывая уравнения между собой получить такую систему, чтобы какие-то три переменные встречались по одному разу. Ну, или воспользоваться методом Гаусса. Для GF(2) он тоже работает.

Итак, получаем:

$left{ begin{aligned} x_1 &= x_3, x_2 &= x_3 + x_5, x_4 &= x_5. end{aligned} right.$

Чтобы получить все линейно независимые решения, приравниваем каждую из зависимых переменных к единице по очереди.

$begin{aligned} x_3=1, x_5=0:quad x_1=1, x_2=1, x_4=0 Rightarrow x^{(1)} = (1, 1, 1, 0, 0), x_3=0, x_5=1:quad x_1=0, x_2=1, x_4=1 Rightarrow x^{(2)} = (0, 1, 0, 1, 1). end{aligned}$

Всевозможные суммы этих независимых решений (а именно они и будут кодовыми векторами) можно получить так:

$a_1 x^{(1)}+a_2 x^{(2)},$

где равны либо нулю или единице. Так как таких коэффициентов два, то всего возможно $2^2=4$ сочетания.

Но посмотрите! Формула, которую мы только что получили — это же снова умножение матрицы на вектор.

$(a_1, a_2)cdot begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 1 end{pmatrix} = aG.$

Строчки здесь — линейно независимые решения, которые мы получили. Матрица $G$ называется порождающей. Теперь вместо того, чтобы сами составлять таблицу кодирования, мы можем получать кодовые слова простым умножением на матрицу:

Найдём кодовые слова для этого кода. (Не забываем, что длина исходных сообщений должна быть равна 2 — это количество найденных решений.)

Итак, у нас есть готовый код, обнаруживающий ошибки. Проверим его в деле. Пусть мы хотим отправить 01 и у нас произошла ошибка при передаче. Обнаружит ли её код?

$a=01 to aG=01011 rightsquigarrow x=01underline{1}11 to Hx^T = (110)^T neq 0.$

А раз в результате не нулевой вектор, значит код заподозрил неладное. Провести его не удалось. Ура, код работает!

Для кода с утроением, кстати, порождающая матрица выглядит очень просто:

Подобные коды, которые можно порождать и проверять матрицей называются линейными (бывают и нелинейные), и они очень широко применяются на практике. Реализовать их довольно легко, так как тут требуется только умножение на константную матрицу.

Ошибка по синдрому

Ну хорошо, мы построили код обнаруживающий ошибки. Но мы же хотим их исправлять!

Для начала введём такое понятие, как вектор ошибки. Это вектор, на который отличается принятое сообщение от кодового слова. Пусть мы получили сообщение $x$ , а было отправлено кодовое слово $v$ . Тогда вектор ошибки по определению

Но в странном мире GF(2), где сложение и вычитание одинаковы, будут верны и соотношения:

В силу особенностей сложения, как читатель сам может легко убедиться, в векторе ошибки на позициях, где произошла ошибка будет единица, а на остальных ноль.

Как мы уже говорили раньше, если мы получили сообщение $x$ с ошибкой, то . Но ведь векторов, не равных нулю много! Быть может то, какой именно ненулевой вектор мы получили, подскажет нам характер ошибки?

Назовём результат умножения на проверочную матрицу синдромом:

И заметим следующее

Это означает, что для ошибки синдром будет таким же, как и для полученного сообщения.

Разложим все возможные сообщения, которые мы можем получить из канала связи, по кучкам в зависимости от синдрома. Тогда из последнего соотношения следует, что в каждой кучке будут вектора с одной и той же ошибкой. Причём вектор этой ошибки тоже будет в кучке. Вот только как его узнать?

А очень просто! Помните, мы говорили, что у нескольких ошибок вероятность ниже, чем у одной ошибки? Руководствуясь этим соображением, наиболее правдоподобным будет считать вектором ошибки тот вектор, у которого меньше всего единиц. Будем называть его лидером.

Давайте посмотрим, какие синдромы дают всевозможные 5-элементные векторы. Сразу сгруппируем их и подчеркнём лидеров — векторы с наименьшим числом единиц.

В принципе, для корректирования ошибки достаточно было бы хранить таблицу соответствия синдрома лидеру.

Обратите внимание, что в некоторых строчках два лидера. Это значит для для данного синдрома два паттерна ошибки равновероятны. Иными словами, код обнаружил две ошибки, но исправить их не может.

Лидеры для всех возможных одиночных ошибок находятся в отдельных строках, а значит код может исправить любую одиночную ошибку. Ну, что же… Попробуем в этом убедиться.

$a=01 to aG=01011 rightsquigarrow x=01underline{1}11 to s(x)=Hx^T = (110)^T to e=(00100).$

Вектор ошибки равен , а значит ошибка в третьем разряде. Как мы и загадали.

Ура, всё работает!

Что же дальше?

Чтобы попрактиковаться, попробуйте повторить рассуждения для разных проверочных матриц. Например, для кода с утроением.

Логическим продолжением изложенного был бы рассказ о циклических кодах — чрезвычайно интересном подклассе линейных кодов, обладающим замечательными свойствами. Но тогда, боюсь, статья уж очень бы разрослась.

Если вас заинтересовали подробности, то можете почитать замечательную книжку Аршинова и Садовского «Коды и математика». Там изложено гораздо больше, чем представлено в этой статье. Если интересует математика кодирования — то поищите «Теория и практика кодов, контролирующих ошибки» Блейхута. А вообще, материалов по этой теме довольно много.

Надеюсь, когда снова будет свободное время, напишу продолжение, в котором расскажу про циклические коды и покажу пример программы для кодирования и декодирования. Если, конечно, почтенной публике это интересно.

Когда
информация передается между различными
частями компьютера, или с Земли на Луну
и обратно, или просто оставляется на
запоминающем устройстве, существует
вероятность того, что полученный двоичный
код не тождественней исходному коду.
Частицы пыли или жира на магнитном
носителе или сбой схемы могут привести
к неправильной записи или к неправильному
чтению данных. Кроме того, фоновое
излучение некоторых устройств может
привести к изменению кода, хранящегося
в оперативной памяти машины.

Для
решения таких проблем было разработано
большое количество методов кодирования,
позволяющих обнаружить и даже исправить
ошибки. Сегодня эти методы включены во
внутренние составляющие вычислительных
машин и не видны пользователю. Тем не
менее их наличие является важным и
составляет значительную часть научных
исследований. Поэтому мы рассмотрим
некоторые из этих методов, обеспечивающих
надежность современного компьютерного
оборудования.

Контрольный
разряд четности. Простой метод обнаружения
ошибок основывается на том принципе,
что если известно, что обрабатываемый
двоичный код должен содержать нечетное
число единиц, а полученный код содержит
четное число единиц, то произошла ошибка.
Для того чтобы использовать этот принцип,
нам нужна система, в которой каждый код
содержит нечетное число единиц. Этого
легко достичь, добавив дополнительный
разряд, контрольный разряд соответствия
(parity bit), на место старшего разряда.
(Следовательно, каждый 8-битовый код
ASCII станет 9-битовым, а 16-битовой
дополнительный код станет 17-битовым.)
В каждом случае мы присваиваем этому
разряду значение 1 или 0, так чтобы весь
код содержал нечетное число единиц.
Например, ASCII-код буквы А становится
101000001 (контрольный разряд четности 1), а
код буквы F становится 001000110 (контрольный
разряд четности 0) (рис. 1.28). Хотя 8-битовый
код А содержит четное число единиц, а
8-битовый код F — нечетное, 9-битовый код
этих символов содержит нечетное
количество единиц. Теперь, когда мы
модифицировав нашу систему кодирования,
код с четным числом единиц будет означать,
что произошла ошибка и что обрабатываемый
двоичный код — неправильный.

Рисунок
1 — ASCII-коды букв А и F, измененные для
проверки на нечетность

Система
контроля, описанная выше, называется
контролем нечетности (odd parity), так как
мы построили нашу систему таким образом,
что каждый код содержит нечетное число
единиц. Существует также метод-антипод
— контроль четности (even parity). Б таких
системах каждый двоичный код содержит
четное число единиц, и, следовательно,
об ошибке говорит появление кода с
нечетным числом единиц.

Сегодня
использование контрольных разрядов
четности в оперативной памяти компьютера
довольно распространено. Хотя мы
говорили, что ячейка памяти машин состоит
из восьми битов, на самом деле она состоит
из девяти битов, один из которых
используется в качестве контрольного
бита. Каждый раз, когда 8-битовый код
передается в запоминающую схему, схема
добавляет контрольный бит соответствия
и сохраняет получающийся 9-битовый код.
Если код уже был получен, схема проверяет
его на четность. Если в нем нет ошибки,
память убирает контрольный бит и
возвращает 8-битовый код. В противном
случае память возвращает восемь
информационных битов с предупреждением
о том, что возвращенный код может не
совпадать с исходным кодом, помещенным
в память.

Длинные
двоичные коды часто сопровождает набор
контрольных битов четности, которые
образуют контрольный байт. Каждый разряд
в байте соответствует определенной
последовательности битов, находящейся
в коде. Например, один контрольный бит
может соответствовать каждому восьмому
биту кода, начиная с первого, а другой
может соответствовать каждому восьмому
биту, начиная со второго. В этом случае
больше вероятность обнаружить скопление
ошибок в какой-либо области исходного
кода, поскольку они будут находиться в
области действия нескольких контрольных
битов четности. Разновидностью
контрольного байта являются такие схемы
для обнаружения ошибок, как контрольная
сумма и циклический избыточный код.

Коды
с исправлением ошибок. Хотя использование
контрольного разряда четности и позволяет
обнаружить ошибку, но не дает возможности
исправить ее. Многие удивляются тому,
что коды с исправлением ошибок построены
таким образом, что с их помощью можно
не только найти ошибку, но и исправить
ее. Интуиция подсказывает нам, что мы
не сможем исправить ошибку в полученном
сообщении, не зная информацию, которая
в нем содержится. Однако простой
корректирующий код представлен на рис.
2.

Рисунок
2 – Коды с исправлением ошибок

Для
того чтобы понять, как работает этот
код, определим сначала расстояние
Хемминга (Hamming distance) между двумя кодами
как число различающихся разрядов. Это
расстояние названо в честь Р. В. Хемминга
(R. W. Hamming), который первым стал исследовать
коды с исправлением ошибок, поняв
ненадежность релейных машин в 40-х годах
XX века. Например, расстояние Хемминга
между кодами символов А и В равно четырем
(см. рис. 1.29), а расстояние Хемминга между
В и С равно трем. Важное свойство этой
системы кодирования состоит в том, что
расстояние Хемминга между любыми двумя
кодами больше или равно трем. Поэтому
если один бит в коде будет изменен,
ошибку можно будет обнаружить, так как
результат не будет допустимым кодом.
(Для того чтобы код выглядел, как другой
допустимый код, мы должны изменить по
меньшей мере три бита.)

Кроме
того, если появится ошибка в коде (см.
рис. 1.29), мы сможем понять, как выглядел
исходный код. Расстояние Хемминга между
измененным кодом и исходным будет равно
единице, а между ним и другими допустимыми
кодами — по меньшей мере двум. Для того
чтобы расшифровать сообщение, мы просто
сравниваем каждый полученный код с
кодами в системе до тех пор, пока не
найдем код, находящийся на расстоянии,
равном единице, от исходного кода. Это
и будет правильный символ. Например,
предположим, что мы получили код 010100.
Если мы сравним его с другими кодами,
то получим таблицу расстояний (рис. 3).
Следовательно, мы можем сделать вывод,
что был послан символ D, так как между
его кодом и полученным кодом наименьшее
расстояние.

Рисунок
3 – Расшифровка кодов 010100 с использованием
кодов из рисунка 2

Вы
увидите, что использование этой системы
(коды на рис. 2) позволяет обнаружить до
двух ошибок в одном коде и исправить
одну. Если мы создадим систему, в которой
расстояние Хемминга между любыми двумя
кодами будет равно самое меньшее пяти,
мы сможем обнаружить до четырех ошибок
в одном коде и исправить две. Конечно,
создание эффективной системы кодов с
большими расстояниями Хемминга
представляет собой непростую задачу.
В действительности, она является частью
раздела математики, который называется
алгебраической теорией кодов и входит
в линейную алгебру и теорию матриц.

Методы
исправления ошибок широко применяются
для того, чтобы повысить надежность
компьютерного оборудования. Например,
они часто используются ii дисководах
для магнитных дисков большой емкости,
чтобы уменьшить вероятность того, что
изъян на магнитной поверхности диска
разрушит данные. Кроме того, главное
различие между форматом первоначальных
компакт-дисков, которые использовались
для звукозаписей, и более поздним
форматом, который используется для
хранения данных в компьютере, состоит
в степени исправления ошибок. Формат
CD-DA включает в себя возможности исправления
ошибок, которые сводят частоту появления
ошибок к одной ошибке на два компакт-диска.
Этого достаточно для звукозаписи, но
компании, использующие компакт-диски
для поставки программного обеспечения
покупателям, сказали бы, что наличие
дефектов в 50 процентах дисков — слишком
много. Поэтому в компакт-дисках для
хранения данных применяются дополнительные
возможности исправления ошибок,
сокращающие вероятность появления
ошибки до одной ошибки на 20 000 дисков.

Соседние файлы в папке Комплект Информатика

Лекция 5

Проверка правильности передачи данных

Причины возникновения ошибок
Классификация методов защиты от ошибок
- Групповые методы
  - мажоритарный
  - блок с количественной характеристикой
- Помехоустойчивое кодирование
- Системы передачи с обратной связью
  - решающая
  - информационная

Проблема обеспечения безошибочности (достоверности) передачи информации в
сетях имеет очень большое значение. Если при передаче обычной телеграммы в
тексте возникает ошибка или при разговоре по телефону слышен треск, то в
большинстве случаев ошибки и искажения легко обнаруживаются по смыслу. Но при
передаче данных одна ошибка (искажение одного бита) на тысячу переданных
сигналов может серьезно отразиться на качестве информации.

Существует множество методов обеспечения достоверности передачи информации
(методов защиты от ошибок), отличающихся по используемым для их реализации
средствам, по затратам времени на их применение на передающем и приемном
пунктах, по затратам дополнительного времени на передачу фиксированного объема
данных (оно обусловлено изменением объема трафика пользователя при реализации
данного метода), по степени обеспечения достоверности передачи информации.
Практическое воплощение методов состоит из двух частей — программной и
аппаратной. Соотношение между ними может быть самым различным, вплоть до почти
полного отсутствия одной из частей. Чем больше удельный вес аппаратных средств
по сравнению с программными, тем при прочих равных условиях сложнее
оборудование, реализующее метод, и меньше затрат времени на его реализацию, и
наоборот.

Причины возникновения ошибок

Выделяют две основные причины возникновения ошибок при передаче информации в
сетях:

сбои в какой-то части оборудования сети или возникновение
неблагоприятных объективных событий в сети (например, коллизий при
использовании метода случайного доступа в сеть). Как правило, система
передачи данных готова к такого рода проявлениям и устраняет их с помощью
предусмотренных планом средств;
помехи, вызванные внешними источниками и атмосферными явлениями. Помехи
— это электрические возмущения, возникающие в самой аппаратуре или
попадающие в нее извне. Наиболее распространенными являются флуктуационные
(случайные) помехи. Они представляют собой последовательность импульсов,
имеющих случайную амплитуду и следующих друг за другом через различные
промежутки времени. Примерами таких помех могут быть атмосферные и
индустриальные помехи, которые обычно проявляются в виде одиночных импульсов
малой длительности и большой амплитуды. Возможны и сосредоточенные помехи в
виде синусоидальных колебаний. К ним относятся сигналы от посторонних
радиостанций, излучения генераторов высокой частоты. Встречаются и смешанные
помехи. В приемнике помехи могут настолько ослабить информационный сигнал,
что он либо вообще не будет обнаружен, либо будет искажен так, что «единица»
может перейти в «нуль», и наоборот.

Трудности борьбы с помехами заключаются в беспорядочности, нерегулярности и в
структурном сходстве помех с информационными сигналами. Поэтому защита
информации от ошибок и вредного влияния помех имеет большое практическое
значение и является одной из серьезных проблем современной теории и техники
связи.

Классификация методов защиты от ошибок

Среди многочисленных методов защиты от ошибок выделяются три группы методов:
групповые методы, помехоустойчивое кодирование и методы защиты от ошибок в
системах передачи с обратной связью.

Групповые методы

Из групповых методов получили широкое применение мажоритарный метод,
реализующий принцип Вердана, и метод передач информационными блоками с
количественной характеристикой блока.

Мажоритарный метод

Суть этого метода, давно и широко используемого в телеграфии,
состоит в следующем. Каждое сообщение ограниченной длины передается
несколько раз, чаще всего три раза. Принимаемые сообщения запоминаются,
а потом производится их поразрядное сравнение. Суждение о правильности
передачи выносится по совпадению большинства из принятой информации
методом «два из трех». Например, кодовая комбинация 01101 при
трехразовой передаче была частично искажена помехами, поэтому приемник
принял такие комбинации: 10101, 01110, 01001. В результате проверки по
отдельности каждой позиции правильной считается комбинация 01101.

Передача блоками с количественной характеристикой

Этот метод также не требует перекодирования информации. Он
предполагает передачу данных блоками с количественной характеристикой
блока. Такими характеристиками могут быть: число единиц или нулей в
блоке, контрольная сумма передаваемых символов в блоке, остаток от
деления контрольной суммы на постоянную величину и др. На приемном
пункте эта характеристика вновь подсчитывается и сравнивается с
переданной по каналу связи. Если характеристики совпадают, считается,
что блок не содержит ошибок. В противном случае на передающую сторону
поступает сигнал с требованием повторной передачи блока. В современных
телекоммуникационных вычислительных сетях такой метод получил самое
широкое распространение.

Помехоустойчивое (избыточное) кодирование

Этот метод предполагает разработку и использование корректирующих
(помехоустойчивых) кодов. Он применяется не только в телекоммуникационных сетях,
но и в ЭВМ для защиты от ошибок при передаче информации между устройствами
машины. Помехоустойчивое кодирование позволяет получить более высокие
качественные показатели работы систем связи. Его основное назначение заключается
в обеспечении малой вероятности искажений передаваемой информации, несмотря на
присутствие помех или сбоев в работе сети.

Существует довольно большое количество различных помехоустойчивых кодов,
отличающихся друг от друга по ряду показателей и прежде всего по своим
корректирующим возможностям.

К числу наиболее важных показателей корректирующих кодов относятся:

значность кода n, или длина
кодовой комбинации, включающей информационные символы (m)
и проверочные, или контрольные, символы (К):
n = m
+ K
(Значения
контрольных символов при кодировании определяются путем контроля на четность
количества единиц в информационных разрядах кодовой комбинации. Значение
контрольного символа равно 0, если количество единиц будет четным, и равно 1
при нечетном количестве единиц);
избыточность кода К_изб,
выражаемая отношением числа контрольных символов в кодовой комбинации к
значности кода: К_изб = К/
n;
корректирующая способность кода К_кс, представляющая
собой отношение числа кодовых комбинаций L,
в которых ошибки были обнаружены и исправлены, к общему числу переданных
кодовых комбинаций M в фиксированном объеме
информации: К_кс =
L/ M

Выбор корректирующего кода для его использования в данной компьютерной сети
зависит от требований по достоверности передачи информации. Для правильного
выбора кода необходимы статистические данные о закономерностях появления ошибок,
их характере, численности и распределении во времени. Например, корректирующий
код, обнаруживающий и исправляющий одиночные ошибки, эффективен лишь при
условии, что ошибки статистически независимы, а вероятность их появления не
превышает некоторой величины. Он оказывается непригодным, если ошибки появляются
группами. При выборе кода надо стремиться, чтобы он имел меньшую избыточность.
Чем больше коэффициент К_изб, тем менее эффективно используется
пропускная способность канала связи и больше затрачивается времени на передачу
информации, но зато выше помехоустойчивость системы.

В телекоммуникационных вычислительных сетях корректирующие коды в основном
применяются для обнаружения ошибок, исправление которых осуществляется путем
повторной передачи искаженной информации. С этой целью в сетях используются
системы передачи с обратной связью (наличие между абонентами дуплексной связи
облегчает применение таких систем).

Системы передачи с обратной связью

Системы передачи с обратной связью делятся на системы с решающей обратной
связью и системы с информационной обратной связью.

Системы с решающей обратной связью

Особенностью систем с решающей обратной связью (систем с
перезапросом) является то, что решение о необходимости повторной передачи
информации (сообщения, пакета) принимает приемник. Здесь обязательно применяется
помехоустойчивое кодирование, с помощью которого на приемной станции
осуществляется проверка принимаемой информации. При обнаружении ошибки на
передающую сторону по каналу обратной связи посылается сигнал перезапроса, по
которому информация передается повторно. Канал обратной связи используется также
для посылки сигнала подтверждения правильности приема, автоматически
определяющего начало следующей передачи.

Системы с информационной обратной связью

В системах с информационной обратной связью передача информации
осуществляется без помехоустойчивого кодирования. Приемник, приняв информацию по
прямому каналу и зафиксировав ее в своей памяти, передает ее в полном объеме по
каналу обратной связи передатчику, где переданная и возвра0щенная информация
сравниваются. При совпадении передатчик посылает приемнику сигнал подтверждения,
в противном случае происходит повторная передача всей информации. Таким образом,
здесь решение о необходимости повторной передачи принимает передатчик.

Обе рассмотренные системы обеспечивают практически одинаковую достоверность,
однако в системах с решающей обратной связью пропускная способность каналов
используется эффективнее, поэтому они получили большее распространение.

Сайт управляется системой uCoz

Способы борьбы с ошибками

В системах связи возможны несколько стратегий борьбы с ошибками:

обнаружение ошибок в блоках данных и автоматический запрос повторной передачи повреждённых блоков — этот подход применяется в основном на канальном и транспортном уровнях;
обнаружение ошибок в блоках данных и отбрасывание повреждённых блоков — такой подход иногда применяется в системах потокового мультимедиа, где важна задержка передачи и нет времени на повторную передачу;
исправление ошибок (forward error correction) применяется на физическом уровне.

Коды обнаружения и исправления ошибок

Блоковые коды

способность исправлять как можно большее число ошибок,
как можно меньшая избыточность,
простота кодирования и декодирования.

Линейные коды общего вида

${displaystyle {overrightarrow {v}}H^{T}={overrightarrow {0}}.}$

Минимальное расстояние и корректирующая способность

Основная статья: Расстояние Хемминга

${displaystyle t=leftlfloor {frac {d_{min }-1}{2}}rightrfloor }$

, округляем «вниз», так чтобы ${displaystyle 2t<d_{min }}$

Коды Хемминга

${displaystyle {overrightarrow {s}}={overrightarrow {r}}H^{T}}$

, где

Общий метод декодирования линейных кодов

Линейные циклические коды

Порождающий (генераторный) полином

С помощью порождающего полинома осуществляется кодирование циклическим кодом. В частности:

Коды CRC

Таким образом, вид полинома задаёт конкретный код CRC. Примеры наиболее популярных полиномов:

название кода	степень	полином
CRC-12	12	${displaystyle x^{12}+x^{11}+x^{3}+x^{2}+x+1}$
CRC-16	16	${displaystyle x^{16}+x^{15}+x^{2}+1}$
CRC-CCITT	16	${displaystyle x^{16}+x^{12}+x^{5}+1}$
CRC-32	32	${displaystyle x^{32}+x^{26}+x^{23}+x^{22}+x^{16}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1}$

Коды БЧХ

Математически полинома на множители в поле Галуа.

Коды коррекции ошибок Рида — Соломона

Математически коды Рида — Соломона являются кодами БЧХ.

Преимущества и недостатки блоковых кодов

Свёрточные коды

Файл:ECC NASA standard coder.png

Свёрточный кодер ()

Преимущества и недостатки свёрточных кодов

Каскадное кодирование. Итеративное декодирование

Оценка эффективности кодов

Граница Хемминга и совершенные коды

Основная статья: Граница Хэмминга

${displaystyle sum _{i=0}^{t}{n choose i}leqslant 2^{n-k}.}$

Энергетический выигрыш

Применение кодов, исправляющих ошибки

Коды, исправляющие ошибки, применяются:

в системах цифровой связи, в том числе: спутниковой, радиорелейной, сотовой, передаче данных по телефонным каналам.
в системах хранения информации, в том числе магнитных и оптических.

Коды, обнаруживающие ошибки, применяются в сетевых протоколах различных уровней.

Автоматический запрос повторной передачи

Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)

Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)

Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)

При этом подходе осуществляется передача только ошибочно принятых блоков данных.

См. также

Цифровая связь
Линейный код
Циклический код
Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема
Код Рида — Соломона
LDPC
Свёрточный код
Турбо-код

Литература

Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Радио и связь, 1979.
Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. М.: Мир, 1986.
Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2005. — ISBN 5-94836-035-0

Ссылки

Имеется викиучебник по теме:
Обнаружение и исправление ошибок

Помехоустойчивое кодирование (11 ноября 2001). — реферат по проблеме кодирования сообщений с исправлением ошибок. Проверено 25 декабря 2006.

Проверка правильности передачи данных

Проблема обеспечения безошибочности (достоверности) передачи информации в сетях имеет очень большое значение. Если при передаче обычной телеграммы в тексте возникает ошибка или при разговоре по телефону слышен треск, то в большинстве случаев ошибки и искажения легко обнаруживаются по смыслу. Но при передаче данных одна ошибка (искажение одного бита) на тысячу переданных сигналов может серьезно отразиться на качестве информации.

Существует множество методов обеспечения достоверности передачи информации (методов защиты от ошибок), отличающихся по используемым для их реализации средствам, по затратам времени на их применение на передающем и приемном пунктах, по затратам дополнительного времени на передачу фиксированного объема данных (оно обусловлено изменением объема трафика пользователя при реализации данного метода), по степени обеспечения достоверности передачи информации. Практическое воплощение методов состоит из двух частей — программной и аппаратной. Соотношение между ними может быть самым различным, вплоть до почти полного отсутствия одной из частей. Чем больше удельный вес аппаратных средств по сравнению с программными, тем при прочих равных условиях сложнее оборудование, реализующее метод, и меньше затрат времени на его реализацию, и наоборот.

Причины возникновения ошибок

Выделяют две основные причины возникновения ошибок при передаче информации в сетях:

сбои в какой-то части оборудования сети или возникновение неблагоприятных объективных событий в сети (например, коллизий при использовании метода случайного доступа в сеть). Как правило, система передачи данных готова к такого рода проявлениям и устраняет их с помощью предусмотренных планом средств;
помехи, вызванные внешними источниками и атмосферными явлениями. Помехи — это электрические возмущения, возникающие в самой аппаратуре или попадающие в нее извне. Наиболее распространенными являются флуктуационные (случайные) помехи. Они представляют собой последовательность импульсов, имеющих случайную амплитуду и следующих друг за другом через различные промежутки времени. Примерами таких помех могут быть атмосферные и индустриальные помехи, которые обычно проявляются в виде одиночных импульсов малой длительности и большой амплитуды. Возможны и сосредоточенные помехи в виде синусоидальных колебаний. К ним относятся сигналы от посторонних радиостанций, излучения генераторов высокой частоты. Встречаются и смешанные помехи. В приемнике помехи могут настолько ослабить информационный сигнал, что он либо вообще не будет обнаружен, либо будет искажен так, что «единица» может перейти в «нуль», и наоборот.

Трудности борьбы с помехами заключаются в беспорядочности, нерегулярности и в структурном сходстве помех с информационными сигналами. Поэтому защита информации от ошибок и вредного влияния помех имеет большое практическое значение и является одной из серьезных проблем современной теории и техники связи.

Классификация методов защиты от ошибок

Среди многочисленных методов защиты от ошибок выделяются три группы методов: групповые методы, помехоустойчивое кодирование и методы защиты от ошибок в системах передачи с обратной связью.

Групповые методы

Из групповых методов получили широкое применение мажоритарный метод, реализующий принцип Вердана, и метод передач информационными блоками с количественной характеристикой блока.

Мажоритарный метод Суть этого метода, давно и широко используемого в телеграфии, состоит в следующем. Каждое сообщение ограниченной длины передается несколько раз, чаще всего три раза. Принимаемые сообщения запоминаются, а потом производится их поразрядное сравнение. Суждение о правильности передачи выносится по совпадению большинства из принятой информации методом «два из трех». Например, кодовая комбинация 01101 при трехразовой передаче была частично искажена помехами, поэтому приемник принял такие комбинации: 10101, 01110, 01001. В результате проверки по отдельности каждой позиции правильной считается комбинация 01101.
Передача блоками с количественной характеристикой Этот метод также не требует перекодирования информации. Он предполагает передачу данных блоками с количественной характеристикой блока. Такими характеристиками могут быть: число единиц или нулей в блоке, контрольная сумма передаваемых символов в блоке, остаток от деления контрольной суммы на постоянную величину и др. На приемном пункте эта характеристика вновь подсчитывается и сравнивается с переданной по каналу связи. Если характеристики совпадают, считается, что блок не содержит ошибок. В противном случае на передающую сторону поступает сигнал с требованием повторной передачи блока. В современных телекоммуникационных вычислительных сетях такой метод получил самое широкое распространение.

Помехоустойчивое (избыточное) кодирование

Этот метод предполагает разработку и использование корректирующих (помехоустойчивых) кодов. Он применяется не только в телекоммуникационных сетях, но и в ЭВМ для защиты от ошибок при передаче информации между устройствами машины. Помехоустойчивое кодирование позволяет получить более высокие качественные показатели работы систем связи. Его основное назначение заключается в обеспечении малой вероятности искажений передаваемой информации, несмотря на присутствие помех или сбоев в работе сети.

Существует довольно большое количество различных помехоустойчивых кодов, отличающихся друг от друга по ряду показателей и прежде всего по своим корректирующим возможностям.

К числу наиболее важных показателей корректирующих кодов относятся:

значность кода n , или длина кодовой комбинации, включающей информационные символы ( m) и проверочные, или контрольные, символы (К): n = m + K
(Значения контрольных символов при кодировании определяются путем контроля на четность количества единиц в информационных разрядах кодовой комбинации. Значение контрольного символа равно 0, если количество единиц будет четным, и равно 1 при нечетном количестве единиц);
избыточность кода К_изб, выражаемая отношением числа контрольных символов в кодовой комбинации к значности кода: К_изб = К/ n ;
корректирующая способность кода К_кс, представляющая собой отношение числа кодовых комбинаций L , в которых ошибки были обнаружены и исправлены, к общему числу переданных кодовых комбинаций M в фиксированном объеме информации: К_кс = L / M

Выбор корректирующего кода для его использования в данной компьютерной сети зависит от требований по достоверности передачи информации. Для правильного выбора кода необходимы статистические данные о закономерностях появления ошибок, их характере, численности и распределении во времени. Например, корректирующий код, обнаруживающий и исправляющий одиночные ошибки, эффективен лишь при условии, что ошибки статистически независимы, а вероятность их появления не превышает некоторой величины. Он оказывается непригодным, если ошибки появляются группами. При выборе кода надо стремиться, чтобы он имел меньшую избыточность. Чем больше коэффициент К_изб, тем менее эффективно используется пропускная способность канала связи и больше затрачивается времени на передачу информации, но зато выше помехоустойчивость системы.

В телекоммуникационных вычислительных сетях корректирующие коды в основном применяются для обнаружения ошибок, исправление которых осуществляется путем повторной передачи искаженной информации. С этой целью в сетях используются системы передачи с обратной связью (наличие между абонентами дуплексной связи облегчает применение таких систем).

Системы передачи с обратной связью

Системы передачи с обратной связью делятся на системы с решающей обратной связью и системы с информационной обратной связью.

Системы с решающей обратной связью Особенностью систем с решающей обратной связью (систем с перезапросом) является то, что решение о необходимости повторной передачи информации (сообщения, пакета) принимает приемник. Здесь обязательно применяется помехоустойчивое кодирование, с помощью которого на приемной станции осуществляется проверка принимаемой информации. При обнаружении ошибки на передающую сторону по каналу обратной связи посылается сигнал перезапроса, по которому информация передается повторно. Канал обратной связи используется также для посылки сигнала подтверждения правильности приема, автоматически определяющего начало следующей передачи.
Системы с информационной обратной связью В системах с информационной обратной связью передача информации осуществляется без помехоустойчивого кодирования. Приемник, приняв информацию по прямому каналу и зафиксировав ее в своей памяти, передает ее в полном объеме по каналу обратной связи передатчику, где переданная и возвра0щенная информация сравниваются. При совпадении передатчик посылает приемнику сигнал подтверждения, в противном случае происходит повторная передача всей информации. Таким образом, здесь решение о необходимости повторной передачи принимает передатчик.

Обе рассмотренные системы обеспечивают практически одинаковую достоверность, однако в системах с решающей обратной связью пропускная способность каналов используется эффективнее, поэтому они получили большее распространение.

Источник

Способы контроля правильности передачи данных

Управление правильностью (помехозащищенностью) передачи информации выполняется с помощью помехоустойчивого кодирования. Различают коды, обнаруживающие ошибки, и корректирующие коды, которые дополнительно к обнаружению еще и исправляют ошибки. Помехозащищенность достигается с помощью введения избыточности. Устранение ошибок с помощью корректирующих кодов (такое управление называют Forward Error Control) реализуют в симплексных каналах связи. В дуплексных каналах достаточно применения кодов, обнаруживающих ошибки (Feedback or Backward Error Control), так как сигнализация об ошибке вызывает повторную передачу от источника. Это основные методы, используемые в информационных сетях.

Простейшими способами обнаружения ошибок являются контрольное суммирование, проверка на нечетность. Однако они недостаточно надежны, особенно при появлении пачек ошибок. Поэтому в качестве надежных обнаруживающих кодов применяют циклические коды. Примером корректирующего кода является код Хемминга.

В коде Хемминга вводится понятие кодового расстояния d (расстояния между двумя кодами), равного числу разрядов с неодинаковыми значениями. Возможности исправления ошибок связаны с минимальным кодовым расстоянием dmin. Исправляются ошибки кратности r = ent(dmin–1)/2 и обнаруживаются ошибки кратности dmin–1 (здесь ent означает “целая часть”). Так, при контроле на нечетность dmin=2 и обнаруживаются одиночные ошибки. В коде Хемминга dmin=3. Дополнительно к информационным разрядам вводится L=log2K избыточных контролирующих разрядов, где К – число информационных разрядов, L округляется до ближайшего большего целого значения. L-разрядный контролирующий код есть инвертированный результат поразрядного сложения (т.е. сложения по модулю 2) номеров тех информационных разрядов, значения которых равны 1.

Пример 1. Пусть имеем основной код 100110, т.е. К = 6. Следовательно, L = 3 и дополнительный код равен

010 # 011 # 110= 111,

где # – символ операции поразрядного сложения, и после инвертирования имеем 000. Теперь вместе с основным кодом будет передан и дополнительный. На приемном конце вновь рассчитывается дополнительный код и сравнивается с переданным. Фиксируется код сравнения (поразрядная операция отрицания равнозначности), и если он отличен от нуля, то его значение есть номер ошибочно принятого разряда основного кода. Так, если принят код 100010, то рассчитанный в приемнике дополнительный код равен инверсии от 010 # 110 = 100, т.е. 011, что означает ошибку в третьем разряде.

Пример 2. Основной код 1100000, дополнительный код 110 (результат инверсии кода 110 # 111 =001). Пусть принятый код 1101000, его дополнительный код 010, код сравнения 100, т.е. ошибка в четвертом разряде.

К числу эффективных кодов, обнаруживающих одиночные, кратные ошибки и пачки ошибок, относятся циклические коды (CRC – Cyclic Redundance Code). Они высоконадежны и могут применяться при блочной синхронизации, при которой выделение, например, бита нечетности было бы затруднительно.

Один из вариантов циклического кодирования заключается в умножении исходного кода на образующий полином g(Х), a декодирование – в делении на g(Х). Если остаток от деления не равен нулю, то произошла ошибка. Сигнал об ошибке поступает на передатчик, что вызывает повторную передачу.

Образующий полином есть двоичное представление одного из простых множителей, на которые раскладывается число Xn–1, где Xnобозначает единицу в n-м разряде, n равно числу разрядов кодовой группы. Так, если n=10 и Х=2, то Xn–1=1023=11·93, и если g(X) = 11 или в двоичном коде 1011, то примеры циклических кодов Ai·g(X) чисел Aiв кодовой группе при этом образующем полиноме можно видеть в табл. 2.2.

Основной вариант циклического кода, широко применяемый на практике, отличается от предыдущего тем, что операция деления на образующий полином заменяется следующим алгоритмом: 1) к исходному кодируемому числу А справа приписывается К нулей, где К – число битов в образующем полиноме, уменьшенное на единицу; 2) над полученным числом А(2К) выполняется операция О, отличающаяся от деления тем, что на каждом шаге операции вместо вычитания выполняется поразрядная операция “исключающее ИЛИ”; 3) полученный остаток В и есть CRC – избыточный K-разрядный код, который заменяет в закодированном числе С приписанные справа К нулей, т.е.

На приемном конце над кодом С выполняется операция О. Если остаток не равен нулю, то при передаче произошла ошибка и нужна повторная передача кода А.

Пример 3. Пусть А = 1001 1101, образующий полином 11001.

Так как К = 4, то А(2К)=100111010000. Выполнение операции О расчета циклического кода показано на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Пример получения циклического кода

Положительными свойствами циклических кодов являются малая вероятность необнаружения ошибки и сравнительно небольшое число избыточных разрядов.

Общепринятое обозначение образующих полиномов дает следующий пример:

g(X) = Xl6 + Х l2 + Х5+ 1,

что эквивалентно коду 1 0001 0000 0010 0001.

Наличие в сообщениях избыточности позволяет ставить вопрос о сжатии данных, т.е. о передаче того же количества информации с помощью последовательностей символов меньшей длины. Для этого используются специальные алгоритмы сжатия, уменьшающие избыточность. Эффект сжатия оценивают коэффициентом сжатия:

где n – число минимально необходимых символов для передачи сообщения (практически это число символов на выходе эталонного алгоритма сжатия); q – число символов в сообщении, сжатом данным алгоритмом. Так, при двоичном кодировании n равно энтропии источника информации. Часто степень сжатия оценивают отношением длин кодов на входе и выходе алгоритма сжатия.

Наряду с методами сжатия, не уменьшающими количество информации в сообщении, применяются методы сжатия, основанные на потере малосущественной информации.

Сжатие данных осуществляется либо на прикладном уровне с помощью программ сжатия, называемых архиваторами, либо с помощью устройств защиты от ошибок (УЗО) непосредственно в составе модемов.

Очевидный способ сжатия числовой информации, представленной в коде ASCII, заключается в использовании сокращенного кода с четырьмя битами на символ вместо восьми, так как передается набор, включающий только 10 цифр, символы “точка”, “запятая” и “пробел”.

Среди простых алгоритмов сжатия наиболее известны алгоритмы RLE (Run Length Encoding). В них вместо передачи цепочки из одинаковых символов передаются символ и значение длины цепочки. Метод эффективен при передаче растровых изображений, но малополезен при передаче текста.

К методам сжатия относят также методы разностного кодирования, поскольку разности амплитуд отсчетов представляются меньшим числом разрядов, чем сами амплитуды. Разностное кодирование реализовано в методах дельта-модуляции и ее разновидностях.

Предсказывающие (предиктивные) методы основаны на экстраполяции значений амплитуд отсчетов, и если выполнено условие

то отсчет должен быть передан, иначе он является избыточным; здесь Аrи Ар– амплитуды реального и предсказанного отсчетов; d – допуск (допустимая погрешность представления амплитуд).

Иллюстрация предсказывающего метода с линейной экстраполяцией представлена на рис. 2.8. Здесь точками показаны предсказываемые значения сигнала. Если точка выходит за пределы “коридора” (допуска d), показанного пунктирными линиями, то происходит передача отсчета. На рис. 2.8 передаваемые отсчеты отмечены темными кружками в моменты времени t1, t2, t4, t7. Если передачи отсчета нет, то на приемном конце принимается экстраполированное значение.

Рис. 2.8. Предиктивное кодирование

Методы MPEG (Moving Pictures Experts Group) используют предсказывающее кодирование изображений (для сжатия данных о движущихся объектах вместе со звуком). Так, если передавать только изменившиеся во времени пиксели изображения, то достигается сжатие в несколько десятков раз. Методы MPEG становятся мировыми стандартами для цифрового телевидения.

Для сжатия данных об изображениях можно использовать также методы типа JPEG (Joint Photographic Expert Group), основанные на потере малосущественной информации (не различимые для глаза оттенки кодируются одинаково, коды могут стать короче). В этих методах передаваемая последовательность пикселей делится на блоки, в каждом блоке производится преобразование Фурье, устраняются высокие частоты, передаются коэффициенты разложения для оставшихся частот, по ним в приемнике изображение восстанавливается.

Другой принцип воплощен в фрактальном кодировании, при котором изображение, представленное совокупностью линий, описывается уравнениями этих линий.

Более универсален широко известный метод Хаффмена, относящийся к статистическим методам сжатия. Идея метода, – часто повторяющиеся символы нужно кодировать более короткими цепочками битов, чем цепочки редких символов. Недостаток метода заключается в необходимости знать вероятности символов. Если заранее они не известны, то требуются два прохода: на одном в передатчике подсчитываются вероятности, на другом эти вероятности и сжатый поток символов передаются к приемнику. Однако двухпроходность не всегда возможна.

Этот недостаток устраняется в однопроходных алгоритмах адаптивного сжатия, в которых схема кодирования есть схема приспособления к текущим особенностям передаваемого потока символов. Поскольку схема кодирования известна как кодеру, так и декодеру, сжатое сообщение будет восстановлено на приемном конце.

Обобщением этого способа является алгоритм, основанный на словаре сжатия данных. В нем происходит выделение и запоминание в словаре повторяющихся цепочек символов, которые кодируются цепочками меньшей длины.

Интересен алгоритм “стопка книг”, в котором код символа равен его порядковому номеру в списке. Появление символа в кодируемом потоке вызывает его перемещение в начало списка. Очевидно, что часто встречающиеся символы будут тяготеть к малым номерам, а они кодируются более короткими цепочками 1 и 0.

Кроме упомянутых алгоритмов сжатия существует ряд других алгоритмов, например LZ-алгоритмы (алгоритмы Лемпеля–Зива). В LZ-алгоритме используется следующая идея: если в тексте сообщения появляется последовательность из двух ранее уже встречавшихся символов, то эта последовательность объявляется новым символом, для нее назначается код, который при определенных условиях может быть значительно короче исходной последовательности. В дальнейшем в сжатом сообщении вместо исходной последовательности записывается назначенный код. При декодировании повторяются аналогичные действия и поэтому становятся известными последовательности символов для каждого кода.

Статьи к прочтению:

Способы организации и их особенности
Способы организации высокопроизводительных процессоров. ассоциативные процессоры. конвейерные процессоры. матричные процессоры

Телекоммуникация Часть 6: Способы контроля

Кодирование и защита от ошибок

Существует три наиболее распространенных орудия борьбы с ошибками в процессе передачи данных:

коды обнаружения ошибок;
коды с коррекцией ошибок, называемые также схемами прямой коррекции ошибок (Forward Error Correction — FEC);
протоколы с автоматическим запросом повторной передачи (Automatic Repeat Request — ARQ).

1) Методы обнаружения ошибок

2) Методы коррекции ошибок

000 1, 001 0, 010 0, 011 1, 100 0, 101 1, 110 1, 111 0, то есть всего 8 кодов из 16 возможных.

3) Методы автоматического запроса повторной передачи

Источник

To clean up transmission errors introduced by Earth’s atmosphere (left), Goddard scientists applied Reed–Solomon error correction (right), which is commonly used in CDs and DVDs. Typical errors include missing pixels (white) and false signals (black). The white stripe indicates a brief period when transmission was interrupted.

In information theory and coding theory with applications in computer science and telecommunication, error detection and correction (EDAC) or error control are techniques that enable reliable delivery of digital data over unreliable communication channels. Many communication channels are subject to channel noise, and thus errors may be introduced during transmission from the source to a receiver. Error detection techniques allow detecting such errors, while error correction enables reconstruction of the original data in many cases.

Definitions[edit]

Error detection is the detection of errors caused by noise or other impairments during transmission from the transmitter to the receiver.

Error correction is the detection of errors and reconstruction of the original, error-free data.

History[edit]

In classical antiquity, copyists of the Hebrew Bible were paid for their work according to the number of stichs (lines of verse). As the prose books of the Bible were hardly ever written in stichs, the copyists, in order to estimate the amount of work, had to count the letters.^[1] This also helped ensure accuracy in the transmission of the text with the production of subsequent copies.^[2]^[3] Between the 7th and 10th centuries CE a group of Jewish scribes formalized and expanded this to create the Numerical Masorah to ensure accurate reproduction of the sacred text. It included counts of the number of words in a line, section, book and groups of books, noting the middle stich of a book, word use statistics, and commentary.^[1] Standards became such that a deviation in even a single letter in a Torah scroll was considered unacceptable.^[4] The effectiveness of their error correction method was verified by the accuracy of copying through the centuries demonstrated by discovery of the Dead Sea Scrolls in 1947–1956, dating from c. 150 BCE-75 CE.^[5]

The modern development of error correction codes is credited to Richard Hamming in 1947.^[6] A description of Hamming’s code appeared in Claude Shannon’s A Mathematical Theory of Communication^[7] and was quickly generalized by Marcel J. E. Golay.^[8]

Principles[edit]

All error-detection and correction schemes add some redundancy (i.e., some extra data) to a message, which receivers can use to check consistency of the delivered message and to recover data that has been determined to be corrupted. Error detection and correction schemes can be either systematic or non-systematic. In a systematic scheme, the transmitter sends the original (error-free) data and attaches a fixed number of check bits (or parity data), which are derived from the data bits by some encoding algorithm. If error detection is required, a receiver can simply apply the same algorithm to the received data bits and compare its output with the received check bits; if the values do not match, an error has occurred at some point during the transmission. If error correction is required, a receiver can apply the decoding algorithm to the received data bits and the received check bits to recover the original error-free data. In a system that uses a non-systematic code, the original message is transformed into an encoded message carrying the same information and that has at least as many bits as the original message.

Good error control performance requires the scheme to be selected based on the characteristics of the communication channel. Common channel models include memoryless models where errors occur randomly and with a certain probability, and dynamic models where errors occur primarily in bursts. Consequently, error-detecting and correcting codes can be generally distinguished between random-error-detecting/correcting and burst-error-detecting/correcting. Some codes can also be suitable for a mixture of random errors and burst errors.

If the channel characteristics cannot be determined, or are highly variable, an error-detection scheme may be combined with a system for retransmissions of erroneous data. This is known as automatic repeat request (ARQ), and is most notably used in the Internet. An alternate approach for error control is hybrid automatic repeat request (HARQ), which is a combination of ARQ and error-correction coding.

Types of error correction[edit]

There are three major types of error correction:^[9]

Automatic repeat request[edit]

Automatic repeat request (ARQ) is an error control method for data transmission that makes use of error-detection codes, acknowledgment and/or negative acknowledgment messages, and timeouts to achieve reliable data transmission. An acknowledgment is a message sent by the receiver to indicate that it has correctly received a data frame.

Usually, when the transmitter does not receive the acknowledgment before the timeout occurs (i.e., within a reasonable amount of time after sending the data frame), it retransmits the frame until it is either correctly received or the error persists beyond a predetermined number of retransmissions.

Three types of ARQ protocols are Stop-and-wait ARQ, Go-Back-N ARQ, and Selective Repeat ARQ.

ARQ is appropriate if the communication channel has varying or unknown capacity, such as is the case on the Internet. However, ARQ requires the availability of a back channel, results in possibly increased latency due to retransmissions, and requires the maintenance of buffers and timers for retransmissions, which in the case of network congestion can put a strain on the server and overall network capacity.^[10]

For example, ARQ is used on shortwave radio data links in the form of ARQ-E, or combined with multiplexing as ARQ-M.

Forward error correction[edit]

Forward error correction (FEC) is a process of adding redundant data such as an error-correcting code (ECC) to a message so that it can be recovered by a receiver even when a number of errors (up to the capability of the code being used) are introduced, either during the process of transmission or on storage. Since the receiver does not have to ask the sender for retransmission of the data, a backchannel is not required in forward error correction. Error-correcting codes are used in lower-layer communication such as cellular network, high-speed fiber-optic communication and Wi-Fi,^[11]^[12] as well as for reliable storage in media such as flash memory, hard disk and RAM.^[13]

Error-correcting codes are usually distinguished between convolutional codes and block codes:

Convolutional codes are processed on a bit-by-bit basis. They are particularly suitable for implementation in hardware, and the Viterbi decoder allows optimal decoding.
Block codes are processed on a block-by-block basis. Early examples of block codes are repetition codes, Hamming codes and multidimensional parity-check codes. They were followed by a number of efficient codes, Reed–Solomon codes being the most notable due to their current widespread use. Turbo codes and low-density parity-check codes (LDPC) are relatively new constructions that can provide almost optimal efficiency.

Shannon’s theorem is an important theorem in forward error correction, and describes the maximum information rate at which reliable communication is possible over a channel that has a certain error probability or signal-to-noise ratio (SNR). This strict upper limit is expressed in terms of the channel capacity. More specifically, the theorem says that there exist codes such that with increasing encoding length the probability of error on a discrete memoryless channel can be made arbitrarily small, provided that the code rate is smaller than the channel capacity. The code rate is defined as the fraction k/n of k source symbols and n encoded symbols.

The actual maximum code rate allowed depends on the error-correcting code used, and may be lower. This is because Shannon’s proof was only of existential nature, and did not show how to construct codes that are both optimal and have efficient encoding and decoding algorithms.

Hybrid schemes[edit]

Hybrid ARQ is a combination of ARQ and forward error correction. There are two basic approaches:^[10]

Messages are always transmitted with FEC parity data (and error-detection redundancy). A receiver decodes a message using the parity information and requests retransmission using ARQ only if the parity data was not sufficient for successful decoding (identified through a failed integrity check).
Messages are transmitted without parity data (only with error-detection information). If a receiver detects an error, it requests FEC information from the transmitter using ARQ and uses it to reconstruct the original message.

The latter approach is particularly attractive on an erasure channel when using a rateless erasure code.

Types of error detection[edit]

Error detection is most commonly realized using a suitable hash function (or specifically, a checksum, cyclic redundancy check or other algorithm). A hash function adds a fixed-length tag to a message, which enables receivers to verify the delivered message by recomputing the tag and comparing it with the one provided.

There exists a vast variety of different hash function designs. However, some are of particularly widespread use because of either their simplicity or their suitability for detecting certain kinds of errors (e.g., the cyclic redundancy check’s performance in detecting burst errors).

Minimum distance coding[edit]

A random-error-correcting code based on minimum distance coding can provide a strict guarantee on the number of detectable errors, but it may not protect against a preimage attack.

Repetition codes[edit]

A repetition code is a coding scheme that repeats the bits across a channel to achieve error-free communication. Given a stream of data to be transmitted, the data are divided into blocks of bits. Each block is transmitted some predetermined number of times. For example, to send the bit pattern 1011, the four-bit block can be repeated three times, thus producing 1011 1011 1011. If this twelve-bit pattern was received as 1010 1011 1011 – where the first block is unlike the other two – an error has occurred.

A repetition code is very inefficient and can be susceptible to problems if the error occurs in exactly the same place for each group (e.g., 1010 1010 1010 in the previous example would be detected as correct). The advantage of repetition codes is that they are extremely simple, and are in fact used in some transmissions of numbers stations.^[14]^[15]

Parity bit[edit]

A parity bit is a bit that is added to a group of source bits to ensure that the number of set bits (i.e., bits with value 1) in the outcome is even or odd. It is a very simple scheme that can be used to detect single or any other odd number (i.e., three, five, etc.) of errors in the output. An even number of flipped bits will make the parity bit appear correct even though the data is erroneous.

Parity bits added to each word sent are called transverse redundancy checks, while those added at the end of a stream of words are called longitudinal redundancy checks. For example, if each of a series of m-bit words has a parity bit added, showing whether there were an odd or even number of ones in that word, any word with a single error in it will be detected. It will not be known where in the word the error is, however. If, in addition, after each stream of n words a parity sum is sent, each bit of which shows whether there were an odd or even number of ones at that bit-position sent in the most recent group, the exact position of the error can be determined and the error corrected. This method is only guaranteed to be effective, however, if there are no more than 1 error in every group of n words. With more error correction bits, more errors can be detected and in some cases corrected.

There are also other bit-grouping techniques.

Checksum[edit]

A checksum of a message is a modular arithmetic sum of message code words of a fixed word length (e.g., byte values). The sum may be negated by means of a ones’-complement operation prior to transmission to detect unintentional all-zero messages.

Checksum schemes include parity bits, check digits, and longitudinal redundancy checks. Some checksum schemes, such as the Damm algorithm, the Luhn algorithm, and the Verhoeff algorithm, are specifically designed to detect errors commonly introduced by humans in writing down or remembering identification numbers.

Cyclic redundancy check[edit]

A cyclic redundancy check (CRC) is a non-secure hash function designed to detect accidental changes to digital data in computer networks. It is not suitable for detecting maliciously introduced errors. It is characterized by specification of a generator polynomial, which is used as the divisor in a polynomial long division over a finite field, taking the input data as the dividend. The remainder becomes the result.

A CRC has properties that make it well suited for detecting burst errors. CRCs are particularly easy to implement in hardware and are therefore commonly used in computer networks and storage devices such as hard disk drives.

The parity bit can be seen as a special-case 1-bit CRC.

Cryptographic hash function[edit]

The output of a cryptographic hash function, also known as a message digest, can provide strong assurances about data integrity, whether changes of the data are accidental (e.g., due to transmission errors) or maliciously introduced. Any modification to the data will likely be detected through a mismatching hash value. Furthermore, given some hash value, it is typically infeasible to find some input data (other than the one given) that will yield the same hash value. If an attacker can change not only the message but also the hash value, then a keyed hash or message authentication code (MAC) can be used for additional security. Without knowing the key, it is not possible for the attacker to easily or conveniently calculate the correct keyed hash value for a modified message.

Error correction code[edit]

Any error-correcting code can be used for error detection. A code with minimum Hamming distance, d, can detect up to d − 1 errors in a code word. Using minimum-distance-based error-correcting codes for error detection can be suitable if a strict limit on the minimum number of errors to be detected is desired.

Codes with minimum Hamming distance d = 2 are degenerate cases of error-correcting codes and can be used to detect single errors. The parity bit is an example of a single-error-detecting code.

Applications[edit]

Applications that require low latency (such as telephone conversations) cannot use automatic repeat request (ARQ); they must use forward error correction (FEC). By the time an ARQ system discovers an error and re-transmits it, the re-sent data will arrive too late to be usable.

Applications where the transmitter immediately forgets the information as soon as it is sent (such as most television cameras) cannot use ARQ; they must use FEC because when an error occurs, the original data is no longer available.

Applications that use ARQ must have a return channel; applications having no return channel cannot use ARQ.

Applications that require extremely low error rates (such as digital money transfers) must use ARQ due to the possibility of uncorrectable errors with FEC.

Reliability and inspection engineering also make use of the theory of error-correcting codes.^[16]

Internet[edit]

In a typical TCP/IP stack, error control is performed at multiple levels:

Each Ethernet frame uses CRC-32 error detection. Frames with detected errors are discarded by the receiver hardware.
The IPv4 header contains a checksum protecting the contents of the header. Packets with incorrect checksums are dropped within the network or at the receiver.
The checksum was omitted from the IPv6 header in order to minimize processing costs in network routing and because current link layer technology is assumed to provide sufficient error detection (see also RFC 3819).
UDP has an optional checksum covering the payload and addressing information in the UDP and IP headers. Packets with incorrect checksums are discarded by the network stack. The checksum is optional under IPv4, and required under IPv6. When omitted, it is assumed the data-link layer provides the desired level of error protection.
TCP provides a checksum for protecting the payload and addressing information in the TCP and IP headers. Packets with incorrect checksums are discarded by the network stack and eventually get retransmitted using ARQ, either explicitly (such as through three-way handshake) or implicitly due to a timeout.

Deep-space telecommunications[edit]

The development of error-correction codes was tightly coupled with the history of deep-space missions due to the extreme dilution of signal power over interplanetary distances, and the limited power availability aboard space probes. Whereas early missions sent their data uncoded, starting in 1968, digital error correction was implemented in the form of (sub-optimally decoded) convolutional codes and Reed–Muller codes.^[17] The Reed–Muller code was well suited to the noise the spacecraft was subject to (approximately matching a bell curve), and was implemented for the Mariner spacecraft and used on missions between 1969 and 1977.

The Voyager 1 and Voyager 2 missions, which started in 1977, were designed to deliver color imaging and scientific information from Jupiter and Saturn.^[18] This resulted in increased coding requirements, and thus, the spacecraft were supported by (optimally Viterbi-decoded) convolutional codes that could be concatenated with an outer Golay (24,12,8) code. The Voyager 2 craft additionally supported an implementation of a Reed–Solomon code. The concatenated Reed–Solomon–Viterbi (RSV) code allowed for very powerful error correction, and enabled the spacecraft’s extended journey to Uranus and Neptune. After ECC system upgrades in 1989, both crafts used V2 RSV coding.

The Consultative Committee for Space Data Systems currently recommends usage of error correction codes with performance similar to the Voyager 2 RSV code as a minimum. Concatenated codes are increasingly falling out of favor with space missions, and are replaced by more powerful codes such as Turbo codes or LDPC codes.

The different kinds of deep space and orbital missions that are conducted suggest that trying to find a one-size-fits-all error correction system will be an ongoing problem. For missions close to Earth, the nature of the noise in the communication channel is different from that which a spacecraft on an interplanetary mission experiences. Additionally, as a spacecraft increases its distance from Earth, the problem of correcting for noise becomes more difficult.

Satellite broadcasting[edit]

The demand for satellite transponder bandwidth continues to grow, fueled by the desire to deliver television (including new channels and high-definition television) and IP data. Transponder availability and bandwidth constraints have limited this growth. Transponder capacity is determined by the selected modulation scheme and the proportion of capacity consumed by FEC.

Data storage[edit]

Error detection and correction codes are often used to improve the reliability of data storage media.^[19] A parity track capable of detecting single-bit errors was present on the first magnetic tape data storage in 1951. The optimal rectangular code used in group coded recording tapes not only detects but also corrects single-bit errors. Some file formats, particularly archive formats, include a checksum (most often CRC32) to detect corruption and truncation and can employ redundancy or parity files to recover portions of corrupted data. Reed-Solomon codes are used in compact discs to correct errors caused by scratches.

Modern hard drives use Reed–Solomon codes to detect and correct minor errors in sector reads, and to recover corrupted data from failing sectors and store that data in the spare sectors.^[20] RAID systems use a variety of error correction techniques to recover data when a hard drive completely fails. Filesystems such as ZFS or Btrfs, as well as some RAID implementations, support data scrubbing and resilvering, which allows bad blocks to be detected and (hopefully) recovered before they are used.^[21] The recovered data may be re-written to exactly the same physical location, to spare blocks elsewhere on the same piece of hardware, or the data may be rewritten onto replacement hardware.

Error-correcting memory[edit]

Dynamic random-access memory (DRAM) may provide stronger protection against soft errors by relying on error-correcting codes. Such error-correcting memory, known as ECC or EDAC-protected memory, is particularly desirable for mission-critical applications, such as scientific computing, financial, medical, etc. as well as extraterrestrial applications due to the increased radiation in space.

Error-correcting memory controllers traditionally use Hamming codes, although some use triple modular redundancy. Interleaving allows distributing the effect of a single cosmic ray potentially upsetting multiple physically neighboring bits across multiple words by associating neighboring bits to different words. As long as a single-event upset (SEU) does not exceed the error threshold (e.g., a single error) in any particular word between accesses, it can be corrected (e.g., by a single-bit error-correcting code), and the illusion of an error-free memory system may be maintained.^[22]

In addition to hardware providing features required for ECC memory to operate, operating systems usually contain related reporting facilities that are used to provide notifications when soft errors are transparently recovered. One example is the Linux kernel’s EDAC subsystem (previously known as Bluesmoke), which collects the data from error-checking-enabled components inside a computer system; besides collecting and reporting back the events related to ECC memory, it also supports other checksumming errors, including those detected on the PCI bus.^[23]^[24]^[25] A few systems^[specify] also support memory scrubbing to catch and correct errors early before they become unrecoverable.

References[edit]

^ ^a ^b «Masorah». Jewish Encyclopedia.
^ Pratico, Gary D.; Pelt, Miles V. Van (2009). Basics of Biblical Hebrew Grammar: Second Edition. Zondervan. ISBN 978-0-310-55882-8.
^ Mounce, William D. (2007). Greek for the Rest of Us: Using Greek Tools Without Mastering Biblical Languages. Zondervan. p. 289. ISBN 978-0-310-28289-1.
^ Mishneh Torah, Tefillin, Mezuzah, and Sefer Torah, 1:2. Example English translation: Eliyahu Touger. The Rambam’s Mishneh Torah. Moznaim Publishing Corporation.
^ Brian M. Fagan (5 December 1996). «Dead Sea Scrolls». The Oxford Companion to Archaeology. Oxford University Press. ISBN 0195076184.
^ Thompson, Thomas M. (1983), From Error-Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups, The Carus Mathematical Monographs (#21), The Mathematical Association of America, p. vii, ISBN 0-88385-023-0
^ Shannon, C.E. (1948), «A Mathematical Theory of Communication», Bell System Technical Journal, 27 (3): 379–423, doi:10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x, hdl:10338.dmlcz/101429, PMID 9230594
^ Golay, Marcel J. E. (1949), «Notes on Digital Coding», Proc.I.R.E. (I.E.E.E.), 37: 657
^ Gupta, Vikas; Verma, Chanderkant (November 2012). «Error Detection and Correction: An Introduction». International Journal of Advanced Research in Computer Science and Software Engineering. 2 (11). S2CID 17499858.
^ ^a ^b A. J. McAuley, Reliable Broadband Communication Using a Burst Erasure Correcting Code, ACM SIGCOMM, 1990.
^ Shah, Pradeep M.; Vyavahare, Prakash D.; Jain, Anjana (September 2015). «Modern error correcting codes for 4G and beyond: Turbo codes and LDPC codes». 2015 Radio and Antenna Days of the Indian Ocean (RADIO). pp. 1–2. doi:10.1109/RADIO.2015.7323369. ISBN 978-9-9903-7339-4. S2CID 28885076. Retrieved 22 May 2022.
^ «IEEE SA — IEEE 802.11ac-2013». IEEE Standards Association.
^ «Transition to Advanced Format 4K Sector Hard Drives | Seagate US». Seagate.com. Retrieved 22 May 2022.
^ Frank van Gerwen. «Numbers (and other mysterious) stations». Archived from the original on 12 July 2017. Retrieved 12 March 2012.
^ Gary Cutlack (25 August 2010). «Mysterious Russian ‘Numbers Station’ Changes Broadcast After 20 Years». Gizmodo. Archived from the original on 5 July 2017. Retrieved 12 March 2012.
^ Ben-Gal I.; Herer Y.; Raz T. (2003). «Self-correcting inspection procedure under inspection errors» (PDF). IIE Transactions. IIE Transactions on Quality and Reliability, 34(6), pp. 529-540. Archived from the original (PDF) on 2013-10-13. Retrieved 2014-01-10.
^ K. Andrews et al., The Development of Turbo and LDPC Codes for Deep-Space Applications, Proceedings of the IEEE, Vol. 95, No. 11, Nov. 2007.
^ Huffman, William Cary; Pless, Vera S. (2003). Fundamentals of Error-Correcting Codes. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78280-7.
^ Kurtas, Erozan M.; Vasic, Bane (2018-10-03). Advanced Error Control Techniques for Data Storage Systems. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3649-7.^{[permanent dead link]}
^ Scott A. Moulton. «My Hard Drive Died». Archived from the original on 2008-02-02.
^ Qiao, Zhi; Fu, Song; Chen, Hsing-Bung; Settlemyer, Bradley (2019). «Building Reliable High-Performance Storage Systems: An Empirical and Analytical Study». 2019 IEEE International Conference on Cluster Computing (CLUSTER). pp. 1–10. doi:10.1109/CLUSTER.2019.8891006. ISBN 978-1-7281-4734-5. S2CID 207951690.
^ «Using StrongArm SA-1110 in the On-Board Computer of Nanosatellite». Tsinghua Space Center, Tsinghua University, Beijing. Archived from the original on 2011-10-02. Retrieved 2009-02-16.
^ Jeff Layton. «Error Detection and Correction». Linux Magazine. Retrieved 2014-08-12.
^ «EDAC Project». bluesmoke.sourceforge.net. Retrieved 2014-08-12.
^ «Documentation/edac.txt». Linux kernel documentation. kernel.org. 2014-06-16. Archived from the original on 2009-09-05. Retrieved 2014-08-12.

External links[edit]

The on-line textbook: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, by David J.C. MacKay, contains chapters on elementary error-correcting codes; on the theoretical limits of error-correction; and on the latest state-of-the-art error-correcting codes, including low-density parity-check codes, turbo codes, and fountain codes.
ECC Page — implementations of popular ECC encoding and decoding routines

Источник

2004 г.

2.7. Обнаружение ошибок

Семёнов Ю.А. (ГНЦ ИТЭФ), book.itep.ru

Каналы передачи данных ненадежны, да и само оборудование обработки информации работает со сбоями. По этой причине важную роль приобретают механизмы детектирования ошибок. Ведь если ошибка обнаружена, можно осуществить повторную передачу данных и решить проблему. Если исходный код по своей длине равен полученному коду, обнаружить ошибку передачи не предоставляется возможным.

Простейшим способом обнаружения ошибок является контроль по четности. Обычно контролируется передача блока данных (М бит). Этому блоку ставится в соответствие кодовое слово длиной N бит, причем N>M. Избыточность кода характеризуется величиной 1-M/N. Вероятность обнаружения ошибки определяется отношением M/N (чем меньше это отношение, тем выше вероятность обнаружения ошибки, но и выше избыточность).

При передаче информации она кодируется таким образом, чтобы с одной стороны характеризовать ее минимальным числом символов, а с другой – минимизировать вероятность ошибки при декодировании получателем. Для выбора типа кодирования важную роль играет так называемое расстояние Хэмминга.

Пусть А и Б две двоичные кодовые последовательности равной длины. Расстояние Хэмминга между двумя этими кодовыми последовательностями равно числу символов, которыми они отличаются. Например, расстояние Хэмминга между кодами 00111 и 10101 равно 2.

Можно показать, что для детектирования ошибок в n битах, схема кодирования требует применения кодовых слов с расстоянием Хэмминга не менее N+1. Можно также показать, что для исправления ошибок в N битах необходима схема кодирования с расстоянием Хэмминга между кодами не менее 2N+1. Таким образом, конструируя код, мы пытаемся обеспечить расстояние Хэмминга между возможными кодовыми последовательностями больше, чем оно может возникнуть из-за ошибок.

Широко распространены коды с одиночным битом четности. В этих кодах к каждым М бит добавляется 1 бит, значение которого определяется четностью (или нечетностью) суммы этих М бит. Так, например, для двухбитовых кодов 00, 01, 10, 11 кодами с контролем четности будут 000, 011, 101 и 110. Если в процессе передачи один бит будет передан неверно, четность кода из М+1 бита изменится.

Предположим, что частота ошибок (BER) равна р=10^-4. В этом случае вероятность передачи 8 бит с ошибкой составит 1-(1-p)⁸=7,9х10^-4. Добавление бита четности позволяет детектировать любую ошибку в одном из переданных битах. Здесь вероятность ошибки в одном из 9 бит равна 9p(1-p)⁸. Вероятность же реализации необнаруженной ошибки составит 1-(1-p)⁹ – 9p(1-p)⁸ = 3,6×10^-7. Таким образом, добавление бита четности уменьшает вероятность необнаруженной ошибки почти в 1000 раз. Использование одного бита четности типично для асинхронного метода передачи. В синхронных каналах чаще используется вычисление и передача битов четности как для строк, так и для столбцов передаваемого массива данных. Такая схема позволяет не только регистрировать но и исправлять ошибки в одном из битов переданного блока.

Контроль по четности достаточно эффективен для выявления одиночных и множественных ошибок в условиях, когда они являются независимыми. При возникновении ошибок в кластерах бит метод контроля четности неэффективен и тогда предпочтительнее метод вычисления циклических сумм (CRC). В этом методе передаваемый кадр делится на специально подобранный образующий полином. Дополнение остатка от деления и является контрольной суммой.

В Ethernet Вычисление crc производится аппаратно (см. также ethernet). На рис. 2.7.1. показан пример реализации аппаратного расчета CRC для образующего полинома B(x)= 1 + x² + x³ +x⁵ + x⁷. В этой схеме входной код приходит слева.

Рис. 2.7.1. Схема реализации расчета CRC

Эффективность CRC для обнаружения ошибок на многие порядки выше простого контроля четности. В настоящее время стандартизовано несколько типов образующих полиномов. Для оценочных целей можно считать, что вероятность невыявления ошибки в случае использования CRC, если ошибка на самом деле имеет место, равна (1/2)^r, где r — степень образующего полинома.

CRC-12	x¹² + x¹¹ + x³ + x² + x¹ + 1
CRC-16	x¹⁶ + x¹⁵ + x² + 1
CRC-CCITT	x¹⁶ + x¹² + x⁵ + 1

Назад: 2.6.5. Статический алгоритм Хафмана
Оглавление: Телекоммуникационные технологии
Вперёд: 2.8. Коррекция ошибок

Источник

Обнаруже́ние оши́бок в технике связи — действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) — процедура восстановления информации после чтения её из устройства хранения или канала связи.

Содержание

1 Способы борьбы с ошибками
2 Коды обнаружения и исправления ошибок
- 2.1 Блоковые коды
  - 2.1.1 Линейные коды общего вида
    - 2.1.1.1 Минимальное расстояние и корректирующая способность
    - 2.1.1.2 Коды Хемминга
    - 2.1.1.3 Общий метод декодирования линейных кодов
  - 2.1.2 Линейные циклические коды
    - 2.1.2.1 Порождающий (генераторный) полином
    - 2.1.2.2 Коды CRC
    - 2.1.2.3 Коды БЧХ
    - 2.1.2.4 Коды коррекции ошибок Рида — Соломона
  - 2.1.3 Преимущества и недостатки блоковых кодов
- 2.2 Свёрточные коды
  - 2.2.1 Преимущества и недостатки свёрточных кодов
- 2.3 Каскадное кодирование. Итеративное декодирование
- 2.4 Сетевое кодирование
- 2.5 Оценка эффективности кодов
  - 2.5.1 Граница Хемминга и совершенные коды
  - 2.5.2 Энергетический выигрыш
- 2.6 Применение кодов, исправляющих ошибки
3 Автоматический запрос повторной передачи
- 3.1 Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)
- 3.2 Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)
- 3.3 Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)
4 См. также
5 Литература
6 Ссылки

Способы борьбы с ошибками[править | править код]

В системах связи возможны несколько стратегий борьбы с ошибками:

обнаружение ошибок в блоках данных и автоматический запрос повторной передачи повреждённых блоков — этот подход применяется, в основном, на канальном и транспортном уровнях;
обнаружение ошибок в блоках данных и отбрасывание повреждённых блоков — такой подход иногда применяется в системах потокового мультимедиа, где важна задержка передачи и нет времени на повторную передачу;
исправление ошибок (англ. forward error correction) применяется на физическом уровне.

Коды обнаружения и исправления ошибок[править | править код]

В действительности используемые коды обнаружения ошибок принадлежат к тем же классам кодов, что и коды, исправляющие ошибки. Фактически любой код, исправляющий ошибки, может быть также использован для обнаружения ошибок (при этом он будет способен обнаружить большее число ошибок, чем был способен исправить).

По способу работы с данными коды, исправляющие ошибки, делятся на блоковые, делящие информацию на фрагменты постоянной длины и обрабатывающие каждый из них в отдельности, и свёрточные, работающие с данными как с непрерывным потоком.

Блоковые коды[править | править код]

Пусть кодируемая информация делится на фрагменты длиной бит, которые преобразуются в кодовые слова длиной бит. Тогда соответствующий блоковый код обычно обозначают $(n,\;k)$ . При этом число $R=\frac{k}{n}$ называется скоростью кода.

Если исходные бит код оставляет неизменными, и добавляет n-k проверочных, такой код называется систематическим, иначе — несистематическим.

Задать блоковый код можно по-разному, в том числе таблицей, где каждой совокупности из информационных бит сопоставляется бит кодового слова. Однако хороший код должен удовлетворять как минимум следующим критериям:

способность исправлять как можно большее число ошибок,
как можно меньшая избыточность,
простота кодирования и декодирования.

Линейные коды общего вида[править | править код]

Пусть $C^{\perp}$ — ортогональное подпространство по отношению к , а — матрица, задающая базис этого подпространства. Тогда для любого вектора $\overrightarrow{v}\in C$ справедливо:

$\overrightarrow{v}H^T=\overrightarrow{0}.$

Минимальное расстояние и корректирующая способность[править | править код]

Расстоянием Хемминга (метрикой Хемминга) между двумя кодовыми словами $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{v}$ называется количество отличных бит на соответствующих позициях:

$d_H(\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v})=\sum_s{|u^{(s)}-v^{(s)}|}$

Минимальное расстояние Хемминга $d_\min=\min_{u\ne v}d_H(\overrightarrow{u},\;\overrightarrow{v})$ является важной характеристикой линейного блокового кода. Она показывает, насколько «далеко» расположены коды друг от друга. Она определяет другую, не менее важную характеристику — корректирующую способность:

$t=\left\lfloor\frac{d_\min-1}{2}\right\rfloor$

Корректирующая способность определяет, сколько ошибок передачи кода (типа $1\leftrightarrow 0$ ) можно гарантированно исправить. То есть вокруг каждого кодового слова имеем -окрестность A_t , которая состоит из всех возможных вариантов передачи кодового слова с числом ошибок ( $1\leftrightarrow 0$ ) не более . Никакие две окрестности двух любых кодовых слов не пересекаются друг с другом, так как расстояние между кодовыми словами (то есть центрами этих окрестностей) всегда больше двух их радиусов $d_H(A,\;B)\geqslant d_\min>2t$ .

Таким образом, получив искажённую кодовую комбинацию из A_t , декодер принимает решение, что исходной была кодовая комбинация , исправляя тем самым не более ошибок.

Поясним на примере. Предположим, что есть два кодовых слова и , расстояние Хемминга между ними равно 3. Если было передано слово , и канал внёс ошибку в одном бите, она может быть исправлена, так как даже в этом случае принятое слово ближе к кодовому слову , чем к любому другому, и, в частности, к . Но если каналом были внесены ошибки в двух битах (в которых отличалось от ), то результат ошибочной передачи окажется ближе к , чем , и декодер примет решение, что передавалось слово .

Коды Хемминга[править | править код]

Коды Хемминга — простейшие линейные коды с минимальным расстоянием 3, то есть способные исправить одну ошибку. Код Хемминга может быть представлен в таком виде, что синдром

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{r}H^T$

, где $\overrightarrow{r}$

Общий метод декодирования линейных кодов[править | править код]

Любой код (в том числе нелинейный) можно декодировать с помощью обычной таблицы, где каждому значению принятого слова $\overrightarrow{r}_i$ соответствует наиболее вероятное переданное слово $\overrightarrow{u}_i$ . Однако данный метод требует применения огромных таблиц уже для кодовых слов сравнительно небольшой длины.

Для линейных кодов этот метод можно существенно упростить. При этом для каждого принятого вектора $\overrightarrow{r}_i$ вычисляется синдром $\overrightarrow{s}_i=\overrightarrow{r}_i H^T$ . Поскольку $\overrightarrow{r}_i=\overrightarrow{v}_i+\overrightarrow{e}_i$ , где $\overrightarrow{v}_i$ — кодовое слово, а $\overrightarrow{e}_i$ — вектор ошибки, то $\overrightarrow{s}_i=\overrightarrow{e}_i H^T$ . Затем с помощью таблицы по синдрому определяется вектор ошибки, с помощью которого определяется переданное кодовое слово. При этом таблица получается гораздо меньше, чем при использовании предыдущего метода.

Линейные циклические коды[править | править код]

Несмотря на то, что декодирование линейных кодов значительно проще декодирования большинства нелинейных, для большинства кодов этот процесс всё ещё достаточно сложен. Циклические коды, кроме более простого декодирования, обладают и другими важными свойствами.

Циклическим кодом является линейный код, обладающий следующим свойством: если $\overrightarrow{v}$ является кодовым словом, то его циклическая перестановка также является кодовым словом.

Слова циклического кода удобно представлять в виде многочленов. Например, кодовое слово $\overrightarrow{v}=(v_0,\;v_1,\;\ldots,\;v_{n-1})$ представляется в виде полинома $v(x)=v_0+v_1 x+\ldots+v_{n-1}x^{n-1}$ . При этом циклический сдвиг кодового слова эквивалентен умножению многочлена на по модулю x^n-1 .

В дальнейшем, если не указано иное, мы будем считать, что циклический код является двоичным, то есть $v_0,\;v_1,\;\ldots$ могут принимать значения 0 или 1.

Порождающий (генераторный) полином[править | править код]

Можно показать, что все кодовые слова конкретного циклического кода кратны определённому порождающему полиному g(x) . Порождающий полином является делителем x^n-1 .

С помощью порождающего полинома осуществляется кодирование циклическим кодом. В частности:

Коды CRC[править | править код]

Коды CRC (англ. cyclic redundancy check — циклическая избыточная проверка) являются систематическими кодами, предназначенными не для исправления ошибок, а для их обнаружения. Они используют способ систематического кодирования, изложенный выше: «контрольная сумма» вычисляется путём деления $x^{n-k}u(x)$ на g(x) . Ввиду того, что исправление ошибок не требуется, проверка правильности передачи может производиться точно так же.

Таким образом, вид полинома g(x) задаёт конкретный код CRC. Примеры наиболее популярных полиномов:

Название кода	Степень	Полином
CRC-12	12	$x^{12}+x^{11}+x^{3}+x^{2}+x+1$
CRC-16	16	$x^{16}+x^{15}+x^{2}+1$
CRC-CCITT	16	$x^{16}+x^{12}+x^{5}+1$
CRC-32	32	$x^{32}+x^{26}+x^{23}+x^{22}+x^{16}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1$

Коды БЧХ[править | править код]

Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема (БЧХ) являются подклассом циклических кодов. Их отличительное свойство — возможность построения кода БЧХ с минимальным расстоянием не меньше заданного. Это важно, потому что, вообще говоря, определение минимального расстояния кода есть очень сложная задача.

Коды коррекции ошибок Рида — Соломона[править | править код]

Коды Рида — Соломона — недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида-Соломона, работающие с байтами (октетами).

Математически коды Рида — Соломона являются кодами БЧХ.

Преимущества и недостатки блоковых кодов[править | править код]

Свёрточные коды[править | править код]

Свёрточный кодер ( $k=7,\;R=1/2$ )

Свёрточные коды, в отличие от блоковых, не делят информацию на фрагменты и работают с ней как со сплошным потоком данных.

Преимущества и недостатки свёрточных кодов[править | править код]

Каскадное кодирование. Итеративное декодирование[править | править код]

Некоторые коды-произведения специально сконструированы для итеративного декодирования, при котором декодирование осуществляется в несколько проходов, каждый из которых использует информацию от предыдущего. Это позволяет добиться большой эффективности, однако декодирование требует больших ресурсов. К таким кодам относят турбо-коды и LDPC-коды (коды Галлагера).

Сетевое кодирование[править | править код]

Оценка эффективности кодов[править | править код]

Граница Хемминга и совершенные коды[править | править код]

Пусть имеется двоичный блоковый (n,k) код с корректирующей способностью . Тогда справедливо неравенство (называемое границей Хемминга):

$\sum_{i=0}^t {n\choose i}\leqslant 2^{n-k}.$

Энергетический выигрыш[править | править код]

При передаче информации по каналу связи вероятность ошибки зависит от отношения сигнал/шум на входе демодулятора, таким образом, при постоянном уровне шума решающее значение имеет мощность передатчика. В системах спутниковой и мобильной, а также других типов связи остро стоит вопрос экономии энергии. Кроме того, в определённых системах связи (например, телефонной) неограниченно повышать мощность сигнала не дают технические ограничения.

Применение кодов, исправляющих ошибки[править | править код]

Коды, исправляющие ошибки, применяются:

в системах цифровой связи, в том числе: спутниковой, радиорелейной, сотовой, передаче данных по телефонным каналам.
в системах хранения информации, в том числе магнитных и оптических.

Коды, обнаруживающие ошибки, применяются в сетевых протоколах различных уровней.

Автоматический запрос повторной передачи[править | править код]

Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)[править | править код]

Идея этого метода заключается в том, что передатчик ожидает от приемника подтверждения успешного приема предыдущего блока данных перед тем, как начать передачу следующего. В случае, если блок данных был принят с ошибкой, приемник передает отрицательное подтверждение (negative acknowledgement, NAK), и передатчик повторяет передачу блока. Данный метод подходит для полудуплексного канала связи. Его недостатком является низкая скорость из-за высоких накладных расходов на ожидание.

Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)[править | править код]

Для этого метода необходим полнодуплексный канал. Передача данных от передатчика к приемнику производится одновременно. В случае ошибки передача возобновляется, начиная с ошибочного блока (то есть передается ошибочный блок и все последующие).

Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)[править | править код]

При этом подходе осуществляется передача только ошибочно принятых блоков данных.

См. также[править | править код]

Цифровая связь
Код ответа (Код причины завершения)
Линейный код
Циклический код
Код Боуза — Чоудхури — Хоквингема
Код Рида — Соломона
LDPC
Свёрточный код
Турбо-код

Литература[править | править код]

Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки = Theory and Practice of Error Control Codes. — М.: Мир, 1986. — 576 с.
Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Радио и связь, 1979.
Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение / пер. с англ. В. Б. Афанасьева. — М.: Техносфера, 2006. — 320 с. — (Мир связи). — 2000 экз. — ISBN 5-94836-035-0.

Ссылки[править | править код]

Помехоустойчивое кодирование (11 ноября 2001). — реферат по проблеме кодирования сообщений с исправлением ошибок. Проверено 25 декабря 2006. Архивировано 25 августа 2011 года.
Коды Рида-Соломона. Простой пример. Просто, доступно, на конкретных числах. Для начинающих.

Источник

Способы обнаружения и устранения ошибок при передачи данных в сетях.

Способы обнаружения и устранения ошибок при передачи данных в сетях.

Errors

Types of Errors

Error Control

Error Detection Techniques

Parity Check

Checksum

Cyclic Redundancy Check (CRC)

Error Correction Techniques

Кодирование и защита от ошибок

1) Методы обнаружения ошибок

2) Методы коррекции ошибок

3) Методы автоматического запроса повторной передачи

Способы борьбы с ошибками

Коды обнаружения и исправления ошибок

Блоковые коды

Линейные коды общего вида

Минимальное расстояние и корректирующая способность

Коды Хемминга

Общий метод декодирования линейных кодов

Линейные циклические коды

Порождающий (генераторный) полином

Коды CRC

Коды БЧХ

Коды коррекции ошибок Рида — Соломона

Преимущества и недостатки блоковых кодов

Свёрточные коды

Преимущества и недостатки свёрточных кодов

Каскадное кодирование. Итеративное декодирование

Оценка эффективности кодов

Граница Хемминга и совершенные коды

Энергетический выигрыш

Применение кодов, исправляющих ошибки

Автоматический запрос повторной передачи

Запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ)

Непрерывный запрос ARQ с возвратом (continuous ARQ with pullback)

Непрерывный запрос ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective repeat)

См. также

Литература

Ссылки

Контроль правильности передачи данных

Пакетный метод передачи данных по последовательному каналу

Управление последовательным каналом при полудуплексной связи

Способы обнаружения ошибок при передаче данных

Способы обнаружения и устранения ошибок при передачи данных в сетях.

ИТ База знаний

Полезно

Навигация

Серверные решения

Телефония

Корпоративные сети

Ошибки в компьютерных сетях

Обнаружение ошибок

Исправление ошибок

Errors

Types of Errors

Error Control

Error Detection Techniques

Parity Check

Checksum

Cyclic Redundancy Check (CRC)

Error Correction Techniques

Errors

Types of Errors

Error Control

Error Detection Techniques

Parity Check

Checksum

Cyclic Redundancy Check (CRC)

Error Correction Techniques

Каналы с ошибкой

Код с утроением

Расстояния между кодами

Окрестности

Сколько ошибок может исправить код?

Интерлюдия: поле GF(2)

Проверяем корректность

Кодирование

Ошибка по синдрому