Groupthink is a collective set of systematic errors (biases) held by and perpetuated by a group.
From: Paradigms Lost, 2006
Experimental techniques
Yanqiu Huang, … Zhixiang Cao, in Industrial Ventilation Design Guidebook (Second Edition), 2021
4.3.3.2 Measurement errors
The measurement errors are divided into two categories: systematic errors and random errors (OIML, 1978).
Systematic error is an error which, in the course of a number of measurements carried out under the same conditions of a given value and quantity, either remains constant in absolute value and sign, or varies according to definite law with changing conditions.
Random error varies in an unpredictable manner in absolute value and in sign when a large number of measurements of the same value of a quantity are made under essentially identical conditions.
The origins of the above two errors are different in cause and nature. A simple example is when the mass of a weight is less than its nominal value, a systematic error occurs, which is constant in absolute value and sign. This is a pure systematic error. A ventilation-related example is when the instrument factor of a Pitot-static tube, which defines the relationship between the measured pressure difference and the velocity, is incorrect, a systematic error occurs. On the other hand, if a Pitot-static tube is positioned manually in a duct in such a way that the tube tip is randomly on either side of the intended measurement point, a random error occurs. This way, different phenomena create different types of error. The (total) error of measurement usually is a combination of the above two types.
The question may be asked, that is, what is the reason for dividing the errors into two categories? The answer is the totally different way of dealing with these different types. Systematic error can be eliminated to a sufficient degree, whereas random error cannot. The following section shows how to deal with these errors.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128166734000043
EXPERIMENTAL TECHNIQUES
KAI SIREN, … PETER V. NIELSEN, in Industrial Ventilation Design Guidebook, 2001
12.3.3.11 Systematic Errors
Systematic error, as stated above, can be eliminated—not totally, but usually to a sufficient degree. This elimination process is called “calibration.” Calibration is simply a procedure where the result of measurement recorded by an instrument is compared with the measurement result of a standard. A standard is a measuring device intended to define, to represent physically, to conserve, or to reproduce the unit of measurement in order to transmit it to other measuring instruments by comparison.1 There are several categories of standards, but, simplifying a little, a standard is an instrument with a very high accuracy and can for that reason be used as a reference for ordinary measuring instruments. The calibration itself is usually carried out by measuring the quantity over the whole range required and by defining either one correction factor for the whole range, for a constant systematic error, or a correction curve or equation for the whole range. Applying this correction to the measurement result eliminates, more or less, the systematic error and gives the corrected result of measurement.
A primary standard has the highest metrological quality in a given field. Hence, the primary standard is the most accurate way to measure or to reproduce the value of a quantity. Primary standards are usually complicated instruments, which are essentially laboratory instruments and unsuited for site measurement. They require skilled handling and can be expensive. For these reasons it is not practical to calibrate all ordinary meters against a primary standard. To utilize the solid metrological basis of the primary standard, a chain of secondary standards, reference standards, and working standards combine the primary standard and the ordinary instruments. The lower level standard in the chain is calibrated using the next higher level standard. This is called “traceability.” In all calibrations traceability along the chain should exist, up to the instrument with the highest reliability, the primary standard.
The question is often asked, How often should calibration be carried out? Is it sufficient to do it once, or should it be repeated? The answer to this question depends on the instrument type. A very simple instrument that is robust and stable may require calibrating only once during its lifetime. Some fundamental meters do not need calibration at all. A Pitot-static tube or a liquid U-tube manometer are examples of such simple instruments. On the other hand, complicated instruments with many components or sensitive components may need calibration at short intervals. Also fouling and wearing are reasons not only for maintenance but also calibration. Thus the proper calibration interval depends on the instrument itself and its use. The manufacturers recommendations as well as past experience are often the only guidelines.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780122896767500151
Intelligent control and protection in the Russian electric power system
Nikolai Voropai, … Daniil Panasetsky, in Application of Smart Grid Technologies, 2018
3.3.1.2 Systematic errors in PMU measurements
The systematic errors caused by the errors of the instrument transformers that exceed the class of their accuracy are constantly present in the measurements and can be identified by considering some successive snapshots of measurements. The TE linearized at the point of a true measurement, taking into account random and systematic errors, can be written as:
(25)wky¯=∑l∈ωk∂w∂ylξyl+cyl=∑aklξyl+∑aklcyl
where ∑ aklξyl—mathematical expectation of random errors of the TE, equal to zero; ∑ aklcyl—mathematical expectation of systematic error of the TE, ωk—a set of measurements contained in the kth TE.
The author of Ref. [28] suggests an algorithm for the identification of a systematic component of the measurement error on the basis of the current discrepancy of the TE. The algorithm rests on the fact that systematic errors of measurements do not change through a long time interval. In this case, condition (17) will not be met during such an interval of time. Based on the snapshots that arrive at time instants 0, 1, 2, …, t − 1, t…, the sliding average method is used to calculate the mathematical expectation of the TE discrepancy:
(26)Δwkt=1−αΔwkt−1+αwkt
where 0 ≤ α ≤ 1.
Fig. 5 shows the curve of the TE discrepancy (a thin dotted line) calculated by (26) for 100 snapshots of measurements that do not have systematic errors.
Fig. 5. Detection of a systematic error in the PMU measurements and identification of mathematical expectation of the test equation.
It virtually does not exceed the threshold dk = 0.014 (a light horizontal line). Above the threshold, there is a curve of the TE discrepancy (a bold dotted line) that contains a measurement with a systematic error and a curve of nonzero mathematical expectation Δwk(t) ∈ [0.026; 0.03] (a black-blue thick line). However, the nonzero value of the calculated mathematical expectation of the TE discrepancy can only testify to the presence of a systematic error in the PMU measurements contained in this TE, but cannot be used to locate it.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128031285000039
Measurements
Sankara Papavinasam, in Corrosion Control in the Oil and Gas Industry, 2014
ii Systematic or determinate error
To define systematic error, one needs to understand ‘accuracy’. Accuracy is a measure of the closeness of the data to its true or accepted value. Figure 12.3 illustrates accuracy schematically.4 Determining the accuracy of a measurement is difficult because the true value may never be known, so for this reason an accepted value is commonly used. Systematic error moves the mean or average value of a measurement from the true or accepted value.
FIGURE 12.3. Difference between Accuracy and Precision in a Measurement.4
Reproduced with permission from Brooks/Cole, A Division of Cengage Learning.
Systematic error may be expressed as absolute error or relative error:
- •
-
The absolute error (EA) is a measure of the difference between the measured value (xi) and true or accepted value (xt) (Eqn. 12.5):
(Eqn. 12.5)EA=xi−xt
Absolute error bears a sign:
- •
-
A negative sign indicates that the measured value is smaller than true value and
- •
-
A positive sign indicates that the measured value is higher than true value
The relative error (ER) is the ratio of measured value to true value and it is expressed as (Eqn. 12.6):
(Eqn. 12.6)ER=(xi−xtxt).100
Table 12.2 illustrates the absolute and relative errors for six measurements in determining the concentration of 20 ppm of an ionic species in solution.
Table 12.2. Relative and Absolute Errors in Six Measurements of Aqueous Solution Containing 20 ppm of an Ionic Species
| Measured Value | Absolute Error | Relative Error (Percentage) | Remarks |
|---|---|---|---|
| 19.4 | −0.6 | −3.0 | Experimental value lower than actual value. |
| 19.5 | −0.5 | −2.5 | |
| 19.6 | −0.4 | −2.0 | |
| 19.8 | −0.2 | −1.0 | |
| 20.1 | +0.1 | +0.5 | Experimental value higher than actual value. |
| 20.3 | +0.3 | +1.5 |
Systematic error may occur due to instrument, methodology, and personal error.
Instrument error
Instrument error occurs due to variations that can affect the functionality of the instrument. Some common causes include temperature change, voltage fluctuation, variations in resistance, distortion of the container, error from original calibration, and contamination. Most instrument errors can be detected and corrected by frequently calibrating the instrument using a standard reference material. Standard reference materials may occur in different forms including minerals, gas mixtures, hydrocarbon mixtures, polymers, solutions of known concentration of chemicals, weight, and volume. The standard reference materials may be prepared in the laboratory or may be obtained from standard-making organizations (e.g., ASTM standard reference materials), government agencies (e.g., National Institute of Standards and Technology (NIST) provides about 900 reference materials) and commercial suppliers. If standard materials are not available, a blank test may be performed using a solution without the sample. The value from this test may be used to correct the results from the actual sample. However this methodology may not be applicable for correcting instrumental error in all situations.
Methodology error
Methodology error occurs due to the non-ideal physical or chemical behavior of the method. Some common causes include variation of chemical reaction and its rate, incompleteness of the reaction between analyte and the sensing element due to the presence of other interfering substances, non-specificity of the method, side reactions, and decomposition of the reactant due to the measurement process. Methodology error is often difficult to detect and correct, and is therefore the most serious of the three types of systematic error. Therefore a suitable method free from methodology error should be established for routine analysis.
Personal error
Personal error occurs due to carelessness, lack of detailed knowledge of the measurement, limitation (e.g., color blindness of a person performing color-change titration), judgment, and prejudice of person performing the measurement. Some of these can be overcome by automation, proper training, and making sure that the person overcomes any bias to preserve the integrity of the measurement.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780123970220000121
Experimental Design and Sample Size Calculations
Andrew P. King, Robert J. Eckersley, in Statistics for Biomedical Engineers and Scientists, 2019
9.4.2 Blinding
Systematic errors can arise because either the participants or the researchers have particular knowledge about the experiment. Probably the best known example is the placebo effect, in which patients’ symptoms can improve simply because they believe that they have received some treatment even though, in reality, they have been given a treatment of no therapeutic value (e.g. a sugar pill). What is less well known, but nevertheless well established, is that the behavior of researchers can alter in a similar way. For example, a researcher who knows that a participant has received a specific treatment may monitor the participant much more carefully than a participant who he/she knows has received no treatment. Blinding is a method to reduce the chance of these effects causing a bias. There are three levels of blinding:
- 1.
-
Single-blind. The participant does not know if he/she is a member of the treatment or control group. This normally requires the control group to receive a placebo. Single-blinding can be easy to achieve in some types of experiments, for example, in drug trials the control group could receive sugar pills. However, it can be more difficult for other types of treatment. For example, in surgery there are ethical issues involved in patients having a placebo (or sham) operation.2
- 2.
-
Double-blind. Neither the participant nor the researcher who delivers the treatment knows whether the participant is in the treatment or control group.
- 3.
-
Triple-blind. Neither the participant, the researcher who delivers the treatment, nor the researcher who measures the response knows whether the participant is in the treatment or control group.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780081029398000189
The pursuit and definition of accuracy
Anthony J. Martyr, David R. Rogers, in Engine Testing (Fifth Edition), 2021
Systematic instrument errors
Typical systematic errors (Fig. 19.2C) include the following:
- 1.
-
Zero errors—the instrument does not read zero when the value of the quantity observed is zero.
- 2.
-
Scaling errors—the instrument reads systematically high or low.
- 3.
-
Nonlinearity—the relation between the true value of the quantity and the indicated value is not exactly in proportion; if the proportion of error is plotted against each measurement over full scale, the graph is nonlinear.
- 4.
-
Dimensional errors—for example, the effective length of a dynamometer torque arm may not be precisely correct.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B978012821226400019X
Power spectrum and filtering
Andreas Skiadopoulos, Nick Stergiou, in Biomechanics and Gait Analysis, 2020
5.10 Practical implementation
As suggested by Winter (2009), to cancel the phase shift of the output signal relative to the input that is introduced by the second-order filter, the once-filtered data has to filtered again, but this time in the reverse direction. However, at every pass the −3dB cutoff frequency is pushed lower, and a correction is needed to match the original single-pass filter. This correction should be applied once the coefficients of the fourth-order low-pass filter are calculated. Nevertheless, it should be also checked whether functions of closed source software use the correction factor. If they have not used it, the output of the analyzed signal will be distorted. The format of the recursive second-order filter is given by Eq. (5.36) (Winter, 2009):
(5.36)yk=α0χk+α1χk−1+α2χk−2+β1yk−1+β2yk−2
where y are the filtered output data, x are past inputs, and k the kth sample.The coefficients α0,α1,α2,β1, and β2 for a second-order Butterworth low-pass filter are computed from Eq. (5.37) (Winter, 2009):
(5.37)ωc=tanπfcfsCK1=2ωcK2=ωc2K3=α1K2α0=K21+K1+K2α1=2α0α2=α0β1=K3−α1β2=1−α1-K3
where, ωc is the cutoff angular frequency in rad/s, fc is the cutoff frequency in Hz, and fs is the sampling rate in Hz. When the filtered data are filtered again in the reverse direction to cancel phase-shift, the following correction factor to compensate for the introduced error should be used:
(5.38)C=(21n−1)14
where n≥2 is the number of passes. For a single-pass C=1, and no compensation is needed. For a dual pass, (n=2), a compensation is needed, and the correction factor should be applied. Thus, the ωc term from Eq. (5.37) is calculated as follows:
(5.39)ωc=tan(πfcfs)(212−1)14=tan(πfcfs)0.802
A systematic error is introduced to the signal if the correction factor is not applied. Therefore, remember to check any algorithm before using it. Let us check the correctness of the fourth-order low-pass filter that was built previously in R language. Vignette 5.2 contains the code to perform Winter’s (2009) low-pass filter in R programming language. Because the filter needs two past inputs (two data points) to compute a present filtered output (one data point), the time-series data to be filtered (the raw data) should be padded at the beginning and at the end. Additional data are usually collected before and after the period of interest.
Vignette 5.2
The following vignette contains a code in R programming language that performs the fourth-order zero-phase-shift low-pass filter from Eq. (5.37).
- 1.
-
The first step is to create a sine (or equally a cosine) wave with known amplitude and known frequency. Vignette 5.3 is used to synthesize periodic digital waves. Let us create a simple periodic sine wave s[n] with the following characteristics:
- a.
-
Amplitude A=1 unit (e.g., 1 m);
- b.
-
Frequency f=2 Hz;
- c.
-
Phase θ=0 rad;
- d.
-
Shift a0=0 unit (e.g., 0 m).
Vignette 5.3
The following vignette contains a code in R programming language that synthesizes periodic waveforms from sinusoids.
Let us choose an arbitrary fundamental period T0=2 seconds, which corresponds to a fundamental frequency of f0=1/T0=0.5 Hz. Now, knowing the fundamental frequency, the fourth harmonic that corresponds to a sine wave with frequency of f=2 Hz will be chosen. The periodic sine wave s[n] will be sampled at Fs=40 Hz (Ts=1/40 seconds) (i.e., 20 times the Nyquist frequency, fN=2 Hz). The sine wave will be recorded for a time interval of t=2 s, which corresponds to N=80 data points. Thus, and because ω0=2πf0, we have:
s[n]=sin(2ω0nTs)
which means that the fourth harmonic has frequency f=2
Hz. Fig. 5.14A shows the sine wave created. The first and last 20 data points can be considered as extra points (padded). Additional data at the beginning and end of the signal are needed for the next steps because the filter is does not behave well at the edges. Thus, the signal of interest starts at 0.5
seconds and ends at 1.5
seconds, which corresponds to N=40 data points.
Figure 5.14. (A) Example of a low-pass filter (cutoff frequency=2 Hz) applied to a sine wave sampled at 40 Hz, with amplitude equal to 1 m, and frequency equal to 2 Hz. (B) The signal interpolated by a factor of 2, and filtered with cutoff frequency equal to the frequency of the sine wave (cutoff frequency=2 Hz). (C) Since the amplitude of the filtered signal has been reduced by a ratio of 0.707, the low-pass filter correctly attenuated the signal. The power spectra of the original and reconstructed signal are shown.
- 2.
-
An extra, but not mandatory, step is to interpolate the created sine wave in order to increase the temporal resolution of the created signal (Fig. 5.14B). Of course, when a digital periodic signal is created from scratch, like we are doing using the R code in the vignettes, we can easily sample the signal at higher frequencies. However, if we want to use real biomechanical time series data, that have already been collected, a possible way to increase its temporal resolution is by using the Whittaker–Shannon interpolation formula. With the Whittaker–Shannon interpolation a signal is up-sampled with interpolation using the sinc() function (Yaroslavsky, 1997):
(5.40)s(x)=∑n=0N−1αnsin(π(xΔx−n))Nsin(π(xΔx−n)/N)
The Whittaker–Shannon interpolation formula can be used to increase the temporal resolution after removing the “white” noise from the data. Without filtering, the interpolation results in a noise level equal to that of the original signal before sampling (Marks, 1991). However, the interpolation noise can be reduced by both oversampling and filtering the data before interpolation (Marks, 1991). An alternative, and efficient, method is to run the DFT, zero-pad the signal, and then take the IDFT to reconstruct it. Vignette 5.4 can be used to increase the temporal resolution by a factor of 2, which corresponds to a sampling frequency of 80 Hz.
Vignette 5.4
The following vignette contains a code in R programming language that runs the normalized discrete sinc() function, and the Whittaker–Shannon interpolation function.
- 3.
-
The third step is to filter the previously created sine wave with the fourth-order zero-phase-shift low-pass filter, setting the cutoff frequency equal to the sine wave frequency f=2 Hz. Vignette 5.2 is used for step 3. To cancel any shift (i.e., a zero-phase-shift filter) n=2 passes must be chosen. The interpolated signal has a sampling rate of 80 Hz.
- 4.
-
The fourth step is to investigate the frequency response of the filtered sine wave. The frequency response of the Butterworth filter is given by Eq. (5.41)
(5.41)|AoutAin|=1(1+fsf3dB)2n
where the point at which the amplitude response, Aout, of the input signal, s[n], with frequency, f, and amplitude, Ain, drops off by 3dB and is known as the cutoff frequency, f3dB. When the cutoff frequency is set equal to the frequency of the signal (f3dB=f), the ratio should be equal to 0.707, since:
(5.42)|AoutAin|=12≈0.707
Fig. 5.14C shows the plots of the filtered and interpolated sine wave. Since the ratio of the maximum value of the filtered sine wave to the original sine wave ratio=0.707, the created fourth-order zero-phase-shift low-pass filter works properly. Without the correction factor the amplitude reduces nearly to half (0.51), indicating that the coefficients of the filter needed correction. Fig. 5.15 also shows an erroneously filtered signal. You can try to create Fig. 5.15 by yourself.
Figure 5.15. Example of a recursive low-pass filter applied to a sine wave with amplitude equal to 1 m and cutoff frequency equal to the frequency of the sine wave. Since the amplitude of the filtered signal has been reduced by a ratio of 0.707, the low-pass filter correctly attenuated the signal. However, the function without the correction factor reduced the amplitude by nearly one-half (0.51), indicating that the coefficients need correction.
The same procedure should be applied to check whether the output of the functions from closed source software used the correction factor or not. For example, using the library(signal) of the R computational software, if x is the vector that contains the raw data, then using butter() the Butterworth coefficients can be generated.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128133729000051
Introduction to coal sampling
Wes B. Membrey, in The Coal Handbook (Second Edition), 2023
4.1.1 Definitions
The following definitions have been adapted from definitions given in the sampling standards.
Accuracy. A measure of the closeness of agreement between an analytical result and the true value or a reference value.
Cut. An increment taken by a sampling device typically from a conveyor belt, screen discharge, or other streams of coal.
Bias. Systematic error which leads to the average value of a series of analytical results being persistently higher or lower than the true value or a reference sample result.
Error. Difference between the measured value and the true value or a value from a reference sample result.
Increment. An amount of coal taken from a body of coal (a truck or barge, etc.) or from a stream of coal (coal on a conveyor, sizing screen or a chute, etc.) in a single operation of the sampling device.
Lot. Defined quantity of coal for which the quality is to be determined.
Particle top size is the nominal top size and is the square aperture size of the smallest sieve through which 95% of the sample passes.
Precision. A statistical term that quantifies how closely repeated experimental values agree. It usually has the value of the 95% confidence level, or 2 standard deviations from the mean of the experimental values.
Representative. A sample is representative when the sampling error, a combination of precision and accuracy, is of an acceptable level.
Sample. Quantity of coal with qualities that are representative of a larger mass (lot) for which the quality is to be determined.
Standard deviation. A measure of the spread of a set of values, equal to the square root of the variance of the results.
Sub lot. A part of a lot that is sampled and tested separately to the entire lot.
Tolerance. The maximum acceptable difference between measurement values or analytical results.
Variance. A measure of the spread of a set of values expressed as the square of the differences between the values and their mean.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128243282000169
Sensors
Andrea Colagrossi, … Matteo Battilana, in Modern Spacecraft Guidance, Navigation, and Control, 2023
Quantization errors
Quantization error is a systematic error resulting from the difference between the continuous input value and its quantized output, and it is like round-off and truncation errors. This error is intrinsically associated with the AD conversion that maps the input values from a continuous set to the output values in a countable set, often with a finite number of elements. The quantization error is linked to the resolution of the sensor. Namely, a high-resolution sensor has a small quantization error. Indeed, the maximum quantization error is smaller than the resolution interval of the output, which is associated to the least significant bit representing the smallest variation that can be represented digitally:
LSB=FSR2NBIT
where FSR is the full-scale range of the sensor, and NBIT is the number of bits (i.e., the resolution) used in the AD converter to represent the sensor’s output. Quantization errors are typically not corrected, and the discrete values of the output are directly elaborated by the GNC system, which is designed to operate on digital values.
Fig. 6.9 shows a convenient model block to simulate quantization errors.
Figure 6.9. Quantization error model.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780323909167000068
The Systems Approach to Control and Instrumentation
William B. Ribbens, in Understanding Automotive Electronics (Seventh Edition), 2013
Systematic Errors
One example of a systematic error is known as loading errors, which are due to the energy extracted by an instrument when making a measurement. Whenever the energy extracted from a system under measurement is not negligible, the extracted energy causes a change in the quantity being measured. Wherever possible, an instrument is designed to minimize such loading effects. The idea of loading error can be illustrated by the simple example of an electrical measurement, as illustrated in Figure 1.17. A voltmeter M having resistance Rm measures the voltage across resistance R. The correct voltage (vc) is given by
Figure 1.17. Illustration of loading error-volt meter.
(71)vc=V(RR+R1)
However, the measured voltage vm is given by
(72)vm=V(RpRp+R1)
where Rp is the parallel combination of R and Rm:
(73)Rp=RRmR+Rm
Loading is minimized by increasing the meter resistance Rm to the largest possible value. For conditions where Rm approaches infinite resistance, Rp approaches resistance R and vm approaches the correct voltage. Loading is similarly minimized in measurement of any quantity by minimizing extracted energy. Normally, loading is negligible in modern instrumentation.
Another significant systematic error source is the dynamic response of the instrument. Any instrument has a limited response rate to very rapidly changing input, as illustrated in Figure 1.18. In this illustration, an input quantity to the instrument changes abruptly at some time. The instrument begins responding, but cannot instantaneously change and produce the new value. After a transient period, the indicated value approaches the correct reading (presuming correct instrument calibration). The dynamic response of an instrument to rapidly changing input quantity varies inversely with its bandwidth as explained earlier in this chapter.
Figure 1.18. Illustration of instrument dynamic response error.
In many automotive instrumentation applications, the bandwidth is purposely reduced to avoid rapid fluctuations in readings. For example, the type of sensor used for fuel-quantity measurements actually measures the height of fuel in the tank with a small float. As the car moves, the fuel sloshes in the tank, causing the sensor reading to fluctuate randomly about its mean value. The signal processing associated with this sensor is actually a low-pass filter such as is explained later in this chapter and has an extremely low bandwidth so that only the average reading of the fuel quantity is displayed, thereby eliminating the undesirable fluctuations in fuel quantity measurements that would occur if the bandwidth were not restricted.
The reliability of an instrumentation system refers to its ability to perform its designed function accurately and continuously whenever required, under unfavorable conditions, and for a reasonable amount of time. Reliability must be designed into the system by using adequate design margins and quality components that operate both over the desired temperature range and under the applicable environmental conditions.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780080970974000011
Систематические
ошибки — это ошибки, постоянные для всего
ряда измерений или изменяющиеся по
определенному закону. Влияние их на
результаты эксперимента определяется
и исключается опытным путем на основе
установленных знаний их природы и
способа учета. Эксперимент здесь играет
решающую роль, в отличие от оценки
случайных ошибок, к изучению которых
мы подходим статистически, когда
эксперимент служит для набора совокупности
таких ошибок, по которой составляем
статистические оценки.
2.9.1. Классификация систематических ошибок
По
источнику происхождения систематические
ошибки можно разделить на следующие:
а)
приборные ошибки (см. рис.2.3),
б)
ошибки установки аппаратуры,
в)
личные ошибки, вызванные личными
особенностями наблюдателя,
г)
ошибки метода, вызванные неполным
знанием объекта измерения и условий
наблюдений, а также принятой теоретической
моделью.
По
характеру влияния систематические
ошибки подразделяются на два класса:
постоянные и переменные.
Переменные
в свою очередь подразделяются на
прогрессивные, периодические ошибки и
ошибки, изменяющиеся по сложному закону.
Постоянные
ошибки суть систематические ошибки,
сохраняющие свой знак и значение в
течение всего процесса измерения
(например, ошибка МО при измерении снимка
на СК).
Прогрессивные
ошибки — это такие ошибки, которые при
измерениях изменяются по линейному
закону, в зависимости от размера величины
и влияния фактора. Например, температурное
влияние на измерительный винт СК:
L = l (1 +t
)
мм. Отсюда ошибка
= l
t,
где
l
— отсчет,
-коэффициент линейного расширения,
t.-
изменение температуры.
v
Q
l
l0
L
t
Рис.
2.1. Истинная
и вероятная v ошибки
t
1
2
a
b
Рис.2.2.
Случайная и систематическая ошибка
значение
порога
реагирования
mV
20
10
времяhtvz
1
2
Рис.2.4.
Влияние чувствительности
приемника
шкала
x
шкала
y
измеряемый
отрезок
Рис.2.5.
Суть принципа Аббе
`S
A
P
f
Рис.
2.6. Влияние скорости носителя АФА
1
2
глаз
объект
марка
а
f(Q)
f0(Q)
(Q)
Q
f0(Q)
f0(Q)
f0(Q)
f(Q)
f(Q)
f(Q)
f(Q)
а
а
а
а
а
а
г
в
ба
(Q)
млт
адд
д
Q
Q
Q
Q
об.хд
стат
f(Q)
f(Q)
Рис.2.3.
Составляющие систематической ошибки
СИ
p
p
p=1
. p=1
.30
. 30
____
.25
. 20 ____
____
.
. . 15 ____
____
.10
. . p1 p2
p3 p4 p5
__________________________
_____________________________
1
2 3 4 5 1 2 3
4 5
Рис.3.1.
Графики распределения вероятностей:
а- многоугольник
распределения;
б — гистограмма
p
F(x)
1
. . . . . . . . .. ___ 1.00
____
____
.85 ____
p1+p2+p3
_____ .65 _____
p1+p2
_____ .35 _____
p1
_____ .15_____
___________________________
___________________________
1
2 3 4 5 1 2 3 4 5
Рис.3.2.
Графики распределения кумулятивной
вероятности (функции
распределения):
а — дискретной СВ, б — непрерывной СВ
f(xj)
f(x)
_________________________
___________________________
1
2 3 4 5 1 2 3 4
5
распределения):
а — дискретной СВ, б — непрерывной СВ
f(xj)
f(x)
_________________________
___________________________
1
2 3 4 5 1 2 3 4 5
Рис.3.3.
Графики функций плотности вероятности:
а — дискретной СВ
(не
используется), б — непрерывной СВ
Соседние файлы в папке Коршунов
- #
26.04.201531.23 Кб14NORMDIS.XLS
- #
26.04.201542.5 Кб14АнализИдемпотМТР к МО1Анализ.xls
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Полученное из опыта значение измеряемой величины может
отличаться от ее действительного (истинного) значения.
Погрешность измерения – отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой
величины.
Это может быть обусловлено конструктивными недостатками прибора, несовершенством технологии его
изготовления, а также влиянием различных внешних факторов.
Таким образом, погрешности классифицируют:
-
По источнику возникновения (метод, инструмент, субъект)
-Методические (зависят от метода измерения и способа включения приборов в электрическую цепь)
-Инструментальные (зависят от средства измерения)
-Субъективные (зависят от измерителя)
-
По условиям проведения измерений (температура, давление, влажность)
-Основные (измерения проводятся в нормальных условиях — при нормальной температуре, давлении,
влажности)-Дополнительные (условия отличны от нормальных)
-
По характеру проявления (систематические, случайные, промахи)
Систематические – погрешности, остающиеся постоянными или закономерно изменяющимися при повторных
измерениях тем же способом и средствами. Т.е. они заранее известны и их легко исключить.Случайные – погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же
величины. Обычно выявляются в результате многократных измерений (не менее 10).Промах – грубая ошибка, обусловленная неправильным отсчетом или расчетом, небрежностью измеряющего,
поломки прибора, неправильно собранной схемы, невнимательности и т.д. Такие данные необходимо исключать. -
По временному поведению измеряемой величины (статическая, динамическая)
Статическая – когда измеряемая величина не меняется за время измерения
Динамическая – когда прибор не успевает реагировать на изменения измеряемой величины.
-
По способу выражения измеряемой величины
-
абсолютная;
-
относительная;
-
приведенная.
Абсолютной погрешностью
DХ называется разность между измеренным и действительным значениями.– измеренное значение;
– действительное значение измеряемой величины.
Выражается
DХ в единицах измеряемой величины.Относительная погрешность
– отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой величины.
Выражается в процентах или относительных единицах. Относительная погрешность характеризует
точность измерений.Приведенная погрешность
gпр – отношение абсолютной погрешности к номинальному (нормированному) значению – верхнему пределу диапазона
или поддиапазона измерения прибора.Пределом измерения прибора называется наибольшая величина, на которую рассчитан данный
прибор.Прибор может иметь несколько пределов измерений (например, вольтметр).
Чем меньшую погрешность дает прибор, тем он точнее.
-
Выражается в процентах.
Максимальная приведенная погрешность определяет класс точности прибора.
-
Электроизмерительные приборы изготавливаются нескольких классов точности
-
|
0,01 |
||
|
0,02 |
0,2 |
1,5 |
|
0,05 |
0,5 |
2,5 |
|
0,1 |
1,0 |
4 |
Эти числа определяют максимальную погрешность прибора при полном отклонении указателя (стрелки).
Определяют также среднеквадратическую погрешность результата измерения по формуле:
Выражается в единицах измеряемой величины.
За действительное значение измеряемой величины принимается обычно среднее арифметическое из ряда
измерений.
Хд = ХСР = (Х1 + Х2 +
Х3 + … + Хn)/n,
где Х1, Х2,… , Хn – результаты измерений
n – количество измерений
Погрешность средств измерения и результатов измерения.
Погрешности средств измерений – отклонения метрологических свойств или параметров средств измерений от номинальных, влияющие на погрешности результатов измерений (создающие так называемые инструментальные ошибки измерений).
Погрешность результата измерения – отклонение результата измерения от действительного (истинного) значения измеряемой величины.
Инструментальные и методические погрешности.
Методическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерений или упрощениями, допущенными при измерениях. Так, она возникает из-за использования приближенных формул при расчете результата или неправильной методики измерений. Выбор ошибочной методики возможен из-за несоответствия (неадекватности) измеряемой физической величины и ее модели.
Причиной методической погрешности может быть не учитываемое взаимное влияние объекта измерений и измерительных приборов или недостаточная точность такого учета. Например, методическая погрешность возникает при измерениях падения напряжения на участке цепи с помощью вольтметра, так как из-за шунтирующего действия вольтметра измеряемое напряжение уменьшается. Механизм взаимного влияния может быть изучен, а погрешности рассчитаны и учтены.
Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством применяемых средств измерений. Причинами ее возникновения являются неточности, допущенные при изготовлении и регулировке приборов, изменение параметров элементов конструкции и схемы вследствие старения. В высокочувствительных приборах могут сильно проявляться их внутренние шумы.
Статическая и динамическая погрешности.
- Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения, то есть при измерении постоянных величин после завершения переходных процессов в элементах приборов и преобразователей.
Статическая погрешность средства измерений возникает при измерении с его помощью постоянной величины. Если в паспорте на средства измерений указывают предельные погрешности измерений, определенные в статических условиях, то они не могут характеризовать точность его работы в динамических условиях. - Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения. Динамическая погрешность появляется при измерении переменных величин и обусловлена инерционными свойствами средств измерений. Динамической погрешностью средства измерений является разность между погрешностью средсва измерений в динамических условиях и его статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени. При разработке или проектировании средства измерений следует учитывать, что увеличение погрешности измерений и запаздывание появления выходного сигнала связаны с изменением условий.
Статические и динамические погрешности относятся к погрешностям результата измерений. В большей части приборов статическая и динамическая погрешности оказываются связаны между собой, поскольку соотношение между этими видами погрешностей зависит от характеристик прибора и характерного времени изменения величины.
Систематическая и случайная погрешности.
Систематическая погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. Систематические погрешности являются в общем случае функцией измеряемой величины, влияющих величин (температуры, влажности, напряжения питания и пр.) и времени. В функции измеряемой величины систематические погрешности входят при поверке и аттестации образцовых приборов.
Причинами возникновения систематических составляющих погрешности измерения являются:
- отклонение параметров реального средства измерений от расчетных значений, предусмотренных схемой;
- неуравновешенность некоторых деталей средства измерений относительно их оси вращения, приводящая к дополнительному повороту за счет зазоров, имеющихся в механизме;
- упругая деформация деталей средства измерений, имеющих малую жесткость, приводящая к дополнительным перемещениям;
- погрешность градуировки или небольшой сдвиг шкалы;
- неточность подгонки шунта или добавочного сопротивления, неточность образцовой измерительной катушки сопротивления;
- неравномерный износ направляющих устройств для базирования измеряемых деталей;
- износ рабочих поверхностей, деталей средства измерений, с помощью которых осуществляется контакт звеньев механизма;
- усталостные измерения упругих свойств деталей, а также их естественное старение;
- неисправности средства измерений.
Случайной погрешностью называют составляющие погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности определяются совместным действием ряда причин: внутренними шумами элементов электронных схем, наводками на входные цепи средств измерений, пульсацией постоянного питающего напряжения, дискретностью счета.
Погрешности адекватности и градуировки.
Погрешность градуировки средства измерений – погрешность действительного значения величины, приписанного той или иной отметке шкалы средства измерений в результате градуировки.
Погрешностью адекватности модели называют погрешность при выборе функциональной зависимости. Характерным примером может служить построение линейной зависимости по данным, которые лучше описываются степенным рядом с малыми нелинейными членами.
Погрешность адекватности относится к измерениям для проверки модели. Если зависимость параметра состояния от уровней входного фактора задана при моделировании объекта достаточно точно, то погрешность адекватности оказывается минимальной. Эта погрешность может зависеть от динамического диапазона измерений, например, если однофакторная зависимость задана при моделировании параболой, то в небольшом диапазоне она будет мало отличаться от экспоненциальной зависимости. Если диапазон измерений увеличить, то погрешность адекватности сильно возрастет.
Абсолютная, относительная и приведенная погрешности.
Абсолютная погрешность – алгебраическая разность между номинальным и действительным значениями измеряемой величины. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина, в расчетах её принято обозначать греческой буквой – ∆. На рисунке ниже ∆X и ∆Y – абсолютные погрешности.
Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимается за истинное. Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах, в расчетах обозначается буквой – δ.
Приведённая погрешность – погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле
где Xn – нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:
– если шкала прибора односторонняя и нижний предел измерений равен нулю (например диапазон измерений 0…100), то Xn определяется равным верхнему пределу измерений (Xn=100);
– если шкала прибора односторонняя, нижний предел измерений больше нуля, то Xn определяется как разность между максимальным и минимальным значениями диапазона (для прибора с диапазоном измерений 30…100, Xn=Xmax-Xmin=100-30=70);
– если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора (диапазон измерений -50…+50, Xn=100).
Приведённая погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
Аддитивные и мультипликативные погрешности.
- Аддитивной погрешностью называется погрешность, постоянную в каждой точке шкалы.
- Мультипликативной погрешностью называется погрешность, линейно возрастающую или убывающую с ростом измеряемой величины.
Различать аддитивные и мультипликативные погрешности легче всего по полосе погрешностей (см.рис.).
Если абсолютная погрешность не зависит от значения измеряемой величины, то полоса определяется аддитивной погрешностью (а). Иногда аддитивную погрешность называют погрешностью нуля.
Если постоянной величиной является относительная погрешность, то полоса погрешностей меняется в пределах диапазона измерений и погрешность называется мультипликативной (б). Ярким примером аддитивной погрешности является погрешность квантования (оцифровки).
Класс точности измерений зависит от вида погрешностей. Рассмотрим класс точности измерений для аддитивной и мультипликативной погрешностей:
– для аддитивной погрешности:
аддитивная погрешность
где Х – верхний предел шкалы, ∆0 – абсолютная аддитивная погрешность.
– для мультипликативной погрешности:
мультипликативная погрешность
порог чувствительности прибора – это условие определяет порог чувствительности прибора (измерений).
Систематические погрешности при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону.
Когда судят о погрешности, подразумевают не значение, а интервал значений, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение. Поэтому говорят об оценке погрешности. Если бы погрешность оказалась измеренной, т.е. стали бы известны её знак и значение, то её можно было бы исключить из действительного значения измеряемой физической величины и получить истинное значение.
Для получения результатов, минимально отличающихся от истинного значения измеряемой физической величины, проводят многократные наблюдения и проводят математическую обработку полученного массива с целью определения и минимизации случайной составляющей погрешности.
Минимизация систематической погрешности в процессе наблюдений выполняется следующими методами: метод замещения (состоит в замещении измеряемой величины мерой), метод противопоставления (состоит в двух поочерёдных измерениях при замене местами меры и измеряемого объекта), метод компенсации погрешности по знаку (состоит в двух поочерёдных измерениях, при которых влияющая величина становится противоположной).
При многократных наблюдениях возможно апостериорное (после выполнения наблюдений) исключение систематической погрешности в результате анализа рядов наблюдений. Рассмотрим графический анализ. При этом результаты последовательных наблюдений представляются функцией времени либо ранжируются в порядке возрастания погрешности.
Рассмотрим временную зависимость. Будем проводить наблюдения через одинаковые интервалы времени. Результаты последовательных наблюдений являются случайной функцией времени. В серии экспериментов, состоящих из ряда последовательных наблюдений, получаем одну реализацию этой функции. При повторении серии получаем новую реализацию, отличающуюся от первой.
Реализации отличаются преимущественно из-за влияния факторов, определяющих случайную погрешность, а факторы, определяющие систематическую погрешность, одинаково проявляются для соответствующих моментов времени в каждой реализации. Значение, соответствующее каждому моменту времени, называется сечением случайной функции времени. Для каждого сечения можно найти среднее по всем реализациям значение. Очевидно, что эта составляющая и определяет систематическую погрешность. Если через значения систематической погрешности для всех моментов времени провести плавную кривую, то она будет характеризовать временную закономерность изменения погрешности. Зная закономерность изменения, можем определить поправку для исключения систематической погрешности. После исключения систематической погрешности получаем «исправленный ряд результатов наблюдений».
Известен ряд способов исключения систематических погрешностей, которые условно можно разделить па 4 основные группы:
- устранение источников погрешностей до начала измерений;
- исключение почетностей в процессе измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставления, симметричных наблюдений;
- внесение известных поправок в результат измерения (исключение погрешностей начислением);
- оценка границ систематических погрешностей, если их нельзя исключить.
По характеру проявления систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные и периодические.
Постоянные систематические погрешности сохраняют свое значение в течение всего времени измерений (например, погрешность в градуировке шкалы прибора переносится на все результаты измерений).
Прогрессивные погрешности – погрешности, которые в процессе измерении подрастают или убывают (например, погрешности, возникающие вследствие износа контактирующих деталей средств измерения).
И группу систематических погрешностей можно отнести: инструментальные погрешности; погрешности из-за неправильной установки измерительного устройства; погрешности, возникающие вследствие внешних влияний; погрешности метода измерения (теоретические погрешности); субъективные погрешности.