Систематическая ошибка оценивания

Как
уже отмечалось, измерения правильны,
если систематичес­кие погрешности в
их результатах близки к нулю. Поэтому
система­тические погрешности при
измерениях стремятся учесть и по
возмож­ности исключить. Сделать это
способом обработки многократных
наб­людений нельзя.

Пусть
результат одного наблюдения

(1.38)

где

;
– реализация случайной погрешности;

—
постоянная систематическая погрешность.

Проведем
п
наблюдений
и возьмем среднее арифметическое

(1.39)

Случайная
погрешность с ростом п
уменьшается,
а системати­ческая остается неизменной.

Для
оценки систематических погрешностей
необходимо понимать принцип работы
средств измерений и физические процессы,
протекаю­щие в измерительных цепях,
иметь чёткое представление о принятой
модели реального объекта измерений и
т.д.

Рассмотрим
наиболее распространенные метода
оценивания и исключения систематических
погрешностей.

I.
Значительная группа измерительных
приборов снабжена встроенными в них
мерами, позволяющими перед измерениями
установить нуль (компенсировать
постоянную составляющую погрешности)
и осу­ществить калибровку (компенсировать
мультипликативную составляю­щую
погрешности). Если прибор содержит
микропроцессор, то ука­занные операции
выполняются автоматически.

2.
Если перед измерениями сличить показания
рабочего средст­ва измерений с
образцовым и получить таблицы поправок
и поправоч­ных множителей, то в
дальнейшем можно, учитывая их,
компенсиро­вать систематические
погрешности.

3.
Устранить постоянные систематические
погрешности позволяют правильно
выбранные методы измерений, например,
метод замещения, метод противопоставления,
метод компенсации погрешности по знаку.

Метод
замещения даёт наиболее полное решение
задачи. Рас­смотрим, например, измерение
сопротивления резистора, располагая
чувствительным, но неточным мостом и
точным магазином сопротивле­ний.
Подключив к мосту измеряемое сопротивление,
уравновешиваем его. Полученный результат
измерения будет содержать систематичес­кую
погрешность

,

где
R_И
– показания моста;

R_Х

–
значение сопротивления измеряемого
резистора;

DR_с
–
систематическая погрешность.

Заменив
измеряемый резистор магазином
сопротивлений, будем изменять его
сопротивление до уравновешивания моста.
Получим ре­зультат

,

где
R_M
— сопротивление магазина сопротивлений.
Следовательно, R_X=
R_M,
и систематическая погрешность исключена.

Рассмотрим
применение метода противопоставления
для уменьше­ния систематической
погрешности на примере измерения
сопротивлений резистора. Пусть имеется
два источника тока с токами I₁,
и I₂=I₁+DI
и магазин сопротивлений. Пропустим один
из токов че­рез измеряемое сопротивление
R_X,
а второй — через сопротивление магазина
R_M
.
Изменяя R_M,
добьёмся равенства падений напряжения
на R_X
и R_M
.

откуда

(1.40)

где

–
систематическая погрешность.

Поменяем
местами (противопоставим) измеряемый
резистор и магазин сопротивлений и
повторим эксперимент. Тогда

и

(1.41)

После
перемножения (1.40) на (I.41)
и извлечения квадратного кор­ня
получим

Следовательно,
исключим погрешность от неравенства
токов.

Метод
компенсации погрешности по знаку
предусматривает изме­рение с двумя
наблюдениями, выполняемыми так, чтобы
постоянная систематическая погрешность
в результат каждого из них входила с
разными знаками.

Если
в предыдущих примерах измерения
производить на постоян­ном токе, то
паразитные термоЭДС, возникающие в
контурах срав­нений, внесут свою долю
в систематическую погрешность. С целью
компенсации указанной погрешности
измерения производят дважды – при
разных направлениях токов через
резисторы. Результат измере­ний
находят как

где

и

—
результаты измерений при прямом и
противополож­ном направлениях токов
через резисторы.

4.
Часто систематическую погрешность
удается оценить расчет­ным путем. Для
этого выражают значения измеряемой
величины с уче­том влияющего фактора
(“измеренное значение”) и при его
отсутст­вии (“истинное значение”).
Разность первого и второго значений
бу­дет определять расчетную абсолютную
систематическую погрешность.

Например,
при измерении ЭДС источника с внутренним
сопротив­лением R_Г
вольтметром с входным сопротивлением
R_В,
показания последнего («измеренное
значение») будут

Расчетная
систематическая погрешность измерения

.

5.Одними
из наиболее опасных видов систематических
погрешнос­тей являются такие, когда
об их существовании ничего неизвестно,
но в действительности они имеются и их
значения существенны.
В этом случае измерения осуществляют
несколькими различными методами,
раз­личными приборами и при различных
условиях. Причины появления сис­тематических
погрешностей анализируются и принимаются
меры к их устранению. Например, для
измерения угловых параметров на
лета­тельных аппаратах применяют
одновременно магнитные компасы,
радио­компасы и гирокомпасы, а для
измерения скорости полета — воздуш­ный
указатель скорости, инерциальный и
доплеровский измерители скорости и
т.д.

6.
В случае, когда причина систематической
погрешности ясна из физических
соображений, но её абсолютное значение
и знак неиз­вестны, имеет смысл
обращаться с ней как со случайной
величиной. Такой перевод систематических
погрешностей в случайные, называемый
рандомизацией, часто позволяет
существенно уменьшить влияние
систематической погрешности на результат
измерения.

Сущность
рандомизации рассмотрим на некоторых
примерах.

Пример
I.
Допустим, что
в
распоряжении пользователя имеется п
однотипных
приборов, обладающих систематической
погрешностью оди­накового происхождения
(пусть неточная градуировка шкалы). Для
каждого отдельного прибора указанная
погрешность – величина пос­тоянная,
но от прибора к прибору её значение
меняется случайным образом. Закон
распределения систематических
погрешностей и его характеристики в
указанной серии приборов, как правило,
известны (даются заводом-изготовителем).
Поэтому, если измерить интересую­щую
физическую величину п
приборами,
т.е. сделать ряд измерений, а затем
вычислить среднее арифметическое всех
результатов, то зна­чение погрешности
существенно уменьшится, так же, как это
имеет место при усреднении случайной
погрешности.

Пример
2. Требуется измерить удельное сопротивление
платины, предназначенной для изготовления
термометров сопротивления. Изго­товим
кусок проволоки, измерим его сопротивление,
длину и попереч­ное сечение и по
известной из физики зависимости определим
искомую величину. Пусть сопротивление,
длина и сечение провода измерены с очень
высокой степенью точности. Но, это не
даёт гарантии о точном измерении
удельного сопротивления платины, так
как в проводнике могут содержаться
раковины, микротрещины, вкрапления
других мате­риалов, влияние которых
исказит результат измерения и приведёт
к погрешности, которую для данного
образца невозможно обнаружить ни
повторными измерениями, ни измерениями
другими методами, в других условиях.
Следовательно, для данного образца
будем иметь система­тическую погрешность
измерения, вызванную случайными
факторами.

Если
изготовим n
аналогичных образцов и для каждого
образца измерим одним и тем же методом,
в одинаковых условиях удельное
сопротивление, то увидим, что систематическая
погрешность измере­ний конкретного
образца становится случайной величиной
в группе, состоящей из п
образцов.
Следовательно, в данном случае применим
аппарат оценки и уменьшения случайных
погрешностей.

Систематические
погрешности должны быть исключены из
резуль­тата измерений. В действительности
полностью исключить их не уда­ется,
всегда остаются какие-то не исключенные
остатки.

Кроме
того, многие измерения выполняют без
специальных мер для исключения
систематических погрешностей. Например,
если из­вестны функции влияния и
значения влияющих факторов, то
система­тические погрешности можно
вычислить и исключить из результата
измерений. Но для этого необходим ряд
приборов для измерения зна­чений
влияющих физических величин (температуры,
давления, напря­жения питания, частоты
и т.д.), что усложняет и удорожает
экспе­римент, В этом случае отказываются
от дополнительных средств из­мерений,
влияющие величины и связанные с ними
систематические погрешности считают
случайными.

Для
не исключенных систематических
погрешностей, которые счи­таем
случайными, определяют доверительные
границы. При этом руко­водствуются
следующими рекомендациями.

1.
Если случайные погрешности пренебрежимо
малы, то границами составляющих не
исключенной систематической погрешности
полага­ют пределы допускаемых основных
и дополнительных погрешностей средств
измерений.

2.
Проводя суммирование не исключенных
систематических погреш­ностей
результата измерения, их рассматривают
как случайные вели­чины. При отсутствии
априорной информации о законе их
распределе­ния принимают модель
равномерного распределения.

3.
Если не исключенные систематические
погрешности обусловле­ны несколькими
причинами, то доверительные границы
вычисляют на основе композиции законов
распределения отдельных погрешностей.
При равномерном распределении не
исключенных систематических погрешностей
эти границы вычисляют по формуле

где

—
граница i-ой
не исключенной систематической
погрешности;

k
— коэффициент, зависящий от принятой
доверительной вероятнос­ти р
;

m—
число частных систематических
погрешностей.

Коэффициент
k
для
значений р
=0,9;
0,95; 0,98 и 0,99 полагают равным соответственно
0,95; 1,1; 1,3 и 1,4.

При
вычислении границ не исключенной
систематической погреш­ности
доверительную вероятность принимают
такой же, как и при вы­числении
доверительных границ случайной
погрешности результатов измерений.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Систематическая погрешность (или, на физическом жаргоне, систематика) характеризует неточность измерительного инструмента или метода обработки данных. Если точнее, то она показывает наше ограниченное знание этой неточности: ведь если инструмент «врет», но мы хорошо знаем, насколько именно, то мы сможем скорректировать его показания и устранить инструментальную неопределенность результата. Слово «систематическая» означает, что вы можете повторять какое-то измерение на этой установке миллионы раз, но если у нее «сбит прицел», то вы систематически будете получать значение, отличающееся от истинного.

Конечно, систематические погрешности хочется взять под контроль. Поскольку это чисто инструментальный эффект, ответственность за это целиком лежит на экспериментаторах, собиравших, настраивавших и работающих на этой установке. Они прилагают все усилия для того, чтобы, во-первых, корректно определить эти погрешности, а во-вторых, их минимизировать. Собственно, они этим начинают заниматься с самых первых дней работы установки, даже когда еще собственно научная программа исследований и не началась.

Возможные источники систематических погрешностей

Современный коллайдерный эксперимент очень сложен. В нём есть место огромному количеству источников систематических погрешностей на самых разных стадиях получения экспериментального результата. Вот некоторые из них.

Погрешности могут возникать на уровне «железа», при получении сырых данных:

• дефектные или неработающие отдельные регистрирующие компоненты или считывающие элементы. В детекторе миллионы отдельных компонентов, и даже если 1% из них оказался дефектным, это может ухудшить «зоркость» детектора и четкость регистрации сигналов. Надо подчеркнуть, что, даже если при запуске детектор работает на все 100%, постоянное детектирование частиц (это же жесткая радиация!) с течением времени выводит из строя отдельные компоненты, так что следить за поведением детектора абсолютно необходимо;
• наличие «слепых зон» детектора; например, если частица вылетает близко к оси пучков, то она улетит в трубу и детектор ее просто не заметит.

Погрешности могут возникать на этапе распознавания сырых данных и их превращение в физическое событие:

• погрешность при измерении энергии частиц в калориметре;
• погрешность при измерении траектории частиц в трековых детекторах, из-за которой неточно измеряется точка вылета и импульс частицы;
• неправильная идентификация типа частицы (например, система неудачно распознала след от π-мезона и приняла его за K-мезон). Более тонкий вариант: неправильное объединение адронов в одну адронную струю и неправильная оценка ее энергии;
• неправильный подсчет числа частиц (две частицы случайно вылетели так близко друг к другу, что детектор «увидел» только один след и посчитал их за одну).

Наконец, новые систематические погрешности добавляются на этапе позднего анализа события:

• неточность в измерении светимости пучков, которая влияет на пересчет числа событий в сечение процесса;
• наличие посторонних процессов рождения частиц, которые отличаются с физической точки зрения, но, к сожалению, выглядят для детектора одинаковыми. Такие процессы порождают неустранимый фон, который часто мешает разглядеть искомый эффект;
• необходимость моделировать процессы (в особенности, адронизацию, превращение кварков в адроны), опираясь частично на теорию, частично на прошлые эксперименты. Несовершенство того и другого привносит неточности и в новый экспериментальный результат. По этой причине теоретическую погрешность тоже часто относят к систематике.

В отдельных случаях встречаются источники систематических погрешностей, которые умудряются попасть сразу во все категории, они совмещают в себе и свойства детекторного «железа», и методы обработки и интерпретации данных. Например, если вы хотите сравнить друг с другом количество рожденных частиц и античастиц какого-то сорта (например, мюонов и антимюонов), то вам не стоит забывать, что ваш детектор состоит из вещества, а не из антивещества! Этот «перекос» в сторону вещества может привести к тому, что детектор будет видеть мюонов меньше, чем антимюонов, подробности см. в заметке Немножко про CP-нарушение, или Как жаль, что у нас нет детекторов из антивещества!.

Всю эту прорву источников потенциальных проблем надо распознать и оценить их влияние на выполняемый анализ. Здесь никаких абсолютно универсальных алгоритмов нет; исследователь должен сам понять, на какие погрешности надо обращать внимание и как грамотно их оценить. Конечно, тут на помощь приходят разные калибровочные измерения, выполненные в первые год-два работы детектора, и программы моделирования, которые позволяют виртуально протестировать поведение детектора в тех или иных условиях. Но главным в этом искусстве всё же является физическое чутье экспериментатора, его квалификация и накопленный опыт.

Почему важна грамотная оценка систематики

Беспечная оценка систематических погрешностей может привести к двум крайностям, причем обе очень нежелательны.

Заниженная погрешность — то есть неоправданная уверенность экспериментатора в том, что погрешности в его детекторе маленькие, хотя они на самом деле намного больше, — исключительно опасна, поскольку она может привести к совершенно неправильным научным выводам. Например, экспериментатор может на их основании решить, что измерения отличаются от теоретических предсказаний на уровне статистической значимости 10 стандартных отклонений (сенсация!), хотя истинная причина расхождения может просто состоять в том, что он проглядел источник ошибок, в 10 раз увеличивающий неопределенность измерения, и никакого расхождения на самом деле нет.

В борьбе с этой опасностью есть соблазн впасть в другую крайность: «А вдруг там есть еще какие-то погрешности? Может, я что-то не учел? Давай-ка я на всякий случай увеличу погрешности измерения в 10 раз для пущей безопасности.» Такая крайность плоха тем, что она обессмысливает измерение. Неоправданно завышая погрешность, вы рискуете получить результат, который будет, конечно, правильным, но очень неопределенным, ничем не лучше тех результатов, которые уже были получены до вас на гораздо более скромных установках. Такой подход, фактически, перечеркивает всю работу по разработке технологий, по изготовлению компонентов, по сборке детектора, все затраты на его работу и на анализ результатов.

Грамотный и ответственный анализ систематики должен удерживать оптимальный баланс (максимальная достоверность при максимальной научной ценности), не допуская таких крайностей. Это очень тонкая и сложная работа, и первые страницы в большинстве современных экспериментальных статей по физике частиц посвящены тщательному обсуждению систематических (а также статистических) погрешностей.

Мы не будем обсуждать подробности того, как обсчитывать систематические погрешности. Подчеркнем только, что это серьезная наука с множеством тонкостей и подводных камней. В качестве примера умеренно простого обсуждения некоторых вопросов см. статью Systematic Errors: facts and fictions.

Систематическая ошибка

разность между истинным, но обычно неизвестным, значением измеряемого количества и средним значением наблюдаемой величины, которая оценивалась бы посредством выборочного среднего значения бесконечного множества наблюдений.

Повышай знания с онлайн-тренажером от Автор24!

1. Напиши термин
2. Выбери определение из предложенных или загрузи свое
3. Тренажер от Автор24 поможет тебе выучить термины с помощью удобных и приятных
   карточек

Систематические погрешности при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону.

Когда судят о погрешности, подразумевают не значение, а интервал значений, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение. Поэтому говорят об оценке погрешности. Если бы погрешность оказалась измеренной, т.е. стали бы известны её знак и значение, то её можно было бы исключить из действительного значения измеряемой физической величины и получить истинное значение.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинного значения измеряемой физической величины, проводят многократные наблюдения и проводят математическую обработку полученного массива с целью определения и минимизации случайной составляющей погрешности.

Минимизация систематической погрешности в процессе наблюдений выполняется следующими методами: метод замещения (состоит в замещении измеряемой величины мерой), метод противопоставления (состоит в двух поочерёдных измерениях при замене местами меры и измеряемого объекта), метод компенсации погрешности по знаку (состоит в двух поочерёдных измерениях, при которых влияющая величина становится противоположной).

При многократных наблюдениях возможно апостериорное (после выполнения наблюдений) исключение систематической погрешности в результате анализа рядов наблюдений. Рассмотрим графический анализ. При этом результаты последовательных наблюдений представляются функцией времени либо ранжируются в порядке возрастания погрешности.

Рассмотрим временную зависимость. Будем проводить наблюдения через одинаковые интервалы времени. Результаты последовательных наблюдений являются случайной функцией времени. В серии экспериментов, состоящих из ряда последовательных наблюдений, получаем одну реализацию этой функции. При повторении серии получаем новую реализацию, отличающуюся от первой.

Реализации отличаются преимущественно из-за влияния факторов, определяющих случайную погрешность, а факторы, определяющие систематическую погрешность, одинаково проявляются для соответствующих моментов времени в каждой реализации. Значение, соответствующее каждому моменту времени, называется сечением случайной функции времени. Для каждого сечения можно найти среднее по всем реализациям значение. Очевидно, что эта составляющая и определяет систематическую погрешность. Если через значения систематической погрешности для всех моментов времени провести плавную кривую, то она будет характеризовать временную закономерность изменения погрешности. Зная закономерность изменения, можем определить поправку для исключения систематической погрешности. После исключения систематической погрешности получаем «исправленный ряд результатов наблюдений».

Известен ряд способов исключения систематических погрешностей, которые условно можно разделить па 4 основные группы:

•  устранение источников погрешностей до начала измерений;
•  исключение почетностей в процессе измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставления, симметричных наблюдений;
•  внесение известных поправок в результат измерения (исключение погрешностей начислением);
•  оценка границ систематических погрешностей, если их нельзя ис­ключить.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные и периодические.

Постоянные систематические погрешности сохраняют свое значение в течение всего времени измерений (например, погрешность в градуировке шкалы прибора переносится на все результаты измерений).

Прогрессивные погрешности – погрешности, которые в процессе из­мерении подрастают или убывают (например, погрешности, возникающие вследствие износа контактирующих деталей средств измерения).

И группу систематических погрешностей можно отнести: инструментальные погрешности; погрешности из-за неправильной установки измерительного устройства; погрешности, возникающие вследствие внешних влияний; погрешности метода измерения (теоретические погрешности); субъективные погрешности.