Самый распространенный метод проектирования защитных кодов обнаружения ошибок - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Построение кодов обнаружения ошибок (защитных кодов)

В процессе
преобразования информации, представленной
в закодированной форме, часто возникают
ошибки, связанные со сбоями в работе
технических средств преобразования
информации ,а также допущенные людьми
при работе с компьютером и оргтехникой.

Построение кодов
обнаружения ошибок основано на трех
основных принципах:

1) Использование
признаков делимости

2) Запрещение
использования определенной части
кодовых слов.

3) Запрещение
использования определенных символов.

1. Построение кодов обнаружения ошибок с использованием признака делимости числа

Суть
данного способа построения кодов
обнаружения ошибок состоит в следующем:
допустим необходимо построить код
обнаружения ошибок для табельного
номера, состоящего из четырех цифр:
5621 а)
в данном случае выбирается число М,
называемое модулем (желательно простое
целое число) и исходное кодовое число
делится на модуль М. Например, М=9

5621
: 9

и
остаток от деления (в данном случае
равный 5) дописывается справа от исходного
кодового слова. Таким образом, табельный
номер примет вид 56215,
где первые четыре разряда информационные,
а последний контрольный.

б)
контроль по модулю «10». Допустим,
необходимо построить код обнаружения
ошибок для номенклатурного номера
материала 62154. Находим сумму чисел:
6+2+1+5+4=18.

Далее
определяется ближайшее, большее 18, число
кратное 10. Это число 20. Определяется
разность этих чисел 20-18=2. Полученное
значение и является контрольным разрядом.
Таким образом, будет обрабатываться
на всех стадиях число 621542,
содержащее 5 информационных разрядов
и 1 контрольный. В данном случае
присутствует избыточная информация,
введение которой оправдано необходимостью
контроля правильности преобразования
информации. Однако, данный способ не
позволяет обнаружить ошибки, связанные
с перестановкой цифр.

Для
этого существует способ построения
кодов обнаружения ошибок с
учетом весовых коэффициентов.
Суть которого в том, что на каждый разряд
числа «навешивается» весовой коэффициент.
Далее применяется контроль по модулю
«10», только с использованием весовых
коэффициентов числа.

Например, требуется
построить код инвентарного номера
оборудования 190624. Для каждого разряда
числа вводится весовой коэффициент,
причем, чем старше разряд, тем больше
коэффициент. Данное число имеет весовые
коэффициенты:

6
5 4 3 2 1

1
9 0 6 2 4

Находится
сумма цифр числа, умноженных на весовые
коэффициенты: 1*6+9*5+0*4+6*3+2*2+4*1=77.
Находится разность между ближайшим
большим числом, кратным 10, и данным
числом 80-77=3 и эта разность дописывается
к исходному кодовому числу в качестве
контрольного разряда: 1906243.

Построение
защитных кодов для информации,
представленной в двоичном коде

Одним
из основных способов контроля двоичной
информации является контроль «на
ЧЕТ». В
исходном кодовом числе подсчитывается
количество единиц, если оно является
нечетным, в качестве контрольного
разряда к числу приписывается 1,
если четным — 0.
В полученном кодовом слове число единиц
должно быть обязательно четным.

Например: а)
110011 — исходное кодовое слово

1100110
— кодовое слово с контрольным разрядом

б)
11001 — исходное кодовое слово

110011
— кодовое слово с контрольным разрядом

Коды
обнаружения ошибок, построенные по
принципу применения кодовых словарей

Данный способ
построения кодов обнаружения ошибок
заключается в использовании слов,
входящих в специальным образом
составленные кодовые словари. Только
данные слова являются разрешенными,
все остальные запрещенными для
использования. Если кодовое слово,
подлежащее преобразованию, содержится
в кодовом словаре, значит информация
преобразуется без ошибок, если данного
слова в кодовом словаре нет, значит
выдается сообщение об ошибке. Кодовые
словари могут быть построены на 10 и на
100 слов.

Пример построения
кодового словаря на 10 слов:01 12 23 34 45 56 67
78 89 90. Все остальные двузначные слова
являются запрещенными. В данном случае
коэффициент использования информационной
емкости кода равен: 10/99=0,1.

Здесь
10- количество слов в словаре , 99 —
максимально возможное количество цифр
в словаре.

Например, если
получено при передаче информации слово
13, то выдается сообщение об ошибке, т.к.
данное слово в кодовом словаре

отсутствует. В
случае одиночной ошибки она может быть
исправлена: это может быть либо слово
23,либо — 12.

Кодовый словарь
на 100 слов строится следующим образом:

Сотни

Десятки

001

012

023

034

045

056

067

078

089

090

102

113

124

135

146

157

168

179

180

191

203

214

225

236

247

258

269

270

281

292

304

315

326

337

348

359

360

371

382

393

405

416

427

438

449

450

461

472

483

494

506

517

528

539

540

551

562

573

584

595

607

618

629

630

641

652

663

674

685

696

708

719

720

731

742

753

764

775

786

797

809

810

821

832

843

854

865

876

887

898

900

912

923

934

945

956

967

978

989

999

Проверка
правильности переданных кодовых слов
выполняется несколькими способами.
Основные способы контроля приведены
ниже:

похожие
по написанию цифры кодового слова (3 и
8, 5 и 6, 9 и 0, 6 и 9 и т.д.) ;
ошибки,
совершенные при вводе с клавиатуры
(рядом расположенные клавиши: с 1 рядом
2 и 4, с 5 – рядом 2, 4 и 6 и т.д.);
перестановка
цифр числа при вводе с клавиатуры.

Коды
обнаружения ошибок, построенные по
принципу запрещения использования
определенной части символов

Очень часто в
процессе преобразования информации
возникают ошибки, связанные с нечетким
заполнением первичных документов или
с нажатием на устройствах передачи или
подготовки данных ошибочно рядом
расположенной клавиши. При нечетком
заполнении документов бывает сложно
различить похожие по начертанию цифры
4 и 7, 0 и 6, 0 и 9. Для избежания подобного
рода ошибок, а также устранения возможности
ошибок при нажатии рядом расположенных
на клавиатуре клавиш запрещается
использовать для построения кодовых
слов следующие символы: например: 0,6,9.
Все остальные символы являются
разрешенными. В случае, если в процессе
преобразования информации возникает
кодовое слово, содержащее разрешенные
символы, выдается сообщение об ошибке.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Построение кодов обнаружения ошибок (защитных кодов)

Построение кодов
обнаружения ошибок основано на трех
основных принципах:

1) Использование
признаков делимости

2) Запрещение
использования определенной части
кодовых слов.

3) Запрещение
использования определенных символов.

1. Построение кодов обнаружения ошибок с использованием признака делимости числа

5621
: 9

6
5 4 3 2 1

1
9 0 6 2 4

Построение
защитных кодов для информации,
представленной в двоичном коде

Например: а)
110011 — исходное кодовое слово

1100110
— кодовое слово с контрольным разрядом

б)
11001 — исходное кодовое слово

110011
— кодовое слово с контрольным разрядом

Коды
обнаружения ошибок, построенные по
принципу применения кодовых словарей

Здесь
10- количество слов в словаре , 99 —
максимально возможное количество цифр
в словаре.

отсутствует. В
случае одиночной ошибки она может быть
исправлена: это может быть либо слово
23,либо — 12.

Кодовый словарь
на 100 слов строится следующим образом:

Сотни

Десятки

001

012

023

034

045

056

067

078

089

090

102

113

124

135

146

157

168

179

180

191

203

214

225

236

247

258

269

270

281

292

304

315

326

337

348

359

360

371

382

393

405

416

427

438

449

450

461

472

483

494

506

517

528

539

540

551

562

573

584

595

607

618

629

630

641

652

663

674

685

696

708

719

720

731

742

753

764

775

786

797

809

810

821

832

843

854

865

876

887

898

900

912

923

934

945

956

967

978

989

999

похожие
по написанию цифры кодового слова (3 и
8, 5 и 6, 9 и 0, 6 и 9 и т.д.) ;
ошибки,
совершенные при вводе с клавиатуры
(рядом расположенные клавиши: с 1 рядом
2 и 4, с 5 – рядом 2, 4 и 6 и т.д.);
перестановка
цифр числа при вводе с клавиатуры.

Коды
обнаружения ошибок, построенные по
принципу запрещения использования
определенной части символов

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Кодирование и защита от ошибок

Существует три наиболее распространенных орудия борьбы с ошибками в процессе передачи данных:

коды обнаружения ошибок;
коды с коррекцией ошибок, называемые также схемами прямой коррекции ошибок (Forward Error Correction — FEC);
протоколы с автоматическим запросом повторной передачи (Automatic Repeat Request — ARQ).

Код обнаружения ошибок позволяет довольно легко установить наличие ошибки. Как правило, подобные коды используются совместно с определенными протоколами канального или транспортного уровней, имеющими схему ARQ. В схеме ARQ приемник попросту отклоняет блок данных, в котором была обнаружена ошибка, после чего передатчик передает этот блок повторно. Коды с прямой коррекцией ошибок позволяют не только обнаружить ошибки, но и исправить их, не прибегая к повторной передаче. Схемы FEC часто используются в беспроводной передаче, где повторная передача крайне неэффективна, а уровень ошибок довольно высок.

1) Методы обнаружения ошибок

Методы обнаружения ошибок основаны на передаче в составе блока данных избыточной служебной информации, по которой можно судить с некоторой степенью вероятности о достоверности принятых данных.

Избыточную служебную информацию принято называть контрольной суммой, или контрольной последовательностью кадра (Frame Check Sequence, FCS). Контрольная сумма вычисляется как функция от основной информации, причем не обязательно путем суммирования. Принимающая сторона повторно вычисляет контрольную сумму кадра по известному алгоритму и в случае ее совпадения с контрольной суммой, вычисленной передающей стороной, делает вывод о том, что данные были переданы через сеть корректно. Рассмотрим несколько распространенных алгоритмов вычисления контрольной суммы, отличающихся вычислительной сложностью и способностью обнаруживать ошибки в данных.

Контроль по паритету представляет собой наиболее простой метод контроля данных. В то же время это наименее мощный алгоритм контроля, так как с его помощью можно обнаружить только одиночные ошибки в проверяемых данных. Метод заключается в суммировании по модулю 2 всех битов контролируемой информации. Нетрудно заметить, что для информации, состоящей из нечетного числа единиц, контрольная сумма всегда равна 1, а при четном числе единиц — 0. Например, для данных 100101011 результатом контрольного суммирования будет значение 1. Результат суммирования также представляет собой один дополнительный бит данных, который пересылается вместе с контролируемой информацией. При искажении в процессе пересылки любого бита исходных данных (или контрольного разряда) результат суммирования будет отличаться от принятого контрольного разряда, что говорит об ошибке.
Однако двойная ошибка, например 110101010, будет неверно принята за корректные данные. Поэтому контроль по паритету применяется к небольшим порциям данных, как правило, к каждому байту, что дает коэффициент избыточности для этого метода 1/8. Метод редко применяется в компьютерных сетях из-за значительной избыточности и невысоких диагностических способностей.

Вертикальный и горизонтальный контроль по паритету представляет собой модификацию описанного выше метода. Его отличие состоит в том, что исходные данные рассматриваются в виде матрицы, строки которой составляют байты данных. Контрольный разряд подсчитывается отдельно для каждой строки и для каждого столбца матрицы. Этот метод обнаруживает значительную часть двойных ошибок, однако обладает еще большей избыточностью. Он сейчас также почти не применяется при передаче информации по сети.

Циклический избыточный контроль (Cyclic Redundancy Check — CRC) является в настоящее время наиболее популярным методом контроля в вычислительных сетях (и не только в сетях; в частности, этот метод широко применяется при записи данных на гибкие и жесткие диски). Метод основан на рассмотрении исходных данных в виде одного многоразрядного двоичного числа. Например, кадр стандарта Ethernet, состоящий из 1024 байт, будет рассматриваться как одно число, состоящее из 8192 бит. Контрольной информацией считается остаток от деления этого числа на известный делитель R. Обычно в качестве делителя выбирается семнадцати- или тридцатитрехразрядное число, чтобы остаток от деления имел длину 16 разрядов (2 байт) или 32 разряда (4 байт). При получении кадра данных снова вычисляется остаток от деления на тот же делитель R, но при этом к данным кадра добавляется и содержащаяся в нем контрольная сумма.
Если остаток от деления на R равен нулю, то делается вывод об отсутствии ошибок в полученном кадре, в противном случае кадр считается искаженным.

Этот метод обладает более высокой вычислительной сложностью, но его диагностические возможности гораздо шире, чем у методов контроля по паритету. Метод CRC обнаруживает все одиночные ошибки, двойные ошибки и ошибки в нечетном числе битов. Метод также обладает невысокой степенью избыточности. Например, для кадра Ethernet размером 1024 байта контрольная информация длиной 4 байта составляет только 0,4 %.

2) Методы коррекции ошибок

Техника кодирования, которая позволяет приемнику не только понять, что присланные данные содержат ошибки, но и исправить их, называется прямой коррекцией ошибок (Forward Error Correction — FEC). Коды, обеспечивающие прямую коррекцию ошибок, требуют введения большей избыточности в передаваемые данные, чем коды, которые только обнаруживают ошибки.

При применении любого избыточного кода не все комбинации кодов являются разрешенными. Например, контроль по паритету делает разрешенными только половину кодов. Если мы контролируем три информационных бита, то разрешенными 4-битными кодами с дополнением до нечетного количества единиц будут:

000 1, 001 0, 010 0, 011 1, 100 0, 101 1, 110 1, 111 0, то есть всего 8 кодов из 16 возможных.

Для того чтобы оценить количество дополнительных битов, необходимых для исправления ошибок, нужно знать так называемое расстояние Хемминга между разрешенными комбинациями кода. Расстоянием Хемминга называется минимальное число битовых разрядов, в которых отличается любая пара разрешенных кодов. Для схем контроля по паритету расстояние Хемминга равно 2.

Можно доказать, что если мы сконструировали избыточный код с расстоянием Хемминга, равным n, такой код будет в состоянии распознавать (n-1) -кратные ошибки и исправлять (n-1)/2 -кратные ошибки. Так как коды с контролем по паритету имеют расстояние Хемминга, равное 2, они могут только обнаруживать однократные ошибки и не могут исправлять ошибки.

Коды Хемминга эффективно обнаруживают и исправляют изолированные ошибки, то есть отдельные искаженные биты, которые разделены большим количеством корректных битов. Однако при появлении длинной последовательности искаженных битов (пульсации ошибок) коды Хемминга не работают.

Наиболее часто в современных системах связи применяется тип кодирования, реализуемый сверхточным кодирующим устройством (Сonvolutional coder), потому что такое кодирование несложно реализовать аппаратно с использованием линий задержки (delay) и сумматоров. В отличие от рассмотренного выше кода, который относится к блочным кодам без памяти, сверточный код относится к кодам с конечной памятью (Finite memory code); это означает, что выходная последовательность кодера является функцией не только текущего входного сигнала, но также нескольких из числа последних предшествующих битов. Длина кодового ограничения (Constraint length of a code) показывает, как много выходных элементов выходит из системы в пересчете на один входной. Коды часто характеризуются их эффективной степенью (или коэффициентом) кодирования (Code rate). Вам может встретиться сверточный код с коэффициентом кодирования 1/2.
Этот коэффициент указывает, что на каждый входной бит приходится два выходных. При сравнении кодов обращайте внимание на то, что, хотя коды с более высокой эффективной степенью кодирования позволяют передавать данные с более высокой скоростью, они, соответственно, более чувствительны к шуму.

В беспроводных системах с блочными кодами широко используется метод чередования блоков. Преимущество чередования состоит в том, что приемник распределяет пакет ошибок, исказивший некоторую последовательность битов, по большому числу блоков, благодаря чему становится возможным исправление ошибок. Чередование выполняется с помощью чтения и записи данных в различном порядке. Если во время передачи пакет помех воздействует на некоторую последовательность битов, то все эти биты оказываются разнесенными по различным блокам. Следовательно, от любой контрольной последовательности требуется возможность исправить лишь небольшую часть от общего количества инвертированных битов.

3) Методы автоматического запроса повторной передачи

В простейшем случае защита от ошибок заключается только в их обнаружении. Система должна предупредить передатчик об обнаружении ошибки и необходимости повторной передачи. Такие процедуры защиты от ошибок известны как методы автоматического запроса повторной передачи (Automatic Repeat Request — ARQ). В беспроводных локальных сетях применяется процедура «запрос ARQ с остановками» (stop-and-wait ARQ).

В этом случае источник, пославший кадр, ожидает получения подтверждения (Acknowledgement — ACK), или, как еще его называют, квитанции, от приемника и только после этого посылает следующий кадр. Если же подтверждение не приходит в течение тайм-аута, то кадр (или подтверждение) считается утерянным и его передача повторяется. На
рис.
1.13 видно, что в этом случае производительность обмена данными ниже потенциально возможной; хотя передатчик и мог бы послать следующий кадр сразу же после отправки предыдущего, он обязан ждать прихода подтверждения.

Канальный уровень должен обнаруживать ошибки передачи данных, связанные с
искажением бит в принятом кадре данных или с потерей кадра, и по возможности их
корректировать.

Большая часть протоколов канального уровня выполняет только первую задачу —
обнаружение ошибок, считая, что корректировать ошибки, то есть повторно
передавать данные, содержавшие искаженную информацию, должны протоколы верхних
уровней. Так работают такие популярные протоколы локальных сетей, как Ethernet,
Token Ring, FDDI и другие. Однако существуют протоколы канального уровня, например
LLC2 или LAP-B, которые самостоятельно решают задачу восстановления искаженных
или потерянных кадров.

Очевидно, что протоколы должны работать наиболее эффективно в типичных
условиях работы сети. Поэтому для сетей, в которых искажения и потери кадров являются
очень редкими событиями, разрабатываются протоколы типа Ethernet, в которых не
предусматриваются процедуры устранения ошибок. Действительно, наличие процедур
восстановления данных потребовало бы от конечных узлов дополнительных
вычислительных затрат, которые в условиях надежной работы сети являлись бы
избыточными.

Напротив, если в сети искажения и потери случаются часто, то желательно уже
на канальном уровне использовать протокол с коррекцией ошибок, а не оставлять
эту работу протоколам верхних уровней. Протоколы верхних уровней, например
транспортного или прикладного, работая с большими тайм-аутами, восстановят
потерянные данные с большой задержкой. В глобальных сетях первых поколений,
например сетях Х.25, которые работали через ненадежные каналы связи, протоколы
канального уровня всегда выполняли процедуры восстановления потерянных и
искаженных кадров.

Поэтому нельзя считать, что один протокол лучше другого потому, что он
восстанавливает ошибочные кадры, а другой протокол — нет. Каждый протокол должен
работать в тех условиях, для которых он разработан.

Методы обнаружения ошибок

Все методы обнаружения ошибок основаны на передаче в составе кадра данных
служебной избыточной информации, по которой можно судить с некоторой степенью
вероятности о достоверности принятых данных. Эту служебную информацию принято
называть контрольной суммой или (последовательностью
контроля кадра — Frame Check Sequence, FCS). Контрольная сумма вычисляется
как функция от основной информации, причем необязательно только путем суммирования.
Принимающая сторона повторно вычисляет контрольную сумму кадра по известному
алгоритму и в случае ее совпадения с контрольной суммой, вычисленной передающей
стороной, делает вывод о том, что данные были переданы через сеть корректно.

Существует несколько распространенных алгоритмов вычисления контрольной
суммы, отличающихся вычислительной сложностью и способностью обнаруживать
ошибки в данных.

Контроль по паритету представляет собой наиболее простой метод контроля данных. В то же
время это наименее мощный алгоритм контроля, так как с его помощью можно
обнаружить только одиночные ошибки в проверяемых данных. Метод заключается в
суммировании по модулю 2 всех бит контролируемой информации. Например, для
данных 100101011 результатом контрольного суммирования будет значение 1.
Результат суммирования также представляет собой один бит данных, который
пересылается вместе с контролируемой информацией. При искажении при пересылке
любого одного бита исходных данных (или контрольного разряда) результат суммирования
будет отличаться от принятого контрольного разряда, что говорит об ошибке.
Однако двойная ошибка, например 110101010, будет неверно принята за корректные
данные. Поэтому контроль по паритету применяется к небольшим порциям данных,
как правило, к каждому байту, что дает коэффициент избыточности для этого
метода 1/8. Метод редко применяется в вычислительных сетях из-за его большой
избыточности и невысоких диагностических способностей.

Вертикальный и горизонтальный контроль по паритету представляет собой модификацию
описанного выше метода. Его отличие состоит в том, что исходные данные
рассматриваются в виде матрицы, строки которой составляют байты данных.
Контрольный разряд подсчитывается отдельно для каждой строки и для каждого
столбца матрицы. Этот метод обнаруживает большую часть двойных ошибок, однако
обладает еще большей избыточностью. На практике сейчас также почти не
применяется.

Циклический избыточный контроль (Cyclic Redundancy Check, CRC) является в настоящее время наиболее
популярным методом контроля в вычислительных сетях (и не только в сетях,
например, этот метод широко применяется при записи данных на диски и дискеты).
Метод основан на рассмотрении исходных данных в виде одного многоразрядного
двоичного числа. Например, кадр стандарта Ethernet, состоящий из 1024 байт,
будет рассматриваться как одно число, состоящее из 8192 бит. В качестве
контрольной информации рассматривается остаток от деления этого числа на
известный делитель R. Обычно в качестве делителя выбирается семнадцати- или тридцати
трехразрядное число, чтобы остаток от деления имел длину 16 разрядов (2 байт)
или 32 разряда (4 байт). При получении кадра данных снова вычисляется остаток
от деления на тот же делитель R, но при этом к данным кадра добавляется и
содержащаяся в нем контрольная сумма. Если остаток от деления на R равен нулю¹ (¹ Существуетнесколько
модифицированная процедура вычисления остатка, приводящая к получению в случае
отсутствия ошибок известного ненулевого остатка, что является более надежным
показателем корректности.), то делается вывод об отсутствии ошибок в полученном
кадре, в противном случае кадр считается искаженным.

Этот метод обладает более высокой вычислительной сложностью, но его
диагностические возможности гораздо выше, чем у методов контроля по паритету.
Метод CRC обнаруживает все одиночные ошибки, двойные ошибки и ошибки в нечетном
числе бит. Метод обладает также невысокой степенью избыточности. Например, для
кадра Ethernet размером в 1024 байт контрольная информация длиной в 4 байт
составляет только 0,4 %.

Методы восстановления искаженных и потерянных кадров

Методы коррекции ошибок в вычислительных сетях основаны на повторной
передаче кадра данных в том случае, если кадр теряется и не доходит до адресата
или приемник обнаружил в нем искажение информации. Чтобы убедиться в
необходимости повторной передачи данных, отправитель нумерует отправляемые
кадры и для каждого кадра ожидает от приемника так называемой положительной
квитанции — служебного кадра, извещающего о том, что исходный кадр был
получен и данные в нем оказались корректными. Время этого ожидания ограничено —
при отправке каждого кадра передатчик запускает таймер, и, если по его
истечении положительная квитанция на получена, кадр считается утерянным.
Приемник в случае получения кадра с искаженными данными может отправить отрицательную
квитанцию — явное указание на то, что данный кадр нужно передать
повторно.

Существуют два подхода к организации процесса обмена квитанциями: с
простоями и с организацией «окна».

Метод с простоями (Idle Source) требует, чтобы источник, пославший кадр, ожидал получения квитанции
(положительной или отрицательной) от приемника и только после этого посылал
следующий кадр (или повторял искаженный). Если же квитанция не приходит в
течение тайм-аута, то кадр (или квитанция) считается утерянным и его передача
повторяется. На рис. 2.24, а видно, что в этом случае производительность обмена
данными существенно снижается, — хотя передатчик и мог бы послать следующий
кадр сразу же после отправки предыдущего, он обязан ждать прихода квитанции.
Снижение производительности этого метода коррекции особенно заметно на
низкоскоростных каналах связи, то есть в территориальных сетях.

Рис. 2.24. Методы восстановления искаженных и
потерянных кадров

Второй метод называется методом «скользящего окна» (sliding
window). В этом методе для повышения коэффициента использования линии
источнику разрешается передать некоторое количество кадров в непрерывном
режиме, то есть в максимально возможном для источника темпе, без получения на
эти кадры положительных ответных квитанций. (Далее, где это не искажает
существо рассматриваемого вопроса, положительные квитанции для краткости будут
называться просто «квитанциями».) Количество кадров, которые разрешается
передавать таким образом, называется размером окна. Рисунок 2.24, б
иллюстрирует данный метод для окна размером в W кадров.

В начальный момент, когда еще не послано ни одного кадра, окно определяет
диапазон кадров с номерами от 1 до W включительно. Источник начинает передавать
кадры и получать в ответ квитанции. Для простоты предположим, что квитанции
поступают в той же последовательности, что и кадры, которым они соответствуют.
В момент t₁ при получении первой квитанции К1 окно сдвигается
на одну позицию, определяя новый диапазон от 2 до (W+1).

Процессы отправки кадров и получения квитанций идут достаточно независимо
друг от друга. Рассмотрим произвольный момент времени tn, когда источник
получил квитанцию на кадр с номером n. Окно сдвинулось вправо и определило
диапазон разрешенных к передаче кадров от (n+1) до (W+n). Все множество кадров,
выходящих из источника, можно разделить на перечисленные ниже группы (рис.
2.24, б).

Кадры с номерами от 1 доп. уже были отправлены и квитанции на них
получены, то есть они находятся за пределами окна слева.
Кадры, начиная с номера (п+1) и кончая номером
(W+n), находятся в пределах окна и
потому могут быть отправлены не дожидаясь прихода какой-либо квитанции.
Этот диапазон может быть разделен еще на два поддиапазона:

кадры с номерами от (n+1) до
т, которые уже отправлены, но квитанции на них еще не получены;
кадры с номерами от m до
(W+n), которые пока не отправлены, хотя запрета на это нет.

Все кадры с номерами, большими или равными
(W+n+1), находятся за пределами окна
справа и поэтому пока не могут быть отправлены.

Перемещение окна вдоль последовательности номеров кадров показано на рис.
2.24, в. Здесь t₀ — исходный момент, t₁ и t_n —
моменты прихода квитанций на первый и n-й кадр соответственно. Каждый раз,
когда приходит квитанция, окно сдвигается влево, но его размер при этом не
меняется и остается равным W. Заметим, что хотя в данном примере размер окна в
процессе передачи остается постоянным, в реальных протоколах (например, TCP)
можно встретить варианты данного алгоритма с изменяющимся размером окна.

Итак, при отправке кадра с номером n источнику разрешается передать еще W-1
кадров до получения квитанции на кадр n, так что в сеть последним уйдет кадр с
номером (W+n-1). Если же за это время квитанция на кадр n так и не пришла, то
процесс передачи приостанавливается, и по истечении некоторого тайм-аута кадр n
(или квитанция на него) считается утерянным, и он передается снова.

Если же поток квитанций поступает более-менее регулярно, в пределах допуска
в W кадров, то скорость обмена достигает максимально возможной величины для
данного канала и принятого протокола.

Метод скользящего окна более сложен в реализации, чем метод с простоями,
так как передатчик должен хранить в буфере все кадры, на которые пока не
получены положительные квитанции. Кроме того, требуется отслеживать несколько
параметров алгоритма: размер окна W, номер кадра, на который получена
квитанция, номер кадра, который еще можно передать до получения новой
квитанции.

Приемник может не посылать квитанции на каждый принятый корректный кадр.
Если несколько кадров пришли почти одновременно, то приемник может послать
квитанцию только на последний кадр. При этом подразумевается, что все
предыдущие кадры также дошли благополучно.

Некоторые методы используют отрицательные квитанции. Отрицательные
квитанции бывают двух типов — групповые и избирательные. Групповая квитанция
содержит номер кадра, начиная с которого нужно повторить передачу всех кадров,
отправленных передатчиком в сеть. Избирательная отрицательная квитанция требует
повторной передачи только одного кадра.

Метод скользящего окна реализован во многих протоколах: LLC2, LAP-B, X.25,
TCP, Novell NCP Burst Mode.

Метод с простоями является частным случаем метода скользящего окна, когда
размер окна равен единице.

Метод скользящего окна имеет два параметра, которые могут заметно влиять на
эффективность передачи данных между передатчиком и приемником, — размер окна и
величина тайм-аута ожидания квитанции. В надежных сетях, когда кадры искажаются
и теряются редко, для повышения скорости обмена данными размер окна нужно
увеличивать, так как при этом передатчик будет посылать кадры с меньшими
паузами. В ненадежных сетях размер окна следует уменьшать, так как при частых
потерях и искажениях кадров резко возрастает объем вторично передаваемых через
сеть кадров, а значит, пропускная способность сети будет расходоваться во
многом вхолостую — полезная пропускная способность сети будет падать.

Выбор тайм-аута зависит не от надежности сети, а от задержек передачи
кадров сетью.

Во многих реализациях метода скользящего окна величина окна и тайм-аут
выбираются адаптивно, в зависимости от текущего состояния сети.

Источник

Цель функционального тестирования — обнаружение несоответствий между реальным поведением реализованных функций и ожидаемым поведением в соответствии со спецификацией и исходными требованиями. Функциональные тесты должны охватывать все реализованные функции с учетом наиболее вероятных типов ошибок. Тестовые сценарии, объединяющие отдельные тесты, ориентированы на проверку качества решения функциональных задач.

Функциональные тесты создаются по внешним спецификациям функций, проектной информации и по тексту на ЯП, относятся к функциональным его характеристикам и применяются на этапе комплексного тестирования и испытаний для определения полноты реализации функциональных задач и их соответствия исходным требованиям.

В задачи функционального тестирования входят:

· идентификация множества функциональных требований;

· идентификация внешних функций и построение последовательностей функций в соответствии с их использованием в ПС;- идентификация множества входных данных каждой функции и определение областей их изменения;

· построение тестовых наборов и сценариев тестирования функций;

· выявление и представление всех функциональных требований с помощью тестовых наборов и проведение тестирования ошибок в программе и при взаимодействии со средой.

Тесты, создаваемые по проектной информации, связаны со структурами данных, алгоритмами, интерфейсами между отдельными компонентами и применяются для тестирования компонентов и их интерфейсов. Основная цель — обеспечение полноты и согласованности реализованных функций и интерфейсов между ними.

Комбинированный метод «черного ящика» и «прозрачного ящика» основан на разбиении входной области функции на подобласти обнаружения ошибок. Подобласть содержит однородные элементы, которые все обрабатываются корректно либо некорректно. Для тестирования подобласти производится выполнение программы на одном из элементов этой области.

Предпосылки функционального тестирования:

· корректное оформление требований и ограничений к качеству ПО;

· корректное описание модели функционирования ПО в среде эксплуатации у заказчика;

· адекватность модели ПО заданному классу.

Под инфраструктурой процесса тестирования понимается:

· выделение объектов тестирования;

· проведение классификации ошибок для рассматриваемого класса тестируемых программ;

· подготовка тестов, их выполнение и поиск разного рода ошибок и отказов в компонентах и в системе в целом;

· служба проведения и управление процессом тестирования;

· анализ результатов тестирования.

Объекты тестирования — компоненты, группы компонентов, подсистемы и система. Для каждого из них формируется стратегия проведения тестирования. Если объект тестирования относится к «белому ящику» или «черному ящику», состав компонентов которого неизвестный, то тестирование проводится посредством ввода внего входных тестовых данных для получения выходных данных. Стратегическая цель тестирования состоит в том, чтобы убедиться, что каждый рассматриваемый входной набор данных соответствует ожидаемым выходным выходных данным. При таком подходе к тестированию не требуется знания внутренней структуры и логики объекта тестирования.

Проектировщик тестов должен заглянуть внутрь «черного ящика» и исследовать детали процессов обработки данных, вопросы обеспечения защиты и восстановления данных, а также интерфейсы с другими программами и системами. Это способствует подготовке тестовых данных для проведения тестирования.

Для некоторых типов объектов группа тестирования не может сгенерировать представительное множество тестовых наборов, которые демонстрировали бы функциональную правильность работы компоненты при всех возможных наборах тестов.

Поэтому предпочтительным является метод «белого ящика», при котором можно использовать структуру объекта для организации тестирования по различным ветвям. Например, можно выполнить тестовые наборы, которые проходят через все операторы или все контрольные точки компонента для того, чтобы убедиться в правильности их работы.

Международный стандарт ANSI/IEEE-729-83 разделяет все ошибки в разработке программ на следующие типы.

Ошибка (error) — состояние программы, при котором выдаются неправильные результаты, причиной которых являются изъяны (flaw) в операторах программы или в технологическом процессе ее разработки, что приводит к неправильной интерпретации исходной информации, следовательно, и к неверному решению.

Дефект (fault) в программе — следствие ошибок разработчика на любом из этапов разработки, которая может содержаться в исходных или проектных спецификациях, текстах кодов программ, эксплуатационной документация и т.п. В процессе выполнения программы может быть обнаружен дефект или сбой.

Отказ (failure) — это отклонение программы от функционирования или невозможность программы выполнять функции, определенные требованиями и ограничениями, что рассматривается как событие, способствующее переходу программы в неработоспособное состояние из-за ошибок, скрытых в ней дефектов или сбоев в среде функционирования. Отказ может быть результатом следующих причин:

· ошибочная спецификация или пропущенное требование, означающее, что спецификация точно не отражает того, что предполагал пользователь;

· спецификация может содержать требование, которое невозможно выполнить на данной аппаратуре и программном обеспечении;

· проект программы может содержать ошибки (например, база данных спроектирована без средств защиты от несанкционированного доступа пользователя, а требуется защита);

· программа может быть неправильной, т.е. она выполняет несвойственный алгоритм или он реализован не полностью.

Таким образом, отказы, как правило, являются результатами одной или более ошибок в программе, а также наличия разного рода дефектов.

Ошибки на этапах процесса тестирования. Приведенные типы ошибок распределяются по этапам ЖЦ и им соответствуют такие источники их возникновения:

· непреднамеренное отклонение разработчиков от рабочих стандартов или планов реализации;

· спецификации функциональных и интерфейсных требований выполнены без соблюдения стандартов разработки, что приводит к нарушению функционирования программ;

· организации процесса разработки — несовершенная или недостаточное управление руководителем проекта ресурсами (человеческими, техническими, программными и т.д.) и вопросами тестирования и интеграции элементов проекта.

Рассмотрим процесс тестирования, исходя из рекомендаций стандарта ISO/IEC 12207, и приведем типы ошибок, которые обнаруживаются на каждом процессе ЖЦ.

Процесс разработки требований. При определении исходной концепции системы и исходных требований к системе возникают ошибки аналитиков при спецификации верхнего уровня системы и построении концептуальной модели предметной области.

Характерными ошибками этого процесса являются:

· неадекватность спецификации требований конечным пользователям;- некорректность спецификации взаимодействия ПО со средой функционирования или с пользователями;

· несоответствие требований заказчика к отдельным и общим свойствам ПО;

· некорректность описания функциональных характеристик;

· необеспеченность инструментальными средствами всех аспектов реализации требований заказчика и др.

Процесс проектирования. Ошибки при проектировании компонентов могут возникать при описании алгоритмов, логики управления, структур данных, интерфейсов, логики моделирования потоков данных, форматов ввода-вывода и др. В основе этих ошибок лежат дефекты спецификаций аналитиков и недоработки проектировщиков. К ним относятся ошибки, связанные:

· с определением интерфейса пользователя со средой;

· с описанием функций (неадекватность целей и задач компонентов, которые обнаруживаются при проверке комплекса компонентов);

· с определением процесса обработки информации и взаимодействия между процессами (результат некорректного определения взаимосвязей компонентов и процессов);

· с некорректным заданием данных и их структур при описании отдельных компонентов и ПС в целом;

· с некорректным описанием алгоритмов модулей;

· с определением условий возникновения возможных ошибок в программе;

· с нарушением принятых для проекта стандартов и технологий.

Этап кодирования. На данном этапе возникают ошибки, которые являются результатом дефектов проектирования, ошибок программистов и менеджеров в процессе разработки и отладки системы. Причиной ошибок являются:

· бесконтрольность значений входных параметров, индексов массивов, параметров циклов, выходных результатов, деления на 0 и др.;

· неправильная обработка нерегулярных ситуаций при анализе кодов возврата от вызываемых подпрограмм, функций и др.;

· нарушение стандартов кодирования (плохие комментарии, нерациональное выделение модулей и компонент и др.);

· использование одного имени для обозначения разных объектов или разных имен одного объекта, плохая мнемоника имен;- несогласованное внесение изменений в программу разными разработчиками и др.

Процесс тестирования. На этом процессе ошибки допускаются программистами и тестировщиками при выполнении технологии сборки и тестирования, выбора тестовых наборов и сценариев тестирования и др. Отказы в программном обеспечении, вызванные такого рода ошибками, должны выявляться, устраняться и не отражаться на статистике ошибок компонент и программного обеспечения в целом.

Процесс сопровождения. На процессе сопровождения обнаруживаются ошибки, причиной которых являются недоработки и дефекты эксплуатационной документации, недостаточные показатели модифицируемости и удобочитаемости, а также некомпетентность лиц, ответственных за сопровождение и/или усовершенствование ПО. В зависимости от сущности вносимых изменений на этом этапе могут возникать практически любые ошибки, аналогичные ранее перечисленным ошибкам на предыдущих этапах.

Все ошибки, которые возникают в программах, принято подразделять на следующие классы:

· логические и функциональные ошибки;

· ошибки вычислений и времени выполнения;

· ошибки ввода-вывода и манипулирования данными;

· ошибки интерфейсов;

· ошибки объема данных и др.

Логические ошибки являются причиной нарушения логики алгоритма, внутренней несогласованности переменных и операторов, а также правил программирования. Функциональные ошибки — следствие неправильно определенных функций, нарушения порядка их применения или отсутствия полноты их реализации и т.д.

Ошибки вычислений возникают по причине неточности исходных данных и реализованных формул, погрешностей методов, неправильного применения операций вычислений или операндов. Ошибки времени выполнения связаны с не обеспечением требуемой скорости обработки запросов или времени восстановления программы.

Ошибки ввода-вывода и манипулирования данными являются следствием некачественной подготовки данных для выполнения программы, сбоев при занесении их в базы данных или при выборке из нее.

Ошибки интерфейса относятся к ошибкам взаимосвязи отдельных элементов друг с другом, что проявляется при передаче данных между ними, а также при взаимодействии со средой функционирования.

Ошибки объема относятся к данным и являются следствием того, что реализованные методы доступа и размеры баз данных не удовлетворяют реальным объемам информации системы или интенсивности их обработки.

Приведенные основные классы ошибок свойственны разным типам компонентов ПО и проявляются они в программах по разному. Так, при работе с БД возникают ошибки представления и манипулирования данными, логические ошибки в задании прикладных процедур обработки данных и др. В программах вычислительного характера преобладают ошибки вычислений, а в программах управления и обработки — логические и функциональные ошибки. В ПО, которое состоит из множества разноплановых программ, реализующих разные функции, могут содержаться ошибки разных типов. Ошибки интерфейсов и нарушение объема характерны для любого типа систем.

Анализ типов ошибок в программах является необходимым условием создания планов тестирования и методов тестирования для обеспечения правильности ПО.

На современном этапе развития средств поддержки разработки ПО (CASE-технологии, объектно-ориентированные методы и средства проектирования моделей и программ) проводится такое проектирование, при котором ПО защищается от наиболее типичных ошибок и тем самым предотвращается появление программных дефектов.

Связь ошибки с отказом. Наличие ошибки в программе, как правило, приводит к отказу ПО при его функционировании. Для анализа причинно-следственных связей «ошибка отказ» выполняются следующие действия:

· идентификация изъянов в технологиях проектирования и программирования;

· взаимосвязь изъянов процесса проектирования и допускаемых человеком ошибок;

· классификация отказов, изъянов и возможных ошибок, а также дефектов на каждом этапе разработки;- сопоставление ошибок человека, допускаемых на определенном процессе разработки, и дефектов в объекте, как следствий ошибок спецификации проекта, моделей программ;

· проверка и защита от ошибок на всех этапах ЖЦ, а также обнаружение дефектов на каждом этапе разработки;

· сопоставление дефектов и отказов в ПО для разработки системы взаимосвязей и методики локализации, сбора и анализа информации об отказах и дефектах;

· разработка подходов к процессам документирования и испытания ПО.

Конечная цель причинно-следственных связей «ошибка отказ» заключается в определении методов и средств тестирования и обнаружения ошибок определенных классов, а также критериев завершения тестирования на множестве наборов данных; в определении путей совершенствования организации процесса разработки, тестирования и сопровождения ПО.

Приведем следующую классификацию типов отказов:

· аппаратный, при котором общесистемное ПО не работоспособно;

· информационный, вызванный ошибками во входных данных и передаче данных по каналам связи, а также при сбое устройств ввода (следствие аппаратных отказов);

· эргономический, вызванный ошибками оператора при его взаимодействии с машиной (этот отказ — вторичный отказ, может привести к информационному или функциональному отказам);

· программный, при наличии ошибок в компонентах и др.

Некоторые ошибки могут быть следствием недоработок при определении требований, проекта, генерации выходного кода или документации. С другой стороны, они порождаются в процессе разработки программы или при разработке интерфейсов отдельных элементов программы (нарушение порядка параметров, меньше или больше параметров и т.п.).

Источники ошибок. Ошибки могут быть порождены в процессе разработки проекта, компонентов, кода и документации. Как правило, они обнаруживаются при выполнении или сопровождении программного обеспечения в самых неожиданных и разных ее точках.

Некоторые ошибки в программе могут быть следствием недоработок при определении требований, проекта, генерации кода или документации. С другой стороны, ошибки порождаются в процессе разработки программы или интерфейсов ее элементов (например, при нарушении порядка задания параметров связи — меньше или больше, чем требуется и т.п.).

Причиной появления ошибок — непонимание требований заказчика; неточная спецификация требований в документах проекта и др. Это приводит к тому, что реализуются некоторые функции системы, которые будут работать не так, как предлагает

заказчик. В связи с этим проводится совместное обсуждение заказчиком и разработчиком некоторых деталей требований для их уточнения.

Команда разработчиков системы может также изменить синтаксис и семантику описания системы. Однако некоторые ошибки могут быть не обнаружены (например, неправильно заданы индексы или значения переменных этих операторов).

Источник

Аннотация: Контроль по четности, CRC, алгоритм Хэмминга. Введение в коды Рида-Соломона: принципы, архитектура и реализация. Метод коррекции ошибок FEC (Forward Error Correction).

Каналы передачи данных ненадежны (шумы, наводки и т.д.), да и само оборудование обработки информации работает со сбоями. По этой причине важную роль приобретают механизмы детектирования ошибок. Ведь если ошибка обнаружена, можно осуществить повторную передачу данных и решить проблему. Если исходный код по своей длине равен полученному коду, обнаружить ошибку передачи не предоставляется возможным. Можно, конечно, передать код дважды и сравнить, но это уже двойная избыточность.

Простейшим способом обнаружения ошибок является контроль по четности. Обычно контролируется передача блока данных ( М бит). Этому блоку ставится в соответствие кодовое слово длиной N бит, причем N>M. Избыточность кода характеризуется величиной 1-M/N. Вероятность обнаружения ошибки определяется отношением M/N (чем меньше это отношение, тем выше вероятность обнаружения ошибки, но и выше избыточность).

При передаче информации она кодируется таким образом, чтобы с одной стороны характеризовать ее минимальным числом символов, а с другой – минимизировать вероятность ошибки при декодировании получателем. Для выбора типа кодирования важную роль играет так называемое расстояние Хэмминга.

Пусть А и Б — две двоичные кодовые последовательности равной длины. Расстояние Хэмминга между двумя этими кодовыми последовательностями равно числу символов, которыми они отличаются. Например, расстояние Хэмминга между кодами 00111 и 10101 равно 2.

Можно показать, что для детектирования ошибок в n битах схема кодирования требует применения кодовых слов с расстоянием Хэмминга не менее N + 1. Можно также показать, что для исправления ошибок в N битах необходима схема кодирования с расстоянием Хэмминга между кодами не менее 2N + 1. Таким образом, конструируя код, мы пытаемся обеспечить расстояние Хэмминга между возможными кодовыми последовательностями большее, чем оно может возникнуть из-за ошибок.

Широко распространены коды с одиночным битом четности. В этих кодах к каждым М бит добавляется 1 бит, значение которого определяется четностью (или нечетностью) суммы этих М бит. Так, например, для двухбитовых кодов 00, 01, 10, 11 кодами с контролем четности будут 000, 011, 101 и 110. Если в процессе передачи один бит будет передан неверно, четность кода из М+1 бита изменится.

Предположим, что частота ошибок ( BER – Bit Error Rate) равна р = 10^-4. В этом случае вероятность передачи 8 бит с ошибкой составит 1 – (1 – p)⁸ = 7,9 х 10^-4. Добавление бита четности позволяет детектировать любую ошибку в одном из переданных битах. Здесь вероятность ошибки в одном из 9 битов равна 9p(1 – p)⁸. Вероятность же реализации необнаруженной ошибки составит 1 – (1 – p)⁹ – 9p(1 – p)⁸ = 3,6 x 10^-7. Таким образом, добавление бита четности уменьшает вероятность необнаруженной ошибки почти в 1000 раз. Использование одного бита четности типично для асинхронного метода передачи. В синхронных каналах чаще используется вычисление и передача битов четности как
для строк, так и для столбцов передаваемого массива данных. Такая схема позволяет не только регистрировать, но и исправлять ошибки в одном из битов переданного блока.

Контроль по четности достаточно эффективен для выявления одиночных и множественных ошибок в условиях, когда они являются независимыми. При возникновении ошибок в кластерах бит метод контроля четности неэффективен, и тогда предпочтительнее метод вычисления циклических сумм ( CRC — Cyclic Redundancy Check). В этом методе передаваемый кадр делится на специально подобранный образующий полином. Дополнение остатка от деления и является контрольной суммой.

В Ethernet вычисление CRC производится аппаратно. На
рис.
4.1 показан пример реализации аппаратного расчета CRC для образующего полинома R(x) = 1 + x² + x³ + x⁵ + x⁷. В этой схеме входной код приходит слева.

Рис.
4.1.
Схема реализации расчета CRC

Эффективность CRC для обнаружения ошибок на многие порядки выше простого контроля четности. В настоящее время стандартизовано несколько типов образующих полиномов. Для оценочных целей можно считать, что вероятность невыявления ошибки в случае использования CRC, если ошибка на самом деле имеет место, равна (1/2)^r, где r — степень образующего полинома.

Таблица
4.1.

CRC -12	x¹² + x¹¹ + x³ + x² + x¹ + 1
CRC -16	x¹⁶ + x¹⁵ + x² + 1
CRC -CCITT	x¹⁶ + x¹² + x⁵ + 1

4.1. Алгоритмы коррекции ошибок

Исправлять ошибки труднее, чем их детектировать или предотвращать. Процедура коррекции ошибок предполагает два совмещеных процесса: обнаружение ошибки и определение места (идентификации сообщения и позиции в сообщении). После решения этих двух задач исправление тривиально — надо инвертировать значение ошибочного бита. В наземных каналах связи, где вероятность ошибки невелика, обычно используется метод детектирования ошибок и повторной пересылки фрагмента, содержащего дефект. Для спутниковых каналов с типичными для них большими задержками системы коррекции ошибок становятся привлекательными. Здесь используют коды Хэмминга или коды свертки.

Код Хэмминга представляет собой блочный код, который позволяет выявить и исправить ошибочно переданный бит в пределах переданного блока. Обычно код Хэмминга характеризуется двумя целыми числами, например, (11,7), используемыми при передаче 7-битных ASCII-кодов. Такая запись говорит, что при передаче 7-битного кода используется 4 контрольных бита (7 + 4 = 11). При этом предполагается, что имела место ошибка в одном бите и что ошибка в двух или более битах существенно менее вероятна. С учетом этого исправление ошибки осуществляется с определенной вероятностью. Например, пусть возможны следующие правильные коды (все они, кроме первого и последнего, отстоят друг от друга на расстояние Хэмминга 4):

00000000

11110000

00001111

11111111

При получении кода 00000111 нетрудно предположить, что правильное значение полученного кода равно 00001111. Другие коды отстоят от полученного на большее расстояние Хэмминга.

Рассмотрим пример передачи кода буквы s = 0x073 = 1110011 с использованием кода Хэмминга (11,7). Таблица 4.2.

Таблица
4.2.

Позиция бита	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Значение бита	1	1	1	*	0	0	1	*	1	*	*

Символами * помечены четыре позиции, где должны размещаться контрольные биты. Эти позиции определяются целой степенью 2 (1, 2, 4, 8 и т.д.). Контрольная сумма формируется путем выполнения операции XoR (исключающее ИЛИ) над кодами позиций ненулевых битов. В данном случае это 11, 10, 9, 5 и 3. Вычислим контрольную сумму:

11=	1011
10=	1010
09=	1001
05=	0101
03=	0011
$\Sigma=$	1110

Таким образом, приемник получит код

Позиция бита	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Значение бита	1	1	1	1	0	0	1	1	1	1	0

Просуммируем снова коды позиций ненулевых битов и получим нуль;

11=	1011
10=	1010
09=	1001
08=	1000
05=	0101
04=	0100
03=	0011
02=	0010
$\Sigma=$	0000

Ну а теперь рассмотрим два случая ошибок в одном из битов посылки, например в бите 7 (1 вместо 0) и в бите 5 (0 вместо 1). Просуммируем коды позиций ненулевых битов еще раз:

Таблица
4.3.

11=	1011
10=	1010
09=	1001
08=	1000
07=	0111
05=	0101
04=	0100
03=	0011
02=	0010
$\Sigma=$	0111

11=	1011
10=	1010
09=	1001
08=	1000
04=	0100
03=	0011
02=	0010
$\Sigma=$	0001

В обоих случаях контрольная сумма равна позиции бита, переданного с ошибкой. Теперь для исправления ошибки достаточно инвертировать бит, номер которого указан в контрольной сумме. Понятно, что если ошибка произойдет при передаче более чем одного бита, код Хэмминга при данной избыточности окажется бесполезен.

В общем случае код имеет N = M + C бит и предполагается, что не более чем один бит в коде может иметь ошибку. Тогда возможно N+1 состояние кода (правильное состояние и n ошибочных). Пусть М = 4, а N = 7, тогда слово-сообщение будет иметь вид: M4, M3, M2, C3, M1, C2, C1. Теперь попытаемся вычислить значения С1, С2, С3. Для этого используются уравнения, где все операции представляют собой сложение по модулю 2:

С1 = М1 + М2 + М4
С2 = М1 + М3 + М4
С3 = М2 + М3 + М4

Для определения того, доставлено ли сообщение без ошибок, вычисляем следующие выражения (сложение по модулю 2):

С11 = С1 + М4 + М2 + М1
С12 = С2 + М4 + М3 + М1
С13 = С3 + М4 + М3 + М2

Результат вычисления интерпретируется следующим образом:

Таблица
4.4.

C11	C12	C13	Значение
1	2	4	Позиция бит
0	0	0	Ошибок нет
0	0	1	Бит С3 неверен
0	1	0	Бит С2 неверен
0	1	1	Бит M3 неверен
1	0	0	Бит С1 неверен
1	0	1	Бит M2 неверен
1	1	0	Бит M1 неверен
1	1	1	Бит M4 неверен

Описанная схема легко переносится на любое число n и М.

Число возможных кодовых комбинаций М помехоустойчивого кода делится на n классов, где N — число разрешенных кодов. Разделение на классы осуществляется так, чтобы в каждый класс вошел один разрешенный код и ближайшие к нему (по расстоянию Хэмминга ) запрещенные коды. В процессе приема данных определяется, к какому классу принадлежит пришедший код. Если код принят с ошибкой, он заменяется ближайшим разрешенным кодом. При этом предполагается, что кратность ошибки не более q_m.

В теории кодирования существуют следующие оценки максимального числа N n -разрядных кодов с расстоянием D.

d=1	n=2ⁿ
d=2	n=2^n-1
d=3	N 2ⁿ/(1 + n)
d = 2q + 1	(для кода Хэмминга это неравенство превращается в равенство)

В случае кода Хэмминга первые k разрядов используются в качестве информационных, причем

K = n – log(n + 1), откуда следует (логарифм по основанию 2), что k может принимать значения 0, 1, 4, 11, 26, 57 и т.д., это и определяет соответствующие коды Хэмминга (3,1); (7,4); (15,11); (31,26); (63,57) и т.д.

Обобщением кодов Хэмминга являются циклические коды BCH (Bose-Chadhuri-hocquenghem). Эти коды имеют широкий выбор длин и возможностей исправления ошибок.

Одной из старейших схем коррекции ошибок является двух-и трехмерная позиционная схема (
рис.
4.2). Для каждого байта вычисляется бит четности (бит <Ч>, направление Х). Для каждого столбца также вычисляется бит четности (направление Y. Производится вычисление битов четности для комбинаций битов с координатами (X,Y) (направление Z, слои с 1 до N ). Если при транспортировке будет искажен один бит, он может быть найден и исправлен по неверным битам четности X и Y. Если же произошло две ошибки в одной из плоскостей, битов четности данной плоскости недостаточно. Здесь поможет плоскость битов четности N+1.
Таким образом, на 512 передаваемых байтов данных пересылается около 200 бит четности.

Рис.
4.2.
Позиционная схема коррекции ошибок

Источник


		Обноружение ошибок

		Исправление ошибок

		Коррекция ошибок

		Назад

Методы обнаружения ошибок

В обычном равномерном непомехоустойчивом коде число разрядов n в кодовых
комбинациях определяется числом сообщений и основанием кода.

Коды, у которых все кодовые комбинации разрешены, называются простыми или
равнодоступными и являются полностью безызбыточными. Безызбыточные коды обладают
большой «чувствительностью» к помехам. Внесение избыточности при использовании
помехоустойчивых кодов связано с увеличением n – числа разрядов кодовой комбинации. Таким
образом, все множество
комбинаций можно разбить на два подмножества:
подмножество разрешенных комбинаций, обладающих определенными признаками, и
подмножество запрещенных комбинаций, этими признаками не обладающих.

Помехоустойчивый код отличается от обычного кода тем, что в канал передаются не все
кодовые комбинации N, которые можно сформировать из имеющегося числа разрядов n, а только
их часть Nk , которая составляет подмножество разрешенных комбинаций. Если при приеме
выясняется, что кодовая комбинация принадлежит к запрещенным, то это свидетельствует о
наличии ошибок в комбинации, т.е. таким образом решается задача обнаружения ошибок. При
этом принятая комбинация не декодируется (не принимается решение о переданном
сообщении). В связи с этим помехоустойчивые коды называют корректирующими кодами.
Корректирующие свойства избыточных кодов зависят от правила их построения, определяющего
структуру кода, и параметров кода (длительности символов, числа разрядов, избыточности и т. п.).

Первые работы по корректирующим кодам принадлежат Хеммингу, который ввел понятие
минимального кодового расстояния dmin и предложил код, позволяющий однозначно указать ту
позицию в кодовой комбинации, где произошла ошибка. К информационным элементам k в коде
Хемминга добавляется m проверочных элементов для автоматического определения
местоположения ошибочного символа. Таким образом, общая длина кодовой комбинации
составляет: n = k + m.

Метричное представление n,k-кодов

В настоящее время наибольшее внимание с точки зрения технических приложений
уделяется двоичным блочным корректирующим кодам. При использовании блочных кодов
цифровая информация передается в виде отдельных кодовых комбинаций (блоков) равной
длины. Кодирование и декодирование каждого блока осуществляется независимо друг от друга.

Почти все блочные коды относятся к разделимым кодам, кодовые комбинации которых
состоят из двух частей: информационной и проверочной. При общем числе n символов в блоке
число информационных символов равно k, а число проверочных символов:

К основным характеристикам корректирующих кодов относятся:

— число разрешенных и запрещенных кодовых комбинаций;
— избыточность кода;
— минимальное кодовое расстояние;
— число обнаруживаемых или исправляемых ошибок;
— корректирующие возможности кодов.

Для блочных двоичных кодов, с числом символов в блоках, равным n, общее число
возможных кодовых комбинаций определяется значением

Число разрешенных кодовых комбинаций при наличии k информационных разрядов в
первичном коде:

Очевидно, что число запрещенных комбинаций:

а с учетом отношение будет

где m – число избыточных (проверочных) разрядов в блочном коде.

Избыточностью корректирующего кода называют величину

откуда следует:

Эта величина показывает, какую часть общего числа символов кодовой комбинации
составляют информационные символы. В теории кодирования величину Bk называют
относительной скоростью кода. Если производительность источника информации равна H
символов в секунду, то скорость передачи после кодирования этой информации будет

поскольку в закодированной последовательности из каждых n символов только k символов
являются информационными.

Если число ошибок, которые нужно обнаружить или исправить, значительно, то необходимо
иметь код с большим числом проверочных символов. Чтобы при этом скорость передачи
оставалась достаточно высокой, необходимо в каждом кодовом блоке одновременно
увеличивать как общее число символов, так и число информационных символов.

При этом длительность кодовых блоков будет существенно возрастать, что приведет к
задержке информации при передаче и приеме. Чем сложнее кодирование, тем длительнее
временная задержка информации.

Минимальное кодовое расстояние – dmin. Для того чтобы можно было обнаружить и
исправлять ошибки, разрешенная комбинация должна как можно больше отличаться от
запрещенной. Если ошибки в канале связи действуют независимо, то вероятность преобразования
одной кодовой комбинации в другую будет тем меньше, чем большим числом символов они
различаются.

Если интерпретировать кодовые комбинации как точки в пространстве, то отличие
выражается в близости этих точек, т. е. в расстоянии между ними.

Количество разрядов (символов), которыми отличаются две кодовые комбинации, можно
принять за кодовое расстояние между ними. Для определения этого расстояния нужно сложить
две кодовые комбинации «по модулю 2» и подсчитать число единиц в полученной сумме.
Например, две кодовые комбинации xi = 01011 и xj = 10010 имеют расстояние d(xi,xj) , равное 3,
так как:

Здесь под операцией ⊕ понимается сложение «по модулю 2».

Заметим, что кодовое расстояние d(xi,x0) между комбинацией xi и нулевой x0 = 00…0
называют весом W комбинации xi, т.е. вес xi равен числу «1» в ней.

Расстояние между различными комбинациями некоторого конкретного кода могут
существенно отличаться. Так, в частности, в безызбыточном первичном натуральном коде n = k это
расстояние для различных комбинаций может изменяться от единицы до величины n, равной
разрядности кода. Особую важность для характеристики корректирующих свойств кода имеет
минимальное кодовое расстояние dmin, определяемое при попарном сравнении всех кодовых
комбинаций, которое называют расстоянием Хемминга.

В безызбыточном коде все комбинации являются разрешенными и его минимальное
кодовое расстояние равно единице – dmin=1. Поэтому достаточно исказиться одному символу,
чтобы вместо переданной комбинации была принята другая разрешенная комбинация. Чтобы код
обладал корректирующими свойствами, необходимо ввести в него некоторую избыточность,
которая обеспечивала бы минимальное расстояние между любыми двумя разрешенными
комбинациями не менее двух – dmin ≥ 2..

Минимальное кодовое расстояние является важнейшей характеристикой помехоустойчивых
кодов, указывающей на гарантируемое число обнаруживаемых или исправляемых заданным
кодом ошибок.

Число обнаруживаемых или исправляемых ошибок

При применении двоичных кодов учитывают только дискретные искажения, при которых
единица переходит в нуль («1» → «0») или нуль переходит в единицу («0» → «1»). Переход «1» →
«0» или «0» → «1» только в одном элементе кодовой комбинации называют единичной ошибкой
(единичным искажением). В общем случае под кратностью ошибки подразумевают число
позиций кодовой комбинации, на которых под действием помехи одни символы оказались
замененными на другие. Возможны двукратные (g = 2) и многократные (g > 2) искажения
элементов в кодовой комбинации в пределах 0 ≤ g ≤ n.

Минимальное кодовое расстояние является основным параметром, характеризующим
корректирующие способности данного кода. Если код используется только для обнаружения
ошибок кратностью g0, то необходимо и достаточно, чтобы минимальное кодовое расстояние
было равно dmin ≥ g0 + 1.

В этом случае никакая комбинация из go ошибок не может перевести одну разрешенную
кодовую комбинацию в другую разрешенную. Таким образом, условие обнаружения всех ошибок
кратностью g0 можно записать

Чтобы можно было исправить все ошибки кратностью gu и менее, необходимо иметь
минимальное расстояние, удовлетворяющее условию dmin ≥ 2gu

В этом случае любая кодовая комбинация с числом ошибок gu отличается от каждой
разрешенной комбинации не менее чем в gu+1 позициях. Если условие не выполнено,
возможен случай, когда ошибки кратности g исказят переданную комбинацию так, что она станет
ближе к одной из разрешенных комбинаций, чем к переданной или даже перейдет в другую
разрешенную комбинацию. В соответствии с этим, условие исправления всех ошибок кратностью
не более gи можно записать:

Из и
следует, что если код исправляет все ошибки кратностью gu, то число
ошибок, которые он может обнаружить, равно go = 2gu. Следует отметить, что эти соотношения
устанавливают лишь гарантированное минимальное число обнаруживаемых или
исправляемых ошибок при заданном dmin и не ограничивают возможность обнаружения ошибок
большей кратности. Например, простейший код с проверкой на четность с dmin = 2 позволяет
обнаруживать не только одиночные ошибки, но и любое нечетное число ошибок в пределах go < n.

Корректирующие возможности кодов

Вопрос о минимально необходимой избыточности, при которой код обладает нужными
корректирующими свойствами, является одним из важнейших в теории кодирования. Этот вопрос
до сих пор не получил полного решения. В настоящее время получен лишь ряд верхних и нижних
оценок (границ), которые устанавливают связь между максимально возможным минимальным
расстоянием корректирующего кода и его избыточностью.

Коды Хэмминга

Построение кодов Хемминга базируется на принципе проверки на четность веса W (числа
единичных символов «1») в информационной группе кодового блока.

Поясним идею проверки на четность на примере простейшего корректирующего кода,
который так и называется кодом с проверкой на четность или кодом с проверкой по паритету
(равенству).

В таком коде к кодовым комбинациям безызбыточного первичного двоичного k-разрядного
кода добавляется один дополнительный разряд (символ проверки на четность, называемый
проверочным, или контрольным). Если число символов «1» исходной кодовой комбинации
четное, то в дополнительном разряде формируют контрольный символ «0», а если число
символов «1» нечетное, то в дополнительном разряде формируют символ «1». В результате
общее число символов «1» в любой передаваемой кодовой комбинации всегда будет четным.

Таким образом, правило формирования проверочного символа сводится к следующему:

где i – соответствующий информационный символ («0» или «1»); k – общее их число а, под
операцией ⊕ здесь и далее понимается сложение «по модулю 2». Очевидно, что добавление
дополнительного разряда увеличивает общее число возможных комбинаций вдвое по сравнению
с числом комбинаций исходного первичного кода, а условие четности разделяет все комбинации
на разрешенные и неразрешенные. Код с проверкой на четность позволяет обнаруживать
одиночную ошибку при приеме кодовой комбинации, так как такая ошибка нарушает условие
четности, переводя разрешенную комбинацию в запрещенную.

Критерием правильности принятой комбинации является равенство нулю результата S
суммирования «по модулю 2» всех n символов кода, включая проверочный символ m1. При
наличии одиночной ошибки S принимает значение 1:

— ошибок нет,

— однократная ошибка

Этот код является (k+1,k)-кодом, или (n,n–1)-кодом. Минимальное расстояние кода равно
двум (dmin = 2), и, следовательно, никакие ошибки не могут быть исправлены. Простой код с
проверкой на четность может использоваться только для обнаружения (но не исправления)
однократных ошибок.

Увеличивая число дополнительных проверочных разрядов, и формируя по определенным
правилам проверочные символы m, равные «0» или «1», можно усилить корректирующие
свойства кода так, чтобы он позволял не только обнаруживать, но и исправлять ошибки. На этом и
основано построение кодов Хемминга.

Коды Хемминга позволяют исправлять одиночную ошибку, с помощью непосредственного
описания. Для каждого числа проверочных символов m =3, 4, 5… существует классический код
Хемминга с маркировкой

т.е. (7,4), (15,11) (31,26) …

При других значениях числа информационных символов k получаются так называемые
усеченные (укороченные) коды Хемминга. Так для кода имеющего 5 информационных символов,
потребуется использование корректирующего кода (9,5), являющегося усеченным от
классического кода Хемминга (15,11), так как число символов в этом коде уменьшается
(укорачивается) на 6.

Для примера рассмотрим классический код Хемминга (7,4), который можно сформировать и
описать с помощью кодера, представленного на рис. 1 В простейшем варианте при заданных
четырех информационных символах: i1, i2, i3, i4 (k = 4), будем полагать, что они сгруппированы в
начале кодового слова, хотя это и не обязательно. Дополним эти информационные символы
тремя проверочными символами (m = 3), задавая их следующими равенствами проверки на
четность, которые определяются соответствующими алгоритмами, где знак ⊕ означает
сложение «по модулю 2»: r1 = i1 ⊕ i2 ⊕ i3, r2 = i2 ⊕ i3 ⊕ i4, r3 = i1 ⊕ i2 ⊕ i4.

В соответствии с этим алгоритмом определения значений проверочных символов mi, в табл.
1 выписаны все возможные 16 кодовых слов (7,4)-кода Хемминга.

Таблица 1 Кодовые слова (7,4)-кода Хэмминга

k=4	m=4
i1 i2 i3 i4	r1 r2 r3
0 0 0 0	0 0 0
0 0 0 1	0 1 1
0 0 1 0	1 1 0
0 0 1 1	1 0 1
0 1 0 0	1 1 1
0 1 0 1	1 0 0
0 1 1 0	0 0 1
0 1 1 1	0 1 0
1 0 0 0	1 0 1
1 0 0 1	1 0 0
1 0 1 0	0 1 1
1 0 1 1	0 0 0
1 1 0 0	0 1 0
1 1 0 1	0 0 1
1 1 1 0	1 0 0
1 1 1 1	1 1 1

На рис.1 приведена блок-схема кодера – устройства автоматически кодирующего
информационные разряды в кодовые комбинации в соответствии с табл.1

Рис. 1 Кодер для (7,4)-кода Хемминга

На рис. 1.4 приведена схема декодера для (7,4) – кода Хемминга, на вход которого
поступает кодовое слово
. Апостроф означает, что любой символ слова может
быть искажен помехой в телекоммуникационном канале.

В декодере в режиме исправления ошибок строится последовательность:

Трехсимвольная последовательность (s1, s2, s3) называется синдромом. Термин «синдром»
используется и в медицине, где он обозначает сочетание признаков, характерных для
определенного заболевания. В данном случае синдром S = (s1, s2, s3) представляет собой
сочетание результатов проверки на четность соответствующих символов кодовой группы и
характеризует определенную конфигурацию ошибок (шумовой вектор).

Число возможных синдромов определяется выражением:

При числе проверочных символов m =3 имеется восемь возможных синдромов (2³ = .
Нулевой синдром (000) указывает на то, что ошибки при приеме отсутствуют или не обнаружены.
Всякому ненулевому синдрому соответствует определенная конфигурация ошибок, которая и
исправляется. Классические коды Хемминга имеют число синдромов, точно равное их
необходимому числу (что позволяет исправить все однократные ошибки в любом информативном
и проверочном символах) и включают один нулевой синдром. Такие коды называются
плотноупакованными.

Усеченные коды являются неплотноупакованными, так как число синдромов у них
превышает необходимое. Так, в коде (9,5) при четырех проверочных символах число синдромов
будет равно 2⁴ =16, в то время как необходимо всего 10. Лишние 6 синдромов свидетельствуют о
неполной упаковке кода (9,5).

Рис. 2 Декодер для (7, 4)-кода Хемминга

Для рассматриваемого кода (7,4) в табл. 2 представлены ненулевые синдромы и
соответствующие конфигурации ошибок.

Таблица 2 Синдромы (7, 4)-кода Хемминга

Синдром	001	010	011	100	101	110	111
Конфигурация ошибок	0000001	0000010	0000100	0001000	0010000	0100000	1000000
Ошибка в символе	m₁	m₂	i₄	m₁	i₁	i₃	i₂

Таким образом, (7,4)-код позволяет исправить все одиночные ошибки. Простая проверка
показывает, что каждая из ошибок имеет свой единственный синдром. При этом возможно
создание такого цифрового корректора ошибок (дешифратора синдрома), который по
соответствующему синдрому исправляет соответствующий символ в принятой кодовой группе.
После внесения исправления проверочные символы ri можно на выход декодера (рис. 2) не
выводить. Две или более ошибок превышают возможности корректирующего кода Хемминга, и
декодер будет ошибаться. Это означает, что он будет вносить неправильные исправления и
выдавать искаженные информационные символы.

Идея построения подобного корректирующего кода, естественно, не меняется при
перестановке позиций символов в кодовых словах. Все такие варианты также называются (7,4)-
кодами Хемминга.

Циклические коды

Своим названием эти коды обязаны такому факту, что для них часть комбинаций, либо все
комбинации могут быть получены путем циклическою сдвига одной или нескольких базовых
комбинаций кода.

Построение такого кода основывается на использовании неприводимых многочленов в поле
двоичных чисел. Такие многочлены не могут быть представлены в виде произведения
многочленов низших степеней подобно тому, как простые числа не могут быть представлены
произведением других чисел. Они делятся без остатка только на себя или на единицу.

Для определения неприводимых многочленов раскладывают на простые множители бином
хⁿ -1. Так, для n = 7 это разложение имеет вид:

(x⁷)=(x-1)(x³+x²)(x³+x-1)

Каждый из полученных множителей разложения может применяться для построения
корректирующего кода.

Неприводимый полином g(x) называют задающим, образующим или порождающим
для корректирующего кода. Длина n (число разрядов) создаваемого кода произвольна.
Кодовая последовательность (комбинация) корректирующего кода состоит из к информационных
разрядов и n — к контрольных (проверочных) разрядов. Степень порождающего полинома
r = n — к равна количеству неинформационных контрольных разрядов.

Если из сделанного выше разложения (при n = 7) взять полипом (х — 1), для которого
r=1, то k=n-r=7-1=6. Соответствующий этому полиному код используется для контроля
на чет/нечет (обнаружение ошибок). Для него минимальное кодовое расстояние D₀ = 2
(одна единица от D₀ — для исходного двоичного кода, вторая единица — за счет контрольного разряда).

Если же взять полином (x³+x²+1) из указанного разложения, то степень полинома
r=3, а k=n-r=7-3=4.

Контрольным разрядам в комбинации для некоторого кода могут быть четко определено место (номера разрядов).
Тогда код называют систематическим или разделимым. В противном случае код является неразделимым.

Способы построения циклических кодов по заданному полиному.

1) На основе порождающей (задающей) матрицы G, которая имеет n столбцов, k строк, то есть параметры которой
связаны с параметрами комбинаций кода. Порождающую матрицу строят, взяв в качестве ее строк порождающий
полином g(x) и (k — 1) его циклических сдвигов:

Пример; Определить порождающую матрицу, если известно, что n=7, k=4, задающий полином g(x)=x³+х+1.

Решение: Кодовая комбинация, соответствующая задающему полиному g(x)=x³+х+1, имеет вид 1011.
Тогда порождающая матрица G_7,4 для кода при n=7, к=4 с учетом того, что k-1=3, имеет вид:

Порождающая матрица содержит k разрешенных кодовых комбинаций. Остальные комбинации кода,
количество которых (2^k — k) можно определить суммированием по модулю 2 всевозможных сочетаний
строк матрицы G_n,k. Для матрицы, полученной в приведенном выше примере, суммирование по модулю 2
четырех строк 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4 дает следующие кодовые комбинации циклического кода:

001110101001111010011011101010011101110100

Другие комбинации искомого корректирующего кода могут быть получены сложением трех комбинаций, например,
из сочетания строк 1-3-4, что дает комбинацию 1111111, а также сложением четырех строк 1-2-3-4, что
дает комбинацию 1101001 и т.д.

Ряд комбинаций искомого кода может быть получено путем дальнейшего циклического сдвига комбинаций
порождающей матрицы, например, 0110001, 1100010, 1000101. Всего для образования искомого циклического
кода требуется 2^k=2⁴=16 комбинаций.

2) Умножение исходных двоичных кодовых комбинаций на задающий полином.

Исходными комбинациями являются все k-разрядные двоичные комбинации. Так, например, для исходной
комбинации 1111 (при k = 4) умножение ее на задающий полином g(x)=x³+х+1=1011 дает 1101001.
Полученные на основе двух рассмотренных способов циклические коды не являются разделимыми.

3) Деление на задающий полином.

Для получения разделимого (систематического) циклического кода необходимо разделить многочлен
x^n-k*h(x), где h(x) — исходная двоичная комбинация, на задающий полином g(x) и прибавить полученный
остаток от деления к многочлену x^n-k*h(x).

Заметим, что умножение исходной комбинации h(x) на x^n-k эквивалентно сдвигу h(x) на (n-к) разрядов влево.

Пример: Требуется определить комбинации циклического разделимого кода, заданного полиномом g(x)=x³+х+1=1011 и
имеющего общее число разрядов 7, число информационных разрядов 4, число контрольных разрядов (n-k)=3.

Решение: Пусть исходная комбинация h(x)=1100. Умножение ее на x^n-k=x³=1000 дает
x³*(x³+x²)=1100000, то есть эквивалентно
сдвигу исходной комбинации на 3 разряда влево. Деление комбинации 1100000 на комбинацию 1011, эквивалентно задающему полиному, дает:

Полученный остаток от деления, содержащий x^n-k=3 разряда, прибавляем к полиному, в результате чего получаем искомую комбинацию
разделимого циклического кода: 1100010. В ней 4 старших разряда (слева) соответствуют исходной двоичной комбинации, а три младших
разряда являются контрольными.

Следует сделать ряд указаний относительно процедуры деления:

1) При делении задающий полином совмещается старшим разрядом со старшим «единичными разрядом делимого.

2) Вместо вычитания по модулю 2 выполняется эквивалентная ему процедура сложения по модулю 2.

3) Деление продолжается до тех пор, пока степень очередного остатка не будет меньше степени делителя (задающего полинома). При достижении
этого полученный остаток соответствует искомому содержанию контрольных разрядов для данной искомой двоичной комбинации.

Для проверки правильности выполнения процедуры определения комбинации циклического кода необходимо разделить полученную комб1шацию на задающий полином с
учетом сделанных выше замечаний. Получение нулевого остатка от такого деления свидетельствует о правильности определения комбинации.

Логический код 4В/5В

Логический код 4В/5В заменяет исходные символы длиной в 4 бита на символы длиной в 5 бит. Так как результирующие символы содержат избыточные биты, то
общее количество битовых комбинаций в них больше, чем в исходных. Таким образом, пяти-битовая схема дает 32 (2⁵) двухразрядных буквенно-цифровых символа,
имеющих значение в десятичном коде от 00 до 31. В то время как исходные данные могут содержать только четыре бита или 16 (2⁴) символов.

Поэтому в результирующем коде можно подобрать 16 таких комбинаций, которые не содержат большого количества нулей, а остальные считать запрещенными кодами
(code violation). В этом случае длинные последовательности нулей прерываются, и код становится самосинхронизирующимся для любых передаваемых данных.
Исчезает также постоянная составляющая, а значит, еще более сужается спектр сигнала. Но этот метод снижает полезную пропускную способность линии,
так как избыточные единицы пользовательской информации не несут, и только «занимают эфирное время». Избыточные коды позволяют приемнику распознавать
искаженные биты. Если приемник принимает запрещенный код, значит, на линии произошло искажение сигнала.

Итак, рассмотрим работу логического кода 4В/5В. Преобразованный сигнал имеет 16 значений для передачи информации и 16 избыточных значений. В декодере
приемника пять битов расшифровываются как информационные и служебные сигналы.

Для служебных сигналов отведены девять символов, семь символов — исключены.

Исключены комбинации, имеющие более трех нулей (01 — 00001, 02 — 00010, 03 — 00011, 08 — 01000, 16 — 10000). Такие сигналы интерпретируются символом
V и командой приемника VIOLATION — сбой. Команда означает наличие ошибки из-за высокого уровня помех или сбоя передатчика. Единственная
комбинация из пяти нулей (00 — 00000) относится к служебным сигналам, означает символ Q и имеет статус QUIET — отсутствие сигнала в линии.

Такое кодирование данных решает две задачи — синхронизации и улучшения помехоустойчивости. Синхронизация происходит за счет исключения
последовательности более трех нулей, а высокая помехоустойчивость достигается приемником данных на пяти-битовом интервале.

Цена за эти достоинства при таком способе кодирования данных — снижение скорости передачи полезной информации.
К примеру, В результате добавления одного избыточного бита на четыре информационных, эффективность использования полосы
частот в протоколах с кодом MLT-3 и кодированием данных 4B/5B уменьшается соответственно на 25%.

Схема кодирования 4В/5В представлена в таблице.

Двоичный код 4В	Результирующий код 5В
0 0 0 0	1 1 1 1 0
0 0 0 1	0 1 0 0 1
0 0 1 0	1 0 1 0 0
0 0 1 1	1 0 1 0 1
0 1 0 0	0 1 0 1 0
0 1 0 1	0 1 0 1 1
0 1 1 0	0 1 1 1 0
0 1 1 1	0 1 1 1 1
1 0 0 0	1 0 0 1 0
1 0 0 1	1 0 0 1 1
1 0 1 0	1 0 1 1 0
1 0 1 1	1 0 1 1 1
1 1 0 0	1 1 0 1 0
1 1 0 1	1 1 0 1 1
1 1 1 0	1 1 1 0 0
1 1 1 1	1 1 1 0 1

Итак, соответственно этой таблице формируется код 4В/5В, затем передается по линии с помощью физического кодирования по
одному из методов потенциального кодирования, чувствительному только к длинным последовательностям нулей — например, в помощью
цифрового кода NRZI.

Символы кода 4В/5В длиной 5 бит гарантируют, что при любом их сочетании на линии не могут встретиться более трех нулей подряд.

Буква ^ В в названии кода означает, что элементарный сигнал имеет 2 состояния — от английского binary — двоичный. Имеются
также коды и с тремя состояниями сигнала, например, в коде 8В/6Т для кодирования 8 бит исходной информации используется
код из 6 сигналов, каждый из которых имеет три состояния. Избыточность кода 8В/6Т выше, чем кода 4В/5В, так как на 256
исходных кодов приходится 36=729 результирующих символов.

Как мы говорили, логическое кодирование происходит до физического, следовательно, его осуществляют оборудование канального
уровня сети: сетевые адаптеры и интерфейсные блоки коммутаторов и маршрутизаторов. Поскольку, как вы сами убедились,
использование таблицы перекодировки является очень простой операцией, поэтому метод логического кодирования избыточными
кодами не усложняет функциональные требования к этому оборудованию.

Единственное требование — для обеспечения заданной пропускной способности линии передатчик, использующий избыточный код,
должен работать с повышенной тактовой частотой. Так, для передачи кодов 4В/5В со скоростью 100 Мб/с передатчик должен
работать с тактовой частотой 125 МГц. При этом спектр сигнала на линии расширяется по сравнению со случаем, когда по
линии передается чистый, не избыточный код. Тем не менее, спектр избыточного потенциального кода оказывается уже
спектра манчестерского кода, что оправдывает дополнительный этап логического кодирования, а также работу приемника
и передатчика на повышенной тактовой частоте.

В основном для локальных сетей проще, надежней, качественней, быстрей — использовать логическое кодирование данных
с помощью избыточных кодов, которое устранит длительные последовательности нулей и обеспечит синхронизацию
сигнала, потом на физическом уровне использовать для передачи быстрый цифровой код NRZI, нежели без предварительного
логического кодирования использовать для передачи данных медленный, но самосинхронизирующийся манчестерский код.

Например, для передачи данных по линии с пропускной способностью 100М бит/с и полосой пропускания 100 МГц,
кодом NRZI необходимы частоты 25 — 50 МГц, это без кодирования 4В/5В. А если применить для NRZI еще и
кодирование 4В/5В, то теперь полоса частот расширится от 31,25 до 62,5 МГц. Но тем не менее, этот диапазон
еще «влазит» в полосу пропускания линии. А для манчестерского кода без применения всякого дополнительного
кодирования необходимы частоты от 50 до 100 МГц, и это частоты основного сигнала, но они уже не будут пропускаться
линией на 100 МГц.

Скрэмблирование

Другой метод логического кодирования основан на предварительном «перемешивании» исходной информации таким
образом, чтобы вероятность появления единиц и нулей на линии становилась близкой.

Устройства, или блоки, выполняющие такую операцию, называются скрэмблерами (scramble — свалка, беспорядочная сборка) .

При скремблировании данные перемешиваються по определенному алгоритму и приемник, получив двоичные данные, передает
их на дескрэмблер, который восстанавливает исходную последовательность бит.

Избыточные биты при этом по линии не передаются.

Суть скремблирования заключается просто в побитном изменении проходящего через систему потока данных. Практически
единственной операцией, используемой в скремблерах является XOR — «побитное исключающее ИЛИ», или еще говорят —
сложение по модулю 2. При сложении двух единиц исключающим ИЛИ отбрасывается старшая единица и результат записывается — 0.

Метод скрэмблирования очень прост. Сначала придумывают скрэмблер. Другими словами придумывают по какому соотношению
перемешивать биты в исходной последовательности с помощью «исключающего ИЛИ». Затем согласно этому соотношению из текущей
последовательности бит выбираются значения определенных разрядов и складываются по XOR между собой. При этом все разряды
сдвигаются на 1 бит, а только что полученное значение («0» или «1») помещается в освободившийся самый младший разряд.
Значение, находившееся в самом старшем разряде до сдвига, добавляется в кодирующую последовательность, становясь очередным
ее битом. Затем эта последовательность выдается в линию, где с помощью методов физического кодирования передается к
узлу-получателю, на входе которого эта последовательность дескрэмблируется на основе обратного отношения.

Например, скрэмблер может реализовывать следующее соотношение:

где Bi — двоичная цифра результирующего кода, полученная на i-м такте работы скрэмблера, A_i — двоичная цифра исходного
кода, поступающая на i-м такте на вход скрэмблера, B_i-3 и B_i-5 — двоичные цифры результирующего кода, полученные на
предыдущих тактах работы скрэмблера, соответственно на 3 и на 5 тактов ранее текущего такта, ⊕ — операция исключающего
ИЛИ (сложение по модулю 2).

Теперь давайте, определим закодированную последовательность, например, для такой исходной последовательности 110110000001.

Скрэмблер, определенный выше даст следующий результирующий код:

B₁=А₁=1 (первые три цифры результирующего кода будут совпадать с исходным, так как еще нет нужных предыдущих цифр)

Таким образом, на выходе скрэмблера появится последовательность 110001101111. В которой нет последовательности из шести нулей, п
рисутствовавшей в исходном коде.

После получения результирующей последовательности приемник передает ее дескрэмблеру, который восстанавливает исходную
последовательность на основании обратного соотношения.

Существуют другие различные алгоритмы скрэмблирования, они отличаются количеством слагаемых, дающих цифру
результирующего кода, и сдвигом между слагаемыми.

Главная проблема кодирования на основе скремблеров — синхронизация передающего (кодирующего) и принимающего
(декодирующего) устройств. При пропуске или ошибочном вставлении хотя бы одного бита вся передаваемая информация
необратимо теряется. Поэтому, в системах кодирования на основе скремблеров очень большое внимание уделяется методам синхронизации.

На практике для этих целей обычно применяется комбинация двух методов:

а) добавление в поток информации синхронизирующих битов, заранее известных приемной стороне, что позволяет ей при ненахождении
такого бита активно начать поиск синхронизации с отправителем,

б) использование высокоточных генераторов временных импульсов, что позволяет в моменты потери синхронизации производить
декодирование принимаемых битов информации «по памяти» без синхронизации.

Существуют и более простые методы борьбы с последовательностями единиц, также относимые к классу скрэмблирования.

Для улучшения кода ^ Bipolar AMI используются два метода, основанные на искусственном искажении последовательности нулей запрещенными символами.

Рис. 3 Коды B8ZS и HDB3

На этом рисунке показано использование метода ^ B8ZS (Bipolar with 8-Zeros Substitution) и метода HDB3 (High-Density Bipolar 3-Zeros) для корректировки
кода AMI. Исходный код состоит из двух длинных последовательностей нулей (8- в первом случае и 5 во втором).

Код B8ZS исправляет только последовательности, состоящие из 8 нулей. Для этого он после первых трех нулей вместо оставшихся пяти нулей вставляет пять
цифр: V-1*-0-V-1*. V здесь обозначает сигнал единицы, запрещенной для данного такта полярности, то есть сигнал, не изменяющий полярность предыдущей
единицы, 1* — сигнал единицы корректной полярности, а знак звездочки отмечает тот факт, что в исходном коде в этом такте была не единица, а ноль. В
результате на 8 тактах приемник наблюдает 2 искажения — очень маловероятно, что это случилось из-за шума на линии или других сбоев передачи. Поэтому
приемник считает такие нарушения кодировкой 8 последовательных нулей и после приема заменяет их на исходные 8 нулей.

Код B8ZS построен так, что его постоянная составляющая равна нулю при любых последовательностях двоичных цифр.

Код HDB3 исправляет любые 4 подряд идущих нуля в исходной последовательности. Правила формирования кода HDB3 более сложные, чем кода B8ZS.
Каждые четыре нуля заменяются четырьмя сигналами, в которых имеется один сигнал V. Для подавления постоянной составляющей полярность сигнала
V чередуется при последовательных заменах.

Кроме того, для замены используются два образца четырехтактовых кодов. Если перед заменой исходный код содержал нечетное число единиц, то
используется последовательность 000V, а если число единиц было четным — последовательность 1*00V.

Таким образом, применение логическое кодирование совместно с потенциальным кодированием дает следующие преимущества:

Улучшенные потенциальные коды обладают достаточно узкой полосой пропускания для любых последовательностей единиц и нулей,
которые встречаются в передаваемых данных. В результате коды, полученные из потенциального путем логического кодирования,
обладают более узким спектром, чем манчестерский, даже при повышенной тактовой частоте.

Линейные блочные коды

При передаче информации по каналам связи возможны ошибки вследствие помех и искажений сигналов. Для обнаружения и
исправления возникающих ошибок используются помехоустойчивые коды. Упрощенная схема системы передачи информации
при помехоустойчивом кодировании показана на рис. 4

Кодер служит для преобразования поступающей от источника сообщений последовательности из k информационных
символов в последовательность из n cимволов кодовых комбинаций (или кодовых слов). Совокупность кодовых слов образует код.

Множество символов, из которых составляется кодовое слово, называется алфавитом кода, а число различных символов в
алфавите – основанием кода. В дальнейшем вследствие их простоты и наибольшего распространения рассматриваются главным
образом двоичные коды, алфавит которых содержит два символа: 0 и 1.

Рис. 4 Система передачи дискретных сообщений

Правило, по которому информационной последовательности сопоставляется кодовое слово, называется правилом кодирования.
Если при кодировании каждый раз формируется блок А из k информационных символов, превращаемый затем в n-символьную
кодовую комбинацию S, то код называется блочным. При другом способе кодирования информационная последовательность на
блоки не разбивается, и код называется непрерывным.

С математической точки зрения кодер осуществляет отображение множества из 2^k элементов (двоичных информационных
последовательностей) в множество, состоящее из 2ⁿ элементов (двоичных последовательностей длины n). Для практики
интересны такие отображения, в результате которых получаются коды, обладающие способностью исправлять часть ошибок
и допускающие простую техническую реализацию кодирующих и декодирующих устройств.

Дискретный канал связи – это совокупность технических средств вместе со средой распространения радиосигналов, включенных
между кодером и декодером для передачи сигналов, принимающих конечное число разных видов. Для описания реальных каналов
предложено много математических моделей, с разной степенью детализации отражающих реальные процессы. Ограничимся рассмотрением
простейшей модели двоичного канала, входные и выходные сигналы которого могут принимать значения 0 и 1.

Наиболее распространено предположение о действии в канале аддитивной помехи. Пусть S=(s₁,s₂,…,s_n)
и Y=(y₁,y₂,…,y_n) соответственно входная и выходная последовательности двоичных символов.
Помехой или вектором ошибки называется последовательность из n символов E=(e₁,e₂,…,e_n), которую
надо поразрядно сложить с переданной последовательностью, чтобы получить принятую:

Y=S+E

Таким образом, компонента вектора ошибки e_i=0 указывает на то, что 2-й символ принят правильно (y_i=s_i),
а компонента e_i=1 указывает на ошибку при приеме (y_i≠s_i).Поэтому важной характеристикой вектора ошибки
является число q ненулевых компонентов, которое называется весом или кратностью ошибки. Кратность ошибки – дискретная случайная величина,
принимающая целочисленные значения от 0 до n.

Классификация двоичных каналов ведется по виду распределения случайного вектора E. Основные результаты теории кодирования получены в
предположении, что вероятность ошибки в одном символе не зависит ни от его номера в последовательности, ни от его значения. Такой
канал называется стационарным и симметричным. В этом канале передаваемые символы искажаются с одинаковой вероятностью
P, т.е. P(e_i=1)=P, i=1,2,…,n.

Для симметричного стационарного канала распределение вероятностей векторов ошибки кратности q является биноминальным:

P(E_i)=P^q(1-P)^n-q

которая показывает, что при P<0,5 вероятность β₂=α^j является убывающей функцией q,
т.е. в симметричном стационарном канале более вероятны ошибки меньшей кратности. Этот важный факт используется при построении
помехоустойчивых кодов, т.к. позволяет обосновать тактику обнаружения и исправления в первую очередь ошибок малой кратности.
Конечно, для других моделей канала такая тактика может и не быть оптимальной.

Декодирующее устройство (декодер) предназначено оценить по принятой последовательности Y=(y₁,y₂,…,y_n)
значения информационных символов A^‘=(a^‘₁,a^‘₂,…,a^‘_k,).
Из-за действия помех возможны неправильные решения. Процедура декодирования включает решение двух задач: оценивание переданного кодового
слова и формирование оценок информационных символов.

Вторая задача решается относительно просто. При наиболее часто используемых систематических кодах, кодовые слова которых содержат информационные
символы на известных позициях, все сводится к простому их стробированию. Очевидно также, что расположение информационных символов внутри кодового
слова не имеет существенного значения. Удобно считать, что они занимают первые k позиций кодового слова.

Наибольшую трудность представляет первая задача декодирования. При равновероятных информационных последовательностях ее оптимальное решение
дает метод максимального правдоподобия. Функция правдоподобия как вероятность получения данного вектора Y при передаче кодовых слов
S_i, i=1,2,…,2^k на основании Y=S+E определяется вероятностями появления векторов ошибок:

P(Y/S_i)=P(E_i)=P^q_i(1-P)^n-q_i

где q_i – вес вектора E_i=Y+S_i

Очевидно, вероятность P(Y/S_i) максимальна при минимальном q_i. На основании принципа максимального правдоподобия оценкой S^‘ является кодовое слово,
искажение которого для превращения его в принятое слово Y имеет минимальный вес, т. е. в симметричном канале является наиболее вероятным (НВ):

S^‘=Y+E_HB

Если несколько векторов ошибок E_i имеют равные минимальные веса, то наивероятнейшая ошибка E_HB определяется случайным выбором среди них.

В качестве расстояния между двумя кодовыми комбинациями принимают так называемое расстояние Хэмминга, которое численно равно количеству символов, в которых одна
комбинация отлична от другой, т.е. весу (числу ненулевых компонентов) разностного вектора. Расстояние Хэмминга между принятой последовательностью Y и всеми
возможными кодовыми словами 5, есть функция весов векторов ошибок E_i:

Поэтому декодирование по минимуму расстояния, когда в качестве оценки берется слово, ближайшее к принятой
последовательности, является декодированием по максимуму правдоподобия.

Таким образом, оптимальная процедура декодирования для симметричного канала может быть описана следующей последовательностью операций. По принятому
вектору Y определяется вектор ошибки с минимальным весом E_HB, который затем вычитается (в двоичном канале — складывается по модулю 2) из Y:

Y→E_HB→S^‘=Y+E_HB

Наиболее трудоемкой операцией в этой схеме является определение наи-вероятнейшего вектора ошибки, сложность которой
существенно возрастает при увеличении длины кодовых комбинаций. Правила кодирования, которые нацелены на упрощение
процедур декодирования, предполагают придание всем кодовым словам технически легко проверяемых признаков.

Широко распространены линейные коды, называемые так потому, что их кодовые слова образуют линейное
подпространство над конечным полем. Для двоичных кодов естественно использовать поле характеристики p=2.
Принадлежность принятой комбинации Y известному подпространству является тем признаком, по которому
выносится решение об отсутствии ошибок (E_HB=0).

Так как по данному коду все пространство последовательностей длины n разбивается на смежные классы,
то для каждого смежного класса можно заранее определить вектор ошибки минимального веса,
называемый лидером смежного класса. Тогда задача декодера состоит в определении номера смежного класса,
которому принадлежит Y, и формировании лидера этого класса.

Источник