Полученные
в результате статистического исследования
средние и относительные величины должны
отражать закономерности, характерные
для всей совокупности. Результаты
исследования обычно тем достовернее,
чем больше сделано наблюдений, и наиболее
точными они являются при сплошном
исследовании (т.е. при изучении генеральной
совокупности). Однако должны быть
достаточно надежные и данные, полученные
путем выборочных исследований, т.е. на
относительно небольшом числе наблюдений.
Различие
результатов выборочного исследования
и результатов, которые могут быть
получены на генеральной совокупности,
представляет собой ошибку выборочного
исследования, которую можно точно
определить математическим путем. Метод
ее оценки основан на закономерностях
случайных вариаций, установленных
теорией вероятности.
1.
Оценка достоверности средней
арифметической.
Средняя
арифметическая, полученная при обработке
результатов научно-практических
исследований, под влиянием случайных
явлений может отличаться от средних,
полученных при проведении повторных
исследований. Поэтому, чтобы иметь
представление о возможных пределах
колебаний средней, о том, с какой
вероятностью возможно перенести
результаты исследования с выборочной
совокупности на всю генеральную
совокупность, определяют степень
достоверности средней величины.
Мерой
достоверности средней является средняя
ошибка средней арифметической (ошибка
репрезентативности – m).
Ошибки репрезентативности возникают
в связи с тем, что при выборочным
наблюдении изучается только часть
генеральной совокупности, которая
недостаточно точно ее представляет.
Фактически ошибка репрезентативности
является разностью между средними,
полученными при выборочном статистическом
наблюдении, и средними, которые были бы
получены при сплошном наблюдении (т.е.
при изучении всей генеральной
совокупности).
Средняя
ошибка средней арифметической вычисляется
по формуле:
—
при числе наблюдений больше 30 (n
> 30):
—
при небольшом числе наблюдений (n
< 30):
Ошибка
репрезентативности прямо пропорциональна
колеблемости ряда (сигме) и обратно
пропорциональна числу наблюдений.
Следовательно,
чем больше
число наблюдений
(т.е. чем ближе по числу наблюдений
выборочная совокупность к генеральной),
тем меньше
ошибка репрезентативности.
Интервал,
в котором с заданным уровнем вероятности
колеблется истинное значение средней
величины или показателя, называется
доверительным
интервалом,
а его границы – доверительными
границами.
Они используются для определения
размеров средней или показателя в
генеральной совокупности.
Доверительные
границы
средней арифметической и показателя в
генеральной совокупности равны:
M
+
tm
P
+
tm,
где
t
– доверительный коэффициент.
Доверительный
коэффициент (t)
– это число, показывающее, во сколько
раз надо увеличить ошибку средней
величины или показателя, чтобы при
данном числе наблюдений с желаемой
степенью вероятности утверждать, что
они не выйдут за полученные таким образом
пределы.
С
увеличением t
степень вероятности возрастает.
Т.к.
известно, что полученная средняя или
показатель при повторных наблюдениях,
даже при одинаковых условиях, в силу
случайных колебаний будут отличаться
от предыдущего результат, теорией
статистики установлена степень
вероятности, с которой можно ожидать,
что колебания эти не выйдут за определенные
пределы. Так, колебания средней
в интервале M
+
1m
гарантируют ее точность с вероятностью
68.3% (такая
степень вероятности не удовлетворяет
исследователей), в
интервале M
+
2m
– 95.5%
(достаточная степень вероятности) и в
интервале M
+
3m
– 99,7% (большая
степень вероятности).
Для
медико-биологических исследований
принята степень вероятности 95% (t
= 2), что соответствует доверительному
интервалу M
+
2m.
Это
означает, что практически
с полной достоверностью (в 95%) можно
утверждать, что полученный средний
результат (М) отклоняется от истинного
значения не больше, чем на удвоенную (M
+
2m) ошибку.
Конечный
результат любого медико-статистического
исследования выражается средней
арифметической и ее параметрами:
2.
Оценка достоверности относительных
величин (показателей).
Средняя
ошибка показателя также служит для
определения пределов его случайных
колебаний, т.е. дает представление, в
каких пределах может находиться
показатель в различных выборках в
зависимости от случайных причин. С
увеличением численности выборки ошибка
уменьшается.
Мерой
достоверности показателя является его
средняя ошибка (m),
которая показывает, на сколько результат,
полученный при выборочным исследовании,
отличается от результата, который был
бы получен при изучении всей генеральной
совокупности.
Средняя
ошибка показателя определяется по
формуле:
,
где mp
– ошибка относительного показателя,
р
– показатель,
q
– величина, обратная показателю (100-p,
1000-р и т.д. в зависимости от того, на какое
основание рассчитан показатель);
n
– число наблюдений.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
О калькулятор стандартных ошибок (Высокая точность)
Калькулятор стандартной ошибки используется для расчета стандартной ошибки среднего значения набора чисел (Шаг за шагом).
стандартная ошибка среднего
Стандартная ошибка среднего — это стандартное отклонение выборочной средней оценки среднего значения генеральной совокупности. Обычно он рассчитывается путем деления стандартного отклонения оценки выборки (стандартное отклонение выборки) на квадратный корень из размера выборки (при условии статистической независимости медианных значений выборки):
в:
SEM = стандартная ошибка среднего
s = стандартное отклонение выборки (см. формулу ниже)
n = размер выборки (количество наблюдений)
СледующееСтандартное отклонение выборкиформула:
в:
s = стандартное отклонение выборки
x 1 ，…，x N= образец набора данных
x̄ = среднее значение выборочного набора данных
N = размер выборочного набора данных
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.
-
1
Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.
-
2
Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.
-
3
Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.
-
4
Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:
-
5
Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.
-
6
Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.
Реклама
-
1
Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
-
2
Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.
- Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:
-
3
Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
-
4
Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.
- В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:
-
5
Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.
Реклама
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
-
1
Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
Советы
- Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
- В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 50 283 раза.
Была ли эта статья полезной?
Представление результатов исследования
В научных публикациях важно представление результатов исследования. Очень часто окончательный результат приводится в следующем виде: M±m, где M – среднее арифметическое, m –ошибка среднего арифметического. Например, 163,7±0,9 см.
Прежде чем разбираться в правилах представления результатов исследования, давайте точно усвоим, что же такое ошибка среднего арифметического.
Ошибка среднего арифметического
Среднее арифметическое, вычисленное на основе выборочных данных (выборочное среднее), как правило, не совпадает с генеральным средним (средним арифметическим генеральной совокупности). Экспериментально проверить это утверждение невозможно, потому что нам неизвестно генеральное среднее. Но если из одной и той же генеральной совокупности брать повторные выборки и вычислять среднее арифметическое, то окажется, что для разных выборок среднее арифметическое будет разным.
Чтобы оценить, насколько выборочное среднее арифметическое отличается от генерального среднего, вычисляется ошибка среднего арифметического или ошибка репрезентативности.
Ошибка среднего арифметического обозначается как m или 
Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле:
где: S — стандартное отклонение, n – объем выборки; Например, если стандартное отклонение равно S=5 см, объем выборки n=36 человек, то ошибка среднего арифметического равна: m=5/6 = 0,833.
Ошибка среднего арифметического показывает, какая ошибка в среднем допускается, если использовать вместо генерального среднего выборочное среднее.
Так как при небольшом объеме выборки истинное значение генерального среднего не может быть определено сколь угодно точно, поэтому при вычислении выборочного среднего арифметического нет смысла оставлять большое число значащих цифр.
Правила записи результатов исследования
- В записи ошибки среднего арифметического оставляем две значащие цифры, если первые цифры в ошибке «1» или «2».
- В остальных случаях в записи ошибки среднего арифметического оставляем одну значащую цифру.
- В записи среднего арифметического положение последней значащей цифры должно соответствовать положению первой значащей цифры в записи ошибки среднего арифметического.
Представление результатов научных исследований
В своей статье «Осторожно, статистика!», опубликованной в 1989 году В.М. Зациорский указал, какие числовые характеристики должны быть представлены в публикации, чтобы она имела научную ценность. Он писал, что исследователь «…должен назвать: 1) среднюю величину (или другой так называемый показатель положения); 2) среднее квадратическое отклонение (или другой показатель рассеяния) и 3) число испытуемых. Без них его публикация научной ценности иметь не будет “с. 52
В научных публикациях в области физической культуры и спорта очень часто окончательный результат приводится в виде: (М±m) (табл.1).
Таблица 1 — Изменение механических свойств латеральной широкой мышцы бедра под воздействием физической нагрузки (n=34)
| Эффективный модуль
упругости (Е), кПа |
Эффективный модуль
вязкости (V), Па с |
|||
| Этап
эксперимента |
Рассл. | Напряж. | Рассл. | Напряж. |
| До ФН | 7,0±0,3 | 17,1±1,4 | 29,7±1,7 | 46±4 |
| После ФН | 7,7±0,3 | 18,7±1,4 | 30,9±2,0 | 53±6 |
Литература
- Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
- Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976.- 495 с.
- Зациорский В.М. Осторожно — статистика! // Теория и практика физической культуры, 1989.- №2.
- Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
- Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.
Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).
Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.
Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).
Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.
Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?
Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической
Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:
где xi – значения переменной,
n – количество значений.
Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение xi обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:
Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:
где σ2 – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.
На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:
Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.
Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии
Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии
Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.
Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической
Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:
Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.
Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).
Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.
Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.
Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).
Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.
Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.
Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.
Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.
Поделиться в социальных сетях: