Расчет ошибки эксперимента

Какие бывают погрешности

Любое число, которое выдает нам эксперимент, это результат измерения. Измерение производится прибором, и это либо непосредственные показания прибора, либо результат обработки этих показаний. И в том, и в другом случае полученный результат измерения неидеален, он содержит погрешности. И потому любой грамотный физик должен не только предъявить численный результат измерения, но и обязан указать все сопутствующие погрешности. Не будет преувеличением сказать, что численный экспериментальный результат, предъявленный без указания каких-либо погрешностей, бессмыслен.

В физике элементарных частиц к указанию погрешностей относятся исключительно ответственно. Экспериментаторы не только сообщают погрешности, но и разделяют их на разные группы. Три основных погрешности, которые встречаются чаще всего, это статистическая, систематическая и теоретическая (или модельная) погрешности. Цель такого разделения — дать четкое понимание того, что именно ограничивает точность этого конкретного измерения, а значит, за счет чего эту точность можно улучшить в будущем.

Статистическая погрешность связана с разбросом значений, которые выдает эксперимент после каждой попытки измерить величину.

(Подробнее о статистической погрешности)

Систематическая погрешность характеризует несовершенство самого измерительного инструмента или методики обработки данных, а точнее, недостаточное знание того, насколько «сбоит» инструмент или методика.

(Подробнее о систематической погрешности)

Теоретическая/модельная погрешность — это неопределенность результата измерения, которая возникла потому, что методика обработки данных была сложная и в чем-то опиралась на теоретические предположения или результаты моделирования, которые тоже несовершенны. Впрочем, иногда эту погрешность считают просто разновидностью систематических погрешностей.

(Подробнее о погрешности теории и моделирования)

Наконец, в отдельный класс, видимо, можно отнести возможные человеческие ошибки, прежде всего психологического свойства (предвзятость при анализе данных, ленность при проверке того, как результаты зависят от методики анализа). Строго говоря, они не являются погрешностью измерения, поскольку могут и должны быть устранены. Зачастую это избавление от человеческих ошибок может быть вполне формализовано. Так называемый дважды слепой эксперимент в биомедицинских науках — один тому пример. В физике частиц есть похожие приемы (см. заметку Что означает «слепой анализ» при поиске новых частиц?).

Что означает погрешность

Стандартный вид записи измеренной величины с погрешностью знаком всем. Например, результат взвешивания какого-то предмета может быть 100 ± 5 грамм. Это означает, что мы не знаем абсолютно точно массу, она может быть и 101 грамм, и 96 грамм, а может быть и все 108 грамм. Но уж точно не 60 и не 160 грамм. Мы говорим лишь, сколько нам показывают весы, и из каких-то соображений определяем тот примерный разброс, который измерение вполне могло бы дать.

Тут надо подчеркнуть две вещи. Во-первых, в бытовой ситуации значение 100 ± 5 грамм часто интерпретируется так, словно истинная масса гарантированно лежит в этом диапазоне и ни в коей мере не может быть 94 или 106 грамм. Научная запись подразумевает не это. Она означает, что истинная масса скорее всего лежит в этом интервале, но в принципе может случиться и так, что она немножко выходит за его пределы. Это становится наиболее четко, когда речь идет о статистических погрешностях; см. подробности на страничке Что такое «сигма»?.

Во-вторых, надо четко понимать, что погрешности — это не ошибки эксперимента. Наоборот, они являются показателем качества эксперимента. Погрешности характеризуют объективный уровень несовершенства прибора или неидеальности методики обработки. Их нельзя полностью устранить, но зато можно сказать, в каких рамках результату можно доверять.

Некоторые дополнительные тонкости, связанные с тем, что именно означают погрешности, описаны на странице Тонкости анализа данных.

Как записывают погрешности

Указанный выше способ записи не уточняет, что это за погрешность перед нами. В физике элементарных частиц при предъявлении результатов источники погрешностей принято уточнять. В результате запись результата может иногда принять пугающий своей сложностью вид. Таких выражений не надо бояться, просто нужно внимательно посмотреть, что там указано.

В самом простом случае экспериментально измеренное число записывается так: результат и две погрешности одна за другой:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15.

Тут вначале всегда идет статистическая, а за ней — систематическая погрешность. Если же измерение не прямое, а в чем-то опирается на теорию, которая тоже не идеально точна, то следом за ними приписывается теоретическая погрешность, например:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15 ± 0,11.

Иногда для пущей понятности явно указывают, что есть что, и тогда погрешностей может быть даже больше. Это делается вовсе не для того, чтобы запутать читателя, а с простой целью: упростить в будущем расчет уточенного результата, если какой-то один из источников погрешностей будет уменьшен. Вот пример из статьи arXiv:1205.0934 коллаборации LHCb:

Означает эта длинная строка следующее. Тут записана измеренная детектором вероятность выписанного распада B_s-мезона, которая равна [1,83 ± четыре вида погрешностей] · 10^–5. В перечислении погрешностей вначале идет статистическая погрешность, потом систематическая погрешность, затем погрешность, связанная с плохим знанием некоторой величины f_s/f_d (неважно, что это такое), и наконец, погрешность, связанная с плохим знанием вероятности распада B⁰-мезона (потому что измерение B_s-распада косвенно опирается на B⁰-распад).

Нередки также случаи, когда погрешности в сторону увеличения и уменьшения разные. Тогда это тоже указывается явно (пример из статьи hep-ex/0403004):

И наконец, совсем экзотический случай: когда величина настолько плохо определена, что погрешность пишут не к самому числу, а к показателю степени. Например, 10^12 ± 2 означает, что величина вполне может лежать где-то между 10 миллиардами и 100 триллионами. В этом случае обычно нет большого смысла разделять погрешности на разные типы.

Величина со всеми явно указанными погрешностями часто не очень удобна для работы, например при сравнении теории и эксперимента. В этом случае погрешности суммируют. Эти слова ни в коем случае нельзя воспринимать как простое сложение! Как правило, речь идет о сложении в квадратах: если все три типа погрешностей обозначить как Δx_stat., Δx_sys., Δx_theor., то глобальная погрешность обычно вычисляется по формуле

Стоит еще добавить, что в других разделах физики нередко используют иную запись: вместо символа «±» погрешность просто помещают в скобках. Тогда ее понимают так: это погрешность, выраженная в единицах последней значащей цифры. Например, 100(5) означает 100 ± 5, а 1,230(15) означает 1,230 ± 0,015. В этом случае принципиально важно писать правильное число нулей в результате измерения, ведь запись 1,23(15) уже будет означать вдесятеро большую погрешность: 1,23 ± 0,15.

Как изображают погрешности

Когда экспериментально измеренные значения наносятся на график, погрешности тоже приходится указывать. Это обычно делают в виде «усов», как на рисунке слева. Такие «усы» с засечками относятся к глобальной погрешности. Если же хочется разделить статистические и систематические погрешности, то делают так, как показано на рисунке справа. Здесь засечки показывают только статистические погрешности, а полные усы во всю длину отвечают глобальным погрешностям. Другой вариант: выделение полных погрешностей цветом, как это показано, например, на рисунке с данными ATLAS по хиггсовскому бозону.

Наконец, когда экспериментальная точка имеет отдельные погрешности по обеим осям, то их тоже наносят, и результат выглядит в виде крестика.

1. Введение

Работа химиков, физиков и представителей других естественно-научных профессий часто связана с выполнением количественных измерений различных величин. При этом возникает вопрос анализа достоверности получаемых значений, обработки результатов непосредственных измерений и оценки погрешностей расчетов, в которых используются значения непосредственно измеряемых характеристик (последний процесс также называется обработкой результатов косвенныхизмерений). По целому ряду объективных причин знания выпускников химического факультета МГУ о расчете погрешностей не всегда достаточны для правильной обработки получаемых данных. В качестве одной из таких причин можно назвать отсутствие в учебном плане факультета курса по статистической обработке результатов измерений.

            К данному моменту вопрос вычисления погрешностей, безусловно, изучен исчерпывающе. Существует большое количество методических разработок, учебников и т.д., в которых можно почерпнуть информацию о расчете погрешностей. К сожалению, большинство подобных работ перегружено дополнительной и не всегда нужной информации. В частности, большинство работ студенческих практикумов не требует таких действий, как сравнение выборок, оценка сходимости и др. Поэтому кажется целесообразным создание краткой разработки, в которой изложены алгоритмы наиболее часто употребляемых вычислений, чему и посвящена данная разработка.

2. Обозначения, принятые в данной работе

-измеряемая величина,  -среднее значение измеряемой величины,  — абсолютная погрешность среднего значения измеряемой величины,   — относительная погрешность среднего значения измеряемой величины.

3. Расчет погрешностей непосредственных измерений

Итак, предположим, что были проведены n измерений одной и той же величины   в одних и тех же условиях. В этом случае можно рассчитать среднее значение этой величины в проведенных измерениях:

                                                                 (1)

Как вычислить погрешность  ? По следующей формуле:

                                                      (2)

В этой формуле используется коэффициент Стьюдента  . Его значения при разных доверительных вероятностях и значениях   приведены в таблице.

3.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

            Задача.

Проводили измерения длины   металлического бруска. Было сделано 10 измерений и получены следующие значения: 10 мм, 11 мм, 12 мм, 13 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм. Требуется найти среднее значение   измеряемой величины (длины бруска) и его погрешность  .

Решение.

С использованием формулы (1) находим:

мм

Теперь с использованием формулы (2) найдем абсолютную погрешность   среднего значения   при доверительной вероятности   и числе степеней свободы   (используем значение  =2,262, взятое из таблицы):

Запишем результат:

=10,8±0,7_0.95 мм

4. Расчет погрешностей косвенных измерений

Предположим, что в ходе эксперимента измеряются величины  , а затем c использованием полученных значений вычисляется величина   по формуле  . При этом погрешности непосредственно измеряемых величин рассчитываются так, как это было описано в пункте 3.

Расчет среднего значения величины   производится по зависимости   с использованием средних значений аргументов  .

Погрешность величины   рассчитывается по следующей формуле:

,                                                    (3)

где  — количество аргументов  ,  — частные производные функции  по аргументам  ,   — абсолютная погрешность среднего значения аргумента  .

Абсолютная погрешность, как и в случае с прямыми измерениями, рассчитывается по формуле  .

4.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

            Задача.

Было проведено 5  непосредственных измерений величин   и  . Для величины   получены значения: 50, 51, 52, 50, 47; для величины   получены значения: 500, 510, 476, 354, 520. Требуется рассчитать значение величины  , определяемой по формуле   и найти погрешность полученного значения.

Решение.

По формуле (1) найдем средние значения величин   и  :

Вычисляем  :

            Находим в таблице при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы   значение  . По формуле (2) рассчитываем погрешности средних значений величин   и  :

С использованием формулы (3) находим относительную погрешность среднего значения величины  :

Найдем абсолютную погрешность среднего значения величины  :

Запишем результат:

В большинстве
случаев при проведении эксперимента
несколькими приборами измеряются
различные величины. Для получения
конечного результата эти измерения
определенным образом комбинируются с
помощью некоторых математических
действий.

При этом может
возникнуть ситуация, когда комбинация
отдельных достаточно точных измерений
приведет к значительным ошибкам, сводящим
на нет цель эксперимента. Поэтому
необходимо еще до проведения эксперимента
тщательно исследовать вопрос о точности
окончательного результата. При проведении
такого анализа обычно предполагается,
что показания всех приборов имеют
случайную ошибку, либо характеризуются
некоторой неопределенностью, которую
можно рассматривать, как случайную
ошибку.

2.4.1. Показатели точности произведения и частного

К числу наиболее
распространенных функций, встречающихся
в экспериментальной работе, относятся
комбинации произведений и частных
(безразмерные величины). Типичными
примерами являются: число Рейнольдса
– произведение скорости, длины и
плотности деленное на вязкость, число
Маха – отношение скорости объекта к
скорости звука, коэффициент усиления,
представляющий отношение измерения
напряжения на выходе к измерению
напряжения на входе и т.п.

Рассмотрим общий
результат, который является линейной
функцией произведения двух измеряемых
величин x
и y:

R=kxy,
(2.6)

где k
– некоторый нормируемый множитель,
значение которого известно точно.

Допустим, что величинам
xиyсоответствуют выборочные средние
квадратичные отклоненияS_xиS_y.
Еслиx₁иy₁отклонения
от точного значенияx_c
и y_c,
обусловленные наличием случайной
ошибки, то для каждой конкретной пары
отсчетов выражение (2.6) примет вид

R_c
+ r₁
= k (x_c
+x₁)(y_c
+ y₁),
(2.7.)

где r₁
– отклонение результата.

Далее

R_c
+ r₁
= k(x_c
y_c
+ x₁y_c
+ x_cy₁
+ x₁y₁),
(2.8.)

где членом
второго порядка x₁
y₁
можно пренебречь.

Используя зависимости
(2.6) и (2.8), можно найти отклонения результата
для каждого измерения

r₁
= k(x₁y_c
+ y₁x_c)
,

r₂
= k(x₂y_c
+ y₂x_c)
, ……., r_i
= k(x_iy_c
+ y_ix_c)
.

Из определения среднеквадратичного отклонения следует

Просуммировав n
уравнений, получим

член
полагаем равным нулю, т. к. любое
произведениеx
и y
с равной вероятностью может быть как
положительным, так и отрицательным, и
для большой выборки сумма таких
произведений будет стремиться к нулю.
Подставив в последнее выражение
зависимость для дисперсии общей ошибки,
находим

(2.9)

откуда легко
получить следующую зависимость

(2.10)

Можно показать,
что полученное соотношение справедливо
для случая, когда R=kx/y
, и что при
R=kxy/z
необходимо
использовать выражение

(2.11)

Член
S_r²/R_c²,
представляющий собой отношение среднего
квадратичного отклонения к точному
отсчету, является показателем точности,
который можно выразить в процентах и
называется вариацией.
Полученное выражение является
математической формулировкой следующего
правила: если результат является функцией
отношений либо произведений нескольких
величин, то квадрат относительной ошибки
результата равен сумме квадратов
относительных ошибок отдельных измерений.

Соседние файлы в папке Сладков (лекции, ккр)

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Статьи
Главная страница

Из графика
видно, что существует вероятность, пусть и очень маленькая, что наше единичное
измерение покажет результат, сколь угодно далеко отстоящий от истинного
значения. Выходом из положения является проведение серии измерений. Если на
разброс данных действительно влияет случай, то в результате нескольких
измерений мы скорее всего получим следующее (рис 2):

Будет ли
рассчитанное среднее значение нескольких измерений совпадать с истинным? Как
правило – нет. Но по теории вероятности, чем больше сделано измерений, тем
ближе найденное среднее значение к истинному. На языке математики это можно
записать так:

Но с бесконечностью у всех дело обстоит неважно. Поэтому на практике мы имеем дело
не со всеми возможными результатами измерений, а с некоторой выборкой из этого
бесконечного множества. Сколько же реально следует делать измерений? Наверное,
до тех пор, пока полученное среднее значение не будет отличаться от истинного
меньше чем точность отдельного измерения.

Следовательно,
когда наше среднее значение (рис. 2) отличается от истинного меньше чем
погрешность измерений, дальнейшее увеличение числа опытов бессмысленно. Однако
на практике мы не знаем истинного значения! Значит, получив среднее по
результатам серии опытов, мы должны определить, какова вероятность того, что
истинное значение находится внутри заданного интервала ошибки. Или каков тот
доверительный интервал, в который с заданной надежностью попадет истинное
значение (рис 3).

Рассмотрим
некоторый условный эксперимент, где в серии измерений получены некоторые
значения величины Х (см. табл. 1).  Рассчитаем среднее значение и, чтобы  оценить
разброс данных найдем величины DХ = Х –
Х_ср

Ясно, что
величины DХ  как-то характеризуют
разброс данных. На практике для усредненной характеристики разброса серии измерений используется
дисперсия выборки:

и среднеквадратичное или стандартное отклонение выборки:

Последнее
показывает, что каждое измерение в данной серии (в данной выборке) отличается
от другого в среднем на ± s.

Понятно, что каждое отдельное
значение оказывает влияние на средний результат. Но это влияние тем меньше, чем
больше измерений в нашей выборке. Поэтому дисперсия и стандартное отклонение
среднего значения, будет определяться по формулам:

Можем ли мы теперь определить вероятность того, что
истинное значение попадет в указанный интервал среднего? Или наоборот,
рассчитать тот доверительный интервал в который истинное значение
попадет с заданной вероятностью (95%)? Поскольку кривая на наших графиках это
распределение вероятностей, то площадь под кривой, попадающая в указанный
интервал и будет равна этой вероятности (доля площади, в процентах). А площади
математики научились рассчитывать хорошо, знать бы только уравнение этой
кривой.

И здесь мы сталкиваемся еще с одной сложностью. Кривая, которая описывает распределение
вероятности для выборки, для ограниченного числа измерений, уже не будет кривой нормального
распределения. Ее форма будет зависеть
не только от дисперсии (разброса данных) но и от степени свободы для выборки
(от числа независимых измерений) (рис 4):

Уравнения этих кривых впервые были предложены в 1908
году английским математиком и химиком Госсетом, который опубликовал их под
псевдонимом Student (студент), откуда пошло хорошо известные термины
«коэффициент Стьюдента» и аналогичные. Коэффициенты Стьюдента получены на
основе обсчета этих кривых для разных степеней свободы (f = n-1) и уровней
надежности (Р) и сведены в специальные таблицы. Для получения доверительного интервала необходимо
умножить уже найденное стандартное отклонение среднего на соответствующий
коэффициент Стьюдента. ДИ = s_ср*t_{f, P}

Проанализируем, как меняется доверительный интервал
при изменении требований к надежности результата и числа измерений в серии.
Данные в таблице 2 показывают, что чем больше требование к надежности, тем
больше будет коэффициент Стьюдента и, следовательно, доверительный интервал. В большинстве случаев, приемлемым считают значение Р=95%

Из таблицы 3 и графика
видно, что чем больше число измерений, тем меньше коэффициент и доверительный
интервал для данного уровня надежности. Особенно значительное падение
происходит при переходе от степени свободы 1 (два измерения) к 2 (три
измерения). Отсюда следует, что имеет смысл ставить не менее трех параллельных
опытов, проводить не менее трех измерений.

Окончательно
для измеряемой величины Х получаем значение Х_сред±s_ср*t_f,P. В
нашем случае получаем: f=3; t=3,18;
ДИ = 3,18*10,2 = 32,6; X = 143,5 ±32,6

Как правило,
значение доверительного интервала округляется до одной значащей цифры, а
значение измеряемой величины – в соответствии с округлением доверительного
интервала. Поэтому для нашей серии окончательно имеем: X = 140 ±30

Найденная
нами погрешность является абсолютной погрешностью и ничего не говорит еще о
точности измерений. Она свидетельствует о точности измерений только в сравнении
с измеряемой величиной. Отсюда представление об относительной ошибке:

Косвенные определения.

Исследуемая величина рассчитывается в этом случае с помощью
математических формул по другим величинам, которые были измерены
непосредственно. В этом случае для расчета ошибок можно использовать
соотношения, приведенные в таблице 4.

Из таблицы видно, что относительная ошибка и точность определения не изменяются при умножении (делении) на некоторый постоянный коэффициент. Особенно сильно относительная ошибка может возрасти при вычитании
близких величин, так как при этом абсолютные ошибки суммируются, а значение Х
может уменьшиться на порядки.

Пусть например, нам необходимо определить
объем проволочки.
Если диаметр проволочки измерен с погрешностью 0,01 мм (микрометром) и равен 4 мм, то относительная погрешность составит 0,25% (приборная). Если
длину проволочки (200 мм) мы измерим линейкой с погрешностью 0,5 мм, то относительная погрешность также составит 0,25%. Объем можно рассчитать по формуле: V=(pd²/4)*L. Посмотрим, как будут меняться ошибки
по мере проведения расчетов (табл. 5):

Окончательный
результат V=2510±20 (мм³) e
=0,8%. Чтобы повысить точность косвенного определения, нужно в первую очередь
повышать точность измерения той величины, которая вносит больший вклад в ошибку
(в данном случае – точность измерения диаметра проволочки).

План проведения измерений:

[1]

1.   Знакомство
с методикой, подготовка прибора, оценка приборной погрешности d. Оценка возможных причин
систематических ошибок, их исключение.

2.   
Проведение серии измерений. Если получены совпадающие результаты, можно
считать что случайная ошибка равна 0, DХ
= d. Переходим к пункту 7.

3.   
Исключение промахов – результатов значительно отличающихся по своей
величине от остальных.

4.   
Расчет
среднего значения Х_ср, и стандартного отклонение среднего
значения s_cp

5.   
Задание значения уровня надежности P,
определение коэффициента Стьюдента t и
нахождение доверительного интервала ДИ= t*s_cp

6.   
Сравнение случайной и приборной погрешности, при этом возможны варианты:

—    
ДИ << d, можно
считать, что DХ = d, повысить точность измерения
можно, применив более точный прибор

—    
ДИ >> d, можно
считать, что DХ = ДИ,
повысить точность можно, уменьшая случайную ошибку, повышая число измерений в
серии, снижая требования к надежности.

—    
ДИ » d, в этом
случае расчитываем ошибку по формуле DХ
=

7.   
Записывается окончательный результат Х = Х_ср ± DХ.
Оценивается относительная ошибка
измерения e = DХ/Х_ср

Если
проводится несколько однотипных измерений (один прибор, исследователь, порядок
измеряемой величины, условия) то подобную работу можно проводить один раз. В
дальнейшем можно считать DХ
постоянной и ограничиться минимальным числом измерений (два-три измерения
должны отличаться не более, чем на DХ)

Для косвенных
измерений необходимо провести обработку данных измерения каждой величины. При
этом желательно использовать приборы, имеющие близкие относительные погрешности
и задавать одинаковую надежность для расчета доверительного интервала. На
основании полученных значений Da, Db, определяется DХ
для результирующей величины (см табл. 4). Для повышения точности надо
совершенствовать  измерение той величины, вклад ошибки которой в DХ наиболее существенен.

Изучение зависимостей.

Частым вариантом экспериментальной работы является
измерение различных величин с целью установления зависимостей. Характер этих
зависимостей может быть различен: линейный, квадратичный, экспоненциальный,
логарифмический, гиперболический. Для выявления зависимостей широко
используется построение графиков.

При построении графиков вручную важно правильно
выбрать оси, величины, масштаб, шкалы. Следует предупредить школьников, что
шкалы должны иметь равномерный характер, нежелательна как слишком детальная,
так и слишком грубая их разметка. Точки должны заполнять всю площадь графика,
их расположение в одном углу, или «прижатыми» к одной из осей, говорит о
неправильно выбранном масштабе и затрудняет определение характера зависимости.
При проведении линии по точкам надо использовать теоретические представление о
характере зависимости: является она непрерывной или прерывистой, возможно ли ее
прохождение через начало координат, отрицательные значения, максимумы и
минимумы.

Наиболее легко проводится и анализируется прямая
линия. Поэтому часто при изучении более сложных зависимостей часто используется
линеаризация зависимостей, которая достигается подходящей заменой переменных.
Например:

Зависимость . Вводя новую переменную
, получаем уравнение
a = bx, которое
будет изображаться на графике прямой линией. Наклон этой прямой позволяет
рассчитать константу диссоциации.

Разумеется и в этом случае полученные в эксперименте данные включают в себя различные ошибки, и точки редко лежат строго на прямой. Возникает
вопрос, как с наибольшей точностью провести прямую по экспериментальным точкам, каковы ошибки в определении
параметров.

Математическая статистика показывает, что наилучшим
приближением будет такая линия, для которой дисперсия (разброс) точек
относительно ее будет минимальным. А дисперсия определяется как средний квадрат
отклонений наблюдаемого положения точки от расчитанного:

Отсюда название этого метода – метод наименьших
квадратов. Задавая условие, чтобы величина s²
принимала минимальное значение, получают формулы для коэффициентов а и b в уравнении прямой у = а + bx:

и формулы для расчета соответствующих ошибок
^[2].

Если
делать расчеты, используя калькулятор, то лучше оформлять их в виде таблицы:

Подводя
итог, следует сказать, что обработка данных эксперимента достаточно сложный
этап работы ученого. Необходимость проведения большого числа измерений требует
большой затраты времени и материальных ресурсов. Громоздкость формул,  необходимость
использования большого числа значащих цифр затрудняют вычисления. Поэтому, возможно,
не все рекомендации этой статьи применимы в рамках школьного исследования. Но
понимать их сущность, значимость, необходимость, и в соответствии с этим
адекватно оценивать свои результаты, должен любой исследователь.

В настоящее время обработку экспериментальных данных
существенно облегчают современные компьютерные технологии, современное
программное обеспечение. Об том, как их можно использовать –  в следующей
статье.

Литература:

[1]
Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений, М., «Наука»,
1970, 194 с.

[2]
Петерс Д., Хайес Дж., Хифтье Г. Химическое разделение и измерение – М.,: Химия,
1978, 816 с.