Прямоугольник это когда все углы прямые где ошибка

Логические действия с понятиями

Укажите нарушенные правила и логические ошибки определений понятий:

квадрат — четырехугольник, у которого есть прямой угол

Определение неверно, т.к. оно не раскрывает содержание понятия. четырехугольник, у которого есть прямой угол может быть и трапеция и прямоугольник и любая фигура у которой есть четыре угла один из которых прямой.

Дадим наиболее полное определение квадрата:

квадрат — четырехугольник, у которого три прямых угла и все стороны равны

свет — это движение лучей, состоящих из светящихся телец

Определение неверно, т.к. оно не раскрывает содержание понятия. Лучей, состоящих из светящихся телец не существует.

Дадим наиболее полное определение квадрата:

Свет — электромагнитное излучение, испускаемое нагретым или находящимся в возбуждённом состоянии веществом, воспринимаемое человеческим глазом. Нередко, под светом понимают не только видимый свет, но и примыкающие к нему широкие области спектра.

музей — учреждение, изучающее предметы материальной культуры

Определение неверно, т.к. оно не раскрывает содержание понятия. музей занимается обширной деятельностью. Музей это учреждение с постоянным местом расположения, которое служит на благо развития общества, будучи открытым для публики. Музеи приобретают, сберегают, изучают экспонаты, проводят выставки и презентации с целью обучения, развлечения и духовного и материального насыщения человека

опиум вызывает сон, так как он содержит снотворную силу.

Это не определение понятия, т.к. содержание не раскрыто, что такое опиум не сказано, признаки входящие в его содержание не выявлены.

Эрмитаж не есть закрытое дворцовое собрание картин.

Определение понятия не раскрывает его содержание это не закрытое дворцовое собрание картин, а что это тогда: открытое дворцовое собрание картин и собрание картин ли это вообще, т.е. признаки входящие в его содержание не выявлены

Эрмитаж — это удивительный мир, полный чудес!

Это не определение понятия, т.к. содержание не раскрыто (удивительным миром, полным чудес можно назвать многое), о признаках входящие в его содержание вообще ничего не сказано.

музей — государственное учреждение

Определение понятия музей не полное, музеи могут быть и не государственными, признаки входящие в его содержание не выявлены. Гос. учреждений много и это не только музеи.

Эрмитаж — не Лувр

Определение понятия музей не полное, да Эрмитаж -это не Лувр, но что тогда, не Лувр многие предметы, не все же они Эрмитаж….

Конспект урока по ТОНКМ с МП по теме «Требования к определению математических понятий»

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Тема: Требования к определению понятий

Цель: добиться осознанного усвоения студентами требований, предъявляемых к определению математического понятия

Познакомиться с основными требованиями, предъявляемыми к определению математических понятий, учиться находить ошибки, допущенные в формулировке определения;

Развивать математическую речь, мышление, анализ, синтез, обобщение, классификацию;

Воспитывать познавательный интерес, коммуникативную культуру

Оборудование: учебные пособия по ТОНКМ (Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало), математике (Л.П. Стойлова); раздаточный материал.

I . Организационный момент.

III . Открытие нового знания

Чтобы оценить правильность явных определений, надо знать правила определения понятий. Так как преобладающее большинство определений в школьном курсе математики — это определения через род и видовое отличие, то речь будет идти о правилах этих определений.

Прежде всего, определяемое и определяющее понятия должны быть соразмерны . Это значит, что совокупности предметов, охватываемые ими, должны совпадать. Соразмерны, например, понятия «прямоугольник» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые а и b называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещивающиеся прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например, определение «Прямые а и b называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не удовлетворяют совпадающие прямые.

Второе правило определения запрещает порочный круг : нельзя определять понятие через само себя или определять его через другое понятие, которое, в свою очередь, определяется через него. Возьмем такие понятия начальной математики, как «умножение» и «произведение», и дадим им следующие определения:

Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел.

Произведением чисел называется результат их умножения.

Видим, что умножение определяется через понятие произведения, а произведение — через понятие умножения. Определения образовали, как говорят в математике, порочный круг. В результате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.

Порочный круг содержится и в таком определении: «Решением уравнения называется число, которое является его решением». Здесь Понятие «решение уравнения» определяется, по сути дела, через решение уравнения.

Третьим важным требованием к логически правильному определению понятия является следующее: в определении должны быть указаны все свойства, позволяющие однозначно выделять объекты, принадлежащие объему определяемого понятия .

Рассмотрим, например, такое определение Понятия «смежные углы»: «Смежными называются углы, которые в сумме составляют 180°». Нетрудно увидеть, что под данное определение можно подвести не только углы, изображенные на рисунке 2 и действительно являющиеся смежными, но и углы, изображенные на рисунке 3. Почему так произошло? Дело в том, что в приведенном определении смежных углов указано лишь одно их свойство, а именно свойство составлять в сумме 180°, но его недостаточно для выделения смежных углов из всех других.

Еще одно требование к правильному определению понятия — отсутствие в нем избыточности . Это означает, что в определении не должно быть указано лишних свойств, вытекающих из других свойств, также включенных в определение понятия.

Рассмотрим определение: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые». Можно показать, что включенное в определение свойство «иметь равные стороны» вытекает из свойства «иметь прямые углы». Следовательно, данное определение прямоугольника избыточное и правильнее определять прямоугольник таким образом: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».

Следует сказать, что в любом определении понятия есть элемент произвола, что проявляется во-первых в выборе термина (прямоугольник в котором все стороны равны, мог бы называться и по-другому), а во-вторых, в выборе свойств, включаемых в определение. В принципе понятие квадрата можно определить так: «Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые» – или так: «Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые». Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание этого понятия, в определение включаются только некоторые.

Если одному и тому же понятию даются, например, два различных определения, то они должны быть равносильными. Это означает, что из свойств, включенных в одно определение, должны вытекать свойства, положенные в основу другого определения, и наоборот.

Чем же руководствуются, когда из возможных определений некоторого понятия выбирают одно? Исходят из того, какое определение проще, естественнее или целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же какие-либо свойства оказываются включенными в определение, то другие свойства тех же объектов могут быть логически выведены из тех, что вошли в определение. Это важное положение используют при решении задач на распознавание. Если объект А принадлежит объему определяемого понятия, то он обладает всеми свойствами, которые указаны в определении понятия. Справедливо и обратное утверждение, т. е. если известно, что объект А обладает всеми свойствами, которые указаны в он определении понятия, называемого некоторым термином, то и объект А можно назвать этим термином.

Пример. Используя определение диаметра окружности, установим, в каком из случаев, представленных на рисунке 4, отрезок CD является диаметром.

Определим диаметр окружности следующим образом: диаметром окружности называется хорда, проходящая через ее центр. Чтобы отрезок CD оказался диаметром окружности, достаточно одновременное выполнение двух условий: отрезок С D должен быть хордой окружности и проходить через ее центр. Этим двум условиям удовлетворяет отрезок С D в случае «а». В случае «б» отрезок С D — хорда, но он не проходит через центр окружности; в случае «в» отрезок С D проходит через центр окружности, но не является хордой.

Еще одним требованием к логически правильному определению понятия является следующее: необходимо, чтобы определяемый объект существовал . Рассмотрим, например, такое определение: «Тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого все углы тупые». Нетрудно убедиться в том, что треугольник, у которого все углы тупые, не существует. Следовательно, данному определению реально ничего не соответствует, и поэтому оно не может считаться логически правильным.

Заметим, что в математике для ответа на вопрос, существует ли объект, удовлетворяющий данному определению, как правило, доказывают специальную теорему, подтверждающую возможность существования объекта, о котором говорится в определении. В геометрии существование объекта, удовлетворяющего определению, иногда обосновывают, построив его.

III . Первичное закрепление изученного материала

Найдите логические ошибки (если они есть) в следующих определениях и исправьте их.

1) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны;

2) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам;

3) Сложение – это когда числа складываются;

4) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны;

5) Параллелограмм – это многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;

6) Квадрат – это ромб с прямым углом;

7) Квадрат – это когда все стороны равны;

Прямоугольник – это параллелограмм с прямым углом;

9) Равные треугольники – это треугольники, которые равны.

10) Прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, есть квадрат.

V . Подведение итогов урока

– Назовите основные требования, предъявляемые к определению математических понятий

V . Домашнее задание (с инструктажем)

«Приемы формирования познавательных универсальных логических действий на этапе усвоения определений»
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Приёмы формирования познавательных универсальных логических действий на этапе усвоения определений

Скачать:

Вложение	Размер
priemy_formirovaniya.docx	36.77 КБ

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Предварительный просмотр:

МБ ОУ Починковская СШ

Тема: «Приемы формирования познавательных универсальных логических действий на этапе усвоения определений»

Автор работы: Данилова Е.Н .

1. Формирование логической структуры определения понятия

Наиболее распространенными являются определение понятий через род и видовое отличие.

Например, в предложении «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые» родовым понятием является понятие «четырехугольник», а видовым отличием – свойство иметь прямой угол.

Определение через род и видовое отличие состоит из двух понятий: определяемого и определяющего, а сама операция состоит из двух этапов:

1. Определяемое понятие подводится под более обширное по объему родовое понятие (род);
2. Указывается видовое отличие, т.е. устанавливается признак, отличающий определяемый предмет (вид этого рода) от других видов, входящих в данный род.

Например: «Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны». Определяемое понятие «трапеция» представляет собой вид родового понятия «четырехугольник», содержащего некоторые признаки понятия «трапеция»; остальная часть определения (видовое отличие) отличает трапецию от других четырехугольников.

Можно указать различные способы задания видовых отличий:

1. перечислением некоторого набора свойств( биссектриса угла).
2. конструктивно, указанием способа построения (Рассмотрим, например, также определение ломаной: «Ломаной называется геометрическая фигура, которая состоит из отрезков А 1 А 2, А 2 А 3, …, Аn-1Аn . В этом определении указано родовое понятие по отношению к ломаной – фигура, а затем дан способ построения такой фигуры, которая является ломаной. Подобные определения называют генетическими. Определение может быть дано конструктивно, например, понятие «луча», « треугольника» и другие.
3. индуктивно ( арифметическая, геометрическая прогрессия)
4. через отрицание. ( Параллельные прямые — это две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются).

Чтобы ученик мог оперировать определением понятия, важно, чтобы он осознал родоподчиненную связь между понятиями и их видовые отличия, а также логическую природу связи между видовыми отличиями, если их несколько: конъюнктивную, дизъюнктивную или смешанную. Приведу ряд упражнений на усвоение родовых и видовых признаков и связей между ними:

1. Какое из двух понятий является родовым по отношению к другому:

1. Прямой угол, угол;
2. Равенство, уравнение;
3. Биссектриса, луч;
4. Существительное, часть речи;
5. Река. Река, впадающая в черное море.

2.Для каждого понятия из левого столбца подберите родовое понятие из правого столбца и выпишите пары «вид-род» (например, равнобедренный треугольник- треугольник)

Уравнение, биссектриса угла, медиана треугольника, квадрат, стол, местоимение, равнобедренный треугольник, пятиугольник.

Мебель, часть речи, равенство, луч, отрезок, треугольник, прямоугольник, многоугольник.

3.Изобразите с помощью круговых схем отношения между понятиями:

• многоугольник, прямоугольник, четырехугольник;
• равнобедренный треугольник, треугольник, равносторонний треугольник;
• четырехугольник, многоугольник, прямоугольник, квадрат.

4.Для каждого из данных понятий подберите видовое отличие и дополните определение.

• Квадрат — это четырехугольник,…
• Квадрат — это прямоугольник,…
• Равносторонний треугольник — это треугольник….
• Трапеция — это четырехугольник…

5. Для каждого из данных понятий подберите родовое понятие и дополните определение.

• Прямоугольник — это …, у которого противоположные углы прямые.
• Прямоугольник — это…. у которого угол прямой.
• Равнобедренный треугольник — это…у которого две стороны равны.
• Квадрат — это…., у которого стороны равны.

6.Определите, какая ошибка допущена в определении ( подчеркните ее номер):

1. Не указано родовое понятие
2. Родовое понятие указано неверно
3. Не указано видовое отличие
4. Видовое отличие указано неверно (или неполностью)

1. Прямоугольник — это когда все углы прямые.
2. Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины.
3. Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны.
4. Медиана – это отрезок, который делит сторону пополам.

2.Этапы формирования понятий.

Подготовка к восприятию, актуализация знаний, мотивация, проблемная ситуация .

Актуализация знаний решает две основные подзадачи: повторение ранее изученного и создание условий для перехода к мотивации. Сущность мотивации заключается в подчеркивании важности изучения понятия, в побуждении школьников к целенаправленной и активной деятельности, в возбуждении интереса к изучению понятия. Мотивация может осуществляться как посредством привлечения средств нематематического содержания (внешняя мотивация), так и в ходе выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математических теорий (внутренняя мотивация).

Рассмотрим подробнее мотивационный этап на примере введения понятия «правильный многоугольник».

В начале урока предлагаю на рассмотрение различные многоугольники, нарисованные на доске.

а б в г

Урок начинается с фронтальной беседы. Я задаю несколько вопросов, например:

• Чем отличается фигура г) от других фигур? (не является выпуклой)
• Что общего у многоугольников в), д), е), ж)? (все стороны равны)
• Что общего у многоугольников е), ж), з)? (все углы равны)
• Чем отличаются фигуры а) и д)?
• Чем отличаются фигуры ж) и д)?
• Выделите общее у многоугольников е) и ж).(стороны и углы равны)

Таким образом, были отмечены существенные свойства понятия. Далее отмечаю, что выпуклые многоугольники, у которых все стороны и углы равны, имеют специальное название. Предлагается ученикам назвать эти многоугольники, и обосновать ответ (это можно сделать, так как уже изучено понятие правильного треугольника). То есть ставиться цель – дать название таким многоугольникам.

Таким образом, после проделанной работы, я формулирую строгое определение: правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

На этапе мотивации можно предлагать задачи, разрешение которых и приводит к формированию определения. Рассмотрим на примере введения понятия «параллелограмм».

В начале урока ученикам можно предложить для решения одну из следующих задач:

• В четырехугольнике известны длины a и b двух смежных сторон. Какой должна быть форма четырехугольника, чтобы по этим данным можно было определить его периметр?
• В каких случаях для нахождения всех элементов четырехугольника достаточно знать две его смежные стороны и угол между ними?

Решая задачу, школьники рассматривают различные формы четырехугольников, в том числе и параллелограмма. В процессе решения «лишние» четырехугольники отбрасываются, остается параллелограмм. Таким образом, были рассмотрены существенные свойства параллелограмма, и была поставлена цель – построить четырехугольник, форма которого удовлетворяет поставленным в задаче условиям.

После того, как задача решена, еще раз акцентируется внимание учащихся на свойствах полученного четырехугольника и отмечается, что он имеет свое название — «параллелограмм». Далее дается строгое определение параллелограмма: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Спрятать решение

Заполните пропуски.
1) Прямоугольником называют четырехугольник, у которого _
2) Стороны прямоугольника, имеющие общую вершину, называют _
3) Соседние стороны прямоугольника называют его _ и _
4) Стороны прямоугольника, не имеющие общей вершины, называют _
5) Противолежащие стороны прямоугольника _
6) Квадратом называют прямоугольник, у которого _
7) Периметр прямоугольника со сторонами a и b вычисляют по формуле _
8) Периметр квадрата со стороной a вычисляют по формуле _

From Wikipedia, the free encyclopedia

Rectangle
Rectangle
Type	quadrilateral, trapezium, parallelogram, orthotope
Edges and vertices	4
Schläfli symbol	{ } × { }
Coxeter–Dynkin diagrams
Symmetry group	Dihedral (D2), [2], (*22), order 4
Properties	convex, isogonal, cyclic Opposite angles and sides are congruent
Dual polygon	rhombus

In Euclidean plane geometry, a rectangle is a quadrilateral with four right angles. It can also be defined as: an equiangular quadrilateral, since equiangular means that all of its angles are equal (360°/4 = 90°); or a parallelogram containing a right angle. A rectangle with four sides of equal length is a square. The term «oblong» is occasionally used to refer to a non-square rectangle.^[1][2][3] A rectangle with vertices ABCD would be denoted as  ABCD.

The word rectangle comes from the Latin rectangulus, which is a combination of rectus (as an adjective, right, proper) and angulus (angle).

A crossed rectangle is a crossed (self-intersecting) quadrilateral which consists of two opposite sides of a rectangle along with the two diagonals^[4] (therefore only two sides are parallel). It is a special case of an antiparallelogram, and its angles are not right angles and not all equal, though opposite angles are equal. Other geometries, such as spherical, elliptic, and hyperbolic, have so-called rectangles with opposite sides equal in length and equal angles that are not right angles.

Rectangles are involved in many tiling problems, such as tiling the plane by rectangles or tiling a rectangle by polygons.

Characterizations

A convex quadrilateral is a rectangle if and only if it is any one of the following:^[5][6]

Classification

Traditional hierarchy

A rectangle is a special case of a parallelogram in which each pair of adjacent sides is perpendicular.

A parallelogram is a special case of a trapezium (known as a trapezoid in North America) in which both pairs of opposite sides are parallel and equal in length.

A trapezium is a convex quadrilateral which has at least one pair of parallel opposite sides.

A convex quadrilateral is

• Simple: The boundary does not cross itself.
• Star-shaped: The whole interior is visible from a single point, without crossing any edge.

Alternative hierarchy

De Villiers defines a rectangle more generally as any quadrilateral with axes of symmetry through each pair of opposite sides.^[9] This definition includes both right-angled rectangles and crossed rectangles. Each has an axis of symmetry parallel to and equidistant from a pair of opposite sides, and another which is the perpendicular bisector of those sides, but, in the case of the crossed rectangle, the first axis is not an axis of symmetry for either side that it bisects.

Quadrilaterals with two axes of symmetry, each through a pair of opposite sides, belong to the larger class of quadrilaterals with at least one axis of symmetry through a pair of opposite sides. These quadrilaterals comprise isosceles trapezia and crossed isosceles trapezia (crossed quadrilaterals with the same vertex arrangement as isosceles trapezia).

Properties

Symmetry

A rectangle is cyclic: all corners lie on a single circle.

It is equiangular: all its corner angles are equal (each of 90 degrees).

It is isogonal or vertex-transitive: all corners lie within the same symmetry orbit.

It has two lines of reflectional symmetry and rotational symmetry of order 2 (through 180°).

Rectangle-rhombus duality

The dual polygon of a rectangle is a rhombus, as shown in the table below.^[10]

Rectangle	Rhombus
All angles are equal.	All sides are equal.
Alternate sides are equal.	Alternate angles are equal.
Its centre is equidistant from its vertices, hence it has a circumcircle.	Its centre is equidistant from its sides, hence it has an incircle.
Two axes of symmetry bisect opposite sides.	Two axes of symmetry bisect opposite angles.
Diagonals are equal in length.	Diagonals intersect at equal angles.

• The figure formed by joining, in order, the midpoints of the sides of a rectangle is a rhombus and vice versa.

Miscellaneous

A rectangle is a rectilinear polygon: its sides meet at right angles.

A rectangle in the plane can be defined by five independent degrees of freedom consisting, for example, of three for position (comprising two of translation and one of rotation), one for shape (aspect ratio), and one for overall size (area).

Two rectangles, neither of which will fit inside the other, are said to be incomparable.

Formulae

If a rectangle has length and width

Theorems

The isoperimetric theorem for rectangles states that among all rectangles of a given perimeter, the square has the largest area.

The midpoints of the sides of any quadrilateral with perpendicular diagonals form a rectangle.

A parallelogram with equal diagonals is a rectangle.

The Japanese theorem for cyclic quadrilaterals^[11] states that the incentres of the four triangles determined by the vertices of a cyclic quadrilateral taken three at a time form a rectangle.

The British flag theorem states that with vertices denoted A, B, C, and D, for any point P on the same plane of a rectangle:^[12]

For every convex body C in the plane, we can inscribe a rectangle r in C such that a homothetic copy R of r is circumscribed about C and the positive homothety ratio is at most 2 and .^[13]

Crossed rectangles

A crossed quadrilateral (self-intersecting) consists of two opposite sides of a non-self-intersecting quadrilateral along with the two diagonals. Similarly, a crossed rectangle is a crossed quadrilateral which consists of two opposite sides of a rectangle along with the two diagonals. It has the same vertex arrangement as the rectangle. It appears as two identical triangles with a common vertex, but the geometric intersection is not considered a vertex.

A crossed quadrilateral is sometimes likened to a bow tie or butterfly, sometimes called an «angular eight». A three-dimensional rectangular wire frame that is twisted can take the shape of a bow tie.

The interior of a crossed rectangle can have a polygon density of ±1 in each triangle, dependent upon the winding orientation as clockwise or counterclockwise.

A crossed rectangle may be considered equiangular if right and left turns are allowed. As with any crossed quadrilateral, the sum of its interior angles is 720°, allowing for internal angles to appear on the outside and exceed 180°.^[14]

A rectangle and a crossed rectangle are quadrilaterals with the following properties in common:

• Opposite sides are equal in length.
• The two diagonals are equal in length.
• It has two lines of reflectional symmetry and rotational symmetry of order 2 (through 180°).

Other rectangles

In spherical geometry, a spherical rectangle is a figure whose four edges are great circle arcs which meet at equal angles greater than 90°. Opposite arcs are equal in length. The surface of a sphere in Euclidean solid geometry is a non-Euclidean surface in the sense of elliptic geometry. Spherical geometry is the simplest form of elliptic geometry.

In elliptic geometry, an elliptic rectangle is a figure in the elliptic plane whose four edges are elliptic arcs which meet at equal angles greater than 90°. Opposite arcs are equal in length.

In hyperbolic geometry, a hyperbolic rectangle is a figure in the hyperbolic plane whose four edges are hyperbolic arcs which meet at equal angles less than 90°. Opposite arcs are equal in length.

Tessellations

The rectangle is used in many periodic tessellation patterns, in brickwork, for example, these tilings:

Stacked bond

Running bond

Basket weave

Basket weave

Herringbone pattern

Squared, perfect, and other tiled rectangles

A rectangle tiled by squares, rectangles, or triangles is said to be a «squared», «rectangled», or «triangulated» (or «triangled») rectangle respectively. The tiled rectangle is perfect^[15][16] if the tiles are similar and finite in number and no two tiles are the same size. If two such tiles are the same size, the tiling is imperfect. In a perfect (or imperfect) triangled rectangle the triangles must be right triangles. A database of all known perfect rectangles, perfect squares and related shapes can be found at squaring.net. The lowest number of squares need for a perfect tiling of a rectangle is 9^[17] and the lowest number needed for a perfect tilling a square is 21, found in 1978 by computer search.^[18]

A rectangle has commensurable sides if and only if it is tileable by a finite number of unequal squares.^[15][19] The same is true if the tiles are unequal isosceles right triangles.

The tilings of rectangles by other tiles which have attracted the most attention are those by congruent non-rectangular polyominoes, allowing all rotations and reflections. There are also tilings by congruent polyaboloes.

Unicode

   U+25AC ▬ BLACK RECTANGLE
   U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE
   U+25AE ▮ BLACK VERTICAL RECTANGLE
   U+25AF ▯ WHITE VERTICAL RECTANGLE

See also

• Cuboid
• Golden rectangle
• Hyperrectangle
• Superellipse (includes a rectangle with rounded corners)

References

External links

• Weisstein, Eric W. «Rectangle». MathWorld.
• Definition and properties of a rectangle with interactive animation.
• Area of a rectangle with interactive animation.