Прямое распространение ошибки обратное распространение ошибки

Подробно рассматриваем обратное распространение ошибки для простой нейронной сети. Численный пример

В данной статье мы рассмотрим прямое распространение сигнала и обратное распространение ошибки в полносвязной нейронной сети прямого распространения. В результате получим весь набор формул, необходимых для программной реализации нейронной сети. В завершении статьи рассмотрим численный пример.

«Полносвязная» (fully connected) — означает, что каждый нейрон предыдущего слоя соединён с каждым нейроном следующего слоя. «Прямого распространения» (feedforward) — означает, что сигнал проходит через нейронную сеть в одном направлении от входного к выходному слою.

Полносвязная нейронная сеть прямого распространения («перцептрон») — это простейший и наиболее типичный пример искусственной нейронной сети.

Содержание

1. Нейронная сеть как функция

2. Дизайн нейронной сети

3. Прямое распространение сигнала

4. Обратное распространение ошибки и обновление

   4.1. Вычисление новых весов матрицы W^3

   4.2. Вычисление новых смещений вектора b^3

   4.3. Вычисление новых весов матрицы W^2

   4.4. Вычисление новых смещений вектора b^2

5. Численный пример

6. Обобщение для произвольного числа слоёв

Нейронная сеть как функция

Искусственная нейронная сеть является математической функцией, а точнее — композицией (суперпозицией) функций.

Было доказано (George Cybenko, 1989), что полносвязная нейронная сеть прямого распространения с хотя бы одним скрытым слоем и достаточным количеством нейронов потенциально может аппроксимировать любую непрерывную функцию, т.е. по своей сути она — универсальный аппроксиматор.

«Свойства универсальной аппроксимации встречаются в математике чаще, чем можно было бы ожидать. Например, теорема Вейерштрасса — Стоуна доказывает, что любая непрерывная функция на замкнутом интервале может быть приближена многочленной функцией. Если ослабить наши критерии далее, можно использовать ряды Тейлора и ряды Фурье, предлагающие некоторые возможности универсальной аппроксимации (в пределах их областей схождения). Тот факт, что универсальная сходимость — довольно обычное явление в математике, дает частичное обоснование эмпирического наблюдения, что существует много малых вариантов полносвязных сетей, которые, судя по всему, дают свойство универсальной аппроксимации».

— Рамсундар Б., Заде Р.Б. TensorFlow для глубокого обучения. Спб., 2019. С. 101.

Запишем нейронную сеть, которую мы будем рассматривать в данной статье, в виде функции:

где — вектор входных значений — первый слой, — второй, скрытый и — третий слои нейронной сети, , — векторы смещений и , — матрицы весов второго и третьего слоёв соответственно, — вектор-функция активации второго слоя, — вектор-функция активации третьего, последнего слоя и, соответственно, вектор выходных значений нейронной сети.

Мы будем использовать принятую в литературе по нейронам сетям запись , где — вектор-столбец (в литературе по математике под вектором стандартно (по умолчанию) понимается вектор-столбец). Произведение матриц определено, если число столбцов равно числу строк . Таким образом число столбцов матрицы равно числу строк векторов и .

Для комфортного чтения статьи необходимо обладать некоторым знанием линейной алгебры (обязательный минимум — операции над матрицами), производной сложной функции и частных производных.

Дизайн нейронной сети

Нейронная сеть имеет три слоя с тремя нейронами в каждом из них. Нелинейное изменение проходящего через сеть сигнала обеспечивает функция активации сигмоид (sigmoid) на скрытом и выходном слоях:

Поскольку на практике большинство реальных данных имеют нелинейный характер, используются нелинейные функции активации, позволяющие извлекать нелинейные зависимости в данных.

Перепишем уравнение рассматриваемой сети для заданных параметров:

Функция активации поэлементно применяется к каждому элементу соответствующего вектора .

Прямое распространение сигнала

Запишем уравнения для прямого прохождения сигнала через нейронную сеть:

и функцию стоимости (cost function)

где — номер соответствующего целевого (вектора ) и выходного значений, — число выходных значений.

Таким образом, функция стоимости для нашей нейронной сети в развёрнутом виде:

Функция стоимости показывает нам насколько сильно отличаются текущие значения нейронной сети от целевых.

Обратное распространение ошибки и обновление

В сущности, для реализации алгоритма обратного распространения ошибки используется довольно простая идея.

Градиент (в общем случае) — вектор, определяющий направление наискорейшего роста функции нескольких переменных. Вычитая из текущих значений весов и смещений соответствующие значения частных производных как элементов градиента функции стоимости , мы будем приближаться к одному из ближайших (относительно начальной точки) минимумов функции стоимости и, таким образом, уменьшать величину ошибки. Согласно необходимому условию экстремума, в точках экстремума функции многих переменных её градиент равен нулю, .

Этот подход называется алгоритмом градиентного спуска. Иногда может возникать путаница или отождествление этих двух алгоритмов, поскольку они тесно взаимосвязаны и один используется для реализации другого.

Несмотря на простоту и эффективность, алгоритм градиентного спуска в общем случае имеет свои ограничения, например, седловая точка, локальный минимум, перетренировка (overtraining) (попадание в глобальный минимум).

Найдём частные производные по всем элементам матрицы :

поскольку — константа, то ,

Преобразуем функцию активации сигмоид и найдём её производную:

В производной по матрице мы находим производную по каждому из её элементов.

Раскроем сумму для переменной матрицы :

Найдём частную производную по переменной . Поскольку

Преобразуем сигмоид и получим окончательную форму выражения для :

Обратное распространение ошибки является частным случаем автоматического дифференцирования, для реализации которого нам и необходимо привести все вычислительные выражения к определённому виду.

Таким же образом для переменных и получим:

Найдём новые значения (обновлённые веса) для переменных , и :

где (и́та) — буква греческого алфавита, обычно используемая для обозначения скорости обучения (learning rate), её значение должно быть установлено на промежутке от 0 до 1; * — новое значение переменной.

Найдём остальные частные производные для матрицы . Раскроем сумму для :

Найдём частную производную по переменной :

Преобразуем сигмоид и получим окончательную форму выражения для :

Таким же образом для переменных и получим:

Найдём новые значения (обновлённые веса) для переменных , и:

Раскроем сумму для :

Найдём частную производную по переменной :

Преобразуем сигмоид и получим окончательную форму выражения для :

Таким же образом для переменных и получим:

Найдём новые значения (обновлённые веса) для переменных , и :

Теперь найдём частные производные по всем элементам вектора :

Найдём частную производную по :

Преобразуем сигмоид и получим окончательную форму выражения для :

Найдём новое значение для смещения :

Вычислим частные производные по и :

Найдём новые значения для и:

Найдём частные производные по всем элементам матрицы . Раскроем сумму для переменной матрицы . Поскольку

в свою очередь,

тогда сумма для переменной матрицы :

Найдём новое значение (обновлённый вес) для переменной :

Найдём остальные частные производные и их новые значения для матрицы .

Теперь найдём частные производные по всем элементам вектора . Раскроем сумму для переменной :

Найдём новое значение для :

Найдём остальные частные производные для вектора :

Найдём новые значения для переменных и :

Численный пример

Задача обучения нейронной сети состоит в аппроксимации некоторой неизвестной функции, которая отображает в .

Другими словами, существует некоторая неизвестная нам функция , которая для набора значений независимых переменных выдаёт результат, соответствующий набору значений зависимых переменных . Задача нейронной сети в результате обучения «заменить», приблизить, т.е. аппроксимировать неизвестную функцию . В случае успешного решения задачи, значения нашей нейронной сети на выходном слое будут приблизительно равны значениям вектора аппроксимируемой функции.

Выберем случайным образом следующие начальные значения для нашей нейронной сети:

А также входные и целевые значения:

После первого прямого прохождения сигнала значения скрытого и выходного слоёв:

Для скорости обучения установим значение .

Вычислим для первой эпохи (epoch) обучения нейронной сети обновлённые значения весов и :

Новые значения других весов и смещений находятся аналогичным образом, в соответствии с полученными ранее формулами.

После 10 000 эпох обучения матрицы весов и выходной слой имеют следующие значения:

Обобщение для произвольного числа слоёв

Мы рассмотрели частный случай алгоритма обратного распространения ошибки для нейронной сети с одним скрытым слоем. Запишем формулы для реализации нейронной сети с произвольным числом скрытых слоёв.

где — номер выходного слоя, — индекс строки матрицы весов, — число выходных значений.

— обобщённое дельта-правило (delta rule).

Надеемся, что статья будет интересной и полезной для всех, кто приступает к изучению глубинного обучения и нейронных сетей!

Введение

• В последнее время, с ростом популярности этих двух методов появилось много библиотек на Matlab, R, Python, C ++ и т.д., которые получают на вход обучающий набор и автоматически создают соответствующую нейронную сеть для вашей задачи.

• Однако при использовании готовых библиотек бывает сложно понять, что именно происходит и как мы получаем оптимизированную сеть. А ведь знание основ решения важно для дальнейшего развития этих методов. Итак, в данной статье мы создадим очень простую структуру для алгоритма нейронной сети.

• Мы постараемся понять, как работает базовый тип нейронной сети — перцептрон с одним нейроном и многослойный перцептрон — замечательный алгоритм, который отвечает за обучение сети (градиентный спуск и обратное распространение). Эти сетевые модели будут основой для более сложных моделей, существующих на сегодняшний день.

Краткий обзор истории

• Первая нейронная сеть была задумана Уорренном Маккалоком и Уолтером Питтсом в 1943 году. Они написали великолепную статью о том, как должны работать нейроны, а затем построили модель на основе своих идей — создали простую нейронную сеть с электрическими цепями.

• Исследования в области искусственного интеллекта быстро развивались, и в 1980 году Кунихико Фукусима разработал первую настоящую многослойную нейронную сеть.

• Первоначальной целью нейронной сети было создание компьютерной системы, способной решать проблемы подобно тому, как это делает человеческий мозг. Однако, со временем исследователи сменили фокус и начали использовать нейронные сети для решения особенных задач. С тех пор нейронные сети выполняют самые разнообразные задачи, включая компьютерное зрение, распознавание голоса, машинный перевод, фильтрацию социальных сетей, настольные игры или видеоигры, медицинскую диагностику, прогноз погоды, прогнозирование временных рядов, распознавание (изображения, текста, голоса) и др.

Компьютерная модель нейрона: перцептрон

Перцептрон

Перцептрон вдохновлен идеей обработки информации единственной нервной клетки, называемой нейроном. Нейрон принимает на вход сигналы через свои дендриты, которые передают электрический сигнал телу клетки. Точно так же перцептрон получает входные сигналы из примеров обучающих данных, которые предварительно взвесили и объединили в линейное уравнение, называемое активацией.

• z = sum(weight_i * x_i) + bias

Где weight — это вес сети, X — это входное значение, i — индекс веса или входные данные, а смещение — это специальный вес, который не имеет множитель в виде входного значения (можем считать, что входные данные всегда равны 1.0).

Затем активация преобразуется в выходное (прогнозируемое) значение с помощью передаточной функции (функция активации).

• y = 1.0 если z >= 0.0, иначе 0.0

Таким образом, перцептрон представляет собой алгоритм классификации проблем с двумя классами (двоичный классификатор), где для разделения двух классов может использоваться линейное уравнение.

Это тесно связано с линейной регрессией и логистической регрессией, которые осуществляют прогнозы аналогичным образом (например, взвешенная сумма входов).

Алгоритм перцептрона — простейший вид искусственной нейронной сети. Это модель одного нейрона, которая может использоваться в задачах классификации двух классов и обеспечивает основу для дальнейшего развития гораздо более крупных сетей.

Входы нейронов представлены вектором x = [x1, x2, x3,…, xN], который может соответствовать, к примеру, ряду торговых цен актива, значениям технических индикаторов, числовой последовательности в пикселях изображения. Когда они попадают к нейрону, они умножаются на соответствующие синаптические веса, которые являются элементами вектора w = [w1, w2, w3, …, wN], и таким образом генерируют значение z, обычно называемое потенциалом активации, согласно выражению:

b обеспечивает более высокую степень свободы и не зависит от входа в это выражение, что обычно соответствует нейрону смещения (склонности). Затем z-значение проходит через функцию активации σ, которая отвечает за ограничение этого значения определенным интервалом (например, 0 — 1), что дает окончательное выходное значение и значение нейрона. Некоторые используемые триггерные функции: шаг, сигмоид, гиперболический тангенс, softmax и ReLU («rectified linear unit»).

Чтобы проиллюстрировать процесс, направленный на достижение предела разделимости классов, ниже мы показываем две ситуации, которые демонстрируют их сближение к стабилизации с учетом только двух входов {x1 и x2}

Веса алгоритма перцептрона следует оценивать на основе данных обучения с использованием стохастического градиентного спуска.

Стохастический градиент

Градиентный спуск — это процесс минимизации функции в направлении градиента функции стоимости.

Это подразумевает знание формулы стоимости, а также производной, чтобы с определенной точки мы могли узнать наклон и могли двигаться в этом направлении, например, вниз по направлению к минимальному значению.

В машинном обучении мы можем использовать метод, который оценивает и обновляет веса для каждой итерации, называемый стохастическим градиентным спуском, чтобы минимизировать ошибку модели в наших обучающих данных.

Принцип работы этого алгоритма оптимизации заключается в том, что каждый обучающий экземпляр показывается модели по одному. Модель делает прогноз для обучающего экземпляра, вычисляет ошибку и обновляет модель, чтобы уменьшить ошибку для следующего прогноза.

Эту процедуру можно использовать для поиска набора весов в модели, который дает наименьшую ошибку для модели в обучающих данных.

Для алгоритма перцептрона на каждой итерации веса w обновляются с использованием уравнения:

• w = w + learning_rate * (expected — predicted) * x

Где w оптимизируется, learning_rate — это скорость обучения, которую мы должны установить (например, 0.1), (expected — predicted) — ошибка прогнозирования для модели в обучающих данных, относящихся к весу, а x — входное значение.

Для стохастического градиентного спуска требуются два параметра:

• Коэффициент обучения: используется для ограничения размера корректировки веса при каждом его обновлении.
• Эпохи — сколько раз обучающие данные должны выполняться при обновлении веса.

Они вместе с обучающими данными будут аргументами для функции.

Нам нужно выполнить 3 цикла в функции:

1. Цикл для каждой эпохи.

2. Цикл для каждой строки в обучающих данных для эпохи.

3. Цикл для каждого веса, который обновляется для одной строке в одной эпохи.

Веса обновляются в зависимости от ошибки, допущенной моделью. Ошибка рассчитывается как разница между фактическим значением и прогнозом, сделанным с помощью весов.

Для каждого входного атрибута есть свой вес, и они постоянно обновляются, например:

• w(t+1)= w(t) + learning_rate * (expected(t) — predicted(t)) * x(t)

Смещение обновляется аналогичным образом, только без входа, поскольку оно не связано с конкретным входным значением:

• bias(t+1) = bias(t) + learning_rate * (expected(t) — predicted(t)).

Применение модели нейрона:

Теперь перейдем к практическому применению.

Этот урок разделен на 2 части:

1. Делаем прогнозы

2. Оптимизация веса сети

Эти шаги обеспечат основу для реализации и применения алгоритма перцептрона к другим задачам классификации.

Нам нужно определить количество столбцов в нашем наборе X, для этого мы определяем константу

#define nINPUT 3

---

В MQL5 многомерный массив может быть статическим или динамическим только для первого измерения, а поскольку все остальные измерения будут статическими, при объявлении массива необходимо указать размер.

1. Делаем прогнозы

Первый шаг — разработать функцию, которая может делать прогнозы.

Это будет необходимо как при оценке значений весов кандидатов при стохастическом градиентном спуске, так и после завершения модели. Прогнозы надо делать и на тестовых данных, и на новых.

Ниже приведена функция predict, которая прогнозирует выходное значение для строки исходя от определенного набора весов.

Первый вес всегда является смещением, поскольку он автономен и не работает с конкретным входным значением.

template <typename Array>
double predict(const Array &X[][nINPUT], const Array &weights[], const int row=0)
  {
   double z = weights[0];
   for(int i=0; i<ArrayRange(X, 1)-1; i++)
     {
      z+=weights[i+1]*X[row][i];
     }
   return activation(z);
  }

Перенос нейронов:

Как только нейрон активирован, нам нужно передать активацию, чтобы увидеть, каковы на самом деле выходные данные нейрона.

double activation(const double activation) 
  {
   return activation>=0.0?1.0:0.0;
  }

Мы получаем в качестве аргумента в функции прогнозирования входной набор X, массив с весами (W) и строку, для которой прогнозируется входной набор X.

Мы можем придумать небольшой набор данных, чтобы проверить нашу функцию прогнозирования.

Мы также можем использовать заранее подготовленные веса, чтобы делать прогнозы для этого набора данных.

double weights[] = {-0.1, 0.20653640140000007, -0.23418117710000003};

После того, как мы собрали все это вместе, мы можем протестировать нашу функцию прогнозирования ниже.

#define nINPUT 3



void OnStart()
  {

   random.seed(42);
   double dataset[][nINPUT] = {     
                               {2.7810836,2.550537003,0},
                               {1.465489372,2.362125076,0},
                               {3.396561688,4.400293529,0},
                               {1.38807019,1.850220317,0},
                               {3.06407232,3.005305973,0},
                               {7.627531214,2.759262235,1},
                               {5.332441248,2.088626775,1},
                               {6.922596716,1.77106367,1},
                               {8.675418651,-0.242068655,1},
                               {7.673756466,3.508563011,1}
                              };
   double weights[] = {-0.1, 0.20653640140000007, -0.23418117710000003};
   for(int row=0; row<ArrayRange(dataset, 0); row++)
     {
      double predict = predict(dataset, weights, row);
      printf("Expected=%.1f, Predicted=%.1f", dataset[row][nINPUT-1], predict);
     }
  }


template <typename Array>
double predict(const Array &X[][nINPUT], const Array &weights[], const int row=0)
  {
   double z = weights[0];
   for(int i=0; i<ArrayRange(X, 1)-1; i++)
     {
      z+=weights[i+1]*X[row][i];
     }
   return activation(z);
  }



double activation(const double activation) 
  {
   return activation>=0.0?1.0:0.0;
  }

Есть два входных значения (X1 и X2) и три коэффициента веса (bias, w1 и w2). Уравнение активации, которое мы моделируем для данной проблемы, выглядит так:

activation = (w1 * X1) + (w2 * X2) + b

Или с конкретными значениями веса, мы вручную выбираем как:

activation = (0.206 * X1) + (-0.234 * X2) + -0.1

После завершения работы функции мы получаем прогнозы, которые соответствуют ожидаемым выходным значениям y.

Теперь можем реализовать стохастический градиентный спуск для оптимизации значений веса.

2. Оптимизируем веса сети

Веса для наших обучающих данных можно оценить, используя стохастический градиентный спуск, как было сказано ранее.

Ниже приведена функция train_weights(), которая вычисляет значения веса для набора обучающих данных с использованием стохастического градиентного спуска.

В MQL5 мы не можем получить возврат из этого массива с данными обученных весов, потому что, в отличие от переменных, массивы могут быть переданы в функцию только по ссылке. Это означает, что функция не создает собственный экземпляр массива, а вместо этого работает напрямую с переданным ей массивом. Таким образом, все изменения, осуществляемые в этом массиве внутри функции влияют на исходный массив.

template <typename Array>
void train_weights(Array &weights[], const Array &X[][nINPUT], double l_rate=0.1, int n_epoch=5)
  {
   ArrayResize(weights, ArrayRange(X, 1));
   for(int i=0; i<ArrayRange(X, 1); i++)
     {
      weights[i]=random.random();
     }
     
   for(int epoch=0; epoch<n_epoch; epoch++)
     {
      double sum_error = 0.0;
      for(int row=0; row<ArrayRange(X, 0); row++)
        {
         double y = predict(X, weights, row);
         double error = X[row][nINPUT-1] - y;
         sum_error += pow(error, 2);
         weights[0] = weights[0] + l_rate * error;

         for(int i=0; i<ArrayRange(X, 1)-1; i++)
           {
            weights[i+1] = weights[i+1] + l_rate * error * X[row][i];
           }
        }
      printf(">epoch=%d, lrate=%.3f, error=%.3f",epoch, l_rate, sum_error);
     }
  }

На каждой эпохе мы отслеживаем сумму квадратичной ошибки (положительное значение), чтобы отслеживать уменьшение ошибки. Это позволяет наблюдать как алгоритм минимизирует ошибку на каждой эпохе.

Давайте протестируем нашу функцию с одним и тем же набором данных, представленным выше.

#define nINPUT 3



void OnStart()
  {

   random.seed(42);
   double dataset[][nINPUT] = {     
                               {2.7810836,2.550537003,0},
                               {1.465489372,2.362125076,0},
                               {3.396561688,4.400293529,0},
                               {1.38807019,1.850220317,0},
                               {3.06407232,3.005305973,0},
                               {7.627531214,2.759262235,1},
                               {5.332441248,2.088626775,1},
                               {6.922596716,1.77106367,1},
                               {8.675418651,-0.242068655,1},
                               {7.673756466,3.508563011,1}
                              };
   double weights[];
   train_weights(weights, dataset);
   ArrayPrint(weights, 20);
   for(int row=0; row<ArrayRange(dataset, 0); row++)
     {
      double predict = predict(dataset, weights, row);
      printf("Expected=%.1f, Predicted=%.1f", dataset[row][nINPUT-1], predict);
     }
  }


template <typename Array>
double predict(const Array &X[][nINPUT], const Array &weights[], const int row=0)
  {
   double z = weights[0];
   for(int i=0; i<ArrayRange(X, 1)-1; i++)
     {
      z+=weights[i+1]*X[row][i];
     }
   return activation(z);
  }



double activation(const double activation) 
  {
   return activation>=0.0?1.0:0.0;
  }



template <typename Array>
void train_weights(Array &weights[], const Array &X[][nINPUT], double l_rate=0.1, int n_epoch=5)
  {
   ArrayResize(weights, ArrayRange(X, 1));
   ArrayInitialize(weights, 0);
     
   for(int epoch=0; epoch<n_epoch; epoch++)
     {
      double sum_error = 0.0;
      for(int row=0; row<ArrayRange(X, 0); row++)
        {
         double y = predict(X, weights, row);
         double error = X[row][nINPUT-1] - y;
         sum_error += pow(error, 2);
         weights[0] = weights[0] + l_rate * error;

         for(int i=0; i<ArrayRange(X, 1)-1; i++)
           {
            weights[i+1] = weights[i+1] + l_rate * error * X[row][i];
           }
        }
      printf(">epoch=%d, lrate=%.3f, error=%.3f",epoch, l_rate, sum_error);
     }
  }

Мы используем скорость обучения 0,1 и обучаем модель только для 5 эпох или 5 показов весов для всего набора обучающих данных.

При выполнении примера для каждой эпохи печатается сообщение с суммой квадратичной ошибки для этой эпохи и окончательным набором весов.

Мы видим, как быстро алгоритм выучивает проблему.

Этот тест можно найти в файле PerceptronScript.mq5.

Многослойный перцептрон

• Объединеняем нейроны в слои

   С одним нейроном мало что можно сделать, но мы можем объединить их в многоуровневую структуру, каждый с разным количеством нейронов, и сформировать нейронную сеть, называемую многослойным перцептроном («multi layer perceptron, MLP»). Вектор входных значений X проходит через начальный слой, выходные значения которого связаны со входами следующего уровня, и так далее, пока сеть не предоставит выходные значения последнего слоя в качестве результата. Сеть может быть организована в несколько слоев, что делает ее глубокой и способной выучить все более сложные отношения.

Обучение MLP

   Для того, чтобы такая сеть работала, ее нужно обучать. Это как учить ребенка читать. Обучение MLP происходит в контексте машинного обучения с учителем, но как это работает?

Обучение с учителем:

• Нам дается набор отмеченных данных, для которых мы уже знаем какой именно является нашим правильным выходом, и он должен быть аналогичен набору, имея представление о том, что существует связь между входом и выходом.
• Задачи обучения с учителем подразделяются на задачи «регрессии» и «классификации». В задачах регрессии мы пытаемся предсказать результаты на непрерывном выходе, что означает, что мы пытаемся сопоставить входные переменные с некоторой непрерывной функцией. В задачах классификации мы стараемся предсказать результаты на дискретном выходе. Другими словами, мы пытаемся сопоставить входные переменные по разным категориям.

Пример 1:

• Учитывая набор данных о размерах домов на рынке недвижимости, попробуйте спрогнозировать их цену. Цена в зависимости от размера — это непрерывный результат, так что это проблема регрессии.
• Мы могли бы также превратить этот пример в задачу классификации, чтобы прогнозировать о том, «продастся ли дом дороже или дешевле, чем запрашиваемая цена». Здесь мы рассортируем дома по цене на две разные категории.

Обратное распространение

Обратное распространение, без сомнений, является самым важным алгоритмом в истории нейронных сетей — без (эффективного) обратного распространения, было бы невозможно обучить сети глубокого обучения так, как мы это делаем сегодня. Обратное распространение можно считать краеугольным камнем современных нейронных сетей и глубокого обучения.

Разве мы не учимся на ошибках?

Идея алгоритма обратного распространения ошибки состоит в том, чтобы на основе расчетной ошибки, полученной на выходном слое нейронной сети, пересчитать значение весов вектора W последнего слоя нейронов. Затем мы переходим к предыдущему слою и так далее, от конца к началу, то есть, он состоит из обновления всех весов W слоев, от последнего до достижения входного слоя сети путем обратного распространения ошибки, полученной сетью. Другими словами, ошибка вычисляется между тем, что предсказала сеть, и тем, что она была на самом деле (фактический 1, предсказанный 0; у нас есть ошибка!), поэтому мы пересчитываем значения всех весов, начиная с последнего слоя и переходя к первому, всегда обращая внимание на уменьшение этой ошибки.

Алгоритм обратного распространения ошибки состоит из двух этапов:

1. Прямой проход («forward pass»), при котором наши входы проходят через сеть и получают прогнозы выхода (этот шаг также известен как фаза распространения).

2. Обратный проход («backward pass»), при котором мы вычисляем градиент функции потерь на последнем слое (то есть слое прогнозирования) сети и используем этот градиент для рекурсивного применения цепного правила («chain rule») для обновления весов в нашей сети (также известного как стадия обновления веса или обратное распространение)

Рассмотрим сеть выше со слоем скрытых нейронов и выходным нейроном. Когда входной вектор распространяется по сети, для текущего набора весов существует выходной Pred(y). Цель обучения с учителем — настроить веса так, чтобы уменьшить разницу между Pred(y) сети и требуемым выходным Req(y). Для этого требуется алгоритм, который уменьшает абсолютную ошибку, что аналогично уменьшению квадратичной ошибки, где:

(1)

Сетевая ошибка = Pred — Req

      = E

Алгоритм должен регулировать веса, чтобы минимизировать E². Обратное распространение — это алгоритм, который выполняет минимизацию градиентного спуска E². Чтобы минимизировать E², необходимо рассчитать его чувствительность к каждому весу. Другими словами, нам нужно знать, какое влияние будет иметь изменение каждого веса на E². Если нам будет известно, веса можно будет отрегулировать в направлении, уменьшающем абсолютную ошибку. Последующее описание правила обратного распространения основано на такой диаграмме:

Пунктирная линия представляет нейрон B, который может быть скрытым или выходным нейроном. Выходы n нейронов (O 1 … O n) на предыдущем слое являются взодами для нейрона B. Если нейрон B находится в скрытом слое, он просто является входным вектором. Эти выходы умножаются на соответствующие веса (W1B … WnB), где WnB — вес, соединяющий нейрон n и нейрону B. Функция суммы складывает все эти произведения для получения входных данных, IB, который обрабатывается функцией триггера f(.) нейрона B. f (IB) это выход OB нейрона B. Рассмотрим пример. Назовем нейрон 1 нейроном A и рассмотрим вес WAB между двумя нейронами. Подход, используемый для изменения веса, определяется правилом дельты:

(2)

где — параметр скорости обучения, который определяет скорость обучения, а

является чувствительностью ошибки E² к весу WAB и определяет направление поиска в пространстве весов для нового веса WAB (новый), как изображено на рисунке ниже.

Чтобы минимизировать E², правило дельты обеспечивает необходимое направление изменения веса.

Ключевой концепцией приведенного выше уравнения является вычисление выражения ∂E² /∂WAB,  которое состоит в вычислении частных производных функции ошибок E² по отношению к каждому весу вектора W.

Дифференцирование сложной функции:

(3)

и

(4)

поскольку остальные входы нейрона B не зависят от веса WAB. Таким образом, исходя из уравнений (3) и (4), уравнение (2) становится

(5)

и изменение веса WAB зависит от чувствительности квадрата ошибки E² на входе IB, единицы B и входного сигнала OА.

Возможны две ситуации:

1. B — выходной нейрон;

2. B — скрытый нейрон.

Рассмотриваем первый случай:

Поскольку B является выходным нейроном, изменение квадрата ошибки из-за настроки WAB просто является изменением квадрата ошибки выходного сигнала B.

(6)

объединяя уравнение (5) и уравнение (6), получаем

(7)

Правило изменения весов, когда нейрон B является выходным нейроном, если выходная функция активации, f (.), является логистической функцией:

(8)

Дифференцируем уравнение (8) по аргументу x:

(9)

Но,

(10)

при вставке (10) в (9) получаем:

(11)

таким же образом для функции tanh

или для линейной функции (identity)

Так мы получаем:

Рассматривая второй случай:

B это скрытый нейрон

(12)

где O представляет выходной нейрон

(13)

где p это индекс, который охватывает все нейроны, включая нейрон B, который обеспечивает входные сигналы для выходного нейрона. Расширяем правую часть уравнения (13),

(14)

поскольку веса других нейронов WpO (p! = B) не имеют зависимости от OB.

При вставке (13) и (13) в (12):

(15)

Следовательно, теперь это выражается как функция от , вычисляемая, как описано в уравнении (6).

Полное правило изменения веса WAB между нейроном A, который посылает сигнал нейрону B, является таким:

(16)

где

где fo (.) и fh (.) это скрытые функции активации и выхода соответственно.

Пример

Выход из сети = [tanh(I ^T .WI)] . WO

HID = [Tanh(I ^T.WI)] ^T— выходы скрытых нейронов

ERROR = (выход из сети — нужный выход)

LR = коеффициент обучения

Обновления веса становятся

нейроном с линейным выходом

(17)

WO = WO — ( LR x ERROR x HID )

скрытым нейроном

(18)

WI = WI — { LR x [ERROR x WO x (1- HID ²)] . I ^T } ^T

Уравнения 17 и 18 показывают, что изменение веса — это входной сигнал, умноженный на локальный градиент. Это обеспечивает направление, величина которого также зависит от величины ошибки. Если берем направление без величины, все изменения будут одинакового размера, и это будет зависеть от темпа обучения. Вышеуказанный алгоритм является упрощенной версией, так как имеется только один выходной нейрон. В исходном алгоритме допускается более одного выхода, а уменьшение градиента минимизирует общую квадратную ошибку всех выходов. Есть много алгоритмов, которые произошли от исходного алгоритма для увеличения скорости обучения. Они кратко изложены в:

« Back Propagation family album» — Technical report C/TR96-05, Department of Computing, Macquarie University, NSW, Australia».

Обратное распространение — это элегантный и умелый алгоритм. Современные модели глубокого обучения, такие как сверточные нейронные сети, хотя и более совершенные, чем MLP, показали себя намного лучше в таких задачах, как классификация изображений и используют обратное распространение в качестве метода обучения, а также так называемые рекуррентные нейронные сети в условиях естественной языковой обработки, которые также используют этот алгоритм. Самое невероятное, что таким моделям удается находить ненаблюдаемые и непонятные закономерности для нас, людей, что удивляет и позволяет нам считать, что скоро мы получим помощь глубокого обучения для решения многих основных проблем, с которыми сталкивается человечество.

Применение модели MLP

Этот урок разделен на 5 частей:

1.       Инициализация сети.

2.       Прямое распространение (FeedForward).

3.       Обратное распространение.

4.       Обучение сети.

5.       Прогноз.

Для нашей разработки мы реализуем применение на чистом MQL. Нам уже известно, что существуют библиотеки на других языках, которые уже являются гораздо более сложными, и настоятельно рекомендуется использовать их из практических соображений и соображений производительности, но, как уже было сказано в начале, важно понимать внутреннее устройство таких библиотек, чтобы иметь больший контроль над всем процессом. Мы также не использовали ООП в нашем тесте, поскольку это всего лишь алгоритм для иллюстрации предыдущих уравнений, в нем нет необходимости. Однако в реальных случаях гораздо практичнее использовать ООП, поскольку оно обеспечивает масштабируемость проекта.

1. Инициализация сети

У каждого нейрона есть набор весов, которые необходимо поддерживать. Вес для каждого входного соединения и дополнительный вес для смещения.

Рекомендуем инициализировать веса сети для небольших случайных чисел. В этом случае мы будем использовать случайные числа в диапазоне от 0 до 1. Для этого мы создали функцию для генерации случайных чисел.

double random(void)
  {
   return ((double)rand())/(double)SHORT_MAX;
  }

Ниже представлена ​​функция под названием initialize_network(), которая создает веса нашей нейронной сети.

void forward_propagate(void)
  {


   int i = 0;
   for(i = 0; i<numHidden; i++)
     {
      hiddenVal[i] = 0.0;
      for(int j = 0; j<numInputs; j++)
        {
         hiddenVal[i] += (X[patNum][j] * weightsIH[j][i]);
        }
      hiddenVal[i] = tanh(hiddenVal[i]);
     }


   outPred = 0.0;
   for(i = 0; i<numHidden; i++)
     {
      outPred += hiddenVal[i] * weightsHO[i];
     }

   errThisPat = outPred - y[patNum];
  }

3. Обратное распространение

Алгоритм обратного распространения назван в честь способа обучения весов

Ошибка вычисляется между ожидаемыми выходами и выходными сигналами сети прямого распространения. Затем эти ошибки передаются обратно по сети от выходного слоя к скрытому слою, перекладывая ответственность за ошибку и обновляя веса по мере их поступления.

Математика ошибки обратного распространения была объяснена выше.

void backward_propagate_error(void)
  {

   for(int k = 0; k<numHidden; k++)
     {
      double weightChange = LR_HO * errThisPat * hiddenVal[k];
      weightsHO[k] -= weightChange;
      
      regularisationWeights(weightsHO[k]);
     }

   for(int i = 0; i<numHidden; i++)
     {
      for(int k = 0; k<numInputs; k++)
        {
         double x = 1 - pow(hiddenVal[i],2);
         x = x * weightsHO[i] * errThisPat * LR_IH;
         x = x * X[patNum][k];
         double weightChange = x;
         weightsIH[k][i] -= weightChange;
        }
     }
  }

метод regularizationWeights был создан только для регуляризации весов в диапазоне от -5 до 5.

void regularisationWeights(double &weight)
  {
   weight<-5?weight=-5:weight>5?weight=5:weight=weight;
  }

4. Обучение сети

Сеть обучается методом стохастического градиентного спуска.

Это включает в себя несколько итераций, раскрывающих набор обучающих данных в сети, и для каждой строки данных прямое распространение входных данных, обратное распространение ошибки и обновление весов сети.

//# Train a network for a fixed number of epochs
void train(void)
  {
   for(int j = 0; j <= numEpochs; j++)
     {
      for(int i = 0; i<numPatterns; i++)
        {
         
         patNum = rand()%numPatterns;
         
         
         forward_propagate();
         backward_propagate_error();
        }
      
      
      calcOverallError();
      printf("epoch = %d RMS Error = %f",j,RMSerror);
     }
  }

5. Прогноз

Делать прогнозы с помощью обученной нейронной сети довольно просто.

Мы уже видели, как распространить паттерн входа для получения выходных данных. Это все, что нам нужно сделать, чтобы осуществить прогноз. Мы можем использовать выходные значения напрямую как вероятность принадлежности паттерна к каждому выходному классу.

void predict(void)
  {
   for(int i = 0; i<numPatterns; i++)
     {
      patNum = i;
      forward_propagate();
      printf("real = %d predict = %f",y[patNum],outPred);
     }
  }

Полный пример можно найти в файле MLP_Script.mq5.

Заключение

Мы занимались вычислениями, задействованными в процессе развития нейрона перцептрона, а также сети нейронов перцептрона, называемой «multi layer perceptron, MLP». В данном процессе мы поняли, как осуществляется обучение этого типа сетей с использованием обратного распространения ошибки и градиентного спуска.

Обратное распространение ошибки — это способ обучения нейронной сети. Цели обратного распространения просты: отрегулировать каждый вес пропорционально тому, насколько он способствует общей ошибке. Если мы будем итеративно уменьшать ошибку каждого веса, в конце концов у нас будет ряд весов, которые дают хорошие прогнозы.

Обновление правила цепочки

Прямое распространение можно рассматривать как длинный ряд вложенных уравнений. Если вы так думаете о прямом распространении, то обратное распространение — это просто приложение правила цепочки (дифференцирования сложной функции) для поиска производных потерь по любой переменной во вложенном уравнении. С учётом функции прямого распространения:

f(x)=A(B(C(x)))

A, B, и C — функции активации на различных слоях. Пользуясь правилом цепочки, мы легко вычисляем производную f(x) по x:

f′(x)=f′(A)⋅A′(B)⋅B′(C)⋅C′(x)

Что насчёт производной относительно B? Чтобы найти производную по B, вы можете сделать вид, что B (C(x)) является константой, заменить ее переменной-заполнителем B, и продолжить поиск производной по B стандартно.

f′(B)=f′(A)⋅A′(B)

Этот простой метод распространяется на любую переменную внутри функции, и позволяет нам в точности определить влияние каждой переменной на общий результат.

Применение правила цепочки

Давайте используем правило цепочки для вычисления производной потерь по любому весу в сети. Правило цепочки поможет нам определить, какой вклад каждый вес вносит в нашу общую ошибку и направление обновления каждого веса, чтобы уменьшить ошибку. Вот уравнения, которые нужны, чтобы сделать прогноз и рассчитать общую ошибку или потерю:

Учитывая сеть, состоящую из одного нейрона, общая потеря нейросети может быть рассчитана как:

Cost=C(R(Z(XW)))

Используя правило цепочки, мы легко можем найти производную потери относительно веса W.

C′(W)=C′(R)⋅R′(Z)⋅Z′(W)=(y^−y)⋅R′(Z)⋅X

Теперь, когда у нас есть уравнение для вычисления производной потери по любому весу, давайте обратимся к примеру с нейронной сетью:

Какова производная от потери по Wo?

C′(WO)=C′(y^)⋅y^′(ZO)⋅Z′O(WO)=(y^−y)⋅R′(ZO)⋅H

А что насчет Wh? Чтобы узнать это, мы просто продолжаем возвращаться в нашу функцию, рекурсивно применяя правило цепочки, пока не доберемся до функции, которая имеет элемент Wh.

C′(Wh)=C′(y^)⋅O′(Zo)⋅Z′o(H)⋅H′(Zh)⋅Z′h(Wh)=(y^−y)⋅R′(Zo)⋅Wo⋅R′(Zh)⋅X

И просто забавы ради, что, если в нашей сети было бы 10 скрытых слоев. Что такое производная потери для первого веса w1?

C(w1)=(dC/dy^)⋅(dy^/dZ11)⋅(dZ11/dH10)⋅(dH10/dZ10)⋅(dZ10/dH9)⋅(dH9/dZ9)⋅(dZ9/dH8)⋅(dH8/dZ8)⋅(dZ8/dH7)⋅(dH7/dZ7)⋅(dZ7/dH6)⋅(dH6/dZ6)⋅(dZ6/dH5)⋅(dH5/dZ5)⋅(dZ5/dH4)⋅(dH4/dZ4)⋅(dZ4/dH3)⋅(dH3/dZ3)⋅(dZ3/dH2)⋅(dH2/dZ2)⋅(dZ2/dH1)⋅(dH1/dZ1)⋅(dZ1/dW1)

Заметили закономерность? Количество вычислений, необходимых для расчёта производных потерь, увеличивается по мере углубления нашей сети. Также обратите внимание на избыточность в наших расчетах производных. Производная потерь каждого слоя добавляет два новых элемента к элементам, которые уже были вычислены слоями над ним. Что, если бы был какой-то способ сохранить нашу работу и избежать этих повторяющихся вычислений?

Сохранение работы с мемоизацией

Мемоизация — это термин в информатике, имеющий простое значение: не пересчитывать одно и то же снова и снова. В мемоизации мы сохраняем ранее вычисленные результаты, чтобы избежать пересчета одной и той же функции. Это удобно для ускорения рекурсивных функций, одной из которых является обратное распространение. Обратите внимание на закономерность в уравнениях производных приведённых ниже.

Каждый из этих слоев пересчитывает одни и те же производные! Вместо того, чтобы выписывать длинные уравнения производных для каждого веса, можно использовать мемоизацию, чтобы сохранить нашу работу, так как мы возвращаем ошибку через сеть. Для этого мы определяем 3 уравнения (ниже), которые вместе выражают в краткой форме все вычисления, необходимые для обратного распространения. Математика та же, но уравнения дают хорошее сокращение, которое мы можем использовать, чтобы отслеживать те вычисления, которые мы уже выполнили, и сохранять нашу работу по мере продвижения назад по сети.

Для начала мы вычисляем ошибку выходного слоя и передаем результат на скрытый слой перед ним. После вычисления ошибки скрытого слоя мы передаем ее значение обратно на предыдущий скрытый слой. И так далее и тому подобное. Возвращаясь назад по сети, мы применяем 3-ю формулу на каждом слое, чтобы вычислить производную потерь по весам этого слоя. Эта производная говорит нам, в каком направлении регулировать наши веса, чтобы уменьшить общие потери.

Примечание: термин ошибка слоя относится к производной потерь по входу в слой. Он отвечает на вопрос: как изменяется выход функции потерь при изменении входа в этот слой?

Ошибка выходного слоя

Для расчета ошибки выходного слоя необходимо найти производную потерь по входу выходному слою, Zo. Это отвечает на вопрос: как веса последнего слоя влияют на общую ошибку в сети?  Тогда производная такова:

C′(Zo)=(y^−y)⋅R′(Zo)

Чтобы упростить запись, практикующие МО обычно заменяют последовательность (y^−y)∗R'(Zo) термином Eo. Итак, наша формула для ошибки выходного слоя равна:

Eo=(y^−y)⋅R′(Zo)

Ошибка скрытого слоя

Для вычисления ошибки скрытого слоя нужно найти производную потерь по входу скрытого слоя, Zh.

C′(Zh)=(y^−y)⋅R′(Zo)⋅Wo⋅R′(Zh)

Далее мы можем поменять местами элемент Eo выше, чтобы избежать дублирования и создать новое упрощенное уравнение для ошибки скрытого слоя:

Eh=Eo⋅Wo⋅R′(Zh)

Эта формула лежит в основе обратного распространения. Мы вычисляем ошибку текущего слоя и передаем взвешенную ошибку обратно на предыдущий слой, продолжая процесс, пока не достигнем нашего первого скрытого слоя. Попутно мы обновляем веса, используя производную потерь по каждому весу.

Производная потерь по любому весу

Вернемся к нашей формуле для производной потерь по весу выходного слоя Wo.

C′(WO)=(y^−y)⋅R′(ZO)⋅H

Мы знаем, что можем заменить первую часть уравнением для ошибки выходного слоя Eh. H представляет собой активацию скрытого слоя.

C′(Wo)=Eo⋅H

Таким образом, чтобы найти производную потерь по любому весу в нашей сети, мы просто умножаем ошибку соответствующего слоя на его вход (выход предыдущего слоя).

C′(w)=CurrentLayerError⋅CurrentLayerInput

Примечание: вход относится к активации с предыдущего слоя, а не к взвешенному входу, Z.

Подводя итог

Вот последние 3 уравнения, которые вместе образуют основу обратного распространения.

Вот процесс, визуализированный с использованием нашего примера нейронной сети выше:

Обратное распространение: пример кода

def relu_prime(z):
if z > 0:
return 1
return 0

def cost(yHat, y):
return 0.5 * (yHat - y)**2

def cost_prime(yHat, y):
return yHat - y

def backprop(x, y, Wh, Wo, lr):
yHat = feed_forward(x, Wh, Wo)

# Layer Error
Eo = (yHat - y) * relu_prime(Zo)
Eh = Eo * Wo * relu_prime(Zh)

# Cost derivative for weights
dWo = Eo * H
dWh = Eh * x

# Update weights
Wh -= lr * dWh
Wo -= lr * dWo

Нейронные сети обучаются с помощью тех или иных модификаций градиентного спуска, а чтобы применять его, нужно уметь эффективно вычислять градиенты функции потерь по всем обучающим параметрам. Казалось бы, для какого-нибудь запутанного вычислительного графа это может быть очень сложной задачей, но на помощь спешит метод обратного распространения ошибки.

Открытие метода обратного распространения ошибки стало одним из наиболее значимых событий в области искусственного интеллекта. В актуальном виде он был предложен в 1986 году Дэвидом Э. Румельхартом, Джеффри Э. Хинтоном и Рональдом Дж. Вильямсом и независимо и одновременно красноярскими математиками С. И. Барцевым и В. А. Охониным. С тех пор для нахождения градиентов параметров нейронной сети используется метод вычисления производной сложной функции, и оценка градиентов параметров сети стала хоть сложной инженерной задачей, но уже не искусством. Несмотря на простоту используемого математического аппарата, появление этого метода привело к значительному скачку в развитии искусственных нейронных сетей.

Суть метода можно записать одной формулой, тривиально следующей из формулы производной сложной функции: если $f(x) = g_m(g_{m-1}(\ldots (g_1(x)) \ldots))$, то $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g_m}{\partial g_{m-1}}\frac{\partial g_{m-1}}{\partial g_{m-2}}\ldots \frac{\partial g_2}{\partial g_1}\frac{\partial g_1}{\partial x}$. Уже сейчас мы видим, что градиенты можно вычислять последовательно, в ходе одного обратного прохода, начиная с $\frac{\partial g_m}{\partial g_{m-1}}$ и умножая каждый раз на частные производные предыдущего слоя.

Backpropagation в одномерном случае

В одномерном случае всё выглядит особенно просто. Пусть $w_0$ — переменная, по которой мы хотим продифференцировать, причём сложная функция имеет вид

$$f(w_0) = g_m(g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots)),$$

где все $g_i$ скалярные. Тогда

$$f'(w_0) = g_m'(g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots))\cdot g’_{m-1}(g_{m-2}(\ldots g_1(w_0)\ldots))\cdot\ldots \cdot g’_1(w_0)$$

Суть этой формулы такова. Если мы уже совершили forward pass, то есть уже знаем

$$g_1(w_0), g_2(g_1(w_0)),\ldots,g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots),$$

то мы действуем следующим образом:

• берём производную $g_m$ в точке $g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots)$;

• умножаем на производную $g_{m-1}$ в точке $g_{m-2}(\ldots g_1(w_0)\ldots)$;

• и так далее, пока не дойдём до производной $g_1$ в точке $w_0$.

Проиллюстрируем это на картинке, расписав по шагам дифференцирование по весам $w_i$ функции потерь логистической регрессии на одном объекте (то есть для батча размера 1):

Собирая все множители вместе, получаем:

$$\frac{\partial f}{\partial w_0} = (-y)\cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}\cdot\frac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial w_1} = x_1\cdot(-y)\cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}\cdot\frac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial w_2} = x_2\cdot(-y)\cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}\cdot\frac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

Таким образом, мы видим, что сперва совершается forward pass для вычисления всех промежуточных значений (и да, все промежуточные представления нужно будет хранить в памяти), а потом запускается backward pass, на котором в один проход вычисляются все градиенты.

Почему же нельзя просто пойти и начать везде вычислять производные?

В главе, посвящённой матричным дифференцированиям, мы поднимаем вопрос о том, что вычислять частные производные по отдельности — это зло, лучше пользоваться матричными вычислениями. Но есть и ещё одна причина: даже и с матричной производной в принципе не всегда хочется иметь дело. Рассмотрим простой пример. Допустим, что $X^r$ и $X^{r+1}$ — два последовательных промежуточных представления $N\times M$ и $N\times K$, связанных функцией $X^{r+1} = f^{r+1}(X^r)$. Предположим, что мы как-то посчитали производную $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X^{r+1}_{ij}}$ функции потерь $\mathcal{L}$, тогда

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X^{r}_{st}} = \sum_{i,j}\frac{\partial f^{r+1}_{ij}}{\partial X^{r}_{st}}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X^{r+1}_{ij}}$$

И мы видим, что, хотя оба градиента $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{ij}^{r+1}}$ и $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{st}^{r}}$ являются просто матрицами, в ходе вычислений возникает «четырёхмерный кубик» $\frac{\partial f_{ij}^{r+1}}{\partial X_{st}^{r}}$, даже хранить который весьма болезненно: уж больно много памяти он требует ($N^2MK$ по сравнению с безобидными $NM + NK$, требуемыми для хранения градиентов). Поэтому хочется промежуточные производные $\frac{\partial f^{r+1}}{\partial X^{r}}$ рассматривать не как вычисляемые объекты $\frac{\partial f_{ij}^{r+1}}{\partial X_{st}^{r}}$, а как преобразования, которые превращают $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{ij}^{r+1}}$ в $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{st}^{r}}$. Целью следующих глав будет именно это: понять, как преобразуется градиент в ходе error backpropagation при переходе через тот или иной слой.

  Вы спросите себя: надо ли мне сейчас пойти и прочитать главу учебника про матричное дифференцирование?

Встречный вопрос. Найдите производную функции по вектору $x$:

$$f(x) = x^TAx,\ A\in Mat_{n}{\mathbb{R}}\text{ — матрица размера }n\times n$$

А как всё поменяется, если $A$ тоже зависит от $x$? Чему равен градиент функции, если $A$ является скаляром? Если вы готовы прямо сейчас взять ручку и бумагу и посчитать всё, то вам, вероятно, не надо читать про матричные дифференцирования. Но мы советуем всё-таки заглянуть в эту главу, если обозначения, которые мы будем дальше использовать, покажутся вам непонятными: единой нотации для матричных дифференцирований человечество пока, увы, не изобрело, и переводить с одной на другую не всегда легко.

Мы же сразу перейдём к интересующей нас вещи: к вычислению градиентов сложных функций.

Градиент сложной функции

Напомним, что формула производной сложной функции выглядит следующим образом:

$$\left[D_{x_0} (\color{#5002A7}{u} \circ \color{#4CB9C0}{v}) \right](h) = \color{#5002A7}{\left[D_{v(x_0)} u \right]} \left( \color{#4CB9C0}{\left[D_{x_0} v\right]} (h)\right)$$

Теперь разберёмся с градиентами. Пусть $f(x) = g(h(x))$ – скалярная функция. Тогда

$$\left[D_{x_0} f \right] (x-x_0) = \langle\nabla_{x_0} f, x-x_0\rangle.$$

С другой стороны,

$$\left[D_{h(x_0)} g \right] \left(\left[D_{x_0}h \right] (x-x_0)\right) = \langle\nabla_{h_{x_0}} g, \left[D_{x_0} h\right] (x-x_0)\rangle = \langle\left[D_{x_0} h\right]^* \nabla_{h(x_0)} g, x-x_0\rangle.$$

То есть $\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f} = \color{#348FEA}{\left[D_{x_0} h \right]}^* \color{#FFC100}{\nabla_{h(x_0)}}g$ — применение сопряжённого к $D_{x_0} h$ линейного отображения к вектору $\nabla_{h(x_0)} g$.

Эта формула — сердце механизма обратного распространения ошибки. Она говорит следующее: если мы каким-то образом получили градиент функции потерь по переменным из некоторого промежуточного представления $X^k$ нейронной сети и при этом знаем, как преобразуется градиент при проходе через слой $f^k$ между $X^{k-1}$ и $X^k$ (то есть как выглядит сопряжённое к дифференциалу слоя между ними отображение), то мы сразу же находим градиент и по переменным из $X^{k-1}$:

Таким образом слой за слоем мы посчитаем градиенты по всем $X^i$ вплоть до самых первых слоёв.

Далее мы разберёмся, как именно преобразуются градиенты при переходе через некоторые распространённые слои.

Градиенты для типичных слоёв

Рассмотрим несколько важных примеров.

Примеры

1. $f(x) = u(v(x))$, где $x$ — вектор, а $v(x)$ – поэлементное применение $v$:

   $$v\begin{pmatrix}
   x_1 \\
   \vdots\\
   x_N
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   v(x_1)\\
   \vdots\\
   v(x_N)
   \end{pmatrix}$$

   Тогда, как мы знаем,

   $$\left[D_{x_0} f\right] (h) = \langle\nabla_{x_0} f, h\rangle = \left[\nabla_{x_0} f\right]^T h.$$

   Следовательно,

   $$
   \left[D_{v(x_0)} u\right] \left( \left[ D_{x_0} v\right] (h)\right) = \left[\nabla_{v(x_0)} u\right]^T \left(v'(x_0) \odot h\right) =\\
   $$

   $$
   = \sum\limits_i \left[\nabla_{v(x_0)} u\right]_i v'(x_{0i})h_i
   = \langle\left[\nabla_{v(x_0)} u\right] \odot v'(x_0), h\rangle.
   ,$$

   где $\odot$ означает поэлементное перемножение. Окончательно получаем

   $$\color{#348FEA}{\nabla_{x_0} f = \left[\nabla_{v(x_0)}u\right] \odot v'(x_0) = v'(x_0) \odot \left[\nabla_{v(x_0)} u\right]}$$

   Отметим, что если $x$ и $h(x)$ — это просто векторы, то мы могли бы вычислять всё и по формуле $\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_j\big(\frac{\partial z_j}{\partial x_i}\big)\cdot\big(\frac{\partial h}{\partial z_j}\big)$. В этом случае матрица $\big(\frac{\partial z_j}{\partial x_i}\big)$ была бы диагональной (так как $z_j$ зависит только от $x_j$: ведь $h$ берётся поэлементно), и матричное умножение приводило бы к тому же результату. Однако если $x$ и $h(x)$ — матрицы, то $\big(\frac{\partial z_j}{\partial x_i}\big)$ представлялась бы уже «четырёхмерным кубиком», и работать с ним было бы ужасно неудобно.

2. $f(X) = g(XW)$, где $X$ и $W$ — матрицы. Как мы знаем,

   $$\left[D_{X_0} f \right] (X-X_0) = \text{tr}, \left(\left[\nabla_{X_0} f\right]^T (X-X_0)\right).$$

   Тогда

   $$
   \left[ D_{X_0W} g \right] \left(\left[D_{X_0} \left( \ast W\right)\right] (H)\right) =
   \left[ D_{X_0W} g \right] \left(HW\right)=\\
   $$ $$
   = \text{tr}\, \left( \left[\nabla_{X_0W} g \right]^T \cdot (H) W \right) =\\
   $$ $$
   =
   \text{tr} \, \left(W \left[\nabla_{X_0W} (g) \right]^T \cdot (H)\right) = \text{tr} \, \left( \left[\left[\nabla_{X_0W} g\right] W^T\right]^T (H)\right)
   $$

   Здесь через $\ast W$ мы обозначили отображение $Y \hookrightarrow YW$, а в предпоследнем переходе использовалось следующее свойство следа:

   $$
   \text{tr} , (A B C) = \text{tr} , (C A B),
   $$

   где $A, B, C$ — произвольные матрицы подходящих размеров (то есть допускающие перемножение в обоих приведённых порядках). Следовательно, получаем

   $$\color{#348FEA}{\nabla_{X_0} f = \left[\nabla_{X_0W} (g) \right] \cdot W^T}$$

3. $f(W) = g(XW)$, где $W$ и $X$ — матрицы. Для приращения $H = W — W_0$ имеем

   $$
   \left[D_{W_0} f \right] (H) = \text{tr} , \left( \left[\nabla_{W_0} f \right]^T (H)\right)
   $$

   Тогда

   $$
   \left[D_{XW_0} g \right] \left( \left[D_{W_0} \left(X \ast\right) \right] (H)\right) = \left[D_{XW_0} g \right] \left( XH \right) = \
   $$ $$
   = \text{tr} , \left( \left[\nabla_{XW_0} g \right]^T \cdot X (H)\right) =
   \text{tr}, \left(\left[X^T \left[\nabla_{XW_0} g \right] \right]^T (H)\right)
   $$

   Здесь через $X \ast$ обозначено отображение $Y \hookrightarrow XY$. Значит,

   $$\color{#348FEA}{\nabla_{X_0} f = X^T \cdot \left[\nabla_{XW_0} (g)\right]}$$

4. $f(X) = g(softmax(X))$, где $X$ — матрица $N\times K$, а $softmax$ — функция, которая вычисляется построчно, причём для каждой строки $x$

   $$softmax(x) = \left(\frac{e^{x_1}}{\sum_te^{x_t}},\ldots,\frac{e^{x_K}}{\sum_te^{x_t}}\right)$$

   В этом примере нам будет удобно воспользоваться формализмом с частными производными. Сначала вычислим $\frac{\partial s_l}{\partial x_j}$ для одной строки $x$, где через $s_l$ мы для краткости обозначим $softmax(x)_l = \frac{e^{x_l}} {\sum_te^{x_t}}$. Нетрудно проверить, что

   $$\frac{\partial s_l}{\partial x_j} = \begin{cases}
   s_j(1 — s_j),\ & j = l,\
   -s_ls_j,\ & j\ne l
   \end{cases}$$

   Так как softmax вычисляется независимо от каждой строчки, то

   $$\frac{\partial s_{rl}}{\partial x_{ij}} = \begin{cases}
   s_{ij}(1 — s_{ij}),\ & r=i, j = l,\
   -s_{il}s_{ij},\ & r = i, j\ne l,\
   0,\ & r\ne i
   \end{cases},$$

   где через $s_{rl}$ мы обозначили для краткости $softmax(X)_{rl}$.

   Теперь пусть $\nabla_{rl} = \nabla g = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial s_{rl}}$ (пришедший со следующего слоя, уже известный градиент). Тогда

   $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{ij}} = \sum_{r,l}\frac{\partial s_{rl}}{\partial x_{ij}} \nabla_{rl}$$

   Так как $\frac{\partial s_{rl}}{\partial x_{ij}} = 0$ при $r\ne i$, мы можем убрать суммирование по $r$:

   $$\ldots = \sum_{l}\frac{\partial s_{il}}{\partial x_{ij}} \nabla_{il} = -s_{i1}s_{ij}\nabla_{i1} — \ldots + s_{ij}(1 — s_{ij})\nabla_{ij}-\ldots — s_{iK}s_{ij}\nabla_{iK} =$$

   $$= -s_{ij}\sum_t s_{it}\nabla_{it} + s_{ij}\nabla_{ij}$$

   Таким образом, если мы хотим продифференцировать $f$ в какой-то конкретной точке $X_0$, то, смешивая математические обозначения с нотацией Python, мы можем записать:

   $$\begin{multline*}
   \color{#348FEA}{\nabla_{X_0}f =}\\
   \color{#348FEA}{= -softmax(X_0) \odot \text{sum}\left(
   softmax(X_0)\odot\nabla_{softmax(X_0)}g, \text{ axis = 1}
   \right) +}\\
   \color{#348FEA}{softmax(X_0)\odot \nabla_{softmax(X_0)}g}
   \end{multline*}
   $$

Backpropagation в общем виде

Подытожим предыдущее обсуждение, описав алгоритм error backpropagation (алгоритм обратного распространения ошибки). Допустим, у нас есть текущие значения весов $W^i_0$ и мы хотим совершить шаг SGD по мини-батчу $X$. Мы должны сделать следующее:

1. Совершить forward pass, вычислив и запомнив все промежуточные представления $X = X^0, X^1, \ldots, X^m = \widehat{y}$.
2. Вычислить все градиенты с помощью backward pass.
3. С помощью полученных градиентов совершить шаг SGD.

Проиллюстрируем алгоритм на примере двуслойной нейронной сети со скалярным output’ом. Для простоты опустим свободные члены в линейных слоях.

Обучаемые параметры – матрицы $U$ и $W$. Как найти градиенты по ним в точке $U_0, W_0$?

$$\nabla_{W_0}\mathcal{L} = \nabla_{W_0}{\left({\vphantom{\frac12}\mathcal{L}\circ h\circ\left[W\mapsto g(XU_0)W\right]}\right)}=$$

$$=g(XU_0)^T\nabla_{g(XU_0)W_0}(\mathcal{L}\circ h) = \underbrace{g(XU_0)^T}_{k\times N}\cdot
\left[\vphantom{\frac12}\underbrace{h’\left(\vphantom{\int_0^1}g(XU_0)W_0\right)}_{N\times 1}\odot
\underbrace{\nabla_{h\left(\vphantom{\int_0^1}g(XU_0)W_0\right)}\mathcal{L}}_{N\times 1}\right]$$

Итого матрица $k\times 1$, как и $W_0$

$$\nabla_{U_0}\mathcal{L} = \nabla_{U_0}\left(\vphantom{\frac12}
\mathcal{L}\circ h\circ\left[Y\mapsto YW_0\right]\circ g\circ\left[ U\mapsto XU\right]
\right)=$$

$$=X^T\cdot\nabla_{XU^0}\left(\vphantom{\frac12}\mathcal{L}\circ h\circ [Y\mapsto YW_0]\circ g\right) =$$

$$=X^T\cdot\left(\vphantom{\frac12}g'(XU_0)\odot
\nabla_{g(XU_0)}\left[\vphantom{\in_0^1}\mathcal{L}\circ h\circ[Y\mapsto YW_0\right]
\right)$$

$$=\ldots = \underset{D\times N}{X^T}\cdot\left(\vphantom{\frac12}
\underbrace{g'(XU_0)}_{N\times K}\odot
\underbrace{\left[\vphantom{\int_0^1}\left(
\underbrace{h’\left(\vphantom{\int_0^1}g(XU_0)W_0\right)}_{N\times1}\odot\underbrace{\nabla_{h(\vphantom{\int_0^1}g\left(XU_0\right)W_0)}\mathcal{L}}_{N\times 1}
\right)\cdot \underbrace{W^T}_{1\times K}\right]}_{N\times K}
\right)$$

Итого $D\times K$, как и $U_0$

Схематически это можно представить следующим образом:

Backpropagation для двуслойной нейронной сети

Подробнее о предыдущих вычисленияхЕсли вы не уследили за вычислениями в предыдущем примере, давайте более подробно разберём его чуть более конкретную версию (для $g = h = \sigma$).

Рассмотрим двуслойную нейронную сеть для классификации. Мы уже встречали ее ранее при рассмотрении линейно неразделимой выборки. Предсказания получаются следующим образом:

$$
\widehat{y} = \sigma(X^1 W^2) = \sigma\Big(\big(\sigma(X^0 W^1 )\big) W^2 \Big).
$$

Пусть $W^1_0$ и $W^2_0$ — текущее приближение матриц весов. Мы хотим совершить шаг по градиенту функции потерь, и для этого мы должны вычислить её градиенты по $W^1$ и $W^2$ в точке $(W^1_0, W^2_0)$.

Прежде всего мы совершаем forward pass, в ходе которого мы должны запомнить все промежуточные представления: $X^1 = X^0 W^1_0$, $X^2 = \sigma(X^0 W^1_0)$, $X^3 = \sigma(X^0 W^1_0) W^2_0$, $X^4 = \sigma(\sigma(X^0 W^1_0) W^2_0) = \widehat{y}$. Они понадобятся нам дальше.

Для полученных предсказаний вычисляется значение функции потерь:

$$
l = \mathcal{L}(y, \widehat{y}) = y \log(\widehat{y}) + (1-y) \log(1-\widehat{y}).
$$

Дальше мы шаг за шагом будем находить производные по переменным из всё более глубоких слоёв.

1. Градиент $\mathcal{L}$ по предсказаниям имеет вид

   $$
   \nabla_{\widehat{y}}l = \frac{y}{\widehat{y}} — \frac{1 — y}{1 — \widehat{y}} = \frac{y — \widehat{y}}{\widehat{y} (1 — \widehat{y})},
   $$

   где, напомним, $ \widehat{y} = \sigma(X^3) = \sigma\Big(\big(\sigma(X^0 W^1_0 )\big) W^2_0 \Big)$ (обратите внимание на то, что $W^1_0$ и $W^2_0$ тут именно те, из которых мы делаем градиентный шаг).

2. Следующий слой — поэлементное взятие $\sigma$. Как мы помним, при переходе через него градиент поэлементно умножается на производную $\sigma$, в которую подставлено предыдущее промежуточное представление:

   $$
   \nabla_{X^3}l = \sigma'(X^3)\odot\nabla_{\widehat{y}}l = \sigma(X^3)\left( 1 — \sigma(X^3) \right) \odot \frac{y — \widehat{y}}{\widehat{y} (1 — \widehat{y})} =
   $$

   $$
   = \sigma(X^3)\left( 1 — \sigma(X^3) \right) \odot \frac{y — \sigma(X^3)}{\sigma(X^3) (1 — \sigma(X^3))} =
   y — \sigma(X^3)
   $$

3. Следующий слой — умножение на $W^2_0$. В этот момент мы найдём градиент как по $W^2$, так и по $X^2$. При переходе через умножение на матрицу градиент, как мы помним, умножается с той же стороны на транспонированную матрицу, а значит:

   $$
   \color{blue}{\nabla_{W^2_0}l} = (X^2)^T\cdot \nabla_{X^3}l = (X^2)^T\cdot(y — \sigma(X^3)) =
   $$

   $$
   = \color{blue}{\left( \sigma(X^0W^1_0) \right)^T \cdot (y — \sigma(\sigma(X^0W^1_0)W^2_0))}
   $$

   Аналогичным образом

   $$
   \nabla_{X^2}l = \nabla_{X^3}l\cdot (W^2_0)^T = (y — \sigma(X^3))\cdot (W^2_0)^T =
   $$

   $$
   = (y — \sigma(X^2W_0^2))\cdot (W^2_0)^T
   $$

4. Следующий слой — снова взятие $\sigma$.

   $$
   \nabla_{X^1}l = \sigma'(X^1)\odot\nabla_{X^2}l = \sigma(X^1)\left( 1 — \sigma(X^1) \right) \odot \left( (y — \sigma(X^2W_0^2))\cdot (W^2_0)^T \right) =
   $$

   $$
   = \sigma(X^1)\left( 1 — \sigma(X^1) \right) \odot\left( (y — \sigma(\sigma(X^1)W_0^2))\cdot (W^2_0)^T \right)
   $$

5. Наконец, последний слой — это умножение $X^0$ на $W^1_0$. Тут мы дифференцируем только по $W^1$:

   $$
   \color{blue}{\nabla_{W^1_0}l} = (X^0)^T\cdot \nabla_{X^1}l = (X^0)^T\cdot \big( \sigma(X^1) \left( 1 — \sigma(X^1) \right) \odot (y — \sigma(\sigma(X^1)W_0^2))\cdot (W^2_0)^T\big) =
   $$

   $$
   = \color{blue}{(X^0)^T\cdot\big(\sigma(X^0W^1_0)\left( 1 — \sigma(X^0W^1_0) \right) \odot (y — \sigma(\sigma(X^0W^1_0)W_0^2))\cdot (W^2_0)^T\big) }
   $$

Итоговые формулы для градиентов получились страшноватыми, но они были получены друг из друга итеративно с помощью очень простых операций: матричного и поэлементного умножения, в которые порой подставлялись значения заранее вычисленных промежуточных представлений.

Автоматизация и autograd

Итак, чтобы нейросеть обучалась, достаточно для любого слоя $f^k: X^{k-1}\mapsto X^k$ с параметрами $W^k$ уметь:

• превращать $\nabla_{X^k_0}\mathcal{L}$ в $\nabla_{X^{k-1}_0}\mathcal{L}$ (градиент по выходу в градиент по входу);
• считать градиент по его параметрам $\nabla_{W^k_0}\mathcal{L}$.

При этом слою совершенно не надо знать, что происходит вокруг. То есть слой действительно может быть запрограммирован как отдельная сущность, умеющая внутри себя делать forward pass и backward pass, после чего слои механически, как кубики в конструкторе, собираются в большую сеть, которая сможет работать как одно целое.

Более того, во многих случаях авторы библиотек для глубинного обучения уже о вас позаботились и создали средства для автоматического дифференцирования выражений (autograd). Поэтому, программируя нейросеть, вы почти всегда можете думать только о forward-проходе, прямом преобразовании данных, предоставив библиотеке дифференцировать всё самостоятельно. Это делает код нейросетей весьма понятным и выразительным (да, в реальности он тоже бывает большим и страшным, но сравните на досуге код какой-нибудь разухабистой нейросети и код градиентного бустинга на решающих деревьях и почувствуйте разницу).

Но это лишь начало

Метод обратного распространения ошибки позволяет удобно посчитать градиенты, но дальше с ними что-то надо делать, и старый добрый SGD едва ли справится с обучением современной сетки. Так что же делать? О некоторых приёмах мы расскажем в следующей главе.