Произведение коэффициента стьюдента на ошибку генерального среднего называют

Коэффициенты Стьюдента

Полезное

This article is about the mathematics of Student’s t-distribution. For its uses in statistics, see Student’s t-test.

Student’s t

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	degrees of freedom (real)
Support
PDF
CDF	where 2F1 is the hypergeometric function
Mean	0 for , otherwise undefined
Median	0
Mode	0
Variance	for , ∞ for , otherwise undefined
Skewness	0 for , otherwise undefined
Ex. kurtosis	for , ∞ for , otherwise undefined
Entropy	ψ: digamma function, B: beta function
MGF	undefined
CF	for : modified Bessel function of the second kind[1]

In probability and statistics, Student’s t-distribution (or simply the t-distribution) is any member of a family of continuous probability distributions that arise when estimating the mean of a normally distributed population in situations where the sample size is small and the population’s standard deviation is unknown. It was developed by English statistician William Sealy Gosset under the pseudonym «Student».

The t-distribution plays a role in a number of widely used statistical analyses, including Student’s t-test for assessing the statistical significance of the difference between two sample means, the construction of confidence intervals for the difference between two population means, and in linear regression analysis. Student’s t-distribution also arises in the Bayesian analysis of data from a normal family.

If we take a sample of observations from a normal distribution, then the t-distribution with degrees of freedom can be defined as the distribution of the location of the sample mean relative to the true mean, divided by the sample standard deviation, after multiplying by the standardizing term . In this way, the t-distribution can be used to construct a confidence interval for the true mean.

The t-distribution is symmetric and bell-shaped, like the normal distribution. However, the t-distribution has heavier tails, meaning that it is more prone to producing values that fall far from its mean. This makes it useful for understanding the statistical behavior of certain types of ratios of random quantities, in which variation in the denominator is amplified and may produce outlying values when the denominator of the ratio falls close to zero. The Student’s t-distribution is a special case of the generalized hyperbolic distribution.

History and etymology[edit]

In statistics, the t-distribution was first derived as a posterior distribution in 1876 by Helmert^[2][3][4] and Lüroth.^[5][6][7] The t-distribution also appeared in a more general form as Pearson Type IV distribution in Karl Pearson’s 1895 paper.^[8]

In the English-language literature, the distribution takes its name from William Sealy Gosset’s 1908 paper in Biometrika under the pseudonym «Student».^[9] One version of the origin of the pseudonym is that Gosset’s employer preferred staff to use pen names when publishing scientific papers instead of their real name, so he used the name «Student» to hide his identity. Another version is that Guinness did not want their competitors to know that they were using the t-test to determine the quality of raw material.^[10][11]

Gosset worked at the Guinness Brewery in Dublin, Ireland, and was interested in the problems of small samples – for example, the chemical properties of barley where sample sizes might be as few as 3. Gosset’s paper refers to the distribution as the «frequency distribution of standard deviations of samples drawn from a normal population». It became well known through the work of Ronald Fisher, who called the distribution «Student’s distribution» and represented the test value with the letter t.^[12][13]

How Student’s distribution arises from sampling[edit]

Let be independently and identically drawn from the distribution , i.e. this is a sample of size from a normally distributed population with expected mean value and variance .

Let

be the sample mean and let

be the (Bessel-corrected) sample variance. Then the random variable

has a standard normal distribution (i.e. normal with expected mean 0 and variance 1), and the random variable

i.e where has been substituted for , has a Student’s t-distribution with degrees of freedom. Since has replaced the only unobservable quantity in this expression is so this can be used to derive confidence intervals for The numerator and the denominator in the preceding expression are statistically independent random variables despite being based on the same sample . This can be seen by observing that and recalling that and are both linear combinations of the same set of i.i.d. normally distributed random variables.

Definition[edit]

Probability density function[edit]

Student’s t-distribution has the probability density function (PDF) given by

where is the number of degrees of freedom and is the gamma function. This may also be written as

where B is the Beta function. In particular for integer valued degrees of freedom we have:

For even,

For odd,

The probability density function is symmetric, and its overall shape resembles the bell shape of a normally distributed variable with mean 0 and variance 1, except that it is a bit lower and wider. As the number of degrees of freedom grows, the t-distribution approaches the normal distribution with mean 0 and variance 1. For this reason is also known as the normality parameter.^[14]

The following images show the density of the t-distribution for increasing values of . The normal distribution is shown as a blue line for comparison. Note that the t-distribution (red line) becomes closer to the normal distribution as increases.

Cumulative distribution function[edit]

The cumulative distribution function (CDF) can be written in terms of I, the regularized
incomplete beta function. For t > 0,^[15]

where

Other values would be obtained by symmetry. An alternative formula, valid for , is^[15]

where ₂F₁ is a particular case of the hypergeometric function.

For information on its inverse cumulative distribution function, see quantile function § Student’s t-distribution.

Special cases[edit]

Certain values of give a simple form for Student’s t-distribution.

	PDF	CDF	notes
1			See Cauchy distribution
2
3
4
5
			See Normal distribution, Error function

How the t-distribution arises[edit]

Sampling distribution[edit]

Let be the numbers observed in a sample from a continuously distributed population with expected value . The sample mean and sample variance are given by:

The resulting t-value is

The t-distribution with degrees of freedom is the sampling distribution of the t-value when the samples consist of independent identically distributed observations from a normally distributed population. Thus for inference purposes t is a useful «pivotal quantity» in the case when the mean and variance are unknown population parameters, in the sense that the t-value has then a probability distribution that depends on neither nor .

Bayesian inference[edit]

In Bayesian statistics, a (scaled, shifted) t-distribution arises as the marginal distribution of the unknown mean of a normal distribution, when the dependence on an unknown variance has been marginalized out:^[16]

where stands for the data , and represents any other information that may have been used to create the model. The distribution is thus the compounding of the conditional distribution of given the data and with the marginal distribution of given the data.

With data points, if uninformative, or flat, the location prior can be taken for μ, and the scale prior can be taken for σ², then Bayes’ theorem gives

a normal distribution and a scaled inverse chi-squared distribution respectively, where and

The marginalization integral thus becomes

This can be evaluated by substituting , where , giving

so

But the z integral is now a standard Gamma integral, which evaluates to a constant, leaving

This is a form of the t-distribution with an explicit scaling and shifting that will be explored in more detail in a further section below. It can be related to the standardized t-distribution by the substitution

The derivation above has been presented for the case of uninformative priors for and ; but it will be apparent that any priors that lead to a normal distribution being compounded with a scaled inverse chi-squared distribution will lead to a t-distribution with scaling and shifting for , although the scaling parameter corresponding to above will then be influenced both by the prior information and the data, rather than just by the data as above.

Characterization[edit]

As the distribution of a test statistic[edit]

Student’s t-distribution with degrees of freedom can be defined as the distribution of the random variable T with^[15][17]

where

• Z is a standard normal with expected value 0 and variance 1;
• V has a chi-squared distribution (χ²-distribution) with degrees of freedom;
• Z and V are independent;

A different distribution is defined as that of the random variable defined, for a given constant μ, by

This random variable has a noncentral t-distribution with noncentrality parameter μ. This distribution is important in studies of the power of Student’s t-test.

Derivation[edit]

Suppose X₁, …, X_n are independent realizations of the normally-distributed, random variable X, which has an expected value μ and variance σ². Let

be the sample mean, and

be an unbiased estimate of the variance from the sample. It can be shown that the random variable

has a chi-squared distribution with degrees of freedom (by Cochran’s theorem).^[18] It is readily shown that the quantity

is normally distributed with mean 0 and variance 1, since the sample mean is normally distributed with mean μ and variance σ²/n. Moreover, it is possible to show that these two random variables (the normally distributed one Z and the chi-squared-distributed one V) are independent. Consequently^{[clarification needed]} the pivotal quantity

which differs from Z in that the exact standard deviation σ is replaced by the random variable S_n, has a Student’s t-distribution as defined above. Notice that the unknown population variance σ² does not appear in T, since it was in both the numerator and the denominator, so it canceled. Gosset intuitively obtained the probability density function stated above, with equal to n − 1, and Fisher proved it in 1925.^[12]

The distribution of the test statistic T depends on , but not μ or σ; the lack of dependence on μ and σ is what makes the t-distribution important in both theory and practice.

As a maximum entropy distribution[edit]

Student’s t-distribution is the maximum entropy probability distribution for a random variate X for which is fixed.^{[19][clarification needed][better source needed]}

Properties[edit]

Moments[edit]

For , the raw moments of the t-distribution are

Moments of order or higher do not exist.^[20]

The term for , k even, may be simplified using the properties of the gamma function to

For a t-distribution with degrees of freedom, the expected value is 0 if , and its variance is if . The skewness is 0 if and the excess kurtosis is if .

Monte Carlo sampling[edit]

There are various approaches to constructing random samples from the Student’s t-distribution. The matter depends on whether the samples are required on a stand-alone basis, or are to be constructed by application of a quantile function to uniform samples; e.g., in the multi-dimensional applications basis of copula-dependency.^{[citation needed]} In the case of stand-alone sampling, an extension of the Box–Muller method and its polar form is easily deployed.^[21] It has the merit that it applies equally well to all real positive degrees of freedom, ν, while many other candidate methods fail if ν is close to zero.^[21]

Integral of Student’s probability density function and p-value[edit]

The function A(t | ν) is the integral of Student’s probability density function, f(t) between −t and t, for t ≥ 0. It thus gives the probability that a value of t less than that calculated from observed data would occur by chance. Therefore, the function A(t | ν) can be used when testing whether the difference between the means of two sets of data is statistically significant, by calculating the corresponding value of t and the probability of its occurrence if the two sets of data were drawn from the same population. This is used in a variety of situations, particularly in t-tests. For the statistic t, with ν degrees of freedom, A(t | ν) is the probability that t would be less than the observed value if the two means were the same (provided that the smaller mean is subtracted from the larger, so that t ≥ 0). It can be easily calculated from the cumulative distribution function F_ν(t) of the t-distribution:

where I_x is the regularized incomplete beta function (a, b).

For statistical hypothesis testing this function is used to construct the p-value.

Generalized Student’s t-distribution[edit]

In terms of scaling parameter σ̂ or σ̂²[edit]

Student’s t distribution can be generalized to a three parameter location-scale family, introducing a location parameter and a scale parameter , through the relation

or

This means that has a classic Student’s t distribution with degrees of freedom.

The resulting non-standardized Student’s t-distribution has a density defined by:^[22]

Here, does not correspond to a standard deviation: it is not the standard deviation of the scaled t distribution, which may not even exist; nor is it the standard deviation of the underlying normal distribution, which is unknown. simply sets the overall scaling of the distribution. In the Bayesian derivation of the marginal distribution of an unknown normal mean above, as used here corresponds to the quantity , where

Equivalently, the distribution can be written in terms of , the square of this scale parameter:

Other properties of this version of the distribution are:^[22]

This distribution results from compounding a Gaussian distribution (normal distribution) with mean and unknown variance, with an inverse gamma distribution placed over the variance with parameters and . In other words, the random variable X is assumed to have a Gaussian distribution with an unknown variance distributed as inverse gamma, and then the variance is marginalized out (integrated out). The reason for the usefulness of this characterization is that the inverse gamma distribution is the conjugate prior distribution of the variance of a Gaussian distribution. As a result, the non-standardized Student’s t-distribution arises naturally in many Bayesian inference problems. See below.

Equivalently, this distribution results from compounding a Gaussian distribution with a scaled-inverse-chi-squared distribution with parameters and . The scaled-inverse-chi-squared distribution is exactly the same distribution as the inverse gamma distribution, but with a different parameterization, i.e. .

This version of the t-distribution can be useful in financial modeling. For example, Platen and Sidorowicz found that among the family of generalized hyperbolic distributions, this form of the t-distribution with about 4 degrees of freedom was the best fit for the (log) return of many worldwide stock indices.^[23]

In terms of inverse scaling parameter λ[edit]

An alternative parameterization in terms of an inverse scaling parameter (analogous to the way precision is the reciprocal of variance), defined by the relation . The density is then given by:^[24]

Other properties of this version of the distribution are:^[24]

This distribution results from compounding a Gaussian distribution with mean and unknown precision (the reciprocal of the variance), with a gamma distribution placed over the precision with parameters and . In other words, the random variable X is assumed to have a normal distribution with an unknown precision distributed as gamma, and then this is marginalized over the gamma distribution.

[edit]

• If has a Student’s t-distribution with degree of freedom then X² has an F-distribution:
• The noncentral t-distribution generalizes the t-distribution to include a location parameter. Unlike the nonstandardized t-distributions, the noncentral distributions are not symmetric (the median is not the same as the mode).
• The discrete Student’s t-distribution is defined by its probability mass function at r being proportional to:^[25]

  

  Here a, b, and k are parameters. This distribution arises from the construction of a system of discrete distributions similar to that of the Pearson distributions for continuous distributions.^[26]

• One can generate Student-t samples by taking the ratio of variables from the normal distribution and the square-root of χ²-distribution. If we use instead of the normal distribution, e.g., the Irwin–Hall distribution, we obtain over-all a symmetric 4-parameter distribution, which includes the normal, the uniform, the triangular, the Student-t and the Cauchy distribution. This is also more flexible than some other symmetric generalizations of the normal distribution.
• t-distribution is an instance of ratio distributions.

Bayesian inference: prior distribution for the degrees of the freedom[edit]

Suppose that represents number of independently and identically distributed samples drawn from the Student t-distribution

With a choice a prior for the degrees of freedom , denoted as , Bayesian inference seeks to evaluate the posterior distribution

Some popular choices of the priors are:

• Jeffreys prior ^[28]

where represents trigamma function.

• Exponential prior ^[29]

• Gamma prior ^[30]

• Log-normal prior ^[31]

The right panels show the result of the numerical experiments. The Bayes estimator based on the Jeffreys prior results in relatively lower Mean Squared Error (MSE ) then the Maximum Likelihood Estimator (MLE) over the values . It is important to note that no Bayes estimator dominates other estimators over the interval . In other words, each Bayes estimator has its own region where the estimator is non-inferior to others.

Uses[edit]

In frequentist statistical inference[edit]

Student’s t-distribution arises in a variety of statistical estimation problems where the goal is to estimate an unknown parameter, such as a mean value, in a setting where the data are observed with additive errors. If (as in nearly all practical statistical work) the population standard deviation of these errors is unknown and has to be estimated from the data, the t-distribution is often used to account for the extra uncertainty that results from this estimation. In most such problems, if the standard deviation of the errors were known, a normal distribution would be used instead of the t-distribution.

Confidence intervals and hypothesis tests are two statistical procedures in which the quantiles of the sampling distribution of a particular statistic (e.g. the standard score) are required. In any situation where this statistic is a linear function of the data, divided by the usual estimate of the standard deviation, the resulting quantity can be rescaled and centered to follow Student’s t-distribution. Statistical analyses involving means, weighted means, and regression coefficients all lead to statistics having this form.

Quite often, textbook problems will treat the population standard deviation as if it were known and thereby avoid the need to use the Student’s t-distribution. These problems are generally of two kinds: (1) those in which the sample size is so large that one may treat a data-based estimate of the variance as if it were certain, and (2) those that illustrate mathematical reasoning, in which the problem of estimating the standard deviation is temporarily ignored because that is not the point that the author or instructor is then explaining.

Hypothesis testing[edit]

A number of statistics can be shown to have t-distributions for samples of moderate size under null hypotheses that are of interest, so that the t-distribution forms the basis for significance tests. For example, the distribution of Spearman’s rank correlation coefficient ρ, in the null case (zero correlation) is well approximated by the t distribution for sample sizes above about 20.^{[citation needed]}

Confidence intervals[edit]

Suppose the number A is so chosen that

when T has a t-distribution with n − 1 degrees of freedom. By symmetry, this is the same as saying that A satisfies

so A is the «95th percentile» of this probability distribution, or . Then

and this is equivalent to

Therefore, the interval whose endpoints are

is a 90% confidence interval for μ. Therefore, if we find the mean of a set of observations that we can reasonably expect to have a normal distribution, we can use the t-distribution to examine whether the confidence limits on that mean include some theoretically predicted value – such as the value predicted on a null hypothesis.

It is this result that is used in the Student’s t-tests: since the difference between the means of samples from two normal distributions is itself distributed normally, the t-distribution can be used to examine whether that difference can reasonably be supposed to be zero.

If the data are normally distributed, the one-sided (1 − α)-upper confidence limit (UCL) of the mean, can be calculated using the following equation:

The resulting UCL will be the greatest average value that will occur for a given confidence interval and population size. In other words, being the mean of the set of observations, the probability that the mean of the distribution is inferior to UCL_1−α is equal to the confidence level 1 − α.

Prediction intervals[edit]

The t-distribution can be used to construct a prediction interval for an unobserved sample from a normal distribution with unknown mean and variance.

In Bayesian statistics[edit]

The Student’s t-distribution, especially in its three-parameter (location-scale) version, arises frequently in Bayesian statistics as a result of its connection with the normal distribution. Whenever the variance of a normally distributed random variable is unknown and a conjugate prior placed over it that follows an inverse gamma distribution, the resulting marginal distribution of the variable will follow a Student’s t-distribution. Equivalent constructions with the same results involve a conjugate scaled-inverse-chi-squared distribution over the variance, or a conjugate gamma distribution over the precision. If an improper prior proportional to σ⁻² is placed over the variance, the t-distribution also arises. This is the case regardless of whether the mean of the normally distributed variable is known, is unknown distributed according to a conjugate normally distributed prior, or is unknown distributed according to an improper constant prior.

Related situations that also produce a t-distribution are:

• The marginal posterior distribution of the unknown mean of a normally distributed variable, with unknown prior mean and variance following the above model.
• The prior predictive distribution and posterior predictive distribution of a new normally distributed data point when a series of independent identically distributed normally distributed data points have been observed, with prior mean and variance as in the above model.

Robust parametric modeling[edit]

The t-distribution is often used as an alternative to the normal distribution as a model for data, which often has heavier tails than the normal distribution allows for; see e.g. Lange et al.^[32] The classical approach was to identify outliers (e.g., using Grubbs’s test) and exclude or downweight them in some way. However, it is not always easy to identify outliers (especially in high dimensions), and the t-distribution is a natural choice of model for such data and provides a parametric approach to robust statistics.

A Bayesian account can be found in Gelman et al.^[33] The degrees of freedom parameter controls the kurtosis of the distribution and is correlated with the scale parameter. The likelihood can have multiple local maxima and, as such, it is often necessary to fix the degrees of freedom at a fairly low value and estimate the other parameters taking this as given. Some authors^{[citation needed]} report that values between 3 and 9 are often good choices. Venables and Ripley^{[citation needed]} suggest that a value of 5 is often a good choice.

Student’s t-process[edit]

For practical regression and prediction needs, Student’s t-processes were introduced, that are generalisations of the Student t-distributions for functions. A Student’s t-process is constructed from the Student t-distributions like a Gaussian process is constructed from the Gaussian distributions. For a Gaussian process, all sets of values have a multidimensional Gaussian distribution. Analogously, is a Student t-process on an interval if the correspondent values of the process () have a joint multivariate Student t-distribution.^[34] These processes are used for regression, prediction, Bayesian optimization and related problems. For multivariate regression and multi-output prediction, the multivariate Student t-processes are introduced and used.^[35]

Table of selected values[edit]

The following table lists values for t-distributions with ν degrees of freedom for a range of one-sided or two-sided critical regions. The first column is ν, the percentages along the top are confidence levels, and the numbers in the body of the table are the factors described in the section on confidence intervals.

The last row with infinite ν gives critical points for a normal distribution since a t-distribution with infinitely many degrees of freedom is a normal distribution. (See Related distributions above).

Calculating the confidence interval

Let’s say we have a sample with size 11, sample mean 10, and sample variance 2. For 90% confidence with 10 degrees of freedom, the one-sided t-value from the table is 1.372. Then with confidence interval calculated from

we determine that with 90% confidence we have a true mean lying below

In other words, 90% of the times that an upper threshold is calculated by this method from particular samples, this upper threshold exceeds the true mean.

And with 90% confidence we have a true mean lying above

In other words, 90% of the times that a lower threshold is calculated by this method from particular samples, this lower threshold lies below the true mean.

So that at 80% confidence (calculated from 100% − 2 × (1 − 90%) = 80%), we have a true mean lying within the interval

Saying that 80% of the times that upper and lower thresholds are calculated by this method from a given sample, the true mean is both below the upper threshold and above the lower threshold is not the same as saying that there is an 80% probability that the true mean lies between a particular pair of upper and lower thresholds that have been calculated by this method; see confidence interval and prosecutor’s fallacy.

Nowadays, statistical software, such as the R programming language, and functions available in many spreadsheet programs compute values of the t-distribution and its inverse without tables.

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

• Senn, S.; Richardson, W. (1994). «The first t-test». Statistics in Medicine. 13 (8): 785–803. doi:10.1002/sim.4780130802. PMID 8047737.
• Hogg RV, Craig AT (1978). Introduction to Mathematical Statistics (4th ed.). New York: Macmillan. ASIN B010WFO0SA.
• Venables, W. N.; Ripley, B. D. (2002). Modern Applied Statistics with S (Fourth ed.). Springer.
• Gelman, Andrew; John B. Carlin; Hal S. Stern; Donald B. Rubin (2003). Bayesian Data Analysis (Second ed.). CRC/Chapman & Hall. ISBN 1-58488-388-X.

External links[edit]

• «Student distribution», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term «Student’s distribution»)
• Rouaud, M. (2013), Probability, Statistics and Estimation (PDF) (short ed.) First Students on page 112.
• Student’s t-Distribution, Archived 2021-04-10 at the Wayback Machine ck12

This article is about the mathematics of Student’s t-distribution. For its uses in statistics, see Student’s t-test.

Student’s t

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	degrees of freedom (real)
Support
PDF
CDF	where 2F1 is the hypergeometric function
Mean	0 for , otherwise undefined
Median	0
Mode	0
Variance	for , ∞ for , otherwise undefined
Skewness	0 for , otherwise undefined
Ex. kurtosis	for , ∞ for , otherwise undefined
Entropy	ψ: digamma function, B: beta function
MGF	undefined
CF	for : modified Bessel function of the second kind[1]

In probability and statistics, Student’s t-distribution (or simply the t-distribution) is any member of a family of continuous probability distributions that arise when estimating the mean of a normally distributed population in situations where the sample size is small and the population’s standard deviation is unknown. It was developed by English statistician William Sealy Gosset under the pseudonym «Student».

The t-distribution plays a role in a number of widely used statistical analyses, including Student’s t-test for assessing the statistical significance of the difference between two sample means, the construction of confidence intervals for the difference between two population means, and in linear regression analysis. Student’s t-distribution also arises in the Bayesian analysis of data from a normal family.

If we take a sample of observations from a normal distribution, then the t-distribution with degrees of freedom can be defined as the distribution of the location of the sample mean relative to the true mean, divided by the sample standard deviation, after multiplying by the standardizing term . In this way, the t-distribution can be used to construct a confidence interval for the true mean.

The t-distribution is symmetric and bell-shaped, like the normal distribution. However, the t-distribution has heavier tails, meaning that it is more prone to producing values that fall far from its mean. This makes it useful for understanding the statistical behavior of certain types of ratios of random quantities, in which variation in the denominator is amplified and may produce outlying values when the denominator of the ratio falls close to zero. The Student’s t-distribution is a special case of the generalized hyperbolic distribution.

History and etymology[edit]

In statistics, the t-distribution was first derived as a posterior distribution in 1876 by Helmert^[2][3][4] and Lüroth.^[5][6][7] The t-distribution also appeared in a more general form as Pearson Type IV distribution in Karl Pearson’s 1895 paper.^[8]

In the English-language literature, the distribution takes its name from William Sealy Gosset’s 1908 paper in Biometrika under the pseudonym «Student».^[9] One version of the origin of the pseudonym is that Gosset’s employer preferred staff to use pen names when publishing scientific papers instead of their real name, so he used the name «Student» to hide his identity. Another version is that Guinness did not want their competitors to know that they were using the t-test to determine the quality of raw material.^[10][11]

Gosset worked at the Guinness Brewery in Dublin, Ireland, and was interested in the problems of small samples – for example, the chemical properties of barley where sample sizes might be as few as 3. Gosset’s paper refers to the distribution as the «frequency distribution of standard deviations of samples drawn from a normal population». It became well known through the work of Ronald Fisher, who called the distribution «Student’s distribution» and represented the test value with the letter t.^[12][13]

How Student’s distribution arises from sampling[edit]

Let be independently and identically drawn from the distribution , i.e. this is a sample of size from a normally distributed population with expected mean value and variance .

Let

be the sample mean and let

be the (Bessel-corrected) sample variance. Then the random variable

has a standard normal distribution (i.e. normal with expected mean 0 and variance 1), and the random variable

i.e where has been substituted for , has a Student’s t-distribution with degrees of freedom. Since has replaced the only unobservable quantity in this expression is so this can be used to derive confidence intervals for The numerator and the denominator in the preceding expression are statistically independent random variables despite being based on the same sample . This can be seen by observing that and recalling that and are both linear combinations of the same set of i.i.d. normally distributed random variables.

Definition[edit]

Probability density function[edit]

Student’s t-distribution has the probability density function (PDF) given by

where is the number of degrees of freedom and is the gamma function. This may also be written as

where B is the Beta function. In particular for integer valued degrees of freedom we have:

For even,

For odd,

The probability density function is symmetric, and its overall shape resembles the bell shape of a normally distributed variable with mean 0 and variance 1, except that it is a bit lower and wider. As the number of degrees of freedom grows, the t-distribution approaches the normal distribution with mean 0 and variance 1. For this reason is also known as the normality parameter.^[14]

The following images show the density of the t-distribution for increasing values of . The normal distribution is shown as a blue line for comparison. Note that the t-distribution (red line) becomes closer to the normal distribution as increases.

Cumulative distribution function[edit]

The cumulative distribution function (CDF) can be written in terms of I, the regularized
incomplete beta function. For t > 0,^[15]

where

Other values would be obtained by symmetry. An alternative formula, valid for , is^[15]

where ₂F₁ is a particular case of the hypergeometric function.

For information on its inverse cumulative distribution function, see quantile function § Student’s t-distribution.

Special cases[edit]

Certain values of give a simple form for Student’s t-distribution.

	PDF	CDF	notes
1			See Cauchy distribution
2
3
4
5
			See Normal distribution, Error function

How the t-distribution arises[edit]

Sampling distribution[edit]

Let be the numbers observed in a sample from a continuously distributed population with expected value . The sample mean and sample variance are given by:

The resulting t-value is

The t-distribution with degrees of freedom is the sampling distribution of the t-value when the samples consist of independent identically distributed observations from a normally distributed population. Thus for inference purposes t is a useful «pivotal quantity» in the case when the mean and variance are unknown population parameters, in the sense that the t-value has then a probability distribution that depends on neither nor .

Bayesian inference[edit]

In Bayesian statistics, a (scaled, shifted) t-distribution arises as the marginal distribution of the unknown mean of a normal distribution, when the dependence on an unknown variance has been marginalized out:^[16]

where stands for the data , and represents any other information that may have been used to create the model. The distribution is thus the compounding of the conditional distribution of given the data and with the marginal distribution of given the data.

With data points, if uninformative, or flat, the location prior can be taken for μ, and the scale prior can be taken for σ², then Bayes’ theorem gives

a normal distribution and a scaled inverse chi-squared distribution respectively, where and

The marginalization integral thus becomes

This can be evaluated by substituting , where , giving

so

But the z integral is now a standard Gamma integral, which evaluates to a constant, leaving

This is a form of the t-distribution with an explicit scaling and shifting that will be explored in more detail in a further section below. It can be related to the standardized t-distribution by the substitution

The derivation above has been presented for the case of uninformative priors for and ; but it will be apparent that any priors that lead to a normal distribution being compounded with a scaled inverse chi-squared distribution will lead to a t-distribution with scaling and shifting for , although the scaling parameter corresponding to above will then be influenced both by the prior information and the data, rather than just by the data as above.

Characterization[edit]

As the distribution of a test statistic[edit]

Student’s t-distribution with degrees of freedom can be defined as the distribution of the random variable T with^[15][17]

where

• Z is a standard normal with expected value 0 and variance 1;
• V has a chi-squared distribution (χ²-distribution) with degrees of freedom;
• Z and V are independent;

A different distribution is defined as that of the random variable defined, for a given constant μ, by

This random variable has a noncentral t-distribution with noncentrality parameter μ. This distribution is important in studies of the power of Student’s t-test.

Derivation[edit]

Suppose X₁, …, X_n are independent realizations of the normally-distributed, random variable X, which has an expected value μ and variance σ². Let

be the sample mean, and

be an unbiased estimate of the variance from the sample. It can be shown that the random variable

has a chi-squared distribution with degrees of freedom (by Cochran’s theorem).^[18] It is readily shown that the quantity

is normally distributed with mean 0 and variance 1, since the sample mean is normally distributed with mean μ and variance σ²/n. Moreover, it is possible to show that these two random variables (the normally distributed one Z and the chi-squared-distributed one V) are independent. Consequently^{[clarification needed]} the pivotal quantity

which differs from Z in that the exact standard deviation σ is replaced by the random variable S_n, has a Student’s t-distribution as defined above. Notice that the unknown population variance σ² does not appear in T, since it was in both the numerator and the denominator, so it canceled. Gosset intuitively obtained the probability density function stated above, with equal to n − 1, and Fisher proved it in 1925.^[12]

The distribution of the test statistic T depends on , but not μ or σ; the lack of dependence on μ and σ is what makes the t-distribution important in both theory and practice.

As a maximum entropy distribution[edit]

Student’s t-distribution is the maximum entropy probability distribution for a random variate X for which is fixed.^{[19][clarification needed][better source needed]}

Properties[edit]

Moments[edit]

For , the raw moments of the t-distribution are

Moments of order or higher do not exist.^[20]

The term for , k even, may be simplified using the properties of the gamma function to

For a t-distribution with degrees of freedom, the expected value is 0 if , and its variance is if . The skewness is 0 if and the excess kurtosis is if .

Monte Carlo sampling[edit]

There are various approaches to constructing random samples from the Student’s t-distribution. The matter depends on whether the samples are required on a stand-alone basis, or are to be constructed by application of a quantile function to uniform samples; e.g., in the multi-dimensional applications basis of copula-dependency.^{[citation needed]} In the case of stand-alone sampling, an extension of the Box–Muller method and its polar form is easily deployed.^[21] It has the merit that it applies equally well to all real positive degrees of freedom, ν, while many other candidate methods fail if ν is close to zero.^[21]

Integral of Student’s probability density function and p-value[edit]

The function A(t | ν) is the integral of Student’s probability density function, f(t) between −t and t, for t ≥ 0. It thus gives the probability that a value of t less than that calculated from observed data would occur by chance. Therefore, the function A(t | ν) can be used when testing whether the difference between the means of two sets of data is statistically significant, by calculating the corresponding value of t and the probability of its occurrence if the two sets of data were drawn from the same population. This is used in a variety of situations, particularly in t-tests. For the statistic t, with ν degrees of freedom, A(t | ν) is the probability that t would be less than the observed value if the two means were the same (provided that the smaller mean is subtracted from the larger, so that t ≥ 0). It can be easily calculated from the cumulative distribution function F_ν(t) of the t-distribution:

where I_x is the regularized incomplete beta function (a, b).

For statistical hypothesis testing this function is used to construct the p-value.

Generalized Student’s t-distribution[edit]

In terms of scaling parameter σ̂ or σ̂²[edit]

Student’s t distribution can be generalized to a three parameter location-scale family, introducing a location parameter and a scale parameter , through the relation

or

This means that has a classic Student’s t distribution with degrees of freedom.

The resulting non-standardized Student’s t-distribution has a density defined by:^[22]

Here, does not correspond to a standard deviation: it is not the standard deviation of the scaled t distribution, which may not even exist; nor is it the standard deviation of the underlying normal distribution, which is unknown. simply sets the overall scaling of the distribution. In the Bayesian derivation of the marginal distribution of an unknown normal mean above, as used here corresponds to the quantity , where

Equivalently, the distribution can be written in terms of , the square of this scale parameter:

Other properties of this version of the distribution are:^[22]

This distribution results from compounding a Gaussian distribution (normal distribution) with mean and unknown variance, with an inverse gamma distribution placed over the variance with parameters and . In other words, the random variable X is assumed to have a Gaussian distribution with an unknown variance distributed as inverse gamma, and then the variance is marginalized out (integrated out). The reason for the usefulness of this characterization is that the inverse gamma distribution is the conjugate prior distribution of the variance of a Gaussian distribution. As a result, the non-standardized Student’s t-distribution arises naturally in many Bayesian inference problems. See below.

Equivalently, this distribution results from compounding a Gaussian distribution with a scaled-inverse-chi-squared distribution with parameters and . The scaled-inverse-chi-squared distribution is exactly the same distribution as the inverse gamma distribution, but with a different parameterization, i.e. .

This version of the t-distribution can be useful in financial modeling. For example, Platen and Sidorowicz found that among the family of generalized hyperbolic distributions, this form of the t-distribution with about 4 degrees of freedom was the best fit for the (log) return of many worldwide stock indices.^[23]

In terms of inverse scaling parameter λ[edit]

An alternative parameterization in terms of an inverse scaling parameter (analogous to the way precision is the reciprocal of variance), defined by the relation . The density is then given by:^[24]

Other properties of this version of the distribution are:^[24]

This distribution results from compounding a Gaussian distribution with mean and unknown precision (the reciprocal of the variance), with a gamma distribution placed over the precision with parameters and . In other words, the random variable X is assumed to have a normal distribution with an unknown precision distributed as gamma, and then this is marginalized over the gamma distribution.

[edit]

• If has a Student’s t-distribution with degree of freedom then X² has an F-distribution:
• The noncentral t-distribution generalizes the t-distribution to include a location parameter. Unlike the nonstandardized t-distributions, the noncentral distributions are not symmetric (the median is not the same as the mode).
• The discrete Student’s t-distribution is defined by its probability mass function at r being proportional to:^[25]

  

  Here a, b, and k are parameters. This distribution arises from the construction of a system of discrete distributions similar to that of the Pearson distributions for continuous distributions.^[26]

• One can generate Student-t samples by taking the ratio of variables from the normal distribution and the square-root of χ²-distribution. If we use instead of the normal distribution, e.g., the Irwin–Hall distribution, we obtain over-all a symmetric 4-parameter distribution, which includes the normal, the uniform, the triangular, the Student-t and the Cauchy distribution. This is also more flexible than some other symmetric generalizations of the normal distribution.
• t-distribution is an instance of ratio distributions.

Bayesian inference: prior distribution for the degrees of the freedom[edit]

Suppose that represents number of independently and identically distributed samples drawn from the Student t-distribution

With a choice a prior for the degrees of freedom , denoted as , Bayesian inference seeks to evaluate the posterior distribution

Some popular choices of the priors are:

• Jeffreys prior ^[28]

where represents trigamma function.

• Exponential prior ^[29]

• Gamma prior ^[30]

• Log-normal prior ^[31]

The right panels show the result of the numerical experiments. The Bayes estimator based on the Jeffreys prior results in relatively lower Mean Squared Error (MSE ) then the Maximum Likelihood Estimator (MLE) over the values . It is important to note that no Bayes estimator dominates other estimators over the interval . In other words, each Bayes estimator has its own region where the estimator is non-inferior to others.

Uses[edit]

In frequentist statistical inference[edit]

Student’s t-distribution arises in a variety of statistical estimation problems where the goal is to estimate an unknown parameter, such as a mean value, in a setting where the data are observed with additive errors. If (as in nearly all practical statistical work) the population standard deviation of these errors is unknown and has to be estimated from the data, the t-distribution is often used to account for the extra uncertainty that results from this estimation. In most such problems, if the standard deviation of the errors were known, a normal distribution would be used instead of the t-distribution.

Confidence intervals and hypothesis tests are two statistical procedures in which the quantiles of the sampling distribution of a particular statistic (e.g. the standard score) are required. In any situation where this statistic is a linear function of the data, divided by the usual estimate of the standard deviation, the resulting quantity can be rescaled and centered to follow Student’s t-distribution. Statistical analyses involving means, weighted means, and regression coefficients all lead to statistics having this form.

Quite often, textbook problems will treat the population standard deviation as if it were known and thereby avoid the need to use the Student’s t-distribution. These problems are generally of two kinds: (1) those in which the sample size is so large that one may treat a data-based estimate of the variance as if it were certain, and (2) those that illustrate mathematical reasoning, in which the problem of estimating the standard deviation is temporarily ignored because that is not the point that the author or instructor is then explaining.

Hypothesis testing[edit]

A number of statistics can be shown to have t-distributions for samples of moderate size under null hypotheses that are of interest, so that the t-distribution forms the basis for significance tests. For example, the distribution of Spearman’s rank correlation coefficient ρ, in the null case (zero correlation) is well approximated by the t distribution for sample sizes above about 20.^{[citation needed]}

Confidence intervals[edit]

Suppose the number A is so chosen that

when T has a t-distribution with n − 1 degrees of freedom. By symmetry, this is the same as saying that A satisfies

so A is the «95th percentile» of this probability distribution, or . Then

and this is equivalent to

Therefore, the interval whose endpoints are

is a 90% confidence interval for μ. Therefore, if we find the mean of a set of observations that we can reasonably expect to have a normal distribution, we can use the t-distribution to examine whether the confidence limits on that mean include some theoretically predicted value – such as the value predicted on a null hypothesis.

It is this result that is used in the Student’s t-tests: since the difference between the means of samples from two normal distributions is itself distributed normally, the t-distribution can be used to examine whether that difference can reasonably be supposed to be zero.

If the data are normally distributed, the one-sided (1 − α)-upper confidence limit (UCL) of the mean, can be calculated using the following equation:

The resulting UCL will be the greatest average value that will occur for a given confidence interval and population size. In other words, being the mean of the set of observations, the probability that the mean of the distribution is inferior to UCL_1−α is equal to the confidence level 1 − α.

Prediction intervals[edit]

The t-distribution can be used to construct a prediction interval for an unobserved sample from a normal distribution with unknown mean and variance.

In Bayesian statistics[edit]

The Student’s t-distribution, especially in its three-parameter (location-scale) version, arises frequently in Bayesian statistics as a result of its connection with the normal distribution. Whenever the variance of a normally distributed random variable is unknown and a conjugate prior placed over it that follows an inverse gamma distribution, the resulting marginal distribution of the variable will follow a Student’s t-distribution. Equivalent constructions with the same results involve a conjugate scaled-inverse-chi-squared distribution over the variance, or a conjugate gamma distribution over the precision. If an improper prior proportional to σ⁻² is placed over the variance, the t-distribution also arises. This is the case regardless of whether the mean of the normally distributed variable is known, is unknown distributed according to a conjugate normally distributed prior, or is unknown distributed according to an improper constant prior.

Related situations that also produce a t-distribution are:

• The marginal posterior distribution of the unknown mean of a normally distributed variable, with unknown prior mean and variance following the above model.
• The prior predictive distribution and posterior predictive distribution of a new normally distributed data point when a series of independent identically distributed normally distributed data points have been observed, with prior mean and variance as in the above model.

Robust parametric modeling[edit]

The t-distribution is often used as an alternative to the normal distribution as a model for data, which often has heavier tails than the normal distribution allows for; see e.g. Lange et al.^[32] The classical approach was to identify outliers (e.g., using Grubbs’s test) and exclude or downweight them in some way. However, it is not always easy to identify outliers (especially in high dimensions), and the t-distribution is a natural choice of model for such data and provides a parametric approach to robust statistics.

A Bayesian account can be found in Gelman et al.^[33] The degrees of freedom parameter controls the kurtosis of the distribution and is correlated with the scale parameter. The likelihood can have multiple local maxima and, as such, it is often necessary to fix the degrees of freedom at a fairly low value and estimate the other parameters taking this as given. Some authors^{[citation needed]} report that values between 3 and 9 are often good choices. Venables and Ripley^{[citation needed]} suggest that a value of 5 is often a good choice.

Student’s t-process[edit]

For practical regression and prediction needs, Student’s t-processes were introduced, that are generalisations of the Student t-distributions for functions. A Student’s t-process is constructed from the Student t-distributions like a Gaussian process is constructed from the Gaussian distributions. For a Gaussian process, all sets of values have a multidimensional Gaussian distribution. Analogously, is a Student t-process on an interval if the correspondent values of the process () have a joint multivariate Student t-distribution.^[34] These processes are used for regression, prediction, Bayesian optimization and related problems. For multivariate regression and multi-output prediction, the multivariate Student t-processes are introduced and used.^[35]

Table of selected values[edit]

The following table lists values for t-distributions with ν degrees of freedom for a range of one-sided or two-sided critical regions. The first column is ν, the percentages along the top are confidence levels, and the numbers in the body of the table are the factors described in the section on confidence intervals.

The last row with infinite ν gives critical points for a normal distribution since a t-distribution with infinitely many degrees of freedom is a normal distribution. (See Related distributions above).

Calculating the confidence interval

Let’s say we have a sample with size 11, sample mean 10, and sample variance 2. For 90% confidence with 10 degrees of freedom, the one-sided t-value from the table is 1.372. Then with confidence interval calculated from

we determine that with 90% confidence we have a true mean lying below

In other words, 90% of the times that an upper threshold is calculated by this method from particular samples, this upper threshold exceeds the true mean.

And with 90% confidence we have a true mean lying above

In other words, 90% of the times that a lower threshold is calculated by this method from particular samples, this lower threshold lies below the true mean.

So that at 80% confidence (calculated from 100% − 2 × (1 − 90%) = 80%), we have a true mean lying within the interval

Saying that 80% of the times that upper and lower thresholds are calculated by this method from a given sample, the true mean is both below the upper threshold and above the lower threshold is not the same as saying that there is an 80% probability that the true mean lies between a particular pair of upper and lower thresholds that have been calculated by this method; see confidence interval and prosecutor’s fallacy.

Nowadays, statistical software, such as the R programming language, and functions available in many spreadsheet programs compute values of the t-distribution and its inverse without tables.

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

• Senn, S.; Richardson, W. (1994). «The first t-test». Statistics in Medicine. 13 (8): 785–803. doi:10.1002/sim.4780130802. PMID 8047737.
• Hogg RV, Craig AT (1978). Introduction to Mathematical Statistics (4th ed.). New York: Macmillan. ASIN B010WFO0SA.
• Venables, W. N.; Ripley, B. D. (2002). Modern Applied Statistics with S (Fourth ed.). Springer.
• Gelman, Andrew; John B. Carlin; Hal S. Stern; Donald B. Rubin (2003). Bayesian Data Analysis (Second ed.). CRC/Chapman & Hall. ISBN 1-58488-388-X.

External links[edit]

• «Student distribution», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term «Student’s distribution»)
• Rouaud, M. (2013), Probability, Statistics and Estimation (PDF) (short ed.) First Students on page 112.
• Student’s t-Distribution, Archived 2021-04-10 at the Wayback Machine ck12

Доверительные интервалы

Общий обзор

Доверительный интервал для среднего

Доверительный интервал для пропорции

Интерпретация доверительных интервалов

Общий обзор

Взяв выборку из популяции, мы получим точечную оценку интересующего нас параметра и вычислим стандартную ошибку для того, чтобы указать точность оценки.

Однако, для большинства случаев стандартная ошибка как такова не приемлема. Гораздо полезнее объединить эту меру точности с интервальной оценкой для параметра популяции.

Это можно сделать, используя знания о теоретическом распределении вероятности выборочной статистики (параметра) для того, чтобы вычислить доверительный интервал (CI – Confidence Interval, ДИ – Доверительный интервал) для параметра.

Вообще, доверительный интервал расширяет оценки в обе стороны некоторой величиной, кратной стандартной ошибке (данного параметра); два значения (доверительные границы), определяющие интервал, обычно отделяют запятой и заключают в скобки.

Доверительный интервал для среднего

Использование нормального распределения

Выборочное среднее имеет нормальное распределение, если объем выборки большой, поэтому можно применить знания о нормальном распределении при рассмотрении выборочного среднего.

В частности, 95% распределения выборочных средних находится в пределах 1,96 стандартных отклонений (SD) среднего популяции.

Когда у нас есть только одна выборка, мы называем это стандартной ошибкой среднего (SEM)  и вычисляем 95% доверительного интервала для среднего следующим образом:

Если повторить этот эксперимент несколько раз, то интервал будет содержать истинное среднее популяции в 95% случаев.

Обычно это доверительный интервал как, например, интервал значений, в пределах которого с доверительной вероятностью 95% находится истинное  среднее популяции (генеральное среднее).

Хотя это не вполне строго (среднее в популяции есть фиксированное значение и поэтому не может иметь вероятность, отнесённую к нему) таким образом интерпретировать доверительный интервал, но концептуально это удобнее для понимания.

Использование t-распределения

Можно использовать нормальное распределение, если знать  значение дисперсии в популяции. Кроме того, когда объем выборки небольшой, выборочное среднее отвечает нормальному распределению, если данные, лежащие в основе популяции, распределены нормально.

Если данные, лежащие в основе популяции, распределены ненормально и/или неизвестна генеральная дисперсия (дисперсия в популяции), выборочное  среднее подчиняется t-распределению Стьюдента.

Вычисляем 95% доверительный интервал для генерального среднего в популяции следующим образом:

где   — процентная точка (процентиль) t-распределения Стьюдента с (n-1) степенями свободы, которая даёт двухстороннюю вероятность 0,05.

Вообще, она обеспечивает более широкий интервал, чем при использовании нормального распределения, поскольку учитывает дополнительную неопределенность, которую вводят, оценивая стандартное отклонение популяции и/или из-за небольшого объёма выборки.

Когда объём выборки большой (порядка 100 и более), разница между двумя распределениями (t-Стьюдента и нормальным) незначительна. Тем не менее всегда используют t-распределение при вычислении доверительных интервалов, даже если объем выборки большой.

Обычно указывают 95% ДИ. Можно вычислить другие доверительные интервалы, например 99% ДИ для среднего.

Вместо произведения стандартной ошибки и табличного значения t-распределения, которое соответствует двусторонней вероятности 0,05, умножают её (стандартную ошибку) на значение, которое соответствует двусторонней вероятности 0,01. Это более широкий доверительный интервал, чем в случае 95%, поскольку он отражает увеличенное доверие к тому, что интервал действительно включает среднее популяции.

Доверительный интервал для пропорции

Выборочное распределение пропорций имеет биномиальное распределение. Однако если объём выборки n разумно большой, тогда выборочное распределение пропорции приблизительно нормально со средним .

Оцениваем выборочным отношением p=r/n (где r– количество индивидуумов в выборке с интересующими нас характерными особенностями), и стандартная ошибка оценивается:

95% доверительный интервал для пропорции оценивается:

Если объём выборки небольшой (обычно когда np или n(1-p) меньше 5), тогда необходимо использовать биномиальное распределение для того, чтобы вычислить точные доверительные интервалы.

Заметьте, что если p выражается в процентах, то (1-p) заменяют на (100-p).

Интерпретация доверительных интервалов

При интерпретации доверительного интервала нас интересуют следующие вопросы:

Насколько широк доверительный интервал?

Широкий доверительный интервал указывает на то, что оценка неточна; узкий указывает на точную оценку.

Ширина доверительного интервала зависит от размера стандартной ошибки, которая, в свою очередь, зависит от объёма выборки и при рассмотрении числовой переменной от изменчивости данных дают более широкие доверительные интервалы, чем исследования многочисленного набора данных немногих переменных.

Включает ли ДИ какие-либо значения, представляющие особенный интерес?

Можно проверить, ложится ли вероятное значение для параметра популяции в пределы доверительного интервала. Если да, то результаты согласуются с этим вероятным значением. Если нет, тогда маловероятно (для 95% доверительного интервала шанс почти 5%), что параметр имеет это значение.

Связанные определения:
Доверительный интервал
Доверительный предел
Коэффициент доверия
Оценка
Оценочная функция
Свободный от распределения доверительный интервал

В начало

Содержание портала

Доброго времени суток, хабраледи и хабраджентельмены! В этой статье мы продолжим погружение в статистику вместе с Python. Если кто пропустил начало погружения, то вот ссылка на первую часть. Ну, а если нет, то я по-прежнему рекомендую держать под рукой открытую книгу Сары Бослаф «Статистика для всех». Так же рекомендую запустить блокнот, чтобы поэкспериментировать с кодом и графиками.

Как сказал Эндрю Ланг: «Статистика для политика – все равно что уличный фонарь для пьяного забулдыги: скорее опора, чем освещение.» Тоже самое можно сказать и про эту статью для новичков. Вряд ли вы почерпнете здесь много новых знаний, но надеюсь, эта статья поможет вам разобраться с тем, как использовать Python для облегчения самостоятельного изучения статистики.

Зачем выдумывать новые распределения?

Представим… так, прежде чем нам что-то представлять, давайте снова сделаем все необходимые импорты:

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from pylab import rcParams
sns.set()
rcParams['figure.figsize'] = 10, 6
%config InlineBackend.figure_format = 'svg'
np.random.seed(42)

А вот теперь давайте представим, что мы пивовары, придумавшие рецепт и технологию варки классного пива. Продажи идут хорошо, да и в целом все неплохо, но все-таки очень интересно, как потребители оценивают качество нашего пива. Мы решили опросить 1000 человек и оценить качество напитка по 100-бальной шкале в сравнении с другими сортами пива, которые им доводилось пробовать ранее. Данные опроса могли бы выглядеть так:

gen_pop = np.trunc(stats.norm.rvs(loc=80, scale=5, size=1000))
gen_pop[gen_pop>100]=100
print(f'mean = {gen_pop.mean():.3}')
print(f'std = {gen_pop.std():.3}')

mean = 79.5
std = 4.95

В данном случае, мы можем предположить, что оценки распределены нормально с мат. ожиданием и стандартным отклонением 80 и 5 баллов соответственно. Такой результат означает, что массовый потребитель, конечно же, не считает наше пиво лучшим в мире, но в среднем, видит его где-то в числе лучших.

Все могло бы быть ровно да гладко, особенно в нашем воображении. Но теперь давайте представим, что случилась внезапная неприятность — поставщик хмеля пострадал от неурожая и нам пришлось срочно покупать сырье у другого производителя. Очевидно, что это как-то скажется на качестве пива, но как? Единственный способ проверить это — сварить небольшую партию с новым хмелем и провести опрос у небольшой группы респондентов. Допустим, в оценке качества нового пива приняли участие всего 10 человек, а их оценки распределились следующим образом:

Теперь мы можем вычислить Z-статистику по уже известной нам формуле:

где — это среднее значение для нашей выборки, и среднее значение и стандартное отклонение для генеральной совокупности, а — размер выборки. Вот среднее нашей выборки:

sample = np.array([89,99,93,84,79,61,82,81,87,82])
sample.mean()

83.7

Вот значение Z-статистики:

z = 10**0.5*(sample.mean()-80)/5
z

2.340085468524603

И еще обязательно вычисляем p-value:

1 - (stats.norm.cdf(z) - stats.norm.cdf(-z))

0.019279327322753836

Для нас, как для пивоваров, это крайне интересные цифры и вот почему: Z-значение отстоит от 0 более чем на 2 сигмы, т.е. отклонение среднего балла 10 респондентов находится очень далеко от среднего бала генеральной совокупности, а вероятность того, что это отклонение произошло случайно, всего около 0.02. Другими словами, если взять 10 человек из совокупности людей, которые оценивают наше «старое» пиво как , то вероятность того, что эти 10 человек могут случайно дать среднюю оценку «новому» пиву равную 83.7 баллам составляет всего около 2%. Скорее всего, если мы проведем полномасштабный опрос, то увидим, что потребители не просто не заметят изменения качества пива, а даже отметят его небольшое улучшение. Круто.

Но вот что странно — стандартное отклонение оценок тех самых срочно найденных 10 респондентов в два раза больше, чем то, которым мы оценили всю генеральную совокупность потребителей:

sample.std(ddof=1)

10.055954565441423

Врезка по поводу ddof в std

fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize = (12, 5))

for i in [0, 1]:
    deviations = np.std(stats.norm.rvs(80, 5, (10000, 10)), axis=1, ddof=i)
    sns.histplot(x=deviations ,stat='probability', ax=ax[i])
    ax[i].vlines(5, 0, 0.06, color='r', lw=2)
    ax[i].set_title('ddof = ' + str(i), fontsize = 15)
    ax[i].set_ylim(0, 0.07)
    ax[i].set_xlim(0, 11)
fig.suptitle(r'$s={sqrt {{frac {1}{10 - mathrm{ddof}}}sum _{i=1}^{10}left(x_{i}-{bar {x}}right)^{2}}}$',
             fontsize = 20, y=1.15);

Является ли этот факт важным и можно ли теперь быть уверенными в выводе, который мы сделали на основе Z-статистики? Первое, что приходит в голову — посмотреть, как может быть распределено стандартное отклонение большого количества выборок из генеральной совокупности. Давайте сделаем 5000 тысяч выборок по 10 человек, взятых из распределения и посмотрим на распределение стандартного отклонения баллов этих выборок:

deviations  = np.std(stats.norm.rvs(80, 5, (5000, 10)), axis=1, ddof=1)
sns.histplot(x=deviations ,stat='probability');

Это похоже на колокол нормального распределения, но важнее то, что стандартное отклонение выборочных оценок не отклоняется до значения равного 10-и баллам. А это крайне настораживающе. Судите сами, если вероятность того, что отклонение среднего балла наших 10 респондентов от среднего генеральной совокупности составляет всего 2%, то вероятность того, что стандартное отклонение (уж простите за каламбур) может отклониться до значения в 10 баллов стремится к 0. А это означает, что для наших выводов об улучшении качества пива, есть вполне уместное замечание: может быть опрос 10-и респондентов свидетельствует не только об изменении среднего генеральной совокупности, может быть ее стандартное отклонение тоже изменилось.

В конце концов, добавление нового сорта хмеля могло привести к большей специфичности вкуса, следовательно, вызвать большую разнонаправленность в предпочтениях: кому-то этот вкус пива стал нравиться больше, кому-то меньше, но средняя оценка могла остаться прежней. Например, если генеральная совокупность оценок «нового» пива теперь распределена как , то Z-статистика и p-value для имеющихся 10-и оценок будет выглядеть не так обнадеживающе:

z = 10**0.5*(sample.mean()-80)/10
p = 1 - (stats.norm.cdf(z) - stats.norm.cdf(-z))
print(f'z = {z:.3}')
print(f'p-value = {p:.4}')

z = 1.17
p-value = 0.242

Оказывается, что для распределения резульататы оказались значимыми, но как только мы оценили стандартное отклонение генеральной совокупности тем же значением, что и у выборки, т.е. представили, что генеральная совокупность распределена как , то это очень сильно отразилось на значимости имеющихся оценок. Ведь вероятность получить такое же или даже еще более отклоненное среднее теперь равна не 2%, а почти 25%. Хотя, всего-то заменили на .

В конце концов, не является ли оценка стандартного отклонения генеральной совокупности значением отклонения выборки более разумным решением? Давайте выясним это! Для этого просто сравним то, как могут быть распределены две статистики: (напомню, что параметрами называют характеристики генеральной совокупности, а статистиками — характеристики выборок)

По сути мы просто придумали новую T-статистику, которая отличается от Z-статистики только тем, что в знаменателе стоит не генеральной совокупности, а выборки. А теперь сделаем 10000 выборок из , вычислим для каждой выборки Z- и T-статистику, а распределение значений изобразим в виде гистограмм:

fig, ax = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize = (12, 5))

N = 10000
samples = stats.norm.rvs(80, 5, (N, 10))
statistics = [lambda x: 10**0.5*(np.mean(x, axis=1) - 80)/5,
              lambda x: 10**0.5*(np.mean(x, axis=1) - 80)/np.std(x, axis=1, ddof=1)]
title = 'ZT'
bins = np.linspace(-6, 6, 80, endpoint=True)

for i in range(2):
    values = statistics[i](samples)
    sns.histplot(x=values ,stat='probability', bins=bins, ax=ax[i])
    p = values[(values > -2)&(values < 2)].size/N
    ax[i].set_title('P(-2 < {} < 2) = {:.3}'.format(title[i], p))
    ax[i].set_xlim(-6, 6)
    ax[i].vlines([-2, 2], 0, 0.06, color='r');

Я все-таки не удержался и сделал гифку:

Код для гифки

import matplotlib.animation as animation

fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize = (18, 8))

def animate(i):
    for ax in axes:
        ax.clear()
    N = 10000
    samples = stats.norm.rvs(80, 5, (N, 10))
    statistics = [lambda x: 10**0.5*(np.mean(x, axis=1) - 80)/5,
                  lambda x: 10**0.5*(np.mean(x, axis=1) - 80)/np.std(x, axis=1, ddof=1)]
    title = 'ZT'
    bins = np.linspace(-6, 6, 80, endpoint=True)

    for j in range(2):
        values = statistics[j](samples)
        sns.histplot(x=values ,stat='probability', bins=bins, ax=axes[j])
        p = values[(values > -2)&(values < 2)].size/N
        axes[j].set_title(r'$P(-2sigma < {} < 2sigma) = {:.3}$'.format(title[j], p))
        axes[j].set_xlim(-6, 6)
        axes[j].set_ylim(0, 0.07)
        axes[j].vlines([-2, 2], 0, 0.06, color='r')
    return axes

dist_animation = animation.FuncAnimation(fig, 
                                      animate, 
                                      frames=np.arange(7),
                                      interval = 200,
                                      repeat = False)

dist_animation.save('statistics_dist.gif',
                 writer='imagemagick', 
                 fps=1)

Просто мне кажется, что так можно продемонстрировать, как едва заметные черты могут оказаться чрезвычайно важными для исследователя. На что я хочу обратить ваше внимание? Во-первых, и слева, и справа мы видим свиду два одинаковых колоколообразных распределения. Вполне уместно предположить, что это два стандартных нормальных распределения, верно? Но, вот что любопытно, в интервал должен содержать около 95.5% всех значений. Для Z-статистики это требование выполняется, а для придуманной нами T-статистики не очень, потому что только 92-93% ее значений укладываются в заданный интервал. Казалось бы, что отличие не столь велико, чтобы заподозрить какую-то закономерность, но мы можем провести больше экспериментов:

statistics = [lambda x: 10**0.5*(np.mean(x, axis=1) - 80)/5,
              lambda x: 10**0.5*(np.mean(x, axis=1) - 80)/np.std(x, axis=1, ddof=1)]

quantity = 50
N=10000
result = []
for i in range(quantity):
    samples = stats.norm.rvs(80, 5, (N, 10))
    Z = statistics[0](samples)
    p_z = Z[(Z > -2)&((Z < 2))].size/N
    T = statistics[1](samples)
    p_t = T[(T > -2)&((T < 2))].size/N
    result.append([p_z, p_t])

result = np.array(result)
fig, ax = plt.subplots()

line1, line2 = ax.plot(np.arange(quantity), result)
ax.legend([line1, line2], 
          [r'$P(-2sigma < {} < 2sigma)$'.format(i) for i in 'ZT'])
ax.hlines(result.mean(axis=0), 0, 50, color='0.6');

В каждом из 50 экспериментов мы видим одно и тоже. Можно было бы заподозрить, что есть ошибка в коде, но его не так много, и легко убедиться в том, что вычисления выполняются верно. Так в чем же дело? А дело в том, что мы получили совершенно новый тип распределения! Снова взгляните на гифку с гистограммами распределений значений Z- и T- статистик, присмотритесь к основанию колокола каждой из них. Вам не кажется, что у распределения T-статистик основание чуть шире? Это хорошо видно по выпирающим за красные линии, так называемым — хвостам. А то, что эти хвосты несколько больше, или как еще говорят — тяжелее, чем у нормального распределения, так же будет означать, что мы будем наблюдать несколько больше сильных отклонений от вершины распределения. Проще говоря, мы теперь можем учитывать дисперсию выборки при оценке параметров генеральной совокупности. Однако, мы так и не ответили на вопрос — хорошо ли, можно ли, да и вообще зачем оценивать генеральной совокупности значением стандартного отклонения выборки.

Задумаемся о дисперсии

Когда мы рассматривали распределение значений Z-статистик, мы обращали внимание только на распределение выборочного среднего и даже не задавались вопросом о том, что выборочное стандартное отклонение тоже может как-то распределяться. Давайте возьмем 10000 выборок из по 10 элементов в каждой и посмотрим, как будет выглядеть зависимость стандартного отклонения выборок от их среднего значения:

# если график строиться слишком долго,
# то смените формат svg на png:
#%config InlineBackend.figure_format = 'png'

N = 10000
samples = stats.norm.rvs(80, 5, (N, 10))

means = samples.mean(axis=1)
deviations = samples.std(ddof=1, axis=1)
T = statistics[1](samples)
P = (T > -2)&((T < 2))

fig, ax = plt.subplots()

ax.scatter(means[P], deviations[P], c='b', alpha=0.7,
           label=r'$left | T right | < 2sigma$')
ax.scatter(means[~P], deviations[~P], c='r', alpha=0.7,
           label=r'$left | T right | > 2sigma$')

mean_x = np.linspace(75, 85, 300)
s = np.abs(10**0.5*(mean_x - 80)/2)
ax.plot(mean_x, s, color='k',
        label=r'$frac{sqrt{n}(bar{x}-mu)}{2}$')
ax.legend(loc = 'upper right', fontsize = 15)
ax.set_title('Зависимость выборочного стандартного отклоненияnот выборочного среднего',
             fontsize=15)
ax.set_xlabel(r'Среднее значение выборки ($bar{x}$)',
              fontsize=15)
ax.set_ylabel(r'Стандартное отклонение выборки ($s$)',
              fontsize=15);

Данный график интересен тем, что показывает зависимость среднего выборки от ее стандартного отклонения. На нем видно, что выборки, у которых и отклоняется очень сильно и одновременно практически не встречаются, т.е. точки стараются избегать углов графика. Это значит, что, если мы берем выборку из нормального распределения , то мы вряд ли увидим слишком большое значение при большом значении . А еще из данного графика следует, что экстремальные значения (красные точки) могут быть получены, только если выполняется следующее соотношение:

Учитывая, что , т.е. то, что мы снова измеряем расстояние от вершины распределения в сигмах, и то, что для нашего конкретного примера , а мы можем записать это условие следующим образом:

Границы данного условия обозначены на графике черной линией, а поскольку мы раньше уже вычисляли доли значений которые попадали в интервал , то мы можем сказать, что над черной линией находится около 92,5% всех точек.

Как интерпретировать это расположение и цвет точек? Давайте вспомним пример, от которого мы отталкивались. Мы сварили пиво с новым сортом хмеля, нашли десять человек (наша выборка) и попросили их оценить качество нового пива по 100-больной шкале. На основании их оценок мы пытаемся понять, как могут оценить качество пива все, кто его купит в дальнейшем (генеральная совокупность). Допустим среднее полученных 10-и оценок равно 82-м баллам, а стандартное отклонение равно всего 2-м баллам. Могут ли такие оценки быть получены случайно, если предположить, что генеральная совокупность имеет мат.ожидание , а стандартное отклонение такое же как у выборки, т.е. ? Чтобы выяснить это нужно вычислить Z-статистику:

Чтобы оценить вероятность случайного получения такого значения из нужно вычислить p-value:

z = 10**0.5*(82-80)/2
p = 1 - (stats.norm.cdf(z) - stats.norm.cdf(-z))
print(f'p-value = {p:.2}')

p-value = 0.0016

Вероятность того что 10 человек случайно дадут средню оценку равную 82-м баллам очень мала и составляет менее 2%. Но данное утверждение является верным только если мы предполагаем что эти десять человек взяты из генеральной совокупности всех потребителей в которой их оценки распределены как . И если мы действительно предполагаем, что , то мы можем быть вполне уверены, что оценки обусловлены новым сортом хмеля в составе пива, а не случайностью.

Такой результат может наблюдаться, например, в том случае, если мы пригласили экспертов в качестве респондентов. Только эксперты могли бы отметить небольшое улучшение качества пива (малое ) и при этом быть единодушны в оценках (малое ).

С другой стороны мы могли бы пригласить крайне разношерстную публику в качестве 10 респондентов. Они могли бы оценить качество пива так же в 82 балла, но со стандартным отклонением равным, допустим, 9-и баллам. Может ли такая оценка быть получена случайно? Проверим:

z = 10**0.5*(82-80)/9
p = 1 - (stats.norm.cdf(z) - stats.norm.cdf(-z))
print(f'p-value = {p:.2}')

p-value = 0.48

Значит получить случайным образом 10 оценок с результатом и из распределения более чем вероятно. Следовательно, мы не можем утверждать, что новый сорт хмеля в составе пива как-то повлиял на изменение мнения генеральной совокупности о его качестве.

Кстати, сейчас вполне уместно поинтересоваться тем, что произойдет если мы будем менять размер выборки. Давайте сделаем вот такую гифку:

Код для гифки

import matplotlib.animation as animation

fig, ax = plt.subplots(figsize = (15, 9))

def animate(i):
    ax.clear()
    N = 10000
    
    samples = stats.norm.rvs(80, 5, (N, i))

    means = samples.mean(axis=1)
    deviations = samples.std(ddof=1, axis=1)
    T = i**0.5*(np.mean(samples, axis=1) - 80)/np.std(samples, axis=1, ddof=1)
    P = (T > -2)&((T < 2))
    
    prob = T[P].size/N
    ax.set_title(r'зависимость $s$ от $bar{x}$ при $n = $' + r'${}$'.format(i),
                 fontsize = 20)
    ax.scatter(means[P], deviations[P], c='b', alpha=0.7,
               label=r'$left | T right | < 2sigma$')
    ax.scatter(means[~P], deviations[~P], c='r', alpha=0.7,
               label=r'$left | T right | > 2sigma$')

    mean_x = np.linspace(75, 85, 300)
    s = np.abs(i**0.5*(mean_x - 80)/2)
    ax.plot(mean_x, s, color='k',
            label=r'$frac{sqrt{n}(bar{x}-mu)}{2}$')
    ax.legend(loc = 'upper right', fontsize = 15)
    ax.set_xlim(70, 90)
    ax.set_ylim(0, 10)
    ax.set_xlabel(r'Среднее значение выборки ($bar{x}$)',
              fontsize='20')
    ax.set_ylabel(r'Стандартное отклонение выборки ($s$)',
              fontsize='20')
    return ax

dist_animation = animation.FuncAnimation(fig, 
                                      animate, 
                                      frames=np.arange(5, 21),
                                      interval = 200,
                                      repeat = False)

dist_animation.save('sigma_rel.gif',
                 writer='imagemagick', 
                 fps=3)

С увеличением элементов в выборке мы наблюдаем, что выборочные и стремятся к и распределения ,из которого эти выборки были взяты. Так что при больших значениях мы можем спокойно пользоваться Z-статистиками, зная что при увеличении стандартные отклонения выборки и генеральной совокупности будут все меньше отличаться друг от друга.

Но постойте! Разве мы не вернулись к тому, с чего начали? Ведь мы снова так и не ответили на вопрос — почему при малых размерах выборки мы предполагаем, что стандартное отклонение генеральной совокупности должно быть таким же, как у выборки. В нашем конкретном примере, с которого все началось, оценки 10-и респондентов выглядели так:

Среднее этой выборки , а стандартное оклонение , причем мы приняли во внимание, что полномасштабный опрос, до введения в состав нового сорта хмеля, показал, что оценки распределены как . Но вместо Z-статистики, мы решили использовать придуманную T-статистику, единственное отличие которой от Z-статистики состоит в том, что мы просто заменили в формуле генеральной совокупности на выборки. По сути мы просто решили проверить гипотезу относительно генеральной совокупности, которая теперь по каким-то причинам распределена не как , а как — это вообще правильно? Разве не нужно было бы проверить это предположение для самых разных значений ?: Почему мы не предполагаем, что , , или любое другое значение ?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте снова вернемся к изначальному смыслу доказательства гипотез. Суть состоит в том, чтобы на основании выборки из генеральной совокупности сделать какие-то выводы о параметрах распределения этой генеральной совокупности. В нашем примере мы были уверены, что оценки его качества распределены как , однако, когда мы сварили пиво с новым сортом хмеля, то мы получили 10 оценок, стандартное отклонение которых составило 10 баллов. В самом начале мы видели, что получить выборку с таким отклонением из просто невозможно. А это значит, что мы просто вынуждены как-то по новому оценить стандартное отклонение генеральной совокупности, иначе все наши выводы не будут иметь никакого отношения к реальности.

Давайте сделаем вот что: среднее нашей выборки , а стандартное оклонение , попробуем оценить вероятность получить такую выборку из при разных значениях . Но поскольку вероятность получить конкретное значение из непрерывного распределения стремится к нулю, то мы оценим вероятность получения выборки, у которой и :

N = 10000
sigma = np.linspace(5, 20, 151)
prob = []

for i in sigma:
    p = []
    for j in range(10):
        samples = stats.norm.rvs(80, i, (N, 10))
        means = samples.mean(axis=1)
        deviations = samples.std(ddof=1, axis=1)
        p_m = means[(means >= 83) & (means <= 84)].size/N
        p_d = deviations[(deviations >= 9.5) & (deviations <= 10.5)].size/N
        p.append(p_m*p_d)
    prob.append(sum(p)/len(p))
prob = np.array(prob)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(sigma, prob)
ax.set_xlabel(r'Стандартное отклонение генеральной совокупности ($sigma$)',
              fontsize=20)
ax.set_ylabel('Вероятность',
              fontsize=20);

Как видите, максимум вероятности достигается при . Именно по этой причине, когда мы имеем дело с небольшими выборками, мы проверяем гипотезу о распределении генеральной совокупности не относительно известного нам значения ее стандартного отклонения , а относительно стандартного отклонения выборки . Если параметры генеральной совокупности как-то изменились, то мы заранее предполагаем, что ее стандартное отклонение теперь равно стандартному отклонению выборки, просто потому, что вероятность такого изменения максимальна. Вот и все.

А это точно мы изобрели T-статистику?

Давайте представим, что некий инженер в какой-нибудь компании по производству шариков для пинг-понга решил задачу по сверхплотной упаковке шаров. После этого в один грузовой контейнер стало влезать на 1% больше шариков, что в общем-то не густо. Но тем не менее, глава компании мог посчитать этот результат очень важным и запретить инженеру распространять свое решение, так как это решение теперь является коммерческой тайной. Вот так, важный для цивилизации теоретический результат мог бы остаться в тайне ради ничтожного увеличения прибыли какой-то компании по производству шариков для пинг-понга. Абсурд?

Несомненно — абсурд! Однако, что-то подобное чуть не произошло с Уильямом Госсетом, когда он работал на пивоварне «Гиннес» и открыл t-распределение. Оценить практическую значимость некоторых статистических открытий очень сложно, но не в тех случаях, когда на кону астрономические потенциальные прибыли и стратегическое развитие компании, или даже государства. Например, последовательный критерий отношений правдоподобия Вальда, открытый в 1943 году во время войны вообще засекретили, так как этот критерий позволял на 50% уменьшить среднее число наблюдений в выборке. Короче, статистика — это крайне полезная наука.

Итак, Уильям Госсет отвечал за контроль качества в пивоварне «Гиннес» и пытался решить проблему появления ошибок при использовании выборок ограниченного размера. Госсет проделал все то же самое, что мы проделали с вами выше (только без компьютера!) и сделал вывод о том, что если выборка берется из «нормальной» генеральной совокупности и что если использовать стандартное отклонение выборки для оценки стандартного отклонение этой самой генеральной совокупности, то распрделение выборочного среднего можно описать уже знакомой нам формулой:

Данная формула и является формулой так называемого t-распределения, оно же распределение Стьюдента. Учитывая, что история о том, как Госсет использовал псевдоним «Стьюдент», для обхода наложенным Гиннесом запрета на публикации работ, довольно широко известна, то, наверное, было бы правильнее называть это распределение — распределением Госсета. Но названия «распределение Стьюдента», или используемое немного реже «t-распределение» так сильно устоялись, что мы не будем нарушать эту общепринятую договоренность.

Еще один способ получить распределение Стьюдента заключается в использовании вот этой формулы:

которая позволяет прояснить понятие «степени свободы» выборки. Пусть случайные переменные берутся из стандартного нормального распределения, т.е. , тогда значение , т.е. объем выборки, как раз и определяет степень свободы распределения Стьюдента. А принадлежность какой-нибудь случайной величины к распределению Стьюдента с определенным числом степеней свободы обозначается, как:

Давайте попробуем взглянуть на то, как будет меняться распределение Стьюдента при увеличении числа степеней свободы:

Код для гифки

import matplotlib.animation as animation

fig, ax = plt.subplots(figsize = (15, 9))

def animate(i):
    ax.clear()
    N = 15000
    
    x = np.linspace(-5, 5, 100)
    ax.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1), color='r')
    
    samples = stats.norm.rvs(0, 1, (N, i))
    
    t = samples[:, 0]/np.sqrt(np.mean(samples[:, 1:]**2, axis=1))
    t = t[(t>-5)&(t<5)]
    sns.histplot(x=t, bins=np.linspace(-5, 5, 100), stat='density', ax=ax)
    
    ax.set_title(r'Форма распределения $t(n)$ при n = ' + str(i), fontsize = 20)
    ax.set_xlim(-5, 5)
    ax.set_ylim(0, 0.5)
    return ax

dist_animation = animation.FuncAnimation(fig, 
                                      animate, 
                                      frames=np.arange(2, 21),
                                      interval = 200,
                                      repeat = False)

dist_animation.save('t_rel_of_df.gif',
                 writer='imagemagick', 
                 fps=3)

На этой гифке видно, как по мере увеличения , гистограмма распределения Стьюдента подбирает свои хвосты, стараясь занять всю площадь под красной линией, которая соответствует функции распределения плотности вероятности . Чтобы увидеть это более наглядно, распределение Стьюдента лучше так же изображать в виде линий функций плотности вероятности, которые можно вычислить по следующей формуле:

Но лучше воспользуемся готовой реализацией в SciPy:

Код для гифки

import matplotlib.animation as animation

fig, ax = plt.subplots(figsize = (15, 9))

def animate(i):
    ax.clear()
    N = 15000
    
    x = np.linspace(-5, 5, 100)
    ax.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1), color='r')
    ax.plot(x, stats.t.pdf(x, df=i))
    
    ax.set_title(r'Форма распределения $t(n)$ при n = ' + str(i), fontsize = 20)
    ax.set_xlim(-5, 5)
    ax.set_ylim(0, 0.45)
    return ax

dist_animation = animation.FuncAnimation(fig, 
                                      animate, 
                                      frames=np.arange(2, 21),
                                      interval = 200,
                                      repeat = False)

dist_animation.save('t_pdf_rel_of_df.gif',
                 writer='imagemagick', 
                 fps=3)

Здесь гораздо лучше видно, что при увеличении (параметр df в коде) распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению. Что в общем-то и неудивительно, так как ранее мы уже видели, что при увеличении выборки, ее стандартное отклонение все меньше колеблется вокруг стандартного отклонения генеральной совокупности.

t-распределение на практике

Давайте сразу выполним t-тест из модуля SciPy для выборки из нашего примера с пивом:

sample = np.array([89,99,93,84,79,61,82,81,87,82])

stats.ttest_1samp(sample, 80)

Ttest_1sampResult(statistic=1.163532240174695, pvalue=0.2745321678073461)

А теперь попробуем получить тот же самый результат самостоятельно:

T = 9**0.5*(sample.mean() -80)/sample.std()
T

1.163532240174695

Обратите внимание, что при вычислении мы использовали не размер выборки , а количество степеней свободы , которое вычисляется как . Да, количество степеней свободы распределения Стьюдента на 1 меньше объема выборки, а связано это, как вы уже догадались, с разницей в вычислениях стандартного отклонения для выборки и генеральной совокупности. Добиться такого же результата мы можем и так:

T = 10**0.5*(sample.mean() -80)/sample.std(ddof=1)
T

1.1635322401746953

Хорошо, значение t-статистики мы вычислили, как вычислить значение p-value? Думаю, вы и до этого уже догадались — нужно проделать все то же самое, что мы делали при вычислении p-value для Z-статистики, но только с использованием t-распределения:

t = stats.t(df=9)
fig, ax = plt.subplots()
x = np.linspace(t.ppf(0.001), t.ppf(0.999), 300)
ax.plot(x, t.pdf(x))
ax.hlines(0, x.min(), x.max(), lw=1, color='k')
ax.vlines([-T, T], 0, 0.4, color='g', lw=2)
x_le_T, x_ge_T = x[x<-T], x[x>T]
ax.fill_between(x_le_T, t.pdf(x_le_T), np.zeros(len(x_le_T)), alpha=0.3, color='b')
ax.fill_between(x_ge_T, t.pdf(x_ge_T), np.zeros(len(x_ge_T)), alpha=0.3, color='b')

p = 1 - (t.cdf(T) - t.cdf(-T))
ax.set_title(r'$P(left | T right | geqslant {:.3}) = {:.3}$'.format(T, p));

Мы видим, что p-value чуть больше 27%, т.е. вероятность того, что результат получен случайно — довольно велика, особенно в соответствии с самым распространенным уровнем значимости , который меньше p-value более, чем в 5 раз. Что ж, наши результаты не являются значимыми, но они пригодны для демонстрации вычисления доверительного интервала — границы значений математического ожидания генеральной совокупности, в пределах которых оно находится с заданной вероятностью , обычно равной 0.95:

Чтобы вычислить данный интервал в SciPy, достаточно воспользоваться методом interval с заданными параметрами loc (смещение) и scale (масштаб) для нашей выборки:

sample_loc = sample.mean()
sample_scale = sample.std(ddof=1)/10**0.5
ci = stats.t.interval(0.95, df=9, loc=sample_loc, scale=sample_scale)
ci

(76.50640345566619, 90.89359654433382)

Учитывая, что , то мы можем утверждать, что с вероятностью математическое ожидание генеральной совокупности находится в пределах интервала . Чем шире доверительный интервал, тем больше вероятность того, что мы получим совсем другое выборочное среднее , если возьмем другую выборку такого же объема из генеральной совокупности.

Напоследок

Что ж, прошу прощения, друзья, но продолжать и улучшать статью больше нет никаких сил (аврал выбил из колеи). Надеюсь, этого материала будет достаточно, чтобы вы самостоятельно смогли заглянуть под капот t-критерия для независимых выборок, t-критерия для парных измерений, а так же t-критерия для выборок с неравной дисперсией.

Конечно, хотелось бы в конце вставить какую-нибудь гифку, но хочу закончить фразой Герберта Спенсера: «Величайшая цель образования — не знание, а действие«, так что запускайте свои анаконды и действуйте! Особенно это касается самоучек, вроде меня.

Жму F5 и жду ваших комментариев!