Предельная ошибка это доверительный интервал - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Ошибки выборки
бывают систематические и случайные.

Систематические
— в том
случае, когда нарушен основной принцип
выборки — случайности.
Случайные
— возникают обычно ввиду того, что
структура выборочной совокупности
всегда отличается от структуры
генеральной совокупности, как бы
правильно ни был произведен отбор, то
есть, несмотря на принцип случайности
отбора единиц совокупности, все же
имеются расхождения между характеристиками
выборочной и генеральной совокупности.
Изучение и измерение случайных ошибок
репрезентативности и является основной
задачей выборочного метода.

Как правило,
чаще всего рассчитывают ошибку средней
и ошибку доли. При расчетах используются
следующие условные обозначения:

—средняя, рассчитанная
в пределах генеральной совокупности;

— средняя,
рассчитанная в пределах выборочной
совокупности;

p — доля данной
группы в генеральной совокупности;

w — доля данной
группы в выборочной совокупности.

Используя условные
обозначения, ошибки выборки для средней
и для доли можно записать следующим
образом:

В этих формулах
дисперсия признака является характеристикой
генеральной совокупности, которые при
выборочном наблюдении неизвестны. На
практике их заменяют аналогичными
характеристиками выборочной совокупности
на основании закона больших чисел, по
которому выборочная совокупность при
большом объеме точно воспроизводит
характеристики генеральной совокупности.

Формулы определения
средней ошибки для различных способов
отбора:

Повторный

Бесповторный

Способ
отбора

ошибка
средней

ошибка
доли

ошибка
средней

ошибка
доли

Собственно-случайный

и
механический

Типический

Серийный

D — предельная
ошибка;

m — средняя ошибка;

n — численность
выборки;

N — численность
генеральной совокупности;

—
общая дисперсия;

w — доля данной
категории в общей численности выборки;

—
средняя из внутригрупповых дисперсий;

d2 — межгрупповая
дисперсия;

r — число серий в
выборке;

R — общее число
серий.

Предельная ошибка
для всех способов отбора связана со
средней ошибкой выборки следующим
образом:

D = tm,

где t — коэффициент
доверия, функционально связанный с
вероятностью, с которой обеспечивается
величина предельной ошибки. В зависимости
от вероятности коэффициент доверия t
принимает следующие значения:

t P

1 0,683

1,5 0,866

2 0,954

2,5 0,988

3 0,997

4 0,9999

Величина предельной
ошибки зависит от следующих величин:

колеблемости
признака (прямая связь), которую
характеризует величина дисперсии;
численности
выборки (обратная связь);
доверительной
вероятности (прямая связь);
метода отбора.

Помимо прямой
задачи (определение величины ошибки)
формула предельной ошибки позволяет
решать еще две задачи.

Определить
необходимую численность выборки, при
которой пределы возможной ошибки не
превышают некоторой заданной величины.

Определить
вероятность того, что в проведенной
выборке ошибка будет заключаться в
заданных пределах.

Решение этих
задач зависит от способа отбора. Например,
необходимая численность выборки для
повторного отбора:

при без повторной:

Построение
доверительных интервалов.

При выборке малого объема точечная
оценка может значительно отличаться
от оцениваемого параметра, что приводит
к грубым ошибкам. Поэтому в таком случае
лучше пользоваться интервальными
оценками, то есть указывать интервал,
в который с заданной вероятностью
попадает истинное значение оцениваемого
параметра. Разумеется, чем меньше длина
этого интервала, тем точнее оценка
параметра. Поэтому, если для оценки Θ*
некоторого параметра Θ справедливо
неравенство | Θ* — Θ | < δ, число δ > 0
характеризуетточность оценки ( чем
меньше δ, тем точнее оценка). Но
статистические методы позволяют говорить
только о том, что это неравенство
выполняется с некоторой вероятностью.

Определение 18.1. Надежностью
(доверительной вероятностью)оценки
Θ* параметра Θ называется вероятность
γ того, что выполняется неравенство |
Θ* — Θ | < δ. Если заменить это неравенство
двойным неравенством – δ < Θ* — Θ < δ,
то получим:

p(Θ* -δ<Θ<Θ* +δ) =γ.

Таким образом, γ есть вероятность того,
что Θ попадает в интервал ( Θ* — δ, Θ* + δ).

Определение 18.2. Доверительным
называется интервал, в который попадает
неизвестный параметр с заданной
надежностью γ.

Построение доверительных
интервалов.

1. Доверительный интервал для оценки
математического ожидания нормального
распределения при известной дисперсии.

Пример. Найдем доверительный интервал
для математического ожидания нормально
распреде-ленной случайной величины,
если объем выборки п= 49,σ
= 1,4, а доверительная вероятность γ = 0,9.

Определим t, при котором
Ф(t) = 0,9:2 = 0,45:t= 1,645. Тогда

, или 2,471 < a<
3,129. Найден доверительный интервал, в
который попадаетас надежностью
0,9.

2. Доверительный интервал для оценки
математического ожидания нормального
распределения при неизвестной дисперсии.

Пример. Пусть объем выборки п= 25,= 3,s= 1,5. Найдем доверительный интервал дляапри γ = 0,99. Из таблицы находим, чтоt_γ(п= 25, γ = 0,99) = 2,797. Тогда, или 2,161<a< 3,839 – доверительный интервал, в
который попадаетас вероятностью
0,99.

3. Доверительные интервалы для оценки
среднего квадратического отклонения
нормального распределения.

Будем искать для среднего квадратического
отклонения нормально распределенной
случайной величины доверительный
интервал вида (s –
δ, s +δ), гдеs– исправленное выборочное среднее
квадратическое отклонение, а для δ
выполняется условие:p( |σ –s| < δ ) = γ.

. Тогда Существуют таблицы для
распределения «хи-квадрат», из которых
можно найти qпо
заданнымпи γ, не решая этого
уравнения. Таким образом, вычислив по
выборке значениеsи
определив по таблице значение q,
можно найти доверительный интервал
(18.4), в который значение σ попадает с
заданной вероятностью γ.

Замечание.Еслиq> 1, то с учетом условия σ > 0 доверительный
интервал для σ будет иметь границы

Пример.

Пусть п= 20,s= 1,3.
Найдем доверительный интервал для σ
при заданной надежности γ = 0,95. Из
соответствующей таблицы находимq(n= 20,γ= 0,95 ) = 0,37. Следовательно, границы
доверительного интервала: 1,3(1-0,37) = 0,819
и 1,3(1+0,37) = 1,781. Итак, 0,819< σ <
1,781 с вероятностью 0,95.

Виды
выборок.

В зависимости от методики формирования
выборочной совокупности различают
следующие основные виды выборки:

собственно случайную;

механическую;

типическую (стратифицированную,
районированную);

серийную (гнездовую);

комбинированную;

многоступенчатую;

многофазную;

взаимопроникающую.

Собственно случайная выборка формируется
в строгом соответствии с научными
принципами и правилами случайного
отбора. Для получения собственно
случайной выборки генеральная совокупность
строго подразделяется на единицы отбора,
и затем в случайном повторном или
бесповторном порядке отбирается
достаточное число единиц.

Случайный порядок подобен жеребьевке.
На практике он чаще всего применяется
при использовании специальных таблиц
случайных чисел. Если, например, из
совокупности, содержащей 1587 единиц,
следует отобрать 40 единиц, то из таблицы
отбирают 40 четырехзначных чисел, которые
меньше 1587.

В том случае, когда собственно случайная
выборка организуется как повторная,
расчет стандартной ошибки производится
в соответствии с формулой (6.2). При
бесповторном способе отбора формула
для расчета стандартной ошибки будет:

где 1 – n / N – доля единиц генеральной
совокупности, не попавших в выборку.
Так как эта доля всегда меньше единицы,
то ошибка при бесповторном отборе при
прочих равных условиях всегда меньше,
чем при повторном. Бесповторный отбор
организовать легче, чем повторный, и он
применяется намного чаще. Однако величину
стандартной ошибки при бесповторном
отборе можно определять по более простой
формуле (5.1). Такая замена возможна, если
доля единиц генеральной совокупности,
не попавших в выборку, большая и,
следовательно, величина близка к единице.

Формировать выборку в строгом соответствии
с правилами случайного отбора практически
очень сложно, а иногда невозможно, так
как при использовании таблиц случайных
чисел необходимо пронумеровать все
единицы генеральной совокупности.
Довольно часто генеральная совокупность
такая большая, что провести подобную
предварительную работу чрезвычайно
сложно и нецелесообразно, поэтому на
практике применяют другие виды выборок,
каждая из которых не является строго
случайной. Однако организуются они так,
чтобы было обеспечено максимальное
приближение к условиям случайного
отбора.

При чисто механической выборке вся
генеральная совокупность единиц должна
быть прежде всего представлена в виде
списка единиц отбора, составленного в
каком-то нейтральном по отношению к
изучаемому признаку порядке, например
по алфавиту. Затем список единиц отбора
разбивается на столько равных частей,
сколько необходимо отобрать единиц.
Далее по заранее установленному правилу,
не связанному с вариацией исследуемого
признака, из каждой части списка
отбирается одна единица. Этот вид выборки
не всегда может обеспечить случайный
характер отбора, и полученная выборка
может оказаться смещенной. Объясняется
это тем, что, во-первых, упорядочение
единиц генеральной совокупности может
иметь элемент неслучайного характера.
Во-вторых, отбор из каждой части
генеральной совокупности при неправильном
установлении начала отсчета может также
привести к ошибке смещения. Однако
практически легче организовать
механическую выборку, чем собственно
случайную, и при проведении выборочных
обследований чаще всего пользуются
этим видом выборки. Стандартную ошибку
при механической выборке определяют
по формуле собственно случайной
бесповторной выборки (6.2).

Типическая (районированная,
стратифицированная) выборка преследует
две цели:

• обеспечить представительство в
выборке соответствующих типических
групп генеральной совокупности по
интересующим исследователя признакам;

• увеличить точность результатов
выборочного обследования.

При типической выборке до начала ее
формирования генеральная совокупность
единиц разбивается на типические группы.
При этом очень важным моментом является
правильный выбор группировочного
признака. Выделенные типические группы
могут содержать одинаковое или различное
число единиц отбора. В первом случае
выборочная совокупность формируется
с одинаковой долей отбора из каждой
группы, во втором – с долей, пропорциональной
ее доле в генеральной совокупности.
Если выборка формируется с равной долей
отбора, по существу она равносильна
ряду собственно случайных выборок из
меньших генеральных совокупностей,
каждая из которых и есть типическая
группа. Отбор из каждой группы
осуществляется в случайном (повторном
или бесповторном) либо механическом
порядке. При типической выборке, как с
равной, так и неравной долей отбора,
удается устранить влияние межгрупповой
вариации изучаемого признака на точность
ее результатов, так как обеспечивается
обязательное представительство в
выборочной совокупности каждой из
типических групп. Стандартная ошибка
выборки будет зависеть не от величины
общей дисперсии ?2, а от величины средней
из групповых дисперсий ?i2. Поскольку
средняя из групповых дисперсий всегда
меньше общей дисперсии, постольку при
прочих равных условиях стандартная
ошибка типической выборки будет меньше
стандартной ошибки собственно случайной
выборки.

При определении стандартных ошибок
типической выборки применяются следующие
формулы:

• при повторном способе отбора

• при бесповторном способе отбора:

– средняя из групповых дисперсий в
выборочной совокупности.

Серийная (гнездовая) выборка – это такой
вид формирования выборочной совокупности,
когда в случайном порядке отбираются
не единицы, подлежащие обследованию, а
группы единиц (серии, гнезда). Внутри
отобранных серий (гнезд) обследованию
подвергаются все единицы. Серийную
выборку практически организовать и
провести легче, чем отбор отдельных
единиц. Однако при этом виде выборки,
во-первых, не обеспечивается
представительство каждой из серий и,
во-вторых, не устраняется влияние
межсерийной вариации изучаемого признака
на результаты обследования. В том случае,
когда эта вариация значительна, она
приведет к увеличению случайной ошибки
репрезентативности. При выборе вида
выборки исследователю необходимо
учитывать это обстоятельство. Стандартная
ошибка серийной выборки определяется
по формулам:

• при повторном способе отбора —

где ?– межсерийная дисперсия выборочной
совокупности; r – число отобранных
серий;

• при бесповторном способе отбора —

где R – число серий в генеральной
совокупности.

В практике те или иные способы и виды
выборок применяются в зависимости от
цели и задач выборочных обследований,
а также возможностей их организации и
проведения. Чаще всего применяется
комбинирование способов отбора и видов
выборки. Такие выборки получили название
комбинированные. Комбинирование возможно
в разных сочетаниях: механической и
серийной выборки, типической и
механической, серийной и собственно
случайной и т. д. К комбинированной
выборке прибегают для обеспечения
наибольшей репрезентативности с
наименьшими трудовыми и денежными
затратами на организацию и проведение
обследования.

При комбинированной выборке величина
стандартной ошибки выборки состоит из
ошибок на каждой ее ступени и может быть
определена как корень квадратный из
суммы квадратов ошибок соответствующих
выборок. Так, если при комбинированной
выборке в сочетании использовались
механическая и типическая выборки, то
стандартную ошибку можно определить
по формуле

где ?1 и ?2 – стандартные ошибки
соответственно механической и типической
выборок.

Особенность многоступенчатой выгборки
состоит в том, что выборочная совокупность
формируется постепенно, по ступеням
отбора. На первой ступени с помощью
заранее определенного способа и вида
отбора отбираются единицы первой
ступени. На второй ступени из каждой
единицы первой ступени, попавшей в
выборку, отбираются единицы второй
ступени и т. д. Число ступеней может быть
и больше двух. На последней ступени
формируется выборочная совокупность,
единицы которой подлежат обследованию.
Так, например, для выборочного обследования
бюджетов домашних хозяйств на первой
ступени отбираются территориальные
субъекты страны, на второй – районы в
отобранных регионах, на третьей – в
каждом муниципальном образовании
отбираются предприятия или организации
и, наконец, на четвертой ступени – в
отобранных предприятиях отбираются
семьи.

Таким образом, выборочная совокупность
формируется на последней ступени.
Многоступенчатая выборка более гибкая,
чем другие виды, хотя в общем она дает
менее точные результаты, чем выборка
того же объема, но сформированная в одну
ступень. Однако при этом она имеет одно
важное преимущество, которое заключается
в том, что основу выборки при многоступенчатом
отборе нужно строить на каждой из
ступеней только для тех единиц, которые
попали в выборку, а это очень важно, так
как нередко готовой основы выборки нет.

Стандартную ошибку выборки при
многоступенчатом отборе при группах
разных объемов определяют по формуле

где ?1, ?2, ?3, … – стандартные ошибки на
разных ступенях;

n1, n2, n3, … – численность выборок на
соответствующих ступенях отбора.

В том случае, если группы неодинаковы
по объему, то теоретически этой формулой
пользоваться нельзя. Но если общая доля
отбора на всех ступенях постоянна, то
практически расчет по этой формуле не
приведет к искажению величины ошибки.

Сущность многофазной выгборки состоит
в том, что на основе первоначально
сформированной выборочной совокупности
образуют подвыборку, из этой подвыборки
– следующую подвыборку и т. д. Первоначальная
выборочная совокупность представляет
собой первую фазу, подвыборка из нее –
вторую и т. д. Многофазную выборку
целесообразно применять в случаях,
если:

для изучения различных признаков
требуется неодинаковый объем выборки;

колеблемость изучаемых признаков
неодинакова и требуемая точность
различна;

в отношении всех единиц первоначальной
выборочной совокупности (первая фаза)
необходимо собрать менее подробные
сведения, а в отношении единиц каждой
последующей фазы – более подробные.

Одним из несомненных достоинств
многофазной выборки является то
обстоятельство, что сведениями,
полученными на первой фазе, можно
пользоваться как дополнительной
информацией на последующих фазах,
информацией второй фазы – как
дополнительной информацией на следующих
фазах и т. д. Такое использование сведений
повышает точность результатов выборочного
обследования.

При организации многофазной выборки
можно применять сочетание различных
способов и видов отбора (типическую
выборку с механической и т. д.). Многофазный
отбор можно сочетать с многоступенчатым.
На каждой ступени выборка может быть
многофазной.

Стандартная ошибка при многофазной
выборке рассчитывается на каждой фазе
в отдельности в соответствии с формулами
того способа отбора и вида выборки, при
помощи которых формировалась ее
выборочная совокупность.

Взаимопроникающие выгборки – это две
или более независимые выборки из одной
и той же генеральной совокупности,
образованные одним и тем же способом и
видом. К взаимопроникающим выборкам
целесообразно прибегать, если необходимо
за короткий срок получить предварительные
итоги выборочных обследований.
Взаимопроникающие выборки эффективны
для оценки результатов обследования.
Если в независимых выборках результаты
одинаковы, то это свидетельствует о
надежности данных выборочного
обследования. Взаимопроникающие выборки
иногда можно применять для проверки
работы различных исследователей, поручив
каждому из них провести обследование
разных выборок.

Стандартная ошибка при взаимопроникающих
выборках определяется по той же формуле,
что и типическая пропорциональная
выборка (5.3). Взаимопроникающие выборки
по сравнению с другими видами требуют
больших трудовых затрат и денежных
расходов, поэтому исследователь должен
учитывать это обстоятельство при
проектировании выборочного обследования.

Предельные ошибки при различных способах
отбора и видах выборки определяются по
формуле ? = t?, где ? – соответствующая
стандартная ошибка.

Малые
выборки.

Таблицы интеграла вероятностей
используются для выборок большого
объема из бесконечно большой генеральной
совокупности. Но уже при п < \ 00 получается
несоответствие между табличными данными
и вероятностью предела; при п < 100
погрешность становится значительной.
Несоответствие вызывается главным
образом характером распределения единиц
генеральной совокупности. При большом
объеме выборки особенность распределения
в генеральной совокупности не имеет
значения, так как распределение отклонений
выборочного показателя от генеральной
характеристики при большой выборке
всегда оказывается нормальным.

В выборках небольшого объема п ≤ 30
характер распределения генеральной
совокупности сказывается на распределении
ошибок выборки. Поэтому для расчета
ошибки выборки при небольшом объеме
наблюдения (уже менее 100 единиц) отбор
должен проводиться из совокупности,
имеющей нормальное распределение.

Теория малых выборок разработана
английским статистиком В. Госсетом
(писавшим под псевдонимом Стьюдент) в
начале XX в. В 1908 г. им построено специальное
распределение, которое позволяет и при
малых выборках соотносить t и доверительную
вероятность F(t). При п > 100 таблицы
распределения Стьюдента дают те же
результаты, что и таблицы интеграла
вероятностей Лапласа, при 30 ≤ п ≤ 100
различия незначительны. Поэтому
практически к малым выборкам относят
выборки объемом менее 30 единиц (безусловно,
большой считается выборка с объемом
более 100 единиц).

Использование малых выборок в ряде
случаев обусловлено характером
обследуемой совокупности. Так, в
селекционной работе «чистого» опыта
легче добиться на небольшом числе
делянок. Производственный и экономический
эксперимент, связанный с экономическими
затратами, также проводится на небольшом
числе испытаний.

Как уже отмечалось, в случае малой
выборки только для нормально распределенной
генеральной совокупности могут быть
рассчитаны и доверительные вероятности,
и доверительные пределы генеральной
средней.

Плотность вероятностей распределения
Стьюдента описывается функцией

где t — текущая переменная;

п — объем выборки;

В — величина, зависящая лишь от п.

Распределение Стьюдента имеет только
один параметр: d.f. -число степеней свободы
(иногда обозначается k).

Это распределение, как и нормальное,
симметрично относительно точки t = 0, но
оно более пологое. При увеличении объема
выборки, а следовательно, и числа степеней
свободы распределение Стьюдента быстро
приближается к нормальному. Число
степеней свободы равно числу тех
индивидуальных значений признаков,
которыми нужно располагать для определения
искомой характеристики.

Так, для расчета дисперсии должна быть
известна средняя величина. Поэтому при
расчете дисперсии d.f. = п — 1

Таблицы распределения Стьюдента
публикуются в двух вариантах:

1) аналогично таблицам интеграла
вероятностей приводятся значения t и
соответствующие вероятности F(t) при
разном числе степеней свободы;

2) значения t приводятся для наиболее
употребимых доверительных вероятностей
0,90; 0,95 и 0,99 или для 1 — 0,9 = 0,1, 1 — 0,95 = = 0,05 и
1 — 0,99 == 0,01 при разном числе степеней
свободы. Такого рода таблица приведена
в приложении (табл. 2), а также значение
t-критерия Стьюдента при уровне значимости
0,10; 0,05; 0,01.

При малых выборках расчет средней
возможной ошибки основан на выборочных
дисперсиях, поэтому

Приведенная формула используется для
определения предела возможной ошибки
выборочного показателя:

Порядок расчетов тот же, что и при больших
выборках.

Пример. Для изучения интенсивности
труда было организовано наблюдение за
10 отобранными рабочими. Доля работавших
все время оказалась равной 0,40, дисперсия
0,4•0,6 = 0,24. По табл. 2 приложения находим
для F(t) = 0,95 и d.f. = n — 1 = 9, t = 2,26. Рассчитаем
среднюю ошибку выборки доли работавших
все время:

Тогда предельная ошибка выборки ?p =
2,26•0,16 = ± 0,36. Таким образом, с вероятностью
0,95 доля рабочих, работавших без простоев,
в данном цехе предприятия находится в
пределах

39,64% ≤ ? ≤ 40,36%

или

39,6% ≤ ? ≤ 40,4%.

Если бы мы использовали для расчета
доверительных границ генерального
параметра таблицу интеграла вероятностей,
то t было бы равно 1,96 и ?p — ± 0,31, т. е.
доверительный интервал был бы несколько
уже.

Малые выборки широко используются для
решения задач, связанных с испытанием
статистических гипотез, особенно гипотез
о средних величинах.

Индексный
анализ финансовых показателей.

Индексный метод позволяет определить
влияние факторов на обобщающий показатель
в динамике. Метод основывается на
использовании относительных показателей,
выражающих отношение уровня данного
явления к его уровню, принятому в качестве
базы. Различают индивидуальные и
групповые индексы. Кроме того, в анализе
хозяйственной деятельности используются
индексы базисные, показывающие изменение
явления относительно базисного периода,
и цепные, характеризующие изменение
явления относительно предыдущего
периода.

Например, анализируется изменение
объема товарной продукции (Т) за четыре
месяца – Т1, Т2, Т3,

Принимая в качестве базисного периода
один месяц, получаем для каждого 1-го
месяца базисный

Iбаз = Тi /Т1 и цепной индекс Iцеп = Тi /Тi–1:

Iбаз5/1 = Iцеп1/1 • Iцеп2/1 • Iцеп3/2 • Iцеп4/3.

Индексный метод может быть использован
для факторного анализа какого-либо
показателя.

Например, необходимо определить изменение
по сравнению с прошлым годом объема
товарной продукции ?Т под влиянием
переменной численности рабочих (а) и
производительности их труда (в). Для
решения строится система взаимосвязанных
индексов:

Iобщ = (в1• а1)/(в0• а0) = Т1/ Т0,

где Iобщ – общий групповой индекс
изменения объема выпуска продукции;
в1, в0 – среднегодовая выработка товарной
продукции на одного рабочего соответственно
в анализируемом и базисном периодах;
а1, а0 – среднегодовая выработка товарной
продукции на одного рабочего соответственно
в анализируемом и базисном периодах;
Т1, Т0 – объем товарной продукции
соответственно в анализируемом и прошлом
базисном периодах.

При построении факторных индексов для
определения влияния количественного
показателя качественный фиксируется
на базисном уровне в0, а при установлении
влияния качественного показателя
количественный фиксируется на уровне
а1. Тогда:

Iобщ = Iа • Iв,

где Iа – факторный индивидуальный индекс
изменения численности рабочих;

Iв– факторный индивидуальный индекс
изменения средней годовой выработки
одного рабочего.

При этой величине отклонение товарной
продукции под действием обоих факторов
равна:

?Т = (в0а1 – в0а0) + (в1а1 – в0а1) = в1а1 – в0а0.

Виды
статистических индексов.

Статистический
индекс — это относительная величина
сравнения сложных совокупностей и
отдельных их единиц. При этом под сложной
понимается такая статистическая
совокупность, отдельные элементы которой
непосредственно не подлежат суммированию.

Основой
индексного метода при определении
изменений в производстве и обращении
товаров является переход от
натурально-вещественной формы выражения
товарных масс к стоимостным (денежным)
измерителям. Именно посредством денежного
выражения стоимости отдельных товаров
устраняется их несравнимость и достигается
единство.

Виды
индексов различают по следующим факторам:

по
степени охвата элементов совокупности:

индивидуальные
– характеризуют изменение только
одного элемента совокупности;

сводные
(общие) – отражают изменения по всей
совокупности элементов сложного
явления. Их разновидностью являются
групповые индексы.

в
зависимости от содержания и характера
индексируемой величины:

индексы
количественных показателей (например,
индекс физического объема);

индексы
качественных показателей (например,
индекс цен, себестоимости, производительности
труда).

в
зависимости от методологии расчета:

агрегатные
– могут быть рассчитаны как индексы
переменного и постоянного состава;

средние
из индивидуальных – получаются путем
нахождения общих индексов с использованием
индивидуальных.

Для
удобства восприятия индексов в теории
статистики разработана символика:

—
q – количество единиц какого-либо вида
продукции;

—
p – цена единицы какого-либо вида
продукции;

—
z – себестоимость единицы какого-либо
вида продукции;

—
t – трудоемкость единицы какого-либо
вида продукции

Индивидуальные
индексы. Правила построения и анализа.

индивидуальные
индексы
— это индексы, которые характеризуют
изменение только одного элемента
совокупности.

Различают
следующие индивидуальные индексы:

индекс
физического объема
– показывает во сколько раз увеличился
(уменьшился) объем в натуральных единицах
в отчетном периоде по сравнению с
базисным

где
q1 и q0 — количество продукции данного
вида в натуральном выражении в текущем
и базисном периодах.

Аналогично
рассчитывается индекс затрат на выпуск
продукции (ЗВП), который отражает
изменение затрат на производство и
может быть как индивидуальным, так и
агрегатным.

индекс
цен
– показывает во сколько раз увеличилась
(уменьшилась) цена единицы продукции в
отчетном периоде по сравнению с базисным;

где
p1 и p0 — цена за единицу продукции в текущем
и базисном периодах.

индекс
себестоимости
– показывает во сколько раз увеличилась
(уменьшилась) себестоимость единицы
продукции в отчетном периоде по сравнению
с базисным.

где
p1 и p0 — цена единицы продукции данного
вида в текущем и базисном периодах; q1
p1 и q0 p0 — стоимость продукции данного
вида в текущем и базисном периодах.

15.
Агрегатная
форма сводного индекса. Правила
построения и анализа.

Основной формой общих индексов являются
агрегатные индексы.

Расчет индексов по агрегатным формулам
возможен, если есть полные данные о
физическом объеме продукции и о ценах
как на уровне отчетного так и базисного
периодов. В реальной действительности
полные данные имеются не всегда. В таких
случаях приходится исчислять индексы
как среднюю взвешенную величину из
индивидуальных индексов. Средний из
индивидуальных индексов будет тогда
правильным, когда он тождественен
агрегатному индексу. Это означает, что
средние из индивидуальных индексов не
самостоятельные индексы, а преобразованная
форма агрегатного индекса. При исчислении
средних индексов могут быть использованы
только две формы средних: средняя
арифметическая и средняя гармоническая:

Источник

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ( $\mu$ ).

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения $\mu$ , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то $\mu$ определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки ( $\Delta$ ) равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

$\Delta =t \mu$ .

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

степени вариации единиц генеральной совокупности;
объема выборки;
выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Таблица
11.2.

Значение доверительной вероятности P	0,683	0,954	0,997
Значение коэффициента доверия t	1,0	2,0	3,0

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Таблица
11.3.
Формулы для расчета средней ошибки собственно случайной и механической выборки ( $\mu$ )

где $\sigma^{2}$ — дисперсия признака в выборочной совокупности.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

Таблица
11.4.

Уровень фондоотдачи, руб.	До 1,4	1,4-1,6	1,6-1,8	1,8-2,0	2,0-2,2	2,2 и выше	Итого
Количество предприятий	13	15	17	15	16	14	90

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Таблица
11.5.

Результаты наблюдения	Расчетные значения
уровень фондоотдачи, руб., x_i	количество предприятий, f_i	середина интервала, x_i^\xb4	x_i^\xb4f_i	x_i^\xb4²f_i
До 1,4	13	1,3	16,9	21,97
1,4-1,6	15	1,5	22,5	33,75
1,6-1,8	17	1,7	28,9	49,13
1,8-2,0	15	1,9	28,5	54,15
2,0-2,2	16	2,1	33,6	70,56
2,2 и выше	14	2,3	32,2	74,06
Итого	90	—	162,6	303,62

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки
Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна
$\delta_{x}= t\mu_{x}= 2*0.035 = 0.07$
Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

$\delta_{x}= t\mu_{x}= 2*0.027 = 0.054$

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

$\sigma_{w}^{2}= w(1 - w) = 0,667(1 - 0,667) = 0,222$ ;

средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

$\delta_{x}= t\mu_{x}= 3*0.04 = 0.12$

установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Таблица
11.6.
Формулы для расчета средней ошибки выборки ( $\mu$ ) при использовании типического отбора, пропорционального объему типических групп

Здесь $\sigma^{2}$ — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Таблица
11.7.

Номер курса	Всего студентов, чел., N_i	Обследовано в результате выборочного наблюдения, чел., n_i	Среднее число посещений библиотеки одним студентом за семестр, x_i	Внутригрупповая выборочная дисперсия, $\sigma_{i}^{2}$
1	650	33	11	6
2	610	31	8	15
3	580	29	5	18
4	360	18	6	24
5	350	17	10	12
Итого	2 550	128	8	—

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

общий объем выборочной совокупности:
n = 2550/130*5 =128 (чел.);
количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:
Средняя из внутригрупповых дисперсий
Средняя ошибка выборки:

С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

$\delta_{x} = t\mu_{x} = 2*0.334 = 0.667$
Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

$\delta_{MB}= t\mu_{MB}$

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

Среднее значение признака в выборке равно
Значение среднего квадратического отклонения составляет
Средняя ошибка выборки:
Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
Предельная ошибка выборки:
$\delta_{MB}= t\mu_{MB}=2,365*0,344 = 0,81356 ~ 0,81 (ч)$
Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

вид предполагаемой выборки;
способ отбора (повторный или бесповторный);
выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Таблица
11.8.
Формулы для определения численности выборочной совокупности

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.

Источник

Ошибки выборки
бывают систематические и случайные.

Систематические
— в том
случае, когда нарушен основной принцип
выборки — случайности.
Случайные
— возникают обычно ввиду того, что
структура выборочной совокупности
всегда отличается от структуры
генеральной совокупности, как бы
правильно ни был произведен отбор, то
есть, несмотря на принцип случайности
отбора единиц совокупности, все же
имеются расхождения между характеристиками
выборочной и генеральной совокупности.
Изучение и измерение случайных ошибок
репрезентативности и является основной
задачей выборочного метода.

—средняя, рассчитанная
в пределах генеральной совокупности;

— средняя,
рассчитанная в пределах выборочной
совокупности;

p — доля данной
группы в генеральной совокупности;

w — доля данной
группы в выборочной совокупности.

Используя условные
обозначения, ошибки выборки для средней
и для доли можно записать следующим
образом:

Формулы определения
средней ошибки для различных способов
отбора:

Повторный

Бесповторный

Способ
отбора

ошибка
средней

ошибка
доли

ошибка
средней

ошибка
доли

Собственно-случайный

и
механический

Типический

Серийный

D — предельная
ошибка;

m — средняя ошибка;

n — численность
выборки;

N — численность
генеральной совокупности;

—
общая дисперсия;

w — доля данной
категории в общей численности выборки;

—
средняя из внутригрупповых дисперсий;

d2 — межгрупповая
дисперсия;

r — число серий в
выборке;

R — общее число
серий.

Предельная ошибка
для всех способов отбора связана со
средней ошибкой выборки следующим
образом:

D = tm,

t P

1 0,683

1,5 0,866

2 0,954

2,5 0,988

3 0,997

4 0,9999

Величина предельной
ошибки зависит от следующих величин:

колеблемости
признака (прямая связь), которую
характеризует величина дисперсии;
численности
выборки (обратная связь);
доверительной
вероятности (прямая связь);
метода отбора.

Определить
вероятность того, что в проведенной
выборке ошибка будет заключаться в
заданных пределах.

при без повторной:

Построение
доверительных интервалов.

p(Θ* -δ<Θ<Θ* +δ) =γ.

Таким образом, γ есть вероятность того,
что Θ попадает в интервал ( Θ* — δ, Θ* + δ).

Построение доверительных
интервалов.

Определим t, при котором
Ф(t) = 0,9:2 = 0,45:t= 1,645. Тогда

, или 2,471 < a<
3,129. Найден доверительный интервал, в
который попадаетас надежностью
0,9.

3. Доверительные интервалы для оценки
среднего квадратического отклонения
нормального распределения.

Замечание.Еслиq> 1, то с учетом условия σ > 0 доверительный
интервал для σ будет иметь границы

Пример.

Виды
выборок.

В зависимости от методики формирования
выборочной совокупности различают
следующие основные виды выборки:

собственно случайную;

механическую;

типическую (стратифицированную,
районированную);

серийную (гнездовую);

комбинированную;

многоступенчатую;

многофазную;

взаимопроникающую.

Типическая (районированная,
стратифицированная) выборка преследует
две цели:

• увеличить точность результатов
выборочного обследования.

При определении стандартных ошибок
типической выборки применяются следующие
формулы:

• при повторном способе отбора

• при бесповторном способе отбора:

– средняя из групповых дисперсий в
выборочной совокупности.

• при повторном способе отбора —

где ?– межсерийная дисперсия выборочной
совокупности; r – число отобранных
серий;

• при бесповторном способе отбора —

где R – число серий в генеральной
совокупности.

где ?1 и ?2 – стандартные ошибки
соответственно механической и типической
выборок.

Стандартную ошибку выборки при
многоступенчатом отборе при группах
разных объемов определяют по формуле

где ?1, ?2, ?3, … – стандартные ошибки на
разных ступенях;

n1, n2, n3, … – численность выборок на
соответствующих ступенях отбора.

для изучения различных признаков
требуется неодинаковый объем выборки;

колеблемость изучаемых признаков
неодинакова и требуемая точность
различна;

Малые
выборки.

Таблицы интеграла вероятностей
используются для выборок большого
объема из бесконечно большой генеральной
совокупности. Но уже при п < 00 получается
несоответствие между табличными данными
и вероятностью предела; при п < 100
погрешность становится значительной.
Несоответствие вызывается главным
образом характером распределения единиц
генеральной совокупности. При большом
объеме выборки особенность распределения
в генеральной совокупности не имеет
значения, так как распределение отклонений
выборочного показателя от генеральной
характеристики при большой выборке
всегда оказывается нормальным.

Плотность вероятностей распределения
Стьюдента описывается функцией

где t — текущая переменная;

п — объем выборки;

В — величина, зависящая лишь от п.

Распределение Стьюдента имеет только
один параметр: d.f. -число степеней свободы
(иногда обозначается k).

Так, для расчета дисперсии должна быть
известна средняя величина. Поэтому при
расчете дисперсии d.f. = п — 1

Таблицы распределения Стьюдента
публикуются в двух вариантах:

При малых выборках расчет средней
возможной ошибки основан на выборочных
дисперсиях, поэтому

Приведенная формула используется для
определения предела возможной ошибки
выборочного показателя:

Порядок расчетов тот же, что и при больших
выборках.

39,64% ≤ ? ≤ 40,36%

или

39,6% ≤ ? ≤ 40,4%.

Индексный
анализ финансовых показателей.

Например, анализируется изменение
объема товарной продукции (Т) за четыре
месяца – Т1, Т2, Т3,

Принимая в качестве базисного периода
один месяц, получаем для каждого 1-го
месяца базисный

Iбаз = Тi /Т1 и цепной индекс Iцеп = Тi /Тi–1:

Iбаз5/1 = Iцеп1/1 • Iцеп2/1 • Iцеп3/2 • Iцеп4/3.

Индексный метод может быть использован
для факторного анализа какого-либо
показателя.

Iобщ = (в1• а1)/(в0• а0) = Т1/ Т0,

Iобщ = Iа • Iв,

где Iа – факторный индивидуальный индекс
изменения численности рабочих;

Iв– факторный индивидуальный индекс
изменения средней годовой выработки
одного рабочего.

При этой величине отклонение товарной
продукции под действием обоих факторов
равна:

?Т = (в0а1 – в0а0) + (в1а1 – в0а1) = в1а1 – в0а0.

Виды
статистических индексов.

Виды
индексов различают по следующим факторам:

по
степени охвата элементов совокупности:

индивидуальные
– характеризуют изменение только
одного элемента совокупности;

сводные
(общие) – отражают изменения по всей
совокупности элементов сложного
явления. Их разновидностью являются
групповые индексы.

в
зависимости от содержания и характера
индексируемой величины:

индексы
количественных показателей (например,
индекс физического объема);

индексы
качественных показателей (например,
индекс цен, себестоимости, производительности
труда).

в
зависимости от методологии расчета:

агрегатные
– могут быть рассчитаны как индексы
переменного и постоянного состава;

средние
из индивидуальных – получаются путем
нахождения общих индексов с использованием
индивидуальных.

Для
удобства восприятия индексов в теории
статистики разработана символика:

—
q – количество единиц какого-либо вида
продукции;

—
p – цена единицы какого-либо вида
продукции;

—
z – себестоимость единицы какого-либо
вида продукции;

—
t – трудоемкость единицы какого-либо
вида продукции

Индивидуальные
индексы. Правила построения и анализа.

индивидуальные
индексы
— это индексы, которые характеризуют
изменение только одного элемента
совокупности.

Различают
следующие индивидуальные индексы:

где
q1 и q0 — количество продукции данного
вида в натуральном выражении в текущем
и базисном периодах.

где
p1 и p0 — цена за единицу продукции в текущем
и базисном периодах.

15.
Агрегатная
форма сводного индекса. Правила
построения и анализа.

Основной формой общих индексов являются
агрегатные индексы.

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Предельная ошибка выборки ( Delta ) равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

степени вариации единиц генеральной совокупности;
объема выборки;
выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
уровня доверительной вероятности.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Таблица
11.2.

Значение доверительной вероятности P	0,683	0,954	0,997
Значение коэффициента доверия t	1,0	2,0	3,0

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Таблица
11.3.
Формулы для расчета средней ошибки собственно случайной и механической выборки ()

где $sigma^{2}$ — дисперсия признака в выборочной совокупности.

Таблица
11.4.

Уровень фондоотдачи, руб.	До 1,4	1,4-1,6	1,6-1,8	1,8-2,0	2,0-2,2	2,2 и выше	Итого
Количество предприятий	13	15	17	15	16	14	90

По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Таблица
11.5.

Результаты наблюдения	Расчетные значения
уровень фондоотдачи, руб., x_i	количество предприятий, f_i	середина интервала, x_i^xb4	x_i^xb4f_i	x_i^xb4²f_i
До 1,4	13	1,3	16,9	21,97
1,4-1,6	15	1,5	22,5	33,75
1,6-1,8	17	1,7	28,9	49,13
1,8-2,0	15	1,9	28,5	54,15
2,0-2,2	16	2,1	33,6	70,56
2,2 и выше	14	2,3	32,2	74,06
Итого	90	—	162,6	303,62

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки
Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна
$delta_{x}= tmu_{x}= 2*0.035 = 0.07$
Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

$delta_{x}= tmu_{x}= 2*0.027 = 0.054$

рассчитаем выборочную долю.

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

$sigma_{w}^{2}= w(1 - w) = 0,667(1 - 0,667) = 0,222$ ;

средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

$delta_{x}= tmu_{x}= 3*0.04 = 0.12$

установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Таблица
11.6.
Формулы для расчета средней ошибки выборки () при использовании типического отбора, пропорционального объему типических групп

Здесь $sigma^{2}$ — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Таблица
11.7.

Номер курса	Всего студентов, чел., N_i	Обследовано в результате выборочного наблюдения, чел., n_i	Среднее число посещений библиотеки одним студентом за семестр, x_i	Внутригрупповая выборочная дисперсия, $sigma_{i}^{2}$
1	650	33	11	6
2	610	31	8	15
3	580	29	5	18
4	360	18	6	24
5	350	17	10	12
Итого	2 550	128	8	—

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

общий объем выборочной совокупности:
n = 2550/130*5 =128 (чел.);
количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:
Средняя из внутригрупповых дисперсий
Средняя ошибка выборки:

С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

$delta_{x} = tmu_{x} = 2*0.334 = 0.667$
Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

$delta_{MB}= tmu_{MB}$

Среднее значение признака в выборке равно
Значение среднего квадратического отклонения составляет
Средняя ошибка выборки:
Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
Предельная ошибка выборки:
$delta_{MB}= tmu_{MB}=2,365*0,344 = 0,81356 ~ 0,81 (ч)$
Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

вид предполагаемой выборки;
способ отбора (повторный или бесповторный);
выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Таблица
11.8.
Формулы для определения численности выборочной совокупности

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.

Один из первых шагов при планировании количественного маркетингового исследования – определение объема выборки.

Калькулятор для расчета достаточного объема выборки
Калькулятор ошибки выборки для доли признака
Калькулятор ошибки выборки для среднего значения
Калькулятор значимости различий долей
Калькулятор значимости различий средних

1. Формула (даже две)

Бытует заблуждение, что чем больше объем генеральной совокупности, тем больше должен быть объем выборки маркетингового исследования. Это отчасти так, когда объем выборки сопоставим с размером генеральной совокупности. Например, при опросах организаций (B2B).

Если речь идет об исследовании жителей городов, то не важно, Москва это или Рязань – оптимальный объем выборки будет одинаков в обоих городах. Этот принцип следует из закона больших чисел и применим, только если выборка простая случайная.

На рис.1. пример выборки 15000 человек (!) при опросе в муниципальном районе. Возможно, от численности населения взяли 10%?
Размер выборки никогда не рассчитывается как процент от генеральной совокупности!

Рис.1. Размер выборки 15000 человек, как реальный пример некомпетентности (или хуже).

В таких случаях для расчета объема выборки используется следующая формула:

где

n – объем выборки,
Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня,
p – доля респондентов с наличием исследуемого признака,
q = 1 – p – доля респондентов, у которых исследуемый признак отсутствует,
∆ – предельная ошибка выборки.

Доверительный уровень – это вероятность того, что реальная доля лежит в границах полученного доверительного интервала: выборочная доля (p) ± ошибка выборки (Δ). Доверительный уровень устанавливает сам исследователь в соответствии со своими требованиями к надежности полученных результатов. Чаще всего применяются доверительные уровни, равные 0,95 или 0,99. В маркетинговых исследованиях, как правило, выбирается доверительный уровень, равный 0,95. При этом уровне коэффициент Z равен 1,96.

Значения p и q чаще всего неизвестны до проведения исследования и принимаются за 0,5. При этом значении размер ошибки выборки максимален.

Допустимая предельная ошибка выборки выбирается исследователем в зависимости от целей исследования. Считается, что для принятия бизнес-решений ошибка выборки должна быть не больше 4%. Этому значению соответствует объем выборки 500-600 респондентов. Для важных стратегических решений целесообразно минимизировать ошибку выборки.

Рассмотрим кривую зависимости ошибки выборки от ее объема (Рис.2).

Рис.2. Зависимость ошибки выборки от ее объема при 95% доверительном уровне

Как видно из диаграммы, с ростом объема выборки значение ошибки уменьшается все медленнее. Так, при объеме выборки 1500 человек предельная ошибка выборки составит ±2,5%, а при объеме 2000 человек – ±2,2%. То есть, при определенном объеме выборки дальнейшее его увеличение не дает значительного выигрыша в ее точности.

ШПАРГАЛКА (скопируйте ссылку или текст)

Подходы к решению проблемы:

Случай 1. Генеральная совокупность значительно больше выборки:

Случай 2. Генеральная совокупность сопоставима с объемом выборки: (см. раздел исследований B2B)

где
n – объем выборки,

N – объем генеральной совокупности,

Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня,

p – доля респондентов с наличием исследуемого признака,

q = 1 – p – доля респондентов, у которых исследуемый признак отсутствует, (значения p и q обычно принимаются за 0,5, поскольку точно неизвестны до проведения исследования)

∆ – предельная ошибка выборки.

Например,

рассчитаем ошибку выборки объемом 1000 человек при 95% доверительном уровне, если генеральная совокупность значительно больше объема выборки:

Ошибка выборки = 1,96 * КОРЕНЬ(0,5*0,5/1000) = 0,031 = ±3,1%

При расчете объема выборки следует также учитывать стоимость проведения исследования. Например, при цене за 1 анкету 200 рублей стоимость опроса 1000 человек составит 200 000 рублей, а опрос 1500 человек будет стоить 300 000 рублей. Увеличение затрат в полтора раза сократит ошибку выборки всего на 0,6%, что обычно неоправданно экономически.

2. Причины «раздувать» выборку

Анализ полученных данных обычно включает в себя и анализ подвыборок, объемы которых меньше основной выборки. Поэтому ошибка для выводов по подвыборкам больше, чем ошибка по выборке в целом. Если планируется анализ подгрупп / сегментов, объем выборки должен быть увеличен (в разумных пределах).

Рис.3 демонстрирует данную ситуацию. Если для исследования авиапассажиров используется выборка численностью 500 человек, то для выводов по выборке в целом ошибка составляет 4,4%, что вполне приемлемо для принятия бизнес-решений. Но при делении выборки на подгруппы в зависимости от цели поездки, выводы по каждой подгруппе уже недостаточно точны. Если мы захотим узнать какие-либо количественные характеристики группы пассажиров, совершающих бизнес-поездку и покупавших билет самостоятельно, ошибка полученных показателей будет достаточно велика. Даже увеличение выборки до 2000 человек не обеспечит приемлемой точности выводов по этой подвыборке.

Рис.3. Проектирование объема выборки с учетом необходимости анализа подвыборок

Другой пример – анализ подгрупп потребителей услуг торгово-развлекательного центра (Рис.4).

Рис.4. Потенциальный спрос на услуги торгово-развлекательного центра

При объеме выборки в 1000 человек выводы по каждой отдельной услуге (например, социально-демографический профиль, частота пользования, средний чек и др.) будут недостаточно точными для использования в бизнес планировании. Особенно это касается наименее популярных услуг (Таблица 1).

Таблица 1. Ошибка по подвыборкам потенциальных потребителей услуг торгово-развлекательного центра при выборке 1000 чел.

Чтобы ошибка в самой малочисленной подвыборке «Ночной клуб» составила меньше 5%, объем выборки исследования должен составлять около 4000 человек. Но это будет означать 4-кратное удорожание проекта. В таких случаях возможно компромиссное решение:

увеличение выборки до 1800 человек, что даст достаточную точность для 6 самых популярных видов услуг (от кинотеатра до парка аттракционов);
добор 200-300 пользователей менее популярных услуг с опросом по укороченной анкете (см. Таблицу 2).

Таблица 2. Разница в ошибке выборки по подвыборкам при разных объемах выборки.

При обсуждении с исследовательским агентством точности результатов планируемого исследования рекомендуется принимать во внимание бюджет, требования к точности результатов в целом по выборке и в разрезе подгрупп. Если бюджет не позволяет получить информацию с приемлемой ошибкой, лучше пока отложить проект (или поторговаться).

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ДЛЯ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ:

КАЛЬКУЛЯТОР ДЛЯ РАСЧЕТА
ДОСТАТОЧНОГО ОБЪЁМА ВЫБОРКИ

Доверительный уровень:

Ошибка выборки (?):
%

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

РЕЗУЛЬТАТ

Один из важных вопросов, на которые нужно ответить при планировании исследования, — это оптимальный объем выборки. Слишком маленькая выборка не сможет обеспечить приемлемую точность результатов опроса, а слишком большая приведет к лишним расходам.

Онлайн-калькулятор объема выборки поможет рассчитать оптимальный размер выборки, исходя из максимально приемлемого для исследователя размера ошибки выборки.

Все дальнейшие формулы и расчеты относятся только к простой случайной выборке!
Формулы для других типов выборки отличаются.

Объем выборки рассчитывается по следующим формулам

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

Z – коэффициент, зависящий от выбранного исследователем доверительного уровня. Доверительный уровень (или доверительная вероятность) – это вероятность того, что реальное значение измеряемого показателя (по всей генеральной совокупности) находится в пределах доверительного интервала, полученного в исследовании. Доверительный уровень выбирает сам исследователь, исходя из требований к надежности результатов исследования. В маркетинговых исследованиях обычно применяется 95%-й доверительный уровень. Ему соответствует значение Z = 1,96.

N – объем генеральной совокупности. Генеральная совокупность – это все люди, которые изучаются в исследовании (например, все покупатели соков и нектаров, постоянно проживающие в Москве и Московской области). Если генеральная совокупность значительно больше объема выборки (в сотни и более раз), ее размером можно пренебречь (формула 1).

p – доля респондентов с наличием исследуемого признака. Например, если 20% опрошенных заинтересованы в новом продукте, то p = 0,2.

q = 1 — p – доля респондентов, у которых исследуемый признак отсутствует. Значения p и q обычно принимаются за 0,5, поскольку точно неизвестны до проведения исследования. При этом значении размер ошибки выборки максимален. В данном калькуляторе значения p и q по умолчанию равны 0,5.

Δ– предельная ошибка выборки (для доли признака), приемлемая для исследователя. Считается, что для принятия бизнес-решений ошибка выборки не должна превышать 4%.

n – объем выборки. Объем выборки – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОБЪЕМА ВЫБОРКИ:

Допустим, мы хотим рассчитать объем выборки, предельная ошибка которой составит 4%. Мы принимаем доверительный уровень, равный 95%. Генеральная совокупность значительно больше выборки. Тогда объем выборки составит:

n = 1,96 * 1,96 * 0,5 * 0,5 / (0,04 * 0,04) = 600,25 ≈ 600 человек

Таким образом, если мы хотим получить результаты с предельной ошибкой 4%, нам нужно опросить 600 человек.

КАЛЬКУЛЯТОР ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ ДОЛИ ПРИЗНАКА

Доверительный уровень:

Объём выборки (n):

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

Доля признака (p):
%

РЕЗУЛЬТАТ

Зная объем выборки исследования, можно рассчитать значение ошибки выборки (или, другими словами, погрешность выборки).

Если бы в ходе исследования мы могли опросить абсолютно всех интересующих нас людей, мы могли бы быть на 100% уверены в полученном результате. Но ввиду экономической нецелесообразности сплошного опроса применяют выборочный подход, когда опрашивается только часть генеральной совокупности. Выборочный метод не гарантирует 100%-й точности измерения, но, тем не менее, вероятность ошибки может быть сведена к приемлемому минимуму.

Все дальнейшие формулы и расчеты относятся только к простой случайной выборке! Формулы для других типов выборки отличаются.

Ошибка выборки для доли признака рассчитывается по следующим формулам.

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

N – объем генеральной совокупности. Генеральная совокупность – это все люди, которые изучаются в исследовании (например, все покупатели шоколада, постоянно проживающие в Москве). Если генеральная совокупность значительно больше объема выборки (в сотни и более раз), ее размером можно пренебречь (формула 1).

n – объем выборки. Объем выборки – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании. Существует заблуждение, что чем больше объем генеральной совокупности, тем больше должен быть и объем выборки маркетингового исследования. Это отчасти так, когда объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности. Например, при опросах организаций (B2B). Если же речь идет об исследовании жителей городов, то не важно, Москва это или Рязань – оптимальный объем выборки будет одинаков в обоих городах. Этот принцип следует из закона больших чисел и применим, только если выборка простая случайная. ВАЖНО: если предполагается сравнивать какие-то группы внутри города, например, жителей разных районов, то выборку следует рассчитывать для каждой такой группы.

Δ– предельная ошибка выборки.

Таким образом, зная объем выборки исследования, мы можем заранее оценить показатель ее ошибки.
А получив значение p, мы можем рассчитать доверительный интервал для доли признака: (p — ∆; p + ∆)

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ ДОЛИ ПРИЗНАКА:

Например, в ходе исследования были опрошены 1000 человек (n=1000). 20% из них заинтересовались новым продуктом (p=0,2). Рассчитаем показатель ошибки выборки по формуле 1 (выберем доверительный уровень, равный 95%):

∆ = 1,96 * КОРЕНЬ (0,2*0,8/1000) = 0,0248 = ±2,48%

Рассчитаем доверительный интервал:

(p — ∆; p + ∆) = (20% — 2,48%; 20% + 2,48%) = (17,52%; 22,48%)

Таким образом, с вероятностью 95% мы можем быть уверены, что реальная доля заинтересованных в новом продукте (среди всей генеральной совокупности) находится в пределах полученного диапазона (17,52%; 22,48%).

Если бы мы выбрали доверительный уровень, равный 99%, то для тех же значений p и n ошибка выборки была бы больше, а доверительный интервал – шире. Это логично, поскольку, если мы хотим быть более уверены в том, что наш доверительный интервал «накроет» реальное значение признака, то интервал должен быть более широким.

КАЛЬКУЛЯТОР ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ

Доверительный уровень:

Объём выборки (n):

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

Среднее значение (x̄):

Стандартное отклонение (s):

РЕЗУЛЬТАТ

Ошибка выборки для среднего значения рассчитывается по следующим формулам.

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

N – объем генеральной совокупности. Генеральная совокупность – это все люди, которые изучаются в исследовании (например, все покупатели мороженого, постоянно проживающие в Москве). Если генеральная совокупность значительно больше объема выборки (в сотни и более раз), ее размером можно пренебречь (формула 1).

s — выборочное стандартное отклонение измеряемого показателя. В идеале на месте этого аргумента должно быть стандартное отклонение показателя в генеральной совокупности (σ), но так как обычно оно неизвестно, используется выборочное стандартное отклонение, рассчитываемое по следующей формуле:

где, x ̅ – среднее арифметическое показателя, x_i– значение i-го показателя, n – объем выборки

Δ– предельная ошибка выборки.

Зная среднее значение показателя x ̅ и ошибку ∆, мы можем рассчитать доверительный интервал для среднего значения:(x ̅ — ∆; x ̅ + ∆)

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ:

Например, в ходе исследования были опрошены 1000 человек (n=1000). Каждого из них попросили указать их примерную среднюю сумму покупки (средний чек) в известной сети магазинов. Среднее арифметическое всех ответов составило 500 руб. (x ̅=500), а стандартное отклонение составило 120 руб. (s=120). Рассчитаем показатель ошибки выборки по формуле 1 (выберем доверительный уровень, равный 95%):

∆ = 1,96 * 120 / КОРЕНЬ (1000) = 7,44

Рассчитаем доверительный интервал:

(x ̅ — ∆; x ̅ + ∆) = (500 – 7,44; 500 + 7,44) = (492,56; 507,44)

Таким образом, с вероятностью 95% мы можем быть уверены, что значение среднего чека по всей генеральной совокупности находится в границах полученного диапазона: от 492,56 руб. до 507,44 руб.

КАЛЬКУЛЯТОР ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ ДОЛЕЙ

Доверительный уровень:

	Измерение 1	Измерение 2
Доля признака (p):	%	%
Объём выборки (n):

РЕЗУЛЬТАТ

Если в прошлогоднем исследовании вашу марку вспомнили 10% респондентов, а в исследовании текущего года – 15%, не спешите открывать шампанское, пока не воспользуетесь нашим онлайн-калькулятором для оценки статистической значимости различий.

Сравнивая два разных значения, полученные на двух независимых выборках, исследователь должен убедиться, что различия статистически значимы, прежде чем делать выводы.

Как известно, выборочные исследования не обеспечивают 100%-й точности измерения (для этого пришлось бы опрашивать всю целевую аудиторию поголовно, что слишком дорого). Тем не менее, благодаря методам математической статистики, мы можем оценить точность результатов любого количественного исследования и учесть ее в выводах.

В приведенном здесь калькуляторе используется двухвыборочный z-тест для долей. Для его применения должны соблюдаться следующие условия:

Обе выборки – простые случайные
Выборки независимы (между значениями двух выборок нет закономерной связи)
Генеральные совокупности значительно больше выборок
Произведения n*p и n*(1-p), где n=размер выборки а p=доля признака, – не меньше 5.

В калькуляторе используются следующие вводные данные:

Доверительный уровень (или доверительная вероятность) – это вероятность того, что реальное значение измеряемого показателя (по всей генеральной совокупности) находится в пределах доверительного интервала, полученного в исследовании. Доверительный уровень выбирает сам исследователь, исходя из требований к надежности результатов исследования. В маркетинговых исследованиях обычно применяется 95%-й доверительный уровень.

Доля признака (p) – доля респондентов с наличием исследуемого признака. Например, если 20% опрошенных заинтересованы в новом продукте, то p = 0,2.

Объем выборки (n) – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

Результат расчетов – вывод о статистической значимости или незначимости различий двух измерений.

КАЛЬКУЛЯТОР ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ СРЕДНИХ

Доверительный уровень:

	Измерение 1	Измерение 2
Среднее значение (x̄):
Стандартное отклонение (s):
Объём выборки (n):

РЕЗУЛЬТАТ

Допустим, выборочный опрос посетителей двух разных ТРЦ показал, что средний чек в одном из них равен 1000 рублей, а в другом – 1200 рублей. Следует ли отсюда вывод, что суммы среднего чека в двух этих ТРЦ действительно отличаются?

В приведенном здесь калькуляторе используется двухвыборочный z-тест для средних значений. Для его применения должны соблюдаться следующие условия:

Обе выборки – простые случайные
Выборки независимы (между значениями двух выборок нет закономерной связи)
Генеральные совокупности значительно больше выборок
Распределения значений в выборках близки к нормальному распределению.

В калькуляторе используются следующие вводные данные:

Среднее значение ( ̅x) – среднее арифметическое показателя.

Стандартное отклонение (s) – выборочное стандартное отклонение измеряемого показателя. В идеале на месте этого аргумента должно быть стандартное отклонение показателя в генеральной совокупности (σ), но так как обычно оно неизвестно, используется выборочное стандартное отклонение, рассчитываемое по следующей формуле:

где, x ̅ – среднее арифметическое показателя, x_i– значение i-го показателя, n – объем выборки

Объем выборки (n) – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

Результат расчетов – вывод о статистической значимости или незначимости различий двух измерений.

Вы можете подписаться на уведомления о новых материалах СканМаркет

Источник

1. Формула (даже две)

Рис.1. Размер выборки 15000 человек, как реальный пример некомпетентности (или хуже).

В таких случаях для расчета объема выборки используется следующая формула:

где

Рассмотрим кривую зависимости ошибки выборки от ее объема (Рис.2).

Рис.2. Зависимость ошибки выборки от ее объема при 95% доверительном уровне

ШПАРГАЛКА (скопируйте ссылку или текст)

Подходы к решению проблемы:

Случай 1. Генеральная совокупность значительно больше выборки:

Случай 2. Генеральная совокупность сопоставима с объемом выборки: (см. раздел исследований B2B)

Ошибка выборки = 1,96 * КОРЕНЬ(0,5*0,5/1000) = 0,031 = ±3,1%

2. Причины «раздувать» выборку

Рис.3. Проектирование объема выборки с учетом необходимости анализа подвыборок

Другой пример – анализ подгрупп потребителей услуг торгово-развлекательного центра (Рис.4).

Рис.4. Потенциальный спрос на услуги торгово-развлекательного центра

увеличение выборки до 1800 человек, что даст достаточную точность для 6 самых популярных видов услуг (от кинотеатра до парка аттракционов);
добор 200-300 пользователей менее популярных услуг с опросом по укороченной анкете (см. Таблицу 2).

Таблица 2. Разница в ошибке выборки по подвыборкам при разных объемах выборки.

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ДЛЯ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ:

КАЛЬКУЛЯТОР ДЛЯ РАСЧЕТА
ДОСТАТОЧНОГО ОБЪЁМА ВЫБОРКИ

Доверительный уровень:

Ошибка выборки (?):
%

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

РЕЗУЛЬТАТ

Все дальнейшие формулы и расчеты относятся только к простой случайной выборке!
Формулы для других типов выборки отличаются.

Объем выборки рассчитывается по следующим формулам

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

n – объем выборки. Объем выборки – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОБЪЕМА ВЫБОРКИ:

n = 1,96 * 1,96 * 0,5 * 0,5 / (0,04 * 0,04) = 600,25 ≈ 600 человек

Таким образом, если мы хотим получить результаты с предельной ошибкой 4%, нам нужно опросить 600 человек.

КАЛЬКУЛЯТОР ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ ДОЛИ ПРИЗНАКА

Доверительный уровень:

Объём выборки (n):

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

Доля признака (p):
%

РЕЗУЛЬТАТ

Ошибка выборки для доли признака рассчитывается по следующим формулам.

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

Δ– предельная ошибка выборки.

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ ДОЛИ ПРИЗНАКА:

∆ = 1,96 * КОРЕНЬ (0,2*0,8/1000) = 0,0248 = ±2,48%

Рассчитаем доверительный интервал:

(p — ∆; p + ∆) = (20% — 2,48%; 20% + 2,48%) = (17,52%; 22,48%)

КАЛЬКУЛЯТОР ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ

Доверительный уровень:

Объём выборки (n):

Объём генеральной совокупности (N):
(можно пропустить, если больше 100 000)

Среднее значение (x̄):

Стандартное отклонение (s):

РЕЗУЛЬТАТ

Ошибка выборки для среднего значения рассчитывается по следующим формулам.

1) если объем выборки значительно меньше генеральной совокупности:

(в данной формуле не используется показатель объема генеральной совокупности N)

2) если объем выборки сопоставим с объемом генеральной совокупности:

В приведенных формулах:

где, x ̅ – среднее арифметическое показателя, x_i– значение i-го показателя, n – объем выборки

Δ– предельная ошибка выборки.

ПРИМЕР РАСЧЕТА ОШИБКИ ВЫБОРКИ ДЛЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ:

∆ = 1,96 * 120 / КОРЕНЬ (1000) = 7,44

Рассчитаем доверительный интервал:

(x ̅ — ∆; x ̅ + ∆) = (500 – 7,44; 500 + 7,44) = (492,56; 507,44)

КАЛЬКУЛЯТОР ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ ДОЛЕЙ

Доверительный уровень:

	Измерение 1	Измерение 2
Доля признака (p):	%	%
Объём выборки (n):

РЕЗУЛЬТАТ

Обе выборки – простые случайные
Выборки независимы (между значениями двух выборок нет закономерной связи)
Генеральные совокупности значительно больше выборок
Произведения n*p и n*(1-p), где n=размер выборки а p=доля признака, – не меньше 5.

В калькуляторе используются следующие вводные данные:

КАЛЬКУЛЯТОР ЗНАЧИМОСТИ РАЗЛИЧИЙ СРЕДНИХ

Доверительный уровень:

	Измерение 1	Измерение 2
Среднее значение (x̄):
Стандартное отклонение (s):
Объём выборки (n):

РЕЗУЛЬТАТ

Обе выборки – простые случайные
Выборки независимы (между значениями двух выборок нет закономерной связи)
Генеральные совокупности значительно больше выборок
Распределения значений в выборках близки к нормальному распределению.

В калькуляторе используются следующие вводные данные:

Объем выборки (n) – это количество людей, которые опрашиваются в исследовании.

Результат расчетов – вывод о статистической значимости или незначимости различий двух измерений.

Вы можете подписаться на уведомления о новых материалах СканМаркет

Источник