Ошибки при вычислениях

1.1 Источники и классификация погрешностей

В настоящее время разработана технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. В соответствии с ней решение большинства практических задач включает следующие этапы:

1)создание математической модели задачи;

2)интерпретация математической модели в виде, доступном для реализации на ЭВМ (построение численного метода решения);

3)разработка программы и проведение вычислений.

Этот процесс неизбежно носит приближенный характер, так как на каж-

дом этапе вносятся те или иные погрешности. Они обусловлены следующими причинами:

а) математическое описание задачи является упрощенным; б) недостаточно точно заданы исходные данные, являющиеся, как правило,

результатом проведенных экспериментов; в) всякий численный метод, используемый для решения математической за-

дачи, является приближенным в том смысле, что он не дает точного решения задачи, (для точного решения, например, может потребоваться неограниченно большое число арифметических операций);

г) в самом процессе решения задачи в ЭВМ при вводе исходных данных, выполнении арифметических операций и при выводе результатов производятся округления.

Погрешности в решении задачи, обусловленные пунктами «а» и «б», называются неустранимыми. При переходе от математической модели к численному методу (пункт «в») возникает погрешность метода. Построение численного метода для математической модели состоит из двух этапов – формулировки дискретной модели и разработки вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи. Соответственно погрешность метода подразделяется на погрешность дискретизации или погрешность аппроксима-

ции и на возникающую в процессе решения (пункт «г») вычислительную по-

грешность или погрешность округления.

Основной вопрос состоит в том, чтобы узнать, будут ли близкими результаты, полученные с использованием приближенных вычислений, к тем, которые могли бы быть получены с использованием точных расчетов. Поэтому анализ погрешности численного результата должен являться обязательным этапом решения любой практической задачи. Полная погрешность является результатом сложного взаимодействия всех видов погрешностей и ответ на вопрос, какая из трех погрешностей является преобладающей, не может быть однозначным. Типичной является ситуация, когда неустранимая погрешность значительно превышает погрешность метода, а вычислительной погрешностью мож-

но пренебречь по сравнению с погрешностью метода. В общем случае надо стремиться, чтобы погрешности имели один порядок.

В связи с этим при анализе погрешностей возникают две задачи: прямая — зная точность исходных данных, оценить точность полученного результата, и обратная – определить точность, с которой необходимо задавать исходную информацию, чтобы обеспечить требуемую точность решения.

И в том, и в другом случае необходимо представление о точных и приближенных числах, абсолютной и относительной погрешностях, о представлении чисел в ЭВМ.

1.2. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности

Точные и приближенные числа. При численном решении задач приходится оперировать двумя видами чисел — точными и приближенными. К точным относятся числа, которые дают истинное значение исследуемой величины. К приближенным относятся числа, близкие к истинному значению, причем степень близости определяется погрешностью вычислений. Например, в утверждениях «в аудитории 102 слушателя», «в январе 31 день», «стоимость костюма 75 долларов» числа 102, 31 и 75 — точные. В высказываниях типа «сто метров спортсмен пробежал за 10,1 сек.», «масса мороженого 100 грамм», «расстояние от Бреста до Москвы равно 1054 км.» числа 10,1; 100; 1054 — приближенные. Это связано с тем, что при измерениях появление приближенных чисел связано с несовершенством измерительных приборов. Кроме того, часто нет необходимости знать точное значение интересующей величины. Ясно, что пассажиру, едущему из Бреста в Москву неважно, что данное в справочниках расстояние в 1054 км. от Бреста до Москвы может быть короче на 200 м или длиннее на

150 м.

Погрешности, абсолютная и относительная. Пусть x — точное значение числа, а x$ — его приближение, или приближенное значение. Говорят, что число x$ есть приближенное значение числа x с недостатком, если x$ ≤ x , и приближенное значение с избытком, если x ≤ x$ . При этом определении число x будет для самого себя приближением одновременно с недостатком и с избытком.

Если x — точное, вообще говоря, неизвестное значение некоторой величины, а x$ — его приближение, то разность x − x$ называется ошибкой, или погрешностью приближения. Часто знак ошибки x − x$ неизвестен, поэтому используется так называемая абсолютная погрешность ∆(x$) приближенного числа x$ ,

Изучаемая числовая величина есть величина именованная, т.е. определяемая во вполне определенных единицах измерения, например, в сантиметрах, килограммах и т.п. Погрешность (1.1) имеет ту же размерность. Однако часто

возникает необходимость заменить эту погрешность безразмерным числом — относительной погрешностью. При этом из-за незнания точного значения изучаемой величины принято называть относительной погрешностью величину

Относительную погрешность часто выражают в процентах: δ(x$) = ∆(x$x$) 100% .

Интервалы приближения. Поскольку точное значение x определяемой величины неизвестно, то и погрешности ∆(x$) и δ(x$) в соотношениях (1.1) и (1.3)

Числа ∆ и δ называются предельными абсолютной и относительной погрешностями приближенного числа.

Практическое применение изложенного состоит в нахождении для числа x приближения ∆ с недостатком и приближения ∆ с избытком, для которых ∆ ≤ x ≤ ∆ . В этом случае говорят, что имеется интервал приближения величины x. Согласно (1.5), если известна предельная абсолютная погрешность ∆ , то границы интервала приближения имеют вид: ∆ = x$ − ∆ , ∆ = x$ + ∆.

Предположим, что имеется два интервала приближения величины x: ∆1 ≤ x ≤ ∆1 и ∆2 ≤ x ≤ ∆2 . Тогда можно, очевидно, без потери информации заме-

нить эти два интервала приближения на один: max(∆1 , ∆2 )≤ x ≤ min(∆1 , ∆2 ).

Запись приближенных чисел. Верные значащие цифры. Запись при-

ближенных чисел должна подчиняться правилам, связанным с понятиями о верных значащих цифрах.

Первая слева отличная от нуля цифра числа x и все расположенные справа от нее, называются значащими. Например, числа 0.00028745 и 200.37500 имеют соответственно 5 и 8 значащих цифр. Цифра ai числа, записанного в десятич-

ной системе, называется верной, если ∆(x$) <10i , т.е если абсолютная погрешность числа x$ не превосходит одной единицы соответствующего разряда десятичного числа. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными. Если верная цифра ai — значащая, то она называется верной значащей цифрой. Вид записи приближенного числа должен показывать его абсолютную погрешность, которая не должна превосходить единицы последнего разряда, сохраняемого при записи. Другими словами, приближенные числа принято записы-

вать таким образом, чтобы все цифры числа, кроме нулей впереди, если они есть, были значащими и верными цифрами.

Пример 1. Числа 27,0563 и 27,0563000, как приближенные, различны.

Абсолютная погрешность первого числа не превосходит 10−4 (i = −4), а второго

10−7 (i = −7).

Пример 2. Числа x1=34,174562 и x2=375,16342 содержат пять верных

x$2 =183,45.

Замечание. При записи чисел имеются определенные тонкости. Например, запись числа 5,1813 означает, что абсолютная погрешность этого приближенного числа не превосходит 0,0001, а запись числа 680 — что абсолютная погрешность его не превосходит единицы. Если же второе число имеет большую точность, следует писать 680,0. Тем самым числа 68 10; 680; 680,0; 680,00 имеют различную степень точности. Если надо показать, что у числа 680,00 первые три цифры верные значащие, то его следует писать в виде 680, а для числа

600028 с тремя верными слева значащими цифрами следует писать 600 103 . В соответствии с этим округлением, например, число 28065 при 1, 2 или 3 верны-

ми значащими цифрами будет записана в виде 3 104 , 28 103 , 280 102 соответственно.

Связь между числом верных знаков и погрешностью числа. Пусть число x$ является приближенным значением точного числа x и имеет вид

x$ = an 10n + an−1 10n−1 +K+ai 10i +K+a−m 10−m , an ≥1,

где цифры an , an−1 ,K, ai — верные. По определению, число верных знаков числа

x$ определяется неравенством ∆(x$) = x − x$ <10i . Разделив обе части этого неравенства на x$ , получим

числа до ai — последняя значащая цифра этого числа ( l = i – n ). За предельную

Пример 4. Какова предельная относительная погрешность в процентах чисел x1 = 358,563 и x 2 = 0,047 , если все их цифры верные?

∆ Для числа x1 имеем n = 3, i = −3. По формуле (1.6) получаем

δ1 = 13 10−3−3 100% = 0,00003% .

Для числа x 2 при n = −2 , i = −3 будем иметь

δ1 = 14 10−3−(−2) 100% = 2,5% .

Пример 5. Со сколькими верными десятичными знаками надо взять 3 28 , чтобы погрешность не превышала 0,25%?

∆ Так как n 1 + α ≈1 + αn , при достаточно малых α, то

По условию δ ≤ 0,25% , т.е. δ ≤ 0,0025. Для числа 3 28 имеем an = 3 , n = 0 . Согласно формуле (1.6), имеем

0,0025 ≥ 13 10i−0 10i ≤ 0,0075 i = −4 .

Таким образом, число 3 28 ≈ 3,037037 имеет пять верных цифр, считая их слева, т.е. 3 28 ≈ 3,0370 .

Оценки погрешности при арифметических действиях. Оценим теперь погрешности, возникающие при арифметических операциях с приближенными числами.

Пусть x и y — точные числа, x$ и y$— их приближения, ∆(x$) и ∆(y$) — их абсолютные, а δ (xˆ ) и δ (ˆy) — их относительные погрешности соответственно.

т.е. абсолютная погрешность суммы не превосходит суммы их абсолютных погрешностей.

Аналогично получаем оценку погрешности для разности двух чисел:

Из полученных результатов вытекает следующее правило сложения приближенных чисел различной абсолютной точности:

1)выделяются числа, имеющие наибольшую абсолютную погрешность (числа наименьшей точности);

2)более точные числа округляются таким образом, чтобы сохранить в них на один знак больше, чем в выделенном числе (запасной знак);

3)производится сложение или вычитание всех чисел с учетом сохраненных знаков;

4)полученный результат округляется на один знак.

Пример 6. Вычислить a = 01732. +17.45 − 0.00354, где все цифры чисел вер-

ные.

∆ Поскольку цифры всех чисел верные, то погрешность вычисления первого слагаемого не превышает 0.0001, второго – 0.01, третьего — 0.00001. Наибольшую погрешность имеет второе слагаемое 17.45, поэтому числа 0.1732 и 0.00354 округляются до трех знаков после запятой. В результате получим приближенное число a$ = 0173. +17.45 − 0.004 =17.619 . Допускаемая при этом погреш-

соответственно.

2) Погрешность произведения. Согласно (1.2), x = x$ ± ∆(x$), y = y$ ± ∆(y$).Тогда

Из соотношения (1.12) получаем правило умножения приближенных чисел различной абсолютной точности.

1)выделяется число с наименьшим количеством верных значащих цифр;

2)оставшиеся сомножители округляются таким образом, чтобы они содержали на одну значащую цифру больше, чем количество верных значащих цифр в выделенном числе;

3)в произведении сохраняется столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет выделенное число.

Пример 7. Найти произведение приближенных чисел x1 = 3.75 и x 2 = 0.73788 , все цифры которых верные.

∆ Число x1 содержит три верные значащие цифры, а число x 2 — пять. Поэтому второе число x 2 округляем до четырех значащих цифр: x 2 = 0.7379 . Тогда

δxˆ =ˆy

Таким образом, получаем следующее правило деления приближённых чисел различной абсолютной погрешности:

1)выделяется число с наименьшим количеством верных значащих цифр;

2)оставшиеся числа округляются таким образом, чтобы они содержали на одну значащую цифру больше, чем выделенное число;

3)в полученном результате деления сохраняется столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет выделенное число.

На практике при работе с числами достаточно хорошей точности обычно считают, что ∆( xˆ )∆( ˆy ) ≈ 0 , δ( xˆ ) δ( ˆy ) ≈ 0 , 1 −δ( ˆy ) ≈1. Поэтому вместо

формул (1.12)-(1.15) пользуются более упрощёнными формулами:

∆( xˆ ˆy ) ≤ xˆ ∆( ˆy ) + ˆy ∆( xˆ ) , δ( xˆ ˆy ) ≤δ( xˆ ) +δ( ˆy ) ,

1.3. Вычислительная погрешность

Представление чисел в ЭВМ. Одним из источников вычислительной погрешности являются особенности представления чисел в ЭВМ и арифметические операции с ними. Рассмотрим эти особенности.

Целые числа, представимые в ЭВМ (целые машинные числа) — это все целые числа, принадлежащие замкнутому интервалу [N¯,N+]. В языке Паскаль, например — это числа диапазона [–32768, 32767]. Арифметические операции с целыми машинными числами выполняются на ЭВМ точно, если результат принадлежит интервалу [N¯,N+]. В противном случае фиксируется ошибочная ситуация, а результат операции не определен или не имеет смысла. Поэтому при вычислениях следует заботиться о том, чтобы результаты арифметических операций не выходили за пределы интервала [–32768, 32767].

Вещественные числа могут быть записаны в двух формах. Обычную форму записи числа в виде

x = ±an an −1 La1a0 , a−1a−2 La−m

называют записью с фиксированной запятой. В позиционной системе счисле-

ния с основанием β эта запись означает, что

x = ±an β n + an−1 β n−1 +K+ a1 β + a0 + +a−1 β −1 + a−2 β −2 +K+ a−m β −m .

Каждое из чисел an может принимать одно из значений {0, 1, …, β -1}. Числа an называются разрядами. Например, в десятичной системе запись 1358,7604 определяет число

1 103 + 3 102 + 5 10 + 8 + 7 10−1 + 6 10−2 + 0 10−3 + 4 10−4 .

Третий разряд перед запятой этого числа равен 3, второй разряд после запятой – 6.

О числах, записанных в виде 0,63750 106 ; 637,50 103 ; 6,3750 105 ; 6375,0 10 ,

говорят, что они записаны в форме с плавающей запятой. Запись числа с плавающей запятой, как следует из примера, не является однозначной. Для устранения этой неоднозначности принято первый множитель брать меньше единицы, и он должен состоять только из значащих цифр. Такая форма записи числа называется нормализованной —

Здесь p — целое число (положительное, отрицательное или нуль), называемое порядком числа x, m — число с фиксированной запятой, называемое мантиссой числа x. Первая после запятой цифра числа m всегда отлична от нуля:

(1.17)

Так, в рассмотренном примере, нормализованной формой записи числа 63750 будет 0,63750 106 . Заметим, что в этой записи все цифры мантиссы верные. Для числа — 0,00384 нормализованной будет форма − 0,384 10−2 .

Для записи вещественных чисел в ЭВМ отводится фиксированное число разрядов (разрядная сетка), в которой выделены разряды для записи мантиссы, порядка, знаков мантиссы и порядка. Таким образом, множество машинных вещественных чисел характеризуется следующими четырьмя целыми константами: основанием счисления β, β ≥2, точностью t, нижней границей экспоненты e¯ и верхней границей экспоненты e+. Ненулевые машинные вещественные числа имеют вид

где 0 ≤ di < β, di ≠ 0, e− ≤ p ≤ e+ .

Вещественный машинный нуль нуль представляется в ЭВМ специальным образом. Обычно это число, у которого d1 = d2 =… = dt = 0 или p < e− .

В языке Паскаль реализованы следующие типы вещественных чисел: real, single, double, extended, некоторые характеристики которых приведены в табли-

це 1.1.

Минимальное положительное число ε0 , которое может быть представлено в ЭВМ, называется машинным нулем (ε0 = βe−−1 ). Максимальное положитель-

ное число ε∞ — машинной бесконечностью (ε∞ = βe+ (1− β−t )). Таким образом,

Округление чисел в ЭВМ. Из-за конечности разрядной сетки в ЭВМ можно представить точно лишь конечное подмножество вещественных чисел. Рассмотрим два машинных вещественных числа f1 и f2 (f1 < f2) таких, что между f1 и f2 нет других машинных чисел. Справедливо неравенство

Число ε1 = β−t+1 называют машинным эпсилоном. Оно зависит от разряд-

ности мантиссы и характеризует точность представления чисел в ЭВМ. Для любого вещественного числа x, f1 ≤ x ≤ f2 выполняется неравенство

max( f1 −x, f2 −x )≤ε1 x .

Таким образом, любое вещественное число x, не представимое точно, заменяется ближайшим к нему числом x$, представимым точно. Такая замена называется округлением числа x. Величина погрешности замены не превышает ε1 x и зависит от способа округления.

Простейшим является отбрасывание всех разрядов мантиссы числа x, которые выходят за пределы разрядной сетки. Предельная относительная погрешность округления при таком способе равна

При более точном симметричном округлении к последнему сохраняемому разряду мантиссы прибавляется единица, если первый отбрасываемый двоичный разряд равен 1. Предельная относительная погрешность округления в данном случае вдвое меньше:

Таким образом, можно считать, что машинные константы ε0 , ε∞ и ε1 характеризуют погрешность представления вещественных чисел в ЭВМ.

Можно считать, что точное число x из диапазона ε0 ≤ x ≤ε∞и отвечающее ему округленное число x$ связаны равенством

Если же число превышает по абсолютной величине ε∞, то оно не приближается

никакими машинными числами. При появлении такого числа в процессе вычислений происходит так называемое переполнение разрядной сетки и вычисления прекращаются. Числа, меньшие по абсолютной величине ε0 , приближа-

ются машинным нулем с погрешностью ε0 .

Накопление погрешностей округления. Ошибочно полагать, что в силу малости величин ε0 и ε1 , ошибки округления практически не влияют на резуль-

таты вычислений. В процессе проведения вычислений погрешности округления могут накапливаться, так как выполнение каждой из четырех арифметических операций вносит некоторую погрешность.

Пусть a и b — два машинных числа, а знак обозначает одну из четырех арифметических операций. Поскольку ЭВМ выполняет промежуточные вычисления с двойной точностью, т.е. с мантиссой, содержащей 2t разрядов, то округлению до t разрядов подвергается лишь окончательный результат. Таким образом, выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не превышающую ε1 :

Ввиду отсутствия ассоциативности и дистрибутивности машинных операций анализ погрешностей в алгоритмах, реализованных на ЭВМ, очень сложен.

Для оценки влияния погрешностей округления на результат вычислений по некоторому алгоритму (прямая задача теории погрешностей), предполо-

жим, что этот результат является действительной функцией от входных параметров:

y = f (x1, x2 ,…,xn ) = f (x).

женное значение результата. Пусть известна область G в пространстве пере-

менных x1,x2 ,…,xn :

G ={xr xi −xˆi ≤∆xi ,i =1,…,n},

которой принадлежат значения входных параметров. Если f (x1, x2 ,…,xn ) — непре-

рывно дифференцируемая функция своих аргументов, то по формуле конечных приращений Лагранжа имеем следующую оценку погрешности:

Оценка показывает, что накопление погрешностей округления зависит от величины входных параметров и от характера алгоритма.

являются коэффициентами усиления относительных погрешностей входных данных. Если значения всех коэффициентов усиления ограничены по абсолютной величине единицей, то накопления погрешностей не происходит. Коэффициенты Ki часто называют числами обусловленности задачи.

Часто возникает обратная задача теории погрешностей: с какой точно-

стью должны быть заданы входные данные, чтобы получить результат требуемой точности?

Применительно к поставленной выше прямой задаче оценивания погрешности результата вычисления значения функции u = f (x1, x2,…, xn)при заданных оценках погрешностей аргументов, обратная задача заключается в оценивании ∆(xi) (или δ(xi)) по известной величине приращения∆y . Поскольку главной, т.е. линейной частью этого приращения является полный дифференциал dy , за границу абсолютной погрешности результата приближенно может быть принята величина

Из формулы (1.23) легко получается формула приближенной оценки относительной погрешности значения u :

Для случая дифференцируемой функции одной переменной грубое решение обратной задачи очевидно:

если y = f (x) , то ∆(u) ≈| dy |=| f ′(x)| ∆x , откуда ∆x ≈ ∆(u) | f ′(x)|

Для функций большего числа переменных обратная задача, вообще говоря, некорректна. Для ее решения нужны дополнительные условия.

Например, можно применить принцип равных влияний, состоящий в

предположении, что частные дифференциалы | ∂u | ∆(xi) в (1.24) одинаково

∂xi

влияют на погрешность значения функции, тогда ∆(u) =n | ∂u | ∆(xi) , откуда

∂xi

∆(xi) = ∆(u) . n |∂u |

∂xi

В качестве другого довольно естественного допущения можно принять равен-

относительный уровень точности задания аргументов, на основе которого за

Рассмотренный выше аналитический способ учета погрешностей действий, предполагающий точное оценивание погрешностей чрезвычайно громоздок и не может быть рекомендован при массовых вычислениях.

При больших количествах однотипных вычислений вступают в силу уже вероятностные или статические законы формирования погрешностей.

В частности, если n>10 и все слагаемые округлены до m-го десятичного разряда, то для подсчета абсолютной погрешности суммы S применяют правило Чеботарева

∆(S) = 3n 0,5 10−m

Различие в результатах классического и статистического подходов к оцениванию погрешности суммы рассмотрим на примере оценки погрешности среднего арифметического нескольких приближенных чисел.

Пусть x=x1+x2+…+xn — среднее арифметическое n (n>10) приближенных n

чисел (например, результатов измерений), имеющих одинаковый уровень абсолютных погрешностей ∆(xi) =0,5 10−m . Тогда классическая оценка абсолютной

погрешности величины x есть

∆(x) =1n (∆(x1)+∆(x2)+…+∆(xn)) = 1n n 0,5 10−m =0,5 10−m =∆xi

т.е. такая же, как у исходных данных. В то же время по формуле Чеботарева

Как видим, применение правила Чеботарева приводит к естественному выводу о том, что арифметическое усреднение результатов измерений увеличивает точность, чего нельзя сказать на основе классической теории погрешностей. Прямое применение статических оценок погрешностей также является достаточно сложным делом. Однако именно такие оценки подкрепляют практические правила работы с приближенными числами, составляют основу технического подхода. Этот подход связывают с именем известного кораблестрои-

теля, математика и механика А.Н. Крылова (1863-1945г).

Согласно принципу Крылова приближенное число должно записываться так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верными и лишь последняя была бы сомнительна и притом в среднем не более чем на одну единицу (“в среднем” здесь понимается в вероятностном смысле).

Устойчивость и корректность постановки задачи. Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины х находится значение искомой величины у. Если исходная величина имеет абсолютную погрешность ∆(x), то решение у имеет погрешность ∆(y). Задача называется устойчивой по исходному параметру х, если решение у непрерывно зависит от х, т.е. если малое приращение исходной величины х приводит к малому приращению искомой величины у. Другими словами, малые погрешности в исходной величине приводят к малым погрешностям в результате расчётов.

Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных её решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным.

Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или вовсе к неверному результату.

Пример 8. Пусть задана система

3,0000 x −7,0001 y = 0,9998,3,0000 x −7,0000 y =1.

Легко проверить, что х=5, у=2 являются решениями этой системы. Рассмотрим теперь систему, близкую к ней:

3,0000 x − 7,0001 y =1,3,0000 x − 7,0000 y =1.

Эта система, как нетрудно убедиться, имеет решение х= 13 , у=0.

Как видно, изменение исходных данных на 2 10−4 одной из правых частей значительно изменило решение системы.

Рассмотрим снова систему, близкую к исходной:

3,0000 x −7,0000 y = 0,9998,3,0000 x −7,0000 y =1.

Легко видеть, что эта система несовместна, т.е. не имеет решений. Системы такого вида называются плохо обусловленными. Они довольно

часто встречаются в приложениях при решении практических задач.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 2.1. Основные сведения из линейной алгебры

К численным методам линейной алгебры относятся численные методы решения следующих задач:

—решение систем линейных алгебраических уравнений,

—обращение матриц,

—вычисление определителей квадратных матриц,

—нахождение собственных значений и векторов матриц (решение спектральной задачи линейной алгебры).

Напомним основную терминологию — определения, обозначения, понятия

ифакты линейной алгебры, и обозначения, которые непосредственно связаны с материалом книги и будут использоваться в дальнейшем.

Векторы и матрицы. Матричные операции. Прямоугольную таблицу вещественных чисел вида

называют прямоугольной матрицей размера m×n или m×n — матрицей. Числа aij

называют элементами этой матрицы. Первый индекс (i) — номер строки, а второй индекс (j) — номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент aij . Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой и

обозначается xr = (x1, x2 ,…, xn ). Матрица, состоящая из одного столбца — век-

тор-столбцом. Матрица А размера п×n называется квадратной, а число n — порядком этой матрицы.

Квадратная матрица вида

называется диагональной. Если все элементы диагонали равны между собой, матрица называется скалярной, и если они равны единице – единичной (обозначается E или I).

Квадратная матрица U называется верхней треугольной, если ее элементы, расположенные выше диагонали, не равны нулю:

Квадратная матрица L называется нижней треугольной, если ее элементы, расположенные ниже диагонали, не равны нулю:

транспонированной матрице: aij = a ji .

Квадратная матрица называется ленточной, если ее элементы удовлетворяют соотношениям: aij = 0, m1 < i − j; j −i > m2 для некоторых чисел m1, m2.

Шириной ленты называют число s= m1+ m2+1.

Матрица называется разреженной, если отношение количества ненулевых элементов к общему числу ее элементов (коэффициент плотности) меньше или равно 1/n.

Сравнивать, складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров. Указанные операции выполняются над одноименными элементами матриц.

Произведение матрицы Am×n справа на матрицу Bl×k определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B( l = n ) . Произведением С=АВ называется матрица Cm× k с элементами

n

cij = ∑aipbpj , i =1,…,m; j −1,…,k.

p=1

Вдальнейшем, если мы пишем формулу произведения АВ для каких— либо матриц А и В, то без дополнительных оговорок предполагаем, что операция умножения этих матриц определена, т.е.число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Одна из главных особенностей, которая отличает алгебру матриц от алгебры чисел, заключается в том, что матрица АВ не равна

матрице ВА (даже в случае квадратных матриц) т.е. операция умножения матриц не коммутативна.

Матрица A называется нормальной, если она перестановочна со своей транспонированной матрицей: ATA = AAT.

Определитель квадратной матрицы. Миноры. Ранг матрицы. Опре-

делителем квадратной матрицы порядка п называется сумма n! членов вида (−1)k a1k1 a2k2 …ankn , каждый из которых равен произведению п элементов мат-

рицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом знак члена определяется количеством инверсий k в перестановке k1, k2, …, kn из чисел

1,2, …,n .

Перестановкой из п чисел 1, 2, 3, …, п называется любое упорядоченное расположение этих чисел. Количество всех перестановок равно n!. Два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число стоит перед меньшим. Например, в перестановке 2413 число инверсий равно 3.

Определители второго и третьего порядков, например, равны: