Ошибки при решении систем уравнений

math4school.ru

Ошибки в системах уравнений

Системы уравнений с двумя переменными – один из самых распространенных видов упражнений в математических тестах, письменных работах и экзаменах различных уровней. Если система решена правильно, то ответ не зависит от выбранного метода решения. Но ошибки, допускаемые учащимися при решении систем, часто связаны не только с решением, а и с неправильной формой записи .

K Упражнение. Решить систему уравнений:

L Неправильная запись.

\[\begin \log _<2>xy=5, \\ \frac=\frac<1><2>; \end \begin \log _<2>xy=5, \\ y=2x; \end \begin \log _<2>2x^2=5, \\ y=2x; \end \begin 2x^2=2^5, \\ y=2x; \end \begin x^2=16, \\ y=2x; \end \begin x=\pm 4, \\ y=2x; \end \begin x=\pm 4, \\ y=\pm 8. \end\]

Комментарий . Использованная при записи ответа форма записи, как правило, подразумевает четыре пары чисел:

тогда как в действительности эта система имеет только два решения:

Справедливости ради, следует сказать, что действительно, иногда под записью (±4; ±8) понимают только пары

используют запись (±4; ∓8) . С этих позиций ответ (±4; ±8) является верным. Не будучи уверенным в правильной трактовке ваших записей, следует избегать подобных двойственностей.

J Правильный ответ.

K Упражнение. Решить систему уравнений

L Неправильное решение.

Комментарий . При решении системы методом извлечения корня из обеих частей уравнений следует рассмотреть совокупность систем уравнений, решение которой, в данном случае, даст четыре решения.

J Правильное решение.

Ответ: (2,5; –0,5), (0,5; –2,5), (–0,5; 2,5) и (–2,5; 0,5) .

Статья. Проблемы, типичные ошибки учащихся, допускаемые при решении уравнений и неравенств.

Задание «Проблемы, типичные ошибки учащихся»

Вспоминается расхожая истина – умные люди учатся на чужих ошибках. В математике приходится учиться, в основном, на собственных ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошибке, правильно ее использовать.

Обидно получать плохие оценки из-за ошибок «на ровном месте». Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы. Сами ученики порой не могут объяснить, чем вызваны эти ошибки.

Решая уравнения и неравенства учащиеся допускают типичные ошибки:

· Незнание правил, определений, формул.

· Непонимание правил, определений, формул.

· Неумение применять правила, определения, формулы.

· Неверное применение формул.

· Невнимательное чтение условия и вопроса задания.

· Раскрытие скобок и применение формул сокращенного умножения.

Какие же проблемы, трудности общего характера возникают у учащихся при изучении математики ( их несомненно можно отнести и к трудностям, которые возникают у уч-ся при изучении темы «Уравнения и неравенства»):

· Пропуски занятий приводят к незнанию материала, пробелам в знаниях.

· Поверхностное, невдумчивое восприятие нового материала приводят к непониманию его.

· Недостаточная мозговая деятельность приводит к неумению применять правила, определения и формулы .

· Неряшливый, неаккуратный почерк ученика приводит к досадным ошибкам . Учащиеся не всегда сами понимают, что именно они написали.

· Усталость . Чрезмерная нагрузка и недостаточный сон приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам.

· Кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую (учебную или внеучебную) приводит к утрате только что воспринятого материала, приходится все начинать сначала.

· Скорость работы. Низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает ученику контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки. «Зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой, в которой допускается не вынужденная ошибка. Скорость работы определяется физиологией конкретного школьника и навыками выполнения тех или иных операций.

· Мотивация. Следствие низкой мотивации – потеря внимания и ошибка.

Ошибки, допускаемые обучающимися при решении уравнений и неравенств, самые разнообразные: от неверного оформления решения до ошибок логического характера.

1. Самая типичная ошибка состоит в том, что учащиеся при решении уравнений и неравенств без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению посторонних корней.

Предлагаю на конкретных примерах рассмотреть ошибки подобного рода и определить способы их предупреждения и исправления, но прежде всего хочу обратить внимание на следующую мысль: не надо бояться приобрести посторонние корни, их можно отбросить путем проверки ,надо бояться потерять корни.

а) Решить уравнение:

log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x).

Это уравнение учащиеся очень часто решают следующим образом.

log3(5 – x) = 3 – log3(–1 – x), log3(5 – x) + log3(–1 – x) = 3, log3((5 – x)( –1 – x)) = 3, (5 – x)( –1 – x) = 33, x2 – 4x – 32 = 0,

Учащиеся часто, не проводя дополнительных рассуждений, записывают оба числа в ответ. Но как показывает проверка, число x = 8 не является корнем исходного уравнения, так как при x = 8 левая и правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что число x = –4 является корнем заданного уравнения.

б) Решить уравнение

Область определения исходного уравнения задается системой

Для решения заданного уравнения перейдем к логарифму по основанию x, получим

Мы видим, что левая и правая части этого последнего уравнения при x = 1 не определены, но это число является корнем исходного уравнения (убедиться в этом можно путем непосредственной подстановки). Таким образом, формальный переход к новому основанию привел к потере корня. Чтобы избежать потери корня x = 1, следует указать, что новое основание должно быть положительным числом, отличным от единицы, и рассмотреть отдельно случай x = 1.

2. Целая группа ошибок, вернее сказать недочетов, состоит в том, что учащиеся не уделяют должного внимания нахождению области определения уравнений, хотя именно она в ряде случаев есть ключ к решению.

3. Типичной ошибкой учащихся является то, что они не владеют на нужном уровне определениями понятий, формулами, формулировками теорем, алгоритмами. Хочу подтвердить сказанное следующим примером.

Ученик предлагает следующее ошибочное решение этого уравнения:

х = –2.

Поверка показывает, что х = –2 не является корнем исходного уравнения.

Напрашивается вывод, что заданное уравнение корней не имеет.

Однако это не так. Выполнив подстановку х = –4 в заданное уравнение, мы можем убедиться, что это корень.

Предлагаю проанализировать, почему произошла потеря корня.

В исходном уравнении выражения х и х + 3 могут быть одновременно оба отрицательными или оба положительными, но при переходе к уравнению эти же выражения могут быть только положительными. Следовательно, произошло сужение области определения, что и привело к потере корней.

Чтобы избежать потери корня, можно поступить следующим образом: перейти в исходном уравнении от логарифма суммы к логарифму произведения. Возможно в этом случае появление посторонних корней, но от них, путем подстановки, можно освободиться.

4. Многие ошибки, допускаемые при решении уравнений и неравенств, являются следствием того, что учащиеся очень часто пытаются решать задачи по шаблону, то есть привычным путем. Предлагаю рассмотреть это на следующем примере.

Попытка решать это неравенство привычными алгоритмическими способами не приведет к ответу. Решение здесь должно состоять в оценке значений каждого слагаемого левой части неравенства на области определения неравенства.

Найдем область определения неравенства:

Для всех x из промежутка (9;10] выражение имеет положительные значения (значения показательной функции всегда положительны).

Для всех x из промежутка (9;10] выражение ( x – 9) имеет положительные значения, а выражение lg(x – 9) имеет значения отрицательные или ноль, тогда выражение

– (x – 9) lg(x – 9) положительно или равно нулю.

Окончательно имеем x ∈ (9;10]. Хочу заметить, что при таких значениях переменной каждое слагаемое, стоящее в левой части неравенства, положительно (второе слагаемое может быть равно нулю), а значит их сумма всегда больше нуля. Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток (9;10].

5. Одна из ошибок связана с графическим решением уравнений.

Некоторые учащиеся, решая это уравнение графически (хочу отметить, что его другими элементарными способами решить нельзя), получают лишь один корень (он является абсциссой точки, лежащей на прямой y = x), ибо графики функций

и −

это графики взаимно обратных функций.

На самом деле исходное уравнение имеет три корня: один из них является абсциссой точки, лежащей на биссектрисе первого координатного угла y = x, другой корень и третий корень Убедиться в справедливости сказанного можно непосредственной подстановкой чисел и в заданное уравнение.

Этот пример удачно иллюстрирует следующий вывод: графическое решение уравнения f(x) = g(x) “безупречно”, если обе функции «разномонотонны» (одна из них возрастает, а другая – убывает), и недостаточно математически корректно в случае одномонотонных функций (обе либо одновременно убывают, либо одновременно возрастают).

6. Ряд типичных ошибок связан с тем, что учащиеся не совсем корректно решают уравнения и неравенства на основе функционального подхода. Остановлюсь на типичных ошибки такого рода.

а) Решить уравнение x х = x.

Функция, стоящая в левой части уравнения, – показательно-степенная и раз так, то на основание степени следует наложить такие ограничения: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмируем обе части заданного уравнения:

или

Откуда имеем x = 1.

Логарифмирование не привело к сужению области определения исходного уравнения. Но тем не менее произошла потеря двух корней уравнения; непосредственным усмотрением мы находим, что x = 1 и x = –1 являются корнями исходного уравнения.

7. При решении неравенств с помощью подстановки мы всегда сначала решаем новое неравенство относительно новой переменной, и лишь в его решении делаем переход к старой переменной.

Школьники очень часто ошибочно делают обратный переход раньше.Этого делать не следует.

8.Хочу привести пример еще одной ошибки, связанной с решением неравенств.

.

Привожу ошибочное решение, которое очень часто предлагают учащиеся.

Возведем обе части исходного неравенства в квадрат. Будем иметь:

,

откуда получаем неверное числовое неравенство , что позволяет сделать вывод: заданное неравенство не имеет решений.

Однако полученный вывод неверен, например, при х = 1000 имеем

, , .

Полученное числовое неравенство верно, а значит х = 1000 является решением.

Значит, заданное неравенство имеет решение, и, следовательно, приведенное выше решение ошибочно.

Привожу правильное решение. Найдем область определения исходного неравенства. Она задается системой

или

откуда .

Ясно, что на интервале (10;1000) нет решений, ибо левая часть заданного неравенства при любом х из этого интервала не имеет смысла.

Рассмотрим два случая.

а) , откуда х > 100. С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из этого промежутка левая часть исходного неравенства неотрицательна (как значение арифметического квадратного корня), а правая часть – отрицательна. Делаем вывод о том, что – решение заданного неравенства.

б) , откуда . С учетом области определения исходного неравенства имеем промежуток . Для всех х из промежутка имеют смысл обе части неравенства и они имеют неотрицательные значения, значит обе части заданного неравенства мы можем возвести в квадрат. Будем иметь: , откуда . Это неверное числовое неравенство позволяет сделать вывод: значения х из промежутка решениями исходного неравенства не являются.

Ответ: .

9. Типичная ошибка при решении уравнений, неравенств и их систем состоит в том, что неверно преобразовываются выражения.

Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления.

Необходимо осуществлять процесс обучения правилам с помощью специальной модели с использованием приема, активизирующего рефлексивную деятельность учащихся по предупреждению и исправлению ошибок, которые возникают в результате формального усвоения правил.

Самостоятельная работа учащихся над ошибками обеспечивает более осознанный их анализ и анализ собственных действий по решению конкретной задачи, что оказывает благоприятное влияние на качество получаемых знаний и стимулирует развитие логического мышления.

Пример неосознанного применения алгоритма: получив уравнение sin x = 1,2, ученик автоматически ищет его корни по хорошо известной формуле, не обращая внимания на недопустимые значения sin x .

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Выработке навыков самоконтроля помогает и приём приближённой оценки ожидаемого результата.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок.

Систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своему решению. Для этого подходят задания типа «найди ошибку в решении». Процесс отыскания и исправления ошибок самими учащимися под руководством учителя можно сделать поучительным для учащихся.

Для исправления и предупреждения многих ошибок важно сформировать у школьников навыки самоконтроля. Эти навыки состоят из двух частей:

а) умения обнаружить ошибку;

б) умения её объяснить и исправить.

В процессе обучения применяются несколько приёмов самоконтроля, которые помогают обнаружить допущенные ошибки и своевременно их исправить. К ним относятся:

· проверка вычисления и тождественного преобразования путём выполнения обратного действия или преобразования;

· проверка правильности решения задач путём составления и решения задач, обратных к данной;

· оценка результата решения задачи с точки зрения здравого смысла;

· проверка аналитического решения графическим способом.

Способы исправления и предупреждения ошибок

Свести ошибки к минимуму способствуют следующие профилактические меры:

• Тексты письменных заданий должны быть удобными для восприятия: грамотно сформулированными, хорошо читаемыми.
• Активная устная отработка основных ЗУН, регулярный разбор типичных ошибок.
• При объяснении нового материала предугадать ошибку и подобрать систему заданий на отработку правильного усвоения понятия. Акцентировать внимание на каждом элементе формулы, выполнение разнотипных заданий позволит свести ошибочность к минимуму.
• Подбирать задания, вызывающие интерес, формирующие устойчивое внимание.
• Прочному усвоению (а значит, отсутствию ошибок) способствуют правила, удобные для запоминания, четкие алгоритмы, следуя которым заведомо придешь к намеченной цели.

Каждый учитель знает, что планомерное и систематическое повторение и есть основной помощник в ликвидации пробелов, а, следовательно, и ошибок. В математике, как ни в какой другой науке, особенно сильна взаимосвязь материала. Изучение и понимание последующего невозможно без знания предыдущего, отсюда неизбежность повторения на каждом уроке. При объяснении нового материала следует использовать ряд определений и теорем, которые были изучены ранее.

Задания с ошибками по темам: «Уравнения», «Системы уравнений». Книга для учащихся.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Туендатская основная общеобразовательная школа

Учебно-методическое пособие по математике

для учителей и учащихся средней школы

Автор: Кара Светлана Ивановна,

Многолетний опыт работы учителем математики показывает, что поговорка «на ошибках учатся» на практике не «работает». При выполнении математических заданий и упражнений учащиеся, допуская ошибки, их не замечают и вовремя не исправляют.

Анализируя учебники математики, обращаем внимание на то, что в них достаточно много образцов решения различных заданий, но совсем нет рекомендаций о том, какие ошибки мы можем допустить при выполнении математических упражнений. Поэтому вопрос о том, как учиться без ошибок, как научиться находить собственные ошибки в решениях, является актуальным и требует исследования.

Для пробного исследования были выбраны математические понятия – уравнения, приводящиеся к линейным (далее уравнения) и системы линейных уравнений (далее системы уравнений). Считаем, что эти понятия являются основными в алгебре. Предметом исследования будут ошибки, которые допускают учащиеся, когда решают уравнения и системы уравнений.

На основании детального анализа теоретического материала по проблеме исследования, можно предположить, что при решении уравнений и систем уравнений можно допустить ошибки в тех преобразованиях, которые мы выполняем, решая их.

Для подтверждения данного предположения были составлены анкеты с целью опроса учащихся: анкета – опрос, анкета – уравнение, анкета – система уравнений. В опросе приняли участие 20 учащихся (7, 8, 9 классы) МАОУ Туендатская ООШ.

Проанализировав результаты анкетирования, мы получили следующий результат.

В основном все старшеклассники считают, что они умеют решать уравнения и системы уравнений (70%). Но при этом отмечают, что без ошибок могут решать уравнения только 25% опрошенных учащихся и системы уравнений — 15%. Находить, же ошибки в собственных решениях могут, по мнению ребят 40% опрошенных, и 45% учащихся с помощью учителя или его подсказки. И абсолютно все ребята хотят решать без ошибок.

Во второй анкете учащимся было предложено решить уравнение

Анализ результатов показал, что ошибки допускаются в преобразованиях:

Раскрытие скобок (30%).

Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую(30%).

Приведение подобных слагаемых (40%).

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля (20%).

Вычислительные ошибки (30%).

В третьей анкете было предложено учащимся решить систему уравнений несколькими способами: методом подстановки, методом сложения, графическим методом и методом сравнения.

Анализ результатов показал, что ошибки допускаются в преобразованиях:

При решении методом подстановки – при выражении одной переменной через другую (35%); при решении уравнения (30%); при записи ответа (15%).

При решении методом сложения – при умножении обеих частей уравнения на одно и то же число (20%); при сложении или вычитании равенств (10%); при решении уравнения (30%); при подстановке найденного числового значения для одной переменной в выражение для нахождения значения другой переменной (25%).

При решении графическим методом – при выражении одной переменной через другую (35%); при построении графика линейной зависимости (30%); при нахождении решения системы уравнений по графической иллюстрации (20%).

При решении методом сравнения – при выражении одной переменной через другую (35%); при решении уравнения с дробными коэффициентами (30%); при подстановке найденного числового значения одной переменной в выражение для нахождения значения другой переменной (25%).

Таким образом, мы получили подтверждение того, что ошибки учащиеся допускают в преобразованиях при решении уравнений и систем уравнений. При этом не умеют находить ошибки в собственных решениях (60%) опрошенных или находят их с помощью подсказки (40%), но все обучающиеся хотят быть успешными по математике и решать без ошибок.

Как же научиться находить ошибки и использовать их с пользой для дела? Думаем, что способы поиска ошибок в готовых решениях частично помогут решить данную проблему.

С этой целью было разработано учебно-методическое пособие для учителей и учащихся, в котором представлены серии заданий по темам: «Уравнения» и «Системы уравнений» с ошибками в тех преобразованиях, которые мы используем при решении данного класса задач. Задания оформили как книгу для учащихся «Найди ошибку», в которую вошли различные уравнения и системы уравнений с ошибками. Эту книгу можно использовать для того, чтобы научиться находить ошибки и контролировать свои учебно-предметные действия.

Системы уравнений с двумя переменными – один из самых распространенных видов упражнений в математических тестах, письменных работах и экзаменах различных уровней. Если система решена правильно, то ответ не зависит от выбранного метода решения. Но ошибки, допускаемые учащимися при решении систем, часто связаны не только с решением, а и с неправильной формой записи.

K Упражнение. Решить систему уравнений:

\[\begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ \log _{\frac{1}{2}}\frac{x}{y}=1. \end{cases}\]

L Неправильная запись. 

\[\begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{2}; \end{cases} \begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} \log _{2}2x^2=5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} 2x^2=2^5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x^2=16, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x=\pm 4, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x=\pm 4, \\ y=\pm 8. \end{cases}\]

Ответ: (±4; ±8).

Комментарий. Использованная при записи ответа форма записи, как правило, подразумевает четыре пары чисел:

(4; 8), (–4; –8), (4; –8)  и  (–4; 8),

тогда как в действительности эта система имеет только два решения:

(4;  и  (–4; –8).

Справедливости ради, следует сказать, что действительно, иногда под записью (±4; ±8) понимают только пары 

(4;  и  (–4; –8),

а для пар 

(4; –8)  и  (–4;

используют запись (±4; ∓8). С этих позиций ответ (±4; ±8) является верным. Не будучи уверенным в правильной трактовке ваших записей, следует избегать подобных двойственностей.

J Правильный ответ.

Ответ: (4; 8), (–4; –8).

K Упражнение. Решить систему уравнений 

\[\begin{cases} x^2+2xy+y^2=4, \\ x^2-2xy+y^2=9. \end{cases}\]

L Неправильное решение.

\[ \begin{cases} ( x+y)^2=4, \\ ( x-y)^2=9; \end{cases} \begin{cases}  x+y=2, \\ x-y=3; \end{cases} \begin{cases} 2x=5, \\ 2y=-1; \end{cases} \begin{cases} x=2,5, \\ y=-0,5. \end{cases}\]

Ответ: (2,5; –0,5).

Комментарий. При решении системы методом извлечения корня из обеих частей уравнений следует рассмотреть совокупность систем уравнений, решение которой, в данном случае, даст четыре решения.

J Правильное решение.

\[\begin{cases} ( x+y)^2=4, \\ ( x-y)^2=9; \end{cases}\left[ \begin{matrix} \begin{cases} x+y=2, \\ x-y=3, \end{cases}\\ \begin{cases} x+y=-2, \\ x-y=3, \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=2, \\ x-y=-3, \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=-2, \\ x-y=-3; \end{cases} \end{matrix}\right. \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 2x=5, \\ 2y=-1, \end{cases}\\ \begin{cases} 2x=1, \\ 2y=-5, \end{cases} \\ \begin{cases} 2x=-1, \\ 2y=5, \end{cases} \\ \begin{cases} 2x=-5, \\ 2y=1; \end{cases} \end{matrix}\right.\left[ \begin{matrix} \begin{cases} x=2,5, \\ y=-0,5, \end{cases}\\ \begin{cases} x=0,5, \\ y=-2,5, \end{cases} \\ \begin{cases} x=-0,5, \\ y=2,5, \end{cases} \\ \begin{cases} x=-2,5, \\ y=0,5. \end{cases} \end{matrix}\right.\]

Ответ: (2,5; –0,5), (0,5; –2,5), (–0,5; 2,5)  и  (–2,5; 0,5).

     Смотрите также:

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

Часто допускаемые ошибки при решении систем уравнений и как избежать их

Решение систем уравнений является важным этапом в математике и других науках, где применяются математические методы. Однако при решении систем уравнений часто возникают ошибки, которые могут привести к неверным результатам.

Далее рассмотрим некоторые из наиболее частых ошибок, которые допускают при решении систем уравнений и способы их избежания:

1. Неправильное написание уравнений

Одной из основных ошибок, которую можно допустить при решении систем уравнений, является неправильное написание уравнений. Это может быть связано с ошибками, допущенными при составлении уравнений на бумаге или при вводе их в компьютер. Часто бывает, что не учтены все переменные, или уравнения написаны в неверном порядке.

Способ избежать этой ошибки заключается в тщательном анализе написания уравнений перед решением системы.

2. Неправильное применение методов решения

В зависимости от характера системы уравнений, к ее решению может быть применено различное количество и различные методы. Однако неправильное применение методов решения может привести к ошибкам.

Чтобы избежать этой ошибки, необходимо тщательно изучить теорию метода решения, выбранного для данной системы уравнений. Также рекомендуется использовать методы проверки результатов, например, подстановку найденных значений в исходные уравнения.

3. Ошибки при работе с дробями и скобками

Еще одной частой ошибкой, которую можно допустить при решении систем уравнений, является неправильная работа с дробями и скобками. Неверно расставленные скобки или выполнение неправильных операций с дробями могут привести к неверному результату.

Существует несколько способов избежать этой ошибки. Во-первых, рекомендуется тщательнее проверять результаты промежуточных действий. Во-вторых, можно использовать дополнительные математические методы, например, приведение к общему знаменателю.

4. Ошибки округления и вычисления

Еще одной ошибкой, которую можно допустить при решении систем уравнений, является ошибки округления и вычисления. Это может быть связано с применением неправильных формул округления или с использованием неправильных значений для вычисления.

Чтобы избежать этой ошибки, необходимо использовать точные значения в вычислениях и аккуратно следить за правильностью округления значений.

5. Неучтенные условия

Наконец, одной из частых ошибок, которую можно допустить при решении систем уравнений, является неучтенные условия. Например, могут быть ситуации, когда количество уравнений не соответствует количеству переменных, или когда решение системы возможно только при выполнении определенных условий.

Чтобы избежать этой ошибки, необходим тщательный анализ условий задачи перед решением системы.

Заключение

Исправление ошибок при решении систем уравнений является жизненно важным процессом при работе с математическими моделями. Несмотря на то, что некоторые ошибки могут быть избежаны, невозможно удержаться от их полного допущения. Однако регулярное отслеживание и исправление ошибок позволяет получить более точные результаты и более точно оценить полученные решения.

Муниципальное
автономное общеобразовательное учреждение

Туендатская
основная общеобразовательная школа

Учебно-методическое
пособие по математике

«Найдите
ошибку»

для
учителей и учащихся средней школы

Автор:
Кара Светлана Ивановна,      

   
учитель математики.

Туендат
2019

Пояснительная
записка.

Многолетний опыт
работы учителем математики показывает, что поговорка «на ошибках учатся» на
практике не «работает». При выполнении математических заданий и упражнений
учащиеся, допуская ошибки, их не замечают и вовремя не исправляют.

Анализируя
учебники математики, обращаем внимание на то, что в них достаточно много
образцов решения различных заданий, но совсем нет рекомендаций о том, какие
ошибки мы можем допустить при выполнении математических упражнений. Поэтому
вопрос о том, как учиться без ошибок, как научиться находить собственные ошибки
в решениях, является актуальным и требует исследования.

Для пробного
исследования были выбраны математические понятия – уравнения, приводящиеся к
линейным (далее уравнения) и системы линейных уравнений (далее системы
уравнений). Считаем, что эти понятия являются основными в алгебре. Предметом
исследования будут ошибки, которые допускают учащиеся, когда решают уравнения и
системы уравнений.

На основании
детального анализа теоретического материала по проблеме исследования, можно
предположить, что при решении уравнений и систем уравнений можно допустить
ошибки в тех преобразованиях, которые мы выполняем, решая их.

Для подтверждения
данного предположения были составлены анкеты с целью опроса учащихся: анкета –
опрос, анкета – уравнение, анкета – система уравнений. В опросе приняли
участие 20 учащихся  (7, 8, 9 классы) МАОУ Туендатская ООШ.

Проанализировав
результаты анкетирования, мы получили следующий результат.

В основном все
старшеклассники считают, что они умеют решать уравнения и системы уравнений
(70%). Но при этом отмечают, что без ошибок могут решать уравнения только 25%
опрошенных учащихся и системы уравнений — 15%. Находить, же ошибки в
собственных решениях могут, по мнению ребят 40% опрошенных, и 45% учащихся с помощью
учителя или его подсказки. И абсолютно все ребята хотят решать без ошибок.

Во второй анкете
учащимся было предложено решить уравнение

Анализ результатов
показал, что ошибки допускаются в преобразованиях:

1.     
Раскрытие
скобок (30%).

2.     
Перенос
членов уравнения из одной части уравнения в другую(30%).

3.     
Приведение
подобных слагаемых (40%).

4.     
Деление
обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля (20%).

5.     
Вычислительные
ошибки (30%).

В третьей анкете
было предложено учащимся решить систему уравнений  несколькими способами: методом
подстановки, методом сложения, графическим методом и методом сравнения.

Анализ результатов
показал, что ошибки допускаются в преобразованиях:

1.     
При
решении методом подстановки – при выражении одной переменной через
другую (35%); при решении уравнения (30%); при записи ответа (15%).

2.     
При
решении методом сложения – при умножении обеих частей уравнения на одно и то же
число (20%); при сложении или вычитании равенств (10%); при решении уравнения
(30%); при подстановке найденного числового значения для одной переменной в
выражение для нахождения значения другой переменной (25%).

3.     
При
решении графическим методом – при выражении одной переменной через
другую (35%); при построении графика линейной зависимости (30%); при нахождении
решения системы уравнений по графической иллюстрации (20%).

4.     
При
решении методом сравнения – при выражении одной переменной через другую
(35%); при решении уравнения с дробными коэффициентами (30%); при подстановке
найденного числового значения одной переменной в выражение для нахождения
значения другой переменной (25%).

Таким
образом, мы получили подтверждение того, что ошибки учащиеся допускают в
преобразованиях при решении уравнений и систем уравнений. При этом не умеют
находить ошибки в собственных решениях (60%) опрошенных или находят их с
помощью подсказки (40%), но все обучающиеся хотят быть успешными по математике
и решать без ошибок.

Как
же научиться находить ошибки и использовать их с пользой для дела? Думаем, что
способы поиска ошибок в готовых решениях частично помогут решить данную
проблему.

С
этой целью было разработано учебно-методическое пособие для учителей и
учащихся, в котором представлены серии заданий по темам: «Уравнения» и «Системы
уравнений»  с ошибками в тех преобразованиях, которые мы используем при решении
данного класса задач. Задания оформили как книгу для учащихся «Найди ошибку», в
которую вошли различные уравнения и системы уравнений с ошибками. Эту книгу
можно использовать для того, чтобы научиться находить ошибки и контролировать
свои учебно-предметные действия.

Муниципальное
автономное общеобразовательное учреждение

Туендатская
основная общеобразовательная школа

Задания
с ошибками по темам:

 «Линейные
уравнения и системы линейных уравнений».

КНИГА
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

Составитель:  
Кара Светлана Ивановна,

                                                            
                            учитель математики.

Туендат
2019

Оглавление                                                                                                                стр.

Предисловие………………………………………………………………………….
. 3

Тема 1. Учимся
находить ошибки в уравнениях …………………………………… 4

Тема
2. Учимся находить ошибки в системах линейных уравнений………………8

§1.
Метод подстановки…….. .…………………………………………………..8

§2.
Метод сложения……………………..………..……………………………12

§3.
Метод сравнения………….. .………………………………………………16

§4.
Графический метод………………..………..………………………………20

Литература
…………………………………………………………………………… 24

Ответы к
заданиям …………………………………………………………………… 25

«Ошибка
одного – урок другому».

Д.
Рей

Предисловие.

Дорогие
ребята!

Перед вами
необычная книга. Здесь вы не найдете привычных для вас правил и заданий по
математике. Эта книга написана для тех, кто хочет научиться решать уравнения и
системы линейных уравнений без ошибок.

В книге есть
теоретический материал, который поможет вам повторить и вспомнить алгоритмы
решения линейных уравнений и систем линейных уравнений, но для самостоятельной
работы вам предлагаются задания с ошибками. В этих заданиях вы должны сами
найти допущенную ошибку и исправить ее, а также попробовать составить свои
собственные задания с ошибками и предложить их своим друзьям.

Не пугайтесь, если
сразу не сможете найти ошибку, начните с тех заданий, в которых есть подсказка.
Помните о том, что ошибка – вещь полезная, а поиск ошибок увлекательное
занятие.

Удачи вам, ребята!

Тема 1. Учимся находить
ошибки в уравнениях.

Внимательно прочтите этот текст!

Чтобы научиться решать уравнения без
ошибок, надо знать, какие преобразования нужно выполнить при решении уравнений
и уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь уравнение, ведь именно в
преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении уравнений, которые приводятся к линейным уравнениям, мы выполняем следующие преобразования.

1.      Преобразование выражений, составляющих части уравнения (мы   раскрываем скобки, применяя распределительный закон умножения и правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс или  минус). 2.      Второе преобразование – переносим члены уравнения из одной части уравнения в другую. При переносе членов из одной части в другую мы меняем у них знак. 3.      Третье преобразование – преобразование выражений, составляющих части уравнения (мы приводим подобные слагаемые). 4.      Четвертое преобразование – делим обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.

Изучите
таблицу с верно решенным уравнением.

Какие
преобразования выполняют при решении уравнений? Попробуем узнать это, решив
уравнение.
Рассмотрим
цепочку преобразований данного уравнения.

Номер шага	Преобразование	Решение уравнения
1 шаг	Преобразуем выражения в правой и левой частях уравнения —  раскроем скобки.
2 шаг	Перенесем члены, содержащие неизвестное в левую часть уравнения, а все постоянные числа в правую часть уравнения. При переносе члена уравнения из одной части в другую мы меняем у него знак.
3 шаг	Преобразуем выражения в правой и левой частях уравнения —  приведем подобные слагаемые.
4 шаг	Делим обе части уравнения на одно и то же число (в данном случае на 4).
5 шаг	Записываем ответ.	Ответ:
Уравнение имеет корень , так как верным равенством уравнение  становиться при .

 
Задания для самостоятельной работы.

      
I.           
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении уравнений.

1)     
Подсказка.
Ошибка допущена при раскрытии скобок.

2)     
Подсказка.
Ошибка допущена при раскрытии скобок.

3)     
Подсказка.
Ошибка допущена при переносе членов уравнения из одной части в другую.

4)     
Подсказка.
Ошибка допущена при делении обеих частей уравнения на одно и то же число.

Дорогой
друг! После того как ты выполнил предложенные задания, полезно будет решить эти
уравнения, с учетом найденных ошибок, так как все эти уравнения решены неверно.
Верные ответы к данным уравнениям ты найдешь в конце книги.

   
II.           
Найдите
ошибки, допущенные при решении уравнений.

Итак,
уравнения с ошибками закончились. Вы справились с предложенным заданием? Если у
вас не все получилось, не огорчайтесь. К этим уравнениям можно вернуться еще не
один раз.

А,
если вы нашли все ошибки в уравнениях, попробуйте придумать свои уравнения с
ошибками и предложите найти эти ошибки своим друзьям или одноклассникам.

Помните,
что, если вы нашли ошибку и решили уравнение правильно, всегда можно сделать
проверку, подставив найденное значение переменной в уравнение.

Тема 2. Учимся
находить ошибки в системах линейных уравнений.

§
1. Метод подстановки.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений методом подстановки без ошибок,
надо знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении систем уравнений методом подстановки, мы выполняем следующие  преобразования.

1)      Выражаем одну переменную через другую. 2)      Заменяем переменную алгебраическим выражением. 3)      Преобразования при решении линейного уравнения: a.      Раскрываем скобки. b.      Переносим члены уравнения из одной части в другую. c.       Преобразуем выражения, составляющие части уравнения      (приведение подобных слагаемых). d.      Делим обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. 4.      Подставляем найденное числовое значение одной переменной в выражение для нахождения значения другой переменной.

Изучите
таблицу с верно решенной системой линейных уравнений методом подстановки.

Какие
преобразования выполняют при решении системы уравнений методом подстановки?
Попробуем узнать это, решив систему уравнений    Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер шага	Выполняемое действие	Решение данного шага системы уравнений
1 шаг	Из первого уравнения выразим .
2 шаг	Подставляем вместово второе уравнение выражение
3 шаг	Решаем получившееся уравнение относительно y.
4 шаг	Находим x из первого уравнения системы.
5 шаг	Записываем ответ.	Ответ: (2; 1)

Полное решение данной системы линейных уравнений
будет выглядеть так:

Задания для
самостоятельной работы.

      
I.           
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений методом подстановки.

1)     

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при выражении одной переменной через другую.

Ответ: (3; 1/3)

2)     
Подсказка.
Ошибка допущена на третьем шаге, при решении линейного уравнения.

Ответ: (-7;
-16)

3)     
Подсказка.
Ошибка допущена на четвертом шаге, при нахождении числового значения второй
переменной.

         Ответ:
(6; 2)

 
II.           
Найдите
ошибки, допущенные при решении системы уравнений методом подстановки.

1)     
Найдите
две ошибки.

2)     

Найдите четыре
ошибки.

Ответ: (1; 15)

Дорогой
друг! Если ты нашел все ошибки, то обязательно реши эти системы самостоятельно.

Верный
ответ ты найдешь в конце книги.

§ 2. Метод сложения.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений методом сложения без ошибок, надо
знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении системы уравнений методом сложения нам приходится выполнять следующие преобразования.

1.      Умножать обе части уравнения на одно и то же число. 2.      Складывать или вычитать равенства. 3.      Выполнять преобразования при решении линейного уравнения: a.      Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую. b.      Преобразовывать выражения, составляющие части уравнения (приведение подобных слагаемых). c.       Делить обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. 4)      Подставлять найденное числовое значение для одной переменной в выражение для нахождения значения другой переменной.

Изучите таблицу с
верно решенной системой линейных уравнений методом сложения.

Какие
преобразования выполняют при решении системы уравнений методом сложения?
Попробуем узнать это, решив систему уравнений  Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер шага	Выполняемое действие	Решение данного шага системы уравнений
1 шаг	Умножим обе части второго уравнения на 3.
2 шаг	Сложим почленно оба уравнения.
3 шаг	Решаем получившееся уравнение относительно x.
4 шаг	Находим y из второго уравнения системы.
5 шаг	Записываем ответ.	Ответ: (2; 1)

Полное решение данной системы
линейных уравнений будет выглядеть так:

 Ответ: (2;1)

Задания для
самостоятельной работы.

      
I.           
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений методом сложения.

1)     

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при умножении первого уравнения на число.

Ответ:
(1,8; 3,8)

2)     
Подсказка.
Ошибка допущена при сложении уравнений.

 Ответ: (3; 13)

3)     

Подсказка.
Ошибка допущена на четвертом шаге, при нахождении числового значения второй
переменной.

Ответ: (-2; 7)

   
II.           
Найдите
ошибки, допущенные при решении системы уравнений методом сложения.

1)     

Найдите
три ошибки.

Ответ: (-3; 2)

2)     
Найдите
четыре ошибки.

Ответ:
(22; 9)

Дорогой
друг! После того как ты выполнил предложенные задания, полезно будет решить эти
системы уравнений, с учетом найденных ошибок. Данные системы уравнений решены неверно.
Верные ответы ты найдешь в конце книги.

 § 3. Метод сравнения.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений методом сравнения без ошибок, надо
знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!

При решении систем уравнений методом сравнения, мы выполняем следующие  преобразования.

1.      Выражаем одну переменную через другую. 2.      Преобразования при решении линейного уравнения с дробными коэффициентами: a.      Умножаем обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. b.      Раскрываем скобки. c.       Переносим члены уравнения из одной части в другую. d.      Преобразуем выражения, составляющие части уравнения (приведение подобных слагаемых). e.       Делим обе части уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. 5.      Подставляем найденное числовое значение одной переменной в выражение для нахождения значения другой переменной.

Изучите
таблицу с верно решенной системой линейных уравнений методом сравнения.

Какие
преобразования выполняют при решении системы уравнений методом сравнения?
Попробуем узнать это, решив систему уравнений    

Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер шага	Выполняемое действие	Решение данного шага системы уравнений
1 шаг	Из первого и второго уравнений выразим .
2 шаг	Приравняем левые части данных уравнений.
3 шаг	Решаем получившееся уравнение относительно y.
4 шаг	Находим x из первого уравнения системы.
5 шаг	Записываем ответ.	Ответ: (2;1)

Полное решение данной системы линейных уравнений будет
выглядеть так:

Ответ: (2;1)

Задания
для самостоятельной работы.

      
I.           
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений методом сравнения.

1)     

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при выражении одной переменной через другую.

Ответ: (3; 6)

2)     
Подсказка.
Ошибка допущена на третьем шаге, при решении уравнения.

Ответ: (1; -11)

3)     

Подсказка.
Ошибка допущена на четвертом шаге, при нахождении числового значения второй
переменной.

Ответ: (1; 3)

   
II.           
Найдите
ошибки, допущенные при решении системы уравнений методом сравнения.

1)     

Найдите
две ошибки.

 Ответ:
(-6;-7)

2)     
Найдите
три ошибки.

Ответ:
(19; -5,5)

Сейчас
самое время решить эти задания самостоятельно!

§ 4. Графический метод.

Внимательно
прочтите этот текст!

Чтобы
научиться решать системы линейных уравнений графическим способом без ошибок,
надо знать, какие преобразования нужно выполнить при решении систем уравнений и
уметь их выполнять. Будь внимателен, когда решаешь систему уравнений, ведь
именно в преобразованиях мы часто допускаем ошибки.

ЗАПОМНИТЕ!	При решении систем уравнений методом подстановки, мы выполняем следующие  действия.
1.      Выражаем одну переменную через другую. 2.      Сроим график линейной зависимости. 3.      Находим решение системы уравнений по графической иллюстрации.

Изучите
таблицу с верно решенной системой линейных уравнений графическим методом.

Какие
действия выполняют при решении системы уравнений графическим методом? Попробуем
узнать это, решив систему уравнений  

Рассмотрим
пошаговый алгоритм решения данной системы уравнений.

Номер шага	Выполняемое действие	Решение данного шага системы уравнений
1 шаг	Из первого и второго уравнений выразим .
2 шаг	Строим в одной системе координат графики данных функций.	и
3 шаг	Находим решение системы уравнений по графической иллюстрации – это координаты точки пересечения графиков данных функций.	А(-2; 0)
4 шаг	Записываем ответ.	Ответ: (-2;0)

Задания для самостоятельной работы.

1.     
Задания
с подсказкой. Найдите одну ошибку, допущенную при решении системы линейных
уравнений графическим методом.

1)     

Подсказка.
Ошибка допущена на первом шаге, при выражении одной переменной через другую.

Построим
в одной системе координат графики функций:  и .

Координаты
точки А – решение системы уравнений, то есть  

Ответ: (1; 0)

2)     
Подсказка.
Ошибка допущена на втором шаге, при построении графика.

       

    
Построим в одной системе координат графики функций:  и .

Координаты
точки А – решение системы уравнений, то есть 

 Ответ: (-2; 6)

3)     

Подсказка.
Ошибка допущена на третьем шаге, при нахождении решения системы линейных
уравнений.

Построим
в одной системе координат графики функций:  и.

                                  

Координаты
точки А – решение системы уравнений, то есть 

 Ответ:
(-2; -3)

Графический
метод – «красив» и прост. Реши эти системы графическим методом без ошибок.

Литература.

1.     
Башмаков
М.И. Алгебра: Учеб. Для 7 класса общеобразовательных учреждений.– М.:
Просвещение, 2003г. – 320с.

2.      Мордкович
А.Г. Алгебра 7 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных
учреждений. – М.: Мнемозина, 2010. -270 с.

3.     
Росошек
С.К., Хают Л.Б., Малова И.Е. Системы уравнений: Учебное пособие по математике
для 9 класса. Под редакцией Э.Г. Гельфман. – Томск: Изд-во Том. Ун-та. – 256с.

Ответы
к заданиям.

Страница 8

1.      .

2.      .

3.      .

Страница 9

4.      .

1.      .

2.      .

3.      .

4.     

Страница 10

1.     

2.     

Страница
13

1.      .

2.      .

3.      .

Страница
14

1.      .

2.      .

Страница
17

1.      .

2.      .

3.      .

1.      .

Страница 18

2.      .

Страница 21

1.      .

2.      .

3.      .

Страница 22

1.      .

2.      .

      
Страница 25, 26

1.      .

2.     

3.