Ошибки при построении графиков

Некорректные диаграммы: наш опыт

Мы в журнале The Economist очень серьёзно относимся к визуализации данных. Каждую неделю у нас публикуется около 40 графиков в печатной и онлайновой версиях, а также в приложениях. Мы везде стремимся точно представить цифры, чтобы они лучше всего иллюстрировали тему. Но иногда допускаем ошибки. Важно усвоить эти уроки, чтобы не повторять ошибки в будущем. Наверняка наш опыт окажется полезен и для вас.

Погрузившись в архивы, я нашла несколько поучительных примеров. Преступления против визуализации данных сгруппированы по трём категориям. Это графики, которые:

1. вводят в заблуждение;
2. сбивают с толку;
3. не могут довести смысл.

Для каждого показана исправленная версия, которая занимает столько же места — важный фактор для печатной публикации.

(Примечание: большинство «оригинальных» графиков опубликованы до редизайна. Улучшенные диаграммы составлены в соответствии с новыми спецификациями. Данные те же).

Графики, которые вводят в заблуждение

Начнём с худшего из преступлений: представление данных таким образом, что они вводят в заблуждение. Мы никогда специально так не делаем! Но иногда это происходит. Рассмотрим три примера из нашего архива.

Ошибка: усечение шкалы

(данные в csv)

Этот график показывает среднее количество лайков Facebook на страницах левых партий. Цель диаграммы состояла в том, чтобы показать разницу в лайках постов господина Корбина и других.

Оригинальный график не только преуменьшает количество лайков Корбина, но и преувеличивает показатели для других участников (вот ещё один пример такой ошибки). В переработанной версии столбец мистера Корбина указан полностью. Все остальные столбцы по-прежнему видимы.

Ещё одна странность — выбор цвета. В попытке подражать цветовой гамме лейбористов мы использовали три оттенка оранжевого/красного, присвоенные 1) Корбину, 2) другим депутатам и 3) партиям/группам. Это нигде не объясняется. Хотя логика может быть очевидна для многих, но она имеет мало смысла для тех, кто не очень знаком с британской политикой.

Ошибка: эффект взаимосвязи за счёт подгонки шкал

Редкий пример идеальной корреляции? Вообще-то нет (данные в csv)

Вышеприведённый график из статьи о снижении веса собак. На первый взгляд кажется, что вес и окружность шеи собаки прекрасно коррелируют. Но правда ли это? Только до некоторой степени.

На графике обе шкалы уменьшаются на три единицы (с 21 до 18 слева; с 45 до 42 справа). Но в процентном выражении левая шкала уменьшается на 14%, а правая — на 7%. В переработанной диаграмме я сохранила двойную шкалу, но скорректировала диапазоны, чтобы отразить сопоставимое пропорциональное изменение.

Учитывая весёлую тему этой диаграммы, ошибка может показаться относительно незначительной. В конце концов, смысл одинаковый в обеих версиях. Но важен вывод: если два графика слишком близко друг к другу, вероятно, нужно внимательнее посмотреть на шкалы.

Ошибка: неправильный метод визуализации

Мнения о Brexit почти так же неустойчивы, как и переговоры о нём (данные в csv)

Мы опубликовали эту диаграмму с данными опроса в нашем новостном приложении Espresso. Она показывает отношение к результатам референдума ЕС в виде линейного графика. Судя по данным, респонденты сильно колеблются в своих взглядах: результаты скачут на несколько процентных пунктов.

Вместо сглаженной кривой для отображения тренда мы указали фактические значения каждого опроса. Это произошло прежде всего потому, что наш инструмент построения графиков не умел строить сглаженные линии. Только недавно мы освоили более продвинутые программы для обработки статистических данных (например, R) с более сложными методами визуализации. Сегодня любой может построить сглаженную кривую для опросов, как улучшенный вариант вверху.

Тут ещё можно отметить нарушение шкалы. Исходная диаграмма разбрасывает данные шире, чем следует. В переработанной версии я добавила немного пространства между началом шкалы и минимальной точкой данных. Фрэнсис Ганьон предлагает хорошую формулу для таких ситуаций: оставляйте свободной минимум 33% площади под линейным графиком, который не начинается с нуля.

Графики, которые сбивают с толку

Не такое серьёзное преступление, как введение в заблуждение, но если график трудно понять — это признак плохо выполненной работы по визуализации.

Ошибка: слишком заумные диаграммы

… что? (данные в csv)

Журналисты The Economist стремятся в хорошем смысле озадачить читателя. Но иногда мы заходим слишком далеко. На диаграмме вверху показан торговый дефицит США по товарам и число людей, занятых в обрабатывающей промышленности.

Эту диаграмму невероятно трудно понять. У неё две основные проблемы. Во-первых, значения одного ряда (торговый дефицит) полностью отрицательные, в то время как другие (занятость в обрабатывающей промышленности) положительные. Сложно объединить такие разные данные в одной диаграмме. Очевидное «решение» приводит ко второй проблеме: два ряда данных не имеют общей базовой линии. Базовая линия торгового дефицита находится в верхней части графика (выделена красной линией, проходит через половину графика). Базовая линия правой шкалы находится внизу.

Переработанная диаграмма показывает, что не было никакой необходимости объединять два ряда данных. Взаимосвязь между торговым дефицитом и занятостью в обрабатывающей промышленности остаётся ясной и занимает лишь чуть больше места.

Ошибка: запутанные цвета

50 оттенков синего (данные в csv)

На этой диаграмме сравниваются государственные расходы на пенсионные пособия с долей людей старше 65 лет в ряде стран, с особым упором на Бразилию. Чтобы не раздувать диаграмму, визуализатор подписала только некоторые страны и выделила их голубым. Средний показатель по ОЭСР выделен светло-голубым.

Визуализатор (это была я!) проигнорировала тот факт, что изменение цвета часто подразумевает изменение категории. Здесь тоже у читателя может появиться такая мысль, что все синие страны как будто принадлежат к другой группе, чем голубые. Это не так. Единственное отличие — они просто не подписаны.

В переработанном варианте цвет одинаков для всех. Я изменила только интенсивность для подписанных стран. Всё остальное делает типографика: Бразилия, страна фокуса, подписана жирным шрифтом, а средний показатель ОЭСР — курсивом.

Диаграммы, которые не могут довести смысл

Ошибки в этой последней категории менее очевидны. Подобные диаграммы не вводят в заблуждение и не очень сбивают с толку. Они просто не могут оправдать своё существование. Или их неправильно построили, или мы пытались втиснуть слишком много информации в слишком маленькое пространство.

Ошибка: слишком много деталей

«Чем больше цветов, тем лучше!» (данные в csv)

Настоящая радуга! Мы опубликовали эту диаграмму в колонке о бюджетном профиците Германии. Она показывает баланс бюджета и текущий баланс десяти стран зоны евро. С таким количеством цветов — некоторые из которых довольно трудно различить или даже увидеть, потому что значения слишком малы — смысл диаграммы сложно понять. Это почти блокирует мозг, заставляя читателя пропустить график и двигаться дальше. И, что более важно, поскольку мы не приводим цифры по всем странам Еврозоны, нет никакого смысла складывать данные.

Я перечитала статью, чтобы найти вариант упрощения диаграммы. В тексте упоминаются Германия, Греция, Нидерланды, Испания и Еврозона. В переработанной версии диаграммы я решила выделить только их, а остальных поместила в категорию «Другие» (общий баланс текущего счета на переработанной диаграмме меньше, чем на исходной диаграмме, из-за пересмотра данных Евростатом).

Ошибка: много данных, мало места

Я сдаюсь (данные в csv)

Ограниченные пространством на странице, мы часто испытываем соблазн загнать все данные в слишком маленький слот. Хотя это экономит ценное место на странице, но есть и последствия, как видно на этом графике от марта 2017 года. Это график к статье о том, что мужчины доминируют в науке. Все позиции одинаково интересны и актуальны для статьи. Но, такое количество данных трудно усвоить: здесь указаны четыре категории областей исследования, а также доля авторов патентов в каждой стране.

Поразмыслив, я решила не изменять эту диаграмму. Если сохранить все данные, диаграмма будет слишком большой для маленькой статьи. В таких случаях лучше что-нибудь вырезать. В качестве альтернативы можно показать некий средний показатель: например, среднюю долю статей женщин во всех областях. (Пожалуйста, дайте знать, если у вас есть идеи, как визуализировать это в тесном пространстве!)

---

Лучшие практики быстро развиваются: что приемлемо сегодня, осудят завтра. Всё время появляются новые и более совершенные методы. Вы когда-нибудь совершали «инфографическое преступление», которое можно легко исправить?

Статья

«Типичные
ошибки учащихся при выполнении преобразований графиков и их преодоление»

Связанный с функциями материал,
собирает существенную часть школьного курса математики. Растолковать это можно тем,
что функции в разнообразных отраслях математики обширно применяются. Развитие
соображений о функции в курсе изучения алгебры и начал анализа помогает
старшеклассникам приобрести наглядные представления о непрерывности и разрывах
функций, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных
элементарных функциях, узнать о непрерывности любой элементарной функции на
области ее определения.

Функция является одним из
основных понятий математики. В школьном курсе математике изучение функций
основано на знаниях об элементарных функциях.

Опираясь на собственный опыт работы в
основной школе я заметила, что для многих учащихся построение графиков функций
и их преобразование представляет большую сложность. Я выделила несколько
наиболее распространенных ошибок учащихся.

1.                     
Учащиеся плохо знают и многие не умеют
строить графики основных элементарных функций.

2.                     
Учащиеся часто не видят и не обращают
внимания на принципиальную разницу между преобразованиями графиков, порождаемые
операциями над функцией y=f(x)
и операциями над ее аргументом.

3.                     
Не владеют в полной мере понятием функции
и связанным с ней понятием аргумент.

4.                     
Путают растяжение графика (сжатие) и
параллельный перенос, путают симметрию и параллельный перенос.

5.                     
Неаккуратно строят графики, что исключает
их использование для решения уравнений, неравенств и других задач.

 Пути преодоления, предлагаемые мной,
этих ошибок.

1.                
Для того чтобы ученики лучше знали и умели
строить графики элементарных функций учителю на занятиях нужно чаще включать
графические задания, чтобы ранее изученный материал не забывался. Решать
уравнения и неравенства графически, особенно когда нужно построить для решения
уравнения, неравенства и т.д. графики функций из разных классов. Включать
задания, где нужно построить функции заданные покусочно разными формулами.
Использовать в кабинете математики наглядные пособия. Изготовление каждым
учеником «Атласов графиков различных функций», который пополняется регулярно.
Для повышения интереса проверки правильности построения графиков можно
привлекать компьютерные технологии, такие программы как Mathcad,
Geogebra
и другие. Их же можно использовать для выполнения творческих заданий, для
получения различных «картинок» с помощью графиков функций. Это повышает
интерес, имеет эстетическую привлекательность и показывает практическую
направленность данной темы.

2.                
Для того чтобы учащиеся правильно
выполняли основные преобразования графиков учителю следует связывать изучение
этой темы в алгебре с геометрией и наоборот. Также следует придерживаться
единой терминологии на уроках алгебры. Например, не употреблять вместо термина
«параллельный перенос» термин «сдвиг», вместо «осевой симметрии» термин
«отражение или отображение» (зеркальное). Можно также предложить на обобщающем
уроке по данной теме составить таблицу преобразований графиков, где есть
классификация по операциям над функцией (аргументом), которым соответствуют
преобразования графиков (параллельный перенос, растяжение, сжатие, частичная
симметрия).

3.                
Для того, чтобы учащиеся при выполнении
заданий не путали между собой преобразования, соответствующие операциям над
функцией и операциям над аргументом, можно использовать таблицу в которой есть
классификация преобразований по объекту над которым делается операция.

4.                
Так как курс черчения в современной
школьной программе изучается только один учебный год в восьмом классе, то
навыки черчения у учащихся развиты плохо и учителю математики приходится
выполнять эту работу и обращать внимание при построении графиков в тетради и на
доске на точность, аккуратность и на «красоту» графиков. Например, использовать
цветной мел при построении графиков.

Сформировать прочные
умения в построении и чтении графи­ков функций, добиться, чтобы каждый ученик
мог выполнять основ­ные виды заданий самостоятельно, можно только при условии
выпол­нения учащимися достаточного числа тренировочных упражнений. Но было бы
большой ошибкой, если бы эта работа ограничивалась только тренировкой.
Обоснованность действий, сознательность при их выполнении, внимание к
формированию умений обще учебного характера — непременное условие прочности в
овладении умениями.

Маткад. Ошибки и их решение при построении графиков

Маткад — это программное средство для математического моделирования и решения инженерных задач. Одной из важных возможностей программы является построение графиков функций. Однако, при работе с Маткадом могут возникать ошибки, связанные с построением графиков. В этой статье рассмотрим некоторые распространенные ошибки и предложим их решения.

Ошибка №1: Неверные пределы построения графика

Часто при построении графика функции в Маткаде возникает ошибка, связанная с неправильно заданными пределами. Если задать неправильные значения для переменных или неправильные пределы построения графика, то результат будет некорректным.

Решение: Проверьте правильность введенных факторов и пределов построения графика. Убедитесь, что входные данные соответствуют ожидаемым значениям. Если ошибка продолжает возникать, проверьте выражение функции на наличие опечаток или неправильно заданных операций.

Ошибка №2: Некорректное задание шага построения графика

Еще одна распространенная ошибка при построении графика в Маткаде — некорректное задание шага построения. Если шаг задан неправильно, то график может быть неполным или содержать излишнюю информацию.

Решение: Убедитесь, что шаг задан корректно и соответствует требованиям вашей задачи. Проверьте, что используемая формула для вычисления значения шага правильная. Если график все еще некорректный, проверьте входные данные на наличие ошибок.

Ошибка №3: Неправильное использование осей координат

Иногда при построении графика в Маткаде возникает ошибка, связанная с неправильным использованием осей координат. Некорректное задание масштабов осей или неправильное указание единиц измерения может привести к неправильному отображению графика.

Решение: Проверьте правильность задания масштабов осей и единиц измерения. Убедитесь, что оси корректно подписаны и соответствуют вашей задаче. Если график все еще неправильный, пересмотрите входные данные и вычисления.

Ошибка №4: Некорректное задание точек на графике

Еще одна распространенная ошибка — некорректное задание точек на графике. Если точки заданы неправильно или неполно, то график не будет отображаться корректно.

Решение: Убедитесь, что все точки заданы правильно и полностью. Проверьте правильность ввода координат точек и соответствие их фактическому значению. Если точки все еще неправильные, пересмотрите входные данные и формулы.

Заключение

При построении графиков в Маткаде могут возникать различные ошибки, связанные с неправильным заданием пределов, шага, осей координат и точек. В данной статье были рассмотрены некоторые из наиболее распространенных ошибок и предложены решения для их устранения. Однако, следует помнить, что каждая задача может иметь свои особенности, и для их решения может потребоваться дополнительная проверка и анализ данных.

 

« Скрытые» проблемы в построении
графиков линейных функций и их коррекция».

Цели
урока:

-закрепить
и обобщить знания учащихся, полученных при изучении темы, отработать навыки
построения графика линейной функции, выявить «скрытые» проблемы и затруднения
для их дальнейшей коррекции ;

-способствовать
развитию мышления и элементов творческой деятельности (интуиции, смекалки,
умений сравнивать, анализировать, выявлять закономерности, обобщать,
конкретизировать, классифицировать), сознательного восприятия учебного
материала, интереса к предмету, формированию правильной и аргументированной
математической речи;

-воспитывать
ответственное отношение к учебному труду, уважительное отношение к сверстникам.

Оборудование: компьютеры,
проектор, экран

Место
проведения: компьютерный класс

Ход урока

1.
Организационный момент

2.
Проверка домашнего задания

1)
фронтальный опрос:

-сформулируйте
определение линейной функции;

-что
является графиком линейной функции? Как построить график линейной функции?

-как
расположен в координатной плоскости график
функции y=kx при k >0 и при k <0?

-в
каком случае графики двух линейных функций пересекаются? Как найти координаты
точки пересечения?

-в
каком случае графики двух линейных функций являются параллельными прямыми?

2)
парный взаимоконтроль (к проверке домашней работы подключены наиболее
подготовленные ученики), № 318, № 320;

3.
Закрепление пройденного материала

Каждый
ученик индивидуально работает за компьютером, ответ записывает в лист учёта
знаний (под копирку). После выполнения работы проводится самопроверка (по
готовым решениям на мониторе компьютера) и разбор ошибок.

На
мониторе компьютера рисунки:

1)
б) в)

у

у

а) б)

х

х

0

0

в)

х

д)

г

у

у

)

д)

х

-График
какой функции лишний? Почему?

-На
каком рисунке изображён график прямой пропорциональности? Почему?

-На
каком рисунке у графика линейной функции отрицательный угловой коэффициент?

2)
Какие графики нужно переставить, чтобы последовательность изучения функций не
нарушалась?

у = -3х

у = 0,5х +1

а

у
= 3х

)
б) в)

3)
Ученик допустил ошибку при построении графика одной из функций. На каком
рисунке эта ошибка?

а) б) в)

у
= 1/3х + 2

у = 1,5х

у = -х +1

4)
На рисунки изображены графики следующих функций:

у = 3х, у =
-3х, у = х-3. Под каким номером изображен график функции у = -3х?

1 2

3

5)
Дана функция у = 2х – 5. Какой из приведённых ниже графиков является графиком
этой функции?

а) б) в) г)

6)
Дан график функции у = ах + b. Подберите формулу, задающую эту функцию.

а)
у = 3х + 1; б) у = 1/3х + 1; в) у = -1/3х + 1; г) у = -3х + 1.

7) В одной
системе координат построены графики функций у = 0,5х и у = -2. Определите по
графику координаты точки их пересечения и запишите сумму этих координат.

а)
-2,5 б)-1,5 в) -5 г) -6

Какие точки принадлежат графику линейной функции у = -0,5х + 1;

а)
А(-1; 0); б) В(-2; 2,5); в) С(-2; 0); г) D(0; 1).

9)
При каком значении х значение функции у = -0,5х + 1 равно 5:

а)
х = 8; б) х = -8; в) х = -9.

10)
Назовите функции, графики которых параллельны.

а)
у = -2х – 1; у = -2х – 3,5; у = -2х + 5.

б)
у = -0,5х; у = 0,5х – 3; у = 1,5х + 5.

в)
у = -1/3х – 4; у = 1/3х – 4; у = 3х – 4.

11)
Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой у = -8х +
11 и проходит через начало координат.

Дополнительное
задание:

Самостоятельная
работа (задания дифференцированы).

1-й
уровень

а)
постройте в одной системе координат графики функций и укажите координаты точки
их пересечения:

у
= 0,5х+1 и у = -х+4.

Вычислите
координаты точек пересечения графиков с осями.

б)
укажите координаты точки пересечения графиков функций

у
= — 0,5х+2 и у = -3+2х.

1.(-2;-1);
2.(-2;1); 3.(2;1); 4.(2;-1). 
2-й уровень

а)
постройте график функции у = 1/2 (8 – х), где х >0;

б)
задайте формулой линейную функцию, если известны угловой коэффициент kсоответствующей
прямой и координаты точки А, через которую она проходит:

k =
2/3, А (-6;-3). Вычислите координаты точек пересечения графиков с осями.

Задайте
формулой линейную функцию, график которой параллелен указанной прямой.

Самостоятельная
работа сдаётся на проверку.

4.
Подведение итогов урока

Даётся
оценка работы класса.

5.
Домашнее задание: №