Ошибки при навигационных определениях

Навигационная безопасность плавания (НБП) – понятие, характеризующее степень исключения навигационных происшествий с кораблем при нахождении его в море.

Навигационная безопасность обеспечивается всем комплексом навигационно-гидрографических, гидрометеорологических мероприятий и деятельностью личного состава штурманской службы кораблей и соединений.

Навигационным происшествием является событие, связанное с посадкой корабля на мель, касанием грунта, столкновением с искусственным или естественным препятствием или с выходом корабля в результате навигационных ошибок за пределы установленной зоны или границы акватории.

Следствием навигационного происшествия является, как правило, повреждение корабля или его технических устройств, снижение маневренных качеств корабля или эффективности выполнения поставленной кораблю задачи. Поэтому навигационная безопасность плавания является одним из элементов, характеризующих боеспособность корабля и его готовность к выполнению поставленной задачи. Навигационное происшествие, обусловленное ошибками кораблевождения и выразившееся в несанкционированном пересечении границы территориальных вод иностранного государства, может осложнить межгосударственные отношения.

Столкновения с наблюдаемыми и ненаблюдаемыми с корабля опасностями происходят по принципиально различным причинам. Поэтому принято разделять навигационные происшествия, связанные со столкновением с наблюдаемым препятствием и со столкновением с ненаблюдаемой и неогражденной буями и вехами навигационной опасностью.

К  наблюдаемым  с корабля (визуально или с помощью корабельных технических средств наблюдения) навигационным опасностям относятся береговая черта, небольшие острова, морские буровые вышки, корабли и суда, находящиеся в непосредственной близости от данного корабля.

Столкновения с наблюдаемыми объектами являются результатом грубых ошибок в оценке навигационной обстановки или следствием ошибок и промахов в управлении маневрами корабля – в неверном расчете курса, скорости или в несвоевременном выполнении маневра расхождения. Непосредственными причинами таких грубых ошибок являются чаще всего низкая организация взаимодействия главного командного пункта корабля (командира и вахтенного офицера) с вахтенным штурманом и с боевым информационным постом (центром) корабля, а также низкий уровень профессиональной и психологической подготовки специалистов, участвующих в решении задач кораблевождения, – вахтенного штурмана, вахтенного офицера и командира корабля.

К  ненаблюдаемым  с корабля навигационным опасностям относятся банки, подводные рифы и скалы, отмели, неогражденные кромки фарватеров и морских каналов. В военное время к ненаблюдаемым опасностям относятся также нанесенные на карту минные поля и минные банки.

Посадка корабля на мель или столкновение с ненаблюдаемым, но отмеченным на навигационной карте препятствием чаще всего является или результатом неверного решения навигационных задач (без учета возможных погрешностей в учитываемых месте и элементах движения корабля), или результатом неверного оценивания погрешностей навигационных величин. Из этого следует, что навигационные происшествия, связанные со столкновениями с ненаблюдаемыми препятствиями, обусловлены главным образом штурманскими просчетами – неправильной оценкой площади вероятного местонахождения корабля или несопоставлением этой площади с имеемым запасом чистой воды (с расстоянием до навигационной опасности).

Количественным показателем навигационной безопасности от столкновения с ненаблюдаемыми препятствиями является  вероятность свободного прохода  кораблем участка маршрута при ожидаемых гидрометеофакторах, основанная на учете случайных погрешностей в определении места корабля и его элементов движения.

Иными словами, навигационная безопасность плавания характеризуется вероятностью отсутствия сбоев в системе навигационного обеспечения кораблевождения, приводящих к навигационному происшествию.

При исправной работе технических средств кораблевождения и при учете их систематических погрешностей в виде поправок вероятность навигационной безопасности плавания зависит от двух главных факторов – от величины  случайных погрешностей  в последнем обсервованном месте и в элементах движения корабля на интервале от последней обсервации до данного момента времени, а также  от  кратчайшего  расстояния  до ближайшей навигационной опасности.

На величину случайных погрешностей в обсервованном месте корабля влияют следующие факторы:

– точность измерения навигационных параметров при выполнении обсервации;

– точностные возможности используемых средств и способов определения места;

– условия измерения навигационных параметров;

– степень соответствия математических основ обработки навигационных параметров характеру их погрешностей и их взаимосвязи;

– уровень квалификации оператора, выполняющего измерения.

На точность элементов движения корабля – линии пути и путевой скорости – влияют погрешности в учете элементов счисления и, главным образом, погрешности учитываемых направления и скорости течения.

Точность счислимого места корабля, исходным пунктом которого является последняя обсервация, обусловлена точностью последней обсервации и точностью счисления.

Таким образом, любое место корабля – счислимое или обсервованное – определяется с теми или иными погрешностями, обусловленными неточностью исходных навигационных величин (элементов счисления или навигационных параметров), по которым оно находилось. Поэтому точка на карте, принимаемая за место корабля, отображает лишь его наиболее вероятное положение на земной поверхности. Действительное место корабля может оказаться смещенным относительно этой точки на величину, пропорциональную погрешностям исходных навигационных величин.

При учете всех поправок исходных навигационных величин погрешность места корабля носит случайный характер, то есть оно может оказаться смещенным в любом направлении и на неопределенную величину. Спрогнозировать точное значение случайной погрешности места невозможно. Поэтому с определенной вероятностью предполагается, что случайные погрешности располагаются в пределах некоторой области (круга или эллипса), называемой областью вероятного местонахождения корабля. Чем точнее способ (средство) обсервации, тем меньше площадь этой области.

Представление места корабля не только точкой, но и областью, в которой может находиться его действительное место, позволяет производить анализ навигационной безопасности корабля: его положение безопасно, если все близлежащие навигационные препятствия расположены на карте вне площади области возможных погрешностей.

Случайные погрешности в месте корабля и вероятность навигационной безопасности плавания находятся в функциональной взаимосвязи, различные виды которой будут раскрыты в последующих разделах. Поэтому для анализа навигационной безопасности плавания необходимо уметь оценивать точность места, то есть вычислять параметры его погрешности, характеризующей область вероятного местонахождения корабля.

Но, помимо этого, степень навигационной безопасности плавания зависит от комплекса факторов, определяющих условия плавания, степень и полноту его навигационно-гидрографического и гидрометеорологического обеспечения.

Этими факторами являются:

– особенности района плавания (узкость, фарватер, прибрежный район, открытое море, шхерный район и т. п.);

– степень насыщенности района плавания средствами навигационного оборудования и плавучими средствами ограждения навигационных опасностей;

– степень океанографической и гидрографической изученности района плавания (надежность, подробность и точность промера глубин, величина и степень изменчивости вектора скорости течения, изменчивость уровня моря и т. п.);

– качество корабельных средств морской навигации и наличие средств для автоматизированного решения навигационных задач;

– уровень профессиональной квалификации и психофизическая устойчивость офицерского состава, участвующего в решении навигационных задач;

– гидрометеорологические условия и качество прогнозирования погоды в районе плавания;

– маневренные качества корабля.

Прогнозирование количественных вероятностных оценок навигационной безопасности плавания производится на основе учета точности плавания и прямого или косвенного учета всех перечисленных факторов, включая размеры и осадку корабля.

Исходным же пунктом оценки навигационной безопасности плавания является расчет возможных навигационных погрешностей и определение области вероятного местонахождения корабля.

1.2. Погрешности навигационных величин и способы их оценки

Решение основных задач кораблевождения связано с измерением различных исходных навигационных величин, к которым относятся навигационные параметры (пеленги, расстояния, высоты светил и т. д.) и элементы счисления (компасный курс, скорость, их поправки, направление и скорость течения, углы дрейфа).

Каждая навигационная величина содержит погрешность, полное значение которой складывается из погрешности измерения и погрешности обработки измеренных величин (погрешности поправок).

Основными причинами погрешностей являются следующие:

– несовершенство измерительного прибора;

– незакономерные и неучитываемые колебания параметров внешней среды, влияющие на результат измерения;

– нестабильность характеристик объекта измерения;

– несовершенство метода измерения;

– несовершенство практических навыков и органов чувств оператора, производящего измерения.

Погрешность навигационной величины равна разности величины U, полученной в результате ее измерения, и истинного ее значения U0.

D = U – U0.                                         (1.2.1)

Погрешность, отнесенную к ее измеренному значению, называют относительной d:

                             (1.2.2)

За истинное (действительное) значение навигационной величины принимается ее эталонное значение. За эталонное значение принимается такое, точность которого в три или более раза выше точности той величины, погрешность которой определяется.

В зависимости от природы факторов, формирующих погрешность, и от длительности их воздействия, погрешности разделяются на три вида: случайные, систематические и грубые (промахи).

Случайные погрешности – это погрешности, величина и знак которых изменяются случайным образом от измерения к измерению. Они формируются случайными факторами и поэтому спрогнозировать их точное значение невозможно. Случайные погрешности могут быть оценены лишь в вероятностном смысле, то есть можно только определить вероятность, с которой численное значение погрешности находится в тех или иных заданных пределах. Для этого надо знать закон распределения случайных погрешностей.

Случайные погрешности большинства измеряемых навигационных величин формируются под воздействием большого количества различных одинаково значащих случайных факторов и поэтому (на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей) подчиняются нормальному закону распределения. Основным параметром этого закона является средняя квадратическая погрешность.

Средняя  квадратическая  погрешность  (СКП) – это показатель точности навигационной величины. Она численно равна корню квадратному из дисперсии (дисперсия – термин теории вероятностей, характеризующий степень рассеивания случайных величин). Точное значение СКП обозначается греческой буквой «сигма» (s), а ее статистическая оценка, определяемая практическим способом и являющаяся приближенным значением СКП, обозначается символом m.

СКП вычисляется по результатам серии n измерений одной и той же навигационной величины. Для этого используется любая из следующих двух формул [9, 12]:

– формула  о т к л о н е н и й  результатов измерений U от их среднего арифметического значения :

 ,                     (1.2.3)

где i – порядковый номер измерения, при этом i = 1, 2, …, n (n ³ 9);

– формула  р а з м а х а:

                     (1.2.4)

где Umax – максимальный результат измерений; Umin – минимальный результат измерений; R – размах измерений, равный  Umax – Umin; Kx – коэффициент, определяемый по числу измерений n с помощью табл. 4.5 НМТ.

Зная математическое выражение нормального закона распределения и СКП, можно определить вероятность появления случайной погрешности в любых заданных пределах. Для этого используется таблица интеграла вероятностей (функции Лапласа) для нормального закона распределения. Такая таблица помещена в сборник Мореходных таблиц (табл. 1-б МТ-75 или табл. 4.7 НМТ), а также в приложение 1 данного учебника.

Аргументом для входа в таблицу является нормированная погрешность z – заданная погрешность Dз, выраженная в величинах средней квадратической погрешности:

z = Dз / m.

Пользуясь таблицей функции Лапласа, можно найти вероятность н е в ы х о д а действительной погрешности за любые пределы, в том числе и за пределы + m, + 2m и + 3m. Они соответственно равны: Pm = 0,683, Р2m = 0,954 и P3m = 0,997.

Отсюда видно, что практически все случайные погрешности (в среднем 997 из 1000) заключены в пределах от 0 до ± 3m. Поэтому погрешность D = 3m или D = 3s называется  предельной. Вероятность появления случайной погрешности, превышающей предельную, ничтожно мала и составляет всего 0,003.

Навигационные величины, точность которых характеризуется различными СКП, называют  неравноточными. Признаками  неравноточности является соблюдение хотя бы одного (любого) из следующих условий: измерения выполнены операторами различной квалификации, измерения выполнялись различными приборами (системами), измерения выполнялись в различных условиях, по разному влияющих на точность оцениваемой величины.

Для оценки относительной точности неравноточных величин иногда используется понятие  в е с а  навигационной величины, который вычисляется по формуле

p = 1 / m2.                                         (1.2.5)

При рассмотрении совокупности навигационных величин в их  полных средних квадратических погрешностях mп следует выделять две составляющие – ч а с т н у ю  СКП mi каждой i-й навигационной величины и  п о в т о р я ю щ у ю с я  СКП mо – общую для всех навигационных величин погрешность, то есть

                                    (1.2.6)

Ч а с т н ы е  СКП – это средние квадратические погрешности, обусловленные неточностью измерения i-й навигационной величины и неточностью частных поправок (частные поправки – это поправки, численное значение каждой из которых свойственно данной i-й навигационной величине).

П о в т о р я ю щ а я с я  СКП – это оценка случайной по происхождению погрешности, которая в неизменном виде (систематически) присутствует в каждой навигационной величине рассматриваемой группы.

При непосредственных измерениях источником повторяющейся погрешности является случайная погрешность общей поправки, которой исправлялись все навигационные величины рассматриваемой группы. Эта случайная погрешность вместе с общей поправкой в неизменном виде входит во все навигационные величины (повторяется) и по своему воздействию на них проявляется как систематическая. Поэтому повторяющуюся погрешность следует рассматривать как случайную погрешность по происхождению, но систематическую (постоянную) по результатам воздействия на данную группу навигационных величин [22, 12].

Повторяющаяся погрешность является причиной корреляционной взаимосвязи навигационных величин. В отличие от функциональной взаимосвязи, корреляционная взаимосвязь проявляется случайным образом и ее закономерность обнаруживается в массе совместных измерений, то есть в среднем.

От степени корреляционной взаимосвязи зависит правило расчета погрешности определяемого места корабля и способ определения вероятнейшего места при появлении фигуры погрешностей (при определении места по трем или более навигационным параметрам).

Степень взаимной корреляции навигационных величин характеризуется коэффициентом взаимной корреляции r, численное значение которого при непосредственных равноточных измерениях (частные СКП mi = m – const) вычисляется по формуле

                                      (1.2.7)

Из этой формулы следует, что при отсутствии повторяющейся погрешности (mо = 0), то есть при точно известной общей поправки, коэффициент корреляции равен нулю и, следовательно, навигационные величины взаимонезависимы.

Если при наличии повторяющейся погрешности отсутствуют частные погрешности (измерения выполнены практически безошибочно, а частные поправки отсутствуют или точно известны), то коэффициент корреляции равен единице. Навигационные величины в этом случае становятся функционально зависимыми.

При наличии и частных, и повторяющейся погрешностей коэффициент корреляции 0 < r < 1, а навигационные величины при этом являются корреляционно взаимозависимыми.

Обобщенные средние статистические значения частных, повторяющихся и полных средних квадратических погрешностей, а также коэффициентов взаимной корреляции основных навигационных параметров, приведены в табл. 4.3 HМТ и в приложении 2.

Систематические погрешности – это погрешности, остающиеся постоянными или закономерно изменяющимися при производстве серии измерений одной и той же навигационной величины.

Причиной систематических погрешностей является воздействие на результаты всех измерений одного и того же неизменного неслучайного фактора.

Основными источниками систематических погрешностей являются рассогласование нуля шкалы навигационной системы относительно его истинного положения (неточность выверки шкалы прибора по эталону) и несовершенство метода измерения, когда вместо искомой величины измеряется ее часть (с недостатком или с избытком). Например, измеренная секстаном высота светила относительно видимого горизонта содержит систематическую погрешность, равную наклонению видимого горизонта.

Систематические погрешности Dс, как величины неизменные в данных условиях, определяются с помощью эталонных измерений Uэ и учитываются в виде поправки DU.

Поправка — это систематическая погрешность, взятая с обратным знаком:

DU = – Dс = Uо – U » Uэ – U.                 (1.2.8)

Средняя квадратическая погрешность поправки mDU на основании теоремы о сумме дисперсий вычисляется по формуле

                                                           (1.2.9)

где mэ – СКП эталонной величины (определяется по формуляру той системы, с помощью которой оценивается эталонное значение); mU – СКП навигационной величины, измеренной в момент определения поправки.

Если поправка общая для всех измерений данной группы (DU =DUо), то ее средняя квадратическая погрешность является повторяющейся, то есть mDU = mо; если по формуле (1.2.8) определена частная поправка, то есть ее численное значение свойственно только отдельной i-й навигационной величине, то ее средняя квадратическая погрешность является также частной (mDU = mi).

Грубые погрешности (промахи) – это ошибки, вызванные нарушением условий измерения или правил обработки. Наиболее вероятной причиной грубых погрешностей являются невнимательность оператора при измерении или обработке навигационных величин, а также незнание правил измерения (обработки) или отсутствие практических навыков в измерении и обработке.

Грубые погрешности заранее учесть невозможно, но их можно предупредить путем выполнения контрольных измерений и применения дублирующих методов обработки.

Наиболее простым, но приближенным способом выявления грубых ошибок, является способ, основанный на правиле “трех СКП”: если разница данного результата измерения и среднего арифметического значения, вычисленного по результатам всех измерений, больше трех СКП, то данный результат измерения содержит грубую ошибку. Такой результат исключается и в дальнейшей обработке не используется.

1.3. Погрешности места корабля и их вероятностная оценка

Каждому обсервованному навигационному параметру U соответствует своя линия положения (навигационная изолиния), по совокупности которых определяется обсервованное место корабля.

Если в обсервованном навигационном параметре содержится случайная погрешность, характеризуемая средним квадратическим значением mU, то линия положения сместится параллельно самой себе на величину mлп, которая называется средней квадратической погрешностью линии положения. Ее численное значение вычисляется по формуле, являющейся результатом дифференцирования переноса линии положения:

mлп = mU / g,                             (1.3.1)

где g – г р а д и е н т  навигационного параметра – вектор, перпендикулярный линии положения и направленный в сторону увеличения численного значения навигационного параметра.

Модуль градиента определяет величину изменения навигационного параметра при смещении места корабля перпендикулярно линии положения на одну единицу длины, поэтому размерность градиента – единицы навигационного параметра / единицы длины.

Величины (модули) градиентов g и их направления t (относительно северной части географического меридиана) для основных навигационных параметров приведены в табл. 5.47 НМТ. Извлечения из нее даны в табл. 1.3.1.

Т а б л и ц а  1.3.1

Вид навигационного параметра, указанный в этой таблице, не зависит от того средства, с помощью которого измерен данный навигационный параметр (например, навигационный параметр – пеленг – может быть компасный, радиолокационный, гидроакустический или радиопеленг).

При определении обсервованного места на карте с сеткой навигационных изолиний величина градиента вычисляется по формуле

                                   (1.3.2)

где DU – разность численных значений навигационных изолиний, между которыми находится место корабля; L – расстояние между этими изолиниями в непосредственной близости от места корабля (рис. 1.3.1).

Направление t градиента относительно меридиана соответствует направлению перпендикуляра, восстановленного к навигационной изолинии (вблизи места корабля) и направленного в сторону увеличения численного значения навигационной изолинии.

Если рассматривается несколько линий положения с различными СКП, то их относительная точность характеризуется  в е с о м  линии положения pлп:

рлп = 1 / m2лп.                                  (1.3.3)

Случайные погрешности линий положения вызывают случайное смещение обсервованной точки, изменяющееся при каждом очередном определении места. Поэтому предсказать конкретную векторную погрешность обсервации невозможно. Можно лишь дать вероятностную оценку точности места – определить площадь, в пределах которой располагается действительное место корабля с той или иной вероятностью. При этом можно использовать площади, ограниченные различными линиями.

В кораблевождении используется площадь объективного (естественного) распределения погрешностей, соответствующих одной и той же вероятности. При нормальном распределении погрешностей измерения такая площадь ограничена эллипсом, который называют  э л л и п т и ч е с к о й  п о г р е ш н о с т ь ю. Более простой характеристикой погрешности является площадь, ограниченная кругом, называемым  р а д и а л ь н о й  п о г р е ш н о с т ь ю. Радиус этого круга определенным образом сопряжен с эллипсом погрешностей.

Эллиптическая погрешность

При нормальном распределении случайных погрешностей навигационных параметров случайные погрешности обсервации располагаются в пределах эллипса. Относительно обсервованной точки можно провести бесчисленное множество подобных эллипсов, каждый из которых соответствует определенной вероятности нахождения действительного места в его пределах.

В качестве показателя точности места используется один из этих эллипсов – средний квадратический эллипс погрешностей – СКЭ (рис. 1.3.2). Он характеризуется тремя элементами: большой главной полуосью а, малой главной полуосью b и углом a, под которым большая ось пересекается с меридианом (иногда вместо угла a используется угол j – угол пересечения одной из линий положения с большой главной осью).

Элементы среднего квадратического эллипса погрешностей вычисляются с помощью ЭВМ или по Мореходным таблицам (см. следующий параграф).

Вероятность Р нахождения действительного места корабля в эллипсе с заданными полуосями A = ca и B = cb (с – коэффициент увеличения главных полуосей среднего квадратического эллипса) рассчитывается по формуле

                           P = 1 – exp (– c2 / 2).                            (1.3.4)

По этой формуле составлена табл. 4.12 НМТ и таблица приложения 3. Аргументом для входа в таблицу является величина c = =A/а = B/b, то есть для расчета вероятности надо предварительно вычислить главные полуоси среднего квадратического эллипса а и b.

Пользуясь этой формулой или указанными таблицами, можно получить вероятности невыхода действительного места корабля за пределы СКЭ, удвоенного и утроенного СКЭ. Эти вероятности соответственно равны: PСКЭ = 0,393; Р2СКЭ = 0,865; Р3СКЭ = 0,989.

Второе слагаемое формулы (1.3.4) можно определить по таблице 1-а МТ-75, приняв за входной аргумент величину х = с2 / 2.

Эллиптическая погрешность в общем случае вычисляется с помощью ЭВМ и используется при предварительном расчете навигационной безопасности плавания в узкости, по фарватеру и вблизи навигационных опасностей.

Радиальная погрешность

Для оценки точности места в открытом море используется более простая по сравнению с эллипсом величина – радиальная средняя квадратическая погрешность М. Эта условная характеристика точности места представляет собой круг, описанный относительно оцениваемого места радиусом М, равным геометрической сумме главных (a и b) или любых других сопряженных (l1 и l2) полуосей среднего квадратического эллипса (рис. 1.3.3), то есть

                  (1.3.5)

Напомним, что полуоси или полудиаметры эллипса являются сопряженными, если один из них (например, l1) параллелен касательной кк к эллипсу в точке его пересечения с другой полуосью.

Практические способы расчета радиальной СКП зависят от вида оцениваемого места (обсервованное, счислимое, вероятнейшее, счислимо-обсервованное), от количества навигационных параметров (линий положения) и от степени их взаимной корреляции.

Способы расчета СКП различных мест изложены в последующих параграфах.

Вероятность невыхода действительного места корабля за пределы круга с заданным радиусом R зависит от отношения этого радиуса к радиальной средней квадратической погрешности M и от соотношения главных полуосей среднего квадратического эллипса погрешностей e = b / a. Расчет вероятности производится с помощью табл. 4.13 НМТ или табл. 1-в МТ-75.

Следует обратить внимание на то, что в табл. 1-в МТ-75 радиус заданного круга обозначен не буквой R, как здесь и в НМТ, а символом Мз. Буквой R в МТ-75 обозначен нормированный радиус круга – отношение заданной радиальной погрешности Мз к средней квадратической М. В новых Мореходных таблицах это отношение обозначено символом kP, то есть в НМТ kP = R / M.

При больших отношениях R / M ³ 2 (Мз / М ≥ 2), используемых в реальных расчетах, изменением вероятности при изменении  b / a от 0 до 1 во многих случаях навигационной практики можно пренебречь (ошибка в вероятности не превысит 2,8%). При таком подходе расчет вероятности Р может производиться по формуле кругового закона распределения Релея:

P = 1 – exp (– R / M)2.                       (1.3.6)

По этой формуле составлена табл. 4.15 НМТ и табл. приложения 4 (аргументом этих таблиц является величина kp = R / M). Вероятность радиальной погрешности при а = b можно также определить с помощью табл. 1-в МТ-75 (аргументом таблицы являются величины  Мз / М  и  е = b / a = 1).

Пользуясь формулой (1.3.6) или любой из указанных таблиц, можно получить вероятности невыхода действительного места корабля за пределы круга с любыми заданными радиусами, в том числе и с радиусами M, 2M и 3M. Они соответственно равны: PM = 0,632; P2М = 0,982; P3М  = 0,999.

Если требуется решить обратную задачу – вычислить радиус круга R, в пределах которого находится действительное место корабля с заданной вероятностью Р, то сначала по указанным таблицам определяется (обратным входом) коэффициент kр, а затем рассчитывается искомый радиус круга:

   R = Mkp.                                      (1.3.7)

Коэффициент kр можно вычислить и без помощи таблиц. Для этого используется формула

                               (1.3.8)

При использовании таблиц МТ-75 искомый радиус круга (Мз) вычисляется так: сначала из табл. 1-в (в колонке е = 1) по вероятности Р находится отношение / М, а затем, умножив его на радиальную СКП М, получают искомый радиус

Радиальные погрешности, соответствующие вероятностям, равным или превышающим 0,95, называют  п р е д е л ь н ы м и.

Соотношение между линейной (одномерной) и радиальной средними квадратическими погрешностями определяется формулой

m = М / » 0,7M.                                  (1.3.9)

Международная морская организация (ИМО) в 1983 г. установила стандарт точности судовождения, которым является круг, соответствующий вероятности 95%. Радиус такого круга в 1,73 раза больше радиальной СКП места.

В странах Северного Атлантического блока (НАТО) в качестве показателей точности места используется или круговая вероятная погрешность – СЕР (circle error probable) – круг, в пределах которого находится действительное место корабля с вероятностью 50%, или двухмерная средняя квадратическая погрешность – 2 RMS (2 dimension root mean square) – круг, радиус которого равен геометрической сумме главных полуосей среднего квадратического эллипса с главными осями a = b.

1.4. Оценка точности обсервации, полученной по двум навигационным изолиниям (линиям положения)

Расчет элементов среднего квадратического

эллипса погрешностей

При определении места корабля по двум навигационным изолиниям (линиям положения) элементы среднего квадратического эллипса погрешностей можно определить с помощью табл. 4.11 НМТ. Для этого выполняются следующие действия:

– рассчитываются полные СКП линий положения

                                         (1.4.1)

и вычисляется их отношение l = mлп1 / mлп2 £ 1 (в числителе mлп1 – меньшая из двух СКП линий положения);

– рассчитывается угол между градиентами навигационных параметров Dt = ït2 – t1ï (Dt £ 180°). Направления градиентов определяются по формулам, приведенным в табл. 5.47 НМТ или по формулам табл. 1.3.1. При использовании карт с сеткой навигационных изолиний угол Dt определяется по карте с учетом того, что градиенты всегда перпендикулярны навигационным изолиниям и направлены в сторону увеличения численного значения навигационного параметра;

– по формуле (1.2.7) или по табл. 4.3 НМТ (или по приложению 1) определяется коэффициент корреляции r;

– по значениям r, l и Dt из табл. 4.11 НМТ выбираются коэффициенты Ка, Кb и угол j, определяющий направление большой оси эллипса погрешностей. Он откладывается от более точной линии положения (рис. 1.4.1) внутрь угла между линиями положения, равного Dt, если j положительный, и внутрь угла между линиями положения, равного (180° – Dt), если j отрицательный;

Рис.1.4.1

– вычисляются большая и малая главные полуоси среднего квадратического эллипса:

а = mлп1Ка;     b = mлп1Кb.                          (1.4.2)

При взаимонезависимых навигационных параметрах элементы СКЭ могут быть рассчитаны по таблице Приложения 5 МТ-75, в которой приведены значения Ка, Кb и угол j. Аргументами этой таблицы являются величины l = (mлп2 / mлп1) >1 (в числителе mлп2 – большая из двух СКП линий положения) и острый угол пересечения линий положения q. Найденный по таблице угол j, определяющий направление большой оси эллипса погрешностей, откладывается от более точной линии положения внутрь острого угла q, а главные полуоси  СКЭ определяются по формуле (1.4.2).

Пример.

Полные СКП линий положения  mлп1 = 1,2 мили, mлп2 = 2,0 мили. Коэффициент взаимной корреляции r = 0,4. Направления градиентов t1 = 10°, t2 = 50°. Определить элементы среднего квадратического эллипса погрешностей.

Р е ш е н и е:

– вычисляются отношение l = 1,2/2 = 0,6 и угол между градиентами Dt = =50° – 10° =40°;

– по r = 0,4, l = 0,6 и Dt = 40° из табл. 4.11 НМТ выбираются величины Кa= =2,4, Кb = 1,0 и j = + 1,9°;

– по формуле (1.4.2) рассчитываются главные полуоси СКЭ: a = Каmлп1= =2,4 ´ 1,2 = 2,88 » 2,9 мили, b = Кb mлп1 = 1,0 ´ 1,2 = 1,2 мили.

Угол j положительный, поэтому он откладывается внутрь угла между линиями положения, равного Dt = 40°, от более точной линии положения, направление которой 100° (280о). Следовательно, направление большой оси эллипса относительно меридиана a = 100° + 1,9° = 101,9° (281,9о).

Расчет радиальной средней квадратической погрешности

Радиальная средняя квадратическая погрешность является основным условным показателем точности места при плавании в открытом море. Основой для ее расчета служит формула (1.3.5).

При определении места по двум взаимонезависимым навигационным изолиниям, пересекающимся под углом q, сопряженные полудиаметры среднего квадратического эллипса погрешностей определяются формулами:

l1 = mлп1  / sinq, l2 = mлп2 / sinq.                      (1.4.3)

Подставив эти выражения в формулу (1.3.5), получим общую формулу радиальной СКП обсервации по двум взаимонезависимым навигационным параметрам любого вида

                           (1.4.4)

Если учесть, что mлп = mU / g, то эта формула принимает следующий вид:

                          (1.4.5)

Анализ этой формулы приводит к выводу, что наивыгоднейшим углом пересечения навигационных изолиний является угол q = 90°. Чем меньше этот угол, тем больше погрешность обсервации. Чем точнее измерены навигационные параметры, то есть чем меньше их средние квадратические погрешности, и чем больше градиенты, тем выше точность обсервации. Величину М можно определить по таблице приложения 5.

При однократном измерении каждого навигационного параметра значения mU  определяются по табл. 4.3 НМТ или по приложению 2.При многократных измерениях частные погрешности, обусловленные неточностью измерений, вычисляются по результатам измерений, приведенным к одному моменту, способом “размаха” или “отклонений” (см. п.1.2).

Для приведения измерений к моменту последнего измерения результат каждого i-го измерения исправляется поправкой

             (ti – ПУ),               (1.4.6)

где V – скорость корабля в узлах; ti – интервал приведения в минутах времени; ПУ – направление линии пути корабля.

Пример.

Определили место по гирокомпасному пеленгу и радиолокационному расстоянию. Измерения однократные. Условия измерения благоприятные (j < 60°), Dр= 16,0 миль. Рассчитать радиальную СКП обсервации.

Р е ш е н и е:

– компасный пеленг и радиолокационное расстояние не имеют общей поправки, следовательно, нет и повторяющейся погрешности. Поэтому измеренные навигационные параметры взаимонезависимы;

– измерения однократные, поэтому их полные СКП определяют по табл. 4.3 НМТ или по таблице приложения 2: mП = 0,5о, mD = 0,004D = 0,064 мили;

– градиент пеленга (см. табл. 1.3.1) gП = 57,3 / D = 3,58°/мили, градиент расстояния gD = 1;

– угол пересечения изолиний пеленга и расстояния q = 90°;

– по формуле (1.4.5) получаем М @ 0,15 мили = 1,5 каб.

Такой же результат получается при использовании приложения 5.

Если навигационные параметры взаимозависимы, то радиальная СКП обсервации рассчитывается по более сложной формуле

       (1.4.7)

где Dt – угол между градиентами навигационных изолиний; mлп1 и mлп2 – полные СКП навигационных изолиний (линий положения), вычисляемые по формуле (1.4.1); r – коэффициент взаимной корреляции навигационных параметров [см. формулу (1.2.7)].

Наивыгоднейшим является острый угол между градиентами (Dt), близкий к 90°. В этом случае третье слагаемое под знаком корня останется со знаком “минус” и, следовательно, оно будет вычитаться.

Наиболее просто радиальная СКП обсервации, полученной по любым двум навигационным параметрам (взаимозависимым или  независимым), рассчитывается с помощью табл. 4.11 НМТ:

– по полным СКП навигационных изолиний вычисляется l = mлп1 / mлп2, при этом mлп1 < mлп2;

– по табл. 4.3 НМТ или по приложению 2 определяется коэффициент корреляции r. Если место определялось по взаимонезависимым однородным параметрам или по разнородным навигационным параметрам, то r = 0;

– по навигационной карте или по формуле Dt = ôt1 — t2ô определяется угол между градиентами (если r = 0, то этот угол равен углу пересечения навигационных изолиний);

– по величинам r, Dt и l из табл. 4.11 НМТ выбирается коэффициент КМ  и рассчитывается

                                       М = mлп1К.                                    (1.4.8)

Пример.

Полные СКП радионавигационных изолиний (“Лоран-С”) mлп1 = 1,2 мили и mлп2 = 2,0 мили. Угол между градиентами Dt = 40°. Определить радиальную СКП обсервации.

Решение:

– вычисляется отношение l = 0,6;

– из табл. 4.3 НМТ для РНС “Лоран-С” определяется r = 0,4;

– по r = 0,4, Dt = 40 и l = 0,6 из табл. 4.11 выбирается коэффициент КМ = 2,6;

– по формуле (1.4.8) вычисляется искомый результат М = 1,2 ´ 2,6 = 3,1 мили.

1.5. Оценка точности вероятнейшего места, полученного по трем и более навигационным изолиниям

При определении места корабля по трем и более навигационным изолиниям (линиям положения) они, смещаясь под влиянием погрешностей измерения навигационных параметров, в одной точке, как правило, не пересекаются. В этом случае за искомое место  судна принимается вероятнейшее место.

Вероятнейшее  место – это точка, которая при данных условиях измерения (при реализовавшихся погрешностях измерения навигационных параметров) обладает минимальной средней квадратической погрешностью.

С вероятностных позиций, вероятнейшее место среди  массы других точек, в которых возможно местонахождение корабля, является в среднем  наиболее точной точкой. Чем больше навигационных изолиний и чем они точнее, тем ближе вероятнейшее место к истинному месту корабля. Поскольку конкретная величина  реализовавшихся случайных погрешностей неизвестна, то за действительное место  корабля принимается вероятнейшее место.

Вероятнейшее место определяется двумя методами – методом наименьших квадратов, который реализуется с помощью ЭВМ, и графоаналитическими методами, являющимися точными или приближенными аналогами метода наименьших квадратов. Каждому из этих методов присущи свои способы оценки точности.

Сущность автоматизированного определения вероятнейшего места с помощью ЭВМ состоит в нахождении вероятнейших координат корабля jв и lв и их точности методом наименьших квадратов. При этом считается, что погрешности избыточных обсервованных навигационных параметров распределены по нормальному закону.

Основная идея метода наименьших квадратов заключается в том, что неизвестные вероятнейшие поправки к счислимым координатам находятся из условия минимума суммы квадратов случайных отклонений ni («взвешенных» весами pi) навигационных параметров  от их вероятнейшего значения, то есть из условия

                               (1.5.1)

Случайное отклонение vi  i-го обсервованного навигационного параметра от вероятнейшего равно разности левой и правой частей уравнения i-й линии положения

                                 =                             (1.5.2)

В этом выражении аi  и bi – проекции градиента i-го навигационного параметра на координатные оси, Dj и w  – искомые поправки к счислимым координатам jс и lс, li – свободный член уравнения линии положения, равный разности обсервованного и счислимого  навигационных параметров.

Согласно правилу нахождения экстремума функции, условие (1.5.1) выполняется в том случае, если поправки Dj и w находятся из решения системы нормальных уравнений.

Определив отсюда поправки Dj и w и сложив их со счислимыми координатами [формула (1.5.3)], определяются вероятнейшие координаты, соответствующие минимальной (для данных реализовавшихся погрешностей) средней квадратической погрешности:

                   (1.5.3)

где А1, В1, А2, В2 – коэффициенты нормальных уравнений; D =A1B2 – –A2B1 – главный определитель системы нормальных уравнений; L1 и L2 – свободные члены нормальных уравнений.

Формульные выражения коэффициентов и свободных членов нормальных уравнений для случая, когда все навигационные параметры содержат одну повторяющуюся погрешность, приведены в табл. 1.5.1 [12]. Для более общего случая эти величины приведены в табл. 6.16 НМТ.

Так как исходное условие (1.5.1) соответствует минимуму суммы погрешностей, то найденные при этом условии координаты содержат минимальные СКП, то есть являются вероятнейшими.

Элементы среднего квадратического эллипса погрешностей вероятнейшего места вычисляются по формулам, вытекающим из теории метода наименьших квадратов:

            (1.5.4)

Т а б л и ц а 1.5.1

Ориентировка главных осей эллипса относительно меридиана определяется углом a, который вычисляется по формуле

                          (1.5.5)

Если А1 > В2, то рассчитанный по этой формуле угол  a определяет направление малой оси эллипса погрешностей. Если А1 < В2, то угол a определяет направление большой оси.

Радиальная СКП вероятнейшего места вычисляется по формуле

                                        .                              (1.5.6)

Формулы (1.5.3)… (1.5.6) составляют математическую основуалгоритма автоматизированного определения и оценки точности вероятнейшего места.

Необходимые для автоматизированного расчета коэффициентов и свободных членов нормальных уравнений градиенты и их проекции на координатные оси, а также счислимые навигационные параметры вычисляются путем автоматизированного решения обратной геодезической задачи.

В самом общем случае при различной корреляции между погрешностями навигационных параметров математической основой автоматизированного определения и оценки точности вероятнейших координат являются матричные уравнения [15]:

                             (1.5.7)

где X – матрица-столбец искомых поправок к счислимым координатам;

KX – корреляционная матрица вектора X, характеризующая точность определения искомых вероятнейших координат.

Правую часть этих уравнений составляют следующие величины:

A – матрица коэффициентов линий положения («т» – символ транспонирования матрицы),

P – матрица, обратная по отношению к корреляционной матрице навигационных параметров,

L – матрица-столбец свободных членов линий положения,

s1 – СКП единицы веса (определяется по отклонениям обсервованных навигационных параметров от параметров, вычисленных относительно вероятнейшего места корабля).

Входными данными в ЭВМ являются:

– координаты счислимого места судна и координаты навигационных ориентиров, по которым определяется место;

– признак используемой навигационной системы и линейный эквивалент радионавигационных параметров;

– обсервованные навигационные параметры, их средние квадратические погрешности и коэффициенты взаимной корреляции (или корреляционные моменты навигационных параметров).

Обработка взаимозависимых навигационных параметров может также производиться методом наименьшей квадратичной формы [26].

При использовании графоаналитических методов определения вероятнейшего места его точность  целесообразно оценивать только радиальной СКП, так как расчет элементов среднего квадратического эллипса при отсутствии ЭВМ  связан с громоздкими вычислительными операциями, не совместимыми с требованиями быстрой оценки навигационной безопасности плавания.

При отсутствии ЭВМ задача решается графоаналитическим способом. Существует несколько различных графоаналитических способов определения места, каждый из которых приемлем в определенных условиях (см., например, [12, 13]).

Выбор графоаналитического способа зависит от состава погрешностей или от степени взаимной корреляции.

Если навигационные параметры взаимонезависимы (r = 0), то вероятнейшее место в фигуре погрешностей находится или  центрографическим способом, или  (при  трех навигационных параметрах) способом  п а р а л л е л ь н о й  с т о р о н ы [14].

Если навигационные параметры функционально взаимозависимы (r = 1), то вероятнейшее место определяется способом разностных линий положения.

Если навигационные параметры корреляционно взаимозависимы (0 < r < 1), то вероятнейшее место определяется  комбинированным способом.

При определении вероятнейшего места по взаимонезависимым навигационным параметрам его радиальная СКП вычисляется по формуле

                     M =                            (1.5.8)

Под знаком корня в этой формуле: в числителе – сумма весов линий положения, в знаменателе – сумма квазивесов («как бы  весов») точек пересечения линий положения.

Квазивес точки пересечения i и j-й линий положения рассчитывается с помощью выражения

,

где pлпi, pлпj – веса i и j-й линий положения; qij – угол пересечения i и j-й линий положения; S – общее количество точек пересечения.

Если всего n линий положения, то S = n (n — 1) / 2.

При определении места по равноточным линиям положения (по высотам звезд или планет, по расстояниям, измеренным с одинаковой точностью  pлпi = pлпj = pлп = 1 / m2лп) формула (1.5.7) упрощается и преобразуется в следующее выражение:

                             (1.5.9)

Если вероятнейшее место в открытом море определялось по трем линиям положения способом параллельной стороны и при этом СКП линий положения отличаются одна от другой не более чем в полтора раза, то для оценки точности места вместо строгих формул (1.5.8) и (1.5.9) можно использовать приближенную формулу

                                      (1.5.10)

В этой формуле mлпср – среднее арифметическое значение, рассчитанное по СКП линий положения, qср – средний арифметический угол, рассчитанный по острым углам пересечения линий положения.

При определении места по функционально зависимым навигационным параметрам, то есть при пренебрежимо малых частных погрешностях, к которым относятся погрешности измерения и погрешности частных поправок, но при наличии повторяющейся погрешности (погрешности общей поправки) полученное место практически безошибочно. В том случае оценка навигационной безопасности плавания имеет не вероятностный, а детерминированный характер: безопасность плавания обеспечивается при любом положении места корабля, при котором обсервованное место (с учетом габаритов корабля) не соприкасается с навигационной опасностью.

При графоаналитическом методе определения вероятнейшего места по трем равноточным корреляционно взаимозависимым навигационным параметрам радиальная средняя квадратическая погрешность места зависит от углов w1 и w2 между направлениями на ориентиры (или от углов Dt между градиентами навигационных параметров смежных ориентиров) и вычисляется по формуле

                                       М = g mлп,                                      (1.5.11)

где g – коэффициент, определяемый по табл. 1.5.2.

В этой таблице mo – повторяющаяся СКП навигационного параметра, m – частная СКП. От их отношения зависит коэффициент взаимной корреляции, указанный в скобках.

С некоторым приближением этой таблицей можно пользоваться и при неравноточных линиях положения, но при условии, что отношение максимальной СКП линии положения к минимальной не превышает 1,5. В этом случае вместо частных СКП следует пользоваться их средним арифметическим значением.

Т а б л и ц а 1.5.2

Все другие существующие способы оценки точности места по взаимозависимым параметрам, изложенные в навигационных пособиях, имеют приближенный характер. Наиболее простым из них является ориентировочный способ, основанный на использовании формального отождествления выражений для полных линейных (одномерных) и радиальных погрешностей [14], приводящего к следующей приближенной формуле:

,     (r £ 0,8),                (1.5.12)

где М – радиальная СКП, вычисленная по измеренным навигационным параметрам, считая, что они не содержат повторяющейся погрешности.

При предварительных расчетах навигационной безопасности плавания  в прибрежных районах и в открытом море радиальную СКП обсервации допустимо рассчитывать по приближенной формуле

                                (1.5.13)

где n – количество линий положения.

При больших коэффициентах взаимной корреляции (0,4< r < 0,8) вычисленную по этой формуле величину для большей надежности целесообразно разделить на

Методические погрешности приближенных формул (1.5.12), (1.5.13) могут составлять 5 … 35% от их точного значения, вычисленного по строгим формулам метода наименьших квадратов. Поэтому во всех случаях, когда в открытом  море  требуется надежная оценка навигационной безопасности плавания, необходимо использовать эллиптические  погрешности или радиальные погрешности, рассчитанные по формулам метода наименьших квадратов [формулы (1.5.4) … (1.5.7)].

Так как радиальная средняя квадратическая погрешность всегда больше соответствующей эллиптической погрешности, то при использовании радиальной погрешности будет получен перестраховочный результат оценки навигационной безопасности плавания.

1.6. Погрешность счислимого места и вероятностная оценка точности счисления

При отсутствии непрерывныхобсерваций, получаемых с помощью КНС или РНС, основой решения задачи обеспечения навигационной безопасности плавания является счисление пути, позволяющее непрерывно и на любой заданный момент времени определять координаты корабля. Обсервации производятся эпизодически и предназначаются для коррекции счисления. В общем случае все расчеты по оценке навигационной безопасности в открытом море опираются на информацию о счислимом месте корабля.

Известно [13], что средняя квадратическая погрешность счислимого места квадратически складывается из СКП последней обсервации Мо и из СКП счисления Мс (t)

                            (1.6.1)

Поэтому анализ точности счислимого места, производимый для оценки навигационной безопасности плавания, начинается с оценки точности счисления.

Счисление ведется по показаниям автономных технических средств морской навигации с учетом внешних факторов, воздействующих на движение корабля, – течения и дрейфа. Следовательно,  на  точность  плавания по счислению оказывают влияние погрешности определения курса, относительной скорости, вектора скорости течения и угла дрейфа.

Погрешности современных отрегулированных гироскопических курсоуказателей и лагов, как правило, незначительны. Тем более малыми являются погрешности навигационных инерциальных комплексов. При плавании с учетом информации только от относительных лагов или с периодическим включением абсолютного лага главным фактором, формирующим погрешность счисления, является неточное знание элементов течения, обусловленное их случайной изменчивостью во времени и в пространстве.

Среднюю квадратическую погрешность счисления можно оценивать тремя способами: способом, основанным на обработке невязок счисления (по статистическим параметрам точности счисления), по погрешностям элементов счисления и по параметрам  автокорреляционных функций течения и средств счисления.

Первый из этих способов в настоящее время является основным, так как он основан на использовании таких статистических величин, которые являются следствием всех факторов, влияющих на точность счисления, и которые могут быть получены в результате практического плавания кораблей без привлечения результатов исследования океанографических характеристик Мирового океана.

Оценка случайной погрешности счисления

по статистике невязок

Для оценки точности плавания кораблей по счислению в настоящее время широко используется вероятностная модель погрешностей, опирающаяся на статистику невязок. При сравнительно точных обсервациях модули невязок являются следствием случайных погрешностей счисления.

В научно-исследовательских работах, проводимых в ГосНИНГИ в рамках обобщения опыта точности плавания кораблей в различных районах Мирового океана, а также в руководствах и методиках [39, 32, 42], показано, что радиальная средняя квадратическая погрешность счисления Мс (t) зависит от интервала счисления t и характеризуется двумя параметрами точности счисления – коэффициентом точности счисления Кс и величиной q, определяющей степень нелинейности функции Мс (t):

                (1.6.2)

Данная модель получена опытным путем в результате обработки фактических данных о точности плавания кораблей и судов. Она составлена в предположении того, что линейное нарастание радиальных погрешностей счисления соответствует интервалу tл, равному примерно двум часам. При интервалах счисления t > 2 ч радиальная погрешность счисления изменяется по нелинейному закону.

В реальных условиях параметр tл может принимать значения, существенно отличающиеся от вышеуказанных. Поэтому величина tл является третьим параметром точности счисления. В методике [32] приведены интервалы линейного нарастания погрешности счисления, находящиеся в  пределах от 2 ч (при плавании в районах с существенно преобладающей случайно изменяющейся переменной составляющей) до 10 ч (в районах с существенно преобладающей постоянной составляющей). Примерно такие же значения параметра tл приведены и в статье [4], но здесь они поставлены в зависимость от скорости корабля.

Следовательно, модель (1.6.2) с параметром tл = 2 ч может оказаться слишком приближенной, неадекватной реальным условиям.

Обобщенные результаты обработки фактических данных, полученные в ГосНИНГИ, а также информация, приведенная в [32], свидетельствуют о том, что параметр q в зависимости от характера течения находится в пределах 0,3 £ q £ 0,8.

Для получения формулы, учитывающей различные возможные значения параметров tл и q, рассмотрим зависимости, определяющие общий характер изменения радиальной СКП счисления на линейном и нелинейном участках графика Мс (t):

                       (1.6.3)

где К  – коэффициент, характеризующий скорость линейного нарастания радиальной СКП счисления на интервале tл.

Для граничного интервала точности счисления t = tл справедливо равенство Кtл = Ксtлq. Отсюда

                                          К = Ксtлq-1.                                  (1.6.4)

Подставив это выражение в первую формулу выражения (1.6.2), будем иметь обобщенную модель радиальной СКП счисления, учитывающую все три параметра точности счисления (Кс, q и tл):

                   (1.6.5)

В этих формулах Мс (t) выражена в милях, t – в часах, а размерность Кс в обеих формулах одинаковая – [мили / чq].

Наиболее часто используемые в настоящее время формулы  [2, 13, 39, 42]

                       (1.6.6)

выведенные для параметров tл = 2 ч и q = 0,5, являются частным случаем обобщенных формул (1.6.5).

При плавании без учета течения величина Кс зависит, главным образом, от района плавания и от сезона года.

При плавании с учетом течения коэффициент точности счисления зависит от точности и частоты определения вектора скорости течения. Чем точнее средства и методы определения течения, учитываемого при счислении, и чем чаще оно определяется, тем меньше коэффициент точности счисления и, следовательно, тем точнее плавание по счислению. Отсюда следует, что плавание с использованием современных навигационных комплексов, непрерывно или дискретно вырабатывающих вектор абсолютной скорости корабля,  существенно точнее, чем плавание с обычными средствами курсоуказания и скорости.

Наиболее вероятным при плавании в открытом море параметрам q = 0,5 и tл = 2 … 4 ч соответствуют коэффициенты точности счисления, находящиеся в следующих ориентировочных пределах:

– при плавании без учета течения – 1,6 … 3,0;

– при плавании с использованием информации о скорости корабля только от относительного лага и с учетом течения, выбранного из навигационных пособий, – 1,0 … 2,0;

– при плавании с использованием информации о скорости корабля только от относительного лага и при определении течения по высокоточным обсервациям (с периодичностью 1 … 2 ч) – 0,8 … 1,6;

– при плавании с использованием навигационного комплекса с инерциальной навигационной системой (ИНС) при дискретном определении течения по показаниям абсолютного и относительного лагов (через каждые 0,5 … 1,5 ч) – 0,4 … 0,6;

– при плавании с использованием навигационного комплекса с инерциальной навигационной системой и при непрерывной работе абсолютного лага – 0,1 … 0,3.

При океанском плавании с относительным лагом в штормовых условиях по данным учебника [2] коэффициент точности счисления может достигать величины 3,0 … 4,0.

Наиболее достоверно все параметры точности счисления Кс, q и tл определяются комплексно по результатам статистической обработки модулей невязок, полученных по высокоточным обсервациям при плавании в данном море с использованием одного и того же режима работы навигационного комплекса и одного и того же метода оценки вектора скорости течения. Для осреднения пространственной и временной корреляции элементов течения, при определении параметров точности счисления используются невязки, полученные на различных курсах и скоростях кораблей.

Методика комплексного расчета параметров точности счисления Кс и q (для заданного значения tл) изложена в ряде пособий (см., например, [14]). В работах [4, 5, 15] приводится методика расчета коэффициента точности счисления, основанная на использовании параметров автокорреляционной функции морского течения.

Важно иметь в виду, что при использовании навигационного комплекса с ИНС случайная погрешность широты практически не зависит от интервала счисления  и для данного режима работы комплекса принимается величиной постоянной, которая определяется по данным, характеризующим работу системы. В этом случае параметры точности счисления определяются по проекциям невязок на параллель и используются только для оценки точности плавания по долготе.

Поскольку условия данного плавания, как правило, отличаются от осредненных условий, при которых определялись параметры точности счисления, то последние могут использоваться лишь для ориентировочного прогнозирования точности плавания по счислению в заданном районе.

Оценка точности счисления

по погрешностям элементов счисления

Для анализа навигационной безопасности плавания непосредственно в море на интервалах счисления, не выходящих за пределы линейного участка нарастания СКП счисления, целесообразно использовать прямой способ оценки точности счисления, основанный на учете текущих погрешностей элементов счисления и не зависящий от статистических параметров точности счисления.

В этом случае после каждого определения вектора скорости течения (по обсервации или по показаниям абсолютного и относительного лагов) рассчитываются средние квадратические погрешности элементов выявленного сноса и затем вычисляется радиальная СКП счисления:

  (1.6.7)

В этой формуле m – средняя квадратическая погрешность того элемента счисления, который обозначен в индексе данного символа.

СКП элементов течения вычисляются способами, зависящими от средств и методов определения течения [13, 42]. СКП направления линии истинного курса квадратически складывается из СКП курсоуказателя (определяется по формуляру курсоуказателя) и из СКП его поправки. СКП относительной скорости определяется по результатам ее последних замеров на мерном полигоне.

Поскольку главный вклад в погрешность счисления вносит неточное знание элементов течения, то при отсутствии достоверных данных о погрешностях систем курсоуказания и относительной  скорости радиальная СКП счисления может быть приближенно рассчитана по двум последним слагаемым, стоящим под знаком корня.

Существенным достоинством способа оценки точности счисления по погрешностям элементов счисления являются три фактора: исключается необходимость накопления совокупности невязок и, следовательно, способ применим в неоплаванных районах; способ реагирует на изменяющиеся условия плавания (так как учитываются реальные погрешности оценки элементов течения, зависящие от способа определения течения); простота способа. К недостатку способа следует отнести ограниченность его использования пределами линейного нарастания СКП счисления.

Оценка случайной погрешности счисления по параметрам

автокорреляционных функций течения и средств счисления

Радиальная средняя квадратическая погрешность счисления Мс (t) является функцией векториальных средних квадратических погрешностей учитываемых течения, дрейфа, курса и относительной скорости. Для простоты примем взаимно перпендикулярные проекции (на меридиан и параллель) каждой из указанных векториальных СКП одинаковыми и обозначим их символами sc1(t), sc2(t), sc3(t) и sc4(t), соответственно. Тогда получим

          (1.6.8)

Рассмотрим в порядке очередности каждую из величин, стоящих под знаком корня.

Средняя квадратическая погрешность счисления sc1(t), обусловленная неточностью учитываемого вектора скорости течения.

Неточное знание течения является основным фактором, формирующим погрешность счисления.

Физическая природа морских течений такова, что они обладают значительной случайной изменчивостью во времени и в пространстве. Поэтому элементы течения, определенные в данный момент и в данной точке, могут существенным образом отличаться от их значений, определенных в другой момент или в другой точке.

Случайность непериодического течения предопределяет вероятностный характер его оценки на моменты времени, не совпадающие с моментом измерения направления и скорости течения. Для этого используется математический аппарат теории случайных функций.

Основой этого аппарата являются автокорреляционные функции, устанавливающие вероятностную взаимосвязь между скоростями течения в различные моменты времени (в различных точках пространства) и позволяющие прогнозировать вероятнейшие значения скорости течения. При анализе морских течений вектор скорости течения чаще всего раскладывают на две составляющие (по географическим координатным осям).

Поскольку средние квадратические значения каждой составляющей приняты одинаковыми, то в дальнейшем речь будет идти об одной проекции sс1 средней квадратической погрешности счисления, а оценка радиальной погрешности счисления за счет неточности течения будет производиться с учетом обеих составляющих.

В скорости морского течения выделяют две составляющие: низкочастотную, или долгопериодную, и высокочастотную, или короткопериодную.

Низкочастотная составляющая изменяется медленно. Средний период ее изменения может измеряться десятками часов или даже сутками. Поэтому низкочастотная составляющая при решении задач навигационной безопасности принимается за квазипостоянное (как бы постоянное) течение для данного короткого периода плавания между измерениями течения или между обсервациями.

Высокочастотная составляющая течения более подвижна и изменчива. Период ее изменения для большинства открытых районов океана составляет всего несколько часов. Высокочастотную составляющую течения называют переменным течением.

Автокорреляционные функции низкочастотной и высокочастотной составляющих течения открытого моря чаще всего аппроксимируются уравнениями следующего вида:

                          (1.6.9)

В этой формуле s2 – дисперсия скорости течения (его одной составляющей); a и b – параметры автокорреляционной функции, первый из них характеризует степень затухания корреляционной связи, второй – «колебательность» корреляционной функции относительно оси времени (соответствует преобладающей частоте в спектре случайного процесса).

Дисперсию квазипостоянной составляющей скорости течения  будем обозначать s2п, дисперсию переменной составляющей – s2пр. Также: aп – параметр квазипостоянной составляющей скорости течения, aпр – параметр переменной составляющей.

Вид и параметры автокорреляционной функции определяются опытным путем по результатам многочисленных замеров проекций скорости течения в данном ограниченном районе моря.

По данным работ [4, 5], в открытых районах Мирового океана автокорреляционная функция проекций скорости течения аппроксимируется первой формулой (1.6.9), а обобщенные среднестатистические характеристики ее параметров s2 и a, вычисленные по длительным (месячным) измерениям течений, приведены в табл. 1.6.1 (в этой таблице V – скорость корабля в узлах). Эти данные опубликованы в статье [4].

В ограниченных районах океана и в отдельных морях вид и параметры автокорреляционной функции могут существенно отличаться от указанных в этой таблице.

Т а б л и ц а 1.6.1

Скорость корабля, обусловленная воздействием течения, так же, как и само течение, изменяется случайным образом, но характер случайной функции изменения скорости корабля будет несколько сглаженным. Степень сглаживающего эффекта зависит от инерционных и гидродинамических характеристик корабля. С точностью, достаточной для оценочных характеристик погрешностей счисления, можно принять, что автокорреляционная функция изменения скорости корабля под воздействием течения имеет такие же параметры, как и автокорреляционная функция скорости течения.

Случайные колебания скорости корабля, обусловленные воздействием течения, вызывают накапливающуюся с течением времени случайную погрешность счисления, которая на определенном интервале времени может быть принята за стационарную случайную функцию. Поскольку автокорреляционная функция случайной погрешности счисления приближенно соответствует автокорреляционной функции течения, то на основании правила о дисперсии интеграла стационарной случайной функции [44], дисперсия счисления выражается формулой, учитывающей воздействия на корабль всех составляющих скорости морского течения:

     (1.6.10)

где t – время плавания по счислению, ч; Кп (t) и Кпр (t) – автокорреляционные функции квазипостоянной и переменной составляющих скорости течения соответственно [вид этих функций определяется формулами (1.6.9)]; sд – среднее квадратическое значение скорости ветрового (дрейфового) течения в узлах, обусловленного воздействием на водную поверхность силы ветра.

В приповерхностном слое, то есть на глубине до 20 м, величина sд в узлах вычисляется по приближенной формуле [32]: sд = =0,12 + 0,02u, где u – скорость устоявшегося истинного ветра в м/с. Скорость ветрового течения уменьшается с глубиной: на глубине 60 м оно составляет 0,4sд, а на глубине 100 м – 0,2sд. На глубинах свыше 100 м ветровое течение практически отсутствует.

В табл. 1.6.2 представлены вычисленные по этой формуле средние квадратические погрешности счисления sс1(t) в милях, соответствующие плаванию без учета течения и с нулевым значением ветровой составляющей. Таблица рассчитана по автокорреляционной функции усредненного океанского течения [4] [с учетом первой формулы (1.6.9) и параметров, указанных в табл. 1.6.1].

Произведя по этим табличным данным расчеты радиальной СКП счисления (она в 1,4 раза больше линейной СКП одной проекции, указанной в таблице), обнаружится, что при суточном плавании в океане со средней скоростью 10 уз без учета течения радиальная СКП счисления составит около 8 миль, а при плавании со скоростями 15 … 20 уз – в пределах 6 …7 миль. Ошибка счисления нарастает в среднем на 0,3 мили за каждый час плавания.

При рассматриваемых параметрах автокорреляционных функций с увеличением скорости погрешность счисления, обусловленная неучетом океанского течения, уменьшается. Так, например, разница в погрешностях счисления при суточном плавании скоростями 5 и 25 уз составляет 3 мили, то есть СКП счисления на скорости 25 уз меньше СКП при плавании со скоростью 5 уз в 1,8 раза.

Т а б л и ц а  1.6.2

При плавании с учетом выявленного течения ошибка счисления уменьшается. В первоначальный период после определения течения она практически равна нулю (если не учитывать погрешности способа определения течения). Но поскольку характер случайной изменчивости течения остается прежним, то в последующем в выявленном и учитываемом течении появляются погрешности. Это значит, что учитываемое течение, изменяясь со временем, будет устаревать. Следовательно, с увеличением времени, прошедшего после определения течения, будет увеличиваться и погрешность счисления.

Прогнозируемые значения  средних квадратических погрешностей квазипостоянной () и переменной () составляющих учитываемых проекций скорости течения через интервал времени t после определения течения рассчитываются по формулам [24]:

                           (1.6.11)

где rп (t) и rпр (t) – нормированные автокорреляционные функции квазипостоянного и переменного течений (соответственно), равные частному от деления соответствующих автокорреляционных функций на квадраты их средних квадратических погрешностей.

Квадрат радиальной СКП счисления после определения скорости течения (без учета дрейфовой составляющей) для первой корреляционной функции (1.6.9) вычисляется по формуле, приведенной в работе [4]:

где i = 1 – индекс параметров, соответствующих квазипостоянной составляющей (см. табл. 1.6.1); i = 2 – индекс параметров, соответствующих переменной составляющей; N – количество измерений скорости течения; Dt – дискретность измерения течения.

Расчеты радиальной СКП счисления, выполненные по этой формуле (после извлечения корня) для 12-часового интервала плавания по счислению скоростью 15 уз и для различного количества измерений течения, приведены в табл. 1.6.3.

Линейная СКП счисления без учета течения на этом временном интервале в соответствии с табл. 1.6.2 составляет 3,2 мили, а радиальная СКП равна 4,5 мили. Отношение этого значения к радиальным СКП, указанными в табл. 1.6.3, определяет эффективность k учета течения (последний столбец таблицы). Две последних строки этой таблицы (k < 1) свидетельствуют о том, что длительный учет одного течения приводит к погрешностям счисления, превышающим те, которые были бы при плавании без учета течения.

Т а б л и ц а 1.6.3

Расчеты для рассматриваемой корреляционной функции показывают, что оптимальная (по критерию точности счисления) длительность учета последнего измеренного течения при скорости корабля 5 уз составляет 1,8 ч. Чем больше скорость корабля, тем больше влияние пространственной изменчивости течения, поэтому длительность учета течения при скорости корабля 25 уз составляет всего 0,6 ч.

Для средних скоростей корабля порядка 15 уз время учета течения не должно превышать 0,9 … 1 ч. Большая продолжительность учета данного течения приведет к понижению точности плавания.

Приведенные здесь числовые оценочные характеристики точности счисления даже для океанского плавания являются сугубо ориентировочными, так как в отдельных регионах океана могут наблюдаться существенные отклонения вида и параметров автокорреляционных функций от среднестатистических, используемых в данном труде.

Другой вид и другие параметры автокорреляционных функций, соответствующих течениям конкретных ограниченных районов, обусловят и другие выходные данные о точности счисления.

Практическое использование способа целесообразно только при наличии персональной ЭВМ, спрограммированной по приведенным здесь формулам.

2. Средняя квадратическая погрешность счисления sc2(t), обусловленная неточностью учитываемого дрейфа.

Ветер является причиной не только ветрового (дрейфового) течения, но и дрейфа корабля. Под воздействием ветра изменяется скорость корабля и направление его перемещения. Изменение скорости учитывается лагами, а изменение направления движения учитывается введением поправки – угла дрейфа.

Найденные экспериментальным способом углы дрейфа подвержены случайным колебаниям, обусловленным случайной изменчивостью силы и направления ветра и гидродинамических ударов волн по надводной части корпуса корабля. Степень взаимосвязи случайных погрешностей  учитываемого угла дрейфа для разных моментов времени характеризуется случайной функцией.

Применяя теорию случайных функций к определению дисперсии погрешностей счисления, вызванной изменчивостью углов дрейфа [15], можно получить следующую ориентировочную формулу:

                   (1.6.13)

где V – скорость корабля, уз; sоa – среднее квадратическое отклонение угла дрейфа в градусах, обусловленное его изменчивостью (по данным работы [37], оно находится в пределах от 1,1 до 1,5°); Кa – коэффициент, определяемый по параметрам автокорреляционной функции дрейфа (его ориентировочное значение находится в пределах 0,3 … 0,8); t – время плавания с учетом данного угла дрейфа, ч;  – средняя квадратическая погрешность способа определения угла дрейфа, градусы. При использовании современных способов определения угла дрейфа эта величина не превышает 0,5°.

3. Средняя квадратическая погрешность счисления sc3(t), обусловленная неточностью системы курсоуказания.

При использовании современных навигационных комплексов, в состав которых входит инерциальная навигационная система, средние квадратические погрешности системы курсоуказания составляют 0,05 … 0,2°. Случайные возмущения системы демпфируются специальными устройствами, что позволяет хранить направление географического (истинного) меридиана с указанной точностью. Столь малые погрешности в курсе корабля вызывают погрешность счисления, пренебрежимо малую по сравнению с погрешностями, обусловленными неточным знанием и изменчивостью морского течения.

При счислении пути корабля по гироскопическому компасу направление истинного меридиана и, следовательно, направление истинного курса определяется с более низкой точностью.

В процессе плавания на гирокомпас воздействуют силы инерции, появляющиеся в моменты изменения скорости или курса и во время качки корабля. Эти силы вызывают затухающие инерционные погрешности, и в результате ранее определенная поправка гирокомпаса случайным образом изменяется. Этот фактор обусловливает появление нарастающей по времени случайной линейной погрешности счисления в направлении, перпендикулярном линии курса корабля.

Используя математический аппарат случайных функций способом, аналогичным способу, примененному при оценке погрешностей морских течений,  можно получить дисперсию погрешностей счисления, обусловленную случайными погрешностями гирокомпаса:

              (1.6.14)

где – среднее квадратическое значение колебаний оси чувствительного элемента гирокомпаса (по данным [26, 32], эта величина находится в пределах от 0,4 до 0,7°); КК – коэффициент, определяемый по параметрам автокорреляционной функции, принимающий значения от 0,4 до 0,5; – средняя квадратическая погрешность поправки гирокомпаса (0,3 … 0,4°); t – время плавания по счислению, ч.

4. Средняя квадратическая погрешность счисления sc4(t), обусловленная ошибками измерения относительной скорости корабля.

Определенная на мерной линии поправка относительного лага имеет нестабильный характер. Для гидродинамических лагов она изменяется под влиянием дрейфа, дифферента корабля, обрастания корпуса, качки и изменения плотности морской воды. Для индукционных лагов поправка лага изменяется под влиянием нестабильности электромагнитной индукции. Параметры случайных функций изменения относительной скорости в настоящее время неизвестны [47]. Поэтому точность скорости, вырабатываемой относительным лагом, оценивается только средней квадратической погрешностью учитываемой поправки лага без учета автокорреляционной функции.

Считается, что в зависимости от способа определения поправок лага, СКП относительной скорости заключается в широких пределах: от 0,01 уз при определении поправок лага с помощью высокоточной гидрографической РНС до 0,05 уз при определении поправки лага на визуальной мерной линии.

СКП счисления, обусловленная погрешностью в относительной скорости, рассчитывается по сугубо приближенной формуле

                                 (1.6.15)

где sV – средняя квадратическая погрешность относительной скорости, уз; t – время плавания по счислению.

Подставив значения  в формулу (1.6.8), можно вычислить радиальную среднюю квадратическую погрешность счисления, которая и используется для расчета вероятности навигационной безопасности плавания.

При выработке курса и пройденного расстояния современным навигационным комплексом последние два слагаемых в формуле (1.6.8) существенно меньше первых слагаемых.

При различных дисперсиях скорости течения по меридиану и по параллели слагаемые формулы (1.6.8) заменяются суммой составляющих дисперсий. В этом случае коэффициент 1,4 перед корнем заменяется на единицу.

Проблема повышения точности плавания кораблей успешно решается при использовании абсолютных лагов. При их непрерывной работе счисление ведется относительно поверхности Земли, то есть с учетом воздействия на корабль всех факторов, в том числе и морского течения. При этом исключается необходимость определения и учета  основных факторов, формирующих погрешности счисления.

При использовании абсолютного лага в дискретном режиме при каждом его включении определяется вектор скорости течения [13], который учитывается в продолжении времени 0,5 … 2.0 ч.

В том случае, если на интервале счисления t (после последней обсервации) вектор скорости течения с помощью абсолютного лага определялся N раз, то радиальная СКП счисления за время плавания t от момента последней обсервации до данного момента рассчитывается по формуле (1.6.12).

Существенным препятствием практического внедрения метода оценки точности плавания по счислению на основе использования автокорреляционных функций является то, что к настоящему времени степень изученности автокорреляционных функций течения в различных регионах Мирового океана крайне низка. Изучение случайных функций течения для всего Мирового океана составляет серьезную проблему, которая вряд ли будет решена в ближайшем будущем. Можно лишь надеяться на то, что автокорреляционные функции и их параметры могут быть идентифицированы в отдельных, часто используемых кораблями, районах. Этому может способствовать наличие на современных кораблях абсолютных лагов и высокоточных среднеорбитальных КНС, с помощью которых в процессе повседневного плавания можно накопить необходимую информацию для оценки автокорреляционных функций.

1.7. Оценка погрешности места корабля по заданному направлению

При оценке навигационной безопасности плавания возникает задача определения погрешности места корабля по вполне определенному заданному направлению. Например, при плавании по фарватеру требуется знать погрешность места корабля по направлению перпендикуляра к оси фарватера. При сближении с навигационной опасностью необходимо знать погрешность места по направлению на эту опасность и т. п.

Погрешность места корабля по заданному направлению рассчитывается способами, зависящими от вида погрешности, которой оценивается точность места корабля.

Если место корабля оценивается средним квадратическим эллипсом, то СКП места по заданному направлению L (рис. 1.7.1) –величина mL – равна квадратической сумме проекций главных полуосей a и b среднего квадратического эллипса погрешностей на это направление.

Поэтому

                              (1.7.1)

где y – угол между большой полуосью эллипса a и заданным направлением L.

Концы векториальных средних квадратических погрешностей mL, взятых по всем направлениям, образуют кривую, называемую подерой эллипса погрешностей.

Если место корабля определено по двум линиям положения (рис. 1.7.2), то средняя квадратическая погрешность места по заданному направлению L рассчитывается как квадратическая сумма проекций векториальных средних квадратических погрешностей ml2  и ml2 на заданное направление:

                    (1.7.2)

где a1 и a2 – углы между линиями положения и заданным направлением.

Формулой (1.7.2) можно пользоваться и при определении места по любому количеству линий положения и полученное место оценивается средним квадратическим эллипсом. В этом случае ml2 и ml2 – любая пара сопряженных полудиаметров среднего квадратического эллипса. Углы a1 и a2 при этом будут углами, под которыми сопряженные полудиаметры пересекаются с заданным направлением.

Если место корабля оценивается радиальной средней квадратической погрешностью М, то погрешности места по всем направлениям будут одинаковыми. Их среднее квадратическое значение оценивается приближенной формулой (1.3.9).