Ошибка х измерительного прибора распределена нормально - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Помогаю со студенческими работами здесь

Определить среднее квадратическое отклонение ошибок измерения
При большом количестве измерений установлено, что 85% ошибок не превосходят по
абсолютной величине…

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
2)Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа бракованных…

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение
задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой строке указаны возможные…

Найти среднее квадратическое отклонение живого веса скота
Добрый день!

Помогите, пожалуйста, решить задачи

1) С вероятностью 0,9973 было установлено…

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
Здравствуйте! Вот такая задача
Правила форума :rtfm:

5.18. Запрещено размещать задания и…

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение
Конвейер, состоящий из трёх звеньев, имеет в местах соединения звеньев аварийный выключатель.
В…

Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Источник

Дискретная СВ Х имеет геометрическое распределение, принимает значения 0, 1, … , ∞ с вероятностями

p( X = i) = pi = qi p ,

где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p.

Числовые характеристики геометрического распределения:

Дискретная значения 0, 1, … ,

m X = q / p , D X = q / p 2 .

СВ X имеет биномиальное распределение, если она принимает n со следующими вероятностями:

p(X =i) = p =	n!	piqn−i	(7.2)

i	i!(n −i)!	,

где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p. Числовые характеристики биномиального распределения:

m X = n p , D X = n q p .

Дискретная СВ Х имеет распределение Пуассона, если она принимает значения 0, 1, … , ∞ со следующими вероятностями:

p(X =i) = p = ai	e−a	(7.3)
i	i!	,
где a – параметр распределения (a > 0).

Числовые характеристики пуассоновской СВ:
m X = a , D X	= a .

Непрерывная СВ Х имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале [а; b] постоянна, т.е. если все значения X в этом интервале равновероятны:

0, x <

f ( x ) = 1

b − a

0, x >

a ,	0 , x	< a ,
		− a
, a ≤ x ≤ b , F ( x ) =	x	, a	≤	x ≤	b ,
				(7.4)
		a
b.	b	−
1, x	> b .

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:

m X =	a + b	, D X	=	( b − a ) 2	.
2	1 2

Непрерывная СВ T, принимающая только положительные значения, имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны

		λ e	− λ t	, t	≥ 0 ,	− e	−λt	, t ≥ 0,
f (t ) =		1		(7.5)
	0 , t < 0 ,	F(t) =	0, t < 0,

где λ – параметр распределения (λ > 0).

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:

m T = 1 / λ , D T = 1 / λ 2 .

Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны

f (x ) =

exp −

(x − m)2

F ( x ) =

0 .5 + Φ

x − m

(7.6)

σ 2π

2σ

где m, σ – параметры распределения ( σ >0),

Φ(x) =

∫e−

dt — функция Лапласа.

2π

Значения функции Лапласа приведены в приложении. При использовании таблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что Φ(–x) = –Φ(x),

Φ(0) = 0, Φ(∞) = 0,5.

Числовые характеристики нормальной СВ:

m X = m , D X = σ 2 ,

I [ k / 2 ]

k −2 i

(σ

/ 2)

αk ( x) = k ! ∑

(k − 2i)!i !

i =0

0 , k − нечетное,

( x ) =

2 k / 2

k !

, k − четное.

( k / 2 ) !

Пример 7.1. Время безотказной работы аппаратуры является случайной величиной Х, распределенной по экспоненциальному закону. Среднее время безотказной работы 100 ч. Найти вероятность того, что аппаратура проработает больше среднего времени.

Решение. Так как среднее время безотказной работы, т.е. математическое ожидание, равно 100 ч, то параметр λ экспоненциального закона будет равен λ = 1 / m X = 1 / 100 = 0, 01 . Искомая вероятность

p(X > mX ) = p(100 < X < ∞) =1− F(100) = e−1 ≈ 0,368.

Пример 7.2. Для замера напряжения используются специальные датчики. Определить среднюю квадратическую ошибку датчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2.

Решение. Из условия задачи следует, что p(-0,2<X<0,2) = 0,8. Так как распределение ошибок нормальное, а математическое ожидание m равно 0 (систематические ошибки отсутствуют), то

р{–0,2 < X < 0,2} = Ф(–0,2 / σ) – Ф(0,2 / σ) = 2Ф(0,2 / σ) = 0,8.

По таблице функции Лапласа находим аргумент 0,2/ σ =1,28, откуда

σ = 0,2 / 1,28 = 1,0156.

ЗАДАЧИ

7.1. По каналу связи пересылается пакет информации до тех пор, пока он не будет передан без ошибок. Вероятность искажения пакета равна 0,1, найти среднее количество попыток передать пакет.

Ответ: 1,11.

7.2. При работе прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Количество неисправностей, возникающих за определенный промежуток времени, подчиняется закону Пуассона. Среднее число неисправностей за сутки равно двум. Определить вероятность того, что: а) за двое суток не будет ни одной неисправности; б) в течение суток возникнет хотя бы одна неисправность; в) за неделю работы прибора возникнет не более трех неисправностей.

Ответ: а) 0,018; б) 0,865; в) 0,004.

7.3. Шкала рычажных весов имеет цену деления 1 г. При измерении массы отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность того, что абсолютная ошибка определения массы: а) не превысит величины среднего квадратического отклонения возможных ошибок определения массы; б) будет заключена между

значениями σX и2σX .

Ответ: а)	1	; б) 1 −	1	.

3	3

7.4. Среднее время работы электронного модуля равно 700 ч. Определить время безотказной работы модуля с надежностью 0,8.

Ответ: 140 ч.

7.5. Сообщение передается последовательностью амплитудномодулированных импульсов с заданным шагом квантования ∆ (∆ – наименьшая разность амплитуд импульсов). На сообщение накладываются шумы, распределенные по нормальному закону N(0, σ). Если мгновенное значение шума превышает половину шага квантования, то при передаче сообщения возникает ошибка. Определить, при каком минимально допустимом шаге квантования ∆ вероятность ошибки из-за шумов не превысит 0,1.

Ответ: 3,4 σ.

7.6. СВ X – ошибка измерительного прибора – распределена нормально с дисперсией 16 мВ2. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Вычислить вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка: а) превысит по модулю 6 мВ не более трех раз; б) хотя бы один раз окажется в интервале

(0,5; 3,5) мВ.

Ответ: а) 0,999; б) 0,776.

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента Y = ϕ(X). Если X – непрерывная случайная величина, то плотность вероятности g(y) величины Y определяется по формуле

k
g( y) = ∑ f (ψ j ( y))	ψ′j ( y)	,	(8.1)

j=1

где f(х) – плотность вероятности величины X; ψj(y) – функции, обратные функции ϕ(x);

k – число обратных функций для данного y.

Весь диапазон значений Y необходимо разбить на интервалы, в которых число k обратных функций постоянно, и определить вид g(y) по формуле (8.1) для каждого интервала.

Если X – дискретная случайная величина, принимающая значения xi, то величина Y будет принимать дискретные значения yi = ϕ(xi) с вероятностями

p(yi) = p(xi).

Числовые характеристики функции Y = ϕ(X) одного случайного аргумента

Xопределяются по формулам:

–начальные моменты

		∑n	ϕ k ( xi ) pi	для ДСВ
	i =1		;	(8.2)
α k ( y ) = M [Y k ] = M [ϕ k ( x)] =	∞
		∫ ϕ k ( x) f ( x)dx для НСВ
– математическое ожидание		−∞

m y = M [Y ] = M [ϕ (x )] = α1 ( x ) ;	(8.3)
– центральные моменты
	n
∑(ϕ( xi ) − m y )k pi	для ДСВ
i=1			;	(8.4)
µk ( y) = M[(Y − mY )k ] =	∞
	∫ (ϕ( x) − my )k f ( x)dx для НСВ
	−∞
– дисперсия
DY =µ2(y) =M[(Y −mY )2]=α2(y)−mY2 .	(8.5)

Пример 8.1. Определить плотность вероятности величины Y = X2, если X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале [–1, 2].

Решение. Так как Х равномерно распределена в интервале [–1, 2], то ее

плотность вероятности равна (7.4):	−1≤ x ≤ 2,
1/3,
f (x) =	x < −1, x > 2.
0,

Построим график величины Y = X2 для x в интервале [–1, 2] и в зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для

Y (рис. 8.1):

k = 0,

[–∞, 0[

[0, 1]

k = 2,

]1, 4]

k = 1,

]4, +∞]

k = 0.

Так как на интервалах [–∞, 0[ и ]4, +∞]

обратная функция не существует, то для этих

интервалов g(y) = 0.

В интервале [0, 1] две обратные функции:

ψ1(y) = + y и ψ2(y) = – y .

По формуле (8.1) получим

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

+ fx (ψ2( y))

ψ2′ ( y)

= fx ( y )

+ fx

(− y )

В интервале ]1, 4] одна обратная функция

ψ1(y) = +

y , следовательно,

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

= fx (

y )

Рис. 8.1

Таким образом, плотность вероятности величины Y равна

y < 0,

0 ≤ y ≤1,

g ( y) =

1 < y ≤ 4,

y > 4.

Пример 8.2 Случайная величина X равномерно распределена от –1 до +1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X2.

Решение. Плотность вероятности СВ X равна

0,5, −1 ≤ x ≤1, f (x) =

0 , x < −1, x >1.

Вычислим математическое ожидание Y по формуле (8.3):

m y = M [X 2 ] = ∫1	x 2 0, 5dx =	1 .
−1		3

Дисперсию Dy рассчитаем по формуле (8.5):

Dy = M[( X 2 )2 ] − mY2 = ∫1	(x2 )2 0,5dx − my2 =	4	.
45
−1

ЗАДАЧИ

8.1. Определить плотность вероятности величины Y = lnX, если X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале (1, 3).

		0, 5e	y	, 0	≤ y < ln 3,
Ответ:	g ( y ) =
		0 , y < 0, y > ln 3 .

8.2. Определить плотность вероятности величины Y = |X|, если X – случайная равномерно распределенная величина со следующими характеристиками mx = 1, Dx = 1, и вычислить вероятность того, что р{1 ≤ Y < 2}.


0, y < 0, y > 2, 73,
	1

Ответ: g( y) =		, 0	≤ y < 0, 73,
3

	1		, 0, 73 ≤ y ≤ 2, 73.

2 3

р{1 ≤ Y < 2} = 0,445.

8.3. Случайная величина X равномерно распределена от 0 до 1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X – 0,2 .

Ответ: mY = 0,34; DY = 0,0574.

8.4. Точка U, изображающая объект на круглом экране радиолокатора, распределена равномерно в пределах круга единичного радиуса. Найти дисперсию расстояния Y от точки U до центра экрана.

Ответ: DY = 1/18.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2222 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Ребята, помогите срочно решить задачу по теор веру…
Итоговая работа на сессии

Ошибка Х измерительного прибора распределена нормально. Систематической ошибки прибор не имеет (mx=0). Каким должно быть среднее квадратическое отклонение Qx ( сигма), чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 ошибка измерения не превышала 20 микрометров по модулю?

« Последнее редактирование: 20 Января 2012, 10:36:38 от Asix »

Всегда пожалуйста, только Вы забыли сообщить, какая помощь нужна. Видимо, кусок сообщения, где Вы рассказываете, как решали задачу и что не получается, куда-то потерялся.

К сожалению, я не могу написать ход решения, т к не понимаю, как можно сделать
Поэтому и обращаюсь за помощью к вам.
Знаю только что ответ должен получиться : Qx<12.2(мкм)
натолкните на умные мысли пожалуйста.

Всё просто: изучаете по учебнику, что такое нормальное распределение, как считаются вероятности для него, и задачка сразу решается.

Измерительный прибор работает без систематических ошибок.doc

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также
промокод

на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Условие

Измерительный прибор работает без систематических ошибок (работа измерительного прибора без систематических ошибок означает, что mx=0). Известно, что вероятность ошибки измерения, превышающей по абсолютной величине 7, равна 0,08. Пусть случайная величина X- это величина ошибки измерения. Предполагается, что случайная величина X нормально распределена, найти:
а) приближенное значение дисперсии;
б) вероятность того, что ошибка измерения не превысит ε=4;
в) вероятность того, что ошибка измерения изменяется от α=-4 до β=6.

Решение

А) Для случайной величины Х имеещей нормальный закон распределения с параметрами mx и σx справедливо:
Px-mx≤ε=Фε σx, где Фt=12π-∞xe- t22dt-функция Лапласа.
По условию задачи вероятность ошибки измерения, превышающей по абсолютной величине 7, равна 0,08
. Тогда вероятность противоположного события (вероятность того, что случайная величина Х не превышает по абсолютной величине 7, равна 1-0,08=0,92. Имеем:
Px-0≤7=Ф7 σx=0,92⇒7 σx≈5⇒ σx≈7 5=1,4.
Тогда искомая дисперсия приближенно равна: Dx=σx2≈1,96.
б) вероятность того, что ошибка измерения не превысит ε=4:
Px-0≤4=Ф4 1,4≈Ф2,857≈0,4979..
в) вероятность того, что ошибка измерения изменяется от α=-4 до β=6 найдем по формуле:
Pα≤Х≤β=Фβ-mxσx-Фα-mxσx.
P-4≤Х≤6=Ф61,4-Ф-41,4≈Ф4,286-Ф-2,857=
≈0,499997+0,4979≈0,998.
Ответ

50% решения задач недоступно для прочтения

Закажи персональное решение задач. Эксперты

напишут качественную работу за 30 минут! ⏱️

Макеты страниц

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.

Измерения всегда сопровождаются ошибками. Различают ошибки двух основных видов: систематические и случайные. Систематические ошибки имеют определенные причины, которые искажают измерение всегда в одном направлении и часто на постоянную величину. Они возникают за счет неисправности или плохой регулировки приборов, за счет ошибок в эталонах, из-за плохого выполнения технологии и т. д. Во многих случаях можно найти причины таких ошибок и устранить их.

Случайные ошибки неопределенны, и причина их неизвестна. Свое незнание причины ошибок мы обычно маскируем, говоря, что их порождает случай. А это просто означает, что их можно приписать большому количеству причин, действующих в любом направлении и создающих каждая свою погрешность. Такие случайные ошибки можно учитывать статистическими методами.

Существует еще одна категория ошибок, о которой будет кратко сказано в п. 9.1.27; это категория отдельных промахов, происходящих по однократной вине экспериментатора, например, если он по рассеянности один раз неправильно считает показания со шкалы измерительного прибора. В этом случае мы имеем дело с анормальным результатом измерения. Существует простое правилу, позволяющее исключить из таблицы результатов измерений ошибки этой категории.

Мы займемся в основном категорией случайных ошибок. Допустим, что имеется несколько в одинаковой степени надежных измерений физической величины, истинное значение которой равно Ошибки, соответствующие измерениям будут равны

Это чисто случайные ошибки.

Мы не знаем точного значения величины X и не можем определить ее на опыте, так как всякое измерение, сделанное для ее определения, искажается ошибкой. Обозначим через X наиболее вероятное значение величины

Рассмотрим величины

Величины называются отклонениями. Так как речь здесь идет только о случайных ошибках, то величины х и у могут быть а положительными, и отрицательными, а малые значения будут встречаться чаще, чем большие. Примем допущение, что эти величины, следуют нормальному закону распределения

Положим

как известно, называется мерой точности. При этом примет вид

где относительное число ошибок, равных х.

Вычертим кривые Гаусса при двух различных значениях мерь; точности Легко заметить, что чем больше тем кривые острее, тем круче их склоны. Это означает, что чем больше параметр тем реже встречаются большие ошибки. Поэтому величину и называют мерой точности.

Вероятность того, что ошибка будет заключаться между равна

Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с

Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с вероятностью 0,8 они не превосходят по абсолютной величине 12 мм. Найти среднюю квадратическую ошибку.

Используем нормальный закон и следующую формулу, таблицу значений функции Лапласа Ф(х):
px-a<δ=2Фδσ;
0.8=2Ф12σ;1.62=12σ;σ=7.407 мм.
Ответ: 7,407 мм.

Измерительный прибор работает без систематических ошибок (работа измерительного прибора без систематических ошибок означает, что
Измерить и записать результат измерения активной мощности Р = U·I·cosφ, рассеиваемой на нагрузке Zнагр.;
—
Измеряется мощность трехфазного тока двумя ваттметрами. Какова наибольшая погрешность измерения, если стрелка первого ваттметра
Измеряется напряжение в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов с параметрами: длительность импульсов τ, период
Измеряется напряжение переменного тока.
Дано.
Цифровой вольтметр:
— предел измерения Uк = 200 B;
— измеренное
Измеряется размер некоторой детали, затем из генеральной совокупности берется выборка объемом n=8. Зная, что
Измеряется электрическое сопротивление постоянному току (рисунок).
Получено:
UV =(5,00±0,50) мВ; Р=1
IA=(2,60±0,25) мА; Р=1
RV=
Записать результат измерения сопротивления
Измерительный канал включает в себя термометр сопротивления типа 150М и вторичный прибор со шкалой
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы расситан на ток и Iии напряжение Uи и имеет
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=15 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=25 мA и напряжение Uи=100 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=25 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный механизм (ИМ) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток Iи=7,5 мA и напряжение Uи=75 мB
Измерительный прибор (ИП) магнитоэлектрической системы рассчитан на ток IП и напряжение UП и имеет

Помогаю со студенческими работами здесь

Найти среднее квадратическое отклонение живого веса скота
Добрый день!

Помогите, пожалуйста, решить задачи

1) С вероятностью 0,9973 было установлено…

5.18. Запрещено размещать задания и…

Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2266 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Ребята, помогите срочно решить задачу по теор веру…
Итоговая работа на сессии

« Последнее редактирование: 20 Января 2012, 10:36:38 от Asix »

Х	1		2				3	4	5
Р(х)	0,1		Р2				0,25	0,2	0,3
Найти	Р2 , функцию	распределения F(x).	Построить	график
F(x). Найти М(Х),D(X), (X).
3. Случайная величина X задана функцией распределения
			0,		x 1;
				1			1

		F(x)			x	, 1 x 3;
		4		4

			1,		x 3.

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале ( 1,1).

4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :

0,	x 1;
		1 x 2;
f (x) ax,
	0,	x 2.

Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-

		1
ние случайной величины X; 4)P	0 X		.
2

5.Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа выпадений шестерки при трех бросаниях игральной кости.

6.Интервал движения теплоходов «Москва» на р.Иртыш состав-

ляет

3 ч. Дачники подходят к пристани в некоторый момент времени, не зная расписания. Какова вероятность того, что они опоздали на очередной теплоход не более чем на 15 мин.

7.Исследуется район массовой гибели судов в войне 1939–1945 гг. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t

119

задается формулой P(t) 1 e 0,04t . Пусть случайная величина Т – время, необходимое для обнаружения очередного судна (в часах). Найти среднее значение Т.

8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .

а=8; =4; =15; =14; =6.

9.Ошибка X измерительного прибора распределена нормально. Систематической ошибки прибор не имеет. Каким должно быть среднеквадратическое отклонение x , чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, ошибка измерения не превышала 20 мкм по модулю?

10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, три шара с номером 2 и два шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.

Вариант №5

1.Три орудия производят выстрел по цели. Вероятности попадания в цель для первого орудия – 0,6; для второго – 0,7; для третьего –0,5. Случайная величина Х – суммарное число попаданий в цель. Найти ряд распределения случайной величины.

2. Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей

Х	0,1		0,2	0,3	0,4	0,5
Р(х)	0,2		Р2	0,1	0,1	0,3
Найти	Р2 , функцию	распределения	F(x). Построить	график

F(x). Найти М(Х),D(X), (X).

120

3. Случайная величина X задана функцией распределения:

0,	x 1;
	1	1

F(x)		x	,	1 x 5;

	4	4
1,	x 5.

4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :

f (x)	a	,	x R.

1 x2

Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 4)P 0 X 1.

5.В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из неё пять раз подряд извлекают шар, причём каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х – число извлечённых белых шаров, определить M(Х) и D(Х).

6.Интервал движения дизель-поездов через с. Новая Ляля на Урале составляет 6 ч. Туристы подходят к вокзалу в некоторый момент времени. Какова вероятность того, что поезд ушел 20 мин назад? Какова вероятность того, что до отхода следующего «дизеля» осталось не менее 3,5 ч.

7.Вероятность выхода из строя трансформатора за время эксплуатации t задается формулой: P(t) 1 e 0,002t . Случайная величина Т– время безотказной работы трасформатора. Найти математическое ожидание и дисперсию Т, если величина Т измеряется в часах.

121

клонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .

а=8; =3; =9; =18; =6.

9.Рост взрослой женщины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a=164 см, =5,5 см. Записать функцию плотности вероятности; найти вероятность того, что 3 наугад выбранные женщины имеют рост ниже, чем 160 см.

10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и 3 шара с номером 3; во втором ящике один шар с номером 1, два шара с номером 2 и три шара с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.

Вариант №6

1. Случайная величина Х принимает значение, равное числу дам, которые появляются, если из колоды в 36 карт произвольно вытаскиваются 4 карты. Построить ряд распределения случайной величины.

2. Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей

–0,5

–0,4

–0,3

–0,2

–0,1

Р(х)

0,2

Р2

0,1

0,3

Найти

Р2 , функцию

распределения F(x).

Построить

график

F(x). Найти М(Х),D(X), (X).

3. Случайная величина X задана функцией распределения

x 1;

F(x)

1 x 4;

x 4.

122

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения;в) вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0, 2).

4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :

0, x 1;

		1 x 2;
f (x) a 2x 1 ,
	0,	x 2.

Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

		1
случайной величины X; 4)P	0 X		.
2

5.Стрелок производит по мишени 23 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Найти M(Х) и

D(Х).

6.Интервал движения трамвая равен 5 мин. Пассажир подходит к остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность того, что он подошел не ранее чем через минуту после ухода предыдущего тамвая, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего?

7.Непрерывная случайная величина Х распределена по

показательному	закону	с	плотностью	вероятности
0 при x 0;
f (x)	Найти вероятность события Х (0,2;0,5) .
4e 4x при x 0.
8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое
отклонение	нормально распределенной случайной величины Х.

Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .

а=12; =5; =17; =22; =15.

9.Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение X её контролируемого размера от номинала не превышает по модулю 5мм. Предполагается, что случайная величина X распреде-

123

лена нормально с параметрами а 0 и 3 мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике два шара с номером 1, один шар с номером 2 и три шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.

Вариант №7

1.Четыре стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6; для второго – 0,5; для третьего – 0,7; для четвертого – 0,8. Случайная величина Х принимает значение: 0– если все стрелки промахнулись, – если попал один стрелок, 2 – в остальных случаях. Найти ряд распределения случайной величины.

2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей

Х	0,1		0,2	0,3	0,4	0,5
Р(х)	0,3		Р2	0,25	0,15	0,1
Найти	Р2 , функцию	распределения	F(x). Построить	график

F(x). Найти М(Х),D(X), (X).

3. Случайная величина X задана функцией распределения

0, x 0;

F(x) x, 0 x 5;

1, x 5.

Найти: а) плотность распределения случайной величины; б) построить графики функций плотности и распределения; в) вероятность

124

того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0,3).

4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :

0, x 0;

					1

f (x) a 8x	2 4x ,	0 x		;
3
		1

0,	x		.

		3

		1
ние случайной величины X; 4)P	0 X		.
2

5.Случайная величина X имеет биноминальный закон распределения с числовыми характеристиками М(Х) 6; D(Х) 24. Определить вероятность попадания случайной величины X на отрезок

3,5;5,5 .

6 Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины, вероятность того, что ошибка округления больше 0,5.

7.Вероятность выхода из строя гидромуфты валопровода тепловоза за время эксплуатации t задается формулой P(t) 1 e 0,05t . Случайная величина Т – время работы гидромуфты до выхода из строя (в месяцах). Найти среднее время безотказной работы гидромуфты.

а=11; =3; =17; =26; =12.

125

9.Каким должно быть среднее квадратическое отклонение , чтобы толщина X металлическое листа, выпускаемого заводом, отличалась от номинала 2мм не более, чем на 5% номинала, с вероятностью, не меньшей 0,99? Предполагается, что случайная величина X распределена нормально.

10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, четыре шара с номером 2 и один шар с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.

Вариант №8

1.Случайная величина Х принимает значения, равные числу окрашенных деталей среди 3 отобранных, если в ящике 10 деталей и 6 среди них окрашены. Найти ряд распределения случайной величины.

2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей

Х	1		2					3	4	5
Р(х)	0,2		Р2					0,25	0,1	0,3
Найти	Р2 , функцию	распределения F(x).	Построить	график
F(x). Найти М(Х),D(X), (X).
3. Случайная величина X задана функцией распределения
			0,		x 2;
				1		1

	F(x)			x		,	2 x 2;
	4
					2
			1,	x 2.

126

того, что в результате испытания величина примет значение, заключённое в интервале (0, 1) .

4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :

	0,	x 0;



f (x) a sinx,	0 x			;

			2


	0,	x .
		2

Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения F x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 4)P 0 X .

5.Известно, что в партии деталей имеется 10% бракованных. Найти закон распределения случайной величины X – числа годных деталей из пяти, выбранных наудачу. Определить числовые характеристики M(Х) и D(Х).

6.Минутная стрелка электрических часов на вокзале перемещается скачкообразно в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы показывают время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

7.Время безотказной работы телевизора распределено по показательному закону с плотностью f (t) 0,002e 0,002t . Найти вероятность того, что телевизор проработает безотказно не менее 1000 ч.

а=10; =8; =14; =18; =2.

9.Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 2 и средним квадратическим отклонением 3. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 случайная величина примет значение в результате испытания.

127

10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике один шар с номером 1, один шар с номером 2 и четыре шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин (X,Y). Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.

Вариант №9

1. Стрелок попадает в “яблочко” при одном выстреле с вероятностью 1/4 независимо от предыдущих выстрелов. Стрелок сделал 5 выстрелов. Найти ряд распределения случайной величины.

2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей

Х	0,2		0,4						0,7		0,8		1
Р(х)	Р1		0,15					0,25		0,2		0,3
Найти	Р1 , функцию	распределения F(x).	Построить	график
F(x). Найти М(Х),D(X), (X).
3. Случайная величина X задана функцией распределения
			0,		x 1;
				1
			1
		F(x)			x	,	1 x 2;

			3	3
			1,		x 2.

4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X :

128

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Тема: Задача по теор веру, определить СКО (Прочитано 2297 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Ребята, помогите срочно решить задачу по теор веру…
Итоговая работа на сессии

« Последнее редактирование: 20 Января 2012, 10:36:38 от Asix »

Источник

Обратно, если задана функция распределения непрерывной случайной величины, то (см. теорему об интеграле с переменным верхним пределом) плотность распределения этой случайной величины будет определяться равенством

Таким образом, имеется два равноправных способа задания непрерывной случайной величины: с помощью или плотности распределения, или функции распределения.

Пример. Пусть плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти функцию распределения.

Решение. Пусть . Тогда

Если , то

Таким образом, окончательно, искомая функция распределения имеет вид

(см. рис. 6).

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Ф ормулы для вычисления математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины аналогичны соответствующим формулам для дискретной случайной величины (см. § 3.3). Действительно, рассмотрим следующую таблицу.

	Дискретная случайная величина	Непрерывная случайная величина
Способ описания	Закон распределения	Плотность распределения

Таким образом, переходя при записи этих формул от дискретной к непрерывной случайной величине, суммирование заменяется интегрированием по всей числовой оси, а вместо вероятности используется плотность распределения .

Пример. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Для нахождения и нам потребуется плотность распределения данной случайной величины (см. приведенные выше формулы). Получаем:

или

Тогда имеем

Геометрически, полученное значение математического ожидания есть абсцисса центра тяжести фигуры под графиком плотности распределения, т.е. абсцисса прямоугольного треугольника ОАВ (см. рис. 7; напомним, что центр тяжести треугольника есть точка пересечения медиан этого треугольника, а медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины).

Завершая решение, найдем дисперсию рассматриваемой случайной величины.

Нормальный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и , если ее плотность распределения имеет вид

Параметры а и  нормального закона тесно связаны с параметрами распределения рассматриваемой случайной величины. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и . Тогда

Отметим, что график – результат деформации Гауссовой кривой (см. § 2.3). Рассмотрим, как изменяется этот график при изменении параметров а и нормального закона.

На рис. 8 изображены графики при одинаковом значении параметра : изменение параметра а нормального закона приводит к параллельному переносу графика плотности распределения вдоль оси абсцисс.

На рис. 9 изображены графики при одинаковом значении параметра а : изменение параметра нормального закона приводит к “растяжению” графика вдоль оси ординат при сохранении площади под кривой равной 1 (заметим, что на рис. 9 ).

Теорема. Пусть случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и . Тогда справедливы формулы:

(1)

(2)

где – функция Лапласа, – функция распределения случайной величины Х.

Заметим, что график функции распределения нормально распределенной случайной величины получается в результате деформации из графика функции Лапласа (см. рис. 10 и 2).

П ример. Случайная величина Х – ошибка измерительного прибора распределена по нормальному закону с дисперсией равной 16 мк².

Систематическая ошибка отсутствует. Найти вероятность того, что при одном измерении ошибка:

а) превзойдет по модулю 6 мк;

б) окажется в промежутке от 0,5 до 3,5 мк.

Решение. а) Отсутствие систематической ошибки означает, что значения случайной величины Х группируются около нуля, поэтому (см. § 3.3). Искомой является вероятность . Воспользуемся переходом к противоположному событию: . Так как ,

то , т.е. последняя вероятность точно того вида, что может быть вычислена по формуле (2). Используя формулу (2) при , , получаем

Окончательно имеем

б) Искомая вероятность вычисляется по формуле (1) при :

Упражнение. Пусть случайная величина Х нормально распределена с параметрами а и  . Проверить, что Дать геометрическую интерпретацию этому результату.

Домашнее задание. 3.62, 3.63, 3.65, 3.66.

4.3. Центральная предельная теорема

и теоремы Муавра-Лапласа как следствия из нее

Центральная предельная теорема. Пусть случайные величины – независимы и одинаково распределены. Тогда закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному при неограниченном увеличении числа n эти х случайных величин.

Отметим, что центральная предельная теорема является частным случаем более общего утверждения – теоремы Ляпунова (подробнее см. учебник Н.Ш. Кремера).

Следствие. Биномиальный закон распределения неограниченно приближается к нормальному при неограниченном увеличении параметра n этого закона.

Доказательство. Пусть случайная величина Х – биномиально распределена с параметрами n и p . Рассмотрим сначала тот конкретный пример, когда Х – число наступлений некоторого события А в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых это событие наступает с вероятностью p. Введем в рассмотрение случайные величины такие, что – число наступлений события А в i –ом испытании, где Случайная величина принимает значение 1, если в i –ом испытании событие А наступило и значение 0 – в противном случае. Сумма случайных величин принимает значение m тогда и только тогда, когда число Х наступлений события А в n испытаниях равно m., т.е.

Тогда по центральной предельной теореме для случайной величины Х получаем требуемое утверждение. Аналогично данное Следствие доказывается и в общем случае.

Данное Следствие при работе с биномиально распределенными случайными величинами (при достаточно больших n ) позволяет использовать формулы, известные для нормально распределенных случайных величин. Именно это и происходит при применении теорем Муавра-Лапласа. Так, заменяя в формуле (1) из § 4.2 а и математическим ожиданием и средне квадратическим отклонением биномиально распределенной случайной величины ( см. § 3.3), обозначая также , приходим к интегральной теореме Муавра-Лапласа.

Геометрически приближение биномиального распределения к нормальному означает, что с ростом n точки плоскости с координатами неограниченно приближаются к кривой плотности нормального закона (здесь m – неотрицательное целое, не превосходящее n, значение вычисляется по формуле Бернулли; см. рис. 11).

Т огда справедливо приближенное равенство

где , которое, записанное явно, и есть локальная теорема Муавра-Лапласа.

Тема 5. Двумерные случайные величины

5.1. Совместные распределения и их параметры

Определение. Вектор , компоненты Х и Y которого являются случайными величинами, называется случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Пример. Пусть Х – рост человека, Y – вес человека. Тогда – (непрерывная) двумерная случайная величина.

Пример. Пусть Х и Y – числа попаданий в мишень первого и второго стрелков (соответственно). Тогда – (дискретная) двумерная случайная величина.

Сравнивая между собой одномерную (см. выше темы 3, 4) и двумерную случайные величины, заметим, что, если результат измерения первой – точка на прямой, то результат измерения второй – точка плоскости.

Определение. Закон распределения одной из переменных при фиксированном значении другой называется условным распределением.

Определение. Связь между переменными называется статистической, если каждому значению одной переменной ставится в соответствие условное распределение другой переменной.

Отметим, что задание двумерной случайной величины равносильно заданию статистической связи между переменными.

Рассмотрим сначала двумерную дискретную случайную величину.

Источник

Насчет второго замецания: я непонял… нет, у меня Р(отказ B)=Р(отказ В1+ отказ В2)
Trotill пытался Вам сказать, что события B1 и B2 совместны, и вероятность их объединения поэтому не равна сумме их вероятностей.

По 4-й задаче: во-первых, Вы искали вероятность иметь ровно одно бракованное изделие на 500 штук. А нужно не более одного. Во-вторых, если требуется найти вероятность, то локальную теорему Муавра — Лапласа при p=0,001 использовать ну никак нельзя! Погрешность такого приближения безумно велика. Найдите вероятность по формуле Бернулли, а вычисления можно поручить Excel. В п.4.2 величина np совсем равна 1/2, а не единице.

В пятой задаче: чем она вобще отличается от 4.2?

6-я: ищите в Гмурмане свойства нормального распределения, как вычислять вероятности для нормально распределенной случайной величины.

Источник

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Условие

Решение

Ошибки измерений и способ наименьших квадратов

9.1.21. Ошибки измерений и нормальный закон распределения.

Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки распределены по нормальному закону, и с

Нормальный закон распределения

4.3. Центральная предельная теорема

и теоремы Муавра-Лапласа как следствия из нее

Тема 5. Двумерные случайные величины

5.1. Совместные распределения и их параметры