Ошибка частного коэффициента корреляции

Частные коэффициенты регрессии

Ошибки относительно линейной регрессии

Соотношения между дисперсиями, регрессиями и корреляциями различных порядков

Приближенные частные линейные регрессии

Частные коэффициенты регрессии

8. Обобщим теперь соотношения линейной регрессии на случай p величин. Для p совместно нормальных величин x_i с нулевым средним и дисперсиями  математическое ожидание величины x₁ при условии, что x₂, …, x_p фиксированы, как видно из выражения в экспоненте распределения, равно

.     (17)

Коэффициент регрессии x₁ по x_j при фиксированных остальных p-2 величинах будем обозначать  или, короче , где q символизирует совокупность величин, отличных от указанных первичными индексами, а индекс у q служит для различения этих совокупностей. Коэффициенты  называются частными коэффициентами регрессии.

Следовательно, мы имеем

.     (18)

Сравнивая (18) с (17), получаем для многомерного нормального случая

.     (19)

Аналогично, коэффициент регрессии x_j по x₁ при фиксированных остальных переменных есть

.     (20)

Таким образом, поскольку C_1j=C_j1, то из (6), (19) и (20) получаем

      (21)

— очевидное обобщение соотношения (17). Соотношения (19) и (20) показывают, что коэффициент не симметричен относительно x₁ и x_j, как и следовало ожидать от коэ ффициента зависимости. Подобно(5) и (6), (19) и (20) являются определениями частных коэффициентов регрессии в общем случае.

Ошибки относительно линейной регрессии

9. Назовем ошибкой (эту величину часто называют «остатком» (residual) но мы будем проводить различие между ошибками (errors) относительно линейных регрессий в генеральной совокупности и остатками, возникающими при подгонке регрессий к выборочным данным) порядка (p-1) величину

.

Ее среднее равно нулю, а дисперсия равна

.

так что  является дисперсией ошибки величины x₁ относительно регрессии. Из (18) немедленно получаем

      (22)

.     (23)

Если брать математическое ожидание в два этапа, фиксируя вначале x₂, …, x_p, то условное математическое ожидание от второго члена в (23) будет равно, согласно (18), нулю. Таким образом,

.     (24)

Дисперсия ошибки (24) не зависит от фиксируемых значений x₃, …, x_p, если только от них не зависят коэффициенты .

В этом случае условное распределение величины x₁ называется гомоскедастическим (homoscedastic) (или гетероскедастическим (heteroscedastic) в противном случае). Это постоянство дисперсии ошибок делает интерпретацию регрессий и корреляций более простой.

Например, в нормальном случае условные дисперсии и ковариации, полученные при фиксировании множества величин, не зависят от значений, в которых последние фиксированы (см. (14)).

В других случаях при интерпретациях мы должны надлежащим образом учитывать обнаруженную гетероскедастичность, тогда, возможно, частные коэффициенты регрессии лучше всего рассматривать как показатели зависимости, усредненные по всевозможным значениям фиксированных величин.

Соотношения между дисперсиями, регрессиями и корреляциями различных порядков

Если даны p величин, то мы можем изучать корреляцию между любыми двумя из них, когда среди оставшихся зафиксированы значения произвольного подмножества величин. Аналогично, можно интересоваться регрессией произвольной величины относительно любого подмножества из оставшихся величин. С возрастанием p число всевозможных коэффициентов становится очень большим.

Если некоторый коэффициент содержит k вторичных индексов, то говорят, что он имеет порядок k. Так, порядок p_12.34 равен 2, порядок p^12.3 — единице, порядок p₁₂ — нулю, тогда как β_12.678 имеет порядок 3, а  — порядок 4. В наших нынешних обозначениях коэффициенты линейной регрессии β₁ и β₂ должны быть записаны в виде β₁₂ и β₂₁ соответственно. Они имеют порядок нуль, как и обычная дисперсия σ².

В 4 и 7 мы уже видели, как любой коэффициент корреляции первого порядка может быть выражен через коэффициенты нулевого порядка. Теперь будут получены более общие результаты такого сорта для коэффициентов всех типов.

11. Из (24) и (19) имеем

      (25)

откуда

.

Пользуясь символом q, введенным в 8, получаем

,     (26)

и аналогично, если 1 заменить любым другим индексом.

Точно таким же путем можно получить более общий результат

,     (27)

который сводится к (26) при l=m. Соотношение (27) применимо в случае, когда вторичные индексы одной величины включают в себя первичные индексы другой.

Если, с другой стороны, оба множества вторичных индексов не содержат l и m, то обозначим через r общее множество вторичных индексов. Ковариация двух ошибок x_l.r, x_m.r связана с их корреляцией и дисперсиями соотношениями:

      (28)

что согласуется с уже найденным соотношением (21). Присоединяя множество индексов r к обеим величинам x_l, x_m, мы попросту должны сделать то же самое со всеми их коэффициентами.

12. Теперь можно использовать (26) для получения соотношения между дисперсиями ошибок различных порядков. Обозначая |D| корреляционный определитель всех величин, кроме x₂. Тогда, имеем из (26)

(где индекс q-2 обозначает множество q без x₂) и

,

откуда

.     (29)

По определению |D|=C₂₂, а согласно обобщенной теореме Якоби об определителях

,     (30)

так как D₁₁ является дополнительным минором для  в C. Таким образом, используя (30), получаем из (29)

     (31)

или, учитывая (6), находим

.     (32)

Соотношение (32) является обобщением двумерного результата, который может быть представлен в виде

.

13. Соотношение (32) дает нам возможность выразить дисперсию ошибки порядка (p-1) через дисперсию ошибки и коэффициент корреляции порядка (p-2). Если мы теперь вновь воспользуемся (32) для того, чтобы выразить , то тем же путем найдем, что

.

Применяя последовательно (32) и записывая более полно индексы, получаем

.     (33)

В (33), очевидно, не играет роли порядок вторичных индексов у σ_1.23…p; мы их можем переставить так, как пожелаем. Например, для простоты в силу (26) можно написать

.     (34)

В (34) индексы, отличные от 1, допускают перестановку. Соотношение (34) позволяет нам выразить дисперсию ошибки порядка s через дисперсию ошибки нулевого порядка и s коэффициентов корреляции, порядок которых принимает значения от нуля до (s-1).

14. Перейдем теперь к коэффициентам регрессии. Перепишем (15) для ковариации между x₁ и x₂ при фиксированном x_p:

.

Присоединяя повсюду индексы 3, …, (p-1), имеем

.     (35)

Используя определение (28) коэффициента регрессии как отношения ковариации к дисперсии, т.е.

,

и обозначим через r множество 3, …, (p-1), находим из (35)

,

или

.     (36)

Если в (36) положить x₁≡x₂, то получим

,     (37)

другую форму соотношения (32). Таким образом, из (36) и (37) имеем

.     (38)

Это и есть требуемая формула для выражения коэффициента регрессии через некоторые коэффициенты следующего более низкого порядка. Повторно применяя (38), найдем представление любого коэффициента регрессии в терминах коэффициентов нулевого порядка.

Наконец, используя (21), из (38) получаем соотношение

,     (39)

обобщающее (5) путем присоединения множества индексов r.

Приближенные частные линейные регрессии

15. В нашем изложении, начиная с 8, мы занимались точно линейными регрессионными зависимостями типа (18). Рассмотрим теперь вопрос подгонки регрессионных соотношений этого типа к наблюденным совокупностям, регрессии которых почти никогда не бывают точно линейными.

С помощью тех же рассуждений мы приходим к методу наименьших квадратов. Мы выбираем поэтому  так, чтобы минимизировать сумму квадратов уклонений n наблюдений от подгоняемой регрессии:

,     (40)

где «иксы» измеряются от своих средних значений и предполагается n>p. Решение имеет вид

,     (41)

где матрица X составлена из наблюдений над p-1 величинами x₂, …, x_p, а x₁ — вектор наблюдений величины x₁. Соотношение (41) можно переписать в виде

,     (42)

где V_p-1 — матрица рассеяния для x₂, …, x_p, а M — вектор ковариаций между x₁ и x_j (j=2, …, p). Таким образом,

.     (43)

Поскольку |V_p-1| есть минор V₁₁ матрицы рассеяния V всех p величин, то (V_p-1)_jl представляет собой дополнительный минор для

в V, так что сумма в правой части (43) является алгебраическим дополнением для (-σ_1j) в V. Поэтому (43) представляется в виде

.     (44)

Соотношение (44) совпадает с (19). Таким образом, мы приходим к заключению, что аппроксимация по методу наименьших квадратов дает те же коэффициенты регрессии, что и в случае точной линейной регрессии.

Из этого следует, что все результаты данной главы остаются в силе, когда для наблюденных совокупностей мы подгоняем регрессии по методу наименьших квадратов.

Связанные определения:
Выборочный коэффициент корреляции
Корреляционный анализ
Корреляция
Коэффициент корреляции
Линейная регрессия
Логистическая регрессия
Матрица плана
Метод наименьших квадратов
Независимый признак
Некоррелированный
Общая линейная модель
Регрессия

В начало

Содержание портала

1. Расчёт частных коэффициентов корреляции. Сравнение частных и парных коэффициентов корреляции

Частные коэффициенты
корреляции характеризуют взаимосвязь
между двумя выбранными переменными при
исключении влияния остальных показателей
(т.е. характеризуют «чистую» связь только
между этими признаками) и важны для
понимания взаимодействия всего комплекса
показателей, т.к. позволяют определить
механизмы усиления-ослабления влияния
переменных друг на друга.

Частный коэффициент
(k-2)-го
порядка между переменными, например,
между Y
и X₁,
равен:

,

где R_ij
– алгебраическое дополнение элемента
r_ij
корреляционной матрицы R
, равное R_ij
=(-1)^i+j
· M_ij

M_ij
– минор элемента r_ij
корреляционной матрицы R,
т.е. определитель матрицы на 1 меньшего
порядка, полученной из R
путём вычёркивания i-й
строки и j-го
столбца.

Например,
алгебраическое дополнение
R₁₂
рассчитывается следующим образом:

Аналогично

;

.

Таким образом, для
расчёта частных коэффициентов корреляции
нужно сформировать в Excel
соответствующие матрицы размерности
(k-1)×(k-1)
(в нашем случае 4×4).

Чтобы найти
определители этих матриц, воспользуемся
встроенной функцией Excel:

ВСТАВКА (Office
2003) или
ФОРМУЛЫ (Office
2007)

f(x)
Функция

Математические

МОПРЕД ,

указав в качестве
массива соответствующую матрицу
переменных.

Воспользовавшись
этой функцией, получаем:

R₁₂=(-1)¹⁺²·M₁₂=
-(-0,2562274);

R₁₁=(-1)¹⁺¹·M₁₁=
0,5316755;

R₂₂=(-1)²⁺²·M₂₂=
0,3679652.

Аналогично
проводятся расчёты для всех остальных
частных коэффициентов корреляции.

R₁₃=(-1)¹⁺³·M₁₃=
-0,2629254;

R₁₄=(-1)¹⁺⁴·M₁₄=
-(-0,0416817);

R₁₅=(-1)¹⁺⁵·M₁₅=
0,1784797;

R₂₃=(-1)²⁺³·M₂₃=
— 0,1469039;

R₂₄=(-1)²⁺⁴·M₂₄=
0,0640974;

R₂₅=(-1)²⁺⁵·M₂₅=
— (-0,0780138);

R₃₄=(-1)³⁺⁴·M₃₄=
— (-0,2423004);

R₃₅=(-1)³⁺⁵·M₃₅=
-0,0647635;

R₄₅=(-1)⁴⁺⁵·M₄₅=
— (-0,0212902);

R₃₃=(-1)³⁺³·M₃₃=
0,5384722;

R₄₄=(-1)⁴⁺⁴·M₄₄=
0,4160485;

R₅₅=(-1)⁵⁺⁵·M₅₅=
0,2916582;

Выборочные
частные коэффициенты корреляции:

;

;

;

и
т.д.

Таким образом,
получаем матрицу следующего вида.

Таблица 5

Матрица выборочных
частных коэффициентов корреляции
исследуемых экономических показателей

Теперь необходимо
проверить значимость полученных частных
коэффициентов корреляции, т.е. гипотезу
H₀:
ρ_ij/{..}
= 0.

Для этого рассчитаем
наблюдаемые значения t-статистик
для всех коэффициентов по формуле:

гдеl
– порядок частного коэффициента
корреляции, совпадающий с количеством
фиксируемых переменных случайных
величин (в нашем случае l=3,
например),
а n
– количество наблюдений.

l

Построим матрицу
наблюдаемыx
значений t-статистик
для всех коэффициентов r_ij/{..}
(таб.6).

Таблица 6

Матрица наблюдаемыx
значений t-статистик
частных
коэффициентов корреляции исследуемых
экономических показателей

Наблюдаемые значения
t-статистик
необходимо сравнить с критическим
значением t_кр,
найденным для уровня значимости α=0,05
и числа степеней свободы ν=n
– l
— 2.

Для этого используем
встроенную статистическую функцию
Excel СТЬЮДРАСПОБР,
введя в
предложенное меню вероятность α=0,05 и
число степеней свободы ν=n–l–2=30-3-2=25.
(Можно найти значения t_кр
по таблицам математической статистики
(см. Приложение, таб. П.2.2)).

Получаем
t_кр=2,05953854.

По результатам,
представленным в таблице 6, наблюдаемое
значение t-статистики больше критического
t_кр=2,05953854
по модулю для частных коэффициентов
корреляции

Следовательно,
гипотеза о равенстве нулю этих
коэффициентов отвергается с вероятностью
ошибки, равной 0,05, т.е. соответствующие
коэффициенты значимы.

Для остальных
коэффициентов наблюдаемое значение
t-статистики
меньше критического значения по модулю,
следовательно, гипотеза H₀
не отвергается, т.е.
—
незначимы.

Для проверки
значимости частных коэффициентов
корреляции можно также воспользоваться
таблицами Фишера-Иейтса (см. Приложение,
таб. П.2.4) для нахождения критического
значения r_кр
с учётом уровня значимости α=0,05
и числа степеней свободы ν=n-l-2=30-3-2=25.
По таб. r_кр
(α=0,05; ν=25)=0,381.
Если соответствующий коэффициент |r|>
r_кр,
то он считается значимым.

Отметим в матрице
частных коэффициентов корреляции
значимые.

Таблица 7

Матрица частных
коэффициентов корреляции исследуемых
показателей с выделением значимых
коэффициентов (при α=0,05)

Для значимых
частных коэффициентов корреляции можно
построить с заданной надёжностью γ
интервальную оценку ρ_min
≤ ρ
≤ ρ_max
с
помощью Z-преобразования
Фишера:

Алгоритм построения
интервальной оценки для частного
генерального коэффициента корреляции
такой же, как и для парного; единственное
отличие заключается в расчёте ΔZ
:

,

где l
– порядок частного коэффициента
корреляции, совпадающий с количеством
фиксируемых переменных случайных
величин (в нашем случае l=3),
а n
– количество наблюдений.

Построим с
надёжностью
γ=0,95
и с учётом найденного
доверительные интервалы для всех
значимых частных коэффициентов
корреляции, полученных нами. Расчёты
представим в виде таблицы 8.

Таблица 8

Расчёт доверительных
интервалов для частных генеральных
коэффициентов корреляции исследуемых
экономических показателей с надёжностью
γ=0,95

Таким образом,
доверительные интервалы с надёжностью
γ=0,95
для всех значимых частных генеральных
коэффициентов корреляции выглядят
следующим образом:

P(-0,78623≤
≤
-0,25553)=0,95

P(0,136951≤

≤ 0,734288)=0,95

P(-0,71082≤
≤
-0,08846)=0,95

P(-0,74668≤

≤ -0,16376)=0,95

Теперь построим
таблицу сравнения выборочных парных
и частных коэффициентов корреляции
для всех переменных.

Сравнение парных
и частных коэффициентов играет важную
роль в выявлении механизмов воздействия
переменных друг на друга.

Напомним, что
парный
коэффициент корреляции показывает
тесноту связи между двумя признаками
на фоне действия остальных переменных,
а частный
характеризует взаимосвязь этих двух
признаков при исключении влияния
остальных переменных, т.е. их «личную»
взаимосвязь.

Таким образом,
если оказывается, что парный коэффициент
корреляции между двумя переменными по
модулю больше
соответствующего частного, то остальные
переменные усиливают
связь между этими двумя признаками.
Соответственно, если парный коэффициент
корреляции между двумя переменными по
абсолютной величине меньше частного,
то остальные признаки ослабляют связь
между рассматриваемыми двумя.

Таблица 9

Таблица сравнения
выборочных оценок парных и частных
коэффициентов корреляции пар исследуемых
показателей с выделением значимых
коэффициентов (при α=0,05)

По полученным
данным можно сделать следующие выводы.

Значимые
корреляционные зависимости, полученные
на этапе расчёта парных коэффициентов
корреляции, подтвердились и при
вычислении частных коэффициентов
корреляции. При этом выявлены следующие
механизмы воздействия переменных друг
на друга:

1. Наиболее тесная
   связь наблюдается изучаемым признаком
   Y
   – рентабельностью и факторными
   признаками X₁
   – оборачиваемость ненормируемых
   средств и X₄
   – оборачиваемость нормируемых средств
   (обратные зависимости) и
   фондоотдачей
   X₂
   (прямая
   зависимость).

2. Воздействие
   других переменных (фондоотдачи X₂,
   фондовооруженности
   труда X₃
   и оборачиваемости нормируемых оборотных
   средств X₄)
   ослабляет отрицательную взаимосвязь
   между рентабельностью (Y)
   и оборачиваемостью ненормируемых
   оборотных средств (X₁),
   т.к. абсолютная величина частного
   коэффициент корреляции =— 0,579 превышает
   абсолютное значение парного коэффициента
   корреляции =— 0,373

3. Аналогичная
   ситуация наблюдается и для значимой
   обратной связи между рентабельностью
   (Y)
   и оборачиваемостью нормируемых
   оборотных средств (X₄)
   — при исключении воздействия других
   переменных абсолютная величина частного
   коэффициент корреляции превышает
   абсолютное значение парного коэффициента
   корреляции.

4. Влияние прочих
   переменных немного ослабляет и значимую
   положительную связь между рентабельностью
   (Y)
   и фондоотдачей (X₂).

5. Для связи между
   рентабельностью (Y)
   и фондовооруженностью труда (X₃)
   характерна обратная ситуация: воздействие
   других переменных значительно усиливает
   эту взаимосвязь (частный коэффициент
   корреляции по абсолютной величине
   меньше соответствующего парного
   коэффициента), хотя оба коэффициента
   корреляции являются незначимыми.

6. Наиболее
   сильная связь, выявленная на этапе
   расчёта парных коэффициентов корреляции,
   между
   факторными
   признаками фондоотдачей (X₂)
   и фондовооруженностью
   труда (X₃),
   является весьма сильной и значимой,
   хотя частный коэффициент по модулю
   несколько меньше парного. Таким образом,
   можно сделать вывод, что остальные
   переменные, включённые в корреляционную
   модель (Y
   – рентабельность, X₁
   – оборачиваемость ненормируемых
   средств и X₄
   – оборачиваемость нормируемых средств)
   усиливают взаимосвязь между указанными
   факторными признаками.

1. Расчёт
   множественных коэффициентов корреляции

Множественные
коэффициенты корреляции служат мерой
связи одной переменной с совместным
действием всех остальных показателей.

Вычислим точечные
оценки множественных коэффициентов
корреляции. Множественный коэффициент
корреляции, например, для 1-го показателя
Y
вычисляется по формуле:

где |R|
— определитель корреляционной матрицы
R;

R_ii
– алгебраическое дополнение элемента
r_ii
корреляционной
матрицы R.

Все алгебраические
дополнения R_ii
были найдены в п.2.2 на этапе расчёта
частных коэффициентов корреляции,
поэтому осталось вычислить только
определитель самой корреляционной
матрицы.

R₁₁=(-1)¹⁺¹·M₁₁=
0,5316755;

R₂₂=(-1)²⁺²·M₂₂=
0,3679652.

R₃₃=(-1)³⁺³·M₃₃=
0,5384722;

R₄₄=(-1)⁴⁺⁴·M₄₄=
0,4160485;

R₅₅=(-1)⁵⁺⁵·M₅₅=
0,2916582;

Чтобы найти
определитель корреляционной матрицы,
воспользуемся встроенной математической
функцией Excel
МОПРЕД.

Получим
|R|
= 0,230032.

Таким образом,
получаем:

;

Множественный
коэффициент детерминации R²_i/{..})
(и
его выборочная оценка r²_i/{..})
показывает долю дисперсии рассматриваемой
случайной величины, обусловленную
влиянием остальных переменных, включённых
в корреляционную модель.

Соответственно
(1- R²_i/{..})
показывает долю остаточной дисперсии
данной случайной величины, обусловленную
влиянием других, не включённых в
исследуемую модель факторов.

Множественные
коэффициенты детерминации получаются
возведением соответствующих множественных
коэффициентов корреляции в квадрат
(таб. 10).

Проверим значимость
полученных множественных коэффициентов
корреляции и детерминации.

Проверка значимости,
т.е. гипотезы о равенстве нулю
соответствующего множественного
коэффициента корреляции, осуществляется
с помощью статистики:

,

где l
– порядок множественного коэффициента
корреляции, совпадающий с количеством
фиксируемых переменных случайных
величин (в нашем случае l=4,
например,
),
аn
– количество наблюдений.

Произведя расчёты,
получим (таб.10).

Для определения
значимости множественных коэффициентов
корреляции и детерминации нужно найти
критическое значение F-распределения
для заданного уровня значимости α
и числа степеней свободы числителя
ν₁=l
и знаменателя ν₂=n—l-1.

Для определения
F_кр
можно
воспользоваться встроенной функцией
Excel:

ВСТАВКА (Office
2003) или
ФОРМУЛЫ (Office
2007)

f(x)
Функция

Статистические

FРАСПОБР,

введя в предложенное
меню вероятность α=0,05
и число степеней свободы ν₁=l=4
и ν₂=n—l—1=30-4-1=25.

Можно найти
значения F_кр
по таблицам математической статистики
(см. Приложение, таб. П.2.4).

Получаем F_кр(0,05;
4; 25)=2,75871047.

Таблица 10

Множественные
коэффициенты корреляции и детерминации
исследуемых показателей с выделением
значимых коэффициентов

(на уровне
значимости α=0,05)

Множественный коэффициент корреляции	Множественный коэффициент детерминации r2	Значение статистики F набл
rY /{..}	0,75322378	0,56734606	8,195736612
rX1/{..}	0,61225427	0,3748553	3,747694856
rX2/{..}	0,75684018	0,57280705	8,380375865
rX3/{..}	0,66865841	0,44710407	5,054112587
rX4/{..}	0,45967138	0,21129778	1,67441489

Если наблюдаемое
значение F-статистики
превосходит ее критическое значение
F_кр=2,75871047,
то гипотеза о равенстве нулю
соответствующего множественного
коэффициента корреляции отвергается
с вероятностью ошибки, равной 0,05.
Следовательно, у нас все коэффициенты,
кроме последнего, для переменной Х4,
значимо отличаются от нуля.

Полученные данные
позволяют сделать следующие выводы.

Множественный
коэффициент корреляции
=0,753
значим и имеет достаточно высокое
значение, что говорит о том, показательY
– рентабельность имеет тесную связь
с многомерным массивом факторных
признаков X₁
– оборачиваемость ненормируемых
средств, X₂
– фондоотдача,
X₃
—
фондовооруженность труда и X₄
– оборачиваемость нормируемых средств.
Это даёт основание для проведения
дальнейшего регрессионного анализа.

Множественный
коэффициент детерминации r²_Y/{..})=0,5673
показывает, что 56,73% доли дисперсии Y
– объёма промышленной продукции,
обусловлены изменениями факторных
признаков.

Факторные признаки
тоже имеют достаточно высокие значения
множественных коэффициентов корреляции
и детерминации, что говорит об их сильной
взаимосвязанности, за исключением
переменной X₄
– её множественный коэффициент не
значим, и это подтверждается тем фактом,
что только 21,13 % доли её дисперсии
обусловлены изменениями переменных,
включённых в рассматриваемую модель,
а, соответственно 78,87% дисперсии
обусловлены влиянием других, не
включённых в корреляционную модель
остаточных факторов.

Итак, полученные
результаты корреляционного анализа,
показавшие, что показатель Y
– рентабельность имеет тесную связь
с многомерным массивом факторных
признаков, позволяют перейти ко второму
этапу статистического исследования –
построению регрессионной модели.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

До этого момента мы рассматривали только отдельные переменные и их характерики, однако в практике мы редко работаем только с одной переменной. Как правило, у нас есть многомерное пространство признаков, и нас интересуют взаимосвязи между ними.

dehum <- readxl::read_xlsx('data/clean_dannye_norm.xlsx')
str(dehum)

## tibble [906 × 39] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
##  $ SEX            : num [1:906] 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ...
##  $ AGE            : chr [1:906] "32" "22" "21" "15" ...
##  $ MCA            : num [1:906] NA NA 1 NA NA NA NA NA NA 1 ...
##  $ MMA            : num [1:906] NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA ...
##  $ MCI            : num [1:906] NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA ...
##  $ MMI            : num [1:906] NA NA NA 1 NA NA NA NA NA NA ...
##  $ WCA            : num [1:906] NA NA NA NA 1 NA NA NA NA NA ...
##  $ WMA            : num [1:906] 1 NA NA NA NA 1 NA NA NA NA ...
##  $ WCI            : num [1:906] NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA ...
##  $ WMI            : num [1:906] NA NA NA NA NA NA 1 NA NA NA ...
##  $ MX             : num [1:906] NA NA NA NA NA NA NA 1 NA NA ...
##  $ WX             : num [1:906] NA 1 NA NA NA NA NA NA 1 NA ...
##  $ sex_k          : num [1:906] 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 ...
##  $ intention      : num [1:906] 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 ...
##  $ victim         : num [1:906] 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 ...
##  $ CG             : num [1:906] 0 2 0 0 0 0 0 1 2 0 ...
##  $ DP             : num [1:906] 2 1 5 3 1 1 3 1 1 2 ...
##  $ GRa            : num [1:906] 1 3 5 1 1 5 2 1 4 5 ...
##  $ GRb            : num [1:906] 1 3 5 2 1 4 1 1 3 6 ...
##  $ GRc            : num [1:906] 1 3 2 3 1 2 1 1 2 1 ...
##  $ GR_average     : num [1:906] 1 3 4 2 1 ...
##  $ ARa            : num [1:906] 1 2 3 1 2 4 4 1 2 3 ...
##  $ ARb            : num [1:906] 1 2 2 3 1 1 1 1 2 1 ...
##  $ ARc            : num [1:906] 1 2 1 4 1 1 1 1 2 1 ...
##  $ AR_average     : num [1:906] 1 2 2 2.67 1.33 ...
##  $ SRa            : num [1:906] 1 5 5 1 2 4 2 1 3 2 ...
##  $ SRb            : num [1:906] 1 4 4 1 2 5 1 1 3 3 ...
##  $ SRc            : num [1:906] 1 4 5 2 2 2 1 1 4 4 ...
##  $ SR_average     : num [1:906] 1 4.33 4.67 1.33 2 ...
##  $ DHa            : num [1:906] 3 1 5 3 1 5 1 1 3 2 ...
##  $ DHb            : num [1:906] 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 ...
##  $ DHc            : num [1:906] 1 1 5 4 1 2 3 1 4 2 ...
##  $ DHd            : num [1:906] 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ...
##  $ DHe            : num [1:906] 2 4 5 2 2 1 2 1 3 1 ...
##  $ DHf            : num [1:906] 1 1 1 2 1 1 3 1 3 1 ...
##  $ DHg            : num [1:906] 1 1 2 4 1 4 5 1 1 1 ...
##  $ DHh            : num [1:906] 1 4 7 5 4 4 6 1 4 5 ...
##  $ animal_average : num [1:906] 1.75 2.5 5.5 3.5 2 3 3 1 3.5 2.5 ...
##  $ machine_average: num [1:906] 1 1 1.5 2.5 1 2 2.5 1 1.75 1.5 ...

cov(dehum$GR_average, dehum$AR_average)

## [1] 1.567469

cor(dehum$GR_average, dehum$AR_average)

## [1] 0.7363325

## ── Attaching packages ─────────────────────────────────────── tidyverse 1.3.0 ──

## ✓ ggplot2 3.3.2     ✓ purrr   0.3.4
## ✓ tibble  3.0.4     ✓ dplyr   1.0.2
## ✓ tidyr   1.1.2     ✓ stringr 1.4.0
## ✓ readr   1.4.0     ✓ forcats 0.5.0

## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## x dplyr::filter() masks stats::filter()
## x dplyr::lag()    masks stats::lag()

dehum %>% ggplot(aes(GR_average, AR_average)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = 'lm') # мы заинтересованы в отображении линейного компонента связи

## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'

cor.test(dehum$GR_average, dehum$AR_average)

## 
##  Pearson's product-moment correlation
## 
## data:  dehum$GR_average and dehum$AR_average
## t = 32.72, df = 904, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.7050124 0.7647859
## sample estimates:
##       cor 
## 0.7363325

cor.test(dehum$DP, dehum$animal_average, method = 'kendall')

## 
##  Kendall's rank correlation tau
## 
## data:  dehum$DP and dehum$animal_average
## z = 9.5138, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true tau is not equal to 0
## sample estimates:
##     tau 
## 0.24636

dehum %>%
  select(GR_average, AR_average, SR_average) %>%
  cor()

##            GR_average AR_average SR_average
## GR_average  1.0000000  0.7363325   0.607245
## AR_average  0.7363325  1.0000000   0.630688
## SR_average  0.6072450  0.6306880   1.000000

dehum %>%
  select(GR_average, AR_average, SR_average) %>%
  cor() %>% 
  corrplot::corrplot()

dehum %>%
  select(GR_average, AR_average, SR_average) %>%
  cor() %>% 
  corrplot::corrplot.mixed()

cor_tests <- correlation::correlation(
  dehum %>%
    select(GR_average, AR_average, SR_average),
  method = "spearman", # указываем, какой коэффициент нам нужен
  adjust = "holm" # и какую поправку будем использовать
)
cor_tests

## # Correlation table (spearman-method)
## 
## Parameter1 | Parameter2 |  rho |       95% CI |        S |         p
## --------------------------------------------------------------------
## GR_average | AR_average | 0.71 | [0.67, 0.74] | 3.65e+07 | < .001***
## GR_average | SR_average | 0.60 | [0.55, 0.64] | 4.99e+07 | < .001***
## AR_average | SR_average | 0.67 | [0.63, 0.70] | 4.13e+07 | < .001***
## 
## p-value adjustment method: Holm (1979)
## Observations: 906

p_values <- corrplot::cor.mtest(dehum %>%
  select(GR_average, AR_average, SR_average), adjust = 'holm')$p

dehum %>%
  select(GR_average, AR_average, SR_average) %>%
  cor() %>% 
  corrplot::corrplot(type = 'upper',
                     p.mat = p_values,
                     sig.level = 0.05)

corrplot::corrplot(
  cor(mtcars),
  type = "upper",
  p.mat = corrplot::cor.mtest(mtcars)$p,
  sig.level = 0.01
)

ppcor::pcor(
  dehum %>% 
    select(GR_average, AR_average, SR_average)
)

## $estimate
##            GR_average AR_average SR_average
## GR_average  1.0000000  0.5730882  0.2720509
## AR_average  0.5730882  1.0000000  0.3414418
## SR_average  0.2720509  0.3414418  1.0000000
## 
## $p.value
##              GR_average   AR_average   SR_average
## GR_average 0.000000e+00 3.948903e-80 8.051918e-17
## AR_average 3.948903e-80 0.000000e+00 3.811050e-26
## SR_average 8.051918e-17 3.811050e-26 0.000000e+00
## 
## $statistic
##            GR_average AR_average SR_average
## GR_average   0.000000   21.01453   8.495546
## AR_average  21.014531    0.00000  10.916353
## SR_average   8.495546   10.91635   0.000000
## 
## $n
## [1] 906
## 
## $gp
## [1] 1
## 
## $method
## [1] "pearson"

ppcor::pcor.test(dehum$GR_average,
                 dehum$AR_average,
                 dehum$SR_average)

##    estimate      p.value statistic   n gp  Method
## 1 0.5730882 3.948903e-80  21.01453 906  1 pearson

cats_n_dogs <- read_csv('https://raw.githubusercontent.com/angelgardt/hseuxlab-wlm2021/master/book/wlm2021-book/data/cats_n_dogs.csv')

## 
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## cols(
##   id = col_double(),
##   species = col_character(),
##   size = col_character()
## )

table(cats_n_dogs$species, cats_n_dogs$size)

##      
##       big small
##   cat  17     8
##   dog  16     9

chisq.test(table(cats_n_dogs$species, cats_n_dogs$size))

## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  table(cats_n_dogs$species, cats_n_dogs$size)
## X-squared = 0, df = 1, p-value = 1

sqrt(
  chisq.test(table(cats_n_dogs$species, cats_n_dogs$size))$statistic / 
    nrow(cats_n_dogs)
)

## X-squared 
##         0

ltm::biserial.cor(dehum$GR_average, dehum$SEX)

## [1] -0.01406144

polycor::polyserial(dehum$DP, dehum$SEX)

## [1] 0.0530944