Обучение нейронной сети алгоритм обратного распространения ошибки

Время на прочтение
5 мин

Количество просмотров 83K

В первой части были рассмотрены: структура, топология, функции активации и обучающее множество. В этой части попробую объяснить как происходит обучение сверточной нейронной сети.

Обучение сверточной нейронной сети

На начальном этапе нейронная сеть является необученной (ненастроенной). В общем смысле под обучением понимают последовательное предъявление образа на вход нейросети, из обучающего набора, затем полученный ответ сравнивается с желаемым выходом, в нашем случае это 1 – образ представляет лицо, минус 1 – образ представляет фон (не лицо), полученная разница между ожидаемым ответом и полученным является результат функции ошибки (дельта ошибки). Затем эту дельту ошибки необходимо распространить на все связанные нейроны сети.

Таким образом обучение нейронной сети сводится к минимизации функции ошибки, путем корректировки весовых коэффициентов синаптических связей между нейронами. Под функцией ошибки понимается разность между полученным ответом и желаемым. Например, на вход был подан образ лица, предположим, что выход нейросети был 0.73, а желаемый результат 1 (т.к. образ лица), получим, что ошибка сети является разницей, то есть 0.27. Затем веса выходного слоя нейронов корректируются в соответствии с ошибкой. Для нейронов выходного слоя известны их фактические и желаемые значения выходов. Поэтому настройка весов связей для таких нейронов является относительно простой. Однако для нейронов предыдущих слоев настройка не столь очевидна. Долгое время не было известно алгоритма распространения ошибки по скрытым слоям.

Алгоритм обратного распространения ошибки

Для обучения описанной нейронной сети был использован алгоритм обратного распространения ошибки (backpropagation). Этот метод обучения многослойной нейронной сети называется обобщенным дельта-правилом. Метод был предложен в 1986 г. Румельхартом, Макклеландом и Вильямсом. Это ознаменовало возрождение интереса к нейронным сетям, который стал угасать в начале 70-х годов. Данный алгоритм является первым и основным практически применимым для обучения многослойных нейронных сетей.

Для выходного слоя корректировка весов интуитивна понятна, но для скрытых слоев долгое время не было известно алгоритма. Веса скрытого нейрона должны изменяться прямо пропорционально ошибке тех нейронов, с которыми данный нейрон связан. Вот почему обратное распространение этих ошибок через сеть позволяет корректно настраивать веса связей между всеми слоями. В этом случае величина функции ошибки уменьшается и сеть обучается.

Основные соотношения метода обратного распространения ошибки получены при следующих обозначениях:

Величина ошибки определяется по формуле 2.8 среднеквадратичная ошибка:

Неактивированное состояние каждого нейрона j для образа p записывается в виде взвешенной суммы по формуле 2.9:

Выход каждого нейрона j является значением активационной функции

, которая переводит нейрон в активированное состояние. В качестве функции активации может использоваться любая непрерывно дифференцируемая монотонная функция. Активированное состояние нейрона вычисляется по формуле 2.10:

В качестве метода минимизации ошибки используется метод градиентного спуска, суть этого метода сводится к поиску минимума (или максимума) функции за счет движения вдоль вектора градиента. Для поиска минимума движение должно быть осуществляться в направлении антиградиента. Метод градиентного спуска в соответствии с рисунком 2.7.

Градиент функции потери представляет из себя вектор частных производных, вычисляющийся по формуле 2.11:

Производную функции ошибки по конкретному образу можно записать по правилу цепочки, формула 2.12:

Ошибка нейрона обычно записывается в виде символа δ (дельта). Для выходного слоя ошибка определена в явном виде, если взять производную от формулы 2.8, то получим t минус y, то есть разницу между желаемым и полученным выходом. Но как рассчитать ошибку для скрытых слоев? Для решения этой задачи, как раз и был придуман алгоритм обратного распространения ошибки. Суть его заключается в последовательном вычислении ошибок скрытых слоев с помощью значений ошибки выходного слоя, т.е. значения ошибки распространяются по сети в обратном направлении от выхода к входу.

Ошибка δ для скрытого слоя рассчитывается по формуле 2.13:

Алгоритм распространения ошибки сводится к следующим этапам:

• прямое распространение сигнала по сети, вычисления состояния нейронов;
• вычисление значения ошибки δ для выходного слоя;
• обратное распространение: последовательно от конца к началу для всех скрытых слоев вычисляем δ по формуле 2.13;
• обновление весов сети на вычисленную ранее δ ошибки.

Алгоритм обратного распространения ошибки в многослойном персептроне продемонстрирован ниже:

До этого момента были рассмотрены случаи распространения ошибки по слоям персептрона, то есть по выходному и скрытому, но помимо них, в сверточной нейросети имеются подвыборочный и сверточный.

Расчет ошибки на подвыборочном слое

Расчет ошибки на подвыборочном слое представляется в нескольких вариантах. Первый случай, когда подвыборочный слой находится перед полносвязным, тогда он имеет нейроны и связи такого же типа, как в полносвязном слое, соответственно вычисление δ ошибки ничем не отличается от вычисления δ скрытого слоя. Второй случай, когда подвыборочный слой находится перед сверточным, вычисление δ происходит путем обратной свертки. Для понимания обратно свертки, необходимо сперва понять обычную свертку и то, что скользящее окно по карте признаков (во время прямого распространения сигнала) можно интерпретировать, как обычный скрытый слой со связями между нейронами, но главное отличие — это то, что эти связи разделяемы, то есть одна связь с конкретным значением веса может быть у нескольких пар нейронов, а не только одной. Интерпретация операции свертки в привычном многослойном виде в соответствии с рисунком 2.8.

Рисунок 2.8 — Интерпретация операции свертки в многослойный вид, где связи с одинаковым цветом имеют один и тот же вес. Синим цветом обозначена подвыборочная карта, разноцветным – синаптическое ядро, оранжевым – получившаяся свертка

Теперь, когда операция свертки представлена в привычном многослойном виде, можно интуитивно понять, что вычисление дельт происходит таким же образом, как и в скрытом слое полносвязной сети. Соответственно имея вычисленные ранее дельты сверточного слоя можно вычислить дельты подвыборочного, в соответствии с рисунком 2.9.

Рисунок 2.9 — Вычисление δ подвыборочного слоя за счет δ сверточного слоя и ядра

Обратная свертка – это тот же самый способ вычисления дельт, только немного хитрым способом, заключающийся в повороте ядра на 180 градусов и скользящем процессе сканирования сверточной карты дельт с измененными краевыми эффектами. Простыми словами, нам необходимо взять ядро сверточной карты (следующего за подвыборочным слоем) повернуть его на 180 градусов и сделать обычную свертку по вычисленным ранее дельтам сверточной карты, но так чтобы окно сканирования выходило за пределы карты. Результат операции обратной свертки в соответствии с рисунком 2.10, цикл прохода обратной свертки в соответствии с рисунком 2.11.

Рисунок 2.10 — Результат операции обратной свертки

Рисунок 2.11 — Повернутое ядро на 180 градусов сканирует сверточную карту

Расчет ошибки на сверточном слое

Обычно впередиидущий слой после сверточного это подвыборочный, соответственно наша задача вычислить дельты текущего слоя (сверточного) за счет знаний о дельтах подвыборочного слоя. На самом деле дельта ошибка не вычисляется, а копируется. При прямом распространении сигнала нейроны подвыборочного слоя формировались за счет неперекрывающегося окна сканирования по сверточному слою, в процессе которого выбирались нейроны с максимальным значением, при обратном распространении, мы возвращаем дельту ошибки тому ранее выбранному максимальному нейрону, остальные же получают нулевую дельту ошибки.

Заключение

Представив операцию свертки в привычном многослойном виде (рисунок 2.8), можно интуитивно понять, что вычисление дельт происходит таким же образом, как и в скрытом слое полносвязной сети.

Источники

Алгоритм обратного распространения ошибки для сверточной нейронной сети

Обратное распространение ошибки в сверточных слоях
раз и два

Обратное распространение ошибки в персептроне

Еще можно почитать в РГБ диссертацию Макаренко: АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММНАЯ СИСТЕМА КЛАССИФИКАЦИИ

Рад снова всех приветствовать, и сегодня продолжим планомерно двигаться в выбранном направлении. Речь, конечно, о масштабном разборе искусственных нейронных сетей для решения широкого спектра задач. Продолжим ровно с того момента, на котором остановились в предыдущей части, и это означает, что героем данного поста будет ключевой процесс — обучение нейронных сетей.

Тема эта крайне важна, поскольку именно процесс обучения позволяет сети начать выполнять задачу, для которой она, собственно, и предназначена. То есть нейронная сеть функционирует не по какому-либо жестко заданному на этапе проектирования алгоритму, она совершенствуется в процессе анализа имеющихся данных. Этот процесс и называется обучением нейронной сети. Математически суть процесса обучения заключается в корректировке значений весов синапсов (связей между имеющимися нейронами). Изначально значения весов задаются случайно, затем производится обучение, результатом которого будут новые значения синаптических весов. Это все мы максимально подробно разберем как раз в этой статье.

На своем сайте я всегда придерживаюсь концепции, при которой теоретические выкладки по максимуму сопровождаются практическими примерами для максимальной наглядности. Так мы поступим и сейчас 👍

Итак, суть заключается в следующем. Пусть у нас есть простейшая нейронная сеть, которую мы хотим обучить (продолжаем рассматривать сети прямого распространения):

То есть на входы нейронов I1 и I2 мы подаем какие-либо числа, а на выходе сети получаем соответственно новое значение. При этом нам необходима некая выборка данных, включающая в себя значения входов и соответствующее им, правильное, значение на выходе:

Допустим, сеть выполняет суммирование значений на входе, тогда данный набор данных может быть таким:

Эти значения и используются для обучения сети. Как именно — рассмотрим чуть ниже, пока сконцентрируемся на идее процесса в целом. Для того, чтобы иметь возможность тестировать работу сети в процессе обучения, исходную выборку данных делят на две части — обучающую и тестовую. Пусть имеется 1000 образцов, тогда можно 900 использовать для обучения, а оставшиеся 100 — для тестирования. Эти величины взяты исключительно ради наглядности и демонстрации логики выполнения операций, на практике все зависит от задачи, размер обучающей выборки может спокойно достигать и сотен тысяч образцов.

Итак, итог имеем следующий — обучающая выборка прогоняется через сеть, в результате чего происходит настройка значений синаптических весов. Один полный проход по всей выборке называется эпохой. И опять же, обучение нейронной сети — это процесс, требующий многократных экспериментов, анализа результатов и творческого подхода. Все перечисленные параметры (размер выборки, количество эпох обучения) могут иметь абсолютно разные значения для разных задач и сетей. Четкого правила тут просто нет, в этом и кроется дополнительный шарм и изящность )

Возвращаемся к разбору, и в результате прохода обучающей выборки через сеть мы получаем сеть с новыми значениями весов синапсов.

Далее мы через эту, уже обученную в той или иной степени, сеть прогоняем тестовую выборку, которая не участвовала в обучении. При этом сеть выдает нам выходные значения для каждого образца, которые мы сравниваем с теми верными значениями, которые имеем.

Анализируем нашу гипотетическую выборку:

Таким образом, для тестирования подаем на вход сети значения x_{(M+1)1}, x_{(M+1)2} и проверяем, чему равен выход, ожидаем очевидно значение y_{(M+1)}. Аналогично поступаем и для оставшихся тестовых образцов. После чего мы можем сделать вывод, успешно или нет работает сеть. Например, сеть дает правильный ответ для 90% тестовых данных, дальше уже встает вопрос — устраивает ли нас данная точность или процесс обучения необходимо повторить, либо провести заново, изменив какие-либо параметры сети.

В этом и заключается суть обучения нейронных сетей, теперь перейдем к деталям и конкретным действиям, которые необходимо осуществить для выполнения данного процесса. Двигаться снова будем поэтапно, чтобы сформировать максимально четкую и полную картину. Поэтому начнем с понятия градиентного спуска, который используется при обучении по методу обратного распространения ошибки. Обо всем этом далее…

Обучение нейронных сетей. Градиентный спуск.

Рассмотрев идею процесса обучения в целом, на данном этапе мы можем однозначно сформулировать текущую цель — необходимо определить математический алгоритм, который позволит рассчитать значения весовых коэффициентов таким образом, чтобы ошибка сети была минимальна. То есть грубо говоря нам необходима конкретная формула для вычисления:

Здесь \Delta w_{ij} — величина, на которую необходимо изменить вес синапса, связывающего нейроны i и j нашей сети. Соответственно, зная это, необходимо на каждом этапе обучения производить корректировку весов связей между всеми элементами нейронной сети. Задача ясна, переходим к делу.

Пусть функция ошибки от веса имеет следующий вид:

Для удобства рассмотрим зависимость функции ошибки от одного конкретного веса:

В начальный момент мы находимся в некоторой точке кривой, а для минимизации ошибки попасть мы хотим в точку глобального минимума функции:

Нанесем на график вектора градиентов в разных точках. Длина векторов численно равна скорости роста функции в данной точке, что в свою очередь соответствует значению производной функции по данной точке. Исходя из этого, делаем вывод, что длина вектора градиента определяется крутизной функции в данной точке:

Вывод прост — величина градиента будет уменьшаться по мере приближения к минимуму функции. Это важный вывод, к которому мы еще вернемся. А тем временем разберемся с направлением вектора, для чего рассмотрим еще несколько возможных точек:

Находясь в точке 1, целью является перейти в точку 2, поскольку в ней значение ошибки меньше (E_2 < E_1), а глобальная задача по-прежнему заключается в ее минимизации. Для этого необходимо изменить величину w на некое значение \Delta w (\Delta w = w_2 — w_1 > 0). При всем при этом в точке 1 градиент отрицательный. Фиксируем данные факты и переходим к точке 3, предположим, что мы находимся именно в ней.

Тогда для уменьшения ошибки наш путь лежит в точку 4, а необходимое изменение значения: \Delta w = w_4 — w_3 < 0. Градиент же в точке 3 положителен. Этот факт также фиксируем.

А теперь соберем воедино эту информацию в виде следующей иллюстрации:

Вывод напрашивается сам собой — величина, на которую необходимо изменить значение w, в любой точке противоположна по знаку градиенту. И, таким образом, представим эту самую величину в виде:

\Delta w = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw}

Имеем в наличии:

• \Delta w — величина, на которую необходимо изменить значение w.
• \frac{dE}{dw} — градиент в этой точке.
• \alpha — скорость обучения.

Собственно, логика метода градиентного спуска и заключается в данном математическом выражении, а именно в том, что для минимизации ошибки необходимо изменять w в направлении противоположном градиенту. В контексте нейронных сетей имеем искомый закон для корректировки весов синаптических связей (для синапса между нейронами i и j):

\Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}}

Более того, вспомним о важном свойстве, которое мы отдельно пометили. И заключается оно в том, что величина градиента будет уменьшаться по мере приближения к минимуму функции. Что это нам дает? А то, что в том случае, если наша текущая дислокация далека от места назначения, то величина, корректирующая вес связи, будет больше. А это обеспечит скорейшее приближение к цели. При приближении к целевому пункту, величина \frac{dE}{dw_{ij}} будет уменьшаться, что поможет нам точнее попасть в нужную точку, а кроме того, не позволит нам ее проскочить. Визуализируем вышеописанное:

Скорость же обучения несет в себе следующий смысл. Она определяет величину каждого шага при поиске минимума ошибки. Слишком большое значение приводит к тому, что точка может «перепрыгнуть» через нужное значение и оказаться по другую сторону от цели:

Если же величина будет мала, то это приведет к тому, что спуск будет осуществляться очень медленно, что также является нежелательным эффектом. Поэтому скорость обучения, как и многие другие параметры нейронной сети, является очень важной величиной, для которой нет единственно верного значения. Все снова зависит от конкретного случая и оптимальная величина определяется исключительно исходя из текущих условий.

И даже на этом еще не все, здесь присутствует один важный нюанс, который в большинстве статей опускается, либо вовсе не упоминается. Реальная зависимость может иметь совсем другой вид:

Из чего вытекает потенциальная возможность попадания в локальный минимум, вместо глобального, что является большой проблемой. Для предотвращения данного эффекта вводится понятие момента обучения и формула принимает следующий вид:

\Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}} + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}

То есть добавляется второе слагаемое, которое представляет из себя произведение момента на величину корректировки веса на предыдущем шаге.

Итого, резюмируем продвижение к цели:

• Нашей задачей было найти закон, по которому необходимо изменять величину весов связей между нейронами.
• Наш результат — \Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}} + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t — 1} — именно то, что и требовалось 👍

И опять же, полученный результат логичным образом перенаправляет нас на следующий этап, ставя вопросы — что из себя представляет функция ошибки, и как определить ее градиент.

Обучение нейронных сетей. Функция ошибки.

Начнем с того, что определимся с тем, что у нас в наличии, для этого вернемся к конкретной нейронной сети. Пусть вид ее таков:

Интересует нас, в первую очередь, часть, относящаяся к нейронам выходного слоя. Подав на вход определенные значения, получаем значения на выходе сети: O_{net, 1} и O_{net, 2}. Кроме того, поскольку мы ведем речь о процессе обучения нейронной сети, то нам известны целевые значения: O_{correct, 1} и O_{correct, 2}. И именно этот набор данных на этом этапе является для нас исходным:

• Известно: O_{net, 1}, O_{net, 2}, O_{correct, 1} и O_{correct, 2}.
• Необходимо определить величины \Delta w_{ij} для корректировки весов, для этого нужно вычислить градиенты (\frac{dE}{dw_{ij}}) для каждого из синапсов.

Полдела сделано — задача четко сформулирована, начинаем деятельность по поиску решения.

В плане того, как определять ошибку, первым и самым очевидным вариантом кажется простая алгебраическая разность. Для каждого из выходных нейронов:

E_k = O_{correct, k} - O_{net, k}

Дополним пример числовыми значениями:

Недостатком данного варианта является то, что в том случае, если мы попытаемся просуммировать ошибки нейронов, то получим:

E_{sum} = e_1 + e_2 = -0.4 + 0.4 = 0

Что не соответствует действительности (нулевая ошибка, говорит об идеальной работе нейронной сети, по факту оба нейрона дали неверный результат). Так что вариант с разностью откидываем за несостоятельностью.

Вторым, традиционно упоминаемым, методом вычисления ошибки является использование модуля разности:

E_k = | O_{correct, k} - O_{net, k} |

Тут в действие вступает уже проблема иного рода:

Функция, бесспорно, симпатична, но при приближении к минимуму ее градиент является постоянной величиной, скачкообразно меняясь при переходе через точку минимума. Это нас также не устраивает, поскольку, как мы обсуждали, концепция заключалась в том числе в том, чтобы по мере приближения к минимуму значение градиента уменьшалось.

В итоге хороший результат дает зависимость (для выходного нейрона под номером k):

E_k = (O_{correct, k} - O_{net, k})^2

Функция по многим своим свойствам идеально удовлетворяет нуждам обучения нейронной сети, так что выбор сделан, остановимся на ней. Хотя, как и во многих аспектах, качающихся нейронных сетей, данное решение не является единственно и неоспоримо верным. В каких-то случаях лучше себя могут проявить другие зависимости, возможно, что какой-то вариант даст большую точность, но неоправданно высокие затраты производительности при обучении. В общем, непаханное поле для экспериментов и исследований, это и привлекательно.

Краткий вывод промежуточного шага, на который мы вышли:

• Имеющееся: \frac{dE}{dw_{jk}} = \frac{d}{d w_{jk}}(O_{correct, k} — O_{net, k})^2.
• Искомое по-прежнему: \Delta w_{jk}.

Несложные диффернциально-математические изыскания выводят на следующий результат:

\frac{dE}{d w_{jk}} = -(O_{correct, k} - O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(\sum_{j}w_{jk}O_j) \cdot O_j

Здесь эти самые изыскания я все-таки решил не вставлять, дабы не перегружать статью, которая и так выходит объемной. Но в случае необходимости и интереса, отпишите в комментарии, я добавлю вычисления и закину их под спойлер, как вариант.

Освежим в памяти структуру сети:

Формулу можно упростить, сгруппировав отдельные ее части:

• (O_{correct, k} — O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(\sum_{j}w_{jk}O_j) — ошибка нейрона k.
• O_j — тут все понятно, выходной сигнал нейрона j.

f{\Large{\prime}}(\sum_{j}w_{jk}O_j) — значение производной функции активации. Причем, обратите внимание, что \sum_{j}w_{jk}O_j — это не что иное, как сигнал на входе нейрона k (I_{k}). Тогда для расчета ошибки выходного нейрона: \delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_k).

Итог: \frac{dE}{d w_{jk}} = -\delta_k \cdot O_j.

Одной из причин популярности сигмоидальной функции активности является то, что ее производная очень просто выражается через саму функцию:

f{'}(x) = f(x)\medspace (1\medspace-\medspace f(x))

Данные алгебраические вычисления справедливы для корректировки весов между скрытым и выходным слоем, поскольку для расчета ошибки мы используем просто разность между целевым и полученным результатом, умноженную на производную.

Для других слоев будут незначительные изменения, касающиеся исключительно первого множителя в формуле:

\frac{dE}{d w_{ij}} = -\delta_j \cdot O_i

Который примет следующий вид:

\delta_j = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j)

То есть ошибка для элемента слоя j получается путем взвешенного суммирования ошибок, «приходящих» к нему от нейронов следующего слоя и умножения на производную функции активации. В результате:

\frac{dE}{d w_{ij}} = -(\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j) \cdot O_i

Снова подводим промежуточный итог, чтобы иметь максимально полную и структурированную картину происходящего. Вот результаты, полученные нами на двух этапах, которые мы успешно миновали:

• Ошибка:
  • выходной слой: \delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_k)
  • скрытые слои: \delta_j = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j)
• Градиент: \frac{dE}{d w_{ij}} = -\delta_j \cdot O_i
• Корректировка весовых коэффициентов: \Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}} + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t — 1}

Преобразуем последнюю формулу:

\Delta w_{ij} = \alpha \cdot \delta_j \cdot O_i + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}

Из этого мы делаем вывод, что на данный момент у нас есть все, что необходимо для того, чтобы произвести обучение нейронной сети. И героем следующего подраздела будет алгоритм обратного распространения ошибки.

Метод обратного распространения ошибки.

Данный метод является одним из наиболее распространенных и популярных, чем и продиктован его выбор для анализа и разбора. Алгоритм обратного распространения ошибки относится к методам обучение с учителем, что на деле означает необходимость наличия целевых значений в обучающих сетах.

Суть же метода подразумевает наличие двух этапов:

• Прямой проход — входные сигналы двигаются в прямом направлении, в результате чего мы получаем выходной сигнал, из которого в дальнейшем рассчитываем значение ошибки.
• Обратный проход — обратное распространение ошибки — величина ошибки двигается в обратном направлении, в результате происходит корректировка весовых коэффициентов связей сети.

Начальные значения весов (перед обучением) задаются случайными, есть ряд методик для выбора этих значений, я опишу в отдельном материале максимально подробно. Пока вот можно полистать — ссылка.

Вернемся к конкретному примеру для явной демонстрации этих принципов:

Итак, имеется нейронная сеть, также имеется набор данных обучающей выборки. Как уже обсудили в начале статьи — обучающая выборка представляет из себя набор образцов (сетов), каждый из которых состоит из значений входных сигналов и соответствующих им «правильных» значений выходных величин.

Процесс обучения нейронной сети для алгоритма обратного распространения ошибки будет таким:

1. Прямой проход. Подаем на вход значения I_1, I_2, I_3 из обучающей выборки. В результате работы сети получаем выходные значения O_{net, 1}, O_{net, 2}. Этому целиком и полностью был посвящен предыдущий манускрипт.
2. Рассчитываем величины ошибок для всех слоев:
   • для выходного: \delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_k)
   • для скрытых: \delta_j = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j)
3. Далее используем полученные значения для расчета \Delta w_{ij} = \alpha \cdot \delta_j \cdot O_i + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t — 1}
4. И финишируем, рассчитывая новые значения весов: w_{ij \medspace new} = w_{ij} + \Delta w_{ij}
5. На этом один цикл обучения закончен, данные шаги 1 — 4 повторяются для других образцов из обучающей выборки.

Обратный проход завершен, а вместе с ним и одна итерация процесса обучения нейронной сети по данному методу. Собственно, обучение в целом заключается в многократном повторении этих шагов для разных образцов из обучающей выборки. Логику мы полностью разобрали, при повторном проведении операций она остается в точности такой же.

Таким образом, максимально подробно концентрируясь именно на сути и логике процессов, мы в деталях разобрали метод обратного распространения ошибки. Поэтому переходим к завершающей части статьи, в которой разберем практический пример, произведя полностью все вычисления для конкретных числовых величин. Все в рамках продвигаемой мной концепции, что любая теоретическая информация на порядок лучше может быть осознана при применении ее на практике.

Пример расчетов для метода обратного распространения ошибки.

Возьмем нейронную сеть и зададим начальные значения весов:

Здесь я задал значения не в соответствии с существующими на сегодняшний день методами, а просто случайным образом для наглядности примера.

В качестве функции активации используем сигмоиду:

f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}

И ее производная:

f{\Large{\prime}}(x) = f(x)\medspace (1\medspace-\medspace f(x))

Берем один образец из обучающей выборки, пусть будут такие значения:

• Входные: I_1 = 0.6, I_1 = 0.7.
• Выходное: O_{correct} = 0.9.

Скорость обучения \alpha пусть будет равна 0.3, момент — \gamma = 0.1. Все готово, теперь проведем полный цикл для метода обратного распространения ошибки, то есть прямой проход и обратный.

Прямой проход.

Начинаем с выходных значений нейронов 1 и 2, поскольку они являются входными, то:

O_1 = I_1 = 0.6 \\
O_2 = I_2 = 0.7

Значения на входе нейронов 3, 4 и 5:

I_3 = O_1 \cdot w_{13} + O_2 \cdot w_{23} = 0.6 \cdot (-1\medspace) + 0.7 \cdot 1 = 0.1 \\
I_4 = 0.6 \cdot 2.5 + 0.7 \cdot 0.4 = 1.78 \\
I_5 = 0.6 \cdot 1 + 0.7 \cdot (-1.5\medspace) = -0.45

На выходе этих же нейронов первого скрытого слоя:

O_3 = f(I3\medspace) = 0.52 \\
O_4 = 0.86\\
O_5 = 0.39

Продолжаем аналогично для следующего скрытого слоя:

I_6 = O_3 \cdot w_{36} + O_4 \cdot w_{46} + O_5 \cdot w_{56} = 0.52 \cdot 2.2 + 0.86 \cdot (-1.4\medspace) + 0.39 \cdot 0.56 = 0.158 \\
I_7 = 0.52 \cdot 0.34 + 0.86 \cdot 1.05 + 0.39 \cdot 3.1 = 2.288 \\
O_6 = f(I_6) = 0.54 \\
O_7 = 0.908

Добрались до выходного нейрона:

I_8 = O_6 \cdot w_{68} + O_7 \cdot w_{78} = 0.54 \cdot 0.75 + 0.908 \cdot (-0.22\medspace) = 0.205 \\
O_8 = O_{net} = f(I_8) = 0.551

Получили значение на выходе сети, кроме того, у нас есть целевое значение O_{correct} = 0.9. То есть все, что необходимо для обратного прохода, имеется.

Обратный проход.

Как мы и обсуждали, первым этапом будет вычисление ошибок всех нейронов, действуем:

\delta_8 = (O_{correct} - O_{net}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_8) = (O_{correct} - O_{net}) \cdot f(I_8) \cdot (1-f(I_8)) = (0.9 - 0.551\medspace) \cdot 0.551 \cdot (1-0.551\medspace) = 0.0863 \\
\delta_7 = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_7) = (\delta_8 \cdot w_{78}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_7) = 0.0863 \cdot (-0.22\medspace) \cdot 0.908 \cdot (1 - 0.908\medspace) = -0.0016 \\
\delta_6 = 0.086 \cdot 0.75 \cdot 0.54 \cdot (1 - 0.54\medspace) = 0.016 \\
\delta_5 = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_5) = (\delta_7 \cdot w_{57} + \delta_6 \cdot w_{56}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_7) = (-0.0016 \cdot 3.1 + 0.016 \cdot 0.56) \cdot 0.39 \cdot (1 - 0.39\medspace) = 0.001 \\
\delta_4 = (-0.0016 \cdot 1.05 + 0.016 \cdot (-1.4)) \cdot 0.86 \cdot (1 - 0.86\medspace) = -0.003 \\
\delta_3 = (-0.0016 \cdot 0.34 + 0.016 \cdot 2.2) \cdot 0.52 \cdot (1 - 0.52\medspace) = -0.0087

С расчетом ошибок закончили, следующий этап — расчет корректировочных величин для весов всех связей. Для этого мы вывели формулу:

\Delta w_{ij} = \alpha \cdot \delta_j \cdot O_i + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}

Как вы помните, \Delta w_{ij}^{t — 1} — это величина поправки для данного веса на предыдущей итерации. Но поскольку у нас это первый проход, то данное значение будет нулевым, соответственно, в данном случае второе слагаемое отпадает. Но забывать о нем нельзя. Продолжаем калькулировать:

\Delta w_{78} = \alpha \cdot \delta_8 \cdot O_7 = 0.3 \cdot 0.0863 \cdot 0.908 = 0.0235 \\
\Delta w_{68} = 0.3 \cdot 0.0863 \cdot 0.54= 0.014 \\
\Delta w_{57} = \alpha \cdot \delta_7 \cdot O_5 = 0.3 \cdot (−0.0016\medspace) \cdot 0.39= -0.00019 \\
\Delta w_{47} = 0.3 \cdot (−0.0016\medspace) \cdot 0.86= -0.0004 \\
\Delta w_{37} = 0.3 \cdot (−0.0016\medspace) \cdot 0.52= -0.00025 \\
\Delta w_{56} = \alpha \cdot \delta_6 \cdot O_5 = 0.3 \cdot 0.016 \cdot 0.39= 0.0019 \\
\Delta w_{46} = 0.3 \cdot 0.016 \cdot 0.86= 0.0041 \\
\Delta w_{36} = 0.3 \cdot 0.016 \cdot 0.52= 0.0025 \\
\Delta w_{25} = \alpha \cdot \delta_5 \cdot O_2 = 0.3 \cdot 0.001 \cdot 0.7= 0.00021 \\
\Delta w_{15} = 0.3 \cdot 0.001 \cdot 0.6= 0.00018 \\
\Delta w_{24} = \alpha \cdot \delta_4 \cdot O_2 = 0.3 \cdot (-0.003\medspace) \cdot 0.7= -0.00063 \\
\Delta w_{14} = 0.3 \cdot (-0.003\medspace) \cdot 0.6= -0.00054 \\
\Delta w_{23} = \alpha \cdot \delta_3 \cdot O_2 = 0.3 \cdot (−0.0087\medspace) \cdot 0.7= -0.00183 \\
\Delta w_{13} = 0.3 \cdot (−0.0087\medspace) \cdot 0.6= -0.00157

И самый что ни на есть заключительный этап — непосредственно изменение значений весовых коэффициентов:

w_{78 \medspace new} = w_{78} + \Delta w_{78} = -0.22 + 0.0235 = -0.1965 \\
w_{68 \medspace new} = 0.75+ 0.014 = 0.764 \\
w_{57 \medspace new} = 3.1 + (−0.00019\medspace) = 3.0998\\
w_{47 \medspace new} = 1.05 + (−0.0004\medspace) = 1.0496\\
w_{37 \medspace new} = 0.34 + (−0.00025\medspace) = 0.3398\\
w_{56 \medspace new} = 0.56 + 0.0019 = 0.5619 \\
w_{46 \medspace new} = -1.4 + 0.0041 = -1.3959 \\
w_{36 \medspace new} = 2.2 + 0.0025 = 2.2025 \\
w_{25 \medspace new} = -1.5 + 0.00021 = -1.4998 \\
w_{15 \medspace new} = 1 + 0.00018 = 1.00018 \\
w_{24 \medspace new} = 0.4 + (−0.00063\medspace) = 0.39937 \\
w_{14 \medspace new} = 2.5 + (−0.00054\medspace) = 2.49946 \\
w_{23 \medspace new} = 1 + (−0.00183\medspace) = 0.99817 \\
w_{13 \medspace new} = -1 + (−0.00157\medspace) = -1.00157\\

И на этом данную масштабную статью завершаем, конечно же, не завершая на этом деятельность по использованию нейронных сетей. Так что всем спасибо за прочтение, любые вопросы пишите в комментариях и на форуме, ну и обязательно следите за обновлениями и новыми материалами, до встречи!

Нейронные сети обучаются с помощью тех или иных модификаций градиентного спуска, а чтобы применять его, нужно уметь эффективно вычислять градиенты функции потерь по всем обучающим параметрам. Казалось бы, для какого-нибудь запутанного вычислительного графа это может быть очень сложной задачей, но на помощь спешит метод обратного распространения ошибки.

Открытие метода обратного распространения ошибки стало одним из наиболее значимых событий в области искусственного интеллекта. В актуальном виде он был предложен в 1986 году Дэвидом Э. Румельхартом, Джеффри Э. Хинтоном и Рональдом Дж. Вильямсом и независимо и одновременно красноярскими математиками С. И. Барцевым и В. А. Охониным. С тех пор для нахождения градиентов параметров нейронной сети используется метод вычисления производной сложной функции, и оценка градиентов параметров сети стала хоть сложной инженерной задачей, но уже не искусством. Несмотря на простоту используемого математического аппарата, появление этого метода привело к значительному скачку в развитии искусственных нейронных сетей.

Суть метода можно записать одной формулой, тривиально следующей из формулы производной сложной функции: если $f(x) = g_m(g_{m-1}(\ldots (g_1(x)) \ldots))$, то $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g_m}{\partial g_{m-1}}\frac{\partial g_{m-1}}{\partial g_{m-2}}\ldots \frac{\partial g_2}{\partial g_1}\frac{\partial g_1}{\partial x}$. Уже сейчас мы видим, что градиенты можно вычислять последовательно, в ходе одного обратного прохода, начиная с $\frac{\partial g_m}{\partial g_{m-1}}$ и умножая каждый раз на частные производные предыдущего слоя.

Backpropagation в одномерном случае

В одномерном случае всё выглядит особенно просто. Пусть $w_0$ — переменная, по которой мы хотим продифференцировать, причём сложная функция имеет вид

$$f(w_0) = g_m(g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots)),$$

где все $g_i$ скалярные. Тогда

$$f'(w_0) = g_m'(g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots))\cdot g’_{m-1}(g_{m-2}(\ldots g_1(w_0)\ldots))\cdot\ldots \cdot g’_1(w_0)$$

Суть этой формулы такова. Если мы уже совершили forward pass, то есть уже знаем

$$g_1(w_0), g_2(g_1(w_0)),\ldots,g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots),$$

то мы действуем следующим образом:

• берём производную $g_m$ в точке $g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots)$;

• умножаем на производную $g_{m-1}$ в точке $g_{m-2}(\ldots g_1(w_0)\ldots)$;

• и так далее, пока не дойдём до производной $g_1$ в точке $w_0$.

Проиллюстрируем это на картинке, расписав по шагам дифференцирование по весам $w_i$ функции потерь логистической регрессии на одном объекте (то есть для батча размера 1):

Собирая все множители вместе, получаем:

$$\frac{\partial f}{\partial w_0} = (-y)\cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}\cdot\frac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial w_1} = x_1\cdot(-y)\cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}\cdot\frac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial w_2} = x_2\cdot(-y)\cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}\cdot\frac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

Таким образом, мы видим, что сперва совершается forward pass для вычисления всех промежуточных значений (и да, все промежуточные представления нужно будет хранить в памяти), а потом запускается backward pass, на котором в один проход вычисляются все градиенты.

Почему же нельзя просто пойти и начать везде вычислять производные?

В главе, посвящённой матричным дифференцированиям, мы поднимаем вопрос о том, что вычислять частные производные по отдельности — это зло, лучше пользоваться матричными вычислениями. Но есть и ещё одна причина: даже и с матричной производной в принципе не всегда хочется иметь дело. Рассмотрим простой пример. Допустим, что $X^r$ и $X^{r+1}$ — два последовательных промежуточных представления $N\times M$ и $N\times K$, связанных функцией $X^{r+1} = f^{r+1}(X^r)$. Предположим, что мы как-то посчитали производную $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X^{r+1}_{ij}}$ функции потерь $\mathcal{L}$, тогда

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X^{r}_{st}} = \sum_{i,j}\frac{\partial f^{r+1}_{ij}}{\partial X^{r}_{st}}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X^{r+1}_{ij}}$$

И мы видим, что, хотя оба градиента $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{ij}^{r+1}}$ и $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{st}^{r}}$ являются просто матрицами, в ходе вычислений возникает «четырёхмерный кубик» $\frac{\partial f_{ij}^{r+1}}{\partial X_{st}^{r}}$, даже хранить который весьма болезненно: уж больно много памяти он требует ($N^2MK$ по сравнению с безобидными $NM + NK$, требуемыми для хранения градиентов). Поэтому хочется промежуточные производные $\frac{\partial f^{r+1}}{\partial X^{r}}$ рассматривать не как вычисляемые объекты $\frac{\partial f_{ij}^{r+1}}{\partial X_{st}^{r}}$, а как преобразования, которые превращают $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{ij}^{r+1}}$ в $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{st}^{r}}$. Целью следующих глав будет именно это: понять, как преобразуется градиент в ходе error backpropagation при переходе через тот или иной слой.

  Вы спросите себя: надо ли мне сейчас пойти и прочитать главу учебника про матричное дифференцирование?

Встречный вопрос. Найдите производную функции по вектору $x$:

$$f(x) = x^TAx,\ A\in Mat_{n}{\mathbb{R}}\text{ — матрица размера }n\times n$$

А как всё поменяется, если $A$ тоже зависит от $x$? Чему равен градиент функции, если $A$ является скаляром? Если вы готовы прямо сейчас взять ручку и бумагу и посчитать всё, то вам, вероятно, не надо читать про матричные дифференцирования. Но мы советуем всё-таки заглянуть в эту главу, если обозначения, которые мы будем дальше использовать, покажутся вам непонятными: единой нотации для матричных дифференцирований человечество пока, увы, не изобрело, и переводить с одной на другую не всегда легко.

Мы же сразу перейдём к интересующей нас вещи: к вычислению градиентов сложных функций.

Градиент сложной функции

Напомним, что формула производной сложной функции выглядит следующим образом:

$$\left[D_{x_0} (\color{#5002A7}{u} \circ \color{#4CB9C0}{v}) \right](h) = \color{#5002A7}{\left[D_{v(x_0)} u \right]} \left( \color{#4CB9C0}{\left[D_{x_0} v\right]} (h)\right)$$

Теперь разберёмся с градиентами. Пусть $f(x) = g(h(x))$ – скалярная функция. Тогда

$$\left[D_{x_0} f \right] (x-x_0) = \langle\nabla_{x_0} f, x-x_0\rangle.$$

С другой стороны,

$$\left[D_{h(x_0)} g \right] \left(\left[D_{x_0}h \right] (x-x_0)\right) = \langle\nabla_{h_{x_0}} g, \left[D_{x_0} h\right] (x-x_0)\rangle = \langle\left[D_{x_0} h\right]^* \nabla_{h(x_0)} g, x-x_0\rangle.$$

То есть $\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f} = \color{#348FEA}{\left[D_{x_0} h \right]}^* \color{#FFC100}{\nabla_{h(x_0)}}g$ — применение сопряжённого к $D_{x_0} h$ линейного отображения к вектору $\nabla_{h(x_0)} g$.

Эта формула — сердце механизма обратного распространения ошибки. Она говорит следующее: если мы каким-то образом получили градиент функции потерь по переменным из некоторого промежуточного представления $X^k$ нейронной сети и при этом знаем, как преобразуется градиент при проходе через слой $f^k$ между $X^{k-1}$ и $X^k$ (то есть как выглядит сопряжённое к дифференциалу слоя между ними отображение), то мы сразу же находим градиент и по переменным из $X^{k-1}$:

Таким образом слой за слоем мы посчитаем градиенты по всем $X^i$ вплоть до самых первых слоёв.

Далее мы разберёмся, как именно преобразуются градиенты при переходе через некоторые распространённые слои.

Градиенты для типичных слоёв

Рассмотрим несколько важных примеров.

Примеры

1. $f(x) = u(v(x))$, где $x$ — вектор, а $v(x)$ – поэлементное применение $v$:

   $$v\begin{pmatrix}
   x_1 \\
   \vdots\\
   x_N
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   v(x_1)\\
   \vdots\\
   v(x_N)
   \end{pmatrix}$$

   Тогда, как мы знаем,

   $$\left[D_{x_0} f\right] (h) = \langle\nabla_{x_0} f, h\rangle = \left[\nabla_{x_0} f\right]^T h.$$

   Следовательно,

   $$
   \left[D_{v(x_0)} u\right] \left( \left[ D_{x_0} v\right] (h)\right) = \left[\nabla_{v(x_0)} u\right]^T \left(v'(x_0) \odot h\right) =\\
   $$

   $$
   = \sum\limits_i \left[\nabla_{v(x_0)} u\right]_i v'(x_{0i})h_i
   = \langle\left[\nabla_{v(x_0)} u\right] \odot v'(x_0), h\rangle.
   ,$$

   где $\odot$ означает поэлементное перемножение. Окончательно получаем

   $$\color{#348FEA}{\nabla_{x_0} f = \left[\nabla_{v(x_0)}u\right] \odot v'(x_0) = v'(x_0) \odot \left[\nabla_{v(x_0)} u\right]}$$

   Отметим, что если $x$ и $h(x)$ — это просто векторы, то мы могли бы вычислять всё и по формуле $\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_j\big(\frac{\partial z_j}{\partial x_i}\big)\cdot\big(\frac{\partial h}{\partial z_j}\big)$. В этом случае матрица $\big(\frac{\partial z_j}{\partial x_i}\big)$ была бы диагональной (так как $z_j$ зависит только от $x_j$: ведь $h$ берётся поэлементно), и матричное умножение приводило бы к тому же результату. Однако если $x$ и $h(x)$ — матрицы, то $\big(\frac{\partial z_j}{\partial x_i}\big)$ представлялась бы уже «четырёхмерным кубиком», и работать с ним было бы ужасно неудобно.

2. $f(X) = g(XW)$, где $X$ и $W$ — матрицы. Как мы знаем,

   $$\left[D_{X_0} f \right] (X-X_0) = \text{tr}, \left(\left[\nabla_{X_0} f\right]^T (X-X_0)\right).$$

   Тогда

   $$
   \left[ D_{X_0W} g \right] \left(\left[D_{X_0} \left( \ast W\right)\right] (H)\right) =
   \left[ D_{X_0W} g \right] \left(HW\right)=\\
   $$ $$
   = \text{tr}\, \left( \left[\nabla_{X_0W} g \right]^T \cdot (H) W \right) =\\
   $$ $$
   =
   \text{tr} \, \left(W \left[\nabla_{X_0W} (g) \right]^T \cdot (H)\right) = \text{tr} \, \left( \left[\left[\nabla_{X_0W} g\right] W^T\right]^T (H)\right)
   $$

   Здесь через $\ast W$ мы обозначили отображение $Y \hookrightarrow YW$, а в предпоследнем переходе использовалось следующее свойство следа:

   $$
   \text{tr} , (A B C) = \text{tr} , (C A B),
   $$

   где $A, B, C$ — произвольные матрицы подходящих размеров (то есть допускающие перемножение в обоих приведённых порядках). Следовательно, получаем

   $$\color{#348FEA}{\nabla_{X_0} f = \left[\nabla_{X_0W} (g) \right] \cdot W^T}$$

3. $f(W) = g(XW)$, где $W$ и $X$ — матрицы. Для приращения $H = W — W_0$ имеем

   $$
   \left[D_{W_0} f \right] (H) = \text{tr} , \left( \left[\nabla_{W_0} f \right]^T (H)\right)
   $$

   Тогда

   $$
   \left[D_{XW_0} g \right] \left( \left[D_{W_0} \left(X \ast\right) \right] (H)\right) = \left[D_{XW_0} g \right] \left( XH \right) = \
   $$ $$
   = \text{tr} , \left( \left[\nabla_{XW_0} g \right]^T \cdot X (H)\right) =
   \text{tr}, \left(\left[X^T \left[\nabla_{XW_0} g \right] \right]^T (H)\right)
   $$

   Здесь через $X \ast$ обозначено отображение $Y \hookrightarrow XY$. Значит,

   $$\color{#348FEA}{\nabla_{X_0} f = X^T \cdot \left[\nabla_{XW_0} (g)\right]}$$

4. $f(X) = g(softmax(X))$, где $X$ — матрица $N\times K$, а $softmax$ — функция, которая вычисляется построчно, причём для каждой строки $x$

   $$softmax(x) = \left(\frac{e^{x_1}}{\sum_te^{x_t}},\ldots,\frac{e^{x_K}}{\sum_te^{x_t}}\right)$$

   В этом примере нам будет удобно воспользоваться формализмом с частными производными. Сначала вычислим $\frac{\partial s_l}{\partial x_j}$ для одной строки $x$, где через $s_l$ мы для краткости обозначим $softmax(x)_l = \frac{e^{x_l}} {\sum_te^{x_t}}$. Нетрудно проверить, что

   $$\frac{\partial s_l}{\partial x_j} = \begin{cases}
   s_j(1 — s_j),\ & j = l,\
   -s_ls_j,\ & j\ne l
   \end{cases}$$

   Так как softmax вычисляется независимо от каждой строчки, то

   $$\frac{\partial s_{rl}}{\partial x_{ij}} = \begin{cases}
   s_{ij}(1 — s_{ij}),\ & r=i, j = l,\
   -s_{il}s_{ij},\ & r = i, j\ne l,\
   0,\ & r\ne i
   \end{cases},$$

   где через $s_{rl}$ мы обозначили для краткости $softmax(X)_{rl}$.

   Теперь пусть $\nabla_{rl} = \nabla g = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial s_{rl}}$ (пришедший со следующего слоя, уже известный градиент). Тогда

   $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{ij}} = \sum_{r,l}\frac{\partial s_{rl}}{\partial x_{ij}} \nabla_{rl}$$

   Так как $\frac{\partial s_{rl}}{\partial x_{ij}} = 0$ при $r\ne i$, мы можем убрать суммирование по $r$:

   $$\ldots = \sum_{l}\frac{\partial s_{il}}{\partial x_{ij}} \nabla_{il} = -s_{i1}s_{ij}\nabla_{i1} — \ldots + s_{ij}(1 — s_{ij})\nabla_{ij}-\ldots — s_{iK}s_{ij}\nabla_{iK} =$$

   $$= -s_{ij}\sum_t s_{it}\nabla_{it} + s_{ij}\nabla_{ij}$$

   Таким образом, если мы хотим продифференцировать $f$ в какой-то конкретной точке $X_0$, то, смешивая математические обозначения с нотацией Python, мы можем записать:

   $$\begin{multline*}
   \color{#348FEA}{\nabla_{X_0}f =}\\
   \color{#348FEA}{= -softmax(X_0) \odot \text{sum}\left(
   softmax(X_0)\odot\nabla_{softmax(X_0)}g, \text{ axis = 1}
   \right) +}\\
   \color{#348FEA}{softmax(X_0)\odot \nabla_{softmax(X_0)}g}
   \end{multline*}
   $$

Backpropagation в общем виде

Подытожим предыдущее обсуждение, описав алгоритм error backpropagation (алгоритм обратного распространения ошибки). Допустим, у нас есть текущие значения весов $W^i_0$ и мы хотим совершить шаг SGD по мини-батчу $X$. Мы должны сделать следующее:

1. Совершить forward pass, вычислив и запомнив все промежуточные представления $X = X^0, X^1, \ldots, X^m = \widehat{y}$.
2. Вычислить все градиенты с помощью backward pass.
3. С помощью полученных градиентов совершить шаг SGD.

Проиллюстрируем алгоритм на примере двуслойной нейронной сети со скалярным output’ом. Для простоты опустим свободные члены в линейных слоях.

Обучаемые параметры – матрицы $U$ и $W$. Как найти градиенты по ним в точке $U_0, W_0$?

$$\nabla_{W_0}\mathcal{L} = \nabla_{W_0}{\left({\vphantom{\frac12}\mathcal{L}\circ h\circ\left[W\mapsto g(XU_0)W\right]}\right)}=$$

$$=g(XU_0)^T\nabla_{g(XU_0)W_0}(\mathcal{L}\circ h) = \underbrace{g(XU_0)^T}_{k\times N}\cdot
\left[\vphantom{\frac12}\underbrace{h’\left(\vphantom{\int_0^1}g(XU_0)W_0\right)}_{N\times 1}\odot
\underbrace{\nabla_{h\left(\vphantom{\int_0^1}g(XU_0)W_0\right)}\mathcal{L}}_{N\times 1}\right]$$

Итого матрица $k\times 1$, как и $W_0$

$$\nabla_{U_0}\mathcal{L} = \nabla_{U_0}\left(\vphantom{\frac12}
\mathcal{L}\circ h\circ\left[Y\mapsto YW_0\right]\circ g\circ\left[ U\mapsto XU\right]
\right)=$$

$$=X^T\cdot\nabla_{XU^0}\left(\vphantom{\frac12}\mathcal{L}\circ h\circ [Y\mapsto YW_0]\circ g\right) =$$

$$=X^T\cdot\left(\vphantom{\frac12}g'(XU_0)\odot
\nabla_{g(XU_0)}\left[\vphantom{\in_0^1}\mathcal{L}\circ h\circ[Y\mapsto YW_0\right]
\right)$$

$$=\ldots = \underset{D\times N}{X^T}\cdot\left(\vphantom{\frac12}
\underbrace{g'(XU_0)}_{N\times K}\odot
\underbrace{\left[\vphantom{\int_0^1}\left(
\underbrace{h’\left(\vphantom{\int_0^1}g(XU_0)W_0\right)}_{N\times1}\odot\underbrace{\nabla_{h(\vphantom{\int_0^1}g\left(XU_0\right)W_0)}\mathcal{L}}_{N\times 1}
\right)\cdot \underbrace{W^T}_{1\times K}\right]}_{N\times K}
\right)$$

Итого $D\times K$, как и $U_0$

Схематически это можно представить следующим образом:

Backpropagation для двуслойной нейронной сети

Подробнее о предыдущих вычисленияхЕсли вы не уследили за вычислениями в предыдущем примере, давайте более подробно разберём его чуть более конкретную версию (для $g = h = \sigma$).

Рассмотрим двуслойную нейронную сеть для классификации. Мы уже встречали ее ранее при рассмотрении линейно неразделимой выборки. Предсказания получаются следующим образом:

$$
\widehat{y} = \sigma(X^1 W^2) = \sigma\Big(\big(\sigma(X^0 W^1 )\big) W^2 \Big).
$$

Пусть $W^1_0$ и $W^2_0$ — текущее приближение матриц весов. Мы хотим совершить шаг по градиенту функции потерь, и для этого мы должны вычислить её градиенты по $W^1$ и $W^2$ в точке $(W^1_0, W^2_0)$.

Прежде всего мы совершаем forward pass, в ходе которого мы должны запомнить все промежуточные представления: $X^1 = X^0 W^1_0$, $X^2 = \sigma(X^0 W^1_0)$, $X^3 = \sigma(X^0 W^1_0) W^2_0$, $X^4 = \sigma(\sigma(X^0 W^1_0) W^2_0) = \widehat{y}$. Они понадобятся нам дальше.

Для полученных предсказаний вычисляется значение функции потерь:

$$
l = \mathcal{L}(y, \widehat{y}) = y \log(\widehat{y}) + (1-y) \log(1-\widehat{y}).
$$

Дальше мы шаг за шагом будем находить производные по переменным из всё более глубоких слоёв.

1. Градиент $\mathcal{L}$ по предсказаниям имеет вид

   $$
   \nabla_{\widehat{y}}l = \frac{y}{\widehat{y}} — \frac{1 — y}{1 — \widehat{y}} = \frac{y — \widehat{y}}{\widehat{y} (1 — \widehat{y})},
   $$

   где, напомним, $ \widehat{y} = \sigma(X^3) = \sigma\Big(\big(\sigma(X^0 W^1_0 )\big) W^2_0 \Big)$ (обратите внимание на то, что $W^1_0$ и $W^2_0$ тут именно те, из которых мы делаем градиентный шаг).

2. Следующий слой — поэлементное взятие $\sigma$. Как мы помним, при переходе через него градиент поэлементно умножается на производную $\sigma$, в которую подставлено предыдущее промежуточное представление:

   $$
   \nabla_{X^3}l = \sigma'(X^3)\odot\nabla_{\widehat{y}}l = \sigma(X^3)\left( 1 — \sigma(X^3) \right) \odot \frac{y — \widehat{y}}{\widehat{y} (1 — \widehat{y})} =
   $$

   $$
   = \sigma(X^3)\left( 1 — \sigma(X^3) \right) \odot \frac{y — \sigma(X^3)}{\sigma(X^3) (1 — \sigma(X^3))} =
   y — \sigma(X^3)
   $$

3. Следующий слой — умножение на $W^2_0$. В этот момент мы найдём градиент как по $W^2$, так и по $X^2$. При переходе через умножение на матрицу градиент, как мы помним, умножается с той же стороны на транспонированную матрицу, а значит:

   $$
   \color{blue}{\nabla_{W^2_0}l} = (X^2)^T\cdot \nabla_{X^3}l = (X^2)^T\cdot(y — \sigma(X^3)) =
   $$

   $$
   = \color{blue}{\left( \sigma(X^0W^1_0) \right)^T \cdot (y — \sigma(\sigma(X^0W^1_0)W^2_0))}
   $$

   Аналогичным образом

   $$
   \nabla_{X^2}l = \nabla_{X^3}l\cdot (W^2_0)^T = (y — \sigma(X^3))\cdot (W^2_0)^T =
   $$

   $$
   = (y — \sigma(X^2W_0^2))\cdot (W^2_0)^T
   $$

4. Следующий слой — снова взятие $\sigma$.

   $$
   \nabla_{X^1}l = \sigma'(X^1)\odot\nabla_{X^2}l = \sigma(X^1)\left( 1 — \sigma(X^1) \right) \odot \left( (y — \sigma(X^2W_0^2))\cdot (W^2_0)^T \right) =
   $$

   $$
   = \sigma(X^1)\left( 1 — \sigma(X^1) \right) \odot\left( (y — \sigma(\sigma(X^1)W_0^2))\cdot (W^2_0)^T \right)
   $$

5. Наконец, последний слой — это умножение $X^0$ на $W^1_0$. Тут мы дифференцируем только по $W^1$:

   $$
   \color{blue}{\nabla_{W^1_0}l} = (X^0)^T\cdot \nabla_{X^1}l = (X^0)^T\cdot \big( \sigma(X^1) \left( 1 — \sigma(X^1) \right) \odot (y — \sigma(\sigma(X^1)W_0^2))\cdot (W^2_0)^T\big) =
   $$

   $$
   = \color{blue}{(X^0)^T\cdot\big(\sigma(X^0W^1_0)\left( 1 — \sigma(X^0W^1_0) \right) \odot (y — \sigma(\sigma(X^0W^1_0)W_0^2))\cdot (W^2_0)^T\big) }
   $$

Итоговые формулы для градиентов получились страшноватыми, но они были получены друг из друга итеративно с помощью очень простых операций: матричного и поэлементного умножения, в которые порой подставлялись значения заранее вычисленных промежуточных представлений.

Автоматизация и autograd

Итак, чтобы нейросеть обучалась, достаточно для любого слоя $f^k: X^{k-1}\mapsto X^k$ с параметрами $W^k$ уметь:

• превращать $\nabla_{X^k_0}\mathcal{L}$ в $\nabla_{X^{k-1}_0}\mathcal{L}$ (градиент по выходу в градиент по входу);
• считать градиент по его параметрам $\nabla_{W^k_0}\mathcal{L}$.

При этом слою совершенно не надо знать, что происходит вокруг. То есть слой действительно может быть запрограммирован как отдельная сущность, умеющая внутри себя делать forward pass и backward pass, после чего слои механически, как кубики в конструкторе, собираются в большую сеть, которая сможет работать как одно целое.

Более того, во многих случаях авторы библиотек для глубинного обучения уже о вас позаботились и создали средства для автоматического дифференцирования выражений (autograd). Поэтому, программируя нейросеть, вы почти всегда можете думать только о forward-проходе, прямом преобразовании данных, предоставив библиотеке дифференцировать всё самостоятельно. Это делает код нейросетей весьма понятным и выразительным (да, в реальности он тоже бывает большим и страшным, но сравните на досуге код какой-нибудь разухабистой нейросети и код градиентного бустинга на решающих деревьях и почувствуйте разницу).

Но это лишь начало

Метод обратного распространения ошибки позволяет удобно посчитать градиенты, но дальше с ними что-то надо делать, и старый добрый SGD едва ли справится с обучением современной сетки. Так что же делать? О некоторых приёмах мы расскажем в следующей главе.

Применение алгоритма обратного распространения ошибки — один из известных методов, используемых для глубокого обучения нейронных сетей прямого распространения (такие сети ещё называют многослойными персептронами). Этот метод относят к методу обучения с учителем, поэтому требуется задавать в обучающих примерах целевые значения. В этой статье мы рассмотрим, что собой представляет метод обратного распространения ошибки, как он реализуется, каковы его плюсы и минусы.

Сегодня нейронные сети прямого распространения используются для решения множества сложных задач. Если говорить об обучении нейронных сетей методом обратного распространения, то тут пользуются двумя проходами по всем слоям нейросети: прямым и обратным. При выполнении прямого прохода осуществляется подача входного вектора на входной слой сети, после чего происходит распространение по нейронной сети от слоя к слою. В итоге должна осуществляться генерация набора выходных сигналов — именно он, по сути, является реакцией нейронной сети на этот входной образ. При прямом проходе все синаптические веса нейросети фиксированы. При обратном проходе все синаптические веса настраиваются согласно правил коррекции ошибок, когда фактический выход нейронной сети вычитается из желаемого, что приводит к формированию сигнала ошибки. Такой сигнал в дальнейшем распространяется по сети, причём направление распространения обратно направлению синаптических связей. Именно поэтому соответствующий метод и называют алгоритмом с обратно распространённой ошибкой. Синаптические веса настраивают с целью наибольшего приближения выходного сигнала нейронной сети к желаемому.

Общее описание алгоритма обратного распространения ошибки

К примеру, нам надо обучить нейронную сеть по аналогии с той, что представлена на картинке ниже. Естественно, задачу следует выполнить, применяя алгоритм обратного распространения ошибки:

В многослойных персептронах в роли активационной функции обычно применяют сигмоидальную активационную функция, в нашем случае — логистическую. Формула:

Причём «альфа» здесь означает параметр наклона сигмоидальной функции. Меняя его, мы получаем возможность строить функции с разной крутизной.

Сигмоид может сужать диапазон изменения таким образом, чтобы значение OUT лежало между нулем и единицей. Нейронные многослойные сети характеризуются более высокой представляющей мощностью, если сравнивать их с однослойными, но это утверждение справедливо лишь в случае нелинейности. Нужную нелинейность и обеспечивает сжимающая функция. Но на практике существует много функций, которые можно использовать. Говоря о работе алгоритма обратного распространения ошибки, скажем, что для этого нужно лишь, чтобы функция была везде дифференцируема, а данному требованию как раз и удовлетворяет сигмоид. У него есть и дополнительное преимущество — автоматический контроль усиления. Если речь идёт о слабых сигналах (OUT близко к нулю), то кривая «вход-выход» характеризуется сильным наклоном, дающим большое усиление. При увеличении сигнала усиление падает. В результате большие сигналы будут восприниматься сетью без насыщения, а слабые сигналы будут проходить по сети без чрезмерного ослабления.

Цель обучения сети

Цель обучения нейросети при использовании алгоритма обратного распространения ошибки — это такая подстройка весов нейросети, которая позволит при приложении некоторого множества входов получить требуемое множество выходов нейронов (выходных нейронов). Можно назвать эти множества входов и выходов векторами. В процессе обучения предполагается, что для любого входного вектора существует целевой вектор, парный входному и задающий требуемый выход. Эту пару называют обучающей. Работая с нейросетями, мы обучаем их на многих парах.

Также можно сказать, что алгоритм использует стохастический градиентный спуск и продвигается в многомерном пространстве весов в направлении антиградиента, причём цель — это достижение минимума функции ошибки.

При практическом применении метода обучение продолжают не до максимально точной настройки нейросети на минимум функции ошибки, а пока не будет достигнуто довольно точное его приближение. С одной стороны, это даёт возможность уменьшить количество итераций обучения, с другой — избежать переобучения нейронной сети.

Пошаговая реализация метода обратного распространения ошибки

Необходимо выполнить следующие действия:
1. Инициализировать синаптические веса случайными маленькими значениями.
2. Выбрать из обучающего множества очередную обучающую пару; подать на вход сети входной вектор.
3. Выполнить вычисление выходных значений нейронной сети.
4. Посчитать разность между выходом нейросети и требуемым выходом (речь идёт о целевом векторе обучающей пары).
5. Скорректировать веса сети в целях минимизации ошибки.
6. Повторять для каждого вектора обучающего множества шаги 2-5, пока ошибка обучения нейронной сети на всём множестве не достигнет уровня, который является приемлемым.

Виды обучения сети по методу обратного распространения

Сегодня существует много модификаций алгоритма обратного распространения ошибки. Возможно обучение не «по шагам» (выходная ошибка вычисляется, веса корректируются на каждом примере), а «по эпохам» в offline-режиме (изменения весовых коэффициентов происходит после подачи на вход нейросети всех примеров обучающего множества, а ошибка обучения neural сети усредняется по всем примерам).

Обучение «по эпохам» более устойчиво к выбросам и аномальным значениям целевой переменной благодаря усреднению ошибки по многим примерам. Зато в данном случае увеличивается вероятность «застревания» в локальных минимумах. При обучении «по шагам» такая вероятность меньше, ведь применение отдельных примеров создаёт «шум», «выталкивающий» алгоритм обратного распространения из ям градиентного рельефа.

Преимущества и недостатки метода

К плюсам можно отнести простоту в реализации и устойчивость к выбросам и аномалиям в данных, и это основные преимущества. Но есть и минусы:
• неопределенно долгий процесс обучения;
• вероятность «паралича сети» (при больших значениях рабочая точка функции активации попадает в область насыщения сигмоиды, а производная величина приближается к 0, в результате чего коррекции весов почти не происходят, а процесс обучения «замирает»;
• алгоритм уязвим к попаданию в локальные минимумы функции ошибки.

Значение метода обратного распространения

Появление алгоритма стало знаковым событием и положительно отразилось на развитии нейросетей, ведь он реализует эффективный с точки зрения вычислительных процессов способ обучения многослойного персептрона. В то же самое время, было бы неправильным сказать, что алгоритм предлагает наиболее оптимальное решение всех потенциальных проблем. Зато он действительно развеял пессимизм относительно машинного обучения многослойных машин, который воцарился после публикации в 1969 году работы американского учёного с фамилией Минский.

Источники:
— «Алгоритм обратного распространения ошибки»;
— «Back propagation algorithm».