Найти выборочную дисперсию ошибок прибора

Выборочная дисперсия, описание

Выборочная дисперсия является сводной характеристикой для наблюдения рассеяния количественного признака выборки вокруг среднего значения.

Определение

Выборочная дисперсия – это среднее арифметическое значений вариантов части отобранных объектов генеральной совокупности (выборки).

Связь выборочной и генеральной дисперсии

Генеральная дисперсия представляет собой среднее арифметическое квадратов отступлений значений признаков генеральной совокупности от их среднего значения.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Определение

Генеральная совокупность – это комплекс всех возможных объектов, относительно которых планируется вести наблюдение и формулировать выводы.

Выборочная совокупность или выборка является частью генеральной совокупности, выбранной для изучения и составления заключения касательной всей генеральной совокупности.

Как вычислить выборочную дисперсию

Выборочная дисперсия при различии всех значений варианта выборки находится по формуле:

\({\widehat D}_В=\frac{\displaystyle\sum_{i-1}^n{(x_i-{\overline x}_В)}^2}n\)

Для значений признаков выборочной совокупности с частотами n1, n2,…,nk формула выглядит следующим образом:

\({\widehat D}_В=\frac{\displaystyle\sum_{i-1}^kn_i{(x_i-{\overline x}_В)}^2}n\)

Квадратный корень из выборочной дисперсии характеризует рассеивание значений вариантов выборки вокруг своего среднего значения. Данная характеристика называется выборочным средним квадратическим отклонением и имеет вид:

\({\widehat\sigma}_В=\sqrt{{\widehat D}_В}\)

Упрощенный способ вычисления выборочной или генеральной дисперсии производят по формуле:

\(D=\overline{x^2}-\left[\overline x\right]^2\)

Если вариационный ряд выборочной совокупности интервальный, то за xi принимается центр частичных интервалов. 

Пример

Найти выборочную дисперсию выборки со значениями:

  • xi: 1, 2, 3, 4;
  • ni: 20, 15, 10, 5.

Решение

Для начала необходимо определить выборочную среднюю:

\({\overline x}_В=\frac1{50}(1\cdot20+2\cdot15+3\cdot10+4\cdot5)=\frac1{50}\cdot100=2\)

Затем найдем выборочную дисперсию:

\(D_В=\frac1{50}({(1-2)}^2\cdot20+{(2-2)}^2\cdot15+{(3-2)}^2\cdot10+{(4-2)}^2\cdot5)=1\)

Исправленная дисперсия

Математически выборочная дисперсия не соответствует генеральной, поскольку выборочная используется для смещенного оценивания генеральной дисперсии. По этой причине математическое ожидание выборочной дисперсии вычисляется так:

\(M\left[D_B\right]=\frac{n-1}nD_Г\)

В данной формуле DГ – это истинное значение дисперсии генеральной совокупности.

Исправить выборочную дисперсию можно путем умножения ее на дробь:

\(\frac n{n-1}\)

Получим формулу следующего вида:

\(S^2=\frac n{n-1}\cdot D_В=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kn_i{(x_i-{\overline x}_В)}^2}{n-1}\)

Исправленная дисперсия используется для несмещенной оценки генеральной дисперсии и обозначается S2. 

Среднеквадратическая генеральная совокупность оценивается при помощи исправленного среднеквадратического отклонения, которое вычисляется по формуле:

\(S=\sqrt{S^2}\)

При нахождении выборочной и исправленной дисперсии разнятся лишь знаменатели в формулах. Различия в этих характеристиках при больших n незначительны. Применение исправленной дисперсии целесообразно при объеме выборки меньше 30.

Для чего применяют исправленную выборочную дисперсию

Исправленную выборочную используют для точечной оценки генеральной дисперсии.

Пример

Длину стержня измерили одним и тем же прибором пять раз. В результате получили следующие величины: 92 мм, 94 мм, 103 мм, 105 мм, 106 мм. Задача найти выборочную среднюю длину предмета и выборочную исправленную дисперсию ошибок измерительного прибора.

Решение

Сначала вычислим выборочную среднюю:

\({\overline x}_В=\frac{92+94+103+105+106}5=100\)

Затем найдем выборочную дисперсию:

\(D_В=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k{(x_i-{\overline x}_В)}^2}n=\frac{{(92-100)}^2+{(94-100)}^2+{(103-100)}^2+{(105-100)}^2+{(106-100)}^2}5=34\)

Теперь рассчитаем исправленную дисперсию:

\(S^2=\frac5{5-1}\cdot34=42,5\)

Источник

Номер: 4.69.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 15,18,19,22,26. Найти выборочную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 10 2). 20 3). 19 4). 5 5). нет правильного ответа

Номер: 4.70.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 10,13,14,17,21. Найти выборочную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 15 2). 12 3). 14 4). 5 5). нет правильного ответа

Номер: 4.71.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 5,8,9,12,16. Найти выборочную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 2 2). 14 3). 12,3 4). 10 5). нет правильного ответа

Номер: 4.72.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 8,10,13,14,15. Найти выборочную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 5,4 2). 6,8 3). 13 4). 12 5). нет правильного ответа

Номер: 4.73.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 13,15,18,19,20. Найти выборочную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 17 2). 4,2 3). 6,8 4). 7,4 5). нет правильного ответа

Номер: 4.74.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 18,20,23,24,25. Найти выборочную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 3,5 2). 22 3). 10,7 4). 6,8 5). нет правильного ответа

Номер: 4.75.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 23,25,28,29,30. Найти выборочную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 6,8 2). 7,8 3). 15,2 4). 27 5). нет правильного ответа

Номер: 4.76.В Задача: В итоге четырех измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 6,8,10,12. Найти

исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 2,2

2). 5

3). 6,7

4). 4,3

5). нет правильного ответа

Номер: 4.77.В Задача: В итоге четырех измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 11,13,15,17. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 3,6 2). 6,7 3). 5 4). 4 5). нет правильного ответа

Номер: 4.78.В Задача: В итоге четырех измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 20,24,26,30. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 12,2 2).4 3). 5 4). 17,3 5). нет правильного ответа

Номер: 4.79.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 20,23,24,27,31. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 20,8 2). 24 3). 5 4). 17,5 5). нет правильного ответа

Номер: 4.80.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 40,43,44,47,51. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 17,5 2). 41 3). 18,6 4). 22 5). нет правильного ответа

Номер: 4.81.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 25,28,29,32,36. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 14 2). 17,5 3). 10,7 4). 25,5 5). нет правильного ответа

Номер: 4.82.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 40,43,49,52,56. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 49,3 2). 42,5 3). 34 4). 48 5). нет правильного ответа

Номер: 4.83.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 16,18,19,22,25. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 20 2). 24,2 3). 12,5 4). 10 5). нет правильного ответа

Номер: 4.84.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 21,22,23,26,28. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 14 2). 6,8 3). 10 4). 8,5 5). нет правильного ответа

Номер: 4.85.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 11,13,14,17,20. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 14 2 2). 10 3). 12,5 4). 10,5 5). нет правильного ответа

Номер: 4.86.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 6,8,9,12,15. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 3 2). 12,5 3). 20,5 4). 0,5 5). нет правильного ответа

Номер: 4.87.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 15,18,19,22,26. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 14 2). 5 3). 17,5 4). 20 5). нет правильного ответа

Номер: 4.88.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 10,13,14,17,21. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 12 2). 17,5 3). 11,8 4). 21,4 5). нет правильного ответа

Номер: 4.89.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 5,8,9,12,16. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 5,2 2). 7,6 3). 20,9 4). 17,5 5). нет правильного ответа

Номер: 4.90.В Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без

системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 8,10,13,14,15. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 1,7

2). 3,4

3). 8,5

4). 6,8

5). нет правильного ответа

Номер: 4.91.С

Задача: Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки

x i

2

5

7

8

10

ni

1

3

4

5

2

Ответы: 1). 7

2). 49

3). 28

4). 4

5). нет правильного ответа

Номер: 4.92.С

Задача: Из генеральной совокупности извлечена выборка

x i

2

5

7

10

ni

1

3

2

4

Найти смещенную оценку генеральной дисперсии

Ответы: 1). 6,1

2). 6,52

3). 7

4). 7,29

5). нет правильного ответа

Номер: 4.93.С

Задача: Из генеральной совокупности извлечена выборка

x i

2

4

5

7

10

ni

15

20

10

10

45

Найти смещенную оценку генеральной дисперсии

Ответы: 1). 4,45

2). 9,96

3). 0,25

4). 6,8

5). нет правильного ответа

Номер: 4.94.С

Задача: Из генеральной совокупности извлечена выборка

x i

1

3

6

7

9

ni

8

10

30

32

20

Найти смещенную оценку генеральной дисперсии

Ответы: 1). 3,0145

2). 3,9234

3). 4,9716

4). 5,01

5). нет правильного ответа

Номер: 4.95.С

Задача: Из генеральной совокупности извлечена выборка

x i

10

12

14

17

19

20

ni

11

9

10

3

8

9

Найти смещенную оценку генеральной дисперсии

Ответы: 1). 54,9081

2). 6,5876

3). 10,2132

4). 14,82

5). нет правильного ответа

Номер: 4.96.С Задача: Из генеральной совокупности извлечена выборка

x i

12

14

17

19

ni

19

20

35

26

Найти смещенную оценку генеральной дисперсии

Ответы: 1). 261,57

2). 157,7

3). 6,5291

4). 15,9712

5). нет правильного ответа

Номер: 4.97.С Задача: Из генеральной совокупности извлечена выборка

x i

6

8

9

11

12

ni

20

24

25

24

7

Найти смещенную оценку генеральной дисперсии

Ответы: 1). 78,3225

2). 2,4156

3). 3,6075

4). 8,5

5). нет правильного ответа

Номер: 4.98.С Задача: Из генеральной совокупности извлечена выборка

x i

2

5

7

8

9

ni

4

24

15

20

37

Найти смещенную оценку генеральной дисперсии

Ответы: 1). 7,01

2). 3,5724

3). 2,1546

4). 4,5125

5). нет правильного ответа

Номер: 4.99.С Задача: Из генеральной совокупности извлечена выборка

x i

1

2

3

4

5

6

ni

15

9

8

20

35

13

Найти смещенную оценку генеральной дисперсии

Ответы: 1). 7,26

2). 15,21

3). 5,71

4). 2,65

5). нет правильного ответа

Номер: 4.100.С

Задача: Из генеральной совокупности извлечена выборка

x i

4

7

8

9

10

ni

16

19

21

10

34

Найти смещенную оценку генеральной дисперсии

Ответы: 1). 3,1521

2). 3,56

3). 4,2075

4). 4,45

5). нет правильного ответа

Номер: 4.101.С

Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 13,15,18,19,20. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 11 2). 8,5 3). 15,5 4). 6,8 5). нет правильного ответа

Номер: 4.102.С

Задача: В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без системных ошибок) получены следующие результаты (в мм): 18,20,23,24,25. Найти исправленную дисперсию ошибок прибора.

Ответы: 1). 8,5 2). 11 3). 6,8 4). 5 5). нет правильного ответа

Номер: 4.103.С

Задача: Из партии, содержащей 8000 деталей, проведена бесповторная выборка 12,5% деталей. Среди них оказалось 84% стандартных деталей. Найти вероятность того, что процент таких деталей во всей партии отличается от процента их в выборке не более чем на 2% (по абсолютной величине).

Ответы: 1). 0,9360 2). 0,9564 3). 0,7640 4). 0, 8764 5). нет правильного ответа

Номер: 4.104.С

Задача: Определить необходимый объем бесповторной выборки, чтобы при определении средней продолжительности горения лампочек в партии из 5000 лампочек с вероятностью 0,99 отклонение генеральной средней от выборочной средней не превосходило по абсолютной величине 25 ч. Генеральное среднее квадратическое отклонение принять равным 150 ч.

Ответы: 1). 230 2). 229 3). 231 4). 235 5). нет правильного ответа

Номер: 4.105.С

Задача: Из имевшихся в партии 5000 стаканов, проведена бесповторная выборка 400 стаканов. Среди них оказалось 300 стаканов первого сорта. Найти вероятность того, что доля таких стаканов во всей партии отличается от доли их в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине).

Ответы: 1). 0,9640 2). 0,9964 3). 0,9840 4). 0, 9764 5). нет правильного ответа

Номер: 4.106.С

Задача: С целью изучения выполнения норм рабочими из совокупности в 1600 рабочих была произведена бесповторная выборка 200 рабочих. Среди них оказалось 24 человека, перевыполнивших норму более чем на 25%. Найти вероятность того, что доля таких рабочих во всей совокупности отличается от доли таких рабочих в выборке не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

Ответы: 1). 0,9564 2). 0,9864 3). 0,9648 4). 0,9372 5). нет правильного ответа

Номер: 4.107.С

Задача: Для выяснения всхожести семян из партии, содержащей 8000 семян, отобрано случайно-бесповторным способом 500, из них взошло 440. Найти вероятность того, что доля всхожих семян во всей партии отличается от доли их в выборке не более чем на 0,03 (по абсолютной величине).

Ответы: 1). 0,9978 2). 0,9933 3). 0,9670 4). 0, 9864 5). нет правильного ответа

Номер: 4.108.С

Задача: Из поступивших в инкубатор 40 000 яиц была образована бесповторная выборочная совокупность из 400 яиц. Из них вывелось 304 цыпленка. Найти вероятность того, что во всей совокупности удельный вес яиц, из которых выведутся цыплята, отличается от соответствующей величины в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине).

Ответы: 1). 0,9814

2). 0,8964

3). 0,9648

4). 0, 9544

5). нет правильного ответа

Номер: 4.109.С

Задача: Из 4000

покупателей магазина

была образована

бесповторная

выборочная совокупность объемом 500. Среди них оказалось 350 человек, сделавших покупки в магазине. Найти вероятность того, что доля всех покупателей, которые произведут покупки в магазине, отличается от доли их в выборке не более чем на 0,03 (по абсолютной величине).

Ответы: 1). 0,7964

2). 0,8824

3). 0,6640

4). 0,5764

5). нет правильного ответа

Номер: 4.110.С

Задача: Объем случайной бесповторной выборки из партии в 4000 болтов равен 600. Среди них оказалось 6% болтов с дефектами. Найти границы, в которых с вероятностью 0,909 заключена доля бездефектных болтов во всей партии.

Ответы: 1). 0,6640 2). 0,7964 3). 0,8824 4). 0, 5764 5). нет правильного ответа

Номер: 4.111.С

Задача: Из партии в 2500 изделий, проведена бесповторная выборка 10% деталей. Среди них оказалось 80% изделий соответствующих стандарту. Найти границы, в которых с вероятностью 0,996 заключена доля стандартных изделий во всей партии.

Ответы: 1). [0,8801; 0,8991]

2). [0,6834; 0,7693]

3). [0,4569; 0,5691]

4). [0,7309; 0,8691]

5). нет правильного ответа

Номер: 4.112.С

Задача: С целью определения доли женщин среди абитуриентов института была образована выборочная совокупность, объемом 1000 человек. Среди них оказалось 650 женщин. Найти границы, в которых с вероятностью 0,992

заключена доля женщин среди абитуриентов института, если выборка бесповторная, а всего желающих поступить в институт 12 000 человек.

Ответы: 1).[0,709; 0,816]

2). [0,612; 0,688]

3). [0,569; 0,569]

4). [0,801; 0,899]

5). нет правильного ответа

Номер: 4.113.С

Задача: На опытном участке имеется 10 000 колосьев хлебного злака. Требуется определить необходимый объем бесповторной выборки для того, чтобы по ее результатам определить средний вес колосьев на всем участке так, чтобы с вероятностью 0,991 ошибка в определении среднего веса колосьев на всем участке не превысила 0,1 г. Установлено, что выборочная дисперсия равна 0,8.

Ответы: 1). 545 2). 634 3). 664 4). 564 5). нет правильного ответа

Номер: 4.114.С

Задача: Приемщик, получивший 8000 деталей, должен выборочным путем оценить долю первосортных деталей в принимаемой партии. Каким должен быть объем бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,994 можно было утверждать, что доля первосортных деталей в выборке и во всей партии отличается не более чем на 0,05 (по абсолютной величине).

Ответы: 1). 834

2). 756

3). 677

4). 884

5). нет правильного ответа

Номер: 4.115.С

Задача: Из партии в 8000 изделий, проведена бесповторная выборка 800 деталей. Среди них оказалось 90% изделий соответствующих стандарту. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена доля стандартных изделий во всей партии.

Ответы: 1). [6569; 7691]

2). [6834; 7693]

3). [7039; 7361]

4). [7041; 7091]

5). нет правильного ответа

Номер: 4.116.С

Задача: По данным наблюдений за нормально распределенной величиной X построить доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднеквадратическом отклонении соответствующий доверительной вероятности 0,95.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

2,5

2

-2,3

1,9

-2,1

2,4

2,3

-2,5

1,5

-1,7

Ответы: 1). (1,19; 1,99)

2). (− 0,19; 0,99)

3). (−1,9; 2,99)

4). (−1,19; 1,99)

5). нет правильного ответа

Номер: 4.117.С

Задача: По данным наблюдений за нормально распределенной величиной X построить доверительный интервал для оценки математического ожидания при

неизвестном среднеквадратическом отклонении соответствующий доверительной вероятности 0,95.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

2,5

2

-2,3

1,9

-2,1

2,4

2,3

-2,5

1,5

-1,7

Ответы: 1). (-1,18; 1,98)

2). (-0,84; 0,73)

3). (-0,69; 0,69)

4). (-1,81; 0,99)

5). нет правильного ответа

Номер: 4.118.С

Задача: По данным наблюдений за нормально распределенной величиной X построить доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднеквадратическом отклонении соответствующий доверительной вероятности 0,95.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

2,4

-1,5

-1,6

-4,3

1,2

1,0

-1,9

4,0

1,0

2,4

Ответы: 1). (−1,55; 2,05)

2). (−1,83; 2,17)

3). (− 0,53;1,07)

4). (−1,53; 2,07)

5). нет правильного ответа

Номер: 4.119.С

Задача: По данным наблюдений за нормально распределенной величиной X построить доверительный интервал для оценки математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности 0,95.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

2,4

-1,5

-1,6

-4,3

1,2

1,0

-1,9

4,0

1,0

2,4

Ответы: 1). (-8,59; 9,19)

2). (-8,84; 9,73)

3). (-8,69; 9,69)

4). (-9,81; 9,99)

5). нет правильного ответа

Номер: 4.120.С

Задача: По данным наблюдений за нормально распределенной величиной X построить доверительный интервал для оценки математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности 0,95.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

xi

0,71

0,19

0,3

0,92

0,48

0,42

0,72

0,83

0,07

0,02

Ответы: 1). (-0,94; 1,88)

2). (-0,84; 1,73)

3). (-0,69; 1,69)

4). (-0,81; 1,99)

5). нет правильного ответа

5. Проверка статистической гипотезы о законе распределения генеральной совокупности. Теория

Номер: 5.1.А Задача: Нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое

ожидание a нормального распределения равна 10, то конкурирующая гипотеза состоит в предложении, что

Ответы: 1). a ³ 10

2). a ¹ 10

3). a £ 10

4). a » 10

5). нет правильного ответа

Номер: 5.2.А Задача: Нулевая гипотеза состоит в предположении, что параметр

показательного распределения l = 5, то конкурирующая гипотеза состоит в предложении, что

Ответы: 1). l £ 5

2). l ³ 5

3). l ¹ 5

4). l » 5

5). нет правильного ответа

Номер: 5.3.А

Задача: Нулевая гипотеза имеет

вид

H 0 : a = 21,

тогда

конкурирующей

гипотезой не может являться

4). a ³ 21

Ответы: 1). a ¹ 21

2). a < 21

3). a > 21

5). нет правильного ответа

Номер: 5.4.А

Задача: Нулевая гипотеза имеет вид H 0 : s2

= s02 ,

тогда

конкурирующей

гипотезой не может являться

Ответы: 1). s2 > s02

2). s2 < s02

3). s2

¹ s02

4). s2 £ s02

5). нет правильного ответа

Номер: 5.5.А

Задача: Нулевая гипотеза имеет вид H 0 : s2

= 14,

тогда

конкурирующей

гипотезой не может являться

Ответы: 1). s2 > 14

2). s2 < 14

3). s2 ³ 14

4). s2 ¹ 14

5). нет правильного ответа

Номер: 5.6.А

Задача: Нулевая гипотеза имеет вид H 0 : M (X) = M (Y), тогда конкурирующей гипотезой не может являться

Ответы: 1). M (X) £ M (Y)

2). M (X) > M (Y) 3). M (X) < M (Y)

4). M (X) ¹ M (Y)

5). нет правильного ответа

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Генеральная и выборочная дисперсия

Для анализа полученных данных в математической статистике используют различные виды показателей вариации, среди которых:

  • размах вариации;
  • среднее абсолютное отклонение;
  • дисперсия.

Разберем понятие дисперсии, ее виды и свойства.

Дисперсия — величина, являющаяся мерой разброса полученных в ходе наблюдений данных относительно истинного значения.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Дисперсия является точечной оценкой параметра, так как имеет одно конкретное числовое значение.

Статистический анализ при исследовании некоторого объекта может быть сплошным или выборочным в зависимости от охватываемого объема данных.

В обоих вариантах результаты анализа распространяют на генеральную совокупность, однако при сплошном анализе наблюдению подвергают абсолютно все имеющиеся данные. Выборочный анализ, напротив, предполагает наблюдение только за некоторой выбранной частью данных. При этом выбранная совокупность должна сохранять структуру и закономерности генеральной.

Дисперсию также делят на два вида в зависимости от используемых данных:

  • генеральная дисперсия;
  • выборочная дисперсия.

Как видно из названия, дисперсии отличаются объемом выборки, на основе которой происходит расчет и анализ.

Выборочная дисперсия, определение, формулы для вычисления

Пусть имеется некоторая выборка Y из генеральной совокупности объемом n. Среднее значение выборки обозначим как \({\overline y}_в\).

Выборочная дисперсия \(D_в\) — величина, равная среднему арифметическому отклонению квадратов разности признаков выборки \(y_1,\;y_2,\;…y_n\) от ее среднего значения \({\overline y}_в\).

Данные в выборке могут располагаться хаотично, то есть быть несгруппированными, или же сформированы в вариационный ряд.

Выборочную дисперсию для несгруппированной выборки можно посчитать по формуле:

Формула 1

 \(D_в=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}(y_i-{\overline y}_в)}n\)

В случае вариационного ряда используют кратные значения и частоты для дискретного представления; середины частичных интервалов и частоты для интервального представления.

Формула 2

 \(D_в=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^k}(y’_i-{\overline y}_в)\cdot n_i}n\)

где \(y’_i \)— кратное (одинаковое) значение в выборке или значение, соответствующее середине интервала;

\(n_i \)— частота.

Выборочная дисперсия, рассчитанная по приведенным выше формулам, дает недостоверное (заниженное) значение. Это значит, что при большом количестве экспериментов выборочная дисперсия будет давать смещенное относительно истинного значения генеральной совокупности значение.

Чтобы получить несмещенную выборочную дисперсию, используют следующую формулу:

Формула 3

 \(D_в=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}{(y_i-{\overline y}_в)}^2}{n-1}\)

Примечание 1

 Как правило при использовании термина «выборочная дисперсия» имеют в виду именно несмещенную выборочную дисперсию.

Генеральная дисперсия, определение, что является оценкой, формулы для вычисления

Пусть имеется некоторая генеральная совокупность X объемом N и среднее значение признаков совокупности \(X — {\overline x}_г.\)

Генеральная дисперсия \(D_г\) есть среднее арифметическое отклонение квадратов разности признаков \(x_1,\;x_2,\;…x_n\) генеральной совокупности X от их среднего значения \({\overline x}_г\).

Примечание 2

Иногда генеральную дисперсию называют теоретической.

Аналогично выборочной, генеральная дисперсия может быть рассчитана для несгруппированных данных генеральной совокупности:

Формула 4

\(D_г=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^N}{(x_i-{\overline x}_г)}^2}N\)

и для сформированного вариационного ряда:

Формула 5

\(D_г=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^K}{(x’_i-{\overline x}_г)}^2\cdot n_i}N\)

Значение теоретической дисперсии бывает сложно вычислить из-за большого объема данных или их недостатка. Тогда для оценки используют выборочную дисперсию. Но если для оценки генеральной дисперсии применить выборочную, это приведет к возникновению ряда систематических ошибок. В результате оценка будет произведена неверно, а значение генеральной дисперсии занижено.

Чтобы устранить возникающую погрешность в качестве оценки генеральной дисперсии используют исправленную или несмещенную выборочную дисперсию, формула которой представлена выше.

Оценки параметров распределения

Оценкой параметра в статистике считают численное значение какого-либо параметра данной выборки.

Приведем оценки параметров распределения случайной величины, которые связаны с дисперсией.

Среднеквадратическое отклонение (δ) — характеристика рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. Определяется как корень квадратный из дисперсии.

Формула 6

\(\delta=\sqrt D\)

Математическое ожидание случайной величины X — среднее (по весу вероятностей возможных значений) значение случайной величины. Обозначается как M(X).

Математическое ожидание и дисперсия для дискретной случайной величины связаны соотношением:

Формула 7

 \(D=M\left[X-M(X)\right]^2\)

для непрерывной:

Формула 8

 \(D=\int_{-\infty}^\infty(x-M{(x))}^2\cdot f(x)dx\)

где f(x) — функция распределения случайной величины.

Отметим, что указанные выше параметры могут быть определены как для генеральной совокупности, так и для некоторой выборки.

Примеры решения задач

Пример 1

Напряжение в цепи измеряют 6 раз с помощью одного и того же вольтметра. Получены следующие значения: 210 В, 200 В, 195 В, 205 В, 190 В, 200 В. Найти выборочную смещенную дисперсию и дать оценку генеральной дисперсии.

Решение.

Сначала вычислим выборочное среднее значение:

\({\overline x}_в=\frac{210+200+195+205+190+200}6=200\;B.\)

Теперь найдем выборочную дисперсию:

\(D_в=\frac{{(210-200)}^2+{(200-200)}^2+{(195-200)}^2+{(205-200)}^2+{(190-200)}^2+{(200-200)}^2}6=\frac{250}6\approx42.\)

Оценкой генеральной дисперсии является исправленная или выборочная несмещенная дисперсия. Чтобы вычислить исправленную дисперсию, умножим полученную ранее выборочную дисперсию на множитель \(\frac n{n-1} (n=6):\)

\(D_и=\frac n{n-1}\cdot D_в=\frac65\cdot\frac{250}6=50.\)

Примечание 3

Данный пример показывает, что значение выборочной смещенной дисперсии занижено относительно генеральной.

Пример 2

Случайная величина задана следующей таблицей распределения, среднее значение выборки равно 14. Найти выборочную несмещенную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

blobid1645452910973.jpg

Решение.

Вычислим выборочную несмещенную дисперсию:

\(D_в=\frac{2{(10-14)}^2+1{(3-14)}^2+1{(11-14)}^2+3{(8-14)}^2+2{(6-14)}^2}9\cdot\frac98=\frac{398}8\approx50.\)

Теперь найдем среднеквадратическое отклонение:

\(\delta=\sqrt{D_в}=\sqrt{\frac{398}8}=\frac{\sqrt{199}}2\approx7.\)

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Найти вероятность ошибки первого рода примеры задач
  • Найдите три ошибки карл линней родоначальник современной
  • Найдите ошибки и исправьте их we not going
  • Найдите ошибку среди самых больших стран мира
  • Найти вероятность что хотя бы один допустит ошибку