Найти вероятность что хотя бы один допустит ошибку

Решение задач с формулировкой «хотя бы один»

Поговорим о задачах, в которых встречается фраза «хотя бы один». Наверняка вы встречали такие задачи в домашних и контрольных работах, а теперь узнаете, как их решать. Сначала я расскажу об общем правиле, а потом рассмотрим частный случай независимых событий и схемы Бернулли, выпишем формулы и примеры для каждого.

Общая методика и примеры

Общая методика для решения задач, в которых встречается фраза «хотя бы один» такая:

1. Выписать исходное событие $A$ = (Вероятность того, что … хотя бы …).
2. Сформулировать противоположное событие $\bar{A}$.
3. Найти вероятность события $P(\bar{A})$.
4. Найти искомую вероятность по формуле $P(A)=1-P(\bar{A})$.

А теперь разберем ее на примерах. Вперед!

Пример 1. В ящике находится 25 стандартных и 6 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трёх наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Действуем прямо по пунктам.
1. Записываем событие, вероятность которого надо найти прямо из условия задачи:
$A$ =(Из 3 выбранных деталей хотя бы одна бракованная).

2. Тогда противоположное событие формулируется так $\bar{A}$ = (Из 3 выбранных деталей ни одной бракованной) = (Все 3 выбранные детали будут стандартные).

3. Теперь нужно понять, как найти вероятность события $\bar{A}$, для чего еще раз посмотрим на задачу: говорится об объектах двух видов (детали бракованные и нет), из которых вынимается некоторое число объектов и изучаются (бракованные или нет). Это задача решается с помощью классического определения вероятности (точнее, по формуле гипергеометрической вероятности, подробнее о ней читайте в статье).

Для первого примера запишем решение подробно, далее будем уже сокращать (а полные инструкции и калькуляторы вы найдете по ссылке выше).

Сначала найдем общее число исходов — это число способов выбрать любые 3 детали из партии в 25+6=31 деталей в ящике. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 31 объектов по 3: $n=C_{31}^3$.

Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы все 3 выбранные детали были стандартные, их можно выбрать $m = C_{25}^3$ способами (так как стандартных деталей в ящике ровно 25).

Вероятность равна:

$$
P(\bar{A})=\frac{m}{n}=\frac{C_{25}^3 }{C_{31}^3} = \frac{23 \cdot 24\cdot 25}{29\cdot 30\cdot 31} =\frac{2300}{4495}= 0.512.
$$

4. Тогда искомая вероятность:

$$
P(A)=1-P(\bar{A})=1- 0.512 = 0.488.
$$

Ответ: 0.488.

Пример 2. Из колоды в 36 карт берут наудачу 6 карт. Найти вероятность того, что среди взятых карт будут: хотя бы две пики.

1. Записываем событие $A$ =(Из 6 выбранных карт будут хотя бы две пики).

2. Тогда противоположное событие формулируется так $\bar{A}$ = (Из 6 выбранных карт будет менее 2 пик) = (Из 6 выбранных карт будет ровно 0 или 1 пиковые карты, остальные другой масти).

Замечание. Тут я остановлюсь и сделаю небольшое замечание. Хотя в 90% случаях методика «перейти к противоположному событию» работает на отлично, существуют случаи, когда проще найти вероятность исходного события. В данном случае, если искать напрямую вероятность события $A$ потребуется сложить 5 вероятностей, а для события $\bar{A}$ — всего 2 вероятности. А вот если бы задача была такая «из 6 карт хотя бы 5 — пиковые», ситуация стала бы обратной и тут проще решать исходную задачу. Если опять попытаться дать инструкцию, скажу так. В задачах, где видите «хотя бы один», смело переходите к противоположному событию. Если же речь о «хотя бы 2, хотя бы 4 и т.п.», тут надо прикинуть, что легче считать.

3. Возвращаемся к нашей задаче и находим вероятность события $\bar{A}$ с помощью классического определения вероятности.

Общее число исходов (способов выбрать любые 6 карт из 36) равно $n=C_{36}^6$ (калькулятор сочетаний тут).

Найдем число благоприятствующих событию исходов. $m_0 = C_{27}^6$ — число способов выбрать все 6 карт непиковой масти (их в колоде 36-9=27), $m_1 = C_{9}^1\cdot C_{27}^5$ — число способов выбрать 1 карту пиковой масти (из 9) и еще 5 других мастей (из 27).

Тогда:

$$
P(\bar{A})=\frac{m_0+m_1}{n}=\frac{C_{27}^6+C_{9}^1\cdot C_{27}^5 }{C_{36}^6} =\frac{85215}{162316}= 0.525.
$$

4. Тогда искомая вероятность:

$$
P(A)=1-P(\bar{A})=1- 0.525 = 0.475.
$$

Ответ: 0.475.

Пример 3. В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Три шара вынимают наугад. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы два будут разного цвета.

1. Записываем событие $A$ =(Среди вынутых 3 шаров хотя бы два разного цвета). То есть, например, «2 красных шара и 1 белый», или «1 белый, 1 черный, 1 красный», или «2 черных, 1 красный» и так далее, вариантов многовато. Попробуем правило перехода к противоположному событию.

2. Тогда противоположное событие формулируется так $\bar{A}$ = (Все три шара одного цвета) = (Выбраны 3 черных шара или 3 красных шара) — всего 2 варианта получилось, значит, этот способ решения упрощает вычисления. Кстати, все шары белого цвета не могут быть выбраны, так как их всего 2, а вынимается 3 шара.

3. Общее число исходов (способов выбрать любые 3 шара из 2+3+5=10 шаров) равно $n=C_{10}^3=120$.

Найдем число благоприятствующих событию исходов. $m = C_{3}^3+C_{5}^3=1+10=11$ — число способов выбрать или 3 черных шара (из 3), или 3 красных шара (из 5).

Тогда:

$$
P(\bar{A})=\frac{m}{n}=\frac{11}{120}.
$$

4. Искомая вероятность:

$$
P(A)=1-P(\bar{A})=1- \frac{11}{120}=\frac{109}{120} = 0.908.
$$

Ответ: 0.908.

Частный случай. Независимые события

Идем дальше, и приходим к классу задач, где рассматривается несколько независимых событий (стрелки попадают, лампочки перегорают, машины заводятся, рабочие болеют с разной вероятностью каждый и т.п.) и нужно «найти вероятность наступления хотя бы одного события». В вариациях это может звучать так «найти вероятность, что хотя бы один стрелок из трех попадет в цель», «найти вероятность того, что хотя бы один автобус из двух вовремя приедет на вокзал», «найти вероятность, что хотя бы один элемент в устройстве из четырех элементов откажет за год» и т.д.

Если в примерах выше речь шла о применении формулы классической вероятности, здесь мы приходим к алгебре событий, используем формулы сложения и умножения вероятностей (небольшая теория тут).

Итак, рассматриваются несколько независимых событий $A_1, A_2,…,A_n$, вероятности наступления каждого известны и равны $P(A_i)=p_i$ ($q_i=1-p_i$). Тогда вероятность того, что в результате эксперимента произойдет хотя бы одно из событий, вычисляется по формуле

$$
P=1-q_1\cdot q_2 \cdot …\cdot q_n. \quad(1)
$$

Строго говоря, эта формула тоже получается применением основной методики «перейти к противоположному событию». Ведь действительно, пусть $A$=(Наступит хотя бы одно событие из $A_1, A_2,…,A_n$), тогда $\bar{A}$ = (Ни одно из событий не произойдет), что значит:

$$
P(\bar{A})=P(\bar{A_1} \cdot \bar{A_2} \cdot … \bar{A_n})=P(\bar{A_1}) \cdot P(\bar{A_2}) \cdot … P(\bar{A_n})=\\
=(1-P(A_1)) \cdot (1-P(A_2)) \cdot … (1-P(A_n))=\\
=(1-p_1) \cdot (1-p_2) \cdot … (1-p_n)=q_1\cdot q_2 \cdot …\cdot q_n,\\
$$
откуда и получаем нашу формулу
$$
P(A)=1-P(\bar{A})=1-q_1\cdot q_2 \cdot …\cdot q_n.
$$

Пример 4. Узел содержит две независимо работающие детали. Вероятности отказа деталей соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

Событие $A$ =(Узел отказал) = (Хотя бы одна из двух деталей отказала). Введем независимые события: $A_1$ = (Первая деталь отказала) и $A_2$ = (Вторая деталь отказала). По условию $p_1=P(A_1)=0,05$, $p_2=P(A_2)=0,08$, тогда $q_1=1-p_1=0,95$, $q_2=1-p_2=0,92$. Применим формулу (1) и получим:

$$
P(A)=1-q_1\cdot q_2 = 1-0,95\cdot 0,92=0,126.
$$

Ответ: 0,126.

Пример 5. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике, равна 0,8, во втором — 0,7, в третьем — 0,6. Найти вероятность того, что формула содержится хотя бы в одном справочнике.

Действуем аналогично. Рассмотрим основное событие
$A$ =(Формула содержится хотя бы в одном справочнике). Введем независимые события:
$A_1$ = (Формула есть в первом справочнике),
$A_2$ = (Формула есть во втором справочнике),
$A_3$ = (Формула есть в третьем справочнике).

По условию $p_1=P(A_1)=0,8$, $p_2=P(A_2)=0,7$, $p_3=P(A_3)=0,6$, тогда $q_1=1-p_1=0,2$, $q_2=1-p_2=0,3$, $q_3=1-p_3=0,4$. Применим формулу (1) и получим:

$$
P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 = 1-0,2\cdot 0,3\cdot 0,4=0,976.
$$

Ответ: 0,976.

Пример 6. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй – 0,6, третий – 0,4 и четвёртый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.

Думаю, вы уже уловили принцип решения, вопрос только в количестве событий, но и оно не оказывает влияния на сложность решения (в отличие от общих задач на сложение и умножение вероятностей). Только будьте внимательны, вероятности указаны для «потребует внимания», а вот вопрос задачи «хотя бы один станок НЕ потребует внимания». Вводить события нужно такие же, как и основное (в данном случае, с НЕ), чтобы пользоваться общей формулой (1).

Получаем:
$A$ = (В течение смены хотя бы один станок НЕ потребует внимания мастера),
$A_i$ = ($i$-ый станок НЕ потребует внимания мастера), $i=1,2,3,4$,
$p_1 = 0,7$, $p_2 = 0,4$, $p_3 = 0,6$, $p_4 = 0,75$.

Искомая вероятность:

$$
P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 \cdot q_4= 1-(1-0,7)\cdot (1-0,4)\cdot (1-0,6)\cdot (1-0,75)=0,982.
$$

Ответ: 0,982. Почти наверняка мастер будет отдыхать всю смену;)

Частный случай. Повторные испытания

Думаете, дальше будет сложнее? Напротив, случаи все более частные, решения и формулы все более простые.

Итак, у нас есть $n$ независимых событий (или повторений некоторого опыта), причем вероятности наступления этих событий (или наступления события в каждом из опытов) теперь одинаковы и равны $p$. Тогда формула (1) упрощается к виду
:

$$
P=1-q_1\cdot q_2 \cdot …\cdot q_n = 1-q^n.
$$

Фактически мы сужаемся к классу задач, который носит название «повторные независимые испытания» или «схема Бернулли», когда проводится $n$ опытов, вероятность наступления события в каждом из которых равна $p$. Нужно найти вероятность, что событие появится хотя бы раз из $n$ повторений:

$$
P=1-q^n. \quad(2)
$$

Подробнее о схеме Бернулли можно прочитать в онлайн-учебнике, а также посмотреть статьи-калькуляторы о решении различных подтипов задач (о выстрелах, лотерейных билетах и т.п.). Ниже же будут разобраны задачи только с «хотя бы один».

Пример 7. Пусть вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта.

Решения короче вы еще не видели.
Просто выписываем из условия: $n=3$, $p=0,9$, $q=1-p=0,1$.
Тогда вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта, по формуле (2):

$$
P=1-0,1^3=1-0,001=0,999
$$

Ответ: 0,999.

Пример 8. Производится 5 независимых выстрелов по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание.

Опять, начинаем с формализации задачи, выписывая известные величины. $n=5$ выстрелов, $p=0,8$ — вероятность попадания при одном выстреле, $q=1-p=0,2$.
И тогда вероятность того, что будет хотя бы одно попадание из пяти выстрелов равна:
$$
P=1-0,2^5=1-0,00032=0,99968
$$

Ответ: 0,99968.

Думаю, с применением формулы (2) все более чем ясно (не забудьте почитать и о других задачах, решаемых в рамках схемы Бернулли, ссылки были выше). А ниже я приведу чуть более сложную задачу. Такие задачи встречаются пореже, но и их способ решения надо усвоить. Поехали!

Пример 9. Производится n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие A появляется с вероятностью 0,7. Сколько нужно сделать опытов для того, чтобы с вероятностью 0,95 гарантировать хотя бы одно появление события A?

Имеем схему Бернулли, $n$ — количество опытов, $p=0,7$ — вероятность появления события А.

Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно событие А в $n$ опытах, равна по формуле (2):
$$
P=1-q^n=1-(1-0,7)^n=1-0,3^n
$$
По условию эта вероятность должна быть не меньше 0,95, поэтому:

$$
1-0,3^n \ge 0,95,\\
0,3^n \le 0,05,\\
n \ge \log_{0,3} 0,05 = 2,49.
$$

Округляя, получаем что нужно провести не менее 3 опытов.

Ответ: минимально нужно сделать 3 опыта.

Полезные ссылки

• Калькуляторы на схему Бернулли
• Основные формулы комбинаторики
• Примеры решений задач по теории вероятностей
• Заказать свои задачи на вероятность

В решебнике вы найдете более 1000 задач со словами «хотя бы …»:

Решение.

Так
как события попарно независимы и
,
также верно
.

Обозначим

.
Выразим

через
,
пользуясь теоремой сложения для трёх
несовместных событий:

.

Решив
это уравнение относительно
,
получим
.

В
таком случае

достигает максимального значения

(при
).

Если

,
то, на первый взгляд,
.
Покажем, что допущение

приводит к противоречию. Действительно,

при условии, что
;
или, так как
,
при условии, что
.
Отсюда
.

Итак,
наибольшее возможное значение
.

#80

Вероятность отказа первого элемента
равна 0,1,второго —

0,15,третьего – 0,2

То
есть
=0,1,

=0,15,

=0,2

=0,9,

=0,85,

=0,8

Тока в цепи не будет, если откажет хотя
бы один элемент

То
есть нужно использовать формулу появления
хотя бы одного события (P(A)=1-*…*)

Значит, искомая вероятность равна 0,388

(P(A)=1-**=1-(0,9*0,85*0,8)=0,388)

Ответ:0,388

#81

Устройство содержит два независимо
работающих элемента. Вероятности отказа
элементов соответственно равны 0,05 и
0,08. Найти вероятность отказа устройства,
если для этого достаточно, чтобы отказал
хотя бы один элемент.

Решение: Вероятность того, что откажет
1й элемент, 2й элемент или оба, обратна
вероятности того, что ни один не откажет,
т.е.:

Ответ: 0,126.

#82

Для разрушения моста достаточно попадания
одной авиационной бомбы. Найти вероятность
того, что мост будет разрушен, если на
него сбросить четыре бомбы, вероятности
попадания которых соответственно равны:
0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

Решение:
При последовательном сбрасывании
четырех бомб мост будет разрушен (событие
А), если в него попадет хотя бы одна
бомба. Следовательно, искомая
вероятность равна:

Ответ: 0,9496.

#83

Три
исследователя, независимо один от
другого, производят измерения некоторой
физической величины. Вероятность того,
что первый исследователь допустит
ошибку при считывании показаний прибора,
равна 0,1. Для второго и третьего
исследователей эта вероятность
соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти
вероятность того, что при однократном
измерении хотя бы один из исследователей
допустит ошибку.

Решение.

Вероятность того, что при однократном
измерении хотя бы один из исследователей
допустит ошибку равна:

Р(А)
= 1 — q1q2q3
= 1 –(1 – 0,1)*(1 – 0,15)*(1 – 0,2) = 0,388.

#84

Вероятность успешного выполнения
упражнения

для каждого из двух спортсменов равна
0,5. Спортсмены

выполняют упражнение по очереди, причем
каждый делает

по две попытки. Выполнивший упражнение
первым полу-

получает приз. Найти вероятность
получения приза спорт-

спортсменами.

Решение. Для вручения приза достаточно,
чтобы хотя бы

одна из четырех попыток была успешной.
Вероятность успешной

попытки
р = 0,5, а неуспешной q=1 — 0,5
= 0,5. Искомая вероятность

Р
= 1 — q^4 = 1 —0,5^4 =0,9375.

#85

Вероятность попадания в мишень каждым
из двух стрелков равна 0,3. Стрелки
стреляют по очереди, причем каждый
должен сделать по два выстрела. Попавший
в мишень первым получает приз. Найти
вероятность того, что стрелки получат
приз.

Решение.
Для получения приза достаточно, чтобы
хотя бы одна из четырех попыток была
успешна. Вероятность успешной попытки
p=0,3 , неуспешной q=1-p=0,7.
Тогда искомая вероятность будет равна
P=1-q*q*q*q=1-≈0,76

#86

Вероятность хотя бы одного попадания
стрелком в мишень при трех выстрелах
равна 0,875. Найти вероятность попадания
при одном выстреле.

Решение:

Вероятность попадания в мишень хотя бы
при одном из трех выстрелов (событие А)
равна

Р(А)=1-q3,
где q — вероятность
промаха. По условию, P (A)
= 0,875. Следовательно,

0,875=1—q3,
или q3 = 1—0,875 = 0,125.

Отсюда
q=
=0,5.

Искомая вероятность р = 1— q
= 1—0,5 = 0,5.

#87

Вероятность хотя бы одного попадания
в цель при четырех выстрелах равна
0,9984. Найти вероятность попадания в цель
при одном выстреле.

Решение:

Вероятность попадания в мишень хотя бы
при одном из трех выстрелов (событие А)
равна

Р(А)=1-q4,
где q — вероятность
промаха. По условию, P (A)
= 0,9984. Следовательно,

0,9984=1—q4,
или q4 = 1—0,9984= 0,0016.

Отсюда
q=
=0,2.

Искомая вероятность р = 1—
q = 1—0,2 = 0,8.

#88

Условие:

Многократно
измеряют некоторую физическую величину.
Вероятность того, что при считывании
показаний прибора допущена ошибка,
равна
.
Найти наименьшее число измерений,
которое необходимо произвести, чтобы
с вероятностью

можно было ожидать, что хотя бы один
результат измерений окажется неверным.

Решение:

Вероятность
хотя бы одной ошибки из

считываний равна
,
где
,
и
—
вероятность ошибки при одном считывании.
Из условия

получим:

;

;

;

Следовательно,
искомое число измерений равно
,
где

– целая часть числа

#89

В урну, содержащую два шара, опущен белый
шар, после чего из нее наудачу извлечен
один шар. Найти вероятность того, что
извлеченный шар окажется

белым, если равновозможны все возможные
предположения о первоначальном составе
шаров (по цвету).

Решение:

Обозначим через А событие — извлечен
белый шар. Возможны следующие предположения
о первоначальном составе шаров: В1 —
белых шаров нет, В2 — один белый шар, В3 —
два белых шара.

Поскольку
всего имеется три гипотезы, причем по
условию они равновероятны, и сумма
вероятностей гипотез равна единице
(так как они образуют полную группу
событий), то вероятность каждой из
гипотез равна 1/3, т. е. P(B1)
= P(B2) = P(B3)
=

Вероятность
того, что будет извлечен белый шар, при
условии, что первоначально в урне не
было белых шаров,
.
Если в урне был один белый шар, то
.
Условная вероятность того, что будет
извлечен белый шар, при условии, что в
урне было два белых шара

Искомую вероятность того, что будет
извлечен белый шар, находим по формуле
полной вероятности:

Ответ:
P(A)=

#90

В
урну, содержащую n шаров,
опущен белый шар, после наудачу извлечен
один шар. Найти вероятность того что
извлеченный шар окажется белым, если
равновозможны все возможные предположения
о первоначальном составе шаров по цвету.

Решение:

Обозначим
через А событие — извлечен белый шар.
Возможны следующие предположения о
первоначальном составе шаров: В1- 1 белый
шар, В2- 2 белых шара… Вn-n
белых шаров. Поскольку всего имеется
n гипотез, причем по условию
они равновозможны и сумма вероятностей
равна единице, то вероятность каждой
гипотезы равна
.
По гипотезе В1 условная вероятность
вытащить белый шар равна
,
по гипотезе В2 условная вероятность
вытащить белый шар равна
…
по гипотезе Вn условная
вероятность вытащить белый шар равна

.

Искомую вероятность того, что будет
извлечен белый шар, находим по формуле
полной вероятности:

#91

Условие задачи:

В
вычислительной лаборатории имеется
шесть клавишных автоматов и четыре
полуавтомата. Вероятность того, что за
время выполнения некоторого расчета
автомат не выйдет из строя, равна
;
для полуавтомата эта вероятность равна

.
Студент производит расчет на наудачу
выбранной машине. Найти вероятность
того, что до окончания расчета машина
не выйдет из строя.

Решение задачи:

Обозначим
через

событие – произведен расчет на наудачу
выбранной машине. Возможны следующие
гипотезы в данном эксперименте:

— расчет производится на клавишном
автомате,

— расчет производится на полуавтомате.

Так
как имеется 6 клавишных автоматов и 4
полуавтомата, то вероятность того, что
произойдет гипотеза
,
равна
.
А вероятность того, что произойдет
гипотеза
,
равна
.

Условная
вероятность того, что клавишный автомат
не выйдет из строя, равна
,
т.е

. А условная вероятность того, что
полуавтомат не выйдет из строя, равна

,
т.е
.

Искомая вероятность того, что до окончания
эксперимента машина не выйдет из строя,
находим по формуле полной вероятности:

Ответ:
P(A)=0,89

#92

В пирамиде пять винтовок, три из которых
снабжены оптическим прицелом. Вероятность
того, что стрелок поразит мишень при
выстреле из винтовки с оптическим
прицелом, равна 0,95; для винтовки без
оптического прицела эта вероятность
равна 0,7. Найти вероятность того, что
мишень будет поражена, если стрелок
произведет один выстрел из наудачу
взятой винтовки.

Решение

Рассмотрим события:

A
– стрелок поразит мишень

В1 – взятая наудачу винтовка снабжена
оптическим прицелом

В2 – взятая наудачу винтовка без
оптического прицела

Следовательно,
по условию, вероятность события А при
условии события В1:
,
а вероятность события А при условии
события В2:
.

В
свою очередь вероятность события В1:
,
т.к. всего винтовок 5, а благоприятствуют
событию 3 винтовки. Аналогично
.

Пользуясь
формулой полной вероятности
,
получим:

Ответ: 0,85

#93

Задание:
В ящике содержится 12 деталей, изготовленных
на заводе № 1, 20 деталей —на заводе № 2
и 18 деталей— на заводе № 3. Вероятность
того, что деталь, изготовленная на заводе
№ 1, отличного качества, равна 0,9; для
деталей, изготовленных на заводах N°
2 и № 3, эти вероятности соответственно
равны 0.6 и 0,9. Найти вероятность того,
что извлеченная наудачу деталь окажется
отличного качества.

Решение:
Обозначим через A событие
– извлечена деталь отличного качества.
Возможно три варианта гипотезы:

– извлечена деталь отличного качества,
изготовленная заводе №1;

– извлечена деталь отличного качества,
изготовленная заводе №2;

– извлечена деталь отличного качества,
изготовленная заводе №3. По условию
.
Найдём вероятности того, что извлечённая
деталь изготовлена на заводе №1, №2, №3.

где

— общее число изготовленных на 3-х заводах
деталей,

– количество деталей изготовленных,
соответственно, на заводах №1, 2, 3.

Искомая вероятность вероятность того,
что извлеченная наудачу деталь окажется
отличного качества находится по формуле
полной вероятности:

#94

В
первой урне содержится 10 шаров, из них
8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4
белых. Из каждой урны наудачу извлекли
по одному шару, а затем из этих двух
шаров наудачу взят один шар. Найти
вероятность того, что взят белый шар.

Решение:

Обозначим
через

событие – извлечён белый шар. Возможны
следующие гипотезы:

—
белый шар взят из первой урны,—
белый шар взят из второй урны.

Поскольку
всего имеется две гипотезы, причём по
условию они равновероятны, и сумма
вероятностей гипотез равна единице(т.к.
они образуют полную группу событий), то
вероятность каждой из гипотез равна
,
т.е.
.

Условная
вероятность того, что белый шар будет
извлечён из первой урны равна:
=

Условная
вероятность того, что белый шар будет
извлечён из второй урны равна:
=

По
формуле полной вероятности находим:

#95

В каждой из трех урн содержится 6 черных
4 белых шара. Из первой урны наудачу
извлечен один шар и переложен во вторую
урну, после чего из второй урны наудачу
извлечен один шар и переложен в третью
урну. Найти вероятность того, что шар,
наудачу извлеченный из третьей урны,
окажется белым.

Решение.

A1
– вероятность того, что из первой урны
извлечен белый шар.

A2
– вероятность того, что из первой урны
извлечен черный шар.

P(A1)=4/10 P(A2)=6/10

B1
– вероятность того, что из второй урны
извлечен белый шар, после того как из
первой урны переложили во вторую урну
белый шар.

B2
– вероятность того, что из второй урны
извлечен белый шар, после того как из
первой урны переложили во вторую урну
черный шар.

P(B1)=5/11 P(B2)=4/11

C1
– вероятность того, что из второй корзины
будет извлечен белый шар.

C2
– вероятность того, что из второй корзины
будет извлечен черный шар.

P(C1)=P(A1)*P(B1)+P(A2)*P(B2) P(C1)=4/10*5/11+6/10*4/11=2/5

P(C2)=1-P(C1) P(C2)=1-2/5=3/5

D1
– вероятность того, что из третьей урны
извлечен белый шар, после того как из
второй урны переложили в втретью урну
белый шар.

D2
– вероятность того, что из третьей урны
извлечен белый шар, после того как из
второй урны переложили в втретью урну
черный шар.

P(D1)=5/11 P(D2)=4/11

E
– вероятность того, что из третьей урны
будет извлечен белый шар.

P(E)=
P(D1)*P(C1)+P(D2)*P(C2) P(E)=5/11*2/5+4/11*3/5=2/5

Ответ: 2/5.

#96

Вероятности того, что во время работы
цифровой электронной машины произойдет
сбой в арифметическом устройстве, в
оперативной памяти, в остальных
устройствах,

относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения
сбоя в арифметическом устройстве, в
оперативной памяти и в остальных
устройствах соответственно равны 0,8;
0,9; 0,9. Найти вероятность того, что
возникший в машине сбой будет обнаружен.

Решение: Пусть А – событие того, что
сбой будет обнаружен, тогда из формулы
полной вероятности следует, что:

PA=
PB1PB1A+PB2PB2A+PB3PB3A=
0,3*0,8+0,2*0,9+0,5*0,9=0,87.

#97

Обозначим через А событие – деталь
отличного качества

Можно сделать два предположения

-деталь
произведена первым автоматом (так как
производительность первого автомата
вдвое больше второго автомата, то
Р()=2/3)

-деталь
произведена вторым автоматом (Р()=1/3)

Условная
вероятность, что она будет отличного
качества, если она произведена первым
автоматом
(A)=0,6

Условная
вероятность, что она будет отличного
качества, если она произведена первым
автоматом
(A)=0,84

Вероятность того, что наудачу взятая
деталь окажется отличного качества, по
формуле полной вероятности равна

P(A)=Р()*(A)+
Р()*(A)=2/3*0.6+1/3*0.84=0.68

Вероятность того, что взятая отличная
деталь произведена первым автоматом,
по формуле Бейеса равна

()===

Ответ:

#98

В пирамиде 10 винтовок, из которых 4
снабжены оптическим прицелом. Вероятность
того, что стрелок поразит мишень при
выстреле из винтовки с оптическим
прицелом, равна 0,95; для винтовки без
оптического прицела эта вероятность
равна 0,8. Стрелок поразил мишень из
наудачу взятой винтовки. Что вероятнее:
стрелок стрелял из винтовки с оптическим
прицелом или без него?

Решение:
Обозначим событие А – стрелок поразил
мишень и гипотезы: B1 –
стрелок выбрал винтовку с оптическим
прицелом, B2 – без оптического
прицела. Тогда
.
Условные вероятности попадания из
винтовки с оптическим прицелом и без:

.
Вычислим вероятность попадания из
наудачу взятой винтовки:

Теперь, воспользовавшись формулой
Бейеса, получим ответ:

Ответ: Стрелок вероятнее всего стрелял
из винтовки без оптического прицела.

#99

Число грузовых автомашин, проезжающих
по шоссе, на котором стоит бензоколонка,
относится к числу легковых машин,
проезжающих по тому же шоссе как 3:2.
Вероятность того, что будет заправляться
грузовая машина, равна 0,1; для легковой
машины эта вероятность равна 0,2. К
бензоколонке подъехала для заправки
машина. Найти вероятность того, что это
грузовая машина.

Решение:
Обозначим через А событие—подъезд
автомобиля к заправке. Можно сделать
два предположения:
—проехал
грузовой автомобиль, причем

=3/5;
—
проехал легковой автомобиль, причем

= 2/5.

Условная вероятность, что
проезжающий грузовой автомобиль подъедет
на заправку:

= 0,1 . Для легкового:

= 0,2.

Вероятность
того, что проезжающий автомобиль подъедет
на заправку, по формуле полной вероятности
равна Р(А) =

+

= 3/5

0,1 + 2/5

0,2 = 0,14

Искомая
вероятность того, что подъехавший к
заправке автомобиль будет грузовым, по
формуле Бейеса равна

=

=

= 3/7

Ответ: 3/7.

#100

Две перфораторщицы набили на разных
перфораторах по одинаковому комплекту
перфокарт. Вероятность того, что первая
перфораторщица допустит ошибку, равна
0,05; для второй перфораторщицы эта
вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт
была обнаружена ошибка. Найти вероятность
того, что ошиблась первая перфораторщица.
(Предполагается, что оба перфоратора
были исправны.)

Решение.

Обозначим
через событие А – ошибку перфораторщицы.
Тогда,

– ошибка сделана первой перфораторщицей,

— ошибка сделана второй перфораторщицей.
Причем P()=0,5
и P()=0,5,
т.к. обе работали одинаково.

Условная
вероятность того, что первая перфораторщица
допустит ошибку, равна
(A)=0,05;

Условная
вероятность того, что вторая перфораторщица
допустит ошибку, равна
(A)=0,1.

Вероятность того, что наудачу взятая
перфокарта, окажется с ошибкой равна,
по формуле полной вероятности равна:

P(A)=
P()*(A)+
P()*(A)=0,5*0,05+0,5*0,1=.

Искомая вероятность того, что взятая
перфокарта произведена первой
перфораторщицей, по формуле Бейеса
равна:

===.

#101

В специализированную больницу поступают

в среднем 50% больных с заболеванием К,
30%—с за-

заболеванием
L, 20%—с заболеванием М-
Вероятность

полного
излечения болезни К равна 0,7; для болезней
L

и М эти вероятности соответственно
равны 0,8 и 0,9.

Больной, поступивший в больницу, был
выписан здоро-

здоровым. Найти вероятность того, что
этот больной страдал

заболеванием К.

Решение

Больные
поступают в больницу в разном процентном
соотношении. Р(k)= 0.7,
P(L)=0.3,P(M)=
0.2, где K,L,M
– заболевания, а Р(Х)- вероятность
поступления с данным заболеванием.Тогда
Pk(A)=0.7,
Pl(A)=0.8
,Pm(A)=0.9 это
вероятность полного излечения от данного
заболевания. Чтобы найти вероятность
что Больной, поступивший в больницу,
был выписан здоровым надо найти :

Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И  как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.

Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда

Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1

Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.

Вероятность нескольких событий

Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:

1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.

2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.

Задачи и решения задач на вероятность

Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.

Решение:

Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.

Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.

Вероятность тогда: 

Ответ: 0,8.

Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?

Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.

Вероятность что первый дежурный мальчик:

Вероятность что второй дежурный мальчик:

Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:

Ответ: 0,2.

Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.

Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.

Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.

Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.

Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.

Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.

На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).

Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.

Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).

Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.

Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.

Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.

Задача 10.

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.

Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.

Задача 11.

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.

Задача 12.  В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.

Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.

Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.

Вероятность нескольких событий

Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Игра №1	Игра №2	Вероятность данного варианта
3	1	0,4 · 0,2 = 0,08
1	3	0,2 · 0,4 = 0,08
3	3	0,4 · 0,4 = 0,16

Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение: 

Тип вопроса: уменьшение групп.

Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.

Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Решение:

Способ №1

Тип задачи: уменьшение групп.

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.

Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют в несколько вариантов:

Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

Тип задачи: уменьшение групп.

Способ №1

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного \ совмещение событий Нас устраивают три варианта:

Орёл ― решка ― орёл;

Орёл ― орёл ― решка;

Решка ― орёл ― орёл;

Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.

Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):

… США, КАН, КИТ …

… США, КИТ, КАН …

… КИТ, США, КАН …

… КАН, США, КИТ …

… КАН, КИТ, США …

… КИТ, КАН, США …

США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:

≈ 0,33.

Дополняющая вероятность

Задача 1. 

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.

Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.

Решение: 

Существуют 2 варианта, которые нам подходят:

Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;

Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.

Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;

Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;

Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.

Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: 

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.

Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.

Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение: 

Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).

Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.

Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.

Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.

Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.

Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.

Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.

Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.

Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.

Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):

11 апреля	12 апреля	13 апреля	Вероятность данного варианта
X – 0,9	X – 0,9	O – 0,1	0,9 ·0,9 ·0,1 = 0,081
X – 0,9	O – 0,1	O – 0,9	0,9 ·0,1 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	O – 0,9	O – 0,9	0,1 ·0,9 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	X – 0,1	O – 0,1	0,1 ·0,1 ·0,1 = 0,001

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.

Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):

4 июля	5 июля	6 июля	Вероятность данного варианта
X – 0,8	X – 0,8	O – 0,2	0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128
X – 0,8	O – 0,2	O – 0,8	0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	O − 0,8	O − 0,8	0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	X – 0,2	O – 0,2	0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.

1 / 1 / 0 Регистрация: 16.09.2012 Сообщений: 157
	1
Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку 27.11.2012, 16:28. Показов 5426. Ответов 0 Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку. 0