Найти наивероятнейшее число отрицательных и положительных ошибок

Найти наивероятнейшее число отрицательных и положительных ошибок и соответствующую вероятность при четырех измерениях

Ряд классических распределений связан
с экспериментом, в котором проводятся
последовательные независимые испытания
и наблюдается результат совместного
осуществления тех или иных исходов
каждого испытания.

Последовательные испытания называются
независимыми, если вероятность
осуществления любого исхода вn-м
по счету испытании не зависит от
реализации исходов предыдущих испытаний.

Простейшим классом повторных независимых
испытаний является последовательность
независимых испытаний с двумя исходами(«успех» и «неуспех») и с неизменными
вероятностями «успеха» (р) и «неуспеха»
в каждом испытании (схема испытаний
Бернулли).

Вероятность получить ровно mуспехов
вnнезависимых испытаниях вычисляется
по формуле, называемойформулой
Бернулли

.

Пример 6.1.Изделия некоторого
производства содержат 5 % брака. Найти
вероятность того, что среди пяти взятых
наугад изделий: а) нет ни одного
испорченного; б) будут два испорченных.

Решение. а)
По условию задачи
.
Так как вероятность наступ­ления
событияА(появление бракованной
детали) постоянна для каждого испытания,
то задача подходит под схему Бернулли.
Находим вероятность того, что среди
пяти взятых наудачу изделий нет ни
одного испорченного.
По формуле Бернулли

а)
;

б)
,

.

Ответ:а);
б).

Определение.Число наступлений
событияАназываетсянаивероятнейшим,
если оно имеет наибольшую вероятность
по сравнению с вероятностями наступления
событияА любое другое количество
раз.

Наивероятнейшее число наступлений
события Авnиспытаниях заключено
между числамии:.
Если— целое число, то наивероятнейших чисел
дваи.

Пример 6.2.В помещении четыре лампы.
Вероятность работы в течение года для
каждой лампы 0,8. Чему равно наивероятнейшее
число ламп, которые будут работать в
течение года?

Решение. По формуленайдемПо условию

.

Следовательно, имеются два наивероятнейших
числа
или.

Ответ:или.

Пример 6.3.Вероятность попадания в
кольцо при штрафном броске для
баскетболиста равна 0,8. Сколько надо
произвести бросков, чтобы наивероятнейшее
число попаданий было равно 20?

Решение. Известно, что.
Тогдаиnнайдем из системы неравенств

Так как n— целое число, тоили.

Ответ:24 или 25.

Задачи для самостоятельного решения

1. Наблюдениями
   установлено, что в некоторой местности
   в сентябре в среднем бывает 12 дождливых
   дней. Какова вероятность того, что из
   случайно взятых в этом месяце 8 дней 3
   дня окажутся дождливыми?

Ответ:

6.2.Что вероятнее: выиграть у
равносильного противника (ничейный
исход партии исключен) три партии из
четырех или пять из восьми?

Ответ:

6.3.В банк поступило
6 заявлений от физических лиц на получение
кредита. Вероятность получить первый
кредит для каждого равна
.
Найти вероятности следующих событий:

1) будет выдано
ровно 3 кредита;

2) будет выдано не
менее двух кредитов.

Ответ:.

1. Вероятность
   рождения мальчика равна 0,515, девочки
   0,485. В некоторой семье шестеро детей.
   Найти вероятность того, что среди них
   не больше двух девочек.

Ответ:;.

6.5. Два баскетболиста делают по три
броска в корзину. Вероятность попадания
мяча при каждом броске равна соответственно
0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у
обоих будет равное количество попаданий.

Ответ:

6.6.
Игральная
кость подбрасывается 5 раз. Найти
вероятность того, что два раза появится
число очков, кратное трем.

Ответ:

6.7.
Экзаменационный
билет состоит из пяти вопросов в виде
теста с тремя возможными ответами на
каждый из пяти вопросов, из которых
нужно выбрать один правильный. Какова
вероятность сдать экзамен методом
простого угадывания, если достаточно
ответить хотя бы на 4 вопроса?

Ответ:

6.8. Три охотника одновременно
выстрелили по волку. Вероятности
попадания каждым из охотников одинаковы
и равны 0,4. Определить вероятность того,
что волк будет убит, если известно, что
при одном попадании охотники убивают
волка с вероятностью 0,2, при двух – с
вероятностью 0,5 и при трех – с вероятностью
0,8.

Ответ:

1. На
   контроль поступила партия деталей из
   цеха. Известно, что 5 % всех деталей не
   удовлетворяет стандарту. Сколько нужно
   испытать деталей, чтобы с вероятностью
   не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну
   нестандартную деталь?

Ответ:

1. Для данного баскетболиста вероятность
   забросить мяч в корзину при броске
   равна 0,4. Произведено 10 бросков. Найти
   наивероятнейшее число попаданий и
   соответствующую вероятность.

Ответ:,.

1. Найти
   наивероятнейшие числа отрицательных
   и положительных ошибок и соответствующую
   вероятность при четырех измерениях,
   если при каждом измерении вероятность
   получения положительной ошибки равна
   ,
   а отрицательной —.

Ответ:

1. Вероятность
   попадания в десятку при одном выстреле
   р= 0,2. Сколько нужно провести
   независимых выстрелов, чтобы с
   вероятностью не менее 0,9 попасть в
   десятку хотя бы один раз?

Ответ:

1. Какое
   наименьшее количество чисел необходимо
   взять из таблицы случайных чисел, чтобы
   с наибольшей вероятностью обеспечивалось
   появление среди них трех чисел,
   оканчивающихся цифрой 7?

Ответ:

1. Вероятность
   появления события в каждом из независимых
   испытаний равна 0,3. Найти число испытаний
   n, при котором наивероятнейшее
   число появлений события в этих испытаниях
   будет равно 30.

Ответ:

6.15.
Доля крупных заказов в строительной
фирме составляет 40%. Чему равно
наивероятнейшее число крупных заказов,
если фирма предполагает заключить 120
договоров на следующий год?

Ответ:.

6.16.
Пусть вероятность того, что студент
опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти
наиболее вероятное число опоздавших
из 96 студентов.

Ответ:
.

1. Чему
   равна вероятность рнаступления
   события в каждом из 49 независимых
   испытаний, если наивероятнейшее число
   наступлений события в этих испытаниях
   равно 30?

Ответ:

1. Чему
   равна вероятность рнаступления
   события в каждом из 39 независимых
   испытаний, если наивероятнейшее число
   наступлений события в этих испытаниях
   равно 25?

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

6.2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

Ответ:

6.2. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен) три партии из четырех или пять из восьми?

Ответ:

6.3. В банк поступило 6 заявлений от физических лиц на получение кредита. Вероятность получить первый кредит для каждого равна . Найти вероятности следующих событий:

1) будет выдано ровно 3 кредита;

2) будет выдано не менее двух кредитов.

Ответ: .

6.4. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.

Ответ: ; .

6.5. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания мяча при каждом броске равна соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.

Ответ:

6.6. Игральная кость подбрасывается 5 раз. Найти вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем.

Ответ:

6.7. Экзаменационный билет состоит из пяти вопросов в виде теста с тремя возможными ответами на каждый из пяти вопросов, из которых нужно выбрать один правильный. Какова вероятность сдать экзамен методом простого угадывания, если достаточно ответить хотя бы на 4 вопроса?

Ответ:

6.8. Три охотника одновременно выстрелили по волку. Вероятности попадания каждым из охотников одинаковы и равны 0,4. Определить вероятность того, что волк будет убит, если известно, что при одном попадании охотники убивают волка с вероятностью 0,2, при двух – с вероятностью 0,5 и при трех – с вероятностью 0,8.

Ответ:

6.9. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5 % всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы одну нестандартную деталь?

Ответ:

6.10. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Ответ: , .

6.11. Найти наивероятнейшие числа отрицательных и положительных ошибок и соответствующую вероятность при четырех измерениях, если при каждом измерении вероятность получения положительной ошибки равна , а отрицательной — .

Ответ:

6.12. Вероятность попадания в десятку при одном выстреле Р = 0,2. Сколько нужно провести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в десятку хотя бы один раз?

Ответ:

6.13. Какое наименьшее количество чисел необходимо взять из таблицы случайных чисел, чтобы с наибольшей вероятностью обеспечивалось появление среди них трех чисел, оканчивающихся цифрой 7?

Ответ:

6.14. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,3. Найти число испытаний N, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях будет равно 30.

Ответ:

6.15. Доля крупных заказов в строительной фирме составляет 40%. Чему равно наивероятнейшее число крупных заказов, если фирма предполагает заключить 120 договоров на следующий год?

Ответ: .

6.16. Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

Ответ: .

6.17. Чему равна вероятность Р наступления события в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?

Ответ:

6.18. Чему равна вероятность Р наступления события в каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25?

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьине учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников мачта не набирал 6 очков (выигрыш – 1 очко, проигрыш и ничья – 0 оч-4 3ков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результатыотдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при такихправилах в момент окончания матча проигравший набирает 3 очка.5.10.

Вероятность появления события в одном опыте равна p .С какой вероятностью можно утверждать, что частота появления этого события в опытах будет лежать в пределах от до β ? Решить.задачу при n = 100, p = 0,3, α = 0,2,5.11. Вероятность появления события в каждом изнезависимых опытов равна . Найти положительное числотакое, что свероятностьюабсолютная величина отклонения частоты появления события от его вероятности будет не больше ε . Решить задачупри5.12.

Сколько нужно провести независимых опытов, чтобы с вероятностью P событие A , вероятность появления которого в одномраз? Решить задачуопыте равна p , наблюдалось не менее, чемпри.5.13. Сколько нужно провести независимых опытов, чтобы с вероятностью P утверждать, что частота интересующего нас событиябудет отличаться от вероятности этого события, равной p , не больше, чем на ? Решить задачу.5.14. Каждую секунду с вероятностью p по дороге проезжаетавтомашина. Пешеходу, для того чтобы перейти дорогу, нужно 3 с.Какова вероятность того, что пешеход, подошедший к дороге, будетждать возможности перехода: а) 3 с; б) 4 с; в) 5 с?5.15. Вероятность столкновения космического корабля с метеоритом в течение часа полета равна 0,001.

Найти практически возможные границы числа столкновений с метеоритами на протяжении трехмесяцев полета – с 1 июня по 31 августа, если вероятность практической возможности принимается в данном случае равной 0,9995.5.16. Аппаратура состоит изэлементов. Вероятность выхода из строя одного элемента за наблюдаемое время равнаине зависит от состояния других элементов. Найти вероятность выхода из строя: а) равноэлементов, б) не меньше, чем m элементов, в) не больше, чем m элементов.

Решить задачу, когда1); 2) n = 500, p = 0 ,002, m = 2 .4 45.17. Электрическая цепь состоит из n последовательно включенных лампочек. Определить вероятность того, что при повышениинапряжения в сети выше номинального произойдет разрыв цепи, есливероятность того, что лампочка перегорит, равна .

Решить задачу, б).для: а)5.18. Найти наивероятнейшее число отрицательных и положительных ошибок и соответствующую вероятность при четырех изменениях некоторой величины, если в каждом из измерении вероятность1.35.19. Линия связи, имеющая k каналов, связывает два города,где есть n абонентов, каждый из которых пользуется для этого телефоном в среднем мин в час. Найти вероятность безотказного обслуживания абонентов.

Решить задачу для n = 1000, k = 130, l = 6.5.20. Телефонная станция, которая обслуживает 20000 абонентов, должна соединять их с другой станцией B . Какое наименьшее число линий должно связывать A и B , чтобы в 99 % вызововнашлась свободная линия. Имеется в виду, что в течение наиболееlkmnΑBA20, ,pp==00,4,12p =2= 2напряженного часа каждый абонент разговаривает в среднем 2 мин.35.21. По каналу связи передаются n сообщений.

Каждое из нихискажается помехами. Найнезависимо от других с вероятностью{из n сообщенийискати вероятности следующих событий:{искажается не более половины всех пережаются помехами},даваемых сообщений}.5.22. Для увеличения надежности передачи важного сообщения,которое состоит из n символов, каждый из передаваемых символовраз.

В качестве воспринимаемого символа в пунктедублируетсяразприема принимается тот, который продублирован не меньшеиз m . Когда символ в пункте приема повторяется меньше чем раз,то такой символ считается искаженным. Вероятность правильнойпередачи каждого символа одинакова и не зависит от того, как передаются другие символы. Найти вероятности следующих событий: A ={отдельный передаваемый символ в сообщении будет правильно восполучить положительную ошибку равна4 5, а отрицательную –принят в пункте приема}, B = {все сообщение будет правильно воспринято в пункте приема}, C = {в сообщении искажаются не большеm символов}.5.23. В течение часа фирма принимает в среднемсообщений по электронной почте, обработкой которых занимается специальный сотрудник. Какова вероятность того, что за m минут нафирму не поступит ни одного сообщения? Решить задачу, когда:а); б) k = 60, m = 5 .5.24.

Железнодорожный состав состоит из n вагонов, каждый из которых с вероятностью имеет дефект. Все вагоны осматривают независимо друг от друга два мастера; первый из них обнаруживает дефект (еслион имеется) с вероятностью, второй – с вероятностью p 2 . Какова вероятность отправления в рейс состава, в котором имеется хотя бы одиндефектный вагон? Решить задачу для n = 150, p1 = 0,95, p 2 = 0,9 .5.25.

При установившемся технологическом процессе 80 % всехизготавливаемых заводом изделий выпускается высшим сортом. Приемщик наугад берет 100 изделий. Чему равна вероятность того, чтосреди них изделий высшего сорта окажется от 60 до 80 штук?5.26. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью r (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью . Дляконтроля из продукции завода выбираются изделий.

Найти вероятность, что хотя бы в одном из них обнаружен дефект. Решить задачупри а); б).5.27. Имеется партия изделий. Каждая из них независимо от других может оказаться дефектным с вероятностью 0,2. Из партии берут10 изделий и проверяют их на годность. Если число дефектных изделий при этом не более 1, то партию принимают, в противном случаеподвергают сплошному контролю. Какова вероятность того, что партиябудет принята?5.28. В лотерее 40000 билетов, ценные выигрыши выпадают на3 билета. Определить: а) вероятность получения хотя бы одного выигрыша на 1000 билетов, б) сколько необходимо приобрести билетов,чтобы вероятность получения ценного выигрыша была не менее 0,5.4 62BAppn1 + 15.29.

Транспортная фирма занимается перевозкой изделий сосклада в магазин. Вероятность того, что при перевозке изделия будетповреждено ровно 0,002. Фирме необходимо перевести 1000 изделий.Найти вероятность того, что магазин получит: а) хотя бы одно поврежденное изделие; б) менее двух поврежденных изделий; в) 3 %поврежденных изделий. Какова вероятность наиболее вероятногочисла поврежденных изделий в наудачу выбранных пяти контейнерах (в одном контейнере – 20 изделий)?5.30. Для нового офиса фирма приобрела n новых персональных компьютеров. В течение определенного периода времени каждый компьютер может выйти из строя с вероятностью . Устранениенеисправностей в компьютерах занимается фирма .

В конце данного периода фирма A обращается к услугам фирмы B и платит ей заремонт каждого неисправного компьютера сумму $ d . Какова вероятность того, что фирме A по истечении этого периода придется заплатить фирме B сумму: а) менее $ D , б) не менее $ D . Решить задачудля n = 50, p = 0 ,01, d = 40, D = 1000 .5.31. Что вероятнее выиграть у брокера одинаковой квалификации: а) три сделки из четырех или пять из восьми, б) не менее трехсделок из четырех или не менее пяти сделок из восьми, в) не более nизсделок или более n из того же числа, г) не более n изсделок или более n из того же числа.5.32. Товаровед исследует 50 образцов некоторого товара. Производитель этого товара указывает, что процент брака составляет 15%.

Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает как годные.5.33. При наступлении кризиса сбыта продукции фирма не тер, полностью терпит банкротство спит убытков с вероятностьювероятностью p 2 и несет серьезные издержки с вероятностьюp 3 = 1 − p1 − p 2 . Две серии серьезных издержек приводят к полномубанкротству фирмы. Найти вероятность того, что при наступлении nпризнаков сбыта фирма не обанкротится.нужно связать компьютерной связью с 10 або5.34.

Пунктнентами пункта B . Каждый абонент занимает канал связи 12 минут вчас. Вызовы любых двух абонентов независимы. Какое минимальноечисло каналов необходимо для того, чтобы можно было в любой момент времени с вероятностью 0,99 обслужить всех абонентов?4 75.35. Вероятность появления фальшивой банкноты в банке равна p = 10 −8 . В течение рабочей недели банк оперирует с n = 7.5 ⋅ 10 8банкнотами. Оценить вероятности встретить в ходе обработки 0; 1; 2;3 фальшивые банкноты.5.36. Для определения доли избирателей, поддерживающих кандидата A , производится выборочное обследование.

Определить объемвыборки, при которой с вероятностью, не меньшей 0,99, погрешностьсоставит менее 0,005.5.37. Страховая компания заключила договор со спортсменомтеннисистом на 365 дней, предусматривающий выплату страховоговозмещения клиенту в случае травмы специального вида. Из предыдущей практики известно, что вероятность получения такой травмытеннисистом в любой фиксированный день равна 0,00037. Найти вероятность того, что в течение срока договора: а) не произойдет ниодного страхового случая; б) произойдет один страховой случай; в) произойдет два страховых случая.5.38. Портфель страховой компании состоит из 1000 договоров,заключенных в начале года и действующих в течение текущего года.При наступлении страхового случая по каждому их договоров компания обязуется выплатить 2000 у.е.

Вероятность наступления страхового события по каждому из договоров равна 0,05 и не зависит отнаступления страховых событий по другим контрактам. Каков должен быть совокупный размер резерва страховой компании для того,чтобы с вероятностью 0,99 она могла бы удовлетворить требования,возникающие по указанным договорам.§6. Одномерные случайные величиныОпределение. Пусть Ω = {ω} – множество элементарных событий.

Наивероятнейшее число. Примеры задач и калькулятор

Напомню, что мы рассматриваем типовые задачи схемы Бернулли (или независимых повторных испытаний). Чаще всего эти задачи связаны с нахождением вероятности того, что событие произойдет сколько-то раз в серии опытов (см. решения задач про выстрелы, билеты лотереи, партии в шахматы или рождения детей). Но еще один часто встречающийся тип задач — тот, где требуется подсчитать наиболее вероятное число наступлений события.

Вычисление этого значения имеет большое практическое значение, что легко видно из постановки задач:

1. С завода отправили 100 ящиков с хрупким товаром. Вероятность того, что ящик повредится в пути, равна 0,01. Какое наиболее вероятное число поврежденных ящиков будет на станции приема груза?

2. Вероятность того, что лампа небракованная, равна 0,97. Для ресторана закупили 124 лампы. Каково наиболее вероятное число рабочих ламп?

Конечно, в реальной жизни эти задачи формулируются более сложно и решаются по иным правилам, но для учебных целей мы разбираем простейшие случаи. Перейдем к формуле, для чего сформулируем общую постановку задачи еще раз:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых одинакова равна $p$. Тогда наивероятнейшее число $m$ наступлений события $A$ в этой серии опытов можно найти по формуле:
$$
np-q \le m \le np+p, \quad q=1-p. \qquad (1)
$$

Часто после нахождения наибольшего числа успехов требуется вычислить вероятность наступления именно этого числа, для чего используем обычную формулу Бернулли:

$$
P_n(m)= C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m}. \qquad (2)
$$

Далее:

• Онлайн калькулятор
• Видеоурок и шаблон Excel
• Примеры решенных задач
• Полезная информация

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач о наивероятнейшем значении успехов, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о наиболее вероятном значении

Рассмотрим несколько типовых примеров.

Пример 1. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0,8. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий?

Выписываем известные величины $n=100, p=0,8$ и подставляем в формулу (1):
$$
100 \cdot 0,8 — 0,2 \le m \le 100 \cdot 0,8 + 0,8, \\
79,8 \le m \le 80,8,\\
m=80.
$$
Наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 100 изделий равно 80 изделиям.

Пример 2. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,2. Куплено 12 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Всего куплено $n=12$ билетов, вероятность выигрыша по каждому $p=0,2$. Получаем по формуле (1):
$$
12 \cdot 0,2 — 0,8 \le m \le 12 \cdot 0,2 + 0,2, \\
1,6 \le m \le 2,6,\\
m=2.
$$
Наиболее вероятное число выигрышных билетов равно двум. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (2):
$$
P_{12}(2)= C_{12}^2 \cdot 0,2^{2} \cdot 0,8^{10}=66\cdot 0,2^{2} \cdot 0,8^{10}=0,283.
$$

Пример 3. Для данного баскетболиста вероятность забить мяч при одном броске равна 0,6. Произведено 10 бросков по корзине. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Спортсмен делает $n=10$ независимых бросков, вероятность забить мяч при каждом $p=0,6$. Подставляем все в формулу (1):
$$
10 \cdot 0,6 — 0,4 \le m \le 10 \cdot 0,6 + 0,6, \\
5,6 \le m \le 6,6,\\
m=6.
$$
Наиболее вероятное число попаданий равно 6. Найдем вероятность этого события по формуле Бернулли (2):
$$
P_{10}(6)= C_{10}^6 \cdot 0,6^{6} \cdot 0,4^{4}=210 \cdot 0,6^{6} \cdot 0,4^{4}=0,251.
$$

Пример 4. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения 6 очков было равно 50?

Это несколько иная постановка задачи, хотя речь в ней тоже идет о наиболее вероятном числе. В отличие от разобранных выше, здесь уже задано $m=50$, $p=1/6$ (вероятность выпадения 6 очков на кости), а вот общее число бросков $n$ необходимо найти.

Начинаем с формулы (1), разбиваем ее на два неравенства и получаем из каждого выражение для $n$:

$$
np-q \le m, \quad m \le np+p,
$$
$$
np \le m+q, \quad np \ge m-p,
$$
$$
n \le (m+q)/p, \quad n \ge (m-p)/p.
$$

Подставляем наши значения

$$
n \le (50+5/6)/(1/6), \quad n \ge (50-1/6)/(1/6),
$$
$$
n \le 305, \quad n \ge 299.
$$

Таким образом, нужно подбросить игральную кость от 299 до 305 раз.

Полезные ссылки

• Формулы по теории вероятностей
• Выполненные контрольные по теории вероятностей
• Заказать решение задач о вероятностях

Найдите готовые задачи в решебнике: