-
Правила обработка результатов измерений
Для подтверждения
физического закона или определения
некоторой физической величины, как
правило, необходимо проведение
экспериментального исследования.
Основным содержанием любого физического
эксперимента является выполнение
каких-либо измерений. Например, показание
измерительного прибора (секундомера,
вольтметра и т.п.) может быть прямо
связано цепочкой анализа с изучаемой
величиной или законом.
Измерение
само по
себе, без количественной оценки этой
погрешности, имеет ограниченную ценность.
Такие погрешности часто называют
экспериментальными
ошибками.
-
Типы экспериментальных ошибок
Экспериментальные
ошибки, подразделяются на случайные,
систематические
и так называемые грубые
ошибки, или,
иначе, промахи.
Случайные
ошибки
представляют собой положительные и
отрицательные флуктуации (отклонения
от среднего значения), которые приводят
к тому, что около половины результатов
оказываются завышенными, а другая
половина – заниженными. Источник
случайных ошибок могут быть:
1) ошибки
наблюдения
– например, ошибки экспериментатора
при считывании результата по шкале
прибора;
2) влияние
окружения
– например,
непредсказуемые
колебания напряжения питания, температуры
или механическая вибрация установки.
Случайные ошибки, можно оценить методами
математической статистики.
Систематические
ошибки
вызваны причинами, которые связаны с
особенностями устройства измерительного
средства или прибора. Ошибки такого
типа либо постоянно завышают результат
измерения, либо постоянно его занижают.
Существует четыре основных вида
систематических ошибок.
1) Приборные
ошибки,
обусловленные плохой калибровкой
измерительного прибора.
2) Ошибки
наблюдения,
например, параллакс при считывании
показаний по шкале стрелочного
измерительного прибора.
3) Экзогенные,
т.е. ошибки, связанные с окружающей
обстановкой (средой). Например, падение
напряжения в цепи питания может быть
причиной заниженных результатов
измерения токов.
4) Теоретические,
обусловленные использованием упрощённой
модели системы (явления) или приближенными
уравнениями, описывающими систему
(явления).
Экспериментатор,
как правило, стремится выяснить и, по
возможности, устранить систематические
ошибки.
Грубые ошибки
или промахи
обусловлены чаще всего неисправностью
средств измерений, неправильным
считыванием показаний, резким изменением
условий измерений и т.п. При обработке
результатов измерений промахи отбрасывают,
однако делать это следует с некоторой
осторожностью.
-
Статистический анализ случайных ошибок
При проведении
серии измерений некоторой физической
величины (например, длины, с помощью
линейки или силы тока с помощью амперметра)
из-за случайных ошибок отдельные значения
x1,
x2
, и т.
д. неодинаковы.
Абсолютная
погрешность определяет границы интервала,
внутри которого с некоторой вероятностью
заключено «истинное значение» искомой
величины, и она равна взятой по модулю
разности между «истинным значением»
измеряемой величины и его приближенным
значением xi.
Но так как «истинное
значение» измеряемой величины остается
неизвестным, то в качестве наилучшего
значения искомой величины принимают
среднее арифметическое:
(1.1)
где xi
– i-е
измеренное значение, a
n
— общее число измерений. Абсолютная
погрешность отдельного i-го
измерения запишется тогда так
или
,
ед. измерения.
Относительной
погрешностью x
называется отношение абсолютной
погрешности
к значениюxист,
т.е.
.
Относительная
погрешность является безразмерной
величиной (её выражают или в долях
единицы, или в процентах).
Для оценки величины
случайной ошибки (погрешности) измерения
обычно используют величину
—
дисперсию измерения (стандартное
отклонение)
, (1.2)
где
n
–
общее число измерений.
Если
стандартное отклонение мало, то разброс
измеренных значений относительно
среднего значения является малым,
следовательно, точность измерения
высокая. Заметим, что стандартное
отклонение является всегда положительным
и имеет ту же размерность, что и измеренные
значения.
Чем
больше повторений, тем выше точность
измерений. Причина улучшения заключается
в том, что положительные и отрицательные
ошибки частично компенсируются при
усреднении результатов нескольких
измерений.
Поэтому в
качестве меры погрешности результатов
измерений
величины x
(или неопределенности среднего значения
)
принимают стандартное
отклонение от среднего
Sn,
которое
часто называют средним квадратичным
отклонением или стандартной
погрешностью
и определяют как
. (1.3)
Абсолютная
погрешность x
измеряемой величины x
при относительно малом количестве
измерений (например, 10 — 100) определяется
формулой:
, (1.4)
где
t,n
– коэффициент (коэффициент Стьюдента),
—
полная абсолютная погрешность или
доверительный интервал, внутри которого
находится истинное значение величины
.
Коэффициент Стьюдента зависит от числа
измеренийn
и от величины доверительной вероятности
(табл. 1). В соответствии с действующими
государственными стандартами рекомендуется
при оценке погрешностей пользоваться
доверительной вероятностью
= 0,95.
Коэффициенты
Стьюдента Таблица 1.1.
|
тn |
α |
0,90 |
0,95 |
0,98 |
|
2 |
6,31 |
12,71 |
31,82 |
|
|
3 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
|
|
4 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
|
|
5 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
|
|
6 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
|
|
7 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
|
|
8 |
1,90 |
2,36 |
3,00 |
|
|
9 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
|
|
10 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
|
|
12 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
Таким
образом, окончательный результат
измерений запишется в виде:
,
ед. измерений, (1.5)
где x
определяется из выражения (1.4). Запись
(1.5) означает, что истинное значение
величины x
с вероятностью
находится в интервале (доверительном
интервале) значений от
до
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Теплотехническое оборудование
ПОНЯТИЕ О ПРИРОДЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ОШИБОК
В процессе наладочных работ и эксплуатации теплотехнического оборудования приходится измерять различные величины (температуру, расход, состав продуктов горения и т. д.). При измерении любой величины мы никогда не получаем ее истинного значения, так как результаты любых измерений содержат погрешность. В результате измерений удается получить лишь приближенное значение измеряемой величины. Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу.
При наладке и испытании теплотехнического оборудования выполняют прямые и косвенные измерения. При прямых измерё-
Ниях определяемая величина сравнивается с единицей непосРеД* ствеино или при помощи измерительного прибора, например при измерении длины линейкой, промежутков времен^ секундомером, температуры каким-либо термоприемником. При косвенных измерениях определяемая величина вычисляется на осно0анир прямых измерений, например потеря теплоты с уходящими Г03ЭМ’- определяется по измеренной температуре и составу уходЯШ7>:’ газов.
При различных экспериментальных работах очень Бажн — правильно выбрать класс точности используемых измеритеЛЬНЫ; приборов. Под точностью прибора понимают его свойство, характеризующее степень приближения показаний данного прибора к действительным значениям измеряемой величины. Обычно точность прибора задается классом точности прибора или указывается в его паспорте. Очевидно, что чем точнее прибор» тем меньше его погрешность и выше стоимость.
Поэтому при планировании экспериментальных работ и выборе приборов для них анализ ошибок должен бьигь на пеР» вом плане.
При измерении любой физической величины обычно приходится выполнять следующие операции: проверку и установку приборов, отсчет их показаний, обработку результатов измеРений и оценку погрешности.
Погрешности измерений определяются разностью йзмеренной и истинной величин и зависят от ряда причин. Погрешности разделяются на две группы: систематические и случайны^ (погрешности, вызванные неисправностью прибора или небрежН0СТЬЮ экспериментатора, не рассматриваются).
Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью прибора, неправильным выбором метода измерения, неправильной установкой прибора или недоучетом некоторых внешних факторов, например теплообмена калориметра с внешней средой при определении теплоты сгорания топлива. Таким образом, систематическая погрешность наблюдается в тех случаях* когда среднее значение последовательных отсчетов откло^яется от известного точного значения и продолжает отклоняться независимо от числа последовательных отсчетов. Пусть, например, при измерении частоты вращения электродвигателя средне6 значение получилось равным 950 об/мин, а” эталонное значение или значение, полученное при калибровке тахометра, 1000 о^/мин. Из этих данных можно сделать вывод, что тахометр не’гочен> даже если при измерении был малый разброс показаний. Определение систематической погрешности может быть произведено калибровкой прибора или его поверкой.
Случайные погрешности обусловлены большим числом1 Раз_ личных случайных причин и имеют место, когда при послеДОва — тельных измерениях постоянной величины получают различные численные значения этой величины. Случайные погрешности вызываются вибрацией, незначительным движением воздуха, параллаксом и т. д. Погрешность от параллакса проявляется при неточном расположении глаз наблюдателя по отношению к шкале или указателю прибора (или уровню рабочей жидкости прибора). Случайную погрешность, даже если известно, что она имеется, никогда нельзя исключить и определить ее абсолютное значение по одному измерению.
Однако математическая теория случайных явлений позволяет уменьшить влияние этих погрешностей и разумно установить их значение.
При экспериментальных работах следует учитывать, что если случайная погрешность, полученная по данным измерений, окажется значительно меньше погрешности, определяемой точностью прибора, то нет смысла пытаться еще уменьшить случайную погрешность, так как результаты измерений от этого не станут точнее. Наоборот, если случайная погрешность больше приборной (систематической), то измерения следует произвести несколько раз, чтобы уменьшить случайную погрешность данной серии измерений и сделать эту погрешность меньше погрешности прибора или одного порядка с ней.
Существенным этапом любых экспериментов является первичная обработка результатов наблюдений, которая состоит в разметке результатов’ наблюдений и определении средних значений параметров, измеренных в ходе опыта. Целью разметки является обнаружение и исключение ошибочных измерений или измерений, которые вызывают сомнения. Редкий эксперимент обходится без того, чтобы не появилось хотя бы одно, резко выделяющееся значение. Наличие такой грубой погрешности (промаха) может заметно исказить среднее значение измеряемой величины. Поэтому из окончательного результата необходимо этот промах исключить. Обычно промах имеет значение, резко отличающееся от других. Однако это отклонение от других результатов измерений не дает еще права исключить это измерение, пока не проверено, не является ли это отклонение следствием статистического разброса.
Для выявления промахов применяется критер«*
(13-12)
Дп — а
Где Оц — наибольшее значение измеренной величины в серии из п измерений; а — среднее значение измеренной величины в серии из п измерений; Д,5?£ — выборочная дисперсия (корень квадратный из выборочной дисперсии определяет среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения).
Значения и в зависимости от числа измерений п и надежности (3
|
Значение и при 0, |
Равном |
Значение и при 0 |
Равном |
||||
|
П |
0,90 |
0.95 |
0,99 |
П |
0.90 |
0,95 |
0,99 |
|
4 |
1,64 |
1,69 |
1,72 |
29 |
2,60 |
2,78 |
3,14 |
|
5 |
1,79 |
1,87 |
1,96 |
30 |
2,61 |
2,79 |
3,16 |
|
6 |
1,89 |
2,00 |
2,13 |
31 |
2,62 |
2,80 |
3,17 |
|
7 |
1,97 |
2,09 |
2,26 |
32 |
2,63 |
2,82 |
3,18 |
|
8 |
2,04 |
2,17 |
2,37 |
33 |
2,65 |
2,83 |
3,20 |
|
9 |
2,10 |
2,24 |
2,46 |
34 |
2,66 |
2,84 |
3,21 |
|
10 |
2,15 |
2,29 |
2,54 |
35 |
2,67 |
2,85 |
3,22 |
|
11 |
2,19 |
2,34 |
2,61 |
36 |
2,68 |
2,86 |
3,24 |
|
12 |
2,23 |
2,39 |
2,66 |
37 |
2,69 |
2,87 |
3,25 |
|
13 |
2,26 |
2,43 |
2,71 |
38 |
2,70 |
2,88 |
3,26 |
|
14 |
2,30 |
2,46 |
2,76 |
39 |
2,71 |
2,89 |
3,27 |
|
1-5 |
2,33 |
2,49 |
2,80 |
40 |
2,72 |
2,90 |
3,28 |
|
16 |
2,35 |
2,52 |
2,84 |
41 |
2,73 |
2,91 |
3,29 |
|
17 |
2,38 |
2,55 |
2,87 |
42 |
2,74 |
2,92 |
3,30 |
|
18 |
2,40 |
2,58 |
2,90 |
43 |
2,74 |
2,93 |
3,31 |
|
19 |
2,43 |
2,60 |
2,93 |
44 |
2,75 |
2,94 |
3,32 |
|
20 |
2,45 |
2,62 |
2,96 |
45 |
2,76 |
2,95 |
3,33 |
|
21 |
2,47 |
2,64 |
2,98 |
46 |
2,77 |
2,96 |
3,34 |
|
22 |
2,49 |
2,66 |
3,01 |
47 |
2,78 |
2,96 |
3,35 |
|
23 |
2,50 |
2,68 |
3,03 |
48 |
2,78 |
2,97 |
3,35 |
|
24 |
2,52 |
2,70 |
3,05 |
49 |
2,79 |
2,98 |
3,36 |
|
25 |
2,54 |
2,72 |
3,07 |
50 |
2,80 |
2,99 |
3,37 |
|
26 |
2,55 |
2,73 |
3,09 |
51 |
2,81 |
2,99 |
• 3,38 |
|
27 |
2,57 |
2,75 |
3,11 |
52 |
2,81 |
3,00 |
3,39 |
|
28 |
2,58 |
2,76 |
3,12 |
53 |
2,82 |
3,01 |
3,40 |
Выборочная дисперсия определяется уравнением
Б Ла1
Д5» = ^ГГ> (13’13>
Где. п — число измерений.
В табл. 13-5 приведены максимальные возможные значения критерия о, возникающие вследствие статистического разброса, соответствующие заданной надежности. Из таблицы ясно, что вероятность больших отклонений, возникающих вследствие статистического разброса, растет при увеличении числа измерений.
Если значение критерия и, подсчитанного для резко выделяющегося измерения, окажется больше максимального возможного ^макс. определенного из табл. 13-5, то данное измерение можно считать промахом и следует исключить при подсчете среднего значения. Наоборот, если и < г)маКс. то резко выделяющееся измерение является следствием статистического разброса и нет основания считать его промахом. В этом случае при подсчете среднего значения оно не исключается.
Методику выявления промаха рассмотрим на конкретном примере. Пусть в результате анализа продуктов горения получены значения ИОг, указанные во втором столбце следующей таблицы.
|
Намерение |
(ЯО,), |
(ИО^-ЯО, |
К«о»)і — к°»]а |
|
1 |
10,4 |
0 |
0 |
|
2 |
10,2 |
—0,2 |
0,04 |
|
3 |
10,3 |
—0,1 |
0,01 |
|
4 |
10,1 |
—0,3 |
0,09 |
|
5 |
11,0 |
+0,6 |
0,36 |
|
6 |
10,5 |
+0,1 |
0,01. |
|
Сумма |
62,5 |
+0,1 |
0,51 |
Среднее значение ИОа = 62,5 : 6 = 10,4. Определяем величину
П
П — 1 АЗІ = 2 !(К02)‘ ~ кад2 = I • 0,51 = 0,085;
*=1
Отсюда
= УІЩб = 0,292.
Подсчитаем величину
(1*02)6-К02 11,0-10,4 ОЛС
Иб——— д — 1 2 ” 0,292 ~
—-—До« п
Из табл. 13-5 находим для п — 6 и надежности р — 0,95 значение Оман,. = 2,00. Ясно, что о6 > «макс — Это означает, что пятое измерение (1Ю2 = 11,0) является промахом и его следует исключить при подсчете среднего значения. Таким образом, среднее значение 1Ю2 будет 51,5 : 5 — 10,3.
Аналогично описанному исключаются из подсчета среднего заниженные значения из серии измерений. При этом используется критерий
—-— А5л п
После разметки результатов наблюдений производится подсчет средних значений измеренных параметров. При вычислении среднего арифметического какого-либо параметра не требуется суммировать все результаты измерений. С целью облегчить расчет
Таблица 13-6
Обработка данных измерения температуры продуктов горен*,я $ котлом
|
Номер намерения п |
Измеренная температура х, °С |
Последняя цифра а |
В1“в 0 («в — б) |
В; «во (в6 « 2) |
|
1 |
311 |
1 |
—4 |
— I |
|
2 |
310 |
0 |
—5 |
—2 |
|
3 |
313 |
3 |
—2 |
1 |
|
4 |
319 |
9 |
4 |
7 |
|
5 |
317 |
7 |
2 |
5 |
|
О |
312 |
2 |
—3 |
0 |
|
7 |
315 |
5 |
0 |
3 |
|
8 |
318 |
8 |
3 |
6 |
|
9 |
316 |
6 |
1 |
4 |
|
10 |
314 |
4 |
—1 |
2 |
|
Сумма |
— |
— |
—5 |
25 |
Пользуются преобразованным уравнением для определения среднего арифметического
= а0 ^ ~~ ~ а°^ ~~ ^ = а г
(13-15)
Где а0 — произвольное число, близкое к среднему арифметическому значению; хх, *8, *3, …,хп — результаты, пененные при измерении; п — число измерений. у
Для примера рассмотрим, как производится по>дс<*ет средней температуры (в °С) продуктов горения за котлом по д^ным измерений (табл. 13-6). Из данных значений х видно, ^то дервые две цифры во всех отсчетах одинаковы, от измерения к измерению меняется только последняя цифра. В связи с этиг^ п^и подсчете среднего арифметического первые две цифры можно н/принимать во внимание, учитывая их только в конечном результ^е* Последняя цифра значения х в таблице обозначена а. Эти циФРы можно рассматривать как результат измерения температур (#) и Для них провести вычисления. Из данных а выбираем пк^даительно число, близкое к среднему арифметическому (допустим» а0 — 5). Затем подсчитываем разность последней цифры иаме0енн°й тем» пературы и принятого среднего арифметического, т е. аг — а<>. Сумму щ — а0 для всех измерений легко подсч^т^ь и затем определить среднее арифметическое, которое в призере равно 4,5 (см. ниже). Очевидно, что среднее арифметические #змеРенн°й температуры составит 314,5 °С. Для контроля над ^р^эильностью
вычислений следует выбрать из данных а другое число, близкое к среднему арифметическому (ранее было выбрано число 5, а теперь выберем число 2). Для этого случая в таблице приведена разность си — об, а внизу — сумма разностей для всех измерений. Если вычисления верны, то среднее арифметическое в обоих случаях, разумеется, получится одним и тем же при использовании щ — Оо и сц — об — Описанные вычисления имеют вид
^ср ао41
Хср = 310+ 4,5 = 314,5.
При обработке результатов испытаний необходимо оценить точность, с которой следует производить подсчеты. Числовой материал должен обрабатываться с точностью, соответствующей точности произведенных измерений. При расчетах следует придерживаться такого правила: ошибка, получающаяся при расчетах, должна быть примерно в 10 раз меньше суммарной ошибки результатов измерений.
Значащие цифры несут информацию об измеренных параметрах, поэтому число десятичных знаков должно соответствовать, точности измерений. Если, например, измеренное избыточное^ давление в сосуде составило 5,3 МПа, т. е. известны две значащие; цифры, то этот факт не изменится при записи 5 300 ООО Па. Однако?’ при такой записи возможна путаница, так как можно подумать, что давление измерено с точностью до седьмого знака. Во избежание недоразумения следует записать 53 -10б Па.
Точность подсчета средних величин, наиболее часто встречающихся при испытании котельных установок, указана ниже:
TOC o «1-5» h z Расход газа по счетчику или расходомеру, м8……………………………………. 0,1
Перепад давления по дифференциальному манометру при измерении расхода газа, пара, питательной воды, Па 14,0
Давление пара, Па…………………………………………………………………………… 1000
Температура пара, питательной воды, газа и воздуха, °С…………………….. 0,1
Состав продуктов горения, %…………………………………………………………… 0,01
Давление газа и воздуха, разрежение по газовому тракту, сопротивлению отдельных элементов газового и воздушного трактов, Па 1,0 Динамический напор при измерении пневмометрическими трубками, соединенными с микроманометром, Па 0,1
Перепад давлений при измерении диафрагмами, соединенными с микроманометром, Па 0,1
Многоканальная процедура (MLP) по существу использует второй набор порядковых номеров, чтобы гарантировать сохранность целостности последовательности кадров при их передаче через совокупность независимых каналов LAPB. За счет протокола LAPB MLP пропускная …
Сегодня в наличии: Паровые котлы РИ-1 (до 100кг пара в час) — 15000грн Котел РИ-1 — уменьшенная копия РИ-5М Производим и продаем паровые котлы мощностью от 100кВт, стоимостью от 20 …
Испытания теплоиспользующих установок производятся при номинальной производительности. Перед испытанием необходимо произвести тщательный осмотр установки и ликвидировать все выявленные дефекты. Особенно следует обращать внимание на исправность конденсатоотводчиков (пропуск пара, скопление конденсата, …
Какие бывают погрешности
Любое число, которое выдает нам эксперимент, это результат измерения. Измерение производится прибором, и это либо непосредственные показания прибора, либо результат обработки этих показаний. И в том, и в другом случае полученный результат измерения неидеален, он содержит погрешности. И потому любой грамотный физик должен не только предъявить численный результат измерения, но и обязан указать все сопутствующие погрешности. Не будет преувеличением сказать, что численный экспериментальный результат, предъявленный без указания каких-либо погрешностей, бессмыслен.
В физике элементарных частиц к указанию погрешностей относятся исключительно ответственно. Экспериментаторы не только сообщают погрешности, но и разделяют их на разные группы. Три основных погрешности, которые встречаются чаще всего, это статистическая, систематическая и теоретическая (или модельная) погрешности. Цель такого разделения — дать четкое понимание того, что именно ограничивает точность этого конкретного измерения, а значит, за счет чего эту точность можно улучшить в будущем.
Статистическая погрешность связана с разбросом значений, которые выдает эксперимент после каждой попытки измерить величину.
(Подробнее о статистической погрешности)
Систематическая погрешность характеризует несовершенство самого измерительного инструмента или методики обработки данных, а точнее, недостаточное знание того, насколько «сбоит» инструмент или методика.
(Подробнее о систематической погрешности)
Теоретическая/модельная погрешность — это неопределенность результата измерения, которая возникла потому, что методика обработки данных была сложная и в чем-то опиралась на теоретические предположения или результаты моделирования, которые тоже несовершенны. Впрочем, иногда эту погрешность считают просто разновидностью систематических погрешностей.
(Подробнее о погрешности теории и моделирования)
Наконец, в отдельный класс, видимо, можно отнести возможные человеческие ошибки, прежде всего психологического свойства (предвзятость при анализе данных, ленность при проверке того, как результаты зависят от методики анализа). Строго говоря, они не являются погрешностью измерения, поскольку могут и должны быть устранены. Зачастую это избавление от человеческих ошибок может быть вполне формализовано. Так называемый дважды слепой эксперимент в биомедицинских науках — один тому пример. В физике частиц есть похожие приемы (см. заметку Что означает «слепой анализ» при поиске новых частиц?).
Что означает погрешность
Стандартный вид записи измеренной величины с погрешностью знаком всем. Например, результат взвешивания какого-то предмета может быть 100 ± 5 грамм. Это означает, что мы не знаем абсолютно точно массу, она может быть и 101 грамм, и 96 грамм, а может быть и все 108 грамм. Но уж точно не 60 и не 160 грамм. Мы говорим лишь, сколько нам показывают весы, и из каких-то соображений определяем тот примерный разброс, который измерение вполне могло бы дать.
Тут надо подчеркнуть две вещи. Во-первых, в бытовой ситуации значение 100 ± 5 грамм часто интерпретируется так, словно истинная масса гарантированно лежит в этом диапазоне и ни в коей мере не может быть 94 или 106 грамм. Научная запись подразумевает не это. Она означает, что истинная масса скорее всего лежит в этом интервале, но в принципе может случиться и так, что она немножко выходит за его пределы. Это становится наиболее четко, когда речь идет о статистических погрешностях; см. подробности на страничке Что такое «сигма»?.
Во-вторых, надо четко понимать, что погрешности — это не ошибки эксперимента. Наоборот, они являются показателем качества эксперимента. Погрешности характеризуют объективный уровень несовершенства прибора или неидеальности методики обработки. Их нельзя полностью устранить, но зато можно сказать, в каких рамках результату можно доверять.
Некоторые дополнительные тонкости, связанные с тем, что именно означают погрешности, описаны на странице Тонкости анализа данных.
Как записывают погрешности
Указанный выше способ записи не уточняет, что это за погрешность перед нами. В физике элементарных частиц при предъявлении результатов источники погрешностей принято уточнять. В результате запись результата может иногда принять пугающий своей сложностью вид. Таких выражений не надо бояться, просто нужно внимательно посмотреть, что там указано.
В самом простом случае экспериментально измеренное число записывается так: результат и две погрешности одна за другой:
μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15.
Тут вначале всегда идет статистическая, а за ней — систематическая погрешность. Если же измерение не прямое, а в чем-то опирается на теорию, которая тоже не идеально точна, то следом за ними приписывается теоретическая погрешность, например:
μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15 ± 0,11.
Иногда для пущей понятности явно указывают, что есть что, и тогда погрешностей может быть даже больше. Это делается вовсе не для того, чтобы запутать читателя, а с простой целью: упростить в будущем расчет уточенного результата, если какой-то один из источников погрешностей будет уменьшен. Вот пример из статьи arXiv:1205.0934 коллаборации LHCb:
Означает эта длинная строка следующее. Тут записана измеренная детектором вероятность выписанного распада Bs-мезона, которая равна [1,83 ± четыре вида погрешностей] · 10–5. В перечислении погрешностей вначале идет статистическая погрешность, потом систематическая погрешность, затем погрешность, связанная с плохим знанием некоторой величины fs/fd (неважно, что это такое), и наконец, погрешность, связанная с плохим знанием вероятности распада B0-мезона (потому что измерение Bs-распада косвенно опирается на B0-распад).
Нередки также случаи, когда погрешности в сторону увеличения и уменьшения разные. Тогда это тоже указывается явно (пример из статьи hep-ex/0403004):
И наконец, совсем экзотический случай: когда величина настолько плохо определена, что погрешность пишут не к самому числу, а к показателю степени. Например, 1012 ± 2 означает, что величина вполне может лежать где-то между 10 миллиардами и 100 триллионами. В этом случае обычно нет большого смысла разделять погрешности на разные типы.
Величина со всеми явно указанными погрешностями часто не очень удобна для работы, например при сравнении теории и эксперимента. В этом случае погрешности суммируют. Эти слова ни в коем случае нельзя воспринимать как простое сложение! Как правило, речь идет о сложении в квадратах: если все три типа погрешностей обозначить как Δxstat., Δxsys., Δxtheor., то глобальная погрешность обычно вычисляется по формуле
Стоит еще добавить, что в других разделах физики нередко используют иную запись: вместо символа «±» погрешность просто помещают в скобках. Тогда ее понимают так: это погрешность, выраженная в единицах последней значащей цифры. Например, 100(5) означает 100 ± 5, а 1,230(15) означает 1,230 ± 0,015. В этом случае принципиально важно писать правильное число нулей в результате измерения, ведь запись 1,23(15) уже будет означать вдесятеро большую погрешность: 1,23 ± 0,15.
Как изображают погрешности
Когда экспериментально измеренные значения наносятся на график, погрешности тоже приходится указывать. Это обычно делают в виде «усов», как на рисунке слева. Такие «усы» с засечками относятся к глобальной погрешности. Если же хочется разделить статистические и систематические погрешности, то делают так, как показано на рисунке справа. Здесь засечки показывают только статистические погрешности, а полные усы во всю длину отвечают глобальным погрешностям. Другой вариант: выделение полных погрешностей цветом, как это показано, например, на рисунке с данными ATLAS по хиггсовскому бозону.
Наконец, когда экспериментальная точка имеет отдельные погрешности по обеим осям, то их тоже наносят, и результат выглядит в виде крестика.
Обработка результатов эксперимента в
биохимии, заключается в применении
методов математической статистики для
оценки значений различных физических
величин характеризующих изучаемые
объекты, и (или) зависимости этих величин
от одного либо нескольких изменяемых
внешних условий (например, температура,
давление, тип катализатора). Обработка
результатов эксперимента включает, как
правило, также и определение точности
данных, полученных при его проведении.
Результаты измерений обычно содержат
случайные ошибки, поэтому статистические
оценки выполняют только при наличии
серии измерений – так называемой
случайной выборки. Для оценки измеряемого
значения какой-либо величины или
исследуемой зависимости ее от внешних
условий по данным выборки рассчитывают
выборочные параметры, характеризующие
статистическое распределение ошибок
в проведенном эксперименте. Такое
распределение, как правило, подчиняется
нормальному закону, конкретный вид
которого определяют два параметра –
выборочное среднее и выборочная
дисперсия.
Точность получаемых оценок устанавливают
с помощью статистических критериев
Стьюдента (t-критерий), Фишера (F-критерий)
и т. д. При этом количественными мерами
служат вероятность β и уровень значимости
статистического критерия р=1-β. При
заданных требованиях на точность
результатов измерений доверительная
вероятность (уровень значимости)
определяет надежность полученной
оценки.
Методы статистической обработки
результатов измерений позволяют оценить
систематические и случайные погрешности
измерений.
-
Погрешности вычислительного эксперимента
Погрешность является неотъемлемой
частью любого измерения.
Погрешность– количественная
характеристика неопределенности, или
неоднозначности, результата измерения.
Ее оценивают, исходя из всей информации,
накопленной при подготовке и выполнении
измерений. Эту информацию обрабатывают
для совместного одновременного
определения окончательного результата
измерения и его погрешности. Окончательный
результат нельзя расценивать как
«истинное значение» измеряемой физической
величины, так как в этом нет смысла из-за
наличия погрешности. Погрешность можно
разделить на несколько классов.
1. Промахи
или грубые погрешности.
Такие погрешности возникают вследствие
неисправности измерительных приборов
или ошибок в эксперименте, сделанных
по невнимательности. Естественно
стремление избегать промахи, но если
стало понятно, что они все-таки допущены,
соответствующие им результаты измерений
просто отбрасывают.
2. Систематические
погрешности.
Приборная погрешность. Систематическая
погрешность, присутствующая в результатах
измерений, выполненных с помощью любого
измерительного прибора, как правило,
неизвестна и не может быть учтена. Ее
можно оценить только путем сравнения
показаний прибора с показаниями другого,
более точного. Иногда результаты
специально проведенного сравнения
приводят в паспорте прибора, однако
чаще указывают максимально возможную
погрешность для приборов данного типа.
Модельная
погрешность. В основу любого
экспериментального исследования,
сопряженного с измерениями, заложена
модель. Модель содержит наиболее полное
физическое описание исследуемого
объекта или процесса, которое позволяет
составить его математическое описание,
а именно, набор математических соотношений,
включающих в себя физические величины.
Они выступают в роли переменных и
параметров, которыми могут быть величины,
непосредственно измеряемые в ходе
эксперимента, и величины, значения
которых требуется определить, исходя
из всей совокупности экспериментальных
данных. В итоге модель представляет
собой математическую конструкцию,
базирующуюся на физических представлениях.
Только
на основании эксперимента можно сделать
обоснованное заключение о приемлемости
описания полученных данных с помощью
использованной теоретической модели.
Зафиксированные несоответствия
построенной модели, фактически – теории,
и эксперимента, служат важнейшим стимулом
развития науки, требуя уточнять
представления о природе окружающего
физического мира. В свое время именно
отчетливо зарегистрированные
несоответствия привели к созданию
теории равновесного теплового излучения,
квантовой механики, теории относительности.
С
другой стороны, неверно построенная
модель, в которой не нашли отражения
какие-то важные процессы или факторы,
влияющие на результат измерений, также
приводит к несоответствиям. Как следствие,
измеряемые в эксперименте величины,
вычисляемые по полученным из модели
рабочим формулам, содержат погрешности,
которые носят название модельных
погрешностей. В эксперименте лабораторную
установку стараются поместить в такие
условия, которые были бы максимально
близки к требованиям модели. Однако
полностью исключить несоответствие
модели и экспериментальной ситуации
удается далеко не всегда.
К
разряду модельных может быть отнесена
погрешность взвешивания на рычажных
весах. Согласно закону Архимеда вес
тела и гирь уменьшается из-за действия
выталкивающей силы воздуха. Напомним,
что 1 куб.м. воздуха весит примерно 10 Н.
Для того, чтобы правильно найти массу
взвешиваемого тела, опять же, нужно
ввести поправки на потерю веса гирями
и самим телом. Вместе с тем, как и при
любых измерениях, здесь необходим
разумный подход. Например, при работе
с грубыми техническими весами бессмысленно
вводить поправку на Архимедову силу,
так как она окажется много меньше
погрешностей, вносимых в результат
измерения гирями и самими весами.
Следует
особо отметить, что модельные погрешности
являются наиболее сложными для анализа
и учета.
3. Случайные
погрешности.
Из
самого названия следует, что при повторных
измерениях погрешности этого типа
демонстрируют свою случайную природу.
Возникают они вследствие множества
причин, совместное воздействие которых
на каждое отдельное измерение невозможно
учесть или заранее установить. Такими
причинами могут оказаться, к примеру,
незначительные колебания температуры
различных деталей и узлов установки,
скачки напряжения, вибрации, турбулентные
движения воздуха, трение в механизмах,
ошибки считывания показаний приборов
и т.п. Единственно возможный способ
объективного учета случайных погрешностей
состоит в определении их статистических
закономерностей, проявляющихся в
результатах многократных измерений.
Рассчитанные статистические оценки
вносят в окончательный результат
измерения.
Для
оценки погрешности используют различные
числовые характеристики: пусть x1,
х2, … хnобозначаютnрезультатов измерений
величины, истинное значение которойX.
-
Среднее значение находится по формуле:
Это
среднее значение принимают за приближенное
(наиболее вероятное) значение измеряемой
величины.
-
Дисперсия – среднеквадратичная
погрешность. Рассеяние результатов
измерений относительно среднего
значения принято характеризовать
дисперсией ΔS2:
-
Стандартное отклонение:
-
Абсолютная погрешность результата –
доверительный интервал– Δх –
характеризует попадание случайной
величины в доверительный интервал с
доверительной вероятностью α:
,
где ta–
коэффициент Стьюдента зависит от
доверительной вероятности и числа
проведенных экспериментов. В математической
статистике коэффициент Стьюдента
вычислен для различных значений, и его
можно найти в таблице.
Для n=5 (число измерений) и α=0.95, коэффициент
Стьюдента — 2.570
Обычно для расчетов доверительного
интервала пользуются значениями α=0,95;
иногда достаточно α=0,90, но при ответственных
измерениях требуется более высокая
надежность (α= 0,99).
-
Относительная погрешность:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
1. Введение
Работа химиков, физиков и представителей других естественно-научных профессий часто связана с выполнением количественных измерений различных величин. При этом возникает вопрос анализа достоверности получаемых значений, обработки результатов непосредственных измерений и оценки погрешностей расчетов, в которых используются значения непосредственно измеряемых характеристик (последний процесс также называется обработкой результатов косвенныхизмерений). По целому ряду объективных причин знания выпускников химического факультета МГУ о расчете погрешностей не всегда достаточны для правильной обработки получаемых данных. В качестве одной из таких причин можно назвать отсутствие в учебном плане факультета курса по статистической обработке результатов измерений.
К данному моменту вопрос вычисления погрешностей, безусловно, изучен исчерпывающе. Существует большое количество методических разработок, учебников и т.д., в которых можно почерпнуть информацию о расчете погрешностей. К сожалению, большинство подобных работ перегружено дополнительной и не всегда нужной информации. В частности, большинство работ студенческих практикумов не требует таких действий, как сравнение выборок, оценка сходимости и др. Поэтому кажется целесообразным создание краткой разработки, в которой изложены алгоритмы наиболее часто употребляемых вычислений, чему и посвящена данная разработка.
2. Обозначения, принятые в данной работе
-измеряемая величина, -среднее значение измеряемой величины, — абсолютная погрешность среднего значения измеряемой величины, — относительная погрешность среднего значения измеряемой величины.
3. Расчет погрешностей непосредственных измерений
Итак, предположим, что были проведены n измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях. В этом случае можно рассчитать среднее значение этой величины в проведенных измерениях:
(1)
Как вычислить погрешность ? По следующей формуле:
(2)
В этой формуле используется коэффициент Стьюдента . Его значения при разных доверительных вероятностях и значениях приведены в таблице.
3.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:
Задача.
Проводили измерения длины металлического бруска. Было сделано 10 измерений и получены следующие значения: 10 мм, 11 мм, 12 мм, 13 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм. Требуется найти среднее значение измеряемой величины (длины бруска) и его погрешность .
Решение.
С использованием формулы (1) находим:
мм
Теперь с использованием формулы (2) найдем абсолютную погрешность среднего значения при доверительной вероятности и числе степеней свободы (используем значение =2,262, взятое из таблицы):
Запишем результат:
=10,8±0,70.95 мм
4. Расчет погрешностей косвенных измерений
Предположим, что в ходе эксперимента измеряются величины , а затем c использованием полученных значений вычисляется величина по формуле . При этом погрешности непосредственно измеряемых величин рассчитываются так, как это было описано в пункте 3.
Расчет среднего значения величины производится по зависимости с использованием средних значений аргументов .
Погрешность величины рассчитывается по следующей формуле:
, (3)
где — количество аргументов , — частные производные функции по аргументам , — абсолютная погрешность среднего значения аргумента .
Абсолютная погрешность, как и в случае с прямыми измерениями, рассчитывается по формуле .
4.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:
Задача.
Было проведено 5 непосредственных измерений величин и . Для величины получены значения: 50, 51, 52, 50, 47; для величины получены значения: 500, 510, 476, 354, 520. Требуется рассчитать значение величины , определяемой по формуле и найти погрешность полученного значения.
Решение.
По формуле (1) найдем средние значения величин и :
Вычисляем :
Находим в таблице при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы значение . По формуле (2) рассчитываем погрешности средних значений величин и :
С использованием формулы (3) находим относительную погрешность среднего значения величины :
Найдем абсолютную погрешность среднего значения величины :
Запишем результат:
Методические рекомендации по оценке статистических характеристик результатов эксперимента
Страницы работы
Фрагмент текста работы
Ошибки подразделяются на грубые, случайные и систематические.
Примером грубых ошибок может служить, например,
неправильное использование шкал при измерении твердости, арифметические ошибки
в вычислениях, перепутанные образцы после различной термообработки и т.д.
Наличие ошибок проявляется в том, что среди сравнительно близких результатов
наблюдается одно или несколько значений, заметно выделяющихся по величине из
общего ряда. Если отличие настолько велико, что можно говорить о грубой
ошибке, то это измерение сразу отбрасывают. Однако в большинстве случаев нельзя
сразу признать то или иное наблюдение неверным только по признаку
«выскакивания» их общего ряда, и нужно провести дополнительные исследования.
К систематическим ошибкам, в первую очередь, относят,
так называемые, инструментальные ошибки, которые возникают вследствие ограниченной
точности измерительных приборов. Общим признаком систематических ошибок можно
считать принципиальную возможность изучить их и исключить из результатов
измерений.
Однако следует отметить, что под теорией ошибок обычно
подразумевается теория случайных ошибок. Причиной случайных ошибок может быть
недостаточно четкое проведение различных операций. Так, многократные измерения
одной и той же величины, произведенные с возможной тщательностью, и учет всех
систематических ошибок всегда дают различные числовые значения. Случайных
причин, вызывающих отклонение от точного значения, много, и они, как правило,
не поддаются учету. Каждая из этих причин дает малозаметное отклонение, так как
в противном случае оно было бы отличено и изучено. От случайных ошибок
избавиться невозможно. Можно лишь приближенно оценить их влияние на погрешность
эксперимента.
Случайные ошибки связаны с несовершенством наших
органов чувств, изменением внешних условий (температуры, влажности, давления).
1.1
Математические критерии
оценки результатов эксперимента
Случайные ошибки в большинстве случаев подчиняются
закону нормального распределения, математическое выражение которого имеет следующий
вид:
у = 
;
где у – плотность распределения ошибок;
–
основание натуральных логарифмов, равное 2,72;
χ = χ ί – 
– ошибка
результата единичного определения;
– среднее
арифметическое из n измерений
χ ί – результат единичного определения;
σ2 – генеральная дисперсия.
Графически закон нормального распределения может
быть представлен в виде кривой Гаусса (рисунок 1)
Рисунок 1 – Кривая Гаусса (σ1 2
< σ2 2 < σ3 2).
Сравнение этих кривых показывает, что с уменьшением
величины дисперсии улучшается распределение и уменьшается предел, который практически
могут достигнуть ошибки.
Генеральная дисперсия является понятием теоретическим,
а на практике обычно имеют дело с выборочной дисперсией, обозначаемой S2.
Следовательно, одним из основных метрологических
требований к методу анализа является достаточно малая величина выборочной
дисперсии или
средней квадратичной ошибки отдельного определения, равной 
.
Обычно величину выборочной дисперсии рассчитывают по
формуле:
S2 = 
где Хi – результат
единичного определения;
n – число измерений;
К=n-1 – число степеней свободы;
—
среднее арифметическое из n
измерений.
Среднее арифметическое измеряют по формуле:
Если разность 
,
то такие результаты опыта отбрасывают.
,Следует также иметь в виду, что по закону сложения ошибок средняя
квадратичная ошибка суммы независимых величин равна корню квадратичному из
суммы дисперсий отдельных слагаемых.
Другим математическим показателем, посредством которого оцениваются
полученные результаты опыта, является наряду с дисперсией «доверительный
интервал» – интервал, в котором находится истинное значение определяемой
величины с заданной доверительной вероятностью. Значение доверительного
интервала определяется выражением:
Дробь 
обозначают
через 
и называют
квадратичной ошибкой среднего арифметического, а 
— абсолютной
ошибкой среднего арифметического.
обозначают
— абсолютнойТогда
доверительный интервал выражается формулой:
или
, где a
– истинное значение определяемой величины;
Х – среднее арифметическое из n измерений;
—
средняя квадратичная ошибка среднего арифметического;
—
критерий Стьюдента;
n – число измерений;
—
абсолютная ошибка среднего арифметического.
Вероятность того, что доверительный интервал
действительно заключает в себе истинное значение величины «а»,
называют надежностью доверительного интервала α. Обычно принимают значение,
равным 0,95 или 0,99.
Для того чтобы рассчитать доверительный интервал,
задаются величиной n (или к=n-1) определяют по таблицам критерий Стьюдента . Величина
критерия Стьюдента для значений α, равного 0,95 или 0,99 приведена в таблице 1.
Таблица 1 – Распределение Стьюдента
|
к |
|||||||||
|
α |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0,95 0,99 |
4,30 9,93 |
3,18 5,84 |
2,78 4,60 |
2,27 4,03 |
2,45 3,71 |
2,37 3,50 |
2,31 3,36 |
2,26 3,25 |
2,23 3,17 |
2 ПРИМЕР СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
При определении содержания продуктов коррозии
весовым методом было получено десять значений искомой величины (таблица 2).
Определить абсолютную и относительную ошибку результатов анализа
Похожие материалы
- Химический состав, марки сплавов. Назначение, условия работы. Обосновать параметры термической обработки и структурные изменения после нее
- Влияние продувки расплава газообразными веществами на поведение доменного чугуна при термической обработке
- Влияние термической и химико-термической обработки на физико-механические свойства стали Р6М5
Информация о работе
Тип:
Методические указания и пособия
Two Types of Experimental Error
No matter how careful you are, there is always error in a measurement. Error is not a «mistake»—it’s part of the measuring process. In science, measurement error is called experimental error or observational error.
There are two broad classes of observational errors: random error and systematic error. Random error varies unpredictably from one measurement to another, while systematic error has the same value or proportion for every measurement. Random errors are unavoidable, but cluster around the true value. Systematic error can often be avoided by calibrating equipment, but if left uncorrected, can lead to measurements far from the true value.
Key Takeaways
- Random error causes one measurement to differ slightly from the next. It comes from unpredictable changes during an experiment.
- Systematic error always affects measurements the same amount or by the same proportion, provided that a reading is taken the same way each time. It is predictable.
- Random errors cannot be eliminated from an experiment, but most systematic errors can be reduced.
Random Error Example and Causes
If you take multiple measurements, the values cluster around the true value. Thus, random error primarily affects precision. Typically, random error affects the last significant digit of a measurement.
The main reasons for random error are limitations of instruments, environmental factors, and slight variations in procedure. For example:
- When weighing yourself on a scale, you position yourself slightly differently each time.
- When taking a volume reading in a flask, you may read the value from a different angle each time.
- Measuring the mass of a sample on an analytical balance may produce different values as air currents affect the balance or as water enters and leaves the specimen.
- Measuring your height is affected by minor posture changes.
- Measuring wind velocity depends on the height and time at which a measurement is taken. Multiple readings must be taken and averaged because gusts and changes in direction affect the value.
- Readings must be estimated when they fall between marks on a scale or when the thickness of a measurement marking is taken into account.
Because random error always occurs and cannot be predicted, it’s important to take multiple data points and average them to get a sense of the amount of variation and estimate the true value.
Systematic Error Example and Causes
Systematic error is predictable and either constant or else proportional to the measurement. Systematic errors primarily influence a measurement’s accuracy.
Typical causes of systematic error include observational error, imperfect instrument calibration, and environmental interference. For example:
- Forgetting to tare or zero a balance produces mass measurements that are always «off» by the same amount. An error caused by not setting an instrument to zero prior to its use is called an offset error.
- Not reading the meniscus at eye level for a volume measurement will always result in an inaccurate reading. The value will be consistently low or high, depending on whether the reading is taken from above or below the mark.
- Measuring length with a metal ruler will give a different result at a cold temperature than at a hot temperature, due to thermal expansion of the material.
- An improperly calibrated thermometer may give accurate readings within a certain temperature range, but become inaccurate at higher or lower temperatures.
- Measured distance is different using a new cloth measuring tape versus an older, stretched one. Proportional errors of this type are called scale factor errors.
- Drift occurs when successive readings become consistently lower or higher over time. Electronic equipment tends to be susceptible to drift. Many other instruments are affected by (usually positive) drift, as the device warms up.
Once its cause is identified, systematic error may be reduced to an extent. Systematic error can be minimized by routinely calibrating equipment, using controls in experiments, warming up instruments prior to taking readings, and comparing values against standards.
While random errors can be minimized by increasing sample size and averaging data, it’s harder to compensate for systematic error. The best way to avoid systematic error is to be familiar with the limitations of instruments and experienced with their correct use.
Key Takeaways: Random Error vs. Systematic Error
- The two main types of measurement error are random error and systematic error.
- Random error causes one measurement to differ slightly from the next. It comes from unpredictable changes during an experiment.
- Systematic error always affects measurements the same amount or by the same proportion, provided that a reading is taken the same way each time. It is predictable.
- Random errors cannot be eliminated from an experiment, but most systematic errors may be reduced.
Sources
- Bland, J. Martin, and Douglas G. Altman (1996). «Statistics Notes: Measurement Error.» BMJ 313.7059: 744.
- Cochran, W. G. (1968). «Errors of Measurement in Statistics». Technometrics. Taylor & Francis, Ltd. on behalf of American Statistical Association and American Society for Quality. 10: 637–666. doi:10.2307/1267450
- Dodge, Y. (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms. OUP. ISBN 0-19-920613-9.
- Taylor, J. R. (1999). An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measurements. University Science Books. p. 94. ISBN 0-935702-75-X.