Максимальная относительная ошибка формула

Максимальное значение погрешности равно при этом

ΔА
=
ΔX
+ ΔY. (13)

Такова
ие будет максимальная абсолютная
погрешность при

А
=
X
– Y.
Таким
образом, относительные погрешности
величин, являющихся суммой или разностью
двут! параметров, равны соответственно
:

и

(14)

Пусть
теперь A
= X^.Y
—
тогда

Пренебрегая
слагаемым второго порядка малости |ΔX^.
ΔY|
имеем
:

(15)

или(16)

Если
,
то

Максимальное
значение погрешности ΔА
получится
в случае, если погрешности в числителе
и в знаменателе данного выражения взять
с разными знаками. Тогда можно записать
:

Здесь мы
пренебрегли членами (ΔY)²и ΔX^.ΔY.Максимальная абсолютная
погрешность равна в этом случае

, (17)

а
относитедьная погрешностс, как и в
(16), равна

Полученные
результаты легко обобщаются на
произвольное количество сомножителей.
Если в самом общем случае

,

где
С — постоянный коэффициент, а α, β, γ,
… — любые целые или дробные числа,
то относительную погрешность косвенного
измерения величины А можно эаплеать
в виде :

(18)

Простота
последнего выражения указывает на то,
что в большинстве случаев удобно оценить
сначала относительную погрешность
косвенного измерения, а потом уже найти
его абсолютную погрешность. Следует,
однако, обратить внимание на то
обстоятельство, что приведенные формулы
применимы только в том случае, если
параметры X
,
Y
, Z , ….
не зависят друг от друга. Если же, к
примеру,

, где Z
= X
+ Y
расчет
по формуле
(18)
приведет к неправиль­ному результату,
т.к. погрешности одной и той же величины
Y
будут приписаны различные знаки,
поскольку указанная величина фигурирует
как в числителе, так и в знаменателе
исходного выражения.

Более
общие правила вычисления погрешностей,
позво­ляющие избежать подобных ошибок,
можно получить, исполь­зуя дифференциальное
исчисление.

Пусть
по-прежнему A
= ƒ(X,
Y,
Z,
…) .
Тогда отно­сительную погрешность
косвенного измерения
можно записать в виде.
С другой стороны,

Таким образом, относительая погрешность
величины А равна полному дифференциалу
на­турального логарифма функции,
определяющей зависимость данной величины
от измеряемых, т.е.

Таким
образом, для нахождения
необходимо:

1. прологарифмирэвать
   исходную формулу
   ln
   A
   = ln
   ƒ(X,
   Y,
   Z,
   …)

2)
продифференцировать полученное
уравнение, заменив затем дифференциалы
dA
,
dX
,
dY
…
погрешностями ΔA , ΔX
, ΔY
, …
;

3)
сгруппировать члены, содержащие одни
и те же погрешности, вынести эти
погрешности за скобки, а выражения в
скобках взять по модулю;

4)
заменить знаки
“-”
перед коэффициентами при погрешностях
на знак “+”
(для
нахождения максимального значения Е).

Общая
формула для расчета относительной
погрешности будет при этом выглядеть
следующим образом:

, (19)

В
качества примера приведем оценку
относительной погрешности величины γ,
вычисляемой по формуле
,
где средние значения параметров,
полученные после проведения серии
измерений
(отсчеты
по шкале мано­метра в работе
1.65 ).

Надо сказать,
что расчет по формуле (20)приводит, как правило, к завышению
погрешности результата косвенных
измере­ний. Причем это завышение
зависит от числа параметров Х
, Y, Z , …Если, например, имеется пять таких
параметров, то вероятность того, что
все ошибки будут иметь заданный знак
равна.
При большем их числе указанная вероятность
будет еще меньше. Таким образом, понятно,
что максимально возможное значение
относительной погрешности, даваемое
выра­жением (20),во многих
случаях значительно больше реальной
погрешности результата.

Теория
вероятностей дает более правильные
формулы для оценки погрешностей косвенных
измерений. Если при пря­мых измерениях
параметров X
,
Y
, Z
…
доминирующей является случайная
погрешность, то погрешность косвенного
измерения также является случайной
величиной. Это означает, что следует
искать среднюю квадратичную погрешность
резуль­тата. Так, если A
= X + У
,
то вместо выражений (13) и
(14)
будем иметь
:

и
(21)

Общая
формула для расчета относительной
погрешности будет в этом случае иметь
следующий вид
:

(22)

или

(23)

В
частности, при
имеем:

(24)

Следует
подчеркнуть, что расчет погрешностей
по формулах
(22) — (24)
желательно производить в тех случаях,
ког­да погрешности измеряемых
параметров имеют, в основном, слу­чайный
характер. В условиях же, например, учебной
лаборато­рии. ввиду несовершенства
измерительных приборов приходится
главным образом иметь дело с приборными
погрешностями. При этом большинство
величин, входящих в расчетную формулу,
изме­ряются только один раз. К тому
же общее число параметров обычно
невелико. Поэтому можно рекомендовать
для оценки погрешностей косвенных
измерений более простые формулы (13) –
(20).

Очень
часто в выражении, используемом для
определения искомой величины, встречаются
параметры, которые в данном эксперименте
непосредственно не измеряются. Это
могут быть табличные величины
(π ,
g
, и т.п.), либо величины, определенные
кем-либо заранее и представленные в
виде готового результата
(например,
масса гири или диаметр катушки,
заклю­ченной внутри установки).
Поскольку указанное величины не являются
абсолютно точным, следует учесть вклад
соответствующих погрешностей в
погрешность вычисляемого результата
(см.
работы
1.01, 1.25).,

Для
оценки погрешности в этих случаях (если,
конечно, последняя не задана в явном
виде)
может быть рекомендовано следующее
общее правило:
абсолютная погрешность берется равной
половине единицы наименьшего разряда,
представленного в числе. Так, если задана
плотность жидкости

ρ
=
4,0380·10³
кг/м³,
то погрешность следует взять рав­ной
0,00003 кг/м³

Указанный
способ оценки погрешностей вытекает
из того факта, что последняя цифра в
числе уже не является в боль­шинстве
случаев точной
(смотри
ниже правила округления). Что касается
табличных величин, то они при необходимости
мо­гут быть взяты с очень большой
точностью. Тогда связанными с ними
ошибками пренебрегают. При значительном
же округлении этих величин погрешности
возрастают и, в принципе, должны быть
учтены. Их расчет обычно ведется по
общему правилу, т.е. если используется
значение π
= 3,14,
то Δπ = 0,005.

Рассчитав
окончательно относительную погрешность
Е , находят затем абсолютную погрешность
косвенного измерения ΔА = Е·А.
(25)

Обработка
результатов измерений

Все
экспериментальные данные, получаемые
в результате прямых измерений, должны
быть занесены в специальную табли­цу
(
или таблицы). Для величин, значения
которых измерялись по нескольку раз,
необходимо подсчитать среднее
арифмети­ческое серии измерений. При
этом следует пенить, что точ­ность
обработки числового материала должна
быть согласована с точностью самих
измерений. Обычно при вычислении средних
значений рекомендуется оставлять на
одну значащую цифру больше, чем содержится
в непосредственно измеренных значе­ниях.

Затем
необходимо произвести оценку случайной
погреш­ности. Используемые для расчетов
средней квадратичной ошиб­ки значения
ΔX_i
и (ΔХ_i)²
удобно поместить в ту же таблицу, где
находятся результаты опытов
(т.е.
значения X_i).
Для сравнения там же обычно указывают
и погрешности использовавшихся приборов.

Расчет
конечного результата измерений, которые
являют­ся в большинстве случаев
косвенными, производится один раз. При
этом в расчетную формулу подставляются
средние значения измеренных параметров.
Дальнейшая обработка сводится к
вы­числению относительной и абсолютной
погрешностей по изло­женной методике.

Для
правильной записи конечного результата
в виде (12) необходимо округлить значение
абсолютной погрешности и сам результат
измерений. Как правило, точность оценки
погрешности оказывается очень небольшой,
особенно в тех случаях, когда число
входящих в расчетную формулу парамет­ров
велико. Поэтому абсолютная погрешность
округляется, как правило, до одной
значащей цифры. Если, однако, эта цифра
оказалась единицей, следует оставить
две значащие цифры.

Округление
самой измеренной величины следует
проводить, учитывая ее абсолютную
погрешность. При этом последняя значащая
цифра в приводимом результате должна
быть того же по­рядка величины
(находиться
в той же десятичной позиции),
что
и погрешность. Все более мелкие разряды
не несут ника­кой информации и должны
быть отброшены
(или
заменены ну­лями).
Особенно строго следует придерживаться
этого пра­вила в тех случаях, когда
погрешность не указывается в яв­ном
виде, так как именно последний разряд
числа, дающего значение физической
величины, показывает точность ее
оп­ределения. Или, например, в результате
расчетов получено, что
J
=
0,1428 кг·м³,
ΔJ
= 0,00791 кг·м³,
то правиль­ная запись конечного
результата будет выглядеть так
:

J
= 0,014
±
0,008
кг·м³.

В
некоторых случаях при обработке
результатов измере­ний удобно
пользоваться графическим методом. Этот
метод позволяет проследить зависимость
одной физической величины от другой
(например,
зависимость периода колебаний физи­ческого
маятника от расстояния между его центром
масс и осью вращения
).
Иногда построение графиков необходимо
для определения усредненных значений
тех или иных параметров. (
Можно,
к примеру, найти ускорение тела по
графику зависи­мости пути от квадрата
времени).

При
построении графиков обычно используется
прямоуголь­ная систем координат с
равномерным масштабом по осям Х и Y.
Значения аргумента следует откладывать
по оси X
,
а значение функции
—
по оси Y.
Масштаб может быть произ­вольным, но
при его выборе рекомендуем руководствоваться
следующими указаниями.

Проводимая
кривая должна занимать весь лист
используе­мой миллиметровой бумаги.
При этом следует иметь в виду, что
пересечение координатных осей совсем
необязательно должно совпадать с
нулевыми значениями аргумента и функции.
Важную роль играет также удобство
построения и использова­ния графиком.
Надо поэтому выбирать такой масштаб,
чтобы координаты любой точки графика
могли быть быстро и легко определены.
Это условие всегда выполняется, если в
единице масштаба (например,
в 1см)заключается 10ⁿ
,2·10ⁿили5·10ⁿединиц измерения физических величин,
откладываемых по осям координат
(n -любое
целое число).

После
того, как масштаб выбран, следует
начертить коор­динатные оси, отметив
на них деления масштаба. и указать
буквенные обозначения и размерность
откладываемых величин. Если эти величины
очень малы
(или
очень велики) при нане­сении масштаба
удобно использовать рационализированную
фор­му записи, указывая порядок
величины рядом с ее буквенным обозначением.
При этом допускается два вида записи.
Пусть, например, индукция магнитного
поля катушки с током меняется в пределах
(2÷8) 10^-5
Тл. На графике зависимости В(I)
около
делений масштаба надо проставить числа
2, 3, 4
и т.д., а сверху написать либо В,
10^-5
Тл, либо Вx10^-5,
Тл.

Полученные
экспериментальные данные наносятся в
виде графика Y
= Y(Х),
где точки имеют координаты Х_n
,
Y_n
, окруженные
эллипсами с главными полуосями ΔX_n
,
ΔY_n
. Эллипсы
отражают погрешности измерения. Часто
вместо эллип­сов рисуют крестики,
точки, кружочки и пр. Затем строится
кривая, демонстрирующая вид изучаемой
функции. Кривая должна быть плавной и
может проходить как через эксперимен­тальные
точки, так и в непосредственной близости
от них. Желательно, чтобы указанные
точки оказались па обе стороны кривой,
приблизительно на одинаковых от нее
расстояниях.

Для
наиболее точного построения искомой
кривой ис­пользуют так называемый
метод наименьших квадратов
(см.
Дополнение). Следует подчеркнуть, что
указанный ме­тод не дает ответа на
вопрос, какого вида функция наилучшие
образом аппроксимирует данные точки,
а позволяет лишь выбрать наиболее
подходящую кривую определенного вида
(пара­болу,
прямую, экспоненту и т.д.).

Как
правило, отклонение точек от кривой не
должно превышать абсолютную погрешность
проведенных измерений. Эти погрешности,
как уже говорилось, могут быть указаны
на гра­фике в виде эллипсов или
отрезков, отложенных от каждой точки
(рис.
2).
Сильное отклонение отдельных точек от
аппроксимирующей кривой связано в
основном с ошибками, до­пущенными при
восполнении опытов. Поэтов желательно
строите графики в процессе измерений
или сразу же после них, чтобы иметь
возможность выявить подобные ошибки,
называемые про­махами, и при
необходимости, провести дополнительные
изме­рения.

Построение
графика в ходе эксперимента позволяет
также осуществить наиболее рациональное
количество измерений. В тех областях,
где ход кривой монотонный, можно
ограничиться небольшим числом измерений.
Вблизи максимумов, минимумов и точек
перегибов кривой измерения надо
производить значитель­но чаще.

Пользуясь
полученной кривой, можно оценить значения
изучаемой функции для тех значений
аргумента, которые не­посредственно
не наблюдались
(интерполяция).
Для этого из любой точки на оси абсцисс
(в
пределах диапазона изменения аргумента)
надо провести перпендикуляр до пересечения
с кри­вой. Его длина с учетом масштаба
даст значение искомой функции,
соответствующее выбранному значению
аргумента. Пример­ный вид графика,
построенного по экспериментально
получен­ной зависимости напряжения
на конденсаторе колебательного контура
от частоты генератора
(вынужденные
колебания), показан на рисунке
2 (см.
работу
2.39).

Электронная версия
лабораторных работ по физике

© Otl. Company
Ltd. 2000г.

Сканировал (очень плохо
– лучше бы не сканировал) Комаров Н.,
распознавали и редактировали Смирнов
К. и Молоков В.

2.2. Погрешности измерений

Ни одно измерение не выполняется идеально
точно, всегда по различным причинам существует погрешность, т.е.
отклонение ре­зультата измерения от истинного значения измеряемой величи­ны.
Причиной погрешности может стать несовершенство методики измерения,
используемых средств измерений, органов чувств человека-оператора, а также
влияние внешних условий.

Все погрешности, не связанные с грубыми
ошибками (промахами, возникающими вследствие недосмотра экспериментатора или
неисправности аппаратуры), имеют случайную и систематическую составляющие.
Случайные погрешности изменяют величину и знак при повторных
измерениях одной и той же величины. Значение случайной погрешности измерения
невозможно предвидеть и, следовательно, исключить. Для уменьшения их влияния
проводят несколько измерений величины  и берут среднее арифметическое из
полученных значений.

Систематические
погрешности остаются постоянными по величине и
знаку или закономерно изменяю­тся при повторных измерениях одной и той же
вели­чины. Систематические погрешности разделяются на
методические (несовершенство метода измерений; в том числе влия­ние средств
измерения на объект, свойство которого изме­ряется), инструментальные
(зависящие от погрешности применяемых средств измерений), внешние
(обусловленные влиянием условий проведения измерений) и субъективные
(обусловленные индивидуальными особенностями оператора).

Различают абсолютную и относительную
погрешность измерения.

Под абсолютной погрешностью измерения
понимают разность между полученным в ходе измерения и истинным значением
физической величины:

                                                                                                                  
(2.1)

Без сравнения с измеряемой величиной
абсолютная погрешность ничего не говорит о качестве измерения. Одна и та же
погрешность в 1 мм при измерении длины комнаты не играет роли, при измерении
длины тетради уже может быть существенна, а при измерении диаметра проволоки
совершенно недопустима.

Поэтому вводят относительную погрешность,
показывающую, какую часть абсолютная погрешность составляет от истинного
значения измеряемой величины. Относительная погрешность представляет
собой отно­шение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой
величины:

                      
                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
 (2.2)

Относительная погрешность обычно выражается в
процентах.

Результат измерения величины принято
записывать в виде:

                  
x_изм
±
Dх,   
d=…%.

При записи абсолютной погрешности ее величину
округляют до двух значащих цифр, если первая их них является единицей, и до
одной значащей цифры во всех остальных случаях. При записи измеренного
значения величины последней должна указываться цифра того десятичного
разряда, который использован при указании погрешности.

Из формул (2.1) и (2.2) следует, что для
нахождения погрешностей измерений необходимо знать истинное значение
измеряемой величины. Поэтому этими формулами можно пользоваться только в тех
редких случаях, когда проводятся измерения констант, значения которых
заранее известны. Цель же измерений, как правило, состоит в том, чтобы найти
не известное значение физической величины. Поэтому на практике погрешности
измерений не вычисляются, а оцениваются.

В частности, относительную погрешность находят
как отно­шение абсолютной погрешности не к истинному, а к измеренному
значению величины:

                                                         (2.3)

Способы оценки абсолютной погрешности разные
для прямых и косвенных измерений.

Максимальную абсолютную погрешность при прямых
измерениях находят как сумму
абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности
отсчета:                             
Dх=Dх_приб
+ Dх_отсч                                                               
(2.4)

Погрешность отсчета является случайной и
устраняется при многократных измерениях. Если же проводится одно измерение,
она обычно принимается равной половине цены деления шкалы измерительного
прибора.

Обратимся теперь к анализу погрешностей
средств измерения. В зависимости от условий применения средств измерения
различают основную и дополнительную погрешности. Основная погрешность
– это погрешность средств измере­ний, используемых при нормальных условиях;
дополнительная погрешность – это погрешность средств измерений,
возникающая в результате отклонени­я значения одной или более влияющих
величин от нормального значения.

Способ задания пределов допускаемой основной
абсолютной погрешности измерительных средств определяется зависимостью
погрешности от значения измеряемой величины. Если абсолютная погрешность
измерительного прибора не зависит от измеряемой величины, то погрешность
называется аддитивной и ее предел может быть выражен одним числом:

Dх_{макс
приб}
= ±
а                                           (2.5)

Зона погрешности в этом случае ограничена
двумя прямыми линиями, параллельными оси абсцисс (рис.2.1а).
Источники аддитивной погрешности – трение в опорах, неточность отсчета,
дрейф, наводки, вибрации и другие факторы. От этой погрешности зависит
наименьшее значе­ние величины, которое может быть измерено прибором.

Если погрешность прибора зависит от измеряемой
величины, то она называется мультипликативной и предел допускаемой
абсолютной погрешности выражается формулой    
Dх_{макс 
приб} 
=
±
(а + вх),                                         
(2.6)

где в –
постоянная величина, вх
– предельное значение мультипликативной погрешности, а – предельное
значение аддитивной погрешности.

Таким образом, мультипликативная погрешность
прямо пропорциональна значению измеряемой величины х. Ис­точники
мультипликативной погрешности – действие влия­ющих величин на параметры
элементов и узлов средств измерений. Зона погрешности при наличии аддитивной
и мультипликативной составляющей показана на рисунке 2.1 б.

Инструментальная погрешность
электроизмерительных приборов определяется их классом точности. Класс
точности (максимальная приведенная погрешность) – это отношение
максимальной абсолютной погрешности прибора к пределу измерения величины
(полному значению шкалы). Его, как и относительную погрешность, выражают в
процентах. Класс точности показывает, сколько процентов максимальная
инструментальная погрешность составляет от всей шкалы прибора:

                               
                                                                  (2.7)

ГОСТом установлено 8 классов точности
измерительных приборов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Зная класс
точности прибора и предельное значение измеряемой величины, можно определить
абсолютную и относительную инструментальную погрешность измерения:   

                                                                                                         (2.8)      

                                                                  
                                               (2.9)

Из формулы (2.9) видно, что чем ближе значение
измеряемой величины к пределу измерения, тем меньше относительная
инструментальная погрешность.

У приборов, аддитивная составляющая
погрешности ко­торых преобладает над
мультипликативной, класс точности выражается
одним числом. К таким приборам относится большинство аналоговых стрелочных
приборов. Относительная инструментальная погрешность в этом случае находится
просто по формуле (2.9).

Класс точности средств измерения, у которых
аддитив­ная и мультипликативная составляющие основной погреш­ности
соизмеримы, обозначается двумя числами, разделен­ными косой чертой:
c/d.
Причем класс точности должен удовлет­ворять условию
c/d>l.
К приборам, класс точности которых выражается дробью, относятся цифровые
показывающие приборы. Их максимальная относительная погрешность определяется
по формуле:

                                                                                         
                           (2.10)

Для сравнения
погрешностей измерения цифровых и стрелочных измерительных приборов
постройте самостоятельно график зависимости относительной погрешности
измерения постоянного напряжения от его величины приборами АВО-63 и Щ4313 на
пределе 2В.

Класс точности или максимальная
инструментальная погрешность приборов обычно приводится в его паспорте. Для
менее точных приборов, если в паспорте ничего не указано, максимальная
инструментальная погрешность принимается равной половине цены или цене
деления шкалы.

Для прямых измерений сначала
оценивается абсолютная погрешность, а затем относительная. При оценке
погрешности косвенных измерений величины поступают следующим образом.
Сначала находят абсолютные погрешности величин, полученных в ходе прямых
измерений. Затем вычисляют относительную погрешность исследуемой величины,
пользуясь для этого одной из формул, приведенных в таблице «расчет
погрешностей». Формула относительной погрешности зависит от того, по какой
формуле находят значение измеряемой величины. И только после этого находят
абсолютную погрешность измеряемой величины, выражая ее из
формулы (2.3).

ПРИМЕР:

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями  0,5 см  и линейка с
делениями  1 мм. В обоих случаях получен результат  3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины  3,5
см  от истинной, не
должно по модулю превышать  0,5 см, во втором случае 
0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае  ∆l = 0,5  и, следовательно,

3
≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1  и

3,4
≤ l ≤ 3,6.

ПРИМЕР:

Длина листа бумаги формата  А4  равна  (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно  (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.

РЕШЕНИЕ:

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной  погрешности не
превышает  1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает  0,1 см на  29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%

измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 
1 км 
на  650 км, что в процентном соотношении составляет

1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%

измеряемой величины.

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата  А4.

Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.

Относительная погрешность.

Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах. 

Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.

ПРИМЕР:

Округлим дробь  14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:

14,7 ≈ 15,

Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.

ПРИМЕР:

При измерении в (сантиметрах) толщины 
b 
стекла и длины  l  книжной полки
получили следующие результаты:

b ≈ 0,4 с
точностью до  0,1,

l ≈ 100 с
точностью до  0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит  0,1. Однако  0,1  составляет
существенную часть числа  0,4  и
ничтожную часть числа  100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.

В результате измерения нашли,
что  b ≈ 0,4  с точностью до  0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит  0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно

то есть относительная погрешность приближения не превосходит  25%.

Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до  25%,
а во втором – с относительной точностью до  0,1%.

ПРИМЕР:

Если взять абсолютную погрешность в  1
см,  при измерении длины отрезков  10
см  и  10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны  10%  и  0,1%. Для
отрезка длиной в  10 см  погрешность
в  1
см  очень велика, это ошибка в  10%. А для десятиметрового отрезка  1 см  не имеет значения, эта ошибка всего в   0,1%.

Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.

Различают
систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.

В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

ПРИМЕР:

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало  3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает  50
г. Относительная погрешность не превосходит 

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈
1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.

В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять  50 г, а за предельную относительную погрешность  1,4%.

Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность 
100 г, 150 г  и вообще всякое
число, большее чем  50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число  4,78  без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет  0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.

Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой  ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой  δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой  а,