Любой софизм основан на какой ошибке

4.9. Софизмы

Если объективной истины нет, считали софисты, тогда главное для победы в любом споре – это искусное владение приемами подтверждения и опровержения чего угодно, среди которых важное место занимают софизмы, в которых, как мы уже знаем, различными способами нарушается закон тождества. Каждый софизм строится на том, что в рассуждении подменяются понятия, отождествляются разные вещи или же, наоборот, – различаются тождественные объекты. Будучи интеллектуальными уловками или подвохами, все софизмы разоблачимы, только в некоторых из них логическая ошибка в виде нарушения закона тождества лежит на поверхности и поэтому, как правило, почти сразу заметна. Такие софизмы разоблачить не трудно. Однако встречаются софизмы, в которых подвох спрятан достаточно глубоко, хорошо замаскирован, в силу чего над ними надо изрядно поломать голову.

Приведем пример несложного софизма: 3 и 4 – это два разных числа, 3 и 4 – это 7, следовательно, 7 – это два разных числа. В данном внешне правильном и убедительном рассуждении смешиваются или отождествляются различные, нетождественные вещи: простое перечисление чисел (первая часть рассуждения) и математическая операция сложения (вторая часть рассуждения); между первым и вторым нельзя поставить знак равенства, т. е. налицо нарушение закона тождества. Рассмотрим еще один простой софизм: Два раза по два (т. е. дважды два) будет не четыре, а три. Возьмем спичку или палочку и сломаем ее пополам. Это один раз два. Затем возьмем одну из половинок и сломаем ее пополам. Это второй раз два. В результате получилось три части исходной спички или палочки. Таким образом, два раза по два будет не четыре, а три. В этом рассуждении, так же, как и в предыдущем, смешиваются различные вещи, отождествляется нетождественное: операция умножения на два и операция деления на два – одно неявно подменяется другим, в результате чего достигается эффект внешней правильности и убедительности предложенного «доказательства».

Теперь рассмотрим софизм, в котором вывод, при всей своей нелепости, представляется верным, т. е. вытекающим из исходных суждений, а логическая ошибка замаскирована достаточно искусно. Как известно, Земля вращается вокруг своей оси с запада на восток, делая полный оборот за 24 часа. Длина земного экватора составляет приблизительно 40 000 км. Зная эти величины, легко определить, с какой скоростью движется каждая точка земного экватора. Для этого надо 40 000 км разделить на 24 часа. Получается приблизительно 1 600 км в час. С такой скоростью вращается Земля на экваторе. (Обратим внимание на то, что никакого подвоха пока нет: каждая точка земного экватора действительно движется с запада на восток со скоростью примерно 1 600 км в час). Теперь представим, что на экваторе проложен рельсовый путь, по которому идет поезд с востока на запад, т. е. в сторону, противоположную вращению Земли (она движется на восток, а поезд – на запад). Получается, что этому поезду надо постоянно преодолевать скорость вращения Земли, т. е. он должен двигаться со скоростью, превышающей 1 600 км в час, иначе его будет постоянно сносить назад, на восток, и он вообще не сможет продвигаться в нужном ему направлении. Поэтому, на экваторе ходят такие суперпоезда, которые развивают скорость намного большую, чем 1 600 км в час.

Можно сделать из всего сказанного и другой вывод: ввиду невозможности для поездов столь высоких скоростей, они вообще не ходят на экваторе, и железных дорог там нет. Оба этих вывода, очевидно, являются не только ложными, но и нелепыми, однако они вполне вытекают из вышерассмотренного рассуждения, которое, таким образом, представляет собой софизм, содержащий хорошо спрятанную ошибку. Если вы предложите этот софизм своему собеседнику, он, скорее всего, сразу же скажет, что выводы о поездах на экваторе ложны. Однако задача разоблачения софизмов заключается не в том, чтобы констатировать ложность их выводов (которую софисты не только не скрывают, но и, наоборот, подчеркивают), а в том, чтобы выяснить, в чем именно заключается логическая ошибка рассуждения, какой подвох в нем содержится, как нарушается закон тождества (т. е. надо установить, что чем незаметно подменяется, что с чем неявно отождествляется, будучи нетождественным). Вряд ли ваш собеседник сможет быстро справиться с этой задачей. Обратите его внимание на формальную правильность выводов предложенного рассуждения, на то, что они неизбежно следуют из исходных утверждений. Для большей убедительности можете завершить софизм о вращающейся Земле и движущемся поезде следующим сравнением: Допустим, что эскалатор движется вниз, а человек бежит по нему вверх. Если его скорость меньше скорости эскалатора, его будет постоянно сносить вниз. Если его скорость равна скорости эскалатора, он будет бежать на месте. Для того, чтобы добраться до верха эскалатора, человеку надо бежать со скоростью большей, чем скорость движения эскалатора. Точно так же и поезду, идущему по экватору на запад, против вращения Земли, надо двигаться со скоростью большей, чем скорость вращения планеты (т. е. надо преодолевать в час более 1600 км).

Рассматривая этот софизм, следует обратить внимание на то, что пункт, из которого выехал поезд и пункт, в который он должен прибыть, движутся вместе с Землей в одном и том же направлении и с одинаковой скоростью, т. е. их взаимное расположение, а значит, и расстояние между ними не меняется. Таким образом, оба данных пункта можно рассматривать как неподвижные друг относительно друга. Следовательно, с какой бы скоростью не передвигалось некое тело, оно всегда покинет один из них и обязательно достигнет другого. Почему же в нашем софистическом рассуждении получилось, что поезду, идущему с востока, надо развить очень большую скорость, чтобы добраться до западного пункта своего назначения? Потому что в софизме этот западный пункт рассматривается как неподвижный, не принимающий участия во вращении Земли.

Действительно, если предположить некую точку где-нибудь над земной поверхностью, которая является неподвижной, то движущемуся к ней против вращения Земли телу, конечно же, требуется развить скорость большую, чем скорость движения планеты. Однако эта точка (или пункт) является движущейся вместе с Землей, а не неподвижной. В рассуждении факт ее движения хитро и незаметно подменяется неявным утверждение о ее неподвижности, в результате чего и достигается требуемый в софизме эффект (закон тождества нарушается путем отождествления нетождественных явлений: движения и неподвижности). Точно так же в рассуждении про эскалатор, движущийся вниз, и человека, бегущего по нему наверх. Для того, чтобы достичь верхней, неподвижной части эскалатора, человеку действительно надо бежать быстрее, чем движется эскалатор. Если же ему надо добраться не до верхней, неподвижной части эскалатора, а до пассажира, который, стоя на эскалаторе, движется к нему навстречу, то в этом случае, с какой бы скоростью не перемещался бегущий наверх, он в любом случае достигнет того, кто движется навстречу ему. В софизме западный пункт, к которому направляется поезд, нарочно и неверно сопоставляется с неподвижной частью эскалатора, в то время как он должен сопоставляться с каким-либо объектом, который движется вместе с эскалатором (факт движения незаметно подменяется утверждением о неподвижности).

Итак, любой софизм полностью раскрыт, или разоблачен только в том случае, если нам удалось ясно и определенно установить, какие нетождественные вещи преднамеренно и незаметно отождествляются в том или ином рассуждении. Софизмы встречаются довольно часто и в самых различных областях жизни. Русский писатель В. В. Вересаев в своих «Воспоминаниях» рассказывает: «…Печерников легко переиначивал мои слова, чуть-чуть сдвигал мои возражения в другую плоскость и победительно опровергал их, а я не умел уследить, где он мои мысли передвинул. Сплошная была софистика, а я был против нее бессилен…». Чтобы не быть бессильными против софистики, мы должны хорошо знать, что такое софизмы, как они строятся, какие логические ошибки обычно в себе скрывают и всегда искать в софистическом рассуждении какую-либо нетождественность, менее или более замаскированную.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Читайте также

7.7. Паралогизмы, софизмы и парадоксы

7.7. Паралогизмы, софизмы и парадоксы
Логические ошибки бывают непреднамеренные и преднамеренные. Первые из них возникают из-за неосознаваемого нарушения правил логики и называются паралогизмами. В переводе с древнегреческого паралогизм означает не правильное

2. Софизмы

2. Софизмы
Софизм обычно определяется как умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.Хорошим примером софизма является ставший знаменитым еще в

4.9. Софизмы

4.9. Софизмы
Если объективной истины нет, считали софисты, тогда главное для победы в любом споре – это искусное владение приемами подтверждения и опровержения чего угодно, среди которых важное место занимают софизмы, в которых, как мы уже знаем, различными способами

Исторические софизмы доктринерской школы немецких коммунистов[114]

Исторические софизмы доктринерской школы немецких коммунистов[114]
(…) Не таково мнение доктринерской школы социалистов, или скорее государственных коммунистов Германии, школы, основанной несколько раньше 1848 г. и оказавшей – надо признать это – крупные услуги делу

СОФИЗМЫ КАК ПРОБЛЕМЫ

СОФИЗМЫ КАК ПРОБЛЕМЫ
Употребление софизмов с целью обмана заставляет относиться к ним с осуждением. Неприязнь с софистике как систематическому использованию мошеннических приемов велика и вполне оправданна. Но эта неприязнь не должна заслонять тот факт, что софизмы

55. Софизмы

55. Софизмы
Раскрывая данный вопрос, необходимо сказать, что любой софизм является ошибкой.В отличие от логической ошибки, возникающей непроизвольно и являющейся следствием невысокой логической культуры, софизм является преднамеренным нарушением логических правил.

ЛЕКЦИЯ № 23 Софизмы. Логические парадоксы

ЛЕКЦИЯ № 23
Софизмы. Логические парадоксы

1. Софизмы. Понятие, примеры
Раскрывая данный вопрос, необходимо сказать, что любой софизм является ошибкой. В логике выделяют также паралогизмы. Отличие этих двух видов ошибок состоит в том, что первая (софизм) допущена умышленно,

1. Софизмы. Понятие, примеры

1. Софизмы. Понятие, примеры
Раскрывая данный вопрос, необходимо сказать, что любой софизм является ошибкой. В логике выделяют также паралогизмы. Отличие этих двух видов ошибок состоит в том, что первая (софизм) допущена умышленно, вторая же (паралогизм) — случайно.

Глава 6 СОФИЗМЫ

Глава 6 СОФИЗМЫ

СОФИЗМ — ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЕ МОШЕННИЧЕСТВО!
Софизмы обычно трактуются вскользь и с очевидным осуждением. И в самом деле, стоит ли задерживаться и размышлять над такими, к примеру, рассуждениями: «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий

СОФИЗМЫ И ЗАРОЖДЕНИЕ ЛОГИКИ

СОФИЗМЫ И ЗАРОЖДЕНИЕ ЛОГИКИ
Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т. д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и

Кто не делится найденным, подобен свету в дупле секвойи (древняя индейская пословица)

Библиографическая запись:
Софизмы. Понятие, примеры. Логические парадоксы. Понятие, примеры. — Текст : электронный // Myfilology.ru – информационный филологический ресурс : [сайт]. – URL: https://myfilology.ru//169/sofizmy-ponyatie-primery-logicheskie-paradoksy-ponyatie-primery/ (дата обращения: 29.01.2023)

Софизмы. Понятие, примеры

Раскрывая данный вопрос, необходимо сказать, что любой софизм является ошибкой. В логике выделяют также паралогизмы. Отличие этих двух видов ошибок состоит в том, что первая (софизм) допущена умышленно, вторая же (паралогизм) – случайно. Паралогизмами изобилует речь многих людей. Умозаключения, даже, казалось бы, правильно построенные, в конце искажаются, образуя следствие, не соответствующее действительности. Паралогизмы, несмотря на то что допускаются неумышленно, все же часто используются в своих целях. Можно назвать это подгонкой под результат. Не осознавая, что делает ошибку, человек в таком случае выводит следствие, которое соответствует его мнению, и отбрасывает все остальные версии, не рассматривая их. Принятое следствие считается истинным и никак не проверяется. Последующие аргументы также искажаются для того, чтобы больше соответствовать выдвинутому тезису. При этом, как уже было сказано выше, сам человек не сознает, что делает логическую ошибку, считает себя правым (более того, сильнее подкованным в логике).

В отличие от логической ошибки, возникающей непроизвольно и являющейся следствием невысокой логической культуры, софизм является преднамеренным нарушением логических правил. Обычно он тщательно маскируется под истинное суждение.

Допущенные умышленно, софизмы преследуют цель победить в споре любой ценой. Софизм призван сбить оппонента с его линии размышлений, запутать, втянуть в разбор ошибки, которые не относятся к рассматриваемому предмету. С этой точки зрения софизм выступает как неэтичный способ (и при этом заведомо неправильный) ведения дискуссии.

Существует множество софизмов, созданных еще в древности и сохранившихся до сегодняшнего дня. Заключение большей части из них носит курьезный характер. Например, софизм «вор» выглядит так: «Вор не желает приобрести ничего дурного; приобретение хорошего есть дело хорошее; следовательно, вор желает хорошего». Странно звучит и следующее утверждение: «Лекарство, принимаемое больным, есть добро; чем больше делать добра, тем лучше; значит, лекарство нужно принимать в больших дозах». Существуют и другие известные софизмы, например: «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит», «Сократ – человек; человек – не то же самое, что Сократ; значит, Сократ – это нечто иное, чем Сократ», «Эти кутята твои, пес, отец их, тоже твой, и мать их, собака, тоже твоя. Значит, эти кутята твои братья и сестры, пес и сука – твои отец и мать, а сам ты собака».

Такие софизмы нередко использовались для того, чтобы ввести оппонента в заблуждение. Без такого оружия в руках, как логика, соперникам софистов в споре было нечего противопоставить, хотя зачастую они и понимали ложность софистических умозаключений. Споры в Древнем мире зачастую заканчивались драками.

При всем отрицательном значении софизмов они имели обратную и гораздо более интересную сторону. Так, именно софизмы стали причиной возникновения первых зачатков логики. Очень часто они ставят в неявной форме проблему доказательства. Именно с софизмов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения. Поэтому можно говорить о положительном действии софизмов, т. е. о том, что они непосредственно содействовали возникновению особой науки о правильном, доказательном мышлении.

Известен также целый ряд математических софизмов. Для их получения числовые значения тасуются таким образом, чтобы из двух разных чисел получить одно. Например, утверждение, что 2 х 2 = 5, доказывается следующим образом: по очереди 4 делится на 4, а 5 на 5. Получается результат (1:1) = (1:1). Следовательно, четыре равно пяти. Таким образом, 2 х 2 = 5. Такая ошибка разрешается достаточно легко – нужно лишь произвести вычитание одного из другого, что выявит неравенство двух этих числовых значений. Также опровержение возможно записью через дробь.

Как раньше, так и теперь софизмы используются для обмана. Приведенные выше примеры достаточно просты, легко заметить их ложность и не обладая высокой логической культурой. Однако существуют софизмы завуалированные, замаскированные так, что отличить их от истинных суждений бывает очень проблематично. Это делает их удобным средством обмана в руках подкованных в логическом плане мошенников.

Вот еще несколько примеров софизмов: «Для того чтобы видеть, нет необходимости иметь глаза, так как без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет, поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения» и «Что ты не терял, то имеешь; рога ты не терял, значит, у тебя рога». Последний софизм является одним из самых известных и часто приводится в качестве примера.

Можно сказать, что софизмы вызываются недостаточной самокритичностью ума, когда человек хочет понять пока недоступное, не поддающееся на данном уровне развития знание.

Бывает и так, что софизм возникает как защитная реакция при превосходящем противнике, в силу неосведомленности, невежества, когда спорящий не проявляет упорство, не желая сдавать позиций. Можно говорить о том, что софизм мешает ведению спора, однако такую помеху не стоит относить к значительным. При должном умении софизм легко опровергается, хотя при этом и происходит отход от темы рассуждения: приходится говорить о правилах и принципах логики.

Парадокс. Понятие, примеры

Переходя к вопросу о парадоксах, нельзя не сказать о соотношении их с софизмами. Дело в том, что четкой грани, по которой можно понять, с чем приходится иметь дело, иногда нет.

Впрочем, парадоксы рассматриваются со значительно более серьезным подходом, в то время как софизмы играют зачастую роль шутки, не более. Это связано с природой теории и науки: если она содержит парадоксы, значит, имеет место несовершенство основополагающих идей.

Сказанное может означать, что современный подход к софизмам не охватывает всего объема проблемы. Многие парадоксы толкуются как софизмы, хотя не теряют своих первоначальных свойств.

Парадоксом можно назвать рассуждение, которое доказывает не только истинность, но и ложность некоторого суждения, т. е. доказывающее как само суждение, так и его отрицание. Другими словами, парадокс – это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы.

Один из первых и, безусловно, образцовых парадоксов был записан Эвбулидом – греческим поэтом и философом, критянином. Парадокс носит название «Лжец». До нас этот парадокс дошел в таком виде: «Эпименид утверждает, что все критяне – лжецы. Если он говорит правду, то он лжет. Лжет ли он или же говорит правду?». Этот парадокс именуется «королем логических парадоксов». Разрешить его до настоящего времени не удалось никому. Суть этого парадокса состоит в том, что когда человек говорит: «Я лгу», он не лжет и не говорит правду, а, точнее, делает одновременно и то и это. Другими словами, если предположить, что человек говорит правду, выходит, что он на самом деле лжет, а если он лжет, значит, раньше он сказал правду об этом. Здесь утверждаются оба противоречащих факта. Само собой, по закону исключенного третьего это невозможно, однако именно поэтому данный парадокс и получил столь высокий «титул».

В развитие теории пространства и времени большой вклад внесли жители города Элея, элеаты. Они опирались на идею о невозможности небытия, которая принадлежит Пармениду. Всякая мысль согласно этой идее есть мысль о существующем. При этом отрицалось любое движение: мировое пространство считалось целостным, мир единым, без частей.

Древнегреческий философ Зенон Элейский известен тем, что составил серию парадоксов о бесконечности – так называемые апории Зенона.

Зенон, ученик Парменида, развивал эти идеи, за что был назван Аристотелем «родоначальником диалектики». Под диалектикой понималось искусство достигать истины в споре, выявляя противоречия в суждении противника и уничтожая их.

Далее представлены непосредственно апории Зенона.

«Ахиллес и черепаха» представляет собой апорию о движении. Как известно, Ахиллес – это древнегреческий герой. Он обладал недюжинными способностями в спорте. Черепаха очень медлительное животное. Однако в апории Ахиллес проигрывает черепахе состязание в беге. Допустим, Ахиллесу нужно пробежать расстояние, равное 1, а бежит он в два раза быстрее черепахи, последней нужно пробежать 1/2. Движение их начинается одновременно. Получается, что, пробежав расстояние 1/2, Ахиллес обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок 1/4. Сколько бы ни пытался Ахиллес обогнать черепаху, она будет находиться впереди ровно на 1/2. Поэтому Ахиллесу не суждено догнать черепаху, это движение вечно, его нельзя завершить.

Невозможность завершить эту последовательность заключается в том, что в ней отсутствует последний элемент. Всякий раз, указав очередной член последовательности, мы можем продолжить указанием следующего.

Парадоксальность здесь заключается в том, что бесконечная последовательность следующих друг за другом событий на самом деле все-таки должна завершиться, хотя бы мы и не могли себе представить этого завершения.

Другая апория носит название «дихотомия». Рассуждение построено на тех же принципах, что и предыдущее. Для того чтобы пройти весь путь, необходимо пройти половину пути. В этом случае половина пути становится путем, и чтобы его пройти, необходимо отмерить половину (т. е. уже половину половины). Так продолжается до бесконечности.

Здесь порядок следования по сравнению с предыдущей апорией перевернут, т. е. (1/2)n…, (1/2)3, (1/2)2, (1/2)1. Ряд тут не имеет первой точки, тогда как апория «Ахиллес и черепаха» не имела последней.

Из этой апории делается вывод, что движение не может начаться. Исходя из рассмотренных апорий движение не может закончиться и не может начаться. Значит, его нет.

Опровержение апории «Ахиллес и черепаха».

Как и в апории, в опровержении ее фигурирует Ахиллес, но не одна, а две черепахи. Одна из них находится ближе другой. Движение также начинается одновременно. Ахиллес бежит последним. За то время, как Ахилл пробежит разделяющее их вначале расстояние, ближняя черепаха успеет уползти несколько вперед, что будет продолжаться до бесконечности. Ахиллес будет все ближе и ближе к черепахе, но никогда не сможет ее догнать. Несмотря на явную ложность, логического опровержения такому утверждению нет. Однако если Ахиллес станет догонять дальнюю черепаху, не обращая внимания на ближнюю, он, согласно этой же апории, сумеет вплотную приблизиться к ней. А раз так, то он обгонит ближнюю черепаху.

Это приводит к логическому противоречию.

Для опровержения опровержения, т. е. защиты апории, что само по себе странно, предлагают откинуть груз образных представлений. И выявить формальную суть дела. Здесь следует сказать, что сама апория основывается на образных представлениях и откинуть их – значит опровергнуть и ее. А опровержение достаточно формально. То, что вместо одной в опровержении взято две черепахи, не делает его более образным, нежели апорию. Вообще же сложно говорить о понятиях, не основанных на образных представлениях. Даже такие высшей абстракции философские понятия, как бытие, сознание и другие, понимаются только благодаря образам, соответствующим им. Без образа, стоящего за словом, последнее оставалось бы лишь набором символов и звуков.

Стадий подразумевает существование неделимых отрезков в пространстве и движение в нем объектов. Эта апория основана на предыдущих. Берется один недвижимый ряд объектов и два двигающихся по направлению друг к другу. При этом каждый двигающийся ряд по отношению к недвижимому проходит за единицу времени лишь один отрезок. Однако по отношению к движущемуся – два. Что признается противоречивым. Также говорится, что в промежуточном положении (когда один ряд уже как бы сдвинулся, другой нет) нет места для неподвижного ряда. Промежуточное положение происходит из того, что отрезки неделимы и движение, хотя бы и начатое одновременно, должно пройти промежуточный этап, когда первое значение одного движущегося ряда совпадает со вторым значением второго (движение при условии неделимости отрезков лишено плавности). Состояние же покоя – когда вторые значения всех рядов совпадают. Неподвижный ряд, если предположить одновременность движения рядов, должен в промежуточном положении находиться между движущимися рядами, а это невозможно, так как отрезки неделимы.

02.09.2016, 52844 просмотра.

Софизмы в математике

Секция: Математические науки.

Автор: Шеметова Анастасия, Глазунова Екатерина, 8  класс
МБОУ «СОШ №18».

Научный руководитель: Лукьянова Ольга Георгиевна, учитель
математики МБОУ «СОШ №18».

Г. Миасс

Челябинская
область

Оглавление

Введение

I.
Софизм и история его возникновения

1.1. Софизм и софистика

1.2. Экскурс в историю

II.
Математические софизмы и их классификация

2.1. Софизмы и типичные ошибки в
них

2.2. Математические софизмы

2.3. Разбор математических
софизмов

2.4. Логические софизмы

2.5. Источники софизмов

III.    «Софизмы из наших школьных тетрадей»

Заключение

Список литературы

Приложение 1.

Приложение 2. Арифметические софизмы

Приложение 3. Алгебраические софизмы

Приложение 4. Геометрические софизмы

В
математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.

И. Ньютон

Введение

У ученых есть такое свойство — поставят в
тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с
трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности и изворотливости.
И одним из средств не только учёных, но и любознательных остроумных людей,
любящих ставить окружающих в тупик, является «софизм». Нас заинтересовал факт
глубокой древности зарождения софизмов и популярности их у ученых.

Актуальность: Наверное,
каждый человек хоть раз в жизни слышал фразу: «Дважды два равно пяти» или «Два
равно трем». Что они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь
логическое объяснение или же это лишь вымысел? Чтобы ответить на эти и подобные
им вопросы, мы в своей работе рассматриваем математические софизмы. Математический софизм – удивительное утверждение, в
доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
Поэтому нам представляется актуальным изучение ошибок в софизмах, потому что их
понимание ведёт к пониманию математике в целом, помогает развивать логику и
навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее
осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших
математических рассуждениях.

Цель: изучение типичных ошибок, которые возникают у учащихся
в процессе изучения математики, их причин и способов  предупреждения на примере
математических софизмов.

Задачи:

1.    
изучить понятие софизма и историю его возникновения;

2.    
рассмотреть виды софизмов и дать классификацию их ошибок;

3.    
составить сборник разбора задач на софизмы по различным разделам
математики для 6 — 9 классов.

Гипотеза исследования: если в процессе обучения математике целенаправленно
и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, на
примере софизмов, то это будет способствовать повышению качества математической
подготовки учащихся.

I. Софизм и история его возникновения

1.1. Софизм и софистика

Софизм в
переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или мастерство. Этим
термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента
логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным.

Софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.

Софизм — преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать
противника и выдать ложное суждение за истинное.

Софистика
направление философии, которое возникло в V — IV вв. до н.э. в Греции и
стало очень популярным в Афинах.

1.2. Экскурс в историю

Во
второй половине
V века до н.э. в Греции появились софисты. Софистами называли
группу древнегреческих философов достигших большого искусства в логике. Они
появились во время становления демократии в Афинах и на подвластных Афинам
территориях. Софисты — это мудрецы, но мудрецы особого рода. Этих мудрецов
истина не интересовала. Они были, как правило, платными «учителями мудрости».
Их нанимали политики для того, чтобы организовать свою предвыборную компанию, в
частности, переспорить оппонентов на собрании, а также для того, чтобы выиграть
судебное дело. В Греции софистами называли и простых ораторов —
философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить,
говорить и делать». Одним из представителей
софистов был философ Протагор, который говорил: «Я обучаю людей риторике, а
это и есть гражданское искусство»
(приложение 1, рис. 1).

Чтобы выйти победителем в словесном
поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко
знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, и
поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного
поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя
побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне. Софизмы существуют и
обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с
годами. Если софизмы — всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на
чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним
непонятны. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а
наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под
влиянием Сократа философских школах.(Приложение 1,рис.2)

Термин «софизм» впервые ввел Аристотель
(приложение 1, рис.3), охарактеризовавший софистику как мнимую, а не
действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и «апории Зенона» (внешне
парадоксальные рассуждения
на тему о движении и множестве), направленные
против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и
все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о
том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то
обычным для многих школ античной философии. Аристотель называл софизмом «мнимые
доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто
субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа.
Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана
с хорошо замаскированной ошибкой, с использованием, например, «неразрешённых»
или даже «запрещённых» правил или действий.

Современный софизм, основной задачей
которого является манипуляция общественным сознанием, существует в
многочисленных формах. Современные софисты, прежде всего, — специалисты по
пиару. Работа, которых заключается в навязывании обществу тех или иных
политических деятелей.

В обычном и распространенном понимании
софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий
и завуалированный. Цель софизма – выдать ложь за истину.

В нашей работе мы рассматриваем
математические софизмы.

II. Математические софизмы и их классификация

2.1. Софизмы и типичные ошибки в
них

Математический софизм — удивительное утверждение, в
доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

История математики полна неожиданных и
интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым
открытиям. Математические софизмы приучают  внимательно и настороженно
продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью
записи чертежей, за законностью математических операций. Поиск и нахождение
ошибок в софизме способствует пониманию математики в целом и развивает
логическое мышление.

К типичным ошибкам
в софизмах относятся:

·       запрещенные
действия;

·       пренебрежение условиями
теорем, формул и правил;

·       ошибочный чертеж;

·       опора на ошибочные
умозаключения.

Нередко, ошибки,
допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не
сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в
софизмах.

2.2. Математические софизмы

Математические
софизмы делятся на:

1. Арифметические софизмы — это числовые
выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Пример: « Дважды два — пять!».

Возьмем в качестве исходного соотношения
следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения за скобки общего
множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1)
или (2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения 4(1:1)=5(1:1)
устанавливаем: 4=5, 2∙2=5. 

Ошибка.

Распределительный закон умножения применяется
только для сложения и вычитания:     ав + ас = а(в + с).

2. Алгебраические
софизмы —

намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Алгебра — один из больших разделов
математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших
ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры отличаются от других отраслей
математики.

Приёмы
эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений.

Пример: «Любое отрицательное число больше
положительного, имеющего то же абсолютное значение».

Этот софизм основан на очевидной истине:
«Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в n раз, то и в
правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».

Напишем следующие равенства:

  и  ; т.е.  .

Другими словами, если в левой части
равенства + a > — a, то и в правой части равенства должно соблюдаться то же
соотношение.

Т.е. – a > + a.

Ошибка.

Чтобы получить из равенства +a > -a
равенство –a>+a, нужно первое равенство умножить на -1, но при это нужно сменить
знак неравенства
(–a<+a).

3.Геометрические софизмы – это
умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость,
абсурд или противоречивое утверждение, связанное с геометрическими фигурами и
действиями над ними.

Пример: «Из точки на прямую можно
опустить два перпендикуляра.»

Рассмотрим
треугольник АВС.

Разделим стороны АВ и ВС пополам точками M
и N. На этих сторонах, как на диаметрах, опишем окружности с центрами в точках
M и N. Окружности пересекут сторону АС в точках D и E.

Углы
AEB и BDC опираются на диаметры АВ и ВС соответственно, значит они прямые.

Следовательно, отрезки BD и BE, исходящие
из точки В, будут перпендикулярны, стороне АС, следовательно, из точки В можно
опустить два перпендикуляра на сторону АС.

Ошибка.

Действительно, опустив из B перпендикуляр
на AC , получим два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут
стороны BC и AB, и если вокруг этих треугольников описать окружности, их
гипотенузы будут диаметрами.
Неправильный чертеж. Известно,
что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах,
пересекаются в одной точке, лежащей на третьей стороне.

2.3. Разбор математических софизмов

В математических софизмов выделяются 6 основных
ошибок:

1. Деление на 0.

Софизм №1 «Пять равно шести».

Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.

В каждой части вынесем за скобки общий
множитель:

5(7+2-9)=6(7+2-9).

Теперь, получим, что 5=6.  

Ошибка.

При делении верного равенства
5(7+2-9)=6(7+2-9) на число 7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать. Любое
равенство можно делить только на число, отличное от 0.

Софизм №2 «Уравнение x-a=0 не имеет
корней».

Дано уравнение x –a = 0. Разделив обе
части этого уравнения на x-a, получим, что 1 = 0. Поскольку это равенство
неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.   

 Ошибка.

Поскольку x = a – корень уравнения, то,
разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому
получили неверное равенство 1=0.(
xa=0 -на ноль делить нельзя).

2. Неправильные выводы из равенства дробей;

Софизм №3 «Отклонение от алгоритма может
привести к приобретению посторонних корней данного уравнения».

3. Неправильное извлечение квадратного корня из
квадрата выражения.

Софизм №4   = =  =2-

 Ошибка.

  При
вычислении квадратного корня  
2- < 0

  = =  =ç2- ç= — 2

4. Нарушения правил действия с величинами.

Софизм №5 «Один метр не равен ста
сантиметрам».

Известно, что любые два равенства можно
перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d,
то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 метр  =
100сантиметрам и 10 метров = 1000 сантиметрам. Перемножая эти равенства почленно,
получим 10 метров  = 100000 сантиметров  и, разделив последнее равенство на 10,
получим, что 1  метр  = 10000 сантиметров .

Ошибка.

 Она состоит в нарушении правила действий
с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо
совершать также и над их размерностями.

«Один рубль не равен ста копейкам».

Возьмем верное равенство: 2р. = 200к. и
возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4 р. = 40 000 к.

Ошибка.

Здесь надо вспомнить, что
возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не
величины.

5. Проведение преобразований над математическими
объектами, не имеющими смысла.

Софизм №6 «Два
неодинаковых натуральных числа равны между собой».

Решим систему двух уравнений:

.

Сделаем это
подстановкой у из 2-го уравнения в 1-е, получаем х+8-х=6, откуда
8=6.

Ошибка

Уравнение (2)
можно записать как х+2у=8, так, что исходная система запишется в виде: .

В этой системе
уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между
собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного
решения.

Графически это
означает, что прямые у=3- и у=4- параллельны и не совпадают. Перед
тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли
система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений
вообще.

6. Неравносильный переход от одного неравенства к
другому.

Софизм №7 «Если А
больше В, то А всегда больше, чем 2В».

Возьмем два произвольных
положительных числа А и В, такие, что А>В. Умножив это неравенство на В,
получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим
неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А).
(1)

После деления обеих частей
неравенства (1) на В-А получим, что А>В+А (2), А прибавив к этому
неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В. Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к
примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

Ошибка.

Здесь совершен неравносильный
переход от неравенства (1) к неравенству (2). Действительно, согласно условию А
> В, поэтому В – А < 0.Это означает, что обе части неравенства (1)
делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств
при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак
неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из
неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к
которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное
неравенство А+В<В+2А.

7. Выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

Софизм
№8  ∟С=90, ВД — биссектриса угла СВА, СК=КА, ОК перпендикулярна СА, О —
точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС.

∟С=90, ВД — биссектриса ∟ СВА,
СК=КА, ОК
^ СА, О —
точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ
^ АВ, ОL ^
ВС.

Имеем: D
LВО=
D МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА,

 D КОА=D ОМА (ОA- общая сторона, КА = ОМ,  ∟ ОКА и

 ∟ ОМА — прямые), ∟ ОАК =
∟ МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и
потому ВА = ВС

     Ошибка.

Рассуждения о
том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка
пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к
катету АС, находится вне треугольника АВС.

2.4. Логические софизмы

Один из видов
математических софизмов является логический софизм.

Пример № 1: «Полупустое или полуполное».

Полупустое есть то же, что и полуполное.
Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же,
что и полное

Ошибка.

Полупустое не является половиной чего либо
пустого, а является чем либо наполовину наполненным.

Пример
№2:
«Когда
же учиться?»

1. По ночам занятий нет, половина суток свободна.

Остаётся: 365-182=183 дня. 2.

2. В школе ученики занимаются половину дня, значит, вторая
половина (или четвёртая часть суток) может быть свободна.
Остаётся:183-183:4=137 дней. 3. В году 52 воскресенья. Из них на каникулы
приходится 15 дней, таким образом, выходных в учебном году52-15=37 дней.

Итого остаётся 137-37=100 дней.

4. Есть ещё каникулы: осенние (5 дней), зимние (10 дней), весенние
(7 дней), летние (78 дней). Всего 5+10+7+78=100 дней.

5. Итак, школьники заняты в году 100-100=0 дней. Когда же
учиться?!

2.5. Источники софизмов

Источниками
софизмов может выступать терминология, которая используется во время спора.
Многие слова имеют несколько смыслов (доктор может быть врачом или же научным
сотрудником, имеющим ученую степень), за счет чего и происходит нарушение
логики. Софизмы в математике, например, основаны на изменении чисел путем
перемножения их и последующего сравнения исходных и полученных данных.
Неправильное ударение тоже может быть оружием софиста, ведь множество слов при
изменении ударения меняют и смысл. Построение фразы иногда очень запутанно,
как, например, «два умножить на два плюс пять». В данном случае непонятно
имеется ли в виду сумма двойки и пятерки, умноженная на два, или же сумма
произведения двоек и пятерки.

Разбор и
решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных,
помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к
таким задачам.

III.          
«Софизмы из наших школьных тетрадей»

Цель практической работы: проанализировать наши тетради для
контрольных работ по  математике,  выявить софизмы и найти  ошибки, заключенные
в них.

Известная истина гласит «Умные люди учатся
на чужих ошибках». В математике приходится учиться, в основном, на собственных
ошибках. Если ученик не ошибается, то он не учится. Ошибка – вещь необходимая и
полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошибке, правильно ее использовать.

Обидно получать плохие оценки из-за ошибок
«на ровном месте». Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря
знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и
всевозможные ляпы. Сами ученики  не могут объяснить, чем  вызваны эти ошибки.

С помощью задач,
содержащих противоречие в условии, можно предупредить ошибки учащихся,
связанные с работой над математическими объектами, которые не существуют при
заданных условиях.  Если учащиеся решают задачу, работая с несуществующими
объектами, то происходит выход за границы применяемости теоремы, свойства и
т.д. Эти ошибки возникают по той причине, что большинство учебных задач
содержит информацию непротиворечивую и приводящую к единственному решению.

Софизм

Ошибка

№1

  — 10 ×  = 11 – 10  ×  =  =  = 0,8

Неправильный  
порядок действий:

 — 10 ×  = 11 – 10  ×  = 11 — 10  = 11 — 10 = 11 – 10 ×0,8 = 11 – 8 = 3

№2

 —  =  —  = =

Нарушение
правил приведения дробей к общему знаменателю:

 —  =     ==  

 №3

Нарушение правил
сокращения дробей: 
 

№4

 +  = x2

ОДЗ:
все числа, кроме 2.

 —  = x2

 Умножим обе
части уравнение на
x-2

2 — 3x — 2 = x2(x — 2)

Разложили
на множители квадратный трёхчлен

2 — 3x – 2 = 2(x — 2) (x +  ) =

= (x — 2) (2x + 1)

(x — 2) (2x + 1) = x2 (x — 2)

Разделим
обе части уравнения на

х —
2,получим 2
x + 1 = x2

X2 -2x -1 =0

Д=4+4=8

X1= == 1+

X2=1-

Корни
удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:
1-; 1+.

Ошибка:
при делении уравнения

 (x-2)(2x+1)=x2 (x-2) , на x-2произошла
потеря корня

Верное
решение:

x2 (x-2) – (x-2) (2x+1)=0

(x-2) (x2-2x-1)=0

х —
2=0 или
x2 — 2x — 1=0

x = 2 или x1=1 +  и x2=1 —  

Уравнение
имеет три корня: 2;

1 +
; 1 — .

Но
2 — не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:
1 +
; 1 — .

№5

  =  = 66 =46656

Верное
решение:
=  == =22=4

Ошибка:
*  

Правило:
при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются, а
основание остаётся прежним.

№6

Периметр треугольника равен 6, его стороны относятся как
1:2:3. Чему равна его средняя по величине сторона.

 Задача провоцирует учащихся на то, чтобы дать ответ 2. При
этом не выполняется неравенство треугольника.

№7В окружность радиуса 8 см
вписан равнобедренный треугольник АВС. Радиус ОА образует с основанием АВ
треугольника АВС угол в 30º. Найдите боковую сторону треугольника.

 Известные элементы (радиус окружности и угол, образуемый
радиусом ОА с основанием АВ вписанного равнобедренного треугольника),
заданные в условии этой задачи, определяют две сложные фигуры: а) окружность
центра О радиуса 8 см и вписанный в эту окружность остроугольный
равнобедренный треугольник АВС; б) та же окружность и вписанный в нее
тупоугольный равнобедренный треугольник АВС1.

Заключение

Исторические
сведения о софистике и софистах помогли нам разобраться, откуда же все-таки
началась история софизмов. Вначале  мы думали, что софизмы бывают исключительно
математические. Причем в виде конкретных задач, но, начав исследование в этой
области, мы поняли, что софистика — это целая наука, а именно математические
софизмы — это лишь часть большого течения.

Разбор софизмов
развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению изучаемого
материала, воспитывая вдумчивость, наблюдательность, критическое отношение к
тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Мы с большим
интересом  воспринимали софизмы, чем труднее софизм, тем большее удовлетворение
доставляет его разбор. Порой сам попадаешься на уловки софиста.

Гипотеза, которую
мы ставили в начале работы
«Если в процессе обучения математике целенаправленно и
систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, на примере
софизмов, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки
учащихся», подтвердилась
.

Благодаря знанию
софизмов  можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится
грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Когда ребенок раз
притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не
делать. Он будет много осторожнее. Так, изучающий математику, впоследствии
проявит больше осторожности, чтобы не повторить осознанную ошибку.
   Значит, математические софизмы заставляют внимательно
и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью
формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за
законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно. Только очень сухого
человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить
ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах.
Математические софизмы показали нам, как важно строго соблюдать правила и
формулировки теорем при логических умозаключениях.

Нам
было очень интересно работать над данной темой. Мы создали сборник «Софизмы из
наших школьных тетрадей».

Задания,
предложенные нами в работе, можно использовать как на уроках алгебры и
геометрии, так и на внеклассных мероприятиях.

Список
литературы

1.     «Софисты»
под редакцией  Б.С. Чернышева

2.     «Софизмы. Алгебра.
Геометрия. Тригонометрия» под редакцией Т.Н. Михеевой

3.     http://gamzatovasm.ru/node/88 — Алгебраические
софизмы

4.     http://reshit.ru/sofizm — Геометрические
софизмы

5.     http://sophisms.ucoz.ru/index/arifmeticheskie_sofizmy/0-6 — Арифметические софизмы

6.     http://referatwork.ru/category/logika/view/131832_sofizmy — Логические софизмы

7.      https://ru.wikipedia.org/wiki/Апории_Зенона — Апории Зенона

Приложения

Приложение 1.

 Рис. 1 Протагор

http://xn--b1agafe7a1ai6f.xn--p1ai/images/7/c/filosofija-sokrata-kratko-i-ponjatn_1.jpgРис.
2 Сократ

  Рис. 3 Аристотель

Приложение 2.
Арифметические софизмы

1.
Верно ли равенство 7 = 8?

35 +
14 – 49 = 40 + 16 — 56

7(5 +
2 — 7)=8(5 + 2 — 7)

Следовательно,
7 = 8

Ошибка.

Обе части равенства разделили на (5 + 2 — 7),
но нарушено правило, что на «0» делить нельзя (5 + 2 – 7 = 0)

2.

Некто
утверждал, что 45-45=45. Рассуждал он так: «Записываем вычитаемое в виде суммы
последовательных натуральных чисел от 1 до 9, а уменьшаемое в виде суммы тех же
чисел, но взятых в обратном порядке (от 1 до 9):

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

8 + 6 + 4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 3 + 2

Будем
последовательно вычитать числа второй строки из чисел первой. Например, так как
9 из 1 вычесть нельзя, то занимаем единицу из двух, имеем 11-9=2 и т. д. Теперь
нетрудно установить,

8 + 6 + 4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 3 + 2 = 45.

Итак,
45 – 45 = 45.

Ошибка состоит в том,
что занимаемую единицу возводили в ранг десятка.

3.Меньшее число больше, чем большее».

Очевидно,что7 > 5 и что – 8 = — 8

Тогда:7 – 8 > 5 — 8 или – 1 > — 3

Это не противоречит основному понятию об
отрицательных величина, на основании которого мы считаем меньшей ту
отрицательную величину, численное значение которой больше, и наоборот.

Умножим обе части последнего неравенства на (- 4).

Получим (-1)*(-4)>(-3)*(-4) или 4 > 12

Ошибка.

При умножении неравенства на отрицательное
число, знак неравенства изменяется на противоположный.

Приложение 3. Алгебраические софизмы

1.«Отрицательное число больше положительного».

Возьмем два положительных
числа а и с. Сравним два отношения:
 и

Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить
пропорцию:
 

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего,
то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем
случае а > — с, следовательно, должно быть –а > с, т.е. отрицательное
число больше положительного.

Ошибка.

Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые
члены пропорции отрицательны.

2. « Если
одно число больше другого, то эти числа равны»

Возьмем два
произвольных числа т и п, такие, что
m > n , и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых
равна d, т.е. а + b + c = d. Умножив обе части этого равенства на n, а затем на
m, получим:

ma + mb + mc
= md, na + nb + nc = nd.

Сложив почленно равенства: 

ma + mb + mc
= md
и nd = na
+ nb + nc

 получим: ma + mb + mc + nd = na + nc + nb + md.

Перенося здесь nd вправо, а md влево, имеем

ma + mb + mc
– md = na + nb + nc — nd.

Вынося слева число m, а справа число n за скобки,
придем к соотношению m (a + b + c — d) = n (a + b + c — d).

Разделив обе части последнего равенства на

(a + b + c — d), находим, что m = n.

Ошибка.

a + b + cd =0, на ноль делить нельзя.

4.    
«Любое число равно нулю»

Возьмем произвольное положительное число а и
рассмотрим сумму х бесконечного числа слагаемых, равных а: х = а + а + а + а +…
Очевидно, что мы можем представить эту сумму как х = а + (а + а + а +….) в
которой сумма, стоящая в скобках, также равна х как сумма бесконечного числа слагаемых,
равных а. Так что можем записать, что х = а + х, откуда заключаем, что а=0.

Ошибка допущена в равенстве (1) , в котором бесконечная сумма чисел
а обозначена конечным числом х.

4.

Решим систему двух
уравнений:

Сделаем это подстановкой у из 2го
уравнения в 1, получаем х + 8 — х = 6, откуда

8 = 6

Ошибка.

Уравнение (2) можно записать как х + 2у = 8,
так что исходная система запишется в виде:

В этой системе
уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между
собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного
решения.

Графически это
означает, что прямые у=3 —  и у = 4
 параллельны и не совпадают. Перед
тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли
система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений
вообще.

5.     «Если “a” больше “b”, то “a” всегда больше,
чем “2
b”»

Возьмем два
произвольных положительных числа
a и b, такие, что a > b. Умножив это
неравенство на
b, получим новое неравенство:

ab > bb, а отняв от обеих
его частей
a·a, получим
неравенство:

abaa > bbaa, которое
равносильно следующему:
a(ba) > (b+a)(ba).(1)

После деления обеих частей неравенства (1)
на
ba получим, что a > b+a (2),

Прибавив к этому неравенству почленно
исходное неравенство
a> b, имеем

2a >
2b + a
,
откуда a > 2b.

Итак, если a > b, то a > 2b.

Ошибка совершена при
переходе от равенства (1) к (2).

Т.к. a > b, то ba<0,
следовательно, при делении неравенства (1) на
ba, мы должны
поменять знак неравенства на противоположный.

6.«Единица равна двум»

Простым вычитанием легко убедиться в
справедливости равенства

1 — 3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства
число 9/4, получим новое равенство

1 — 3 + 9/4 = 4 — 6
+ 9/4,

в котором, как нетрудно заметить, правая и
левая части представляют собой полные квадраты, т. е. (1 — 3/2)=(2 — 3/2)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего
равенства квадратный корень, получаем равенство: 1 — 3/2 
=2 — 3/2

откуда следует, что    1=2.

Ошибка.

По определению представляет собой некоторое
неотрицательное число, которое, будучи возведено в квадрат, даст х. Ясно, что
этому определению удовлетворяют два числа, а именно х и -х. Итак, если число х
неотрицательно (х
0), то= х; если же число х отрицательно (х<0), то есть число –х положительно, то = — x. Отсюда заключаем, что  (свойство
арифметического квадратного корня), что не учитывается в содержании этих
софизмов и приводит к ложным выводам.

7.    
«Всякое
число равно своей половине.»

Запишем очевидное для любого числа a
тождество a2— a2= a2— a2,где
а — любое число.

Вынесем a в левой части за скобку,
а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим

a(a – a) = (a + a)(a — a).

Разделив обе части на a — a, получим a = a + a, или a=2a.

Разделим на 2 и получим а
= а/2

Ошибка.

Мы делим обе части на ноль, а деление на
ноль запрещено

Приложение 4. Геометрические софизмы

1. , а длина всякой окружности равна ее
диаметру.

Построим
на отрезке МN  как на диаметре окружность. Радиус окружности обозначим через . Тогда длина окружности будет
равна:

Поделим
MO и NO пополам точками  и  и построим новые окружности с центрами в
этих точках радиусами .

Найдем
длины новых окружностей:

Сумма
их длин будет равна

т.е.
равна длине большой окружности C.

Таким
же образом будем строить окружности и далее и находить сумму их длин.

Так,
сумма длин окружностей  и . и будет равна

Продолжая
деление далее, мы будем делить диаметр NM на все меньшие части, а радиусы новых
окружностей будут равны  и т.д. При этом сумма длин всех этих
окружностей всегда будет равна .

Так
как число делений большого диаметра будет бесконечно большим, окружности станут
настолько малыми, что сольются с диаметром, и сумма их длин в пределе будет
равна длине диаметра, так что она будет равна.

С
другой стороны, сумма длин этих окружностей постоянна и равна , следовательно,

Из
этого равенства получаем   или, деля на  :

Ошибка: Так как сумма
длин бесконечно малых окружностей постоянна, то она и в пределе равна  . Пусть  — длина малой
окружности,
— ее радиус. Как бы такая окружности ни была мала, всегда имеем  или

Отсюда
видим, что эта бесконечно-малая окружность никогда не будет равна своему
диаметру ,
что следовало бы из результата софизма.

2.« Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами
угла, равны»

Рассмотрим произвольный угол с
вершиной в точке Е и пересечем их стороны двумя параллельными прямыми, отрезки
которых АВ и CD заключены между сторонами этого угла.

Как известно параллельные
прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, АЕ :
CE = BE : DE,

Откуда АЕ·DE = BE·CE

Умножив обе части последнего
равенства на отличную от нуля разность (АВ –CD), запишем

AE·DE·AB — AE·DE·CD = AE·DE·CD
— BE·CE·CD,

или

AB(AE·DE — BE·CE) = CD(AE·DE —
BE·CE)

Разделив обе части последнего равенства на (AE·DE — BE·CE), получим
равенство АВ=CD.

 

Ошибка.

AE·DE — BE·CE=0

3.Все треугольники равнобедренные.

Рассмотрим
произвольный
АВС (рис.2).

Проведем
в нем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их
пересечения обозначим через О.

Из
точки O опустим перпендикуляр OD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону
ВС. Очевидно, что ОА = ОС и OD = ОЕ. Но тогда
AOD = СОЕ по катету и
гипотенузе. Поэтому ∟DAO = ∟ЕСО. В то же время ∟ОАС = ∟ОСА,
так как
АОС -равнобедренный.

Получаем:
∟ВАС = ∟DAO + ∟ОАС = ∟ЕСО + ∟ОСА = ∟ВСА

Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому АВС — равнобедренный:
АВ=ВС.

Ошибка. При построения чертежа. Серединный перпендикуляр к
стороне и биссектриса противоположного ей угла для не равнобедренного
треугольника, пересекаются вне этого треугольника.

Приложение 4.

Логические софизмы.

1.
Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше.
Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

2. Одна
песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1
песчинка – тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу
песка. К этому парадоксу можно сделать следующий комментарий: метод полной
математической индукции нельзя применять, как показывает парадокс, к объёмно
неопределённым понятиям, каковым является понятие «куча песка».

3.
Что появилось раньше: яйцо или курица. Для того чтобы появилось яйцо, должна
существовать курица, но ведь курица может вылупиться только из яйца, а значит,
первичным является именно оно.

4.«Может ли
всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?»

Если не может – значит, он не всемогущий.
Если может – значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это
камень.

6.В мире нет ни одного человека,
говорящего на моем языке; или короче: ни одного человека, говорящего; или еще
короче: ни одного человека.

http://www.theinspiredwoman.org/wp-content/uploads/2014/10/megaphone.jpg

Скачано с www.znanio.ru

Ошибки, «прячущиеся» в софизмах

Убедительность
на первый взгляд многих софизмов, их
«логичность» связана с хорошо
замаскированной ошибкой. Софизмы
обязательно содержат одну или несколько
логических ошибок.

При
разборе софизмов выделяются основные
ошибки:

  • Деление
    на 0;

  • Неправильные
    выводы из равенства дробей;

  • Неправильное
    извлечение квадратного корня из квадрата
    выражения;

  • Нарушения
    правил действия с величинами;

  • Проведение
    преобразований над математическими
    объектами, не имеющими смысла;

  • Неравносильный
    переход от одного неравенства к другому;

  • Выводы и вычисления
    по неверно построенным чертежам;

Софизмы в Древней Греции.

«Людям,
которые желают идти верной дорогой,
важно также знать и об отклонениях».
Аристотель

Софистов
в Древней Греции называли мудрецами,
но это были мудрецы особого рода. Их
истина не интересовала. Они были, как
правило, платными “учителями мудрости”.
Их нанимали политики для того, чтобы, в
частности, переспорить оппонентов на
собрании, а также для того, чтобы выиграть
судебное дело. Софисты славились своим
умением представить черное белым, белое
черным. Они могли сегодня упорно
доказывать какой-либо тезис, а уже завтра
с таким же рвением антитезис.

Будучи
в большинстве случаев глубоко образованными
людьми, они не столько передавали
ученикам знания из различных областей
науки, сколько стремились научить их
владеть искусством словесных состязаний.
Чтобы выйти победителем в словесном
поединке, софисты часто пользовались
тем, что противник недостаточно глубоко
знает предмет, о котором идет речь,
недостаточно внимателен и наблюдателен,
и поэтому не в состоянии отличить ложь
от истины. В результате словесного
поединка противник должен был согласиться
с доводами софиста и признать себя
побежденным, хотя истина, казалось, была
на его стороне.

Но
суть деятельности софистов много больше,
чем простое обучение искусству
красноречия. Они обучали и просвещали
древнегреческий народ, старались
способствовать достижению нравственности,
присутствия духа, способности ума
ориентироваться во всяком деле. Но
софисты не были учеными. Умение, которое
должно было быть достигнуто с их помощью,
заключалось в том, что человек учился
иметь в виду многообразные точки зрения.

  • Вот
    один из древних софизмов («рогатый»): «Что
    ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял.
    Значит, у тебя рога».

Так все ли утверждения математики верны?

Вот
один из наиболее известных софизмов:
«Дважды два — пять!»

Рассмотрим
верное равенство:
16 — 36 = 25 — 45   
   

Прибавим
к левой и правой части 81/4:
16 — 36 + 81/4 = 25
— 45 + 81/4        

Преобразуем
выражение:
4*4 — 2*4*9/2 + (9/2)*(9/2) = 5*5 — 2*5*9/2 +
(9/2)*(9/2)       

Теперь
можно заметить, что в левой и правой
части выражения записаны произведения
вида:
a²-2ab+b², то есть, квадрат разности:
(a-b) ². В нашем случае слева a=4, b=9/2, а справа
a=5, b=9/2.

Поэтому
перепишем выражение в виде квадратов
разности:
(4 — 9/2) ² = (5 — 9/2) ²    

А
следовательно,
4 — 9/2 = 5 — 9/2       

И
наконец, получаем долгожданное равенство:

4
= 5 или, 2*2 = 5

Где
ошибка?

Разбор
софизма:

Если
равны квадраты чисел,то не факт что
равны сами числа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Со скольки лет надо начинать изучать математику?
Все в этом мире меняется. То, что наши предшественники могли понять только к двадцати годам, люди сейчас понимают уже в 15 и ранее. Современный мир таков, что все молодеет.
Зачем нам изучать математику? Почему именно математика?
Математика — это одна из тех наук, основы, которой была заложены не год, не два и даже не сто лет назад. Математика с нами уже несколько тысяч лет.
Писать шпаргалки или не писать?
«Писать шпаргалки или не писать?» — вот в чём вопрос. Математика — предмет серьёзный и решение задач требует хорошего знания формул. Поэтому, ответ теоретиков и учащихся — писать стоит.

Шпаргалки не для нас
Как известно из многих источников есть цвета, которые очень хорошо располагают к себе человека, действуя на подсознание человека, это голубой и зеленый цвет. Вот в таких тонах и желательно одеваться на экзамен.

Математика — часть нашей жизни
Не раз приходилось слышать фразу о том, что математика — страна без границ. Несмотря на свою банальность, фраза о математике имеет под собой очень веские основания. Математика в жизни человека занимает особое место.

Математика в решении строительных задач
Математика используется повсеместно, для решения задач из самых разных областей. В том числе, и для решения задач строительства.

Подготовка к контрольной работе, концентрация
Контрольная работа, это отличный способ проверить свои знания и навыки, полученные за время обучения. Контрольные работы по математике отличаются повышенной сложностью.

Решение задач и оформление контрольных работ по дисциплине математика
Все большее количество людей, сейчас предпочитают учиться удаленно, таким образом нужно уделять много внимания правильному оформлению сделанных контрольных работ.

Как найти ошибку в софизме? Примеры софизмов

Подготовил Бакушкин Иван


Как найти ошибку в софизме?


Зачастую найти ошибку в софизме очень сложно. К тому же не существовал алгоритм нахождения ошибки в софизме. Но я, проанализировав софизмы, составил алгоритм, который может помочь в нахождении ошибки во многих софизмах.

  1. Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи
  2. (Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат, получается, из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки)

     

  3. Установить темы, которые отражены в софизме
  4. (Ученики, учителя привыкли, что задания, предполагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии и, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения)

     

  5. Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений
  6. (Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них. И если вы увидели эти темы, попытайтесь зрительно разбить «большой софизм» на маленькие)

     

  7. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, логичности
  8. (Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений, используемых в софизме. Например: 2 * 2 =5. Если произнести эту фразу вслух, то мы можем услышать ошибку, услышав самого себя, или более подробно разобраться в смысле софизма)

     

  9. Проверять преобразования. После каждого перехода проверить полученный результат обратным действием
  10. (Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости некоторых теорем. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускаются. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам»)

     

  11. Следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока
  12. (Работать блоками. Следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока. Удобнее проследить за одним блоком, чем за целым преобразованием)

Примеры софизмов


  1. «Двусмысленность произношения»
  2. Сто сорок да сто сорок будет двести сорок.

  3. «Рассуждение о женщинах»
  4. Translate\Перевод

    1. Если у вас будет женщина, то вам потребуется время и деньги:
    2. a. Женщина=Время*Деньги

    3. Время-деньги, поэтому:
    4. a. Время=Деньги

    5. Из этого следует:
    6. a. Женщина=Деньги*Деньги

      b. Женщина=Деньги в квадрате

      c. Деньги- это и есть все ваши проблемы:

      d. Деньги=Корень из проблем

      i. Из этого следует:

      ii. Женщина=Корень из проблем в квадрате

    Вывод: Женщина=ПРОБЛЕМЫ

  5. «Апельсин- планета»
  6. Земля, Марс ит. д. — круглые. Значит, все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин – планета.

  7. «Нет конца»
  8. Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

  9. «Продолжительность учебного года»
  10. Можно доказать, что учителя и ученики целый год ничего не делают.

    Для простоты будем считать, что в году 360 дней, из них 52 воскресных дня. Если не считать других выходных дней, останется 308 учебных дней. Ночью школа не работает, следовательно, половина количества суток пропадает, остается 154 учебных дня. В большинстве школ занятия продолжаются только до полудня, вследствие чего учебное время уменьшается вдвое. Получаем 77 учебных дней. Будем считать, что на каникулы выпадает только 60 дней, тогда для занятий останется всего 17 дней в году.

  11. «Песенка английских студентов»
  12. Чем больше учишься, тем больше знаешь.

    Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

    Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

    Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

    Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

    Так для чего учиться?

  13. « Единица равна нулю»
  14. Возьмем уравнение

    х-а = 0

    Разделив обе его части на х-а, получим

    Откуда сразу же получаем требуемое равенство

    1=0

    Ошибка заключается в том, что на 0 делить нельзя (1).

  15. «Семь равно тринадцати»
  16. Рассмотрим уравнение

    Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, будем иметь

    Откуда следует

    или



    Поскольку числители дробей в левой и правой частях уравнения равны, то для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству

    7=13

    Ошибка состоит в том, что область допустимых значений исходного уравнения (1) состоит из всех значений переменой х кроме х=7, х=13. В этом софизме неявно подразумевается, что равенство(2) является не уравнением, а тождеством равным при любых значениях х, что неверно. Поэтому утверждение софизма не имеет места.

  17. «Один рубль не равен ста копейкам»
  18. Возьмем верное равенство:

    1 р. = 100 к.,

    Возведем его по частям в квадрат, получим:

    1 р. = 10000 к.

    Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

    (Ошибка: умножение величины на себя не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).

  19. «2×2=5»
  20. Найти ошибку в рассуждении: Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

    Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

    Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или .

    (Ошибка: ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки.)

4.9. Софизмы

Если объективной истины нет, считали софисты, тогда главное для победы в любом споре – это искусное владение приемами подтверждения и опровержения чего угодно, среди которых важное место занимают софизмы, в которых, как мы уже знаем, различными способами нарушается закон тождества. Каждый софизм строится на том, что в рассуждении подменяются понятия, отождествляются разные вещи или же, наоборот, – различаются тождественные объекты. Будучи интеллектуальными уловками или подвохами, все софизмы разоблачимы, только в некоторых из них логическая ошибка в виде нарушения закона тождества лежит на поверхности и поэтому, как правило, почти сразу заметна. Такие софизмы разоблачить не трудно. Однако встречаются софизмы, в которых подвох спрятан достаточно глубоко, хорошо замаскирован, в силу чего над ними надо изрядно поломать голову.

Приведем пример несложного софизма: 3 и 4 – это два разных числа, 3 и 4 – это 7, следовательно, 7 – это два разных числа. В данном внешне правильном и убедительном рассуждении смешиваются или отождествляются различные, нетождественные вещи: простое перечисление чисел (первая часть рассуждения) и математическая операция сложения (вторая часть рассуждения); между первым и вторым нельзя поставить знак равенства, т. е. налицо нарушение закона тождества. Рассмотрим еще один простой софизм: Два раза по два (т. е. дважды два) будет не четыре, а три. Возьмем спичку или палочку и сломаем ее пополам. Это один раз два. Затем возьмем одну из половинок и сломаем ее пополам. Это второй раз два. В результате получилось три части исходной спички или палочки. Таким образом, два раза по два будет не четыре, а три. В этом рассуждении, так же, как и в предыдущем, смешиваются различные вещи, отождествляется нетождественное: операция умножения на два и операция деления на два – одно неявно подменяется другим, в результате чего достигается эффект внешней правильности и убедительности предложенного «доказательства».

Теперь рассмотрим софизм, в котором вывод, при всей своей нелепости, представляется верным, т. е. вытекающим из исходных суждений, а логическая ошибка замаскирована достаточно искусно. Как известно, Земля вращается вокруг своей оси с запада на восток, делая полный оборот за 24 часа. Длина земного экватора составляет приблизительно 40 000 км. Зная эти величины, легко определить, с какой скоростью движется каждая точка земного экватора. Для этого надо 40 000 км разделить на 24 часа. Получается приблизительно 1 600 км в час. С такой скоростью вращается Земля на экваторе. (Обратим внимание на то, что никакого подвоха пока нет: каждая точка земного экватора действительно движется с запада на восток со скоростью примерно 1 600 км в час). Теперь представим, что на экваторе проложен рельсовый путь, по которому идет поезд с востока на запад, т. е. в сторону, противоположную вращению Земли (она движется на восток, а поезд – на запад). Получается, что этому поезду надо постоянно преодолевать скорость вращения Земли, т. е. он должен двигаться со скоростью, превышающей 1 600 км в час, иначе его будет постоянно сносить назад, на восток, и он вообще не сможет продвигаться в нужном ему направлении. Поэтому, на экваторе ходят такие суперпоезда, которые развивают скорость намного большую, чем 1 600 км в час.

Можно сделать из всего сказанного и другой вывод: ввиду невозможности для поездов столь высоких скоростей, они вообще не ходят на экваторе, и железных дорог там нет. Оба этих вывода, очевидно, являются не только ложными, но и нелепыми, однако они вполне вытекают из вышерассмотренного рассуждения, которое, таким образом, представляет собой софизм, содержащий хорошо спрятанную ошибку. Если вы предложите этот софизм своему собеседнику, он, скорее всего, сразу же скажет, что выводы о поездах на экваторе ложны. Однако задача разоблачения софизмов заключается не в том, чтобы констатировать ложность их выводов (которую софисты не только не скрывают, но и, наоборот, подчеркивают), а в том, чтобы выяснить, в чем именно заключается логическая ошибка рассуждения, какой подвох в нем содержится, как нарушается закон тождества (т. е. надо установить, что чем незаметно подменяется, что с чем неявно отождествляется, будучи нетождественным). Вряд ли ваш собеседник сможет быстро справиться с этой задачей. Обратите его внимание на формальную правильность выводов предложенного рассуждения, на то, что они неизбежно следуют из исходных утверждений. Для большей убедительности можете завершить софизм о вращающейся Земле и движущемся поезде следующим сравнением: Допустим, что эскалатор движется вниз, а человек бежит по нему вверх. Если его скорость меньше скорости эскалатора, его будет постоянно сносить вниз. Если его скорость равна скорости эскалатора, он будет бежать на месте. Для того, чтобы добраться до верха эскалатора, человеку надо бежать со скоростью большей, чем скорость движения эскалатора. Точно так же и поезду, идущему по экватору на запад, против вращения Земли, надо двигаться со скоростью большей, чем скорость вращения планеты (т. е. надо преодолевать в час более 1600 км).

Рассматривая этот софизм, следует обратить внимание на то, что пункт, из которого выехал поезд и пункт, в который он должен прибыть, движутся вместе с Землей в одном и том же направлении и с одинаковой скоростью, т. е. их взаимное расположение, а значит, и расстояние между ними не меняется. Таким образом, оба данных пункта можно рассматривать как неподвижные друг относительно друга. Следовательно, с какой бы скоростью не передвигалось некое тело, оно всегда покинет один из них и обязательно достигнет другого. Почему же в нашем софистическом рассуждении получилось, что поезду, идущему с востока, надо развить очень большую скорость, чтобы добраться до западного пункта своего назначения? Потому что в софизме этот западный пункт рассматривается как неподвижный, не принимающий участия во вращении Земли.

Действительно, если предположить некую точку где-нибудь над земной поверхностью, которая является неподвижной, то движущемуся к ней против вращения Земли телу, конечно же, требуется развить скорость большую, чем скорость движения планеты. Однако эта точка (или пункт) является движущейся вместе с Землей, а не неподвижной. В рассуждении факт ее движения хитро и незаметно подменяется неявным утверждение о ее неподвижности, в результате чего и достигается требуемый в софизме эффект (закон тождества нарушается путем отождествления нетождественных явлений: движения и неподвижности). Точно так же в рассуждении про эскалатор, движущийся вниз, и человека, бегущего по нему наверх. Для того, чтобы достичь верхней, неподвижной части эскалатора, человеку действительно надо бежать быстрее, чем движется эскалатор. Если же ему надо добраться не до верхней, неподвижной части эскалатора, а до пассажира, который, стоя на эскалаторе, движется к нему навстречу, то в этом случае, с какой бы скоростью не перемещался бегущий наверх, он в любом случае достигнет того, кто движется навстречу ему. В софизме западный пункт, к которому направляется поезд, нарочно и неверно сопоставляется с неподвижной частью эскалатора, в то время как он должен сопоставляться с каким-либо объектом, который движется вместе с эскалатором (факт движения незаметно подменяется утверждением о неподвижности).

Итак, любой софизм полностью раскрыт, или разоблачен только в том случае, если нам удалось ясно и определенно установить, какие нетождественные вещи преднамеренно и незаметно отождествляются в том или ином рассуждении. Софизмы встречаются довольно часто и в самых различных областях жизни. Русский писатель В. В. Вересаев в своих «Воспоминаниях» рассказывает: «…Печерников легко переиначивал мои слова, чуть-чуть сдвигал мои возражения в другую плоскость и победительно опровергал их, а я не умел уследить, где он мои мысли передвинул. Сплошная была софистика, а я был против нее бессилен…». Чтобы не быть бессильными против софистики, мы должны хорошо знать, что такое софизмы, как они строятся, какие логические ошибки обычно в себе скрывают и всегда искать в софистическом рассуждении какую-либо нетождественность, менее или более замаскированную.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Читайте также

7.7. Паралогизмы, софизмы и парадоксы

7.7. Паралогизмы, софизмы и парадоксы
Логические ошибки бывают непреднамеренные и преднамеренные. Первые из них возникают из-за неосознаваемого нарушения правил логики и называются паралогизмами. В переводе с древнегреческого паралогизм означает не правильное

2. Софизмы

2. Софизмы
Софизм обычно определяется как умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.Хорошим примером софизма является ставший знаменитым еще в

4.9. Софизмы

4.9. Софизмы
Если объективной истины нет, считали софисты, тогда главное для победы в любом споре – это искусное владение приемами подтверждения и опровержения чего угодно, среди которых важное место занимают софизмы, в которых, как мы уже знаем, различными способами

Исторические софизмы доктринерской школы немецких коммунистов[114]

Исторические софизмы доктринерской школы немецких коммунистов[114]
(…) Не таково мнение доктринерской школы социалистов, или скорее государственных коммунистов Германии, школы, основанной несколько раньше 1848 г. и оказавшей – надо признать это – крупные услуги делу

СОФИЗМЫ КАК ПРОБЛЕМЫ

СОФИЗМЫ КАК ПРОБЛЕМЫ
Употребление софизмов с целью обмана заставляет относиться к ним с осуждением. Неприязнь с софистике как систематическому использованию мошеннических приемов велика и вполне оправданна. Но эта неприязнь не должна заслонять тот факт, что софизмы

55. Софизмы

55. Софизмы
Раскрывая данный вопрос, необходимо сказать, что любой софизм является ошибкой.В отличие от логической ошибки, возникающей непроизвольно и являющейся следствием невысокой логической культуры, софизм является преднамеренным нарушением логических правил.

ЛЕКЦИЯ № 23 Софизмы. Логические парадоксы

ЛЕКЦИЯ № 23
Софизмы. Логические парадоксы

1. Софизмы. Понятие, примеры
Раскрывая данный вопрос, необходимо сказать, что любой софизм является ошибкой. В логике выделяют также паралогизмы. Отличие этих двух видов ошибок состоит в том, что первая (софизм) допущена умышленно,

1. Софизмы. Понятие, примеры

1. Софизмы. Понятие, примеры
Раскрывая данный вопрос, необходимо сказать, что любой софизм является ошибкой. В логике выделяют также паралогизмы. Отличие этих двух видов ошибок состоит в том, что первая (софизм) допущена умышленно, вторая же (паралогизм) — случайно.

Глава 6 СОФИЗМЫ

Глава 6 СОФИЗМЫ

СОФИЗМ — ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЕ МОШЕННИЧЕСТВО!
Софизмы обычно трактуются вскользь и с очевидным осуждением. И в самом деле, стоит ли задерживаться и размышлять над такими, к примеру, рассуждениями: «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий

СОФИЗМЫ И ЗАРОЖДЕНИЕ ЛОГИКИ

СОФИЗМЫ И ЗАРОЖДЕНИЕ ЛОГИКИ
Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т. д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и

Софизм как логическая ошибка

Ошибочные суждения – отдельная и весьма занимательная часть логики. Они часто встречаются в обыденной речи и, как правило, являются случайными (паралогизмы). Но если логическая ошибка допущена в умозаключении нарочно, с целью запутать собеседника и сбить его с верной линии размышления, то здесь речь идет о софизме.

Софизм как логическая ошибка

Слово «софизм» имеет греческие корни и в переводе с этого языка означает «хитрая выдумка», или «уловка». Под софизмом принято подразумевать умозаключение, которое основано на каком-либо заведомо неверном утверждении. В отличие от паралогизма, софизм – это преднамеренное и сознательное нарушение логических правил. Таким образом, любой софизм всегда содержит в себе одну или несколько, зачастую довольно искусно замаскированных, логических ошибок.

Софистами называли некоторых древнегреческих философов 4 – 5 века до н.э., которые достигли больших успехов в искусстве логики. Затем, в период падения нравов в обществе Древней Греции, один за другим стали появляться, так называемые, учителя красноречия, считавшие своей целью распространение мудрости, и именно поэтому они также нарекли себе софистами. Они рассуждали и несли в массы свои умозаключения, но проблема заключалась в том, что эти софисты не были учеными. Многие их речи, убедительные на первый взгляд, основывались на заведомо ложных и неправильно истолкованных истинах. Аристотель говорил о софизме, как о «мнимых доказательствах». Истина не была целью софистов, они стремились любым путем победить в споре или получить практическую выгоду, делая акцент на красноречии и искаженных фактах.

Ошибки подобного рода особенно часто встречаются в древних математических науках – арифметические, алгебраические и геометрические софизмы. Кроме математических, существуют также терминологические, психологические и, наконец, логические софизмы, которые в большинстве своем выглядят как бессмысленная игра, опирающаяся на многозначность тех или иных языковых выражений, недосказанность, неполноту, разницу в контекстах. Например:

«Человек имеет то, чего он не терял. Человек не терял хвоста. Значит, у него есть хвост».

«Можно видеть, не имея правого глаза, точно также можно видеть, не имея левого. Кроме правого и левого, у человека других глаз нет. Из чего следует, что для того чтобы видеть, совсем необязательно иметь глаза».

«Чем больше водки пить, тем больше будут трястись руки. Чем больше будут трястись руки, тем больше спиртного будет проливаться. Чем больше спиртного будет пролито, тем меньше будет выпито. Вывод: чтобы меньше пить, надо пить больше».

«Сократ – человек, но, с другой стороны, человек – это не то же самое, что Сократ. Значит, Сократ – это не Сократ, а что-то иное».

Видео по теме

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Лучшая программа для сканирования ошибок автомобиля
  • Лучшая ошибка южная корея
  • Лучшая программа для проверки грамматических ошибок
  • Лучшая ошибка сериал 2019 2022 актеры
  • Лучшая ошибка мини дорама