Критерий который характеризует систематическая ошибка

Лекция №6

Систематические
погрешности и их классификация

В
настоящее время, особенно после введения
одного из основополагающих метрологических
стандартов — ГОСТ 8.009-84 ТСИ. Нормируемые
метрологические характеристики средств
измерений», понятие «систематическая
погрешность» несколько изменилось
по отношению к определению, данному
ГОСТ 16263-70 «ГСИ. Метрология. Термины
и определения». Систематическая
погрешность считается специфической,
«вырожденной» случайной величиной,
обладающей некоторыми, но не всеми
свойствами случайной величины, изучаемой
в теории вероятностей и математической
статистике. Свойства систематической
погрешности, которые необходимо учитывать
при объединении составляющих погрешности,
отражаются такими же характеристиками,
что и свойства «настоящих» случайных
величин — дисперсией (СКО) и коэффициентом
взаимной корреляции.

Систематическая погрешность представляет
собой определенную функцию влияющих
факторов, состав которых зависит от
физиче-ских, конструктивных и
технологических особеннрстей СИ, условий
их применения, а также индивидуальных
качеств наблюдателя. В метрологической
практике при оценке систематических
погрешностей должно учитываться влияние
следующих основных факторов:

1. Объект измерения. Перед измерением
он должен быть достаточно хорошо изучен
с целью корректного выбора его модели.
Чем полнее модель соответствует
исследуемому объекту, тем точнее могут
быть получены результаты измерения.
Например, кривизна земной поверхности
может не учитываться при измерении
площади сельскохозяйственных угодий,
так как она не вносит ощутимой погрешности,
однако при измерении площади океанов
ею пренебрегать уже нельзя.

2. Субъект измерения. Его вклад в
погрешность измерения необходимо
уменьшать путем подбора операторов
высокой квалификации и соблюдения
требований эргономики при разработке
СИ.

3. Метод и средство измерений.
Чрезвычайно важен их правильный выбор,
который производится на основе априорной
информации об объекте измерения. Чем
больше априорной информации, тем точнее
может быть проведено измерение. Основной
вклад в систематическую погрешность
вносит, как правило, методическая
погрешность.

4. Условия измерения. Обеспечение и
стабилизация нормальных условий являются
необходимыми требованиями для минимизации
дополнительной погрешности, которая
по своей природе, как правило, является
систематической.

Систематические
погрешности принято классифицировать
по двум признакам. По характеру изменения
во времени они делятся на постоянные и
переменные. Постоянными называются
такие погрешности измерения, которые
остаются неизменными в течение всей
серии измерений. Например, погрешность
от того, что неправильно установлен
ноль стрелочного электроизмерительного
прибора, погрешность от постоянного
дополнительного веса на чашке весов и
т.д. Переменными называются погрешности,
изменяющиеся в процессе измерения. Они
делятся на монотонно изменяющиеся,
периодические и изменяющиеся по сложному
закону. Если в процессе измерения
систематическая погрешность монотонно
возрастает или убывает, ее называют
монотонно изменяющейся. Например, она
имеет место при постепенном разряде
батареи, питающей средство измерений.
Периодической называется погрешность,
значение которой является периодической
функцией времени. Примером может служить
погрешность, обусловленная суточными
колебаниями напряжения силовой питающей
сети, температуры окружающей среды и
др. Систематические погрешности могут
изменяться и по более сложному закону,
обусловленному какими-либо внешними
причинами.

Способы обнаружения и устранения
систематических погрешностей

Результаты
наблюдений, полученные при наличии
систематической погрешности, называются
неисправленными. При проведении измерений
стараются в максимальной степени
исключить или учесть влияние систематических
погрешностей. Это может быть достигнуто
следующими путями:
—
устранением источников погрешностей
до начала измерений. В большинстве
областей измерений известны главные
источники систематических погрешностей
и разработаны методы, исключающие их
возникновение или устраняющие их влияние
на результат измерения. В связи с этим
в практике измерений стараются устранить
систематические погрешности не путем
обработки экспериментальных данных, а
применением СИ, реализующих соответствующие
методы измерений;
—
определением поправок и внесением их
в результат измерения;
—
оценкой границ неисключенных
систематических погрешностей.
Постоянная
систематическая погрешность не может
быть найдена методами совместной
обработки результатов измерений. Однако
она не искажает ни показатели точности
измерений, характеризующие случайную
погрешность, ни результат нахождения
переменной составляющей систематической
погрешности. Действительно, результат
одного измерения

где
x_и — истинное значение
измеряемой величины;
_i
— i-я случайная погрешность;
_i
— i-я систематическая погрешность. После
устранения результатов многократных
измерении получаем среднее арифметическое
значение измеряемой величины

Если
систематическая погрешность постоянна
во всех измерениях, т.е.
_i=
,то

Таким
образом, постоянная систематическая
погрешность не устраняется при
многократных измерениях.
Постоянные
систематические погрешности могут быть
обнаружены лишь путем сравнения
результатов измерений с другими,
полученными с помощью более высокоточных
методов и средств. Иногда эти погрешности
могут быть устранены специальными
приемами проведения процесса измерений.
Эти методы рассмотрены ниже.
Наличие
существенной переменной систематической
погрешности искажает оценки характеристик
случайной погрешности и аппроксимацию
ее распределения. Поэтому она должна
обязательно выявляться и исключаться
из результатов измерений.
Для
устранения постоянных систематических
погрешностей применяют следующие
методы:
—
Метод замещения, представляющий собой
разновидность метода сравнения, когда
сравнение осуществляется заменой
измеряемой величины известной величиной,
причем так, что при этом в состоянии и
действии всех используемых средств
измерений не происходит никаких
изменений. Этот метод дает наиболее
полное решение задачи. Для его реализации
необходимо иметь регулируемую меру,
величина которой однородна измеряемой.
Например, взвешивание по методу Борда,
измерение сопротивления посредством
моста постоянного тока и мер сопротивления.

—
Метод противопоставления, являющийся
разновидностью метода сравнения, при
котором измерение выполняется дважды
и проводится так, чтобы в обоих случаях
причина постоянной погрешности оказывала
разные, но известные по закономерности
воздействия на результаты наблюдений.
Например, способ взвешивания Гаусса.

—
Метод компенсации погрешности по знаку
(метод изменения знака систематической
погрешности), предусматривающий измерение
с двумя наблюдениями, выполняемыми так,
чтобы постоянная систематическая
погрешность входила в результат каждого
из них с разными знаками.
—
Метод рандомизации — наиболее
универсальный способ исключения
неизвестных постоянных систематических
погрешностей. Суть его состоит в том,
что одна и та же величина измеряется
различными методами (приборами).
Систематические погрешности каждого
из них для всей совокупности являются
разными случайными величинами. -Вследствие
этого при увеличении числа используемых
методов (приборов) систематические
погрешности взаимно компенсируются.

Для
устранения переменных и монотонно
изменяющихся систематических погрешностей
применяют следующие приемы и методы.

—
Анализ знаков неисправленных случайных
погрешностей. Если знаки неисправленных
случайных погрешностей чередуются с
какой-либо закономерностью, то наблюдается
переменная систематическая погрешность.
Если последовательность знаков «+»
у случайных погрешностей сменяется
последовательностью знаков «-» или
наоборот, то присутствует монотонно
изменяющаяся систематическая погрешность.
Если группы знаков «+» и «-» у
случайных погрешностей чередуются, то
присутствует периодическая систематическая
погрешность.
—
Графический метод. Он является одним
из наиболее простых способов обнаружения
переменной систематической погрешности
в ряду результатов наблюдений и
заключается в построении графика
последовательности неисправленных
значений результатов наблюдений. На
графике через построенные точки проводят
плавную кривую, которая выражает
тенденцию результата измерения, если
она существует. Если тенденция не
прослеживается, то переменную
систематическую погрешность считают
практически отсутствующей.
—
Метод симметричных наблюдений.
Рассмотрим сущность этого метода на
примере измерительного преобразователя,
передаточная функция которого имеет
вид y=kx+y₀ , где х, у — входная
и выходная величины преобразователя;
k — коэффициент, погрешность которого
изменяется во времени по линейному
закону; у₀ — постоянная.
Для
устранения систематической погрешности
трижды измеряется выходная величина у
через равные промежутки времени At. При
первом и третьем измерениях на вход
преобразователя подается сигнал х0 от
образцовой меры. В результате измерений
получается система уравнений:

Ее
решение позволяет получить значение
х, свободное от переменной систематической
погрешности, обусловленной изменением
коэффициента k:

Специальные
статистические методы. К ним относятся
способ последовательных разностей,
дисперсионный анализ, и др. Рассмотрим
подробнее некоторые из них.

Способ
последовательных разностей (критерий
Аббе). Применяется для обнаружения
изменяющейся во времени систематической
погрешности и состоит в следующем.
Дисперсию результатов наблюдений можно
оценить двумя способами: обычным

и
вычислением суммы квадратов последовательных
(в порядке проведения измерений) разностей
( x_i+1 — x_i)²

Если
в процессе измерений происходило
смещение центра группирования результатов
наблюдений, т.е. имела место переменная
систематическая погрешность, то
²[x]
дает преувеличенную оценку дисперсии
результатов наблюдений. Это объясняется
тем, что на
²[x]
влияют вариации
.
В то же время изменения центра группирования
весьма
мало сказываются на значениях
последовательных разностей d
_i=x _i+1-x _i,
поэтому смещения
почти
не отразятся на значении Q ²[x].

Отношение
является
критерием для обнаружения систематических
смещений центра группирования результатов
наблюдений. Критическая область для
этого критерия (критерия Аббе) определяется
как
,
где q = 1-Р — уровень значимости, Р
— доверительная вероятность. Значения
v_q для различных уровней
значимости q и числа наблюдений n
приведены в таблице. Если полученное
значение критерия Аббе меньше при
заданных q и n, то гипотеза о
постоянстве центра группирования
результатов наблюдений отвергается,
т.е. обнаруживается переменная
систематическая погрешность результатов
измерений.

Дисперсионный
анализ (критерий Фишера). В практике
измерений часто бывает необходимо
выяснить наличие систематической
погрешности результатов наблюдений,
обусловленной влиянием какого-либо
постоянно действующего фактора, или
определить, вызывают ли изменения этого
фактора систематическое смещение
результатов измерений. В данном случае
проводят многократные измерения,
состоящие из достаточного числа серий,
каждая из которых соответствует
определенным (пусть неизвестным, но
различным) значениям влияющего фактора.
Влияющими факторами, по которым
производится объединение результатов
наблюдений по сериям, могут быть внешние
условия (температура, давление и т.д.),
временная последовательность проведения
измерений и т.п.
После
проведения N измерений их разбивают
на s серий (s > 3) по n_j
результатов наблюдений ( sn_j
= N ) в каждой серии и затем устанавливают,
имеется или отсутствует систематическое
расхождение между результатами наблюдений
в различных сериях. При этом должно быть
установлено, что результаты в сериях
распределены нормально. Рассеяние
результатов наблюдений в пределах
каждой серии отражает только случайные
влияния, характеризует лишь случайные
погрешности измерений в пределах этой
серии.
Характеристикой
совокупности случайных внутрисерийных
погрешностей будет средняя сумма
дисперсий результатов наблюдений,
вычисленных раздельно для каждой серии,
т.е.

где
x_ji — результат i-го измерения
в j-й серии.
Внутрисерийная
дисперсия
²_BC
характеризует случайные погрешности
измерений, так как только случайные
влияния обусловливают те различия
(отклонения результатов наблюдений),
на которых она основана. В то же время
рассеяние
_j
различных серий обусловливается не
только случайными погрешностями
измерений, но и систематическими
различиями (если они существуют) между
результатами наблюдений, сгруппированными
по сериям. Следовательно, усредненная
межсерийная дисперсия

где
,
выражает силу действия фактора,
вызывающего систематические различия
между сериями.
Таким
образом,
²_BC /(
²_BC+
²_MC) характеризует
долю дисперсии всех результатов
наблюдений, обусловленную наличием
случайных погрешностей измерений, а

²_MC
/(
²_BC+
²_MC) — долю дисперсии,
обусловленную межсерийными различиями
результатов наблюдений. Первую из них
называют коэффициентом ошибки,
вторую — показателем дифференциации.
Чем больше отношение показателя
дифференциации к коэффициенту ошибки,
тем сильнее действие фактора, по которому
группировались серии, и тем больше
систематическое различие между ними.

Критерием
оценки наличия систематических
погрешностей в данном случае является
дисперсионный критерий Фишера F=
²_MC
²_BC. Критическая область
для критерия Фишера соответствует
P(F>F_q)=q.
Значения
F_q для различных уровней
значимости q, числа измерений N и
числа серий s приведены в приложении
1, где k₂=N-s , k₁=s-1.
Если полученное значение критерия
Фишера больше F_q (при
заданных q, N и s), то гипотеза об отсутствии
систематических смещений результатов
наблюдений по сериям отвергается, т.е.
обнаруживается систематическая
погрешность, вызываемая тем фактором,
по которому группировались результаты
наблюдений.
Из
всех рассмотренных способов обнаружения
систематических погрешностей дисперсионный
анализ является наиболее эффективным
и достоверным, так как позволяет не
только установить факт наличия
погрешности, но и дает возможность
проанализировать источники ее
возникновения.
Критерий
Вилкоксона. Если закон распределения
результатов измерений неизвестен, то
для обнаружения систематической
погрешности применяют статистический
критерий Вилкоксона.
Из
двух групп результатов измерений x₁,
x₂,…, x_n и y₁,
y₂,…, y_m ,
n>=m>=5 , составляется вариационный
ряд, в котором все n+m значений x₁,
x₂,…, x_n и y₁,
y₂,…, y_m
располагают в порядке их возрастания
и приписывают им ранги — порядковые
номера членов вариационного ряда.
Различие средних значений каждого из
рядов можно считать допустимым, если
выполняется неравенство

где
R_i — ранг (номер) члена x_i,
равный его номеру в вариационном ряду
T ^—_q и T
⁺_q — нижнее и верхнее
критические значения для выбранного
уровня значимости q. При m<15 эти
критические значения определяются по
таблице. При m>15 они рассчитываются
по формулам:

где
z_p — квантиль нормированной
функции Лапласа.

Таблица. Критические значения T_q^—
и T_q⁺ при q=0.05 и 0,01

Соседние файлы в папке Лекции по метрологии

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Систематические погрешности и способы их обнаружения
и устранения.
В зависимости от характера измерения систематические погрешности подразделяются на постоянные и переменные [3].
Постоянные погрешности – погрешности, которые длительное время сохраняют свое значение, например, в течение времени выполнения всего ряда измерений. Они встречаются наиболее часто.
Переменные погрешности делятся на прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону
Прогрессивные погрешности – непрерывно возрастающие или убывающие погрешности. К ним относятся, например, погрешности вследствие износа измерительных наконечников, контактирующих с деталью при контроле ее прибором активного контроля.
Периодические погрешности – погрешности, значение которых является периодической функцией времени.
Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, происходят вследствие совместного действия нескольких систематических погрешностей.
Измерения, содержащие систематические погрешности, называются неисправленными, а те, в которых систематическая погрешность стремится к нулю – правильными. Обнаружить и исключить систематические погрешности – это достаточно сложная задача, которая обычно достигается следующими путями [19]:
• устранением источников погрешностей и исключение их еще до начала измерений;
• определением поправки и внесение ее в результат измерения, если исключить систематическую погрешность не удается;
• если первый и второй пути не возможны, то оцениваются границы неисключенных систематических погрешностей, которые учитываются при обработке результатов измерений.
Постоянные систематические погрешности обнаруживаются лишь сравнением результатов измерений с другими, результатами, полученными с помощью более высокоточных методов и средств. К наиболее распространенным методам обнаружения постоянных систематических погрешностей можно отнести такие, как метод замещения, метод рандомизации и др.
Метод замещения заключается в замене неизвестной измеряемой величины известной величиной, как правило, воспроизводимой мерой.
При использовании метода рандомизации искомая величина измеряется различными приборами, при этом с увеличением количества приборов систематические погрешности взаимно компенсируются.
Для обнаружения переменных систематических погрешностей используются различные статистические способы, например, способ последовательных разностей, дисперсионный анализ и др.
Способ последовательных разностей
(критерий Аббе)
Суть данного метода заключается в следующем. Дисперсия результатов измерений оценивается двумя способами:
обычным:
(25)
и вычислением суммы квадратов последовательных разностей:
(26)
Определяется расчетное значение критерия Аббе:
(27)
Если расчетное значение критерия Аббе меньше критического q, то в результатах измерений обнаруживается переменная систематическая погрешность. Критические значения критерия Аббе приведены в табл. 13.
Таблица 13
Значения критерия Аббе q
n
q при q, равном
0,001
0,01
0,05
9
0,221
0,354
0,512
10
0,241
0,376
0,531
11
0,26
0,396
0,548
12
0,278
0,414
0,564
13
0,295
0,431
0,578
14
0,311
0,447
0,591
15
0,327
0,461
0,603
16
0,341
0,474
0,614
17
0,355
0,487
0,624
18
0,368
0,499
0,633
19
0,381
0,51
0,642
20
0,393
0,52
0,65
Дисперсионный анализ (критерий Фишера)
Суть данного метода состоит в следующем. Проводится N измерений, после чего их необходимо разбить на s серий (s > 3), по nj результатов измерений в каждой серии. Затем устанавливается, имеется или отсутствует систематическое расхождение между результатами наблюдение в различных сериях. Рассеяние результатов измерений в пределах каждой серии отражает только случайные влияния и характеризует лишь случайные погрешности измерений в пределах этой серии. Характеристикой случайных внутрисерийных погрешностей будет средняя сумма дисперсий результатов измерений, вычисленных отдельно для каждой серии, т. е.
(31)
где xij – результат i-го измерения в j-й серии. При этом рассеяние различных серий обусловливается не только случайными погрешностями измерений, но и систематическими различиями (если они существуют) между результатами измерений, сгруппированными по сериям. Таким образом, усредненная межсерийная дисперсия
(32)
где , выражает силу действия фактора, вызывающего систематические различия между сериями.
Критерием оценки наличия систематических погрешностей является дисперсионный критерий Фишера
(33)
В случае если расчетное значение критерия F будет больше критического Fq, то в результатах измерения присутствует переменная систематическая погрешность. Значения Fq для различной доверительной вероятности приводятся в табл. 15.
Таблица 15
Значения критерия Фишера
k2
Fq при k1, равном
1
2
3
4
5
6
8
12
16
2
18,51
19,00
19,16
19,25
19,30
19,33
19,37
19,41
19,43
4
7,71
6,94
6,59
6,39
6,26
6,16
6,04
5,91
5,84
6
5,99
5,14
4,76
4,53
4,39
4,28
4,15
4,00
3,92
8
5,32
4,46
4,07
3,84
3,69
3,58
3,44
3,28
3,20
10
4,96
4,10
3,71
3,48
3,33
3,22
3,07
2,91
2,82
12
4,75
3,88
3,49
3,26
3,11
3,00
2,85
2,69
2,60
14
4,60
3,74
3,34
3,11
2,96
2,85
2,70
2,53
2,44
16
4,49
3,63
3,24
3,01
2,85
2,74
2,59
2,42
2,33
18
4,41
3,55
3,16
2,93
2,77
2,66
2,51
2,34
2,25
20
4,35
3,49
3,10
2,87
2,71
2,60
2,45
2,28
2,18
30
4,17
3,32
2,92
2,69
2,53
2,42
2,27
2,09
1,99
Примечание: k1 = s – 1, k2 = N – s.
Грубые погрешности и способы их исключения
Грубая погрешность – это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда [3]. Иногда вместо термина грубая погрешность измерений применяют термин «промах». Промахи как правило связаны с ошибками, неправильными действиями операторов. Грубую погрешность при однократном измерении обнаружить невозможно, ее можно обнаружить после проведения многократных измерений с последующей математической обработкой полученных результатов наблюдений с использованием специальных критериев, например, критерий «трех сигм», критерий Шовенэ, Романовского, Шарлье, Диксона, Граббса.
Критерий Романовского
Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение
, (38)
где – проверяемое значение, – среднее арифметическое значение измеряемой величины, Sx – среднее квадратическое отклонение.
Далее расчетное значение  сравнивается с критерием т, выбранным по табл. 17. Если   т, то результат xi считается промахом и отбрасывается.
Таблица 17
Значения критерия Романовского т=f(n)
q
n = 4
n = 6
n = 8
n = 10
n = 12
n = 15
n = 20
0,01
1,73
2,16
2,43
2,62
2,75
2,90
3,08
0,02
1,72
2,13
2,37
2,54
2,66
2,80
2,96
0,05
1,71
2,10
2,27
2,41
2,53
2,64
2,78
0,10
1,69
2,00
2,17
2,29
2,39
2,49
2,62
Критерий Шарлье
Критерий Шарлье используется, если число измерений велико (n > 20). Пользуясь данным критерием, отбрасывается результат, для значения которого выполняется неравенство
Значения критерия Шарлье
n
5
10
20
30
40
50
100
Кш
1,3
1,65
1,96
2,13
2,24
2,32
2,58
Критерий Диксона
При использовании данного критерия полученные результаты измерений записываются в вариационный возрастающий ряд x1

50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона. При 50 > n > 15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.
4. Определение доверительных границ случайной погрешности
Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находится квантильный множитель zp при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности Здесь – СКО среднего арифметического значения. При n < 30 часто используется распределение Стьюдента, при этом доверительные границы случайной погрешности
Здесь tP – коэффициент Стьюдента, приведенный в табл. 22, n – количество измерений.
Таблица 22
Величина tP при различных уровнях значимости
n
Уровни значимости
0,2
0,1
0,05
0,02
0,01
0,005
0,002
0,001
2
3,08
6,31
12,71
31,82
63,66
127,32
318,30
636,61
3
1,84
2,92
4,30
6,96
9,99
14,09
22,33
31,60
4
1,64
2,35
3,18
4,54
5,84
7,45
10,21
12,92
5
1,53
2,13
2,78
3,75
4,60
5,60
7,17
8,61
6
1,48
2,02
2,57
3,36
4,03
4,77
5,89
6,87
7
1,44
1,94
2,45
3,14
3,71
4,32
5,21
5,96
8
1,41
1,89
2,36
3,00
3,50
4,03
4,74
5,41
9
1,40
1,80
2,31
2,90
3,36
3,83
4,50
5,04
10
1,38
1,83
2,26
2,82
3,25
3,64
4,30
4,78
11
1,37
1,81
2,23
2,76
3,17
3,50
4,14
4,59
1. Определение границ неисключенной систематической погрешности
результата измерения
Под этими границами понимаются найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. На практике, как правило, границы неисключеной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы.
2. Определение доверительных границ погрешности
результата измерения
Данная операция осуществляется путем суммирования границ случайной составляющей и границ неисключенной систематической составляющей θ в зависимости от соотношения .
7. Запись результата измерения
Результат измерения записывается в виде при доверительной вероятности Р = Рд.

Систематическая погрешность (или, на физическом жаргоне, систематика) характеризует неточность измерительного инструмента или метода обработки данных. Если точнее, то она показывает наше ограниченное знание этой неточности: ведь если инструмент «врет», но мы хорошо знаем, насколько именно, то мы сможем скорректировать его показания и устранить инструментальную неопределенность результата. Слово «систематическая» означает, что вы можете повторять какое-то измерение на этой установке миллионы раз, но если у нее «сбит прицел», то вы систематически будете получать значение, отличающееся от истинного.

Конечно, систематические погрешности хочется взять под контроль. Поскольку это чисто инструментальный эффект, ответственность за это целиком лежит на экспериментаторах, собиравших, настраивавших и работающих на этой установке. Они прилагают все усилия для того, чтобы, во-первых, корректно определить эти погрешности, а во-вторых, их минимизировать. Собственно, они этим начинают заниматься с самых первых дней работы установки, даже когда еще собственно научная программа исследований и не началась.

Возможные источники систематических погрешностей

Современный коллайдерный эксперимент очень сложен. В нём есть место огромному количеству источников систематических погрешностей на самых разных стадиях получения экспериментального результата. Вот некоторые из них.

Погрешности могут возникать на уровне «железа», при получении сырых данных:

• дефектные или неработающие отдельные регистрирующие компоненты или считывающие элементы. В детекторе миллионы отдельных компонентов, и даже если 1% из них оказался дефектным, это может ухудшить «зоркость» детектора и четкость регистрации сигналов. Надо подчеркнуть, что, даже если при запуске детектор работает на все 100%, постоянное детектирование частиц (это же жесткая радиация!) с течением времени выводит из строя отдельные компоненты, так что следить за поведением детектора абсолютно необходимо;
• наличие «слепых зон» детектора; например, если частица вылетает близко к оси пучков, то она улетит в трубу и детектор ее просто не заметит.

Погрешности могут возникать на этапе распознавания сырых данных и их превращение в физическое событие:

• погрешность при измерении энергии частиц в калориметре;
• погрешность при измерении траектории частиц в трековых детекторах, из-за которой неточно измеряется точка вылета и импульс частицы;
• неправильная идентификация типа частицы (например, система неудачно распознала след от π-мезона и приняла его за K-мезон). Более тонкий вариант: неправильное объединение адронов в одну адронную струю и неправильная оценка ее энергии;
• неправильный подсчет числа частиц (две частицы случайно вылетели так близко друг к другу, что детектор «увидел» только один след и посчитал их за одну).

Наконец, новые систематические погрешности добавляются на этапе позднего анализа события:

• неточность в измерении светимости пучков, которая влияет на пересчет числа событий в сечение процесса;
• наличие посторонних процессов рождения частиц, которые отличаются с физической точки зрения, но, к сожалению, выглядят для детектора одинаковыми. Такие процессы порождают неустранимый фон, который часто мешает разглядеть искомый эффект;
• необходимость моделировать процессы (в особенности, адронизацию, превращение кварков в адроны), опираясь частично на теорию, частично на прошлые эксперименты. Несовершенство того и другого привносит неточности и в новый экспериментальный результат. По этой причине теоретическую погрешность тоже часто относят к систематике.

В отдельных случаях встречаются источники систематических погрешностей, которые умудряются попасть сразу во все категории, они совмещают в себе и свойства детекторного «железа», и методы обработки и интерпретации данных. Например, если вы хотите сравнить друг с другом количество рожденных частиц и античастиц какого-то сорта (например, мюонов и антимюонов), то вам не стоит забывать, что ваш детектор состоит из вещества, а не из антивещества! Этот «перекос» в сторону вещества может привести к тому, что детектор будет видеть мюонов меньше, чем антимюонов, подробности см. в заметке Немножко про CP-нарушение, или Как жаль, что у нас нет детекторов из антивещества!.

Всю эту прорву источников потенциальных проблем надо распознать и оценить их влияние на выполняемый анализ. Здесь никаких абсолютно универсальных алгоритмов нет; исследователь должен сам понять, на какие погрешности надо обращать внимание и как грамотно их оценить. Конечно, тут на помощь приходят разные калибровочные измерения, выполненные в первые год-два работы детектора, и программы моделирования, которые позволяют виртуально протестировать поведение детектора в тех или иных условиях. Но главным в этом искусстве всё же является физическое чутье экспериментатора, его квалификация и накопленный опыт.

Почему важна грамотная оценка систематики

Беспечная оценка систематических погрешностей может привести к двум крайностям, причем обе очень нежелательны.

Заниженная погрешность — то есть неоправданная уверенность экспериментатора в том, что погрешности в его детекторе маленькие, хотя они на самом деле намного больше, — исключительно опасна, поскольку она может привести к совершенно неправильным научным выводам. Например, экспериментатор может на их основании решить, что измерения отличаются от теоретических предсказаний на уровне статистической значимости 10 стандартных отклонений (сенсация!), хотя истинная причина расхождения может просто состоять в том, что он проглядел источник ошибок, в 10 раз увеличивающий неопределенность измерения, и никакого расхождения на самом деле нет.

В борьбе с этой опасностью есть соблазн впасть в другую крайность: «А вдруг там есть еще какие-то погрешности? Может, я что-то не учел? Давай-ка я на всякий случай увеличу погрешности измерения в 10 раз для пущей безопасности.» Такая крайность плоха тем, что она обессмысливает измерение. Неоправданно завышая погрешность, вы рискуете получить результат, который будет, конечно, правильным, но очень неопределенным, ничем не лучше тех результатов, которые уже были получены до вас на гораздо более скромных установках. Такой подход, фактически, перечеркивает всю работу по разработке технологий, по изготовлению компонентов, по сборке детектора, все затраты на его работу и на анализ результатов.

Грамотный и ответственный анализ систематики должен удерживать оптимальный баланс (максимальная достоверность при максимальной научной ценности), не допуская таких крайностей. Это очень тонкая и сложная работа, и первые страницы в большинстве современных экспериментальных статей по физике частиц посвящены тщательному обсуждению систематических (а также статистических) погрешностей.

Мы не будем обсуждать подробности того, как обсчитывать систематические погрешности. Подчеркнем только, что это серьезная наука с множеством тонкостей и подводных камней. В качестве примера умеренно простого обсуждения некоторых вопросов см. статью Systematic Errors: facts and fictions.

Систематические погрешности при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону.

Когда судят о погрешности, подразумевают не значение, а интервал значений, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение. Поэтому говорят об оценке погрешности. Если бы погрешность оказалась измеренной, т.е. стали бы известны её знак и значение, то её можно было бы исключить из действительного значения измеряемой физической величины и получить истинное значение.

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинного значения измеряемой физической величины, проводят многократные наблюдения и проводят математическую обработку полученного массива с целью определения и минимизации случайной составляющей погрешности.

Минимизация систематической погрешности в процессе наблюдений выполняется следующими методами: метод замещения (состоит в замещении измеряемой величины мерой), метод противопоставления (состоит в двух поочерёдных измерениях при замене местами меры и измеряемого объекта), метод компенсации погрешности по знаку (состоит в двух поочерёдных измерениях, при которых влияющая величина становится противоположной).

При многократных наблюдениях возможно апостериорное (после выполнения наблюдений) исключение систематической погрешности в результате анализа рядов наблюдений. Рассмотрим графический анализ. При этом результаты последовательных наблюдений представляются функцией времени либо ранжируются в порядке возрастания погрешности.

Рассмотрим временную зависимость. Будем проводить наблюдения через одинаковые интервалы времени. Результаты последовательных наблюдений являются случайной функцией времени. В серии экспериментов, состоящих из ряда последовательных наблюдений, получаем одну реализацию этой функции. При повторении серии получаем новую реализацию, отличающуюся от первой.

Реализации отличаются преимущественно из-за влияния факторов, определяющих случайную погрешность, а факторы, определяющие систематическую погрешность, одинаково проявляются для соответствующих моментов времени в каждой реализации. Значение, соответствующее каждому моменту времени, называется сечением случайной функции времени. Для каждого сечения можно найти среднее по всем реализациям значение. Очевидно, что эта составляющая и определяет систематическую погрешность. Если через значения систематической погрешности для всех моментов времени провести плавную кривую, то она будет характеризовать временную закономерность изменения погрешности. Зная закономерность изменения, можем определить поправку для исключения систематической погрешности. После исключения систематической погрешности получаем «исправленный ряд результатов наблюдений».

Известен ряд способов исключения систематических погрешностей, которые условно можно разделить па 4 основные группы:

•  устранение источников погрешностей до начала измерений;
•  исключение почетностей в процессе измерения способами замещения, компенсации погрешностей по знаку, противопоставления, симметричных наблюдений;
•  внесение известных поправок в результат измерения (исключение погрешностей начислением);
•  оценка границ систематических погрешностей, если их нельзя ис­ключить.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные и периодические.

Постоянные систематические погрешности сохраняют свое значение в течение всего времени измерений (например, погрешность в градуировке шкалы прибора переносится на все результаты измерений).

Прогрессивные погрешности – погрешности, которые в процессе из­мерении подрастают или убывают (например, погрешности, возникающие вследствие износа контактирующих деталей средств измерения).

И группу систематических погрешностей можно отнести: инструментальные погрешности; погрешности из-за неправильной установки измерительного устройства; погрешности, возникающие вследствие внешних влияний; погрешности метода измерения (теоретические погрешности); субъективные погрешности.