Коды исправляющие ошибки примеры

Корректирующие коды «на пальцах»

Время на прочтение
11 мин

Количество просмотров 64K

Корректирующие (или помехоустойчивые) коды — это коды, которые могут обнаружить и, если повезёт, исправить ошибки, возникшие при передаче данных. Даже если вы ничего не слышали о них, то наверняка встречали аббревиатуру CRC в списке файлов в ZIP-архиве или даже надпись ECC на планке памяти. А кто-то, может быть, задумывался, как так получается, что если поцарапать DVD-диск, то данные всё равно считываются без ошибок. Конечно, если царапина не в сантиметр толщиной и не разрезала диск пополам.

Как нетрудно догадаться, ко всему этому причастны корректирующие коды. Собственно, ECC так и расшифровывается — «error-correcting code», то есть «код, исправляющий ошибки». А CRC — это один из алгоритмов, обнаруживающих ошибки в данных. Исправить он их не может, но часто это и не требуется.

Давайте же разберёмся, что это такое.

Для понимания статьи не нужны никакие специальные знания. Достаточно лишь понимать, что такое вектор и матрица, как они перемножаются и как с их помощью записать систему линейных уравнений.

Внимание! Много текста и мало картинок. Я постарался всё объяснить, но без карандаша и бумаги текст может показаться немного запутанным.

Каналы с ошибкой

Разберёмся сперва, откуда вообще берутся ошибки, которые мы собираемся исправлять. Перед нами стоит следующая задача. Нужно передать несколько блоков данных, каждый из которых кодируется цепочкой двоичных цифр. Получившаяся последовательность нулей и единиц передаётся через канал связи. Но так сложилось, что реальные каналы связи часто подвержены ошибкам. Вообще говоря, ошибки могут быть разных видов — может появиться лишняя цифра или какая-то пропасть. Но мы будем рассматривать только ситуации, когда в канале возможны лишь замены нуля на единицу и наоборот. Причём опять же для простоты будем считать такие замены равновероятными.

Ошибка — это маловероятное событие (а иначе зачем нам такой канал вообще, где одни ошибки?), а значит, вероятность двух ошибок меньше, а трёх уже совсем мала. Мы можем выбрать для себя некоторую приемлемую величину вероятности, очертив границу «это уж точно невозможно». Это позволит нам сказать, что в канале возможно не более, чем $k$ ошибок. Это будет характеристикой канала связи.

Для простоты введём следующие обозначения. Пусть данные, которые мы хотим передавать, — это двоичные последовательности фиксированной длины. Чтобы не запутаться в нулях и единицах, будем иногда обозначать их заглавными латинскими буквами ($A$, $B$, $C$, …). Что именно передавать, в общем-то неважно, просто с буквами в первое время будет проще работать.

Кодирование и декодирование будем обозначать прямой стрелкой ($\rightarrow$), а передачу по каналу связи — волнистой стрелкой ($\rightsquigarrow$). Ошибки при передаче будем подчёркивать.

Например, пусть мы хотим передавать только сообщения $A=0$ и $B=1$. В простейшем случае их можно закодировать нулём и единицей (сюрприз!):

$ \begin{aligned} A &\to 0,\\ B &\to 1. \end{aligned} $

Передача по каналу, в котором возникла ошибка будет записана так:

$ A \to 0 \rightsquigarrow \underline{1} \to B. $

Цепочки нулей и единиц, которыми мы кодируем буквы, будем называть кодовыми словами. В данном простом случае кодовые слова — это $0$ и $1$.

Код с утроением

Давайте попробуем построить какой-то корректирующий код. Что мы обычно делаем, когда кто-то нас не расслышал? Повторяем дважды:

$ \begin{aligned} A &\to 00,\\ B &\to 11. \end{aligned} $

Правда, это нам не очень поможет. В самом деле, рассмотрим канал с одной возможной ошибкой:

$ A \to 00 \rightsquigarrow 0\underline{1} \to ?. $

Какие выводы мы можем сделать, когда получили $01$? Понятно, что раз у нас не две одинаковые цифры, то была ошибка, но вот в каком разряде? Может, в первом, и была передана буква $B$. А может, во втором, и была передана $A$.

То есть, получившийся код обнаруживает, но не исправляет ошибки. Ну, тоже неплохо, в общем-то. Но мы пойдём дальше и будем теперь утраивать цифры.

$ \begin{aligned} A &\to 000,\\ B &\to 111. \end{aligned} $

Проверим в деле:

$ A \to 000 \rightsquigarrow 0\underline{1}0 \to A?. $

Получили $010$. Тут у нас есть две возможности: либо это $B$ и было две ошибки (в крайних цифрах), либо это $A$ и была одна ошибка. Вообще, вероятность одной ошибки выше вероятности двух ошибок, так что самым правдоподобным будет предположение о том, что передавалась именно буква $A$. Хотя правдоподобное — не значит истинное, поэтому рядом и стоит вопросительный знак.

Если в канале связи возможна максимум одна ошибка, то первое предположение о двух ошибках становится невозможным и остаётся только один вариант — передавалась буква $A$.

Про такой код говорят, что он исправляет одну ошибку. Две он тоже обнаружит, но исправит уже неверно.

Это, конечно, самый простой код. Кодировать легко, да и декодировать тоже. Ноликов больше — значит передавался ноль, единичек — значит единица.

Если немного подумать, то можно предложить код исправляющий две ошибки. Это будет код, в котором мы повторяем одиночный бит 5 раз.

Расстояния между кодами

Рассмотрим поподробнее код с утроением. Итак, мы получили работающий код, который исправляет одиночную ошибку. Но за всё хорошее надо платить: он кодирует один бит тремя. Не очень-то и эффективно.

И вообще, почему этот код работает? Почему нужно именно утраивать для устранения одной ошибки? Наверняка это всё неспроста.

Давайте подумаем, как этот код работает. Интуитивно всё понятно. Нолики и единички — это две непохожие последовательности. Так как они достаточно длинные, то одиночная ошибка не сильно портит их вид.

Пусть мы передавали $000$, а получили $001$. Видно, что эта цепочка больше похожа на исходные $000$, чем на $111$. А так как других кодовых слов у нас нет, то и выбор очевиден.

Но что значит «больше похоже»? А всё просто! Чем больше символов у двух цепочек совпадает, тем больше их схожесть. Если почти все символы отличаются, то цепочки «далеки» друг от друга.

Можно ввести некоторую величину $d(\alpha, \beta)$, равную количеству различающихся цифр в соответствующих разрядах цепочек $\alpha$ и $\beta$. Эту величину называют расстоянием Хэмминга. Чем больше это расстояние, тем меньше похожи две цепочки.

Например, $d(010, 010) = 0$, так как все цифры в соответствующих позициях равны, а вот $d(010101, 011011) = 3$.

Расстояние Хэмминга называют расстоянием неспроста. Ведь в самом деле, что такое расстояние? Это какая-то характеристика, указывающая на близость двух точек, и для которой верны утверждения:

  1. Расстояние между точками неотрицательно и равно нулю только, если точки совпадают.
  2. Расстояние в обе стороны одинаково.
  3. Путь через третью точку не короче, чем прямой путь.

Достаточно разумные требования.

Математически это можно записать так (нам это не пригодится, просто ради интереса посмотрим):

  1. $d(x, y) \geqslant 0,\quad d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y;$
  2. $d(x, y) = d(y, x);$
  3. $d(x, z) + d(z, y) \geqslant d(x, y)$.

Предлагаю читателю самому убедиться, что для расстояния Хэмминга эти свойства выполняются.

Окрестности

Таким образом, разные цепочки мы считаем точками в каком-то воображаемом пространстве, и теперь мы умеем находить расстояния между ними. Правда, если попытаться сколько нибудь длинные цепочки расставить на листе бумаги так, чтобы расстояния Хэмминга совпадали с расстояниями на плоскости, мы можем потерпеть неудачу. Но не нужно переживать. Всё же это особое пространство со своими законами. А слова вроде «расстояния» лишь помогают нам рассуждать.

Пойдём дальше. Раз мы заговорили о расстоянии, то можно ввести такое понятие как окрестность. Как известно, окрестность какой-то точки — это шар определённого радиуса с центром в ней. Шар? Какие ещё шары! Мы же о кодах говорим.

Но всё просто. Ведь что такое шар? Это множество всех точек, которые находятся от данной не дальше, чем некоторое расстояние, называемое радиусом. Точки у нас есть, расстояние у нас есть, теперь есть и шары.

Так, скажем, окрестность кодового слова $000$ радиуса 1 — это все коды, находящиеся на расстоянии не больше, чем 1 от него, то есть отличающиеся не больше, чем в одном разряде. То есть это коды:

$ \{000, 100, 010, 001\}. $

Да, вот так странно выглядят шары в пространстве кодов.

А теперь посмотрите. Это же все возможные коды, которые мы получим в канале в одной ошибкой, если отправим $000$! Это следует прямо из определения окрестности. Ведь каждая ошибка заставляет цепочку измениться только в одном разряде, а значит удаляет её на расстояние 1 от исходного сообщения.

Аналогично, если в канале возможны две ошибки, то отправив некоторое сообщение $x$, мы получим один из кодов, который принадлежит окрестности $x$ радиусом 2.

Тогда всю нашу систему декодирования можно построить так. Мы получаем какую-то цепочку нулей и единиц (точку в нашей новой терминологии) и смотрим, в окрестность какого кодового слова она попадает.

Сколько ошибок может исправить код?

Чтобы код мог исправлять больше ошибок, окрестности должны быть как можно шире. С другой стороны, они не должны пересекаться. Иначе если точка попадёт в область пересечения, непонятно будет, к какой окрестности её отнести.

В коде с удвоением между кодовыми словами $00$ и $11$ расстояние равно 2 (оба разряда различаются). А значит, если мы построим вокруг них шары радиуса 1, то они будут касаться. Это значит, точка касания будет принадлежать обоим шарам и непонятно будет, к какому из них её отнести.

Именно это мы и получали. Мы видели, что есть ошибка, но не могли её исправить.

Что интересно, точек касания в нашем странном пространстве у шаров две — это коды $01$ и $10$. Расстояния от них до центров равны единице. Конечно же, в обычно геометрии такое невозможно, поэтому рисунки — это просто условность для более удобного рассуждения.

В случае кода с утроением, между шарами будет зазор.

Минимальный зазор между шарами равен 1, так как у нас расстояния всегда целые (ну не могут же две цепочки отличаться в полутора разрядах).

В общем случае получаем следующее.

Этот очевидный результат на самом деле очень важен. Он означает, что код с минимальным кодовым расстоянием $d_{\min}$ будет успешно работать в канале с $k$ ошибками, если выполняется соотношение

$ d_{\min} \geqslant 2k+1. $

Полученное равенство позволяет легко определить, сколько ошибок будет исправлять тот или иной код. А сколько код ошибок может обнаружить? Рассуждения такие же. Код обнаруживает $k$ ошибок, если в результате не получится другое кодовое слово. То есть, кодовые слова не должны находиться в окрестностях радиуса $k$ других кодовых слов. Математически это записывается так:

$d_{\min}\geqslant k + 1.$

Рассмотрим пример. Пусть мы кодируем 4 буквы следующим образом.

$ \begin{aligned} A \to 10100,\\ B \to 01000,\\ C \to 00111,\\ D \to 11011.\\ \end{aligned} $

Чтобы найти минимальное расстояние между различными кодовыми словами, построим таблицу попарных расстояний.

A B C D
A — 3 3 4
B 3 — 4 3
C 3 4 — 3
D 4 3 3 —

Минимальное расстояние $d_{\min}=3$, а значит $3\geqslant2k+1$, откуда получаем, что такой код может исправить до $k=1$ ошибок. Обнаруживает же он две ошибки.

Рассмотрим пример:

$ A \to 10100 \rightsquigarrow 101\underline{1}0. $

Чтобы декодировать полученное сообщение, посмотрим, к какому символу оно ближе всего.

$ \begin{aligned} A:\, d(10110, 10100) &= 1,\\ B:\, d(10110, 01000) &= 4,\\ C:\, d(10110, 00111) &= 2,\\ D:\, d(10110, 11011) &= 3. \end{aligned} $

Минимальное расстояние получилось для символа $A$, значит вероятнее всего передавался именно он:

$ A \to 10100 \rightsquigarrow 101\underline{1}0 \to A?. $

Итак, этот код исправляет одну ошибку, как и код с утроением. Но он более эффективен, так как в отличие от кода с утроением здесь кодируется уже 4 символа.

Таким образом, основная проблема при построении такого рода кодов — так расположить кодовые слова, чтобы они были как можно дальше друг от друга, и их было побольше.

Для декодирования можно было бы использовать таблицу, в которой указывались бы все возможные принимаемые сообщения, и кодовые слова, которым они соответствуют. Но такая таблица получилась бы очень большой. Даже для нашего маленького кода, который выдаёт 5 двоичных цифр, получилось бы $2^5 = 32$ варианта возможных принимаемых сообщений. Для более сложных кодов таблица будет значительно больше.

Попробуем придумать способ коррекции сообщения без таблиц. Мы всегда сможем найти полезное применение освободившейся памяти.

Интерлюдия: поле GF(2)

Для изложения дальнейшего материала нам потребуются матрицы. А при умножении матриц, как известно мы складываем и перемножаем числа. И тут есть проблема. Если с умножением всё более-менее хорошо, то как быть со сложением? Из-за того, что мы работаем только с одиночными двоичными цифрами, непонятно, как сложить 1 и 1, чтобы снова получилась одна двоичная цифра. Значит вместо классического сложения нужно использовать какое-то другое.

Введём операцию сложения как сложение по модулю 2 (хорошо известный программистам XOR):

$ \begin{aligned} 0 + 0 &= 0,\\ 0 + 1 &= 1,\\ 1 + 0 &= 1,\\ 1 + 1 &= 0. \end{aligned} $

Умножение будем выполнять как обычно. Эти операции на самом деле введены не абы как, а чтобы получилась система, которая в математике называется полем. Поле — это просто множество (в нашем случае из 0 и 1), на котором так определены сложение и умножение, чтобы основные алгебраические законы сохранялись. Например, чтобы основные идеи, касающиеся матриц и систем уравнений по-прежнему были верны. А вычитание и деление мы можем ввести как обратные операции.

Множество из двух элементов $\{0, 1\}$ с операциями, введёнными так, как мы это сделали, называется полем Галуа GF(2). GF — это Galois field, а 2 — количество элементов.

У сложения есть несколько очень полезных свойств, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

$ x + x = 0. $

Это свойство прямо следует из определения.

$ x + y = x - y. $

А в этом можно убедиться, прибавив $y$ к обеим частям равенства. Это свойство, в частности означает, что мы можем переносить в уравнении слагаемые в другую сторону без смены знака.

Проверяем корректность

Вернёмся к коду с утроением.

$ \begin{aligned} A &\to 000,\\ B &\to 111. \end{aligned} $

Для начала просто решим задачу проверки, были ли вообще ошибки при передаче. Как видно, из самого кода, принятое сообщение будет кодовым словом только тогда, когда все три цифры равны между собой.

Пусть мы приняли вектор-строку $x$ из трёх цифр. (Стрелочки над векторами рисовать не будем, так как у нас почти всё — это вектора или матрицы.)

$\dots \rightsquigarrow x = (x_1, x_2, x_3). $

Математически равенство всех трёх цифр можно записать как систему:

$ \left\{ \begin{aligned} x_1 &= x_2,\\ x_2 &= x_3. \end{aligned} \right. $

Или, если воспользоваться свойствами сложения в GF(2), получаем

$ \left\{ \begin{aligned} x_1 + x_2 &= 0,\\ x_2 + x_3 &= 0. \end{aligned} \right. $

Или

$ \left\{ \begin{aligned} 1\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 &= 0,\\ 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 1\cdot x_3 &= 0. \end{aligned} \right. $

В матричном виде эта система будет иметь вид

$ Hx^T = 0, $

где

$ H = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. $

Транспонирование здесь нужно потому, что $x$ — это вектор-строка, а не вектор-столбец. Иначе мы не могли бы умножать его справа на матрицу.

Будем называть матрицу $H$ проверочной матрицей. Если полученное сообщение — это корректное кодовое слово (то есть, ошибки при передаче не было), то произведение проверочной матрицы на это сообщение будет равно нулевому вектору.

Умножение на матрицу — это гораздо более эффективно, чем поиск в таблице, но у нас на самом деле есть ещё одна таблица — это таблица кодирования. Попробуем от неё избавиться.

Кодирование

Итак, у нас есть система для проверки

$ \left\{ \begin{aligned} x_1 + x_2 &= 0,\\ x_2 + x_3 &= 0. \end{aligned} \right. $

Её решения — это кодовые слова. Собственно, мы систему и строили на основе кодовых слов. Попробуем теперь решить обратную задачу. По системе (или, что то же самое, по матрице $H$) найдём кодовые слова.

Правда, для нашей системы мы уже знаем ответ, поэтому, чтобы было интересно, возьмём другую матрицу:

$ H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. $

Соответствующая система имеет вид:

$ \left\{ \begin{aligned} x_1 + x_3 &= 0,\\ x_2 + x_3 + x_5 &= 0,\\ x_4 + x_5 &= 0. \end{aligned} \right. $

Чтобы найти кодовые слова соответствующего кода нужно её решить.

В силу линейности сумма двух решений системы тоже будет решением системы. Это легко доказать. Если $a$ и $b$ — решения системы, то для их суммы верно

$H(a+b)^T=Ha^T+Hb^T=0+0=0,$

что означает, что она тоже — решение.

Поэтому если мы найдём все линейно независимые решения, то с их помощью можно получить вообще все решения системы. Для этого просто нужно найти их всевозможные суммы.

Выразим сперва все зависимые слагаемые. Их столько же, сколько и уравнений. Выражать надо так, чтобы справа были только независимые. Проще всего выразить $x_1, x_2, x_4$.

Если бы нам не так повезло с системой, то нужно было бы складывая уравнения между собой получить такую систему, чтобы какие-то три переменные встречались по одному разу. Ну, или воспользоваться методом Гаусса. Для GF(2) он тоже работает.

Итак, получаем:

$ \left\{ \begin{aligned} x_1 &= x_3,\\ x_2 &= x_3 + x_5,\\ x_4 &= x_5. \end{aligned} \right. $

Чтобы получить все линейно независимые решения, приравниваем каждую из зависимых переменных к единице по очереди.

$ \begin{aligned} x_3=1, x_5=0:\quad x_1=1, x_2=1, x_4=0 \Rightarrow x^{(1)} = (1, 1, 1, 0, 0),\\ x_3=0, x_5=1:\quad x_1=0, x_2=1, x_4=1 \Rightarrow x^{(2)} = (0, 1, 0, 1, 1). \end{aligned} $

Всевозможные суммы этих независимых решений (а именно они и будут кодовыми векторами) можно получить так:

$ a_1 x^{(1)}+a_2 x^{(2)}, $

где $a_1, a_2$ равны либо нулю или единице. Так как таких коэффициентов два, то всего возможно $2^2=4$ сочетания.

Но посмотрите! Формула, которую мы только что получили — это же снова умножение матрицы на вектор.

$ (a_1, a_2)\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = aG. $

Строчки здесь — линейно независимые решения, которые мы получили. Матрица $G$ называется порождающей. Теперь вместо того, чтобы сами составлять таблицу кодирования, мы можем получать кодовые слова простым умножением на матрицу:

$ a \to aG. $

Найдём кодовые слова для этого кода. (Не забываем, что длина исходных сообщений должна быть равна 2 — это количество найденных решений.)

$ \begin{aligned} 00 &\to 00000,\\ 01 &\to 01011,\\ 10 &\to 11100,\\ 11 &\to 10111. \end{aligned} $

Итак, у нас есть готовый код, обнаруживающий ошибки. Проверим его в деле. Пусть мы хотим отправить 01 и у нас произошла ошибка при передаче. Обнаружит ли её код?

$ a=01 \to aG=01011 \rightsquigarrow x=01\underline{1}11 \to Hx^T = (110)^T \neq 0. $

А раз в результате не нулевой вектор, значит код заподозрил неладное. Провести его не удалось. Ура, код работает!

Для кода с утроением, кстати, порождающая матрица выглядит очень просто:

$G=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}.$

Подобные коды, которые можно порождать и проверять матрицей называются линейными (бывают и нелинейные), и они очень широко применяются на практике. Реализовать их довольно легко, так как тут требуется только умножение на константную матрицу.

Ошибка по синдрому

Ну хорошо, мы построили код обнаруживающий ошибки. Но мы же хотим их исправлять!

Для начала введём такое понятие, как вектор ошибки. Это вектор, на который отличается принятое сообщение от кодового слова. Пусть мы получили сообщение $x$, а было отправлено кодовое слово $v$. Тогда вектор ошибки по определению

$ e = x - v. $

Но в странном мире GF(2), где сложение и вычитание одинаковы, будут верны и соотношения:

$ \begin{aligned} v &= x + e,\\ x &= v + e. \end{aligned} $

В силу особенностей сложения, как читатель сам может легко убедиться, в векторе ошибки на позициях, где произошла ошибка будет единица, а на остальных ноль.

Как мы уже говорили раньше, если мы получили сообщение $x$ с ошибкой, то $Hx^T\neq 0$. Но ведь векторов, не равных нулю много! Быть может то, какой именно ненулевой вектор мы получили, подскажет нам характер ошибки?

Назовём результат умножения на проверочную матрицу синдромом:

$ s(x)=Hx^T.$

И заметим следующее

$ s(x) = Hx^T = H(v+e)^T = He^T = s(e). $

Это означает, что для ошибки синдром будет таким же, как и для полученного сообщения.

Разложим все возможные сообщения, которые мы можем получить из канала связи, по кучкам в зависимости от синдрома. Тогда из последнего соотношения следует, что в каждой кучке будут вектора с одной и той же ошибкой. Причём вектор этой ошибки тоже будет в кучке. Вот только как его узнать?

А очень просто! Помните, мы говорили, что у нескольких ошибок вероятность ниже, чем у одной ошибки? Руководствуясь этим соображением, наиболее правдоподобным будет считать вектором ошибки тот вектор, у которого меньше всего единиц. Будем называть его лидером.

Давайте посмотрим, какие синдромы дают всевозможные 5-элементные векторы. Сразу сгруппируем их и подчеркнём лидеров — векторы с наименьшим числом единиц.

$s(x)$ $x$
$000$ $\underline{00000}, 11100, 01011, 10111$
$001$ $\underline{00010}, 11110, 01001, 10101$
$010$ $\underline{01000}, 10100, 00011, 11111$
$011$ $01010, 10110, \underline{00001}, 11101$
$100$ $\underline{10000}, 01100, 11011, 00111$
$101$ $\underline{10010}, 01110, 11001, \underline{00101}$
$110$ $11000, \underline{00100}, 10011, 01111$
$111$ $11010, \underline{00110}, \underline{10001}, 01101$

В принципе, для корректирования ошибки достаточно было бы хранить таблицу соответствия синдрома лидеру.

Обратите внимание, что в некоторых строчках два лидера. Это значит для для данного синдрома два паттерна ошибки равновероятны. Иными словами, код обнаружил две ошибки, но исправить их не может.

Лидеры для всех возможных одиночных ошибок находятся в отдельных строках, а значит код может исправить любую одиночную ошибку. Ну, что же… Попробуем в этом убедиться.

$ a=01 \to aG=01011 \rightsquigarrow x=01\underline{1}11 \to s(x)=Hx^T = (110)^T \to e=(00100). $

Вектор ошибки равен $(00100)$, а значит ошибка в третьем разряде. Как мы и загадали.

Ура, всё работает!

Что же дальше?

Чтобы попрактиковаться, попробуйте повторить рассуждения для разных проверочных матриц. Например, для кода с утроением.

Логическим продолжением изложенного был бы рассказ о циклических кодах — чрезвычайно интересном подклассе линейных кодов, обладающим замечательными свойствами. Но тогда, боюсь, статья уж очень бы разрослась.

Если вас заинтересовали подробности, то можете почитать замечательную книжку Аршинова и Садовского «Коды и математика». Там изложено гораздо больше, чем представлено в этой статье. Если интересует математика кодирования — то поищите «Теория и практика кодов, контролирующих ошибки» Блейхута. А вообще, материалов по этой теме довольно много.

Надеюсь, когда снова будет свободное время, напишу продолжение, в котором расскажу про циклические коды и покажу пример программы для кодирования и декодирования. Если, конечно, почтенной публике это интересно.

Источник

In coding theory, burst error-correcting codes employ methods of correcting burst errors, which are errors that occur in many consecutive bits rather than occurring in bits independently of each other.

Many codes have been designed to correct random errors. Sometimes, however, channels may introduce errors which are localized in a short interval. Such errors occur in a burst (called burst errors) because they occur in many consecutive bits. Examples of burst errors can be found extensively in storage mediums. These errors may be due to physical damage such as scratch on a disc or a stroke of lightning in case of wireless channels. They are not independent; they tend to be spatially concentrated. If one bit has an error, it is likely that the adjacent bits could also be corrupted. The methods used to correct random errors are inefficient to correct burst errors.

Definitions[edit]

A burst of length 5

A burst of length ℓ[1]

Say a codeword C is transmitted, and it is received as {\displaystyle Y=C+E.} Then, the error vector E is called a burst of length \ell if the nonzero components of E are confined to \ell consecutive components. For example, {\displaystyle E=(0{\textbf {1000011}}0)} is a burst of length {\displaystyle \ell =7.}

Although this definition is sufficient to describe what a burst error is, the majority of the tools developed for burst error correction rely on cyclic codes. This motivates our next definition.

A cyclic burst of length ℓ[1]

An error vector E is called a cyclic burst error of length \ell if its nonzero components are confined to \ell cyclically consecutive components. For example, the previously considered error vector {\displaystyle E=(010000110)}, is a cyclic burst of length {\displaystyle \ell =5}, since we consider the error starting at position 6 and ending at position 1. Notice the indices are {\displaystyle 0}-based, that is, the first element is at position {\displaystyle 0}.

For the remainder of this article, we will use the term burst to refer to a cyclic burst, unless noted otherwise.

Burst description[edit]

It is often useful to have a compact definition of a burst error, that encompasses not only its length, but also the pattern, and location of such error. We define a burst description to be a tuple {\displaystyle (P,L)} where P is the pattern of the error (that is the string of symbols beginning with the first nonzero entry in the error pattern, and ending with the last nonzero symbol), and L is the location, on the codeword, where the burst can be found.[1]

For example, the burst description of the error pattern {\displaystyle E=(010000110)} is {\displaystyle D=(1000011,1)}. Notice that such description is not unique, because {\displaystyle D'=(11001,6)} describes the same burst error. In general, if the number of nonzero components in E is w, then E will have w different burst descriptions each starting at a different nonzero entry of E. To remedy the issues that arise by the ambiguity of burst descriptions with the theorem below, however before doing so we need a definition first.

Definition. The number of symbols in a given error pattern y, is denoted by {\displaystyle \mathrm {length} (y).}

A corollary of the above theorem is that we cannot have two distinct burst descriptions for bursts of length {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n+1).}

Cyclic codes for burst error correction[edit]

Cyclic codes are defined as follows: think of the q symbols as elements in \mathbb {F} _{q}. Now, we can think of words as polynomials over {\displaystyle \mathbb {F} _{q},} where the individual symbols of a word correspond to the different coefficients of the polynomial. To define a cyclic code, we pick a fixed polynomial, called generator polynomial. The codewords of this cyclic code are all the polynomials that are divisible by this generator polynomial.

Codewords are polynomials of degree {\displaystyle \leqslant n-1}. Suppose that the generator polynomial g(x) has degree r. Polynomials of degree {\displaystyle \leqslant n-1} that are divisible by g(x) result from multiplying g(x) by polynomials of degree {\displaystyle \leqslant n-1-r}. We have {\displaystyle q^{n-r}} such polynomials. Each one of them corresponds to a codeword. Therefore, {\displaystyle k=n-r} for cyclic codes.

Cyclic codes can detect all bursts of length up to {\displaystyle \ell =n-k=r}. We will see later that the burst error detection ability of any (n,k) code is bounded from above by {\displaystyle \ell \leqslant n-k}. Cyclic codes are considered optimal for burst error detection since they meet this upper bound:

Theorem (Cyclic burst correction capability) — Every cyclic code with generator polynomial of degree r can detect all bursts of length {\displaystyle \leqslant r.}

The above proof suggests a simple algorithm for burst error detection/correction in cyclic codes: given a transmitted word (i.e. a polynomial of degree {\displaystyle \leqslant n-1}), compute the remainder of this word when divided by g(x). If the remainder is zero (i.e. if the word is divisible by g(x)), then it is a valid codeword. Otherwise, report an error. To correct this error, subtract this remainder from the transmitted word. The subtraction result is going to be divisible by g(x) (i.e. it is going to be a valid codeword).

By the upper bound on burst error detection ({\displaystyle \ell \leqslant n-k=r}), we know that a cyclic code can not detect all bursts of length {\displaystyle \ell >r}. However cyclic codes can indeed detect most bursts of length {\displaystyle >r}. The reason is that detection fails only when the burst is divisible by g(x). Over binary alphabets, there exist {\displaystyle 2^{\ell -2}} bursts of length \ell . Out of those, only {\displaystyle 2^{\ell -2-r}} are divisible by g(x). Therefore, the detection failure probability is very small ({\displaystyle 2^{-r}}) assuming a uniform distribution over all bursts of length \ell .

We now consider a fundamental theorem about cyclic codes that will aid in designing efficient burst-error correcting codes, by categorizing bursts into different cosets.

Burst error correction bounds[edit]

Upper bounds on burst error detection and correction[edit]

By upper bound, we mean a limit on our error detection ability that we can never go beyond. Suppose that we want to design an (n,k) code that can detect all burst errors of length {\displaystyle \leqslant \ell .} A natural question to ask is: given n and k, what is the maximum \ell that we can never achieve beyond? In other words, what is the upper bound on the length \ell of bursts that we can detect using any (n,k) code? The following theorem provides an answer to this question.

Theorem (Burst error detection ability) — The burst error detection ability of any (n,k) code is {\displaystyle \ell \leqslant n-k.}

Now, we repeat the same question but for error correction: given n and k, what is the upper bound on the length \ell of bursts that we can correct using any (n,k) code? The following theorem provides a preliminary answer to this question:

Theorem (Burst error correction ability) — The burst error correction ability of any (n,k) code satisfies {\displaystyle \ell \leqslant n-k-\log _{q}(n-\ell )+2}

A stronger result is given by the Rieger bound:

Definition. A linear burst-error-correcting code achieving the above Rieger bound is called an optimal burst-error-correcting code.

Further bounds on burst error correction[edit]

There is more than one upper bound on the achievable code rate of linear block codes for multiple phased-burst correction (MPBC). One such bound is constrained to a maximum correctable cyclic burst length within every subblock, or equivalently a constraint on the minimum error free length or gap within every phased-burst. This bound, when reduced to the special case of a bound for single burst correction, is the Abramson bound (a corollary of the Hamming bound for burst-error correction) when the cyclic burst length is less than half the block length.[3]

Theorem (Abramson’s bounds) — If {\displaystyle 1\leqslant \ell \leqslant {\tfrac {1}{2}}(n+1)} is a binary linear {\displaystyle (n,k),\ell }-burst error correcting code, its block-length must satisfy:

{\displaystyle n\leqslant 2^{n-k-\ell +1}-1.}

Proof

For a linear (n,k) code, there are 2^{k} codewords. By our previous result, we know that

{\displaystyle 2^{k}\leqslant {\frac {2^{n}}{n2^{\ell -1}+1}}.}

Isolating n, we get {\displaystyle n\leqslant 2^{n-k-\ell +1}-2^{-\ell +1}}. Since {\displaystyle \ell \geqslant 1} and n must be an integer, we have {\displaystyle n\leqslant 2^{n-k-\ell +1}-1}.

Remark. {\displaystyle r=n-k} is called the redundancy of the code and in an alternative formulation for the Abramson’s bounds is {\displaystyle r\geqslant \lceil \log _{2}(n+1)\rceil +\ell -1.}

Fire codes[edit]

Sources:[3][4][5]

While cyclic codes in general are powerful tools for detecting burst errors, we now consider a family of binary cyclic codes named Fire Codes, which possess good single burst error correction capabilities. By single burst, say of length \ell , we mean that all errors that a received codeword possess lie within a fixed span of \ell digits.

Let p(x) be an irreducible polynomial of degree m over \mathbb {F} _{2}, and let p be the period of p(x). The period of p(x), and indeed of any polynomial, is defined to be the least positive integer r such that {\displaystyle p(x)|x^{r}-1.} Let \ell be a positive integer satisfying {\displaystyle \ell \leqslant m} and {\displaystyle 2\ell -1} not divisible by p, where p is the period of p(x). Define the Fire Code G by the following generator polynomial:

{\displaystyle g(x)=\left(x^{2\ell -1}+1\right)p(x).}

We will show that G is an \ell -burst-error correcting code.

Lemma 1 — {\displaystyle \gcd \left(p(x),x^{2\ell -1}+1\right)=1.}

Lemma 2 — If p(x)is a polynomial of period p, then {\displaystyle p(x)|x^{k}-1} if and only if {\displaystyle p|k.}

Proof

If {\displaystyle p|k}, then {\displaystyle x^{k}-1=(x^{p}-1)(1+x^{p}+x^{2p}+\dots +x^{k/p})}. Thus, {\displaystyle p(x)|x^{k}-1.}

Now suppose {\displaystyle p(x)|x^{k}-1}. Then, {\displaystyle k\geqslant p}. We show that k is divisible by p by induction on k. The base case {\displaystyle k=p} follows. Therefore, assume {\displaystyle k>p}. We know that p(x) divides both (since it has period p)

{\displaystyle x^{p}-1=(x-1)\left(1+x+\dots +x^{p-1}\right)\quad {\text{and}}\quad x^{k}-1=(x-1)\left(1+x+\dots +x^{k-1}\right).}

But p(x) is irreducible, therefore it must divide both {\displaystyle (1+x+\dots +x^{p-1})} and {\displaystyle (1+x+\dots +x^{k-1})}; thus, it also divides the difference of the last two polynomials, {\displaystyle x^{p}(1+x+\dots +x^{p-k-1})}. Then, it follows that p(x) divides {\displaystyle (1+x+\cdots +x^{p-k-1})}. Finally, it also divides: {\displaystyle x^{k-p}-1=(x-1)(1+x+\dots +x^{p-k-1})}. By the induction hypothesis, {\displaystyle p|k-p}, then {\displaystyle p|k}.

A corollary to Lemma 2 is that since {\displaystyle p(x)=x^{p}-1} has period p, then p(x) divides x^{k}-1 if and only if {\displaystyle p|k}.

Theorem — The Fire Code is \ell -burst error correcting[4][5]

If we can show that all bursts of length \ell or less occur in different cosets, we can use them as coset leaders that form correctable error patterns. The reason is simple: we know that each coset has a unique syndrome decoding associated with it, and if all bursts of different lengths occur in different cosets, then all have unique syndromes, facilitating error correction.

Proof of Theorem[edit]

Let {\displaystyle x^{i}a(x)} and {\displaystyle x^{j}b(x)} be polynomials with degrees {\displaystyle \ell _{1}-1} and {\displaystyle \ell _{2}-1}, representing bursts of length \ell _{1} and \ell _{2} respectively with {\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}\leqslant \ell .} The integers i,j represent the starting positions of the bursts, and are less than the block length of the code. For contradiction sake, assume that {\displaystyle x^{i}a(x)} and {\displaystyle x^{j}b(x)} are in the same coset. Then, {\displaystyle v(x)=x^{i}a(x)+x^{j}b(x)} is a valid codeword (since both terms are in the same coset). Without loss of generality, pick {\displaystyle i\leqslant j}. By the division theorem we can write: {\displaystyle j-i=g(2\ell -1)+r,} for integers g and {\displaystyle r,0\leqslant r<2\ell -1}. We rewrite the polynomial v(x) as follows:

{\displaystyle v(x)=x^{i}a(x)+x^{i+g(2\ell -1)+r}=x^{i}a(x)+x^{i+g(2\ell -1)+r}+2x^{i+r}b(x)=x^{i}\left(a(x)+x^{b}b(x)\right)+x^{i+r}b(x)\left(x^{g(2\ell -1)}+1\right)}

Notice that at the second manipulation, we introduced the term {\displaystyle 2x^{i+r}b(x)}. We are allowed to do so, since Fire Codes operate on \mathbb {F} _{2}. By our assumption, v(x) is a valid codeword, and thus, must be a multiple of g(x). As mentioned earlier, since the factors of g(x) are relatively prime, v(x) has to be divisible by {\displaystyle x^{2\ell -1}+1}. Looking closely at the last expression derived for v(x) we notice that {\displaystyle x^{g(2\ell -1)}+1} is divisible by {\displaystyle x^{2\ell -1}+1} (by the corollary of Lemma 2). Therefore, {\displaystyle a(x)+x^{b}b(x)} is either divisible by {\displaystyle x^{2\ell -1}+1} or is {\displaystyle 0}. Applying the division theorem again, we see that there exists a polynomial d(x) with degree \delta such that:

{\displaystyle a(x)+x^{b}b(x)=d(x)(x^{2\ell -1}+1)}

Then we may write:

{\displaystyle {\begin{aligned}\delta +2\ell -1&=\deg \left(d(x)\left(x^{2\ell -1}+1\right)\right)\\&=\deg \left(a(x)+x^{b}b(x)\right)\\&=\deg \left(x^{b}b(x)\right)&&\deg(a(x))=\ell _{1}-1<2\ell -1\\&=b+\ell _{2}-1\end{aligned}}}

Equating the degree of both sides, gives us {\displaystyle b=2\ell -\ell _{2}+\delta .} Since {\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}\leqslant \ell } we can conclude {\displaystyle b\geqslant \ell +\delta ,} which implies {\displaystyle b>\ell -1} and {\displaystyle b>\delta }. Notice that in the expansion:

{\displaystyle a(x)+x^{b}b(x)=1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +x^{\ell _{1}-1}+x^{b}\left(1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +x^{\ell _{2}-1}\right).}

The term {\displaystyle x^{b}} appears, but since {\displaystyle \delta <b<2\ell -1}, the resulting expression {\displaystyle d(x)(x^{2\ell -1}+1)} does not contain {\displaystyle x^{b}}, therefore {\displaystyle d(x)=0} and subsequently {\displaystyle a(x)+x^{b}b(x)=0.} This requires that b=0, and {\displaystyle a(x)=b(x)}. We can further revise our division of j-i by {\displaystyle g(2\ell -1)} to reflect {\displaystyle b=0,} that is {\displaystyle j-i=g(2\ell -1)}. Substituting back into v(x) gives us,

{\displaystyle v(x)=x^{i}b(x)\left(x^{j-1}+1\right).}

Since {\displaystyle \deg(b(x))=\ell _{2}-1<\ell }, we have {\displaystyle \deg(b(x))<\deg(p(x))=m}. But p(x) is irreducible, therefore b(x) and p(x) must be relatively prime. Since v(x) is a codeword, {\displaystyle x^{j-1}+1} must be divisible by p(x), as it cannot be divisible by {\displaystyle x^{2\ell -1}+1}. Therefore, j-i must be a multiple of p. But it must also be a multiple of {\displaystyle 2\ell -1}, which implies it must be a multiple of {\displaystyle n={\text{lcm}}(2\ell -1,p)} but that is precisely the block-length of the code. Therefore, j-i cannot be a multiple of n since they are both less than n. Thus, our assumption of v(x) being a codeword is incorrect, and therefore {\displaystyle x^{i}a(x)} and {\displaystyle x^{j}b(x)} are in different cosets, with unique syndromes, and therefore correctable.

Example: 5-burst error correcting fire code[edit]

With the theory presented in the above section, consider the construction of a 5-burst error correcting Fire Code. Remember that to construct a Fire Code, we need an irreducible polynomial p(x), an integer \ell , representing the burst error correction capability of our code, and we need to satisfy the property that
{\displaystyle 2\ell -1} is not divisible by the period of p(x). With these requirements in mind, consider the irreducible polynomial {\displaystyle p(x)=1+x^{2}+x^{5}}, and let {\displaystyle \ell =5}. Since p(x) is a primitive polynomial, its period is {\displaystyle 2^{5}-1=31}. We confirm that {\displaystyle 2\ell -1=9} is not divisible by 31. Thus,

{\displaystyle g(x)=(x^{9}+1)\left(1+x^{2}+x^{5}\right)=1+x^{2}+x^{5}+x^{9}+x^{11}+x^{14}}

is a Fire Code generator. We can calculate the block-length of the code by evaluating the least common multiple of p and {\displaystyle 2\ell -1}. In other words, {\displaystyle n={\text{lcm}}(9,31)=279}. Thus, the Fire Code above is a cyclic code capable of correcting any burst of length 5 or less.

Binary Reed–Solomon codes[edit]

Certain families of codes, such as Reed–Solomon, operate on alphabet sizes larger than binary. This property awards such codes powerful burst error correction capabilities. Consider a code operating on \mathbb {F} _{2^{m}}. Each symbol of the alphabet can be represented by m bits. If C is an (n,k) Reed–Solomon code over \mathbb {F} _{2^{m}}, we can think of C as an {\displaystyle [mn,mk]_{2}} code over {\displaystyle \mathbb {F} _{2}}.

The reason such codes are powerful for burst error correction is that each symbol is represented by m bits, and in general, it is irrelevant how many of those m bits are erroneous; whether a single bit, or all of the m bits contain errors, from a decoding perspective it is still a single symbol error. In other words, since burst errors tend to occur in clusters, there is a strong possibility of several binary errors contributing to a single symbol error.

Notice that a burst of {\displaystyle (m+1)} errors can affect at most 2 symbols, and a burst of {\displaystyle 2m+1} can affect at most 3 symbols. Then, a burst of {\displaystyle tm+1} can affect at most {\displaystyle t+1} symbols; this implies that a t-symbols-error correcting code can correct a burst of length at most {\displaystyle (t-1)m+1}.

In general, a t-error correcting Reed–Solomon code over \mathbb {F} _{2^{m}} can correct any combination of

{\displaystyle {\frac {t}{1+\lfloor (l+m-2)/m\rfloor }}}

or fewer bursts of length l, on top of being able to correct t-random worst case errors.

An example of a binary RS code[edit]

Let G be a {\displaystyle [255,223,33]} RS code over \mathbb{F}_{2^8}. This code was employed by NASA in their Cassini-Huygens spacecraft.[6] It is capable of correcting {\displaystyle \lfloor 33/2\rfloor =16} symbol errors. We now construct a Binary RS Code G' from G. Each symbol will be written using {\displaystyle \lceil \log _{2}(255)\rceil =8} bits. Therefore, the Binary RS code will have {\displaystyle [2040,1784,33]_{2}} as its parameters. It is capable of correcting any single burst of length {\displaystyle l=121}.

Interleaved codes[edit]

Interleaving is used to convert convolutional codes from random error correctors to burst error correctors. The basic idea behind the use of interleaved codes is to jumble symbols at the transmitter. This leads to randomization of bursts of received errors which are closely located and we can then apply the analysis for random channel. Thus, the main function performed by the interleaver at transmitter is to alter the input symbol sequence. At the receiver, the deinterleaver will alter the received sequence to get back the original unaltered sequence at the transmitter.

Burst error correcting capacity of interleaver[edit]

Illustration of row- and column-major order

Block interleaver[edit]

The figure below shows a 4 by 3 interleaver.

An example of a block interleaver

The above interleaver is called as a block interleaver. Here, the input symbols are written sequentially in the rows and the output symbols are obtained by reading the columns sequentially. Thus, this is in the form of M \times N array. Generally, N is length of the codeword.

Capacity of block interleaver: For an M \times N block interleaver and burst of length {\displaystyle \ell ,} the upper limit on number of errors is {\displaystyle {\tfrac {\ell }{M}}.} This is obvious from the fact that we are reading the output column wise and the number of rows is M. By the theorem above for error correction capacity up to t, the maximum burst length allowed is {\displaystyle Mt.} For burst length of {\displaystyle Mt+1}, the decoder may fail.

Efficiency of block interleaver (\gamma ): It is found by taking ratio of burst length where decoder may fail to the interleaver memory. Thus, we can formulate \gamma as

{\displaystyle \gamma ={\frac {Mt+1}{MN}}\approx {\frac {t}{N}}.}

Drawbacks of block interleaver : As it is clear from the figure, the columns are read sequentially, the receiver can interpret single row only after it receives complete message and not before that. Also, the receiver requires a considerable amount of memory in order to store the received symbols and has to store the complete message. Thus, these factors give rise to two drawbacks, one is the latency and other is the storage (fairly large amount of memory). These drawbacks can be avoided by using the convolutional interleaver described below.

Convolutional interleaver[edit]

Cross interleaver is a kind of multiplexer-demultiplexer system. In this system, delay lines are used to progressively increase length. Delay line is basically an electronic circuit used to delay the signal by certain time duration. Let n be the number of delay lines and d be the number of symbols introduced by each delay line. Thus, the separation between consecutive inputs = nd symbols. Let the length of codeword {\displaystyle \leqslant n.} Thus, each symbol in the input codeword will be on distinct delay line. Let a burst error of length \ell occur. Since the separation between consecutive symbols is {\displaystyle nd,} the number of errors that the deinterleaved output may contain is {\displaystyle {\tfrac {\ell }{nd+1}}.} By the theorem above, for error correction capacity up to t, maximum burst length allowed is {\displaystyle (nd+1)(t-1).} For burst length of {\displaystyle (nd+1)(t-1)+1,} decoder may fail.

An example of a convolutional interleaver
An example of a deinterleaver

Efficiency of cross interleaver (\gamma ): It is found by taking the ratio of burst length where decoder may fail to the interleaver memory. In this case, the memory of interleaver can be calculated as

{\displaystyle (0+1+2+3+\cdots +(n-1))d={\frac {n(n-1)}{2}}d.}

Thus, we can formulate \gamma as follows:

{\displaystyle \gamma ={\frac {(nd+1)(t-1)+1}{{\frac {n(n-1)}{2}}d}}.}

Performance of cross interleaver : As shown in the above interleaver figure, the output is nothing but the diagonal symbols generated at the end of each delay line. In this case, when the input multiplexer switch completes around half switching, we can read first row at the receiver. Thus, we need to store maximum of around half message at receiver in order to read first row. This drastically brings down the storage requirement by half. Since just half message is now required to read first row, the latency is also reduced by half which is good improvement over the block interleaver. Thus, the total interleaver memory is split between transmitter and receiver.

Applications[edit]

Compact disc[edit]

Without error correcting codes, digital audio would not be technically feasible.[7] The Reed–Solomon codes can correct a corrupted symbol with a single bit error just as easily as it can correct a symbol with all bits wrong. This makes the RS codes particularly suitable for correcting burst errors.[5] By far, the most common application of RS codes is in compact discs. In addition to basic error correction provided by RS codes, protection against burst errors due to scratches on the disc is provided by a cross interleaver.[3]

Current compact disc digital audio system was developed by N. V. Philips of The Netherlands and Sony Corporation of Japan (agreement signed in 1979).

A compact disc comprises a 120 mm aluminized disc coated with a clear plastic coating, with spiral track, approximately 5 km in length, which is optically scanned by a laser of wavelength ~0.8 μm, at a constant speed of ~1.25 m/s. For achieving this constant speed, rotation of the disc is varied from ~8 rev/s while scanning at the inner portion of the track to ~3.5 rev/s at the outer portion. Pits and lands are the depressions (0.12 μm deep) and flat segments constituting the binary data along the track (0.6 μm width).[8]

The CD process can be abstracted as a sequence of the following sub-processes:

  • Channel encoding of source of signals
  • Mechanical sub-processes of preparing a master disc, producing user discs and sensing the signals embedded on user discs while playing – the channel
  • Decoding the signals sensed from user discs

The process is subject to both burst errors and random errors.[7] Burst errors include those due to disc material (defects of aluminum reflecting film, poor reflective index of transparent disc material), disc production (faults during disc forming and disc cutting etc.), disc handling (scratches – generally thin, radial and orthogonal to direction of recording) and variations in play-back mechanism. Random errors include those due to jitter of reconstructed signal wave and interference in signal. CIRC (Cross-Interleaved Reed–Solomon code) is the basis for error detection and correction in the CD process. It corrects error bursts up to 3,500 bits in sequence (2.4 mm in length as seen on CD surface) and compensates for error bursts up to 12,000 bits (8.5 mm) that may be caused by minor scratches.

Encoding: Sound-waves are sampled and converted to digital form by an A/D converter. The sound wave is sampled for amplitude (at 44.1 kHz or 44,100 pairs, one each for the left and right channels of the stereo sound). The amplitude at an instance is assigned a binary string of length 16. Thus, each sample produces two binary vectors from {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{16}} or 4 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{8}} bytes of data. Every second of sound recorded results in 44,100 × 32 = 1,411,200 bits (176,400 bytes) of data.[5] The 1.41 Mbit/s sampled data stream passes through the error correction system eventually getting converted to a stream of 1.88 Mbit/s.

Input for the encoder consists of input frames each of 24 8-bit symbols (12 16-bit samples from the A/D converter, 6 each from left and right data (sound) sources). A frame can be represented by {\displaystyle L_{1}R_{1}L_{2}R_{2}\ldots L_{6}R_{6}} where {\displaystyle L_{i}} and R_{i} are bytes from the left and right channels from the i^{th} sample of the frame.

Initially, the bytes are permuted to form new frames represented by {\displaystyle L_{1}L_{3}L_{5}R_{1}R_{3}R_{5}L_{2}L_{4}L_{6}R_{2}R_{4}R_{6}} where {\displaystyle L_{i},R_{i}}represent i-th left and right samples from the frame after 2 intervening frames.

Next, these 24 message symbols are encoded using C2 (28,24,5) Reed–Solomon code which is a shortened RS code over {\displaystyle \mathbb {F} _{256}}. This is two-error-correcting, being of minimum distance 5. This adds 4 bytes of redundancy, {\displaystyle P_{1}P_{2}} forming a new frame: {\displaystyle L_{1}L_{3}L_{5}R_{1}R_{3}R_{5}P_{1}P_{2}L_{2}L_{4}L_{6}R_{2}R_{4}R_{6}}. The resulting 28-symbol codeword is passed through a (28.4) cross interleaver leading to 28 interleaved symbols. These are then passed through C1 (32,28,5) RS code, resulting in codewords of 32 coded output symbols. Further regrouping of odd numbered symbols of a codeword with even numbered symbols of the next codeword is done to break up any short bursts that may still be present after the above 4-frame delay interleaving. Thus, for every 24 input symbols there will be 32 output symbols giving {\displaystyle R=24/32}. Finally one byte of control and display information is added.[5] Each of the 33 bytes is then converted to 17 bits through EFM (eight to fourteen modulation) and addition of 3 merge bits. Therefore, the frame of six samples results in 33 bytes × 17 bits (561 bits) to which are added 24 synchronization bits and 3 merging bits yielding a total of 588 bits.

Decoding: The CD player (CIRC decoder) receives the 32 output symbol data stream. This stream passes through the decoder D1 first. It is up to individual designers of CD systems to decide on decoding methods and optimize their product performance. Being of minimum distance 5 The D1, D2 decoders can each correct a combination of e errors and f erasures such that {\displaystyle 2e+f<5}.[5] In most decoding solutions, D1 is designed to correct single error. And in case of more than 1 error, this decoder outputs 28 erasures. The deinterleaver at the succeeding stage distributes these erasures across 28 D2 codewords. Again in most solutions, D2 is set to deal with erasures only (a simpler and less expensive solution). If more than 4 erasures were to be encountered, 24 erasures are output by D2. Thereafter, an error concealment system attempts to interpolate (from neighboring symbols) in case of uncorrectable symbols, failing which sounds corresponding to such erroneous symbols get muted.

Performance of CIRC:[7] CIRC conceals long bust errors by simple linear interpolation. 2.5 mm of track length (4000 bits) is the maximum completely correctable burst length. 7.7 mm track length (12,300 bits) is the maximum burst length that can be interpolated. Sample interpolation rate is one every 10 hours at Bit Error Rate (BER) {\displaystyle =10^{-4}} and 1000 samples per minute at BER = 10^{-3} Undetectable error samples (clicks): less than one every 750 hours at BER = 10^{-3} and negligible at BER = 10^{-4}.

See also[edit]

  • Error detection and correction
  • Error-correcting codes with feedback
  • Code rate
  • Reed–Solomon error correction

References[edit]

  1. ^ a b c d Coding Bounds for Multiple Phased-Burst Correction and Single Burst Correction Codes
  2. ^ The Theory of Information and Coding: Student Edition, by R. J. McEliece
  3. ^ a b c Ling, San, and Chaoping Xing. Coding Theory: A First Course. Cambridge, UK: Cambridge UP, 2004. Print
  4. ^ a b Moon, Todd K. Error Correction Coding: Mathematical Methods and Algorithms. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2005. Print
  5. ^ a b c d e f Lin, Shu, and Daniel J. Costello. Error Control Coding: Fundamentals and Applications. Upper Saddle River, NJ: Pearson-Prentice Hall, 2004. Print
  6. ^ quest.arc.nasa.gov https://web.archive.org/web/20120627022807/http://quest.arc.nasa.gov/saturn/qa/cassini/Error_correction.txt. Archived from the original on 2012-06-27.
  7. ^ a b c Algebraic Error Control Codes (Autumn 2012) – Handouts from Stanford University
  8. ^ McEliece, Robert J. The Theory of Information and Coding: A Mathematical Framework for Communication. Reading, MA: Addison-Wesley Pub., Advanced Book Program, 1977. Print
Источник

Для
того, чтобы код исправлял ошибки,
необходимо увеличить его минимальное
кодовое расстояние.

Пример.
Трёхразрядный код состоит из двух
допустимых комбинаций 000 и 111. В случае
одиночной ошибки для первого кодового
набора возможные кодовые наборы
001,010,100, для второго – 011,101,110. У каждого
допустимого кодового набора “свои”
недопустимые кодовые наборы. Его
минимальное кодовое расстояние dmin
равно 3.

Если
ошибка одиночная, то удается определить
её местоположение и исправить её, так
как каждая ошибка приводит к недопустимому
кодовому набору, соответствующему
только одному из допустимых кодовых
наборов.

Определение.
Код называется
кодом с исправлением ошибок, если всегда
из неправильного кодового набора можно
получить правильный кодовый набор
(например, коды Хэмминга).

Если
dmin
= 3, то любая
одиночная ошибка переводит допустимый
кодовый набор в недопустимый, находящийся
на расстоянии, равном 1, от исходного
кодового набора, и на расстоянии, равном
2, от любого другого допустимого кодового
набора. Поэтому в коде с dmin
= 3 можно
исправить любую одиночную ошибку или
обнаружить любую двойную ошибку. Если
dmin
= 4, то можно
исправить любую одиночную ошибку и
обнаружить любую двойную или обнаружить
тройную ошибку.

Основное
свойство кода – возможность обнаруживать
и выделять местоположение ошибочных
разрядов. Когда местоположение ошибки
определено, то осуществляют замену
ошибочного разряда на его дополнение.

5.2.1. Основные принципы построения кодов Хэмминга с исправлением ошибок

  1. К
    каждому набору из m
    информационных разрядов (сообщению)
    присоединяются k
    разрядов p1,
    p2,
    …pk
    проверки на чётность.

  2. Каждому
    из (m+k)
    присваивается десятичное значение
    позиции, начиная со значения 1 для
    старшего разряда и кончая значением
    (m+k)
    для младшего разряда.

  3. Производится
    k
    проверок на чётность числа единиц в
    выбранных разрядах каждого кодового
    набора. Результат каждой проверки на
    чётность записывается как 1 или 0 в
    зависимости от того, обнаружена ошибка
    или нет.

  4. По
    результатам проверок строится двоичное
    число ck
    …
    c2c1,
    равное десятичному значению, присвоенному
    местоположению ошибочного разряда,
    если произошла ошибка, и нулю при её
    отсутствии. Это число называется номером
    позиции ошибочного разряда.

Число
разрядов k
должно быть достаточно большим для
указания положения любой из (m+k)
возможных одиночных ошибок. Так как
m+k+1-количество
возможных событий, 2k
– максимальное количество кодовых
комбинаций, то k
должно удовлетворять неравенству 2k
m+k+1.

Определим
максимальное значение m
для заданного количества k.Обозначим
количество разрядов в коде n=
m+k.

Таблица 15

n

1

2…3

4…7

8…15

16…31

32…63

m

0

0…1

1…4

4…11

11…26

26…57

k

1

2…2

3…3

4…4

5…5

6…6

Определим
теперь позиции, которые необходимо
проверить в каждой из k
проверок. Если в кодовой комбинации
ошибок нет, то контрольное число двоичное
ck…
c2c1
содержит
только 0. Если в первом разряде контрольного
числа стоит 1, то в результате первой
проверки обнаружена ошибка.

Таблица 16

№ позиции

возможной
ошибки

Двоичный
эквивалент

0

00000

1

00001

2

00010

3

00011

4

00100

5

00101

6

00110

7

00111

8

01000

9

01001

Окончание
таблицы 16

№ позиции

возможной
ошибки

Двоичный
эквивалент

10

01010

11

01011

12

01100

13

01101

14

01110

15

01111

16

10000

17

10001

18

10010

…

…

Из
табл. 16 двоичных эквивалентов для номера
позиции возможной ошибки видно, что в
первую проверяемую группу разрядов
входят 1,3,5,7,9, 11,13,15, 17 и т.д., во вторую –
2,3,6,7,10,11,14,15,18 и т.д.

Таблица
17

Проверка

Проверяемые
разряды

1

1,3,5,7,9,
11,13,15, 17 …

2

2,3,6,7,10,11,14,15,18
…

3

4,5,6,7,
12,13,14, 15 …

4

8,9,10,11,
12,13,14, 15 …

…

…

Разряды,
номера которых кратны степеням 2:
1,2,4,8,16…, встречаются в каждой проверяемой
группе один раз. Удобно использовать
эти разряды в качестве контрольных, а
остальные – информационных разрядов.

Пример.
Пусть исходное сообщение 00111. Количество
информационных разрядов m=5.
Количество контрольных разрядов k=4.
Длина кода Хэмминга равна 9. Построим
код Хэмминга для исходного сообщения.

Номер
позиции

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Исходное
сообщение

0

0

1

1

1

1-я
контрольная группа

0

0

0

1

1

2-я
контрольная группа

0

0

1

1

3-я
контрольная группа

0

0

1

1

4-я
контрольная группа

1

1

Код
Хэмминга

0

0

0

0

0

1

1

1

1

Код
Хэмминга для десятичных цифр в
двоично-десятичном коде 8421 приведен в
табл. 18.

Таблица
18

Десятичная
цифра

p1

p2

m1

p3

m2

m3

m4

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

2

0

1

0

1

0

1

0

3

1

0

0

0

0

1

1

4

1

0

0

1

1

0

0

5

0

1

0

0

1

0

1

6

1

1

0

0

1

1

0

7

0

0

0

1

1

1

1

8

1

1

1

0

0

0

0

9

0

0

1

1

0

0

1

Рассмотрим
способ выявления положения ошибки и её
исправления.

Пример.
Пусть передана последовательность
1000011. Из-за ошибки в третьем разряде
принято сообщение 1010011. Положение ошибки
можно определить, выполняя 3 проверки
на четность.

Номер
позиции

1

2

3

4

5

6

7

ci

Сообщение

1

0

1

0

0

1

1

1-я
проверка на четность

1

1

0

1

1

2-я
проверка на четность

0

1

1

1

1

3-я
проверка на четность

0

0

1

1

0

Исправленное
сообщение

1

0

0

0

0

1

1

Полученный
номер позиции c3c2c1=
011, т.е. ошибка в третьем разряде.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Корректирующие коды на пальцах

12 Jul 2019

Корректирующие (или помехоустойчивые) коды — это коды, которые могут обнаружить и, если повезёт, исправить ошибки, возникшие при передаче данных. Даже если вы ничего не слышали о них, то наверняка встречали аббревиатуру CRC в списке файлов в ZIP-архиве или даже надпись ECC на планке памяти. А кто-то, может быть, задумывался, как так получается, что если поцарапать DVD-диск, то данные всё равно считываются без ошибок. Конечно, если царапина не в сантиметр толщиной и не разрезала диск пополам. Как нетрудно догадаться, ко всему этому причастны корректирующие коды. Собственно, ECC так и расшифровывается — «error-correcting code», то есть «код, исправляющий ошибки». А CRC — это один из алгоритмов, обнаруживающих ошибки в данных. Исправить он их не может, но часто это и не требуется. Давайте выясним, что это такое. Первую версию этой статьи я написал для «Хабра». Привожу её здесь с минимальными изменениями.

Для понимания статьи не нужны никакие специальные знания. Достаточно лишь понимать, что такое вектор и матрица, как они перемножаются и как с их помощью записать систему линейных уравнений. Я постарался всё объяснить, но без карандаша и бумаги текст может показаться немного запутанным.

Каналы с ошибкой

Разберёмся сперва, откуда вообще берутся ошибки, которые мы собираемся исправлять. Перед нами стоит следующая задача. Нужно передать несколько блоков данных, каждый из которых кодируется цепочкой двоичных цифр. Получившаяся последовательность нулей и единиц передаётся через канал связи. Но так сложилось, что реальные каналы связи часто подвержены ошибкам. Вообще говоря, ошибки могут быть разных видов — может появиться лишняя цифра или какая-то пропасть. Но мы будем рассматривать только ситуации, когда в канале возможны лишь замены нуля на единицу и наоборот. Причём опять же для простоты будем считать такие замены равновероятными.

Ошибка — это маловероятное событие (а иначе зачем нам такой канал вообще, где одни ошибки?), а значит, вероятность двух ошибок меньше, а трёх уже совсем мала. Мы можем выбрать для себя некоторую приемлемую величину вероятности, очертив границу «это уж точно невозможно». Это позволит нам сказать, что в канале возможно не более, чем \(k\) ошибок. Это будет характеристикой канала связи.

Для простоты введём следующие обозначения. Пусть данные, которые мы хотим передавать, — это двоичные последовательности фиксированной длины. Чтобы не запутаться в нулях и единицах, будем иногда обозначать их заглавными латинскими буквами (\(A\), \(B\), \(C\), …). Что именно передавать, в общем-то неважно, просто с буквами в первое время будет проще работать.

Кодирование и декодирование будем обозначать прямой стрелкой (\(\rightarrow\)), а передачу по каналу связи — волнистой стрелкой (\(\rightsquigarrow\)). Ошибки при передаче будем подчёркивать.

Например, пусть мы хотим передавать только сообщения \(A=0\) и \(B=1\). В простейшем случае их можно закодировать нулём и единицей (сюрприз!):

\[\begin{aligned}
A &\to 0,\\
B &\to 1.
\end{aligned}\]

Передача по каналу, в котором возникла ошибка будет записана так:

\[A \to 0 \rightsquigarrow \underline{1} \to B.\]

Цепочки нулей и единиц, которыми мы кодируем буквы, будем называть кодовыми словами. В данном простом случае кодовые слова — это \(0\) и \(1\).

Код с утроением

Давайте попробуем построить какой-то корректирующий код. Что мы обычно делаем, когда кто-то нас не расслышал? Повторяем дважды:

\[\begin{aligned}
A &\to 00,\\
B &\to 11.
\end{aligned}\]

Правда, это нам не очень поможет. В самом деле, рассмотрим канал с одной возможной ошибкой:

\[A \to 00 \rightsquigarrow 0\underline{1} \to ?.\]

Какие выводы мы можем сделать, когда получили \(01\)? Понятно, что раз у нас не две одинаковые цифры, то была ошибка, но вот в каком разряде? Может, в первом, и была передана буква \(B\). А может, во втором, и была передана \(A\).

То есть, получившийся код обнаруживает, но не исправляет ошибки. Ну, тоже неплохо, в общем-то. Но мы пойдём дальше и будем теперь утраивать цифры.

\[\begin{aligned}
A &\to 000,\\
B &\to 111.
\end{aligned}\]

Проверим в деле:

\[A \to 000 \rightsquigarrow 0\underline{1}0 \to A?.\]

Получили \(010\). Тут у нас есть две возможности: либо это \(B\) и было две ошибки (в крайних цифрах), либо это \(A\) и была одна ошибка. Вообще, вероятность одной ошибки выше вероятности двух ошибок, так что самым правдоподобным будет предположение о том, что передавалась именно буква \(A\). Хотя правдоподобное — не значит истинное, поэтому рядом и стоит вопросительный знак.

Если в канале связи возможна максимум одна ошибка, то первое предположение о двух ошибках становится невозможным и остаётся только один вариант — передавалась буква \(A\).

Про такой код говорят, что он исправляет одну ошибку. Две он тоже обнаружит, но исправит уже неверно.

Это, конечно, самый простой код. Кодировать легко, да и декодировать тоже. Ноликов больше — значит передавался ноль, единичек — значит единица.

Если немного подумать, то можно предложить код исправляющий две ошибки. Это будет код, в котором мы повторяем одиночный бит 5 раз.

Расстояния между кодами

Рассмотрим поподробнее код с утроением. Итак, мы получили работающий код, который исправляет одиночную ошибку. Но за всё хорошее надо платить: он кодирует один бит тремя. Не очень-то и эффективно.

И вообще, почему этот код работает? Почему нужно именно утраивать для устранения одной ошибки? Наверняка это всё неспроста.

Давайте подумаем, как этот код работает. Интуитивно всё понятно. Нолики и единички — это две непохожие последовательности. Так как они достаточно длинные, то одиночная ошибка не сильно портит их вид.

Пусть мы передавали \(000\), а получили \(001\). Видно, что эта цепочка больше похожа на исходные \(000\), чем на \(111\). А так как других кодовых слов у нас нет, то и выбор очевиден.

Но что значит «больше похоже»? А всё просто! Чем больше символов у двух цепочек совпадает, тем больше их схожесть. Если почти все символы отличаются, то цепочки «далеки» друг от друга.

Можно ввести некоторую величину \(d(\alpha, \beta)\), равную количеству различающихся цифр в соответствующих разрядах цепочек \(\alpha\) и \(\beta\). Эту величину называют расстоянием Хэмминга. Чем больше это расстояние, тем меньше похожи две цепочки.

Например, \(d(010, 010) = 0\), так как все цифры в соответствующих позициях равны, а вот \(d(010101, 011011) = 3\).

Расстояние Хэмминга называют расстоянием неспроста. Ведь в самом деле, что такое расстояние? Это какая-то характеристика, указывающая на близость двух точек, и для которой верны утверждения:

  1. Расстояние между точками неотрицательно и равно нулю только, если точки совпадают.
  2. Расстояние в обе стороны одинаково.
  3. Путь через третью точку не короче, чем прямой путь.

Достаточно разумные требования.

Математически это можно записать так (нам это не пригодится, просто ради интереса посмотрим):

  1. \[d(x, y) \geqslant 0,\quad d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y;\]
  2. \[d(x, y) = d(y, x);\]
  3. \(d(x, z) + d(z, y) \geqslant d(x, y)\).

Предлагаю читателю самому убедиться, что для расстояния Хэмминга эти свойства выполняются.

Окрестности

Таким образом, разные цепочки мы считаем точками в каком-то воображаемом пространстве, и теперь мы умеем находить расстояния между ними. Правда, если попытаться сколько нибудь длинные цепочки расставить на листе бумаги так, чтобы расстояния Хэмминга совпадали с расстояниями на плоскости, мы можем потерпеть неудачу. Но не нужно переживать. Всё же это особое пространство со своими законами. А слова вроде «расстояния» лишь помогают нам рассуждать.

Пойдём дальше. Раз мы заговорили о расстоянии, то можно ввести такое понятие как окрестность. Как известно, окрестность какой-то точки — это шар определённого радиуса с центром в ней. Шар? Какие ещё шары! Мы же о кодах говорим.

Но всё просто. Ведь что такое шар? Это множество всех точек, которые находятся от данной не дальше, чем некоторое расстояние, называемое радиусом. Точки у нас есть, расстояние у нас есть, теперь есть и шары.

Так, скажем, окрестность кодового слова \(000\) радиуса 1 — это все коды, находящиеся на расстоянии не больше, чем 1 от него, то есть отличающиеся не больше, чем в одном разряде. То есть это коды:

\[\{000, 100, 010, 001\}.\]

Да, вот так странно выглядят шары в пространстве кодов.

А теперь посмотрите. Это же все возможные коды, которые мы получим в канале в одной ошибкой, если отправим \(000\)! Это следует прямо из определения окрестности. Ведь каждая ошибка заставляет цепочку измениться только в одном разряде, а значит удаляет её на расстояние 1 от исходного сообщения.

Аналогично, если в канале возможны две ошибки, то отправив некоторое сообщение \(x\), мы получим один из кодов, который принадлежит окрестности \(x\) радиусом 2.

Тогда всю нашу систему декодирования можно построить так. Мы получаем какую-то цепочку нулей и единиц (точку в нашей новой терминологии) и смотрим, в окрестность какого кодового слова она попадает.

Сколько ошибок может исправить код?

Чтобы код мог исправлять больше ошибок, окрестности должны быть как можно шире. С другой стороны, они не должны пересекаться. Иначе если точка попадёт в область пересечения, непонятно будет, к какой окрестности её отнести.

В коде с удвоением между кодовыми словами \(00\) и \(11\) расстояние равно 2 (оба разряда различаются). А значит, если мы построим вокруг них шары радиуса 1, то они будут касаться. Это значит, точка касания будет принадлежать обоим шарам и непонятно будет, к какому из них её отнести.

Шары с центрами 00 и 11

Именно это мы и получали. Мы видели, что есть ошибка, но не могли её исправить.

Что интересно, точек касания в нашем странном пространстве у шаров две — это коды \(01\) и \(10\). Расстояния от них до центров равны единице. Конечно же, в обычно геометрии такое невозможно, поэтому рисунки — это просто условность для более удобного рассуждения.

В случае кода с утроением, между шарами будет зазор.

Шары с центрами 000 и 111

Минимальный зазор между шарами равен 1, так как у нас расстояния всегда целые (ну не могут же две цепочки отличаться в полутора разрядах).

В общем случае получаем следующее.

Шары с центрами x и y

Этот очевидный результат на самом деле очень важен. Он означает, что код с минимальным кодовым расстоянием \(d_{\min}\) будет успешно работать в канале с \(k\) ошибками, если выполняется соотношение

\[d_{\min} \geqslant 2k+1.\]

Полученное равенство позволяет легко определить, сколько ошибок будет исправлять тот или иной код. А сколько код ошибок может обнаружить? Рассуждения такие же. Код обнаруживает \(k\) ошибок, если в результате не получится другое кодовое слово. То есть, кодовые слова не должны находиться в окрестностях радиуса \(k\) других кодовых слов. Математически это записывается так:
\(d_{\min}\geqslant k + 1.\)

Рассмотрим пример. Пусть мы кодируем 4 буквы следующим образом.

\[\begin{aligned}
A \to 10100,\\
B \to 01000,\\
C \to 00111,\\
D \to 11011.\\
\end{aligned}\]

Чтобы найти минимальное расстояние между различными кодовыми словами, построим таблицу попарных расстояний.

  A B C D
A — 3 3 4
B 3 — 4 3
C 3 4 — 3
D 4 3 3 —

Минимальное расстояние \(d_{\min}=3\), а значит \(3\geqslant2k+1\), откуда получаем, что такой код может исправить до \(k=1\) ошибок. Обнаруживает же он две ошибки.

Рассмотрим пример:

\[A \to 10100 \rightsquigarrow 101\underline{1}0.\]

Чтобы декодировать полученное сообщение, посмотрим, к какому символу оно ближе всего.

\[\begin{aligned}
A:\, d(10110, 10100) &= 1,\\
B:\, d(10110, 01000) &= 4,\\
C:\, d(10110, 00111) &= 2,\\
D:\, d(10110, 11011) &= 3.
\end{aligned}\]

Минимальное расстояние получилось для символа \(A\), значит вероятнее всего передавался именно он:

\[A \to 10100 \rightsquigarrow 101\underline{1}0 \to A?.\]

Итак, этот код исправляет одну ошибку, как и код с утроением. Но он более эффективен, так как в отличие от кода с утроением здесь кодируется уже 4 символа.

Таким образом, основная проблема при построении такого рода кодов — так расположить кодовые слова, чтобы они были как можно дальше друг от друга, и их было побольше.

Для декодирования можно было бы использовать таблицу, в которой указывались бы все возможные принимаемые сообщения, и кодовые слова, которым они соответствуют. Но такая таблица получилась бы очень большой. Даже для нашего маленького кода, который выдаёт 5 двоичных цифр, получилось бы \(2^5 = 32\) варианта возможных принимаемых сообщений. Для более сложных кодов таблица будет значительно больше.

Попробуем придумать способ коррекции сообщения без таблиц. Мы всегда сможем найти полезное применение освободившейся памяти.

Интерлюдия: поле GF(2)

Для изложения дальнейшего материала нам потребуются матрицы. А при умножении матриц, как известно мы складываем и перемножаем числа. И тут есть проблема. Если с умножением всё более-менее хорошо, то как быть со сложением? Из-за того, что мы работаем только с одиночными двоичными цифрами, непонятно, как сложить 1 и 1, чтобы снова получилась одна двоичная цифра. Значит вместо классического сложения нужно использовать какое-то другое.

Введём операцию сложения как сложение по модулю 2 (хорошо известный программистам XOR):

\[\begin{aligned}
0 + 0 &= 0,\\
0 + 1 &= 1,\\
1 + 0 &= 1,\\
1 + 1 &= 0.
\end{aligned}\]

Умножение будем выполнять как обычно. Эти операции на самом деле введены не абы как, а чтобы получилась система, которая в математике называется полем. Поле — это просто множество (в нашем случае из 0 и 1), на котором так определены сложение и умножение, чтобы основные алгебраические законы сохранялись. Например, чтобы основные идеи, касающиеся матриц и систем уравнений по-прежнему были верны. А вычитание и деление мы можем ввести как обратные операции.

Множество из двух элементов \(\{0, 1\}\) с операциями, введёнными так, как мы это сделали, называется полем Галуа GF(2). GF — это Galois field, а 2 — количество элементов.

У сложения есть несколько очень полезных свойств, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.

\[x + x = 0.\]

Это свойство прямо следует из определения.

\[x + y = x — y.\]

А в этом можно убедиться, прибавив \(y\) к обеим частям равенства. Это свойство, в частности означает, что мы можем переносить в уравнении слагаемые в другую сторону без смены знака.

Проверяем корректность

Вернёмся к коду с утроением.

\[\begin{aligned}
A &\to 000,\\
B &\to 111.
\end{aligned}\]

Для начала просто решим задачу проверки, были ли вообще ошибки при передаче. Как видно, из самого кода, принятое сообщение будет кодовым словом только тогда, когда все три цифры равны между собой.

Пусть мы приняли вектор-строку \(x\) из трёх цифр. (Стрелочки над векторами рисовать не будем, так как у нас почти всё — это вектора или матрицы.)

\[\dots \rightsquigarrow x = (x_1, x_2, x_3).\]

Математически равенство всех трёх цифр можно записать как систему:

\[\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= x_2,\\
x_2 &= x_3.
\end{aligned}
\right.\]

Или, если воспользоваться свойствами сложения в GF(2), получаем

\[\left\{
\begin{aligned}
x_1 + x_2 &= 0,\\
x_2 + x_3 &= 0.
\end{aligned}
\right.\]

Или

\[\left\{
\begin{aligned}
1\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 &= 0,\\
0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 1\cdot x_3 &= 0.
\end{aligned}
\right.\]

В матричном виде эта система будет иметь вид

\[Hx^T = 0,\]

где

\[H =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}.\]

Транспонирование здесь нужно потому, что \(x\) — это вектор-строка, а не вектор-столбец. Иначе мы не могли бы умножать его справа на матрицу.

Будем называть матрицу \(H\) проверочной матрицей. Если полученное сообщение — это корректное кодовое слово (то есть, ошибки при передаче не было), то произведение проверочной матрицы на это сообщение будет равно нулевому вектору.

Умножение на матрицу — это гораздо более эффективно, чем поиск в таблице, но у нас на самом деле есть ещё одна таблица — это таблица кодирования. Попробуем от неё избавиться.

Кодирование

Итак, у нас есть система для проверки

\[\left\{
\begin{aligned}
x_1 + x_2 &= 0,\\
x_2 + x_3 &= 0.
\end{aligned}
\right.\]

Её решения — это кодовые слова. Собственно, мы систему и строили на основе кодовых слов. Попробуем теперь решить обратную задачу. По системе (или, что то же самое, по матрице \(H\)) найдём кодовые слова.

Правда, для нашей системы мы уже знаем ответ, поэтому, чтобы было интересно, возьмём другую матрицу:

\[H =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}.\]

Соответствующая система имеет вид:

\[\left\{
\begin{aligned}
x_1 + x_3 &= 0,\\
x_2 + x_3 + x_5 &= 0,\\
x_4 + x_5 &= 0.
\end{aligned}
\right.\]

Чтобы найти кодовые слова соответствующего кода нужно её решить.

В силу линейности сумма двух решений системы тоже будет решением системы. Это легко доказать. Если \(a\) и \(b\) — решения системы, то для их суммы верно

\[H(a+b)^T=Ha^T+Hb^T=0+0=0,\]

что означает, что она тоже — решение.

Поэтому если мы найдём все линейно независимые решения, то с их помощью можно получить вообще все решения системы. Для этого просто нужно найти их всевозможные суммы.

Выразим сперва все зависимые слагаемые. Их столько же, сколько и уравнений. Выражать надо так, чтобы справа были только независимые. Проще всего выразить \(x_1, x_2, x_4\).

Если бы нам не так повезло с системой, то нужно было бы складывая уравнения между собой получить такую систему, чтобы какие-то три переменные встречались по одному разу. Ну, или воспользоваться методом Гаусса. Для GF(2) он тоже работает.

Итак, получаем:

\[\left\{
\begin{aligned}
x_1 &= x_3,\\
x_2 &= x_3 + x_5,\\
x_4 &= x_5.
\end{aligned}
\right.\]

Чтобы получить все линейно независимые решения, приравниваем каждую из зависимых переменных к единице по очереди.

\[\begin{aligned}
x_3=1, x_5=0:\quad x_1=1, x_2=1, x_4=0 \Rightarrow x^{(1)} = (1, 1, 1, 0, 0),\\
x_3=0, x_5=1:\quad x_1=0, x_2=1, x_4=1 \Rightarrow x^{(2)} = (0, 1, 0, 1, 1).
\end{aligned}\]

Всевозможные суммы этих независимых решений (а именно они и будут кодовыми векторами) можно получить так:

\[a_1 x^{(1)}+a_2 x^{(2)},\]

где \(a_1, a_2\) равны либо нулю или единице. Так как таких коэффициентов два, то всего возможно \(2^2=4\) сочетания.

Но посмотрите! Формула, которую мы только что получили — это же снова умножение матрицы на вектор.

\[(a_1, a_2)\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
= aG.\]

Строчки здесь — линейно независимые решения, которые мы получили. Матрица \(G\) называется порождающей. Теперь вместо того, чтобы сами составлять таблицу кодирования, мы можем получать кодовые слова простым умножением на матрицу:

\[a \to aG.\]

Найдём кодовые слова для этого кода. (Не забываем, что длина исходных сообщений должна быть равна 2 — это количество найденных решений.)

\[\begin{aligned}
00 &\to 00000,\\
01 &\to 01011,\\
10 &\to 11100,\\
11 &\to 10111.
\end{aligned}\]

Итак, у нас есть готовый код, обнаруживающий ошибки. Проверим его в деле. Пусть мы хотим отправить 01 и у нас произошла ошибка при передаче. Обнаружит ли её код?

\[a=01 \to aG=01011 \rightsquigarrow x=01\underline{1}11 \to Hx^T = (110)^T \neq 0.\]

А раз в результате не нулевой вектор, значит код заподозрил неладное. Провести его не удалось. Ура, код работает!

Для кода с утроением, кстати, порождающая матрица выглядит очень просто:

\[G=\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}.\]

Подобные коды, которые можно порождать и проверять матрицей, называются линейными (бывают и нелинейные), и они очень широко применяются на практике. Реализовать их довольно легко, так как тут требуется только умножение на константную матрицу.

Ошибка по синдрому

Ну хорошо, мы построили код обнаруживающий ошибки. Но мы же хотим их исправлять!

Для начала введём такое понятие, как вектор ошибки. Это вектор, на который отличается принятое сообщение от кодового слова. Пусть мы получили сообщение \(x\), а было отправлено кодовое слово \(v\). Тогда вектор ошибки по определению

\[e = x — v.\]

Но в странном мире GF(2), где сложение и вычитание одинаковы, будут верны и соотношения:

\[\begin{aligned}
v &= x + e,\\
x &= v + e.
\end{aligned}\]

В силу особенностей сложения, как читатель сам может легко убедиться, в векторе ошибки на позициях, где произошла ошибка будет единица, а на остальных ноль.

Как мы уже говорили раньше, если мы получили сообщение \(x\) с ошибкой, то \(Hx^T\neq 0\). Но ведь векторов, не равных нулю много! Быть может то, какой именно ненулевой вектор мы получили, подскажет нам характер ошибки?

Назовём результат умножения на проверочную матрицу синдромом:

\[s(x)=Hx^T.\]

И заметим следующее

\[s(x) = Hx^T = H(v+e)^T = He^T = s(e).\]

Это означает, что для ошибки синдром будет таким же, как и для полученного сообщения.

Разложим все возможные сообщения, которые мы можем получить из канала связи, по кучкам в зависимости от синдрома. Тогда из последнего соотношения следует, что в каждой кучке будут вектора с одной и той же ошибкой. Причём вектор этой ошибки тоже будет в кучке. Вот только как его узнать?

А очень просто! Помните, мы говорили, что у нескольких ошибок вероятность ниже, чем у одной ошибки? Руководствуясь этим соображением, наиболее правдоподобным будет считать вектором ошибки тот вектор, у которого меньше всего единиц. Будем называть его лидером.

Давайте посмотрим, какие синдромы дают всевозможные 5-элементные векторы. Сразу сгруппируем их и подчеркнём лидеров — векторы с наименьшим числом единиц.

\(s(x)\) \(x\)
\(000\) \(\underline{00000}, 11100, 01011, 10111\)
\(001\) \(\underline{00010}, 11110, 01001, 10101\)
\(010\) \(\underline{01000}, 10100, 00011, 11111\)
\(011\) \(01010, 10110, \underline{00001}, 11101\)
\(100\) \(\underline{10000}, 01100, 11011, 00111\)
\(101\) \(\underline{10010}, 01110, 11001, \underline{00101}\)
\(110\) \(11000, \underline{00100}, 10011, 01111\)
\(111\) \(11010, \underline{00110}, \underline{10001}, 01101\)

В принципе, для корректирования ошибки достаточно было бы хранить таблицу соответствия синдрома лидеру.

Обратите внимание, что в некоторых строчках два лидера. Это значит для для данного синдрома два паттерна ошибки равновероятны. Иными словами, код обнаружил две ошибки, но исправить их не может.

Лидеры для всех возможных одиночных ошибок находятся в отдельных строках, а значит код может исправить любую одиночную ошибку. Ну, что же… Попробуем в этом убедиться.

\[a=01 \to aG=01011 \rightsquigarrow x=01\underline{1}11 \to s(x)=Hx^T = (110)^T \to e=(00100).\]

Вектор ошибки равен \((00100)\), а значит ошибка в третьем разряде. Как мы и загадали.

Ура, всё работает!

Что же дальше?

Чтобы попрактиковаться, попробуйте повторить рассуждения для разных проверочных матриц. Например, для кода с утроением.

Логическим продолжением изложенного был бы рассказ о циклических кодах — чрезвычайно интересном подклассе линейных кодов, обладающим замечательными свойствами. Но тогда, боюсь, статья уж очень бы разрослась.

Если вас заинтересовали подробности, то можете почитать замечательную книжку Аршинова и Садовского «Коды и математика». Там изложено гораздо больше, чем представлено в этой статье. Если интересует математика кодирования — то поищите «Теория и практика кодов, контролирующих ошибки» Блейхута. А вообще, материалов по этой теме довольно много.

Также у Александра Шеня есть замечательные видеолекции о помехоустойчивом кодировании.
Всячески рекомендую!

Источник

7.1. Классификация корректирующих кодов

7.2. Принципы помехоустойчивого кодирования

7.3. Систематические коды

7.4. Код с четным числом единиц. Инверсионный код

7.5. Коды Хэмминга

7.6. Циклические коды

7.7. Коды с постоянным весом

7.8. Непрерывные коды

7.1. Классификация корректирующих кодов

В каналах с помехами эффективным средством повышения достоверности передачи сообщений является помехоустойчивое кодирование. Оно основано на применении специальных кодов, которые корректируют ошибки, вызванные действием помех. Код называется корректирующим, если он позволяет обнаруживать или обнаруживать и исправлять ошибки при приеме сообщений. Код, посредством которого только обнаруживаются ошибки, носит название обнаруживающего кода. Исправление ошибки при таком кодировании обычно производится путем повторения искаженных сообщений. Запрос о повторении передается по каналу обратной связи. Код, исправляющий обнаруженные ошибки, называется исправляющим, кодом. В этом случае фиксируется не только сам факт наличия ошибок, но и устанавливается, какие кодовые символы приняты ошибочно, что позволяет их исправить без повторной передачи. Известны также коды, в которых исправляется только часть обнаруженных ошибок, а остальные ошибочные комбинации передаются повторно.

Для того чтобы «од обладал корректирующими способностями, в кодовой последовательности должны содержаться дополнительные (избыточные) символы, предназначенные для корректирования ошибок. Чем больше избыточность кода, тем выше его корректирующая способность.

Помехоустойчивые коды могут быть построены с любым основанием. Ниже рассматриваются только двоичные коды, теория которых разработана наиболее полно.

В настоящее время известно большое количество корректирующих кодов, отличающихся как принципами построения, так и основными характеристиками. Рассмотрим их простейшую классификацию, дающую представление об основных группах, к которым принадлежит большая часть известных кодов [12]. На рис. 7.1 показана схема, поясняющая классификацию, проведенную по способам построения корректирующих кодов.

Все известные в настоящее время коды могут быть разделены

на две большие группы: блочные и непрерывные. Блочные коды характеризуются тем, что последовательность передаваемых символов разделена на блоки операции кодирования и декодирования в каждом блоке производятся отдельно. Отличительной особенностью непрерывных кодов является то, что первичная последовательность символов, несущих информацию, непрерывно преобразуется по определенному закону в другую последовательность, содержащую избыточное число символов. Здесь процессы кодирования и декодирования не требуют деления кодовых символов на блоки.

Рис. 7.1. Классификация корректирующих кодов

Разновидностями как блочных, так и непрерывных кодов являются разделимые и неразделимые коды. В разделимых кодах всегда можно выделить информационные символы, содержащие передаваемую информацию, и контрольные (проверочные) символы, которые являются избыточными и служат ‘исключительно для коррекции ошибок. В неразделимых кодах такое разделение символов провести невозможно.

Наиболее многочисленный класс разделимых кодов составляют линейные коды. Основная их особенность состоит в том, что контрольные символы образуются как линейные комбинации информационных символов.

В свою очередь, линейные коды могут быть |разбиты на два подкласса: систематические и несистематические. Все двоичные систематические коды являются групповыми. Последние характеризуются принадлежностью кодовых комбинаций к группе, обладающей тем свойством, что сумма по модулю два любой пары комбинаций снова дает комбинацию, принадлежащую этой группе. Линейные коды, которые не могут быть отнесены к подклассу систематических, называются несистематическими. Вертикальными прямоугольниками на схеме рис. 7.1 представлены некоторые конкретные коды, описанные в последующих параграфах.

7.2. Принципы помехоустойчивого кодирования

В теории помехоустойчивого кодирования важным является  вопрос об использовании  избыточности для корректирования возникающих при  передаче ошибок. Здесь   удобно   рассмотреть блочные моды, в которых всегда имеется возможность выделить отдельные кодовые комбинации. Напомним, что для равномерных кодов, которые в дальнейшем только и будут изучаться, число возможных комбинаций равно M=2n, где п — значность кода. В обычном некорректирующем коде без избыточности, например в коде Бодо, число комбинаций М выбирается равным числу сообщений алфавита источника М0и все комбинации используются для передачи информации. Корректирующие коды строятся так, чтобы число комбинаций М превышало число сообщений источника М0. Однако в.этом случае лишь М0комбинаций из общего числа  используется для передачи  информации.  Эти  комбинации называются разрешенными, а остальные М—М0комбинаций носят название запрещенных. На приемном конце в декодирующем устройстве известно, какие комбинации являются разрешенными и какие запрещенными. Поэтому если переданная разрешенная комбинация в результате ошибки преобразуется в некоторую запрещенную комбинацию, то такая ошибка будет обнаружена, а при определенных условиях исправлена. Естественно, что ошибки, приводящие к образованию другой разрешенной комбинации, не обнаруживаются.

Различие между комбинациями равномерного кода принято характеризовать расстоянием, равным числу символов, которыми отличаются комбинации одна от другой. Расстояние d между двумя комбинациями  и  определяется количеством единиц в сумме этих комбинаций по модулю два. Например,

Для любого кода d. Минимальное расстояние между разрешенными комбинациями ,в данном коде называется кодовым расстоянием d.

Расстояние между комбинациями  и  условно обозначено на рис. 7.2а, где показаны промежуточные комбинации, отличающиеся друг от друга одним символом. B общем случае некоторая пара разрешенных комбинаций  и , разделенных кодовым расстоянием d, изображается на прямой рис. 7.2б, где точками указаны запрещенные комбинации. Для того чтобы в результате ошибки комбинация  преобразовалась в другую разрешенную комбинацию , должно исказиться d символов.

Рис. 7.2.  Геометрическое представление разрешенных и запрещенных кодовых комбинаций

При искажении меньшего числа символов комбинация  перейдет в запрещенную комбинацию и ошибка будет обнаружена. Отсюда следует, что ошибка всегда обнаруживается, если ее кратность, т. е. число искаженных символов в кодовой комбинации,

                                                                                                              (7.1)

Если g>d, то некоторые ошибки также обнаруживаются. Однако полной гарантии обнаружения ошибок здесь нет, так как ошибочная комбинация ib этом случае может совпасть с какой-либо разрешенной комбинацией. Минимальное кодовое расстояние, при котором обнаруживаются любые одиночные ошибки, d=2.

Процедура исправления ошибок в процессе декодирования сводится к определению переданной комбинации по известной принятой. Расстояние между переданной разрешенной комбинацией и принятой запрещенной комбинацией d0 равно кратности ошибок g. Если ошибки в символах комбинации происходят независимо относительно друг друга, то вероятность искажения некоторых g символов в n-значной комбинации будет равна:

                                                                                                         (7.2)

где — вероятность искажения одного символа. Так как обычно <<1, то вероятность многократных ошибок уменьшается с увеличением их кратности, при этом более вероятны меньшие расстояния d0. В этих условиях исправление ошибок может производиться по следующему правилу. Если принята запрещенная комбинация, то считается переданной ближайшая разрешенная комбинация. Например, пусть образовалась запрещенная комбинация  (см.рис.7.2б), тогда принимается решение, что была передана комбинация . Это .правило декодирования для указанного распределения ошибок является оптимальным, так как оно обеспечивает исправление максимального числа ошибок. Напомним, что аналогичное правило используется в теории потенциальной помехоустойчивости при оптимальном приеме дискретных сигналов, когда решение сводится к выбору того переданного сигнала, который ib наименьшей степени отличается от принятого. Нетрудно определить, что при таком правиле декодирования будут исправлены все ошибки кратности

                                                                                                             (7.3)

Минимальное значение d, при котором еще возможно исправление любых одиночных ошибок, равно 3.

Возможно также построение таких кодов, в которых часть ошибок исправляется, а часть только обнаруживается. Так, в соответствии с рис. 7.2в ошибки кратности  исправляются, а ошибки, кратность которых лежит в пределах только обнаруживаются. Что касается ошибок, кратность которых сосредоточена в пределах , то они обнаруживаются, однако при их исправлении принимается ошибочное решение — считается переданной комбинация А вместо Aили наоборот.

Существуют двоичные системы связи, в которых решающее устройство выдает, кроме обычных символов 0 и 1, еще так называемый символ стирания . Этот символ соответствует приему сомнительных сигналов, когда затруднительно принять определенное решение в отношении того, какой из символов 0 или 1 был передан. Принятый символ в этом случае стирается. Однако при использовании корректирующего кода возможно восстановление стертых символов. Если в кодовой комбинации число символов  оказалось равным gc, причем

                                                                                                            (7.4)

а остальные символы приняты без ошибок, то такая комбинация полностью восстанавливается. Действительно, для восстановления всех символов  необходимо перебрать всевозможные сочетания из gc символов типа 0 и 1. Естественно, что все эти сочетания, за исключением одного, будут неверными. Но так как в неправильных сочетаниях кратность ошибок , то согласно неравенству (7.1) такие ошибки обнаруживаются. Другими словами, в этом случае неправильно восстановленные сочетания из gc символов совместно с правильно принятыми символами образуют запрещенные комбинации и только одно- сочетание стертых символов даст разрешенную комбинацию, которую и следует считать как правильно восстановленную.

Если , то при восстановлении окажется несколько разрешенных комбинаций, что не позволит принять однозначное решение.

Таким образом, при фиксированном кодовом расстоянии максимально возможная кратность корректируемых ошибок достигается в кодах, которые обнаруживают ошибки или .восстанавливают стертые символы. Исправление ошибок представляет собой более трудную задачу, практическое решение которой сопряжено с усложнением кодирующих и декодирующих устройств. Поэтому исправляющие «оды обычно используются для корректирования ошибок малой кратности.

Корректирующая способность кода возрастает с увеличением d. При фиксированном числе разрешенных комбинаций Мувеличение d возможно лишь за счет роста количества запрещенных комбинаций:

                                                                                                  (7.5)

что, в свою очередь, требует избыточного числа символов r=n—k, где k — количество символов в комбинации кода без избыточности. Можно ввести понятие избыточности кода и количественно определить ее по аналогии с (6.12) как

                                                                                          (7.6)

При независимых ошибках вероятность определенного сочетания g ошибочных символов в n-значной кодовой комбинации выражается ф-лой ((7.2), а количество всевозможных сочетаний g ошибочных символов в комбинации зависит от ее длины и определяется известной формулой числа сочетаний

Отсюда полная вероятность ошибки кратности g, учитывающая все сочетания ошибочных символов, равняется:

                                                                                              (7.7)

Используя (7.7), можно записать формулы, определяющие вероятность отсутствия ошибок в кодовой комбинации, т. е. вероятность правильного приема

и вероятность правильного корректирования ошибок

Здесь суммирование ‘Производится по всем значениям кратности ошибок g, которые обнаруживаются и исправляются. Таким образом, вероятность некорректируемых ошибок равна:

                                                  (7.8)

Анализ ф-лы (7.8) показывает, что при малой величине Р0и сравнительно небольших значениях п наиболее вероятны ошибки малой кратности, которые и необходимо корректировать в первую очередь.

Вероятность Р, избыточность  и число символов n являются основными характеристиками корректирующего кода, определяющими, насколько удается повысить помехоустойчивость передачи дискретных сообщений и какой ценой это достигается.

Общая задача, которая ставится при создании кода, заключается, в достижении наименьших значений Р и . Целесообразность применения того или иного кода зависит также от сложности кодирующих и декодирующих устройств, которая, в свою очередь, зависит от п. Во многих практических случаях эта сторона вопроса является решающей. Часто, например, используются коды с большой избыточностью, но обладающие простыми правилами кодирования и декодирования.

В соответствии с общим принципом корректирования ошибок, основанным на использовании разрешенных и запрещенных комбинаций, необходимо сравнивать принятую комбинацию со всеми комбинациями данного кода. В результате М сопоставлений и принимается решение о переданной комбинации. Этот способ декодирования логически является наиболее простым, однако он требует сложных устройств, так как в них должны запоминаться все М комбинаций кода. Поэтому на практике чаще всего используются коды, которые позволяют с помощью ограниченного числа преобразований принятых кодовых символов извлечь из них всю информацию о корректируемых ошибках. Изучению таких кодов и посвящены последующие разделы.

7.3. Систематические коды

Изучение конкретных способов помехоустойчивого кодирования начнем с систематических кодов, которые в соответствии с классификацией (рис. 7.1) относятся к блочным разделимым кодам, т. е. к кодам, где операции кодирования осуществляются независимо в пределах каждой комбинации, состоящей из информационных и контрольных символов.

Остановимся кратко на общих принципах построения систематических кодов. Если обозначить информационные символы буквами с, а контрольные — буквами е, то любую кодовую комбинацию, содержащую k информационных и r контрольных символов, можно представить последовательностью:, где с и е в двоичном коде принимают значения 0 или 1.

Процесс кодирования на передающем конце сводится к образованию контрольных символов, которые выражаются в виде линейной функции информационных символов:

*                                                                       (7.9)

Здесь  — коэффициенты, равные 0 или 1, а  и  — знаки суммирования по модулю два. Значения * выбираются по определенным правилам, установленным для данного вида кода. Иными словами, символы е представляют собой суммы по модулю два информационных символов в различных сочетаниях. Процедура декодирования принятых комбинаций может осуществляться различными» методами. Один из них, так называемый метод контрольных чисел, состоит в следующем. Из информационных символов принятой кодовой комбинации * образуется по правилу (7.9) вторая группа контрольных символов *

Затем производится сравнение обеих групп контрольных символов путем их суммирования по модулю два:

*                                                                                                (7.10)

Полученное число X называется контрольным числом или синдромом. С его помощью можно обнаружить или исправить часть ошибок. Если ошибки в принятой комбинации отсутствуют, то все суммы*, а следовательно, и контрольное число X будут равны .нулю. При появлении ошибок некоторые значения х могут оказаться равным 1. В этом случае , что и позволяет обнаружить ошибки. Таким образом, контрольное число Х определяется путем r проверок на четность.

Для исправления ошибок знание одного факта их возникновения является недостаточным. Необходимо указать номер ошибочно принятых символов. С этой целью каждому сочетанию исправляемых ошибок в комбинации присваивается одно из контрольных чисел, что позволяет по известному контрольному числу определить место положения ошибок и исправить их.

Контрольное число X записывается в двоичной системе, поэтому общее количество различных контрольных чисел, отличающихся от нуля, равно*. Очевидно, это количество должно быть не меньше числа различных сочетаний ошибочных символов, подлежащих исправлению. Например, если код предназначен для исправления одиночных ошибок, то число различных вариантов таких ошибок равно . В этом случае должно выполняться условие

                                                                                                        (7.11)

Формула (7.11) позволяет при заданном количестве информационных символов k определить необходимое число контрольных символов r, с помощью которых исправляются все одиночные ошибки.

7.4. Код с чётным числом единиц. Инверсионный код

Рассмотрим некоторые простейшие систематические коды, применяемые только для обнаружения ошибок. Одним из кодов подобного типа является код с четным числом единиц. Каждая комбинация этого кода содержит, помимо информационных символов, один контрольный символ, выбираемый равным 0 или 1 так, чтобы сумма единиц в комбинации всегда была четной. Примером могут служить пятизначные комбинации кода Бодо, к которым добавляется шестой контрольный символ: 10101,1 и 01100,0. Правило вычисления контрольного символа можно выразить на

основании (7.9) в следующей форме: . Отсюда вытекает, что для любой комбинации сумма всех символов по модулю два будет равна нулю (— суммирование по модулю):

                                                                                                       (7.12)

Это позволяет в декодирующем устройстве сравнительно просто производить обнаружение ошибок путем проверки на четность. Нарушение четности имеет место при появлении однократных, трехкратных и в общем, случае ошибок нечетной кратности, что и дает возможность их обнаружить. Появление четных ошибок не изменяет четности суммы (7.12), поэтому такие ошибки не обнаруживаются. На основании ,(7.8) вероятность необнаруженной ошибки равна:

К достоинствам кода следует отнести простоту кодирующих и декодирующих устройств, а также малую .избыточность , однако последнее определяет и его основной недостаток — сравнительно низкую корректирующую способность.

Значительно лучшими корректирующими способностями обладает инверсный код, который также применяется только для обнаружения ошибок. С принципом построения такого кода удобно ознакомиться на примере двух комбинаций: 11000, 11000 и 01101, 10010. В каждой комбинации символы до запятой являются информационными, а последующие — контрольными.   Если   количество единиц в информационных символах четное, т. е. сумма этих

символов

                                                                                                                 (7.13)

равна нулю, то контрольные символы представляют собой простое повторение информационных. В противном случае, когда число единиц нечетное и сумма (7.13) равна 1, контрольные символы получаются из информационных посредством инвертирования, т. е. путем замены всех 0 на 1, а 1 на 0. Математическая форма записи образования контрольных символов имеет вид . При декодировании происходит сравнение принятых информационных и контрольных символов. Если сумма единиц в принятых информационных символах четная, т. е. , то соответствующие друг другу информационные и контрольные символы суммируются по модулю два. В противном случае, когда c‘=1, происходит такое же суммирование, но с инвертированными контрольными символами. Другими словами, в соответствии с (7.10) производится r проверок на четность: . Ошибка обнаруживается, если хотя бы одна проверка на четность дает 1.

Анализ показывает, что при  наименьшая кратность необнаруживаемой ошибки g=4. Причем не обнаруживаются только те ошибки четвертой кратности, которые искажают одинаковые номера информационных и контрольных символов. Например, если передана комбинация 10100, 10100, а принята 10111, 10111, то такая четырехкратная ошибка обнаружена не будет, так как здесь все значения  равны 0. Вероятность необнаружения ошибок четвертой кратности определяется выражением

Для g>4 вероятность необнаруженных ошибок еще меньше. Поэтому при достаточно малых вероятностях ошибочных символов ро можно полагать, что полная вероятность необнаруженных ошибок

Инверсный код обладает высокой обнаруживающей способностью, однако она достигается ценой сравнительно большой избыточности, которая, как нетрудно определить, составляет величину =0,5.

7.5. Коды Хэмминга

К этому типу кодов обычно относят систематические коды с расстоянием d=3, которые позволяют исправить все одиночные ошибки (7.3).

Рассмотрим построение семизначного кода Хэмминга, каждая комбинация которого содержит четыре  информационных и триконтрольных символа. Такой код, условно обозначаемый (7.4), удовлетворяет неравенству (7.11)    и   имеет   избыточность

Если информационные символы с занимают в комбинация первые четыре места, то последующие три контрольных символа образуются по общему правилу (7.9) как суммы:

                                                                              (7.14)

Декодирование осуществляется путем трех проверок на четность (7.10):

                                                                                  (7.15)

Так как х равно 0 или 1, то всего может быть восемь контрольных чисел Х=х1х2х3: 000, 100, 010, 001, 011, 101, 110 и 111. Первое из них имеет место в случае правильного приема, а остальные семь появляются при наличии искажений и должны использоваться для определения местоположения одиночной ошибки в семизначной комбинации. Выясним, каким образом устанавливается взаимосвязь между контрольными числами я искаженными символами. Если искажен один из контрольных символов:  или , то, как следует из (7.15), контрольное число примет соответственно одно из трех значений: 100, 010 или 001. Остальные четыре контрольных числа используются для выявления ошибок в информационных символах.

Таблица 7.1

Порядок присвоения контрольных чисел ошибочным информационным символам может устанавливаться любой, например, как показано в табл. 7.1. Нетрудно показать, что этому распределению контрольных чисел соответствуют коэффициенты , приведенные в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Если подставить коэффициенты  в выражение (7.15), то получим:

                                                                                  (7.16)

При искажении одного из информационных символов становятся равными единице те суммы х, в которые входит этот символ. Легко проверить, что получающееся в этом случае контрольное число согласуется с табл. 7.1.Нетрудно заметить, что первые четыре контрольные числа табл. 7.1 совпадают со столбцами табл. 7.2. Это свойство дает возможность при выбранном распределении контрольных чисел составить таблицу коэффициентов . Таким образом, при одиночной ошибке можно вычислить контрольное число, позволяющее по табл. 7.1 определить тот символ кодовой комбинации, который претерпел искажения. Исправление искаженного символа двоичной системы состоит в простой замене 0 на 1 или 1 на 0. B качестве примера рассмотрим передачу комбинации, в которой информационными символами являются , Используя ф-лу (7.14) и табл. 7.2, вычислим контрольные символы:

Передаваемая комбинация при этом будет . Предположим, что принята комбинация — 1001, 010 (искажен символ ). Подставляя соответствующие значения в (7.16), получим:

Вычисленное таким образом контрольное число  110 позволяет согласно табл. 7.1 исправить ошибку в символе.

Здесь был рассмотрен простейший способ построения и декодирования кодовых комбинаций, в которых первые места отводились информационным символам, а соответствие между контрольными числами и ошибками определялось таблице. Вместе с тем существует более изящный метод отыскания одиночных ошибок, предложенный впервые самим Хэммингом. При этом методе код строится так, что контрольное число в двоичной системе счисления сразу указывает номер искаженного символа. Правда, в этом случае контрольные символы необходимо располагать среди информационных, что усложняет процесс кодирования. Для кода (7.4) символы в комбинации должны размещаться в следующем порядке: , а контрольное число вычисляться по формулам:

                                                                                         (7.17)

Так, если произошла ошибка в информационном символе с’5 то контрольное  число , что соответствует  числу 5 в двоичной системе.

В заключение отметим, что в коде (7.4) при появлении многократных ошибок контрольное число также может отличаться от нуля. Однако декодирование в этом случае будет проведено неправильно, так как оно рассчитано на исправление лишь одиночных ошибок.

7.6. Циклические коды

Важное место среди систематических кодов занимают циклические коды. Свойство цикличности состоит в том, что циклическая перестановка всех символов кодовой комбинации  дает другую комбинацию  также принадлежащую этому коду. При такой перестановке символы кодовой комбинации перемещаются слева направо на одну позицию, причем крайний правый символ переносится на место крайнего левого символа. Например, .

Комбинации циклического кода, выражаемые двоичными числами, для удобства преобразований обычно определяют в виде полиномов, коэффициенты которых равны 0 или 1. Примером этому может служить следующая запись:

Помимо цикличности, кодовые комбинации обладают другим важным свойством. Если их представить в виде полиномов, то все они делятся без остатка на так называемый порождающий полином G(z) степени , где k—значность первичного кода без избыточности, а п-значность циклического кода

Построение комбинаций циклических кодов возможно путем умножения комбинации первичного кода A*(z) ,на порождающий полином G(z):

A(z)=A*(z)G(z).

Умножение производится по модулю zn и в данном случае сводится к умножению по обычным правилам с приведением подобных членов по модулю два.

В полученной таким способом комбинации A(z) в явном виде не содержатся информационные символы, однако они всегда могут быть выделены в результате обратной операции: деления A(z) на G(z).

Другой способ кодирования, позволяющий представить кодовую комбинацию в виде информационных и контрольных символов, заключается в следующем. К комбинации первичного кода дописывается справа г нулей, что эквивалентно повышению полинома A*(z) на ,г разрядов, т. е. умножению его на гг. Затем произведение zrA*(z) делится на порождающий полином. B общем случае результат деления состоит из целого числа Q(z) и остатка R(z). Отсюда

Вычисленный остаток К(г) я используется для образования комбинации циклического кода в виде суммы

A(z)=zrA*(z)@R(z).

Так как сложение и вычитание по модулю два дают один и тот же результат, то нетрудно заметить, что A(z) = Q(z)G(z), т. е. полученная комбинация удовлетворяет требованию делимости на порождающий полином. Степень полинома R{z) не превышает r—1, поэтому он замещает нули в комбинации zA*(z).

Для примера рассмотрим циклический код c n = 7, k=4, r=3 и G(z)=z3-z+1=1011. Необходимо закодировать комбинацию A*(z)=z*+1 = 1001. Тогда zA*(z)=z+z= 1001000. Для определения остатка делим z3A*(z) на G(z):

Окончательно получаем

В А(z) высшие четыре разряда занимают информационные символы, а остальные при — контрольные.

Контрольные символы в циклическом коде могут быть вычислены по общим ф-лам (7.9), однако здесь определение коэффициентов  затрудняется необходимостью выполнять требования делимости А(z) на порождающий полином G(z).

Процедура декодирования принятых комбинаций также основана на использовании полиномов G(z). Если ошибок в процессе передачи не было, то деление принятой комбинации A(z) на G(z) дает целое число. При наличии корректируемых ошибок в результате деления образуется остаток, который и позволяет обнаружить или исправить ошибки.

Кодирующие и декодирующие устройства циклических кодов в большинстве случаев обладают сравнительной простотой, что следует считать одним из основных их преимуществ. Другим важным достоинством этих кодов является их способность корректировать пачки ошибок, возникающие в реальных каналах, где действуют импульсные и сосредоточенные помехи или наблюдаются замирания сигнала.

В теории кодирования весом кодовых комбинаций принято называть .количество единиц, которое они содержат. Если все комбинации кода имеют одинаковый вес, то такой код называется кодом с постоянным весом. Коды с постоянным весом относятся к классу блочных неразделимых кодов, так как здесь не представляется возможным выделить информационные и контрольные символы. Из кодов этого типа наибольшее распространение получил обнаруживающий семизначный код 3/4, каждая разрешенная комбинация которого имеет три единицы и четыре нуля. Известен также код 2/5. Примером комбинаций кода 3/4 могут служить следующие семизначные последовательности: 1011000, 0101010, 0001110 и т. д.

Декодирование принятых комбинаций сводится к определению их веса. Если он отличается от заданного, то комбинация принята с ошибкой. Этот код обнаруживает все ошибки нечетной краткости и часть ошибок четной кратности. Не обнаруживаются только так называемые ошибки смещения, сохраняющие неизменным вес комбинации. Ошибки смещения характеризуются тем, что число искаженных единиц всегда равно числу искаженных нулей. Можно показать, что вероятность необнаруженной ошибки для кода 3/4 равна:

 при                                                                                (7.18)

В этом коде из общего числа комбинаций М = 27=128 разрешенными являются лишь , поэтому в соответствии с (7.6) коэффициент избыточности

Код 3/4 находит применение при частотной манипуляции в каналах с селективными замираниями, где вероятность ошибок смещения невелика.

7.8. Непрерывные коды

Из непрерывных кодов, исправляющих ошибки, наиболее известны коды Финка—Хагельбаргера, в которых контрольные символы образуются путем линейной операции над двумя или более информационными символами. Принцип построения этих кодов рассмотрим на примере простейшего цепного кода. Контрольные символы в цепном коде формируются путем суммирования двух информационных символов, расположенных один относительно другого на определенном расстоянии:

;                                                                             (7.19)

Расстояние между информационными символами l=k—i определяет основные свойства кода и называется шагом сложения. Число контрольных символов при таком способе кодирования равно числу информационных символов, поэтому избыточность кода =0,5. Процесс образования последовательности контрольных символов показан на рис.7. символы разметаются  между информационными символами с задержкой на два шага сложения.

Рис. 7.3. Образование и размещение контрольных символов в цепном коде Финка—Хагельбаргера

При декодировании из принятых информационных символов по тому же правилу (7.19) формируется вспомогательная последовательность контрольных символов е», которая сравнивается с принятой последовательностью контрольных символов е’ (рис. 7.36). Если произошла ошибка в информационном символе, например, c‘k, то это вызовет искажения сразу двух символов e«k и e«km, что и обнаружится в результате их сравнения с  и e‘km. Отсюда по общему индексу k легко определить и исправить ошибочно принятый информационный символ с’Ошибка в принятом контрольном символе, например, e‘k приводит к несовпадению контрольных последовательностей лишь в одном месте. Исправление  такой ошибки не требуется.

Важное преимущество непрерывных кодов состоит в их способности исправлять не только одиночные ошибки, но я группы (пакеты) ошибок. Если задержка контрольных символов выбрана равной 2l, то можно показать, что максимальная длина исправляемого пакета ошибок также равна 2l при интервале между пакетами не менее 6l+1. Таким образом, возможность исправления длинных пакетов связана с увеличением шага сложения, а следовательно, и с усложнением кодирующих и декодирующих устройств.

Вопросы для повторения

1. Как могут быть  классифицированы  корректирующие коды?

2. Каким образом исправляются ошибки в кодах, которые только их обнаруживают?

3. В чем состоят основные принципы корректирования ошибок?

4. Дайте определение кодового расстояния.

5. При каких условиях код может обнаруживать или исправлять ошибки?

6. Как используется корректирующий код в системах со стиранием?

7. Какие характеристики определяют корректирующие способности кода?

8. Как осуществляется построение кодовых комбинаций в систематических кодах?

9. На чем  основан  принцип  корректирования  ошибок  с использованием  контрольного числа?

10. Объясните метод построения кода с четным числом единиц.

11. Как осуществляется процедура кодирования в семизначном коде Хэмминга?

12. Почему семизначный код 3/4 не обнаруживает ошибки смещения?

13. Каким образом производится непрерывное кодирование?

14. От чего зависит длина пакета исправляемых ошибок в коде Финка—Хагельбаргера?

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Коды автомобильных ошибок расшифровка
  • Коды диагностических ошибок автомобилей man tga
  • Коды диагностики автомобилей ошибок
  • Коды всех ошибок obd 2
  • Кодтрак ошибки ман