Как вычислить ошибку среднего арифметического значения - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Условное
обозначение средней арифметической
величины через М (от латинского слова
Media) чаще применяется в медицинских и
педагогических исследованиях. В
математической статистике предпочитают
обозначение через .
Средняя арифметическая величина является
производной, обобщающей количественные
признаки ряда однородных показателей
(совокупности). Выражая одним числом
определенную совокупность, она как бы
ослабляет влияние случайных индивидуальных
отклонений, и акцентирует некую обобщенную
количественную характеристику, наиболее
типичное свойство изучаемого ряда
показателей.

Определяя
значение средней арифметической
величины, следует придерживаться
некоторых правил.

1.
Средняя арифметическая величина может
характеризовать только те признаки
изучаемого объекта, которые присущи
всей совокупности, но в разной
количественной мере (например, уровень
развития быстроты движений характерен
для каждого человека, хотя и в разной
количественной мере). Средняя арифметическая
величина не может характеризовать
количественную меру тех признаков,
которые одной части совокупности
присущи, а другой нет, т. е. она не может
отражать присутствие или отсутствие
того или иного признака (например, умение
или неумение выполнять то или иное
двигательное действие).

2.
Средняя арифметическая величина должна
включать все показатели, полученные в
данном исследовании. Произвольное
исключение даже некоторых из них
неизбежно приведет к искажению конечного
результата.

3.
Средняя арифметическая величина обязана
отражать только однородную совокупность.
Нельзя, например, определять средний
уровень физического развития школьников,
не разделив их предварительно по возрасту
и полу.

4.
Средняя арифметическая величина должна
вычисляться на достаточно большой
совокупности, размеры которой определяются
в каждом конкретном случае отдельно
(см. «Подбор исследуемых»).

5.
Необходимо стремиться к тому, чтобы
средняя арифметическая величина имела
четкие и простые свойства, позволяющие
легко и быстро ее вычислять.

6.
Средняя арифметическая величина должна
обладать достаточной устойчивостью к
действию случайных факторов. Только в
этом случае она будет отражать
действительное состояние изучаемого
явления, а не его случайные изменения.

7.
Точность вычисления средней арифметической
величины должна соответствовать
содержанию изучаемого педагогического
явления. В некоторых случаях нет
необходимости в расчетах с большой
точностью, в других — большая точность
нужна при вычислениях, но совершенно
не нужна в выводах. Например, при расчете
средних величин числа подтягиваний на
перекладине можно пользоваться и сотыми
долями целого, но представлять и выводах,
что исследуемые в среднем подтянулись
7,83 раза, было бы неграмотна, так как
невозможно измерение с подобной
точностью. В этом случае необходимо в
выводах представлять числа, округленные
до целых единиц.

В
простейшем случае этот показатель
вычисляется путем сложения всех
полученных значений (которые называются
вариантами) и деления суммы на число
вариант:

где
S — знак суммирования;

V
— полученные в исследовании значения
(варианты);

п
— число вариант.

По
этой формуле вычисляется так называемая
простая средняя арифметическая величина.
Применяется она в тех случаях, когда
имеется небольшое число вариант.

При
большом числе вариант прибегают к
вычислению так называемой взвешенной
средней арифметической величины. С этой
целью строят ряд распределения, или
вариационный ряд, который представляет
собой ряд вариант и их частот,
характеризующих какой-нибудь признак
в убывающем или возрастающем порядке.
Например, в нашем случае измерение
точности попадания мячом в цель дало
125 вариант, т. е. в группе I, где применялась
методика обучения «А», одноразово
исследовалось 125 детей с числовым
выражением от 0 (точное попадание в цель)
до 21,5 см (максимальное отклонение от
цели). Каждое числовое выражение
встречалось в исследовании один и более
раз, например «0» встретился 28 раз.
Другими словами, 28 участников эксперимента
точно попали в цель. Этот показатель
называется числом наблюдений или
частотой вариант и условно обозначается
буквой «Р» (число наблюдений составляет
часть числа вариант).

Для
упрощения числовых операций все 125
вариант разбиваются на классы с величиной
интервала 1,9 см. Число классов зависит
от величины колебаний вариант (разности
между максимальной и минимальной
вариантами), наличия вариант для каждого
класса (если, например, для первого
класса — «0 — 1,9» — нет соответствующих
вариант, т.е. ни один исследуемый не имел
точных попаданий или отклонений от цели
в пределах от 0 до 1,9 см, то подобный класс
не вносится в вариационный ряд) и,
наконец, требуемой точности вычисления,
(чем больше классов, тем точность
вычисления выше). Вполне понятно, что
чем больше величина интервала, тем
меньше число классов при одной и той же
величине колебаний вариант.

После
разбивки вариант по классам в каждом
классе определяется срединная варианта
«V_c»,
и для каждой срединной варианты
проставляется число наблюдений. Пример
этих операций, и дальнейший ход вычислений
приведены в следующей таблице:

Классы	Серединные варианты V_C	Число набл, р	V_CP	V_C-M=d	d²	d²P
0 – 1.9	1	28	28	-4.6	21.16	592.48
2 – 3.9	3	29	87	-2.6	6.76	196.04
4 – 5.9	5	22	110	-0.6	0.36	7.92
6 – 7.9	7	13	91	1.4	1.96	25.48
8 – 9.9	9	11	99	3.4	11.56	127.16
10 – 11.9	11	13	143	5.4	29.16	379.08
12 – 13.9	13	4	52	7.4	54.76	219.04
14 – 15.9	15	2	30	9.4	88.36	176.72
16 – 17.9	17	1	17	11.4	130.00	130.00
18 – 19.9	19	1	19	13.4	179.60	179.60
20 – 21.9	21	1	21	15.4	237.20	237.20
		125	697			2270.72

Очередность
числовых операций:

1)
вычислить сумму числа наблюдений (в
нашем примере она равна 125);

2)
вычислить произведение каждой срединной
варианты на ее частоту (например, 1*28 =
28);

3)
вычислить сумму произведений срединных
вариант на их частоты (в нашем примере
она равна 697);

4)
вычислить взвешенную среднюю арифметическую
величину по формуле:

Средняя
арифметическая величина позволяет
сравнивать и оценивать группы изучаемых
явлений в целом. Однако для характеристики
группы явлений только этой величины
явно недостаточно, так как размер
колебаний вариант, из которых она
складывается, может быть различным.
Поэтому в характеристику группы явлений
необходимо ввести такой показатель,
который давал бы представление о величине
колебаний вариант около их средней
величины.

Вычисление
средней ошибки среднего арифметического.
Условное обозначение средней ошибки
среднего арифметического — т. Следует
помнить, что под «ошибкой» в статистике
понимается не ошибка исследования, а
мера представительства данной величины,
т. е. мера, которой средняя арифметическая
величина, полученная на выборочной
совокупности (в нашем примере — на 125
детях), отличается от истинной средней
арифметической величины, которая была
бы получена на генеральной совокупности
(в нашем примере это были бы все дети
аналогичного возраста, уровня
подготовленности и т. д.). Например, в
приведенном ранее примере определялась
точность попадания малым мячом в цель
у 125 детей и была получена средняя
арифметическая величина примерно равная
5,6 см. Теперь надо установить, в какой
мере эта величина будет характерна,
если взять для исследования 200, 300, 500 и
больше аналогичных детей. Ответ на этот
вопрос и даст вычисление средней ошибки
среднего арифметического, которое
производится по формуле:

Для
приведенного примера величина средней
ошибки среднего арифметического будет
равна:

Следовательно,
M±m = 5,6±0,38. Это означает, что полученная
средняя арифметическая величина (M =
5,6) может иметь в других аналогичных
исследованиях значения от 5,22 (5,6 — 0,38 =
5,22) до 5,98 (5,6+0,38 = 5,98).

Соседние файлы в предмете Ветеринарная генетика

Источник

Представление результатов исследования

В научных публикациях важно представление результатов исследования. Очень часто окончательный результат приводится в следующем виде: M±m, где M – среднее арифметическое, m –ошибка среднего арифметического. Например, 163,7±0,9 см.

Прежде чем разбираться в правилах представления результатов исследования, давайте точно усвоим, что же такое ошибка среднего арифметического.

Ошибка среднего арифметического

Среднее арифметическое, вычисленное на основе выборочных данных (выборочное среднее), как правило, не совпадает с генеральным средним (средним арифметическим генеральной совокупности). Экспериментально проверить это утверждение невозможно, потому что нам неизвестно генеральное среднее. Но если из одной и той же генеральной совокупности брать повторные выборки и вычислять среднее арифметическое, то окажется, что для разных выборок среднее арифметическое будет разным.

Чтобы оценить, насколько выборочное среднее арифметическое отличается от генерального среднего, вычисляется ошибка среднего арифметического или ошибка репрезентативности.

Ошибка среднего арифметического обозначается как m или

Ошибка среднего арифметического рассчитывается по формуле:

где: S — стандартное отклонение, n – объем выборки; Например, если стандартное отклонение равно S=5 см, объем выборки n=36 человек, то ошибка среднего арифметического равна: m=5/6 = 0,833.

Ошибка среднего арифметического показывает, какая ошибка в среднем допускается, если использовать вместо генерального среднего выборочное среднее.

Так как при небольшом объеме выборки истинное значение генерального среднего не может быть определено сколь угодно точно, поэтому при вычислении выборочного среднего арифметического нет смысла оставлять большое число значащих цифр.

Правила записи результатов исследования

В записи ошибки среднего арифметического оставляем две значащие цифры, если первые цифры в ошибке «1» или «2».
В остальных случаях в записи ошибки среднего арифметического оставляем одну значащую цифру.
В записи среднего арифметического положение последней значащей цифры должно соответствовать положению первой значащей цифры в записи ошибки среднего арифметического.

Представление результатов научных исследований

В своей статье «Осторожно, статистика!», опубликованной в 1989 году В.М. Зациорский указал, какие числовые характеристики должны быть представлены в публикации, чтобы она имела научную ценность. Он писал, что исследователь «…должен назвать: 1) среднюю величину (или другой так называемый показатель положения); 2) среднее квадратическое отклонение (или другой показатель рассеяния) и 3) число испытуемых. Без них его публикация научной ценности иметь не будет “с. 52

В научных публикациях в области физической культуры и спорта очень часто окончательный результат приводится в виде: (М±m) (табл.1).

Таблица 1 — Изменение механических свойств латеральной широкой мышцы бедра под воздействием физической нагрузки (n=34)

	Эффективный модуль упругости (Е), кПа	Эффективный модуль вязкости (V), Па с
Этап эксперимента	Рассл.	Напряж.	Рассл.	Напряж.
До ФН	7,0±0,3	17,1±1,4	29,7±1,7	46±4
После ФН	7,7±0,3	18,7±1,4	30,9±2,0	53±6

Литература

Высшая математика и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Г. И. Попова. – М. Физическая культура, 2007.– 368 с.
Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс. 1976.- 495 с.
Зациорский В.М. Осторожно — статистика! // Теория и практика физической культуры, 1989.- №2.
Катранов А.Г. Компьютерная обработка данных экспериментальных исследований: Учебное пособие/ А. Г. Катранов, А. В. Самсонова; СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта. – СПб.: изд-во СПб ГУФК им. П.Ф. Лесгафта, 2005. – 131 с.
Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ. культ / Под ред. В.С. Иванова.– М.: Физкультура и спорт, 1990. 176 с.

Источник

Загрузить PDF

Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.

1

Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.
2

Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.
3

Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.
4

Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:
5

Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.
6

Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.

Реклама

1
Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
  Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:
2
Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.
- Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:
3
Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
  Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.
4
Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.
- В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:
5
Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
  Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.
Реклама

1
Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
  Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.

Советы

Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 50 283 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Результат любого измерения не определён однозначно и имеет случайную составляющую.
Поэтому адекватным языком для описания погрешностей является язык вероятностей.
Тот факт, что значение некоторой величины «случайно», не означает, что
она может принимать совершенно произвольные значения. Ясно, что частоты, с которыми
возникает те или иные значения, различны. Вероятностные законы, которым
подчиняются случайные величины, называют распределениями.

2.1 Случайная величина

Случайной будем называть величину, значение которой не может быть достоверно определено экспериментатором. Чаще всего подразумевается, что случайная величина будет изменяться при многократном повторении одного и того же эксперимента. При интерпретации результатов измерений в физических экспериментах, обычно случайными также считаются величины, значение которых является фиксированным, но не известно экспериментатору. Например смещение нуля шкалы прибора. Для формализации работы со случайными величинами используют понятие вероятности. Численное значение вероятности того, что какая-то величина примет то или иное значение определяется либо как относительная частота наблюдения того или иного значения при повторении опыта большое количество раз, либо как оценка на основе данных других экспериментов.

Замечание.
Хотя понятия вероятности и случайной величины являются основополагающими, в литературе нет единства в их определении. Обсуждение формальных тонкостей или построение строгой теории лежит за пределами данного пособия. Поэтому на начальном этапе лучше использовать «интуитивное» понимание этих сущностей. Заинтересованным читателям рекомендуем обратиться к специальной литературе: [5].

Рассмотрим случайную физическую величину x, которая при измерениях может
принимать непрерывный набор значений. Пусть
P[x0,x0+δ⁢x] — вероятность того, что результат окажется вблизи
некоторой точки x0 в пределах интервала δ⁢x: x∈[x0,x0+δ⁢x].
Устремим интервал
δ⁢x к нулю. Нетрудно понять, что вероятность попасть в этот интервал
также будет стремиться к нулю. Однако отношение
w⁢(x0)=P[x0,x0+δ⁢x]δ⁢x будет оставаться конечным.
Функцию w⁢(x) называют плотностью распределения вероятности или кратко
распределением непрерывной случайной величины x.

Замечание. В математической литературе распределением часто называют не функцию
w⁢(x), а её интеграл W⁢(x)=∫w⁢(x)⁢𝑑x. Такую функцию в физике принято
называть интегральным или кумулятивным распределением. В англоязычной литературе
для этих функций принято использовать сокращения:
pdf (probability distribution function) и
cdf (cumulative distribution function)
соответственно.

Гистограммы.

Проиллюстрируем наглядно понятие плотности распределения. Результат
большого числа измерений случайной величины удобно представить с помощью
специального типа графика — гистограммы.
Для этого область значений x, размещённую на оси абсцисс, разобьём на
равные малые интервалы — «корзины» или «бины» (англ. bins)
некоторого размера h. По оси ординат будем откладывать долю измерений w,
результаты которых попадают в соответствующую корзину. А именно,
пусть k — номер корзины; nk — число измерений, попавших
в диапазон x∈[k⁢h,(k+1)⁢h]. Тогда на графике изобразим «столбик»
шириной h и высотой wk=nk/n.
В результате получим картину, подобную изображённой на рис. 2.1.

Рис. 2.1: Пример гистограммы для нормального распределения (x¯=10,
σ=1,0, h=0,1, n=104)

Высоты построенных столбиков будут приближённо соответствовать значению
плотности распределения w⁢(x) вблизи соответствующей точки x.
Если устремить число измерений к бесконечности (n→∞), а ширину корзин
к нулю (h→0), то огибающая гистограммы будет стремиться к некоторой
непрерывной функции w⁢(x).

Самые высокие столбики гистограммы будут группироваться вблизи максимума
функции w⁢(x) — это наиболее вероятное значение случайной величины.
Если отклонения в положительную и отрицательную стороны равновероятны,
то гистограмма будет симметрична — в таком случае среднее значение ⟨x⟩
также будет лежать вблизи этого максимума. Ширина гистограммы будет характеризовать разброс
значений случайной величины — по порядку величины
она, как правило, близка к среднеквадратичному отклонению sx.

Свойства распределений.

Из определения функции w⁢(x) следует, что вероятность получить в результате
эксперимента величину x в диапазоне от a до b
можно найти, вычислив интеграл:

Px∈[a,b]=∫abw⁢(x)⁢𝑑x.

(2.1)

Согласно определению вероятности, сумма вероятностей для всех возможных случаев
всегда равна единице. Поэтому интеграл распределения w⁢(x) по всей области
значений x (то есть суммарная площадь под графиком w⁢(x)) равен единице:

Это соотношение называют условием нормировки.

Среднее и дисперсия.

Вычислим среднее по построенной гистограмме. Если размер корзин
h достаточно мал, все измерения в пределах одной корзины можно считать примерно
одинаковыми. Тогда среднее арифметическое всех результатов можно вычислить как

Переходя к пределу, получим следующее определение среднего значения
случайной величины:

где интегрирование ведётся по всей области значений x.
В теории вероятностей x¯ также называют математическим ожиданием
распределения.
Величину

σ2=(x-x¯)2¯=∫(x-x¯)2⁢w⁢𝑑x

(2.3)

называют дисперсией распределения. Значение σ есть
срекднеквадратичное отклонение в пределе n→∞. Оно имеет ту
же размерность, что и сама величина x и характеризует разброс распределения.
Именно эту величину, как правило, приводят как характеристику погрешности
измерения x.

Доверительный интервал.

Обозначим как P|Δ⁢x|<δ вероятность
того, что отклонение от среднего Δ⁢x=x-x¯ составит величину,
не превосходящую по модулю значение δ:

P|Δ⁢x|<δ=∫x¯-δx¯+δw⁢(x)⁢𝑑x.

(2.4)

Эту величину называют доверительной вероятностью для
доверительного интервала |x-x¯|≤δ.

2.2 Нормальное распределение

Одним из наиболее примечательных результатов теории вероятностей является
так называемая центральная предельная теорема. Она утверждает,
что сумма большого количества независимых случайных слагаемых, каждое
из которых вносит в эту сумму относительно малый вклад, подчиняется
универсальному закону, не зависимо от того, каким вероятностным законам
подчиняются её составляющие, — так называемому нормальному
распределению (или распределению Гаусса).

Доказательство теоремы довольно громоздко и мы его не приводим (его можно найти
в любом учебнике по теории вероятностей). Остановимся
кратко на том, что такое нормальное распределение и его основных свойствах.

Плотность нормального распределения выражается следующей формулой:

w𝒩⁢(x)=12⁢π⁢σ⁢e-(x-x¯)22⁢σ2.

(2.5)

Здесь x¯ и σ
— параметры нормального распределения: x¯ равно
среднему значению x, a σ —
среднеквадратичному отклонению, вычисленным в пределе n→∞.

Как видно из рис. 2.1, распределение представляет собой
симметричный
«колокол», положение вершины которого
соответствует x¯ (ввиду симметрии оно же
совпадает с наиболее вероятным значением — максимумом
функции w𝒩⁢(x)).

При значительном отклонении x от среднего величина
w𝒩⁢(x)
очень быстро убывает. Это означает, что вероятность встретить отклонения,
существенно большие, чем σ, оказывается пренебрежимо
мала. Ширина «колокола» по порядку величины
равна σ — она характеризует «разброс»
экспериментальных данных относительно среднего значения.

Замечание. Точки x=x¯±σ являются точками
перегиба графика w⁢(x) (в них вторая производная по x
обращается в нуль, w′′=0), а их положение по высоте составляет
w⁢(x¯±σ)/w⁢(x¯)=e-1/2≈0,61
от высоты вершины.

Универсальный характер центральной предельной теоремы позволяет широко
применять на практике нормальное (гауссово) распределение для обработки
результатов измерений, поскольку часто случайные погрешности складываются из
множества случайных независимых факторов. Заметим, что на практике
для приближённой оценки параметров нормального распределения
случайной величины используются выборочные значения среднего
и дисперсии: x¯≈⟨x⟩, sx≈σx.

x-x0σ2=2w⁢(x)σ1=1

Рис. 2.2: Плотность нормального распределения

Доверительные вероятности.

Вычислим некоторые доверительные вероятности (2.4) для нормально
распределённых случайных величин.

Замечание. Значение интеграла вида ∫e-x2/2⁢𝑑x
(его называют интегралом ошибок) в элементарных функциях не выражается,
но легко находится численно.

Вероятность того, что результат отдельного измерения x окажется
в пределах x¯±σ оказывается равна

P|Δ⁢x|<σ=∫x¯-σx¯+σw𝒩⁢𝑑x≈0,68.

Вероятность отклонения в пределах x¯±2⁢σ:

а в пределах x¯±3⁢σ:

Иными словами, при большом числе измерений нормально распределённой
величины можно ожидать, что лишь треть измерений выпадут за пределы интервала
[x¯-σ,x¯+σ]. При этом около 5%
измерений выпадут за пределы [x¯-2⁢σ;x¯+2⁢σ],
и лишь 0,27% окажутся за пределами
[x¯-3⁢σ;x¯+3⁢σ].

Пример. В сообщениях об открытии бозона Хиггса на Большом адронном коллайдере
говорилось о том, что исследователи ждали подтверждение результатов
с точностью «5 сигма». Используя нормальное распределение (2.5)
нетрудно посчитать, что они использовали доверительную вероятность
P≈1-5,7⋅10-7=0,99999943. Такую точность можно назвать фантастической.

Полученные значения доверительных вероятностей используются при
стандартной записи результатов измерений. В физических измерениях
(в частности, в учебной лаборатории), как правило, используется P=0,68,
то есть, запись

означает, что измеренное значение лежит в диапазоне (доверительном
интервале) x∈[x¯-δ⁢x;x¯+δ⁢x] с
вероятностью 68%. Таким образом погрешность ±δ⁢x считается
равной одному среднеквадратичному отклонению: δ⁢x=σ.
В технических измерениях чаще используется P=0,95, то есть под
абсолютной погрешностью имеется в виду удвоенное среднеквадратичное
отклонение, δ⁢x=2⁢σ. Во избежание разночтений доверительную
вероятность следует указывать отдельно.

Замечание. Хотя нормальный закон распределения встречается на практике довольно
часто, стоит помнить, что он реализуется далеко не всегда.
Полученные выше соотношения для вероятностей попадания значений в
доверительные интервалы можно использовать в качестве простейшего
признака нормальности распределения: в частности, если количество попадающих
в интервал ±σ результатов существенно отличается от 2/3 — это повод
для более детального исследования закона распределения ошибок.

Сравнение результатов измерений.

Теперь мы можем дать количественный критерий для сравнения двух измеренных
величин или двух результатов измерения одной и той же величины.

Пусть x1 и x2 (x1≠x2) измерены с
погрешностями σ1 и σ2 соответственно.
Ясно, что если различие результатов |x2-x1| невелико,
его можно объяснить просто случайными отклонениями.
Если же теория предсказывает, что вероятность обнаружить такое отклонение
слишком мала, различие результатов следует признать значимым.
Предварительно необходимо договориться о соответствующем граничном значении
вероятности. Универсального значения здесь быть не может,
поэтому приходится полагаться на субъективный выбор исследователя. Часто
в качестве «разумной» границы выбирают вероятность 5%,
что, как видно из изложенного выше, для нормального распределения
соответствует отклонению более, чем на 2⁢σ.

Допустим, одна из величин известна с существенно большей точностью:
σ2≪σ1 (например, x1 — результат, полученный
студентом в лаборатории, x2 — справочное значение).
Поскольку σ2 мало, x2 можно принять за «истинное»:
x2≈x¯. Предполагая, что погрешность измерения
x1 подчиняется нормальному закону с и дисперсией σ12,
можно утверждать, что
различие считают будет значимы, если

Пусть погрешности измерений сравнимы по порядку величины:
σ1∼σ2. В теории вероятностей показывается, что
линейная комбинация нормально распределённых величин также имеет нормальное
распределение с дисперсией σ2=σ12+σ22
(см. также правила сложения погрешностей (2.7)). Тогда
для проверки гипотезы о том, что x1 и x2 являются измерениями
одной и той же величины, нужно вычислить, является ли значимым отклонение
|x1-x2| от нуля при σ=σ12+σ22.

Пример. Два студента получили следующие значения для теплоты испарения
некоторой жидкости: x1=40,3±0,2 кДж/моль и
x2=41,0±0,3 кДж/моль, где погрешность соответствует
одному стандартному отклонению. Можно ли утверждать, что они исследовали
одну и ту же жидкость?
Имеем наблюдаемую разность |x1-x2|=0,7 кДж/моль,
среднеквадратичное отклонение для разности
σ=0,22+0,32=0,36 кДж/моль.
Их отношение |x2-x1|σ≈2. Из
свойств нормального распределения находим вероятность того, что измерялась
одна и та же величина, а различия в ответах возникли из-за случайных
ошибок: P≈5%. Ответ на вопрос, «достаточно»
ли мала или велика эта вероятность, остаётся на усмотрение исследователя.

Замечание. Изложенные здесь соображения применимы, только если x¯ и
его стандартное отклонение σ получены на основании достаточно
большой выборки n≫1 (или заданы точно). При небольшом числе измерений
(n≲10) выборочные средние ⟨x⟩ и среднеквадратичное отклонение
sx сами имеют довольно большую ошибку, а
их распределение будет описываться не нормальным законом, а так
называемым t-распределением Стъюдента. В частности, в зависимости от
значения n интервал ⟨x⟩±sx будет соответствовать несколько
меньшей доверительной вероятности, чем P=0,68. Особенно резко различия
проявляются при высоких уровнях доверительных вероятностей P→1.

2.3 Независимые величины

Величины x и y называют независимыми если результат измерения одной
из них никак не влияет на результат измерения другой. Для таких величин вероятность того, что x окажется в некоторой области X, и одновременно y — в области Y,
равна произведению соответствующих вероятностей:

Обозначим отклонения величин от их средних как Δ⁢x=x-x¯ и
Δ⁢y=y-y¯.
Средние значения этих отклонений равны, очевидно, нулю: Δ⁢x¯=x¯-x¯=0,
Δ⁢y¯=0. Из независимости величин x и y следует,
что среднее значение от произведения Δ⁢x⋅Δ⁢y¯
равно произведению средних Δ⁢x¯⋅Δ⁢y¯
и, следовательно, равно нулю:

Δ⁢x⋅Δ⁢y¯=Δ⁢x¯⋅Δ⁢y¯=0.

(2.6)

Пусть измеряемая величина z=x+y складывается из двух независимых
случайных слагаемых x и y, для которых известны средние
x¯ и y¯, и их среднеквадратичные погрешности
σx и σy. Непосредственно из определения (1.1)
следует, что среднее суммы равно сумме средних:

Найдём дисперсию σz2. В силу независимости имеем

Δ⁢z2¯=Δ⁢x2¯+Δ⁢y2¯+2⁢Δ⁢x⋅Δ⁢y¯≈Δ⁢x2¯+Δ⁢y2¯,

то есть:

Таким образом, при сложении независимых величин их погрешности
складываются среднеквадратичным образом.

Подчеркнём, что для справедливости соотношения (2.7)
величины x и y не обязаны быть нормально распределёнными —
достаточно существования конечных значений их дисперсий. Однако можно
показать, что если x и y распределены нормально, нормальным
будет и распределение их суммы.

Замечание. Требование независимости
слагаемых является принципиальным. Например, положим y=x. Тогда
z=2⁢x. Здесь y и x, очевидно, зависят друг от друга. Используя
(2.7), находим σ2⁢x=2⁢σx,
что, конечно, неверно — непосредственно из определения
следует, что σ2⁢x=2⁢σx.

Отдельно стоит обсудить математическую структуру формулы (2.7).
Если одна из погрешностей много больше другой, например,
σx≫σy,
то меньшей погрешностью можно пренебречь, σx+y≈σx.
С другой стороны, если два источника погрешностей имеют один порядок
σx∼σy, то и σx+y∼σx∼σy.

Эти обстоятельства важны при планирования эксперимента: как правило,
величина, измеренная наименее точно, вносит наибольший вклад в погрешность
конечного результата. При этом, пока не устранены наиболее существенные
ошибки, бессмысленно гнаться за повышением точности измерения остальных
величин.

Пример. Пусть σy=σx/3,
тогда σz=σx⁢1+19≈1,05⁢σx,
то есть при различии двух погрешностей более, чем в 3 раза, поправка
к погрешности составляет менее 5%, и уже нет особого смысла в учёте
меньшей погрешности: σz≈σx. Это утверждение
касается сложения любых независимых источников погрешностей в эксперименте.

2.4 Погрешность среднего

Выборочное среднее арифметическое значение ⟨x⟩, найденное
по результатам n измерений, само является случайной величиной.
Действительно, если поставить серию одинаковых опытов по n измерений,
то в каждом опыте получится своё среднее значение, отличающееся от
предельного среднего x¯.

Вычислим среднеквадратичную погрешность среднего арифметического
σ⟨x⟩.
Рассмотрим вспомогательную сумму n слагаемых

Если {xi} есть набор независимых измерений
одной и той же физической величины, то мы можем, применяя результат
(2.7) предыдущего параграфа, записать

σZ=σx12+σx22+…+σxn2=n⁢σx,

поскольку под корнем находится n одинаковых слагаемых. Отсюда с
учётом ⟨x⟩=Z/n получаем

Таким образом, погрешность среднего значения x по результатам
n независимых измерений оказывается в n раз меньше погрешности
отдельного измерения. Это один из важнейших результатов, позволяющий
уменьшать случайные погрешности эксперимента за счёт многократного
повторения измерений.

Подчеркнём отличия между σx и σ⟨x⟩:

величина σx — погрешность отдельного
измерения — является характеристикой разброса значений
в совокупности измерений {xi}, i=1..n. При
нормальном законе распределения примерно 68% измерений попадают в
интервал ⟨x⟩±σx;

величина σ⟨x⟩ — погрешность
среднего — характеризует точность, с которой определено
среднее значение измеряемой физической величины ⟨x⟩ относительно
предельного («истинного») среднего x¯;
при этом с доверительной вероятностью P=68% искомая величина x¯
лежит в интервале
⟨x⟩-σ⟨x⟩<x¯<⟨x⟩+σ⟨x⟩.

2.5 Результирующая погрешность опыта

Пусть для некоторого результата измерения известна оценка его максимальной
систематической погрешности Δсист и случайная
среднеквадратичная
погрешность σслуч. Какова «полная»
погрешность измерения?

Предположим для простоты, что измеряемая величина в принципе
может быть определена сколь угодно точно, так что можно говорить о
некотором её «истинном» значении xист
(иными словами, погрешность результата связана в основном именно с
процессом измерения). Назовём полной погрешностью измерения
среднеквадратичное значения отклонения от результата измерения от
«истинного»:

Отклонение x-xист можно представить как сумму случайного
отклонения от среднего δ⁢xслуч=x-x¯
и постоянной (но, вообще говоря, неизвестной) систематической составляющей
δ⁢xсист=x¯-xист=const:

Причём случайную составляющую можно считать независимой от систематической.
В таком случае из (2.7) находим:

σполн2=⟨δ⁢xсист2⟩+⟨δ⁢xслуч2⟩≤Δсист2+σслуч2.

(2.9)

Таким образом, для получения максимального значения полной
погрешности некоторого измерения нужно квадратично сложить максимальную
систематическую и случайную погрешности.

Если измерения проводятся многократно, то согласно (2.8)
случайная составляющая погрешности может быть уменьшена, а систематическая
составляющая при этом остаётся неизменной:

Отсюда следует важное практическое правило
(см. также обсуждение в п. 2.3): если случайная погрешность измерений
в 2–3 раза меньше предполагаемой систематической, то
нет смысла проводить многократные измерения в попытке уменьшить погрешность
всего эксперимента. В такой ситуации измерения достаточно повторить
2–3 раза — чтобы убедиться в повторяемости результата, исключить промахи
и проверить, что случайная ошибка действительно мала.
В противном случае повторение измерений может иметь смысл до
тех пор, пока погрешность среднего
σ⟨x⟩=σxn
не станет меньше систематической.

Замечание. Поскольку конкретная
величина систематической погрешности, как правило, не известна, её
можно в некотором смысле рассматривать наравне со случайной —
предположить, что её величина была определена по некоторому случайному
закону перед началом измерений (например, при изготовлении линейки
на заводе произошло некоторое случайное искажение шкалы). При такой
трактовке формулу (2.9) можно рассматривать просто
как частный случай формулы сложения погрешностей независимых величин
(2.7).
Подчеркнем, что вероятностный закон, которому подчиняется
систематическая ошибка, зачастую неизвестен. Поэтому неизвестно и
распределение итогового результата. Из этого, в частности, следует,
что мы не можем приписать интервалу x±Δсист какую-либо
определённую доверительную вероятность — она равна 0,68
только если систематическая ошибка имеет нормальное распределение.
Можно, конечно, предположить,
— и так часто делают — что, к примеру, ошибки
при изготовлении линеек на заводе имеют гауссов характер. Также часто
предполагают, что систематическая ошибка имеет равномерное
распределение (то есть «истинное» значение может с равной вероятностью
принять любое значение в пределах интервала ±Δсист).
Строго говоря, для этих предположений нет достаточных оснований.

Пример. В результате измерения диаметра проволоки микрометрическим винтом,
имеющим цену деления h=0,01 мм, получен следующий набор из n=8 значений:

Вычисляем среднее значение: ⟨d⟩≈386,3 мкм.
Среднеквадратичное отклонение:
σd≈9,2 мкм. Случайная погрешность среднего согласно
(2.8):
σ⟨d⟩=σd8≈3,2
мкм. Все результаты лежат в пределах ±2⁢σd, поэтому нет
причин сомневаться в нормальности распределения. Максимальную погрешность
микрометра оценим как половину цены деления, Δ=h2=5 мкм.
Результирующая полная погрешность
σ≤Δ2+σd28≈6,0 мкм.
Видно, что σслуч≈Δсист и проводить дополнительные измерения
особого смысла нет. Окончательно результат измерений может быть представлен
в виде (см. также правила округления
результатов измерений в п. 4.3.2)

d=386±6⁢мкм,εd=1,5%.

Заметим, что поскольку случайная погрешность и погрешность
прибора здесь имеют один порядок величины, наблюдаемый случайный разброс
данных может быть связан как с неоднородностью сечения проволоки,
так и с дефектами микрометра (например, с неровностями зажимов, люфтом
винта, сухим трением, деформацией проволоки под действием микрометра
и т. п.). Для ответа на вопрос, что именно вызвало разброс, требуются
дополнительные исследования, желательно с использованием более точных
приборов.

Пример. Измерение скорости
полёта пули было осуществлено с погрешностью δ⁢v=±1 м/c.
Результаты измерений для n=6 выстрелов представлены в таблице:

Усреднённый результат ⟨v⟩=162,0⁢м/с,
среднеквадратичное отклонение σv=13,8⁢м/c, случайная
ошибка для средней скорости
σv¯=σv/6=5,6⁢м/с.
Поскольку разброс экспериментальных данных существенно превышает погрешность
каждого измерения, σv≫δ⁢v, он почти наверняка связан
с реальным различием скоростей пули в разных выстрелах, а не с ошибками
измерений. В качестве результата эксперимента представляют интерес
как среднее значение скоростей ⟨v⟩=162±6⁢м/с
(ε≈4%), так и значение σv≈14⁢м/с,
характеризующее разброс значений скоростей от выстрела к выстрелу.
Малая инструментальная погрешность в принципе позволяет более точно
измерить среднее и дисперсию, и исследовать закон распределения выстрелов
по скоростям более детально — для этого требуется набрать
бо́льшую статистику по выстрелам.

Пример. Измерение скорости
полёта пули было осуществлено с погрешностью δ⁢v=10 м/c. Результаты
измерений для n=6 выстрелов представлены в таблице:

Усреднённый результат ⟨v⟩=163,3⁢м/с,
σv=12,1⁢м/c, σ⟨v⟩=5⁢м/с,
σполн≈11,2⁢м/с. Инструментальная
погрешность каждого измерения превышает разброс данных, поэтому в
этом опыте затруднительно сделать вывод о различии скоростей от выстрела
к выстрелу. Результат измерений скорости пули:
⟨v⟩=163±11⁢м/с,
ε≈7%. Проводить дополнительные выстрелы при такой
большой инструментальной погрешности особого смысла нет —
лучше поработать над точностью приборов и методикой измерений.

2.6 Обработка косвенных измерений

Косвенными называют измерения, полученные в результате расчётов,
использующих результаты прямых (то есть «непосредственных»)
измерений физических величин. Сформулируем основные правила пересчёта
погрешностей при косвенных измерениях.

2.6.1 Случай одной переменной

Пусть в эксперименте измеряется величина x, а её «наилучшее»
(в некотором смысле) значение равно x⋆ и оно известно с
погрешностью σx. После чего с помощью известной функции
вычисляется величина y=f⁢(x).

В качестве «наилучшего» приближения для y используем значение функции
при «наилучшем» x:

Найдём величину погрешности σy. Обозначая отклонение измеряемой
величины как Δ⁢x=x-x⋆, и пользуясь определением производной,
при условии, что функция y⁢(x) — гладкая
вблизи x≈x⋆, запишем

где f′≡d⁢yd⁢x — производная фукнции f⁢(x), взятая в точке
x⋆. Возведём полученное в квадрат, проведём усреднение
(σy2=⟨Δ⁢y2⟩,
σx2=⟨Δ⁢x2⟩), и затем снова извлечём
корень. В результате получим

Пример. Для степенной функции
y=A⁢xn имеем σy=n⁢A⁢xn-1⁢σx, откуда

σyy=n⁢σxx,или εy=n⁢εx,

то есть относительная погрешность степенной функции возрастает пропорционально
показателю степени n.

Пример. Для y=1/x имеем ε1/x=εx
— при обращении величины сохраняется её относительная
погрешность.

Упражнение. Найдите погрешность логарифма y=ln⁡x, если известны x
и σx.

Упражнение. Найдите погрешность показательной функции y=ax,
если известны x и σx. Коэффициент a задан точно.

2.6.2 Случай многих переменных

Пусть величина u вычисляется по измеренным значениям нескольких
различных независимых физических величин x, y, …
на основе известного закона u=f⁢(x,y,…). В качестве
наилучшего значения можно по-прежнему взять значение функции f
при наилучших значениях измеряемых параметров:

Для нахождения погрешности σu воспользуемся свойством,
известным из математического анализа, — малые приращения гладких
функции многих переменных складываются линейно, то есть справедлив
принцип суперпозиции малых приращений:

где символом fx′≡∂⁡f∂⁡x обозначена
частная производная функции f по переменной x —
то есть обычная производная f по x, взятая при условии, что
все остальные аргументы (кроме x) считаются постоянными параметрами.
Тогда пользуясь формулой для нахождения дисперсии суммы независимых
величин (2.7), получим соотношение, позволяющее вычислять
погрешности косвенных измерений для произвольной функции
u=f⁢(x,y,…):

σu2=fx′⁣2⁢σx2+fy′⁣2⁢σy2+…

(2.11)

Это и есть искомая общая формула пересчёта погрешностей при косвенных
измерениях.

Отметим, что формулы (2.10) и (2.11) применимы
только если относительные отклонения всех величин малы
(εx,εy,…≪1),
а измерения проводятся вдали от особых точек функции f (производные
fx′, fy′ … не должны обращаться в бесконечность).
Также подчеркнём, что все полученные здесь формулы справедливы только
для независимых переменных x, y, …

Остановимся на некоторых важных частных случаях формулы
(2.11).

Пример. Для суммы (или разности) u=∑i=1nai⁢xi имеем

σu2=∑i=1nai2⁢σxi2.

(2.12)

Пример. Найдём погрешность степенной функции:
u=xα⋅yβ⋅…. Тогда нетрудно получить,
что

σu2u2=α2⁢σx2x2+β2⁢σy2y2+…

или через относительные погрешности

εu2=α2⁢εx2+β2⁢εy2+…

(2.13)

Пример. Вычислим погрешность произведения и частного: u=x⁢y или u=x/y.
Тогда в обоих случаях имеем

εu2=εx2+εy2,

(2.14)

то есть при умножении или делении относительные погрешности складываются
квадратично.

Пример. Рассмотрим несколько более сложный случай: нахождение угла по его тангенсу

u=arctgyx.

В таком случае, пользуясь тем, что (arctgz)′=11+z2,
где z=y/x, и используя производную сложной функции, находим
ux′=uz′⁢zx′=-yx2+y2,
uy′=uz′⁢zy′=xx2+y2, и наконец

σu2=y2⁢σx2+x2⁢σy2(x2+y2)2.

Упражнение. Найти погрешность вычисления гипотенузы z=x2+y2
прямоугольного треугольника по измеренным катетам x и y.

По итогам данного раздела можно дать следующие практические рекомендации.

•

Как правило, нет смысла увеличивать точность измерения какой-то одной
величины, если другие величины, используемые в расчётах, остаются
измеренными относительно грубо — всё равно итоговая погрешность
скорее всего будет определяться самым неточным измерением. Поэтому
все измерения имеет смысл проводить примерно с одной и той же
относительной погрешностью.
•

При этом, как следует из (2.13), особое внимание
следует уделять измерению величин, возводимых при расчётах в степени
с большими показателями. А при сложных функциональных зависимостях
имеет смысл детально проанализировать структуру формулы
(2.11):
если вклад от некоторой величины в общую погрешность мал, нет смысла
гнаться за высокой точностью её измерения, и наоборот, точность некоторых
измерений может оказаться критически важной.
•

Следует избегать измерения малых величин как разности двух близких
значений (например, толщины стенки цилиндра как разности внутреннего
и внешнего радиусов): если u=x-y, то абсолютная погрешность
σu=σx2+σy2
меняется мало, однако относительная погрешность
εu=σux-y
может оказаться неприемлемо большой, если x≈y.

Источник

О калькулятор стандартных ошибок (Высокая точность)

Калькулятор стандартной ошибки используется для расчета стандартной ошибки среднего значения набора чисел (Шаг за шагом).

стандартная ошибка среднего

Стандартная ошибка среднего — это стандартное отклонение выборочной средней оценки среднего значения генеральной совокупности. Обычно он рассчитывается путем деления стандартного отклонения оценки выборки (стандартное отклонение выборки) на квадратный корень из размера выборки (при условии статистической независимости медианных значений выборки):

в:
SEM = стандартная ошибка среднего
s = стандартное отклонение выборки (см. формулу ниже)
n = размер выборки (количество наблюдений)

СледующееСтандартное отклонение выборкиформула:

в:
s = стандартное отклонение выборки
x ₁ ，…，x _N= образец набора данных
x̄ = среднее значение выборочного набора данных
N = размер выборочного набора данных

Источник