Как решить уравнение методом проб и ошибок

Метод проб и ошибок

в решении текстовых задач.

При решении текстовых задач многие учащиеся испытывают затруднения. Главная задача учителя научить решать ученика различные типы текстовых задач. Процесс решения текстовых задач развивает у учащихся логическое мышление, учат находить выход из проблем реальной жизни, дает почувствовать уверенность в своих силах.

Текстовые задачи можно разбить на два основных класса:

• текстовые арифметические задачи;

• текстовые задачи на составление уравнений.

Причем это разделение довольно условно. Многие текстовые арифметические задачи можно решить с помощью уравнений, а задачи на составление уравнений (систем уравнений) часто решают по действиям, а если это не получается, то используют метод проб и ошибок или метод перебора.

Мне бы хотелось продемонстрировать решение ряда задач этими методами.

Задача №1

Одна сторона прямоугольного участка земли на 3 м больше другой его стороны. Площадь участка равна 70 м². Найти размеры этого участка.

Пусть x м ширина участка, (x+3) м – длина участка, а площадь x·(x+3) м²,

что по условию задачи равно 70 м². Чтобы найти размеры участка надо составить уравнение x·(x+3)=70 и решить его. Но в 5^ом классе такие учащиеся решать еще не могут. Поэтому попробуем подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

1. пусть x=4, т.е. 4·(4+3)=28, 28≠70;

2. x=6, т.е. 6·(6+3)=54, 54≠70;

3. x=7, т.е. 7·(7+3)=70, 70=70 верно.

Т.е. мы увидели, что метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, когда математический модель представляет собой новый, не изученный еще объект. Но, решая задачи этим способом, следует помнить, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому необходимы обоснования того, что найдены все возможные решения.

В нашей задаче, если бы x было больше 7,то x+310 и x·(x+3)70, если наоборот xx+3 x·(x+3)

Задачи для учащихся.

Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок.

1. Площадь прямоугольника равна 68 дм², а длина больше ширины на 13 дм. Каковы стороны этого прямоугольника?

2. Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а площадь равна 90 см². Найти стороны прямоугольника.

3. Найти периметр прямоугольника, площадь которого составляет 18 м², а ширина в 2 раза меньше длины.

4. Площадь прямоугольника равна 64 дм², а его длина в 4 раза больше ширины. Чему равен периметр прямоугольника?

5. Длину прямоугольника уменьшили на 3 см, а ширину увеличили на 4 см и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 30 см².

6. После того как ширину прямоугольника увеличили на 1 м, а длину уменьшили на 5 м, получили квадрат. Чему равна площадь квадрата, если площадь прямоугольника 91 м².

7. Длина прямоугольника на 5 м больше ширины, а площадь составляет 24 м². каковы стороны этого прямоугольника?

8. Длину прямоугольника уменьшили в 2 раза, а ширину увеличили на 1 дм и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника 60 дм².

9. Найти периметр прямоугольника, у которого ширина на 4 см меньше длины, а площадь составляет 32 см².

10)Одна из сторон прямоугольника на 20 см больше другой. Если

большую сторону уменьшить в 3 раза, а меньшую сторону увеличить

в 2 раза, то площадь нового прямоугольника будет равна 200 см².

Найти стороны данного прямоугольника.

Метод перебора при

нахождении НОД.

Рассмотрим еще один метод – метод перебора. Т.к. предыдущий метод решения задач – метод проб и ошибок не дает уверенности в том, что найдены все искомые значения. Поэтому для обоснования полноты решения требуются дополнительные, иногда очень непростые рассуждения. В этом недостаток метода проб и ошибок. Но он исключен в методе полного перебора.

Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Однако внимательный анализ условия часто позволяет найти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более короткую, чем «лобовой» перебор.

Задача. На экскурсию едут 252 ученика школы. Для них заказаны

несколько автобусов. Однако выяснилось, что если заказать

автобусы, вмещающие на 6 человек больше, то автобусов

потребуется на один меньше. Сколько больших автобусов надо

заказать?

Составим таблицу.

	Кол-во детей в одном автобусе	Количество автобусов	Общее кол-во детей
Большие автобусы	252 : x	x	252
Маленькие автобусы	252 : (x+1)	x+1	252

Т.к. по условию в большой автобус вмещается на 6 детей больше, чем в маленький, то разность 252 : x — 252 : (x+1) = 6. Значит решением задачи является число X, удовлетворяющее равенству: 252 : x — 252 : (x+1) = 6.

Но можно получить более простую математическую модель этой задачи, обозначив дополнительно буквой Y число детей, которых можно разместить в большом автобусе.

	Кол-во детей в одном автобусе	Количество автобусов	Общее кол-во детей
Большие автобусы	y	x	252
Маленькие автобусы	y-6	x+1	252

Очевидно, что в этом случае математической моделью задачи являются два равенства:

1. xy = 252;

2. (x+1)·(y-6) = 252.

Искомые числа x и y должны удовлетворять как первому, так и

второму равенству. Найдем эти числа x и y.

Из равенства xy = 252 можно заметить, что числа x и y не могут быть

больше, чем 252. Однако и в этом случае «лобовой» перебор потребовал бы рассмотрения огромного числа вариантов. Но более внимательный анализ первого равенства показывает, что числа x и y – это парные делители 252: при делении 252 на x получается y, и наоборот. Следовательно, достаточно рассмотреть лишь парные делители числа 252, причем для случая, когда y6 (y-60).

Составим таблицу:

+1

x	1	2	3	4	6	7	9	14	18	28	36
y	252	126	84	63	42	36	28	18	14	9	7

— 6

Анализ второго равенства позволяет еще больше сократить число возможных вариантов. Оно означает, что число (x+1) и (y-6) так же являются парными делителями 252. Из таблицы видно, что такими свойствами обладает только пара x=6, y=42.

Ответ: для экскурсии надо заказать 6 больших автобусов.

Задачи для учащихся.

1. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 27 меньше исходного. Найти эти числа.

2. Сумма цифр двузначного числа равна 12. число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет ⁴ /₇ исходного числа. Найти эти числа.

3. Одно из двух натуральных чисел на 4 больше другого. Найди эти числа, если их произведение равно 96.

4. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и трехместных лодок было у причала?

5. Прямоугольный газон обнесен изгородью, длинна которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найди длины газона, если известно, что они выражаются натуральными числами.

6. В несколько посылок упаковали 36 книг и 54 журнала, распределив их между посылками поровну. В каждой посылке книг на 2 меньше, чем журналов. Сколько получилось посылок?

7. Произведение двух натуральных чисел равно 72. Найти эти числа, если одно из них больше другого на 6.

8. На турбазе имеются палатки и домики, общее число которых равно 25. в каждом домике живут 4 человека, а в палатке – 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если всего на этой турбазе отдыхают 70 человек?

9. Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 40 м. Площадь участка 96 м². Найти длины сторон этого участка, если известно, что они выражаются натуральными числами.

Еще один тип задач, которые решаются методом перебора.

Задумано двузначное число, которое на 52 больше произведения своих цифр. Какое число задумано?

Пусть xy – задуманное двузначное число, где x – цифра десятков, а y – цифра единиц. Тогда их произведение равно xy. Само двузначное число можно записать как 10x+y. По условию 10x+y на 52 больше произведения своих цифр xy. Т.е. должно выполняться равенство 10x+y= xy+52, которое является математической моделью данной задачи.

Решается это уравнение методом перебора. Полный перебор можно провести, рассматривая последовательно все значения x от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение y от 0 до 9.

Однако этот перебор можно сократить, если заметить, что первая часть данного равенства больше 52. Значит, и первая его часть, т.е. задуманное число, больше 52. Поэтому неизвестное число x не меньше 5, и можно рассматривать только пять значений x – от 5 до 9.

При x=5 будем иметь равенство 50+y=5y+52, оно невозможно, т.к. 50+yy+52.

При x=6 60+y=6y+52 | -y

60=5y+52

5y=8 невозможно для натурального y.

При x=7 70+y=7y+52

70=6y+52

6y=18

y=3 Число 73

При x=8 80+y=8y+52

80=7y+52

7y=28

y=4 Число 87

При x=9 90+y=9y+52

38=8y невозможно

Таким образом, задумано либо 73, либо 84.

Условие задачи не дает возможности ответить на этот вопрос. Поэтому два ответа: 73 или 84.

Задачи для учащихся.

Метод перебора используется при доказательстве общих утверждений, где необходимо вводить буквенные обозначения.

Например: Доказать, что сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

1 сл. 1,2,3 1+2+3=6, 6:3=2

2 сл. 5,6,7 5+6+7=18, 18:3=6

3 сл. 21,22,23 21+22+23=66 66:3=22

и т.д.

Возьмем произведение натурального числа и обозначим его n. Тогда следующие за ним два числа соответственно равны n+1 и n+2.

Их сумма: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1) делится на 3, т.к. один из множителей делится на 3.

Trial and Error

If you mean, solving an equation by trial and error method then:

Substituting different values of the variable and checking the equality of LHS and RHS in an equation is the trial and error method.

Let us solve the equation $4x + 5 = 17$.

We start to substitute different values of $x$.

The value for which both the sides are balanced is the required solution. 

For example  If we put $x = 1$ in the equation $4(1) + 5 = 9$ ≠ 17.

So let us try another value of $x,
 x = 3,
=> 4(3) + 5 = 12 + 5= 17 = 17$  or

LHS = RHS.

Hence we have solved the equation by trial and error method and the solution is $x$ = 3.

Category:

• Образование
• Cancel

Методы решения уравнений

Сегодня в учебнике наткнулся на задание «реши уравнение методом весов». Т.к. в учебнике этот метод не объяснён, посмотрел в инете.
Нашёл

Какие есть методы решения уравнений?
• Метод проб и ошибок
1) экспериментально подбираются корни уравнения;
2) доказывается, что других корней нет.
• Метод перебора
проверка всех возможных вариантов решения уравнения
ІІІ Переходим к следующему этапу нашей работы – решению уравнений.
Работаем, как обычно: отвечающий решает у доски, а вы самостоятельно на
своих местах, но при этом контролируете записи решения на доске и, если
необходимо, после решения уравнения, выскажите свои замечания, вопросы,
дополнения по решению отвечающего.
1. Повтори правила раскрытия скобок и реши уравнение:
(9 – 2b) – (b + 5) = 16.
Решение: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс нужно
опустить этот знак и скобки и переписать выражение, стоящее в скобках без
изменений. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус нужно
опустить этот знак и скобки и переписать выражение, стоящее в скобках изменив
знак каждого слагаемого на противоположный.
(9 – 2b) – (b + 5) = 16
9 – 2b – b – 5 = 16
4 – 3b = 16
-3b = 16 – 4
-3b = 12
b = 12 : (-3)
Ответ: -4.
2. Реши уравнение, приводя обе его части к целым коэффициентам
(правило весов): 0,4b + 0,8 = 0,9b – 2,7.
Решение: умножим уравнение на 10, чтобы перейти к целым коэффициентам, и
применим правило весов.
0,4b + 0,8 = 0,9b – 2,7
(0,4b + 0,8) • 10 = (0,9b – 2,7) • 10
4b + 8 = 9b – 27
4b + 8 + 27= 9b – 27 + 27
4b + 35 = 9b
4b + 35 – 4b = 9b – 4b
35 = 5b
35 : 5 = 5b: 5
7 = b
Ответ: 7.
3. Реши уравнение, используя основное свойство пропорции:
18
3
4
12
35
−
=
+
х
х
.
Решение: пропорция – верное равенство двух отношений. Основное свойство
пропорции (или перекрестное правило)- произведение крайних членов пропорции равно
произведению её средних членов.
18
3
4
12
35
−
=
+
х
х
18(5 + 3х) = 12(4х — 3)
90 + 54х = 48х – 36
54х – 48х = -36 – 90
6х = -126
х = -126 : 6
х = -21
Ответ: -21.
4. Реши уравнение, используя прием переноса слагаемых: 8 + 3b = -7 – 2b.
Решение: В уравнении можно переносить слагаемые из одной части в другую, изменив
при этом знак слагаемого на противоположный.
8 + 3b = -7 – 2b
3b + 2b = -7 – 8
5b = -15
b = -15 : 5
b = -3
Ответ: -3
5. Реши уравнение, используя свойство нуля: 2(у + 3)(у — 6) = 0.
Решение: Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда,
когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом
существует(множителем может быть дробь, дробь существует, если знаменатель
не равен нулю).
2(у + 3)(у — 6) = 0
2 ≠ 0
у + 3 = 0 или у – 6 = 0
у = -3
у = 6
Ответ: -3;6.
6. Реши уравнение на множестве натуральных чисел методом перебора:
7х(9 – 2х) = 70.
Решение: Упростим уравнение, разделив его на 7(меньше числа, легче считать) и
найдем натуральные делители числа 10.
7х(9 – 2х) = 70
х(9 – 2х) = 10
D(10) = {1; 2; 5; 10}
х = 1 1 • (9 — 2•1) = 10
9 – 2 = 10
7 = 10, не верно, 1 не является корнем уравнения
х = 2 2•(9 — 2•2) = 10
2•5 = 10, верно, 2 корень уравнения
х = 5 5•(9 — 2•5) = 10
5•(-1) = 10, не верно, 5 не является корнем уравнения
х = 10 10•(9 — 2•10) = 10
10•(-11) = 10, не верно, 10 не является корнем уравнения
Ответ: 2.
7. Найди множество натуральных корней методом проб и ошибок:
х(х + = 33.
Решение: 33 = 3•11 = 1•33
х(х + = 33
х = 3 3•(3 + = 33
3•11 = 33
33 = 33, верно
Других натуральных корней у этого уравнения нет, так как при увеличении
множителей произведение так же будет увеличиваться, а при уменьшении –
уменьшается. Значит, число 3 – единственный корень этого уравнения.
Ответ: 3.
8. Реши уравнение различными способами: -х + 3 = 2.
Решение:
а) правила нахождения неизвестных компонент арифметических действий:
-х + 3 = 2
-х = 2 – 3
-х = -1
х = 1
Ответ: 1.
б) правила весов:
-х + 3 = 2
к уравнению прибавить х
-х + 3 + х = 2 + х
упростить левую часть уравнения
3 = 2 + х
вычтем 2
3 – 2 = 2 + х – 2
упростим уравнение
1 = х
Ответ: 1.
в) перенос слагаемых:
-х + 3 = 2
-х = 2 – 3
-х = -1
х = 1
Ответ: 1.

Как решить задачу с помощью метода проб и ошибок

Метод проб и ошибок — один из самых простых и эффективных способов решения задач. Суть метода заключается в том, что вы пробуете различные варианты решения до тех пор, пока не найдете наилучшее решение.

Когда использовать метод проб и ошибок

Метод проб и ошибок подходит для решения задач, где:

• Вы не знаете точного решения задачи
• Возможно несколько вариантов решения
• Ответ не может быть найден аналитически

Такой подход особенно эффективен, когда отсутствует явный алгоритм решения задачи, а необходимо найти самый оптимальный вариант решения.

Шаги решения задачи методом проб и ошибок

Шаги решения задачи с помощью метода проб и ошибок следующие:

1. Определить возможные варианты решения задачи
2. Протестировать каждый вариант решения
3. Оценить каждый из вариантов решения и выбрать наиболее оптимальный

Пример решения задачи методом проб и ошибок

Допустим, у нас есть задача найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел. Не будем использовать формулу для нахождения НОД, а попробуем методом проб и ошибок.

Шаг 1: Определить возможные варианты решения задачи. В этом случае, мы можем попробовать делить каждое число на все числа от 1 до самого числа.

Шаг 2: Протестировать каждый вариант решения. Для каждого числа мы будем делить оба числа на это число и проверять, делится ли число без остатка. Если делится без остатка, то это число может быть НОД.

Шаг 3: Оценить каждый из вариантов решения и выбрать наиболее оптимальный. Мы сравниваем все возможные НОД, которые мы нашли на шаге 2, и выбираем наибольшее.

В данном примере мы использовали метод проб и ошибок для нахождения НОД двух чисел. Метод проб и ошибок — это простой, но эффективный подход к решению задач, который может быть использован для выполения широкого круга задач.