Как работает обратное распространение ошибки

В прошлой главе мы видели, как нейросети могут самостоятельно обучаться весам и смещениям с использованием алгоритма градиентного спуска. Однако в нашем объяснении имелся пробел: мы не обсуждали подсчёт градиента функции стоимости. А это приличный пробел! В этой главе я расскажу быстрый алгоритм для вычисления подобных градиентов, известный, как обратное распространение.

Впервые алгоритм обратного распространения придумали в 1970-х, но его важность не была до конца осознана вплоть до знаменитой работы 1986 года, которую написали Дэвид Румельхарт, Джоффри Хинтон и Рональд Уильямс. В работе описано несколько нейросетей, в которых обратное распространение работает гораздо быстрее, чем в более ранних подходах к обучению, из-за чего с тех пор можно было использовать нейросеть для решения ранее неразрешимых проблем. Сегодня алгоритм обратного распространения – рабочая лошадка обучения нейросети.

Эта глава содержит больше математики, чем все остальные в книге. Если вам не особенно по нраву математика, у вас может возникнуть искушение пропустить эту главу и просто относиться к обратному распространению, как к чёрному ящику, подробности работы которого вы готовы игнорировать. Зачем тратить время на их изучение?

Причина, конечно, в понимании. В основе обратного распространения лежит выражение частной производной ∂C / ∂w функции стоимости C по весу w (или смещению b) сети. Выражение показывает, насколько быстро меняется стоимость при изменении весов и смещений. И хотя это выражение довольно сложное, у него есть своя красота, ведь у каждого его элемента есть естественная и интуитивная интерпретация. Поэтому обратное распространение – не просто быстрый алгоритм для обучения. Он даёт нам подробное понимание того, как изменение весов и смещений меняет всё поведение сети. А это стоит того, чтобы изучить подробности.

Учитывая всё это, если вы хотите просто пролистать эту главу или перепрыгнуть к следующей, ничего страшного. Я написал остальную книгу так, чтобы она была понятной, даже если считать обратное распространение чёрным ящиком. Конечно, позднее в книге будут моменты, с которых я делаю отсылки к результатам этой главы. Но в тот момент вам должны быть понятны основные заключения, даже если вы не отслеживали все рассуждения.

Для разогрева: быстрый матричный подход вычисления выходных данных нейросети

Перед обсуждением обратного распространения, давайте разогреемся быстрым матричным алгоритмом для вычисления выходных данных нейросети. Мы вообще-то уже встречались с этим алгоритмом к концу предыдущей главы, но я описал его быстро, поэтому его стоит заново рассмотреть подробнее. В частности, это будет хороший способ приспособиться к записи, используемой в обратном распространении, но в знакомом контексте.

Начнём с записи, позволяющей нам недвусмысленно обозначать веса в сети. Мы будем использовать w^l_jk для обозначения веса связи нейрона №k в слое №(l-1) с нейроном №j в слое №l. Так, к примеру, на диаграмме ниже показан вес связи четвёртого нейрона второго слоя со вторым нейроном третьего слоя:

Сначала такая запись кажется неуклюжей, и требует некоторых усилий на привыкание. Однако вскоре она покажется вам простой и естественной. Одна её особенность – порядок индексов j и k. Вы могли бы решить, что разумнее было бы использовать j для обозначения входного нейрона, а k – для выходного, а не наоборот, как у нас. Причину такой особенности я объясню ниже.

Сходные обозначения мы будем использовать для смещений и активаций сети. В частности, b^l_j будет обозначать смещение нейрона №j в слое №l. a^l_j будет обозначать активацию нейрона №j в слое №l. На следующей диаграмме показаны примеры использования этой записи:

С такой записью активация a^l_j нейрона №j в слое №l связана с активацией в слое №(l-1) следующим уравнением (сравните с уравнением (4) и его обсуждением в прошлой главе):

где сумма идёт по всем нейронам k в слое (l-1). Чтобы перезаписать это выражение в матричном виде, мы определим матрицу весов w^l для каждого слоя l. Элементы матрицы весов – это просто веса, соединённые со слоем №l, то есть, элемент в строке №j и столбце №k будет w^l_jk. Сходным образом для каждого слоя l мы определяем вектор смещения b^l. Вы, наверное, догадались, как это работает – компонентами вектора смещения будут просто значения b^l_j, по одному компоненту для каждого нейрона в слое №l. И, наконец, мы определим вектор активации a^l, компонентами которого будут активации a^l_j.

Последним ингредиентом, необходимым для того, чтобы перезаписать (23), будет матричная форма векторизации функции σ. С векторизацией мы вскользь столкнулись в прошлой главе – идея в том, что мы хотим применить функцию σ к каждому элементу вектора v. Мы используем очевидную запись σ(v) для обозначения поэлементного применения функции. То есть, компонентами σ(v) будут просто σ(v)_j = σ(v_j). Для примера, если у нас есть функция f(x) = x², то векторизованная форма f даёт нам

то есть, векторизованная f просто возводит в квадрат каждый элемент вектора.

Учитывая все эти формы записи, уравнение (23) можно переписать в красивой и компактной векторизованной форме:

Такое выражение позволяет нам более глобально взглянуть на связь активаций одного слоя с активациями предыдущего: мы просто применяем матрицу весов к активациям, добавляем вектор смещения и потом применяем сигмоиду. Кстати, именно эта запись и требует использования записи w^l_jk. Если бы мы использовали индекс j для обозначения входного нейрона, а k для выходного, нам пришлось бы заменить матрицу весов в уравнении (25) на транспонированную. Это небольшое, но раздражающее изменение, и мы бы потеряли простоту заявления (и размышления) о «применении матрицы весов к активациям». Такой глобальный подход проще и лаконичнее (и использует меньше индексов!), чем понейронный. Это просто способ избежать индексного ада, не теряя точности обозначения происходящего. Также это выражение полезно на практике, поскольку большинство матричных библиотек предлагают быстрые способы перемножения матриц, сложения векторов и векторизации. Код в прошлой главе непосредственно пользовался этим выражением для вычисления поведения сети.

Используя уравнение (25) для вычисления a^l, мы вычисляем промежуточное значение z^l ≡ w^la^l−1+b^l. Эта величина оказывается достаточно полезной для именования: мы называем z^l взвешенным входом нейронов слоя №l. Позднее мы активно будем использовать этот взвешенный вход. Уравнение (25) иногда записывают через взвешенный вход, как a^l = σ(z^l). Стоит также отметить, что у z^l есть компоненты , то есть, z^l_j — это всего лишь взвешенный вход функции активации нейрона j в слое l.

Два необходимых предположения по поводу функции стоимости

Цель обратного распространения – вычислить частные производные ∂C/∂w и ∂C/∂b функции стоимости C для каждого веса w и смещения b сети. Чтобы обратное распространение сработало, нам необходимо сделать два главных предположения по поводу формы функции стоимости. Однако перед этим полезно будет представлять себе пример функции стоимости. Мы используем квадратичную функцию из прошлой главы (уравнение (6)). В записи из предыдущего раздела она будет иметь вид

где: n – общее количество обучающих примеров; сумма идёт по всем примерам x; y=y(x) – необходимые выходные данные; L обозначает количество слоёв в сети; a^L = a^L (x) – вектор выхода активаций сети, когда на входе x.

Ладно, так какие нам нужны предположения касательно функции стоимости С, чтобы применять обратное распространение? Первое – функцию стоимости можно записать как среднее C = 1/n ∑_x C_x функций стоимости C_x для отдельных обучающих примеров x. Это выполняется в случае квадратичной функции стоимости, где стоимость одного обучающего примера C_x = 1/2 ||y − a^L||². Это предположение будет верным и для всех остальных функций стоимости, которые встретятся нам в книге.

Это предположение нужно нам потому, что на самом деле обратное распространение позволяет нам вычислять частные производные ∂C/∂w и ∂C/∂b, усредняя по обучающим примерам. Приняв это предположение, мы предположим, что обучающий пример x фиксирован, и перестанем указывать индекс x, записывая стоимость C_x как C. Потом мы вернём x, но пока что лучше его просто подразумевать.

Второе предположение касательно функции стоимости – её можно записать как функцию выхода нейросети:

К примеру, квадратичная функция стоимости удовлетворяет этому требованию, поскольку квадратичную стоимость одного обучающего примера x можно записать, как

что и будет функцией выходных активаций. Конечно, эта функция стоимости также зависит от желаемого выхода y, и вы можете удивиться, почему мы не рассматриваем C как функцию ещё и от y. Однако вспомним, что входной обучающий пример x фиксирован, поэтому выход y тоже фиксирован. В частности, его мы не можем изменить, меняя веса и смещения, то есть, это не то, что выучивает нейросеть. Поэтому имеет смысл считать C функцией от только выходных активаций a^L, а y – просто параметром, помогающим её определять.

Произведение Адамара s⊙t

Алгоритм обратного распространения основан на обычных операциях линейной алгебры – сложении векторов, умножении вектора на матрицу, и т.д. Однако одна из операций используется менее часто. Допустим, s и t – два вектора одной размерности. Тогда через s⊙t мы обозначим поэлементное перемножение двух векторов. Тогда компоненты s⊙t будут просто (s⊙t)_j = s_jt_j. Например:

Такое поэлементное произведение иногда называют произведением Адамара или произведением Шура. Мы будем называть его произведением Адамара. Хорошие библиотеки для работы с матрицами обычно имеют быструю реализацию произведения Адамара, и это бывает удобно при реализации обратного распространения.

Четыре фундаментальных уравнения в основе обратного распространения

Обратное распространение связано с пониманием того, как изменение весов и смещений сети меняет функцию стоимости. По сути, это означает подсчёт частных производных ∂C/∂w^l_jk и ∂C/∂b^l_j. Но для их вычисления сначала мы вычисляем промежуточное значение δ^l_j, которую мы называем ошибкой в нейроне №j в слое №l. Обратное распространение даст нам процедуру для вычисления ошибки δ^l_j, а потом свяжет δ^l_j с ∂C/∂w^l_jk и ∂C/∂b^l_j.

Чтобы понять, как определяется ошибка, представьте, что в нашей нейросети завёлся демон:

Он сидит на нейроне №j в слое №l. При поступлении входных данных демон нарушает работу нейрона. Он добавляет небольшое изменение Δz^l_j к взвешенному входу нейрона, и вместо того, чтобы выдавать σ(z^l_j), нейрон выдаст σ(z^l_j + Δz^l_j). Это изменение распространится и через следующие слои сети, что в итоге изменит общую стоимость на (∂C/∂z^l_j) * Δz^l_j.

Но наш демон хороший, и он пытается помочь вам улучшить стоимость, то есть, найти Δz^l_j, уменьшающее стоимость. Допустим, значение ∂C/∂z^l_j велико (положительное или отрицательное). Тогда демон может серьёзно уменьшить стоимость, выбрав Δz^l_j со знаком, противоположным ∂C/∂z^l_j. А если же ∂C/∂z^l_j близко к нулю, тогда демон не может сильно улучшить стоимость, меняя взвешенный вход z^l_j. Так что, с точки зрения демона, нейрон уже близок к оптимуму (это, конечно, верно только для малых Δz^l_j. Допустим, таковы ограничения действий демона). Поэтому в эвристическом смысле ∂C/∂z^l_j является мерой ошибки нейрона.

Под мотивацией от этой истории определим ошибку δ^l_j нейрона j в слое l, как

По обычному нашему соглашению мы используем δ^l для обозначения вектора ошибок, связанного со слоем l. Обратное распространение даст нам способ подсчитать δ^l для любого слоя, а потом соотнести эти ошибки с теми величинами, которые нас реально интересуют, ∂C/∂w^l_jk и ∂C/∂b^l_j.

Вас может интересовать, почему демон меняет взвешенный вход z^l_j. Ведь было бы естественнее представить, что демон изменяет выходную активацию a^l_j, чтобы мы использовали ∂C/∂a^l_j в качестве меры ошибки. На самом деле, если сделать так, то всё получается очень похожим на то, что мы будем обсуждать дальше. Однако в этом случае представление обратного распространения будет алгебраически чуть более сложным. Поэтому мы остановимся на варианте δ^l_j = ∂C/∂z^l_j в качестве меры ошибки.

В задачах классификации термин «ошибка» иногда означает количество неправильных классификаций. К примеру, если нейросеть правильно классифицирует 96,0% цифр, то ошибка будет равна 4,0%. Очевидно, это совсем не то, что мы имеем в виду под векторами δ. Но на практике обычно можно без труда понять, какое значение имеется в виду.

План атаки: обратное распространение основано на четырёх фундаментальных уравнениях. Совместно они дают нам способ вычислить как ошибку δ^l, так и градиент функции стоимости. Я привожу их ниже. Не нужно ожидать их мгновенного освоения. Вы будете разочарованы. Уравнения обратного распространения настолько глубоки, что для хорошего их понимания требуется ощутимое время и терпение, и постепенное углубление в вопрос. Хорошие новости в том, что это терпение окупится сторицей. Поэтому в данном разделе наши рассуждения только начинаются, помогая вам идти по пути глубокого понимания уравнений.

Вот схема того, как мы будем углубляться в эти уравнения позже: я дам их краткое доказательство, помогающее объяснить, почему они верны; мы перепишем их в алгоритмической форме в виде псевдокода, и увидим, как реализовать его в реальном коде на python; в последней части главы мы выработаем интуитивное представление о значении уравнений обратного распространения, и о том, как их можно найти с нуля. Мы будем периодически возвращаться к четырём фундаментальным уравнениям, и чем глубже вы будете их понимать, тем более комфортными, и возможно, красивыми и естественными они будут вам казаться.

Уравнение ошибки выходного слоя, δ^L: компоненты δ^L считаются, как

Очень естественное выражение. Первый член справа, ∂C / ∂a^L_j, измеряет, насколько быстро стоимость меняется как функция выходной активации №j. Если, к примеру, C не особенно зависит от конкретного выходного нейрона j, тогда δ^L_j будет малым, как и ожидается. Второй член справа, σ'(z^L_j), измеряет, насколько быстро функция активации σ меняется в z^L_j.

Заметьте, что всё в (BP1) легко подсчитать. В частности, мы вычисляем z^L_j при подсчёте поведения сети, и на вычисление σ'(z^L_j) уйдёт незначительно больше ресурсов. Конечно, точная форма ∂C / ∂a^L_j зависит от формы функции стоимость. Однако, если функция стоимости известна, то не должно быть проблем с вычислением ∂C / ∂a^L_j. К примеру, если мы используем квадратичную функцию стоимости, тогда C = 1/2 ∑_j (y_j − a^L_j)², поэтому ∂C / ∂a^L_j = (a^L_j − y_j), что легко подсчитать.

Уравнение (BP1) – это покомпонентное выражение δ^L. Оно совершенно нормальное, но не записано в матричной форме, которая нужна нам для обратного распространения. Однако, его легко переписать в матричной форме, как

Здесь ∇_a C определяется, как вектор, чьими компонентами будут частные производные ∂C / ∂a^L_j. Его можно представлять, как выражение скорости изменения C по отношению к выходным активациям. Легко видеть, что уравнения (BP1a) и (BP1) эквивалентны, поэтому далее мы будем использовать (BP1) для отсылки к любому из них. К примеру, в случае с квадратичной стоимостью, у нас будет ∇_a C = (a^L — y), поэтому полной матричной формой (BP1) будет

Всё в этом выражении имеет удобную векторную форму, и его легко вычислить при помощи такой библиотеки, как, например, Numpy.

Выражение ошибки δ^l через ошибку в следующем слое, δ^l+1: в частности,

где (w^l+1)^T — транспонирование весовой матрицы w^l+1 для слоя №(l+1). Уравнение кажется сложным, но каждый его элемент легко интерпретировать. Допустим, мы знаем ошибку δ^l+1 для слоя (l+1). Транспонирование весовой матрицы, (w^l+1)^T, можно представить себе, как перемещение ошибки назад по сети, что даёт нам некую меру ошибки на выходе слоя №l. Затем мы считаем произведение Адамара ⊙σ'(z^l). Это продвигает ошибку назад через функцию активации в слое l, давая нам значение ошибки δl во взвешенном входе для слоя l.

Комбинируя (BP2) с (BP1), мы можем подсчитать ошибку δ^l для любого слоя сети. Мы начинаем с использования (BP1) для подсчёта δ^L, затем применяем уравнение (BP2) для подсчёта δ^L-1, затем снова для подсчёта δ^L-2, и так далее, до упора по сети в обратную сторону.

Уравнение скорости изменения стоимости по отношению к любому смещению в сети: в частности:

То есть, ошибка δ^l_j точно равна скорости изменения ∂C / ∂b^l_j. Это превосходно, поскольку (BP1) и (BP2) уже рассказали нам, как подсчитывать δ^l_j. Мы можем перезаписать (BP3) короче, как

где δ оценивается для того же нейрона, что и смещение b.

Уравнение для скорости изменения стоимости по отношению к любому весу в сети: в частности:

Отсюда мы узнаём, как подсчитать частную производную ∂C/∂w^l_jk через значения δ^l и a^l-1, способ расчёта которых нам уже известен. Это уравнение можно переписать в менее загруженной индексами форме:

где a_in — активация нейронного входа для веса w, а δ_out — ошибка нейронного выхода от веса w. Если подробнее посмотреть на вес w и два соединённых им нейрона, то можно будет нарисовать это так:

Приятное следствие уравнения (32) в том, что когда активация a_in мала, a_in ≈ 0, член градиента ∂C/∂w тоже стремится к нулю. В таком случае мы говорим, что вес обучается медленно, то есть, не сильно меняется во время градиентного спуска. Иначе говоря, одним из следствий (BP4) будет то, что весовой выход нейронов с низкой активацией обучается медленно.

Из (BP1)-(BP4) можно почерпнуть и другие идеи. Начнём с выходного слоя. Рассмотрим член σ'(z^L_j) в (BP1). Вспомним из графика сигмоиды из прошлой главы, что она становится плоской, когда σ(z^L_j) приближается к 0 или 1. В данных случаях σ'(z^L_j) ≈ 0. Поэтому вес в последнем слое будет обучаться медленно, если активация выходного нейрона мала (≈ 0) или велика (≈ 1). В таком случае обычно говорят, что выходной нейрон насыщен, и в итоге вес перестал обучаться (или обучается медленно). Те же замечания справедливы и для смещений выходного нейрона.

Сходные идеи можно получить и касательно более ранних слоёв. В частности, рассмотрим член σ'(z^l) в (BP2). Это значит, что δ^l_j, скорее всего, будет малой при приближении нейрона к насыщению. А это, в свою очередь, означает, что любые веса на входе насыщенного нейрона будут обучаться медленно (правда, это не сработает, если у w^l+1Tδ^l+1 будут достаточно большие элементы, компенсирующие небольшое значение σ'(z^L_j)).

Подытожим: мы узнали, что вес будет обучаться медленно, если либо активация входного нейрона мала, либо выходной нейрон насыщен, то есть его активация мала или велика.

В этом нет ничего особенно удивительного. И всё же, эти наблюдения помогают улучшить наше представление о том, что происходит при обучении сети. Более того, мы можем подойти к этим рассуждениям с обратной стороны. Четыре фундаментальных уравнения справедливы для любой функции активации, а не только для стандартной сигмоиды (поскольку, как мы увидим далее, в доказательствах не используются свойства сигмоиды). Поэтому эти уравнения можно использовать для разработки функций активации с определёнными нужными свойствами обучения. Для примера, допустим, мы выбрали функцию активации σ, непохожую на сигмоиду, такую, что σ’ всегда положительна и не приближается к нулю. Это предотвратить замедление обучения, происходящее при насыщении обычных сигмоидных нейронов. Позднее в книге мы увидим примеры, где функция активации меняется подобным образом. Учитывая уравнения (BP1)-(BP4), мы можем объяснить, зачем нужны такие модификации, и как они могут повлиять на ситуацию.

Итог: уравнения обратного распространения

Задачи

• Альтернативная запись уравнений обратного распространения. Я записал уравнения обратного распространения с использованием произведения Адамара. Это может сбить с толку людей, не привыкших к этому произведению. Есть и другой подход, на основе обычного перемножения матриц, который может оказаться поучительным для некоторых читателей. Покажите, что (BP1) можно переписать, как

где Σ'(z^L) – квадратная матрица, у которой по диагонали расположены значения σ'(z^L_j), а другие элементы равны 0. Учтите, что эта матрица взаимодействует с ∇_a C через обычное перемножение матриц.

Покажите, что (BP2) можно переписать, как

Комбинируя предыдущие задачи, покажите, что:

Для читателей, привычных к матричному перемножению, это уравнение будет легче понять, чем (BP1) и (BP2). Я концентрируюсь на (BP1) и (BP2) потому, что этот подход оказывается быстрее реализовать численно. [здесь Σ — это не сумма (∑), а заглавная σ (сигма) / прим. перев.]

Доказательство четырёх фундаментальных уравнений (необязательный раздел)

Теперь докажем четыре фундаментальных уравнения (BP1)-(BP4). Все они являются следствиями цепного правила (правила дифференцирования сложной функции) из анализа функций многих переменных. Если вы хорошо знакомы с цепным правилом, настоятельно рекомендую попробовать посчитать производные самостоятельно перед тем, как продолжить чтение.

Начнём с уравнения (BP1), которое даёт нам выражение для выходной ошибки δ^L. Чтобы доказать его, вспомним, что, по определению:

Применяя цепное правило, перепишем частные производные через частные производные по выходным активациям:

где суммирование идёт по всем нейронам k в выходном слое. Конечно, выходная активация a^L_k нейрона №k зависит только от взвешенного входа z^L_j для нейрона №j, когда k=j. Поэтому ∂a^L_k / ∂z^L_j исчезает, когда k ≠ j. В итоге мы упрощаем предыдущее уравнение до

Вспомнив, что a^L_j = σ(z^L_j), мы можем переписать второй член справа, как σ'(z^L_j), и уравнение превращается в

то есть, в (BP1) в покомпонентном виде.

Затем докажем (BP2), дающее уравнение для ошибки δ^l через ошибку в следующем слое δ^l+1. Для этого нам надо переписать δ^l_j = ∂C / ∂z^l_j через δ^l+1_k = ∂C / ∂z^l+1_k. Это можно сделать при помощи цепного правила:

где в последней строчке мы поменяли местами два члена справа, и подставили определение δ^l+1_k. Чтобы вычислить первый член на последней строчке, отметим, что

Продифференцировав, получим

Подставив это в (42), получим

То есть, (BP2) в покомпонентной записи.

Остаётся доказать (BP3) и (BP4). Они тоже следуют из цепного правила, примерно таким же методом, как и два предыдущих. Оставлю их вам в качестве упражнения.

Упражнение

• Докажите (BP3) и (BP4).

Вот и всё доказательство четырёх фундаментальных уравнений обратного распространения. Оно может показаться сложным. Но на самом деле это просто результат аккуратного применения цепного правила. Говоря менее лаконично, обратное распространение можно представить себе, как способ подсчёта градиента функции стоимости через систематическое применение цепного правила из анализа функций многих переменных. И это реально всё, что представляет собой обратное распространение – остальное просто детали.

Алгоритм обратного распространения

Уравнения обратного распространения дают нам метод подсчёта градиента функции стоимости. Давайте запишем это явно в виде алгоритма:

1. Вход x: назначить соответствующую активацию a¹ для входного слоя.
2. Прямое распространение: для каждого l = 2,3,…,L вычислить z^l = w^la^l−1+b^l и a^l = σ(z^l).
3. Выходная ошибка δ^L: вычислить вектор δ^L = ∇_a C ⊙ σ'(z^L).
4. Обратное распространение ошибки: для каждого l = L−1,L−2,…,2 вычислить δ^l = ((w^l+1)^Tδ^l+1) ⊙ σ'(z^l).
5. Выход: градиент функции стоимости задаётся и .

Посмотрев на алгоритм, вы поймёте, почему он называется обратное распространение. Мы вычисляем векторы ошибки δ^l задом наперёд, начиная с последнего слоя. Может показаться странным, что мы идём по сети назад. Но если подумать о доказательстве обратного распространения, то обратное движение является следствием того, что стоимость – это функция выхода сети. Чтобы понять, как меняется стоимость в зависимости от ранних весов и смещений, нам нужно раз за разом применять цепное правило, идя назад через слои, чтобы получить полезные выражения.

Упражнения

• Обратное распространение с одним изменённым нейроном. Допустим, мы изменили один нейрон в сети с прямым распространением так, чтобы его выход был f(∑_j w_jx_j+b), где f – некая функция, не похожая на сигмоиду. Как нам поменять алгоритм обратного распространения в данном случае?
• Обратное распространение с линейными нейронами. Допустим, мы заменим обычную нелинейную сигмоиду на σ(z) = z по всей сети. Перепишите алгоритм обратного распространения для данного случая.

Как я уже пояснял ранее, алгоритм обратного распространения вычисляет градиент функции стоимости для одного обучающего примера, C = C_x. На практике часто комбинируют обратное распространение с алгоритмом обучения, например, со стохастическим градиентным спуском, когда мы подсчитываем градиент для многих обучающих примеров. В частности, при заданном мини-пакете m обучающих примеров, следующий алгоритм применяет градиентный спуск на основе этого мини-пакета:

1. Вход: набор обучающих примеров.
2. Для каждого обучающего примера x назначить соответствующую входную активацию a^x,1 и выполнить следующие шаги:
   • Прямое распространение для каждого l=2,3,…,L вычислить z^x,l = w^la^x,l−1+b^l и a^x,l = σ(z^x,l).
   • Выходная ошибка δ^x,L: вычислить вектор δ^x,L = ∇_a C_x ⋅ σ'(z^x,L).
   • Обратное распространение ошибки: для каждого l=L−1,L−2,…,2 вычислить δ^x,l = ((w^l+1)^Tδ^x,l+1) ⋅ σ'(z^x,l).
3. Градиентный спуск: для каждого l=L,L−1,…,2 обновить веса согласно правилу , и смещения согласно правилу .

Конечно, для реализации стохастического градиентного спуска на практике также понадобится внешний цикл, генерирующий мини-пакеты обучающих примеров, и внешний цикл, проходящий по нескольким эпохам обучения. Для простоты я их опустил.

Код для обратного распространения

Поняв абстрактную сторону обратного распространения, теперь мы можем понять код, использованный в предыдущей главе, реализующий обратное распространение. Вспомним из той главы, что код содержался в методах update_mini_batch и backprop класс Network. Код этих методов – прямой перевод описанного выше алгоритма. В частности, метод update_mini_batch обновляет веса и смещения сети, подсчитывая градиент для текущего mini_batch обучающих примеров:

class Network(object):
...
    def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):
        """Обновить веса и смещения сети, применяя градиентный спуск с использованием обратного распространения к одному мини-пакету. mini_batch – это список кортежей (x, y), а eta – скорость обучения."""
        nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
        nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
        for x, y in mini_batch:
            delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)
            nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]
            nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]
        self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw 
                        for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]
        self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb 
                       for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]

Большую часть работы делают строки delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y), использующие метод backprop для подсчёта частных производных ∂C_x/∂b^l_j и ∂C_x/∂w^l_jk. Метод backprop почти повторяет алгоритм предыдущего раздела. Есть одно небольшое отличие – мы используем немного другой подход к индексированию слоёв. Это сделано для того, чтобы воспользоваться особенностью python, отрицательными индексами массива, позволяющими отсчитывать элементы назад, с конца. l[-3] будет третьим элементом с конца массива l. Код backprop приведён ниже, вместе со вспомогательными функциями, используемыми для подсчёта сигмоиды, её производной и производной функции стоимости. С ними код получается законченным и понятным. Если что-то неясно, обратитесь к первому описанию кода с полным листингом.

class Network(object):
...
   def backprop(self, x, y):
        """Вернуть кортеж ``(nabla_b, nabla_w)``, представляющий градиент для функции стоимости C_x.  ``nabla_b`` и ``nabla_w`` - послойные списки массивов numpy, похожие на ``self.biases`` and ``self.weights``."""
        nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
        nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
        # прямой проход
        activation = x
        activations = [x] # список для послойного хранения активаций
        zs = [] # список для послойного хранения z-векторов
        for b, w in zip(self.biases, self.weights):
            z = np.dot(w, activation)+b
            zs.append(z)
            activation = sigmoid(z)
            activations.append(activation)
        # обратный проход
        delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \
            sigmoid_prime(zs[-1])
        nabla_b[-1] = delta
        nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())
        """Переменная l в цикле ниже используется не так, как описано во второй главе книги. l = 1 означает последний слой нейронов, l = 2 – предпоследний, и так далее. Мы пользуемся преимуществом того, что в python можно использовать отрицательные индексы в массивах."""
        for l in xrange(2, self.num_layers):
            z = zs[-l]
            sp = sigmoid_prime(z)
            delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
            nabla_b[-l] = delta
            nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
        return (nabla_b, nabla_w)

...

    def cost_derivative(self, output_activations, y):
        """Вернуть вектор частных производных (чп C_x / чп a) для выходных активаций."""
        return (output_activations-y) 

def sigmoid(z):
    """Сигмоида."""
    return 1.0/(1.0+np.exp(-z))

def sigmoid_prime(z):
    """Производная сигмоиды."""
    return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))

Задача

• Полностью основанный на матрицах подход к обратному распространению на мини-пакете. Наша реализация стохастического градиентного спуска использует цикл по обучающим примерам из мини-пакета. Алгоритм обратного распространения можно поменять так, чтобы он вычислял градиенты для всех обучающих примерах мини-пакета одновременно. Вместо того, чтобы начинать с одного вектора x, мы можем начать с матрицы X=[x₁x₂…x_m], чьими столбцами будут векторы мини-пакета. Прямое распространение идёт через произведение весовых матриц, добавление подходящей матрицы для смещений и повсеместного применения сигмоиды. Обратное распространение идёт по той же схеме. Напишите псевдокод для такого подхода для алгоритма обратного распространения. Измените network.py так, чтобы он использовал этот матричный подход. Преимуществом такого подхода будет использование всех преимуществ современных библиотек для линейной алгебры. В итоге он может работать быстрее цикла по мини-пакеты (к примеру, на моём компьютере программа ускоряется примерно в 2 раза на задачах классификации MNIST). На практике все серьёзные библиотеки для обратного распространения используют такой полноматричный подход или какой-то его вариант.

В каком смысле обратное распространение является быстрым алгоритмом?

В каком смысле обратное распространение является быстрым алгоритмом? Для ответа на этот вопрос рассмотрим ещё один подход к вычислению градиента. Представьте себе ранние дни исследований нейросетей. Возможно, это 1950-е или 1960-е годы, и вы – первый человек в мире, придумавший использовать для обучения градиентный спуск! Но чтобы это сработало, вам нужно подсчитать градиент функции стоимости. Вы вспоминаете алгебру и решаете посмотреть, можно ли использовать цепное правило для вычисления градиента. Немного поигравшись, вы видите, что алгебра кажется сложной, и вы разочаровываетесь. Вы пытаетесь найти другой подход. Вы решаете считать стоимость функцией только весов C=C(w) (к смещениям вернёмся чуть позже). Вы нумеруете веса w₁, w₂,… и хотите вычислить ∂C/∂w_j для веса w_j. Очевидный способ – использовать приближение

Где ε > 0 – небольшое положительное число, а e_j — единичный вектор направления j. Иначе говоря, мы можем приблизительно оценить ∂C/∂w_j, вычислив стоимость C для двух немного различных значений w_j, а потом применить уравнение (46). Та же идея позволит нам подсчитать частные производные ∂C/∂b по смещениям.

Подход выглядит многообещающим. Концептуально простой, легко реализуемый, использует только несколько строк кода. Он выглядит гораздо более многообещающим, чем идея использования цепного правила для подсчёта градиента!

К сожалении, хотя такой подход выглядит многообещающим, при его реализации в коде оказывается, что работает он крайне медленно. Чтобы понять, почему, представьте, что у нас в сети миллион весов. Тогда для каждого веса w_j нам нужно вычислить C(w + εe_j), чтобы подсчитать ∂C/∂w_j. А это значит, что для вычисления градиента нам нужно вычислить функцию стоимости миллион раз, что потребует миллион прямых проходов по сети (на каждый обучающий пример). А ещё нам надо подсчитать C(w), так что получается миллион и один проход по сети.

Хитрость обратного распространения в том, что она позволяет нам одновременно вычислять все частные производные ∂C/∂w_j, используя только один прямой проход по сети, за которым следует один обратный проход. Грубо говоря, вычислительная стоимость обратного прохода примерно такая же, как у прямого.

Поэтому общая стоимость обратного распространения примерно такая же, как у двух прямых проходов по сети. Сравните это с миллионом и одним прямым проходом, необходимым для реализации метода (46)! Так что, хотя обратное распространение внешне выглядит более сложным подходом, в реальности он куда как более быстрый.

Впервые это ускорение сполна оценили в 1986, и это резко расширило диапазон задач, решаемых с помощью нейросетей. В свою очередь, это привело к увеличению количества людей, использующих нейросети. Конечно, обратное распространение – не панацея. Даже в конце 1980-х люди уже натолкнулись на её ограничения, особенно при попытках использовать обратное распространение для обучения глубоких нейросетей, то есть сетей со множеством скрытых слоёв. Позже мы увидим, как современные компьютеры и новые хитрые идеи позволяют использовать обратное распространение для обучения таких глубоких нейросетей.

Обратное распространение: в общем и целом

Как я уже объяснил, обратное распространение являет нам две загадки. Первая, что на самом деле делает алгоритм? Мы выработали схему обратного распространения ошибки от выходных данных. Можно ли углубиться дальше, получить более интуитивное представление о происходящем во время всех этих перемножений векторов и матриц? Вторая загадка – как вообще кто-то мог обнаружить обратное распространение? Одно дело, следовать шагам алгоритма или доказательству его работы. Но это не значит, что вы так хорошо поняли задачу, что могли изобрести этот алгоритм. Есть ли разумная цепочка рассуждений, способная привести нас к открытию алгоритма обратного распространения? В этом разделе я освещу обе загадки.

Чтобы улучшить понимание работы алгоритма, представим, что мы провели небольшое изменение Δw^l_jk некоего веса w^l_jk:

Это изменение веса приведёт к изменению выходной активации соответствующего нейрона:

Это приведёт к изменению всех активаций следующего слоя:

Эти изменения приведут к изменениям следующего слоя, и так далее, вплоть до последнего, а потом к изменениям функции стоимости:

Изменение ΔC связано с изменением Δw^l_jk уравнением

Из этого следует, что вероятным подходом к вычислению ∂C/∂w^l_jk будет тщательное отслеживание распространения небольшого изменения w^l_jk, приводящего к небольшому изменению в C. Если мы сможем это сделать, тщательно выражая по пути всё в величинах, которые легко вычислить, то мы сможем вычислить и ∂C/∂w^l_jk.

Давайте попробуем. Изменение Δw^l_jk вызывает небольшое изменение Δa^l_j в активации нейрона j в слое l. Это изменение задаётся

Изменение активации Δa^l_j приводит к изменениям во всех активациях следующего слоя, (l+1). Мы сконцентрируемся только на одной из этих изменённых активаций, допустим, a^l+1_q,

Это приведёт к следующим изменениям:

Подставляя уравнение (48), получаем:

Конечно, изменение Δa^l+1_q изменит и активации в следующем слое. Мы даже можем представить путь по всей сети от w^l_jk до C, где каждое изменение активации приводит к изменению следующей активации, и, наконец, к изменению стоимости на выходе. Если путь проходит через активации a^l_j, a^l+1_q,…,a^L−1_n, a^L_m, тогда итоговое выражение будет

То есть, мы выбираем член вида ∂a/∂a для каждого следуюшего проходимого нами нейрона, а также для члена ∂C / ∂a^L_m в конце. Это представление изменений в C из-за изменений в активациях по данному конкретному пути сквозь сеть. Конечно, существует много путей, по которым изменение в w^l_jk может пройти и повлиять на стоимость, а мы рассматривали только один из них. Чтобы подсчитать общее изменение C разумно предположить, что мы должны просуммировать все возможные пути от веса до конечной стоимости:

где мы просуммировали все возможные выборы для промежуточных нейронов по пути. Сравнивая это с (47), мы видим, что:

Уравнение (53) выглядит сложно. Однако у него есть приятная интуитивная интерпретация. Мы подсчитываем изменение C по отношению к весам сети. Оно говорит нам, что каждое ребро между двумя нейронами сети связано с фактором отношения, являющимся только лишь частной производной активации одного нейрона по отношению к активации другого нейрона. У ребра от первого веса до первого нейрона фактор отношения равен ∂a^l_j / ∂w^l_jk. Коэффициент отношения для пути – это просто произведение коэффициентов по всему пути. А общий коэффициент изменения ∂C / ∂w^l_jk является суммой коэффициентов по всем путям от начального веса до конечной стоимости. Эта процедура показана далее, для одного пути:

Пока что мы давали эвристический аргумент, способ представить происходящее при изменении весов сети. Позвольте мне обрисовать дальнейший вариант мышления на эту тему для развития данного аргумента. Во-первых, можно вывести точные выражение для всех отдельных частных производных в уравнении (53). Это легко сделать с использованием несложной алгебры. После этого можно попробовать понять, как записать все суммы по индексам в виде произведений матриц. Это оказывается утомительной задачей, требующей терпения, но не чем-то экстраординарным. После всего этого и максимального упрощения вы увидите, что получился ровно тот же самый алгоритм обратного распространения! Поэтому алгоритм обратного распространения можно представлять себе, как способ вычисления суммы коэффициентов по всем путям. Или, если переформулировать, алгоритм обратного распространения – хитроумный способ отслеживания небольших изменений весов (и смещений), когда они распространяются по сети, достигают выхода и влияют на стоимость.

Здесь я не буду делать всего этого. Это дело малопривлекательное, требующее тщательной проработки деталей. Если вы готовы к такому, вам может понравиться этим заниматься. Если нет, то надеюсь, что подобные размышления дадут вам некоторые идеи по поводу целей обратного распространения.

Что насчёт другой загадки – как вообще можно было открыть обратное распространение? На самом деле, если вы последуете по обрисованному мною пути, вы получите доказательство обратного распространения. К несчастью, доказательство будет длиннее и сложнее чем то, что я описал ранее. Так как же было открыто то короткое (но ещё более загадочное) доказательство? Если записать все детали длинного доказательства, вам сразу бросятся в глаза несколько очевидных упрощений. Вы применяете упрощения, получаете более простое доказательство, записываете его. А затем вам опять на глаза попадаются несколько очевидных упрощений. И вы повторяете процесс. После нескольких повторений получится то доказательство, что мы видели ранее – короткое, но немного непонятное, поскольку из него удалены все путеводные вехи! Я, конечно, предлагаю вам поверить мне на слово, однако никакой загадки происхождения приведённого доказательства на самом деле нет. Просто много тяжёлой работы по упрощению доказательства, описанного мною в этом разделе.

Однако в этом процессе есть один хитроумный трюк. В уравнении (53) промежуточные переменные – это активации, типа a^l+1_q. Хитрость в том, чтобы перейти к использованию взвешенных входов, типа z^l+1_q, в качестве промежуточных переменных. Если не пользоваться этим, и продолжать использовать активации, полученное доказательство будет немногим более сложным, чем данное ранее в этой главе.

Нейронные сети обучаются с помощью тех или иных модификаций градиентного спуска, а чтобы применять его, нужно уметь эффективно вычислять градиенты функции потерь по всем обучающим параметрам. Казалось бы, для какого-нибудь запутанного вычислительного графа это может быть очень сложной задачей, но на помощь спешит метод обратного распространения ошибки.

Открытие метода обратного распространения ошибки стало одним из наиболее значимых событий в области искусственного интеллекта. В актуальном виде он был предложен в 1986 году Дэвидом Э. Румельхартом, Джеффри Э. Хинтоном и Рональдом Дж. Вильямсом и независимо и одновременно красноярскими математиками С. И. Барцевым и В. А. Охониным. С тех пор для нахождения градиентов параметров нейронной сети используется метод вычисления производной сложной функции, и оценка градиентов параметров сети стала хоть сложной инженерной задачей, но уже не искусством. Несмотря на простоту используемого математического аппарата, появление этого метода привело к значительному скачку в развитии искусственных нейронных сетей.

Суть метода можно записать одной формулой, тривиально следующей из формулы производной сложной функции: если $f(x) = g_m(g_{m-1}(\ldots (g_1(x)) \ldots))$, то $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g_m}{\partial g_{m-1}}\frac{\partial g_{m-1}}{\partial g_{m-2}}\ldots \frac{\partial g_2}{\partial g_1}\frac{\partial g_1}{\partial x}$. Уже сейчас мы видим, что градиенты можно вычислять последовательно, в ходе одного обратного прохода, начиная с $\frac{\partial g_m}{\partial g_{m-1}}$ и умножая каждый раз на частные производные предыдущего слоя.

Backpropagation в одномерном случае

В одномерном случае всё выглядит особенно просто. Пусть $w_0$ — переменная, по которой мы хотим продифференцировать, причём сложная функция имеет вид

$$f(w_0) = g_m(g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots)),$$

где все $g_i$ скалярные. Тогда

$$f'(w_0) = g_m'(g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots))\cdot g’_{m-1}(g_{m-2}(\ldots g_1(w_0)\ldots))\cdot\ldots \cdot g’_1(w_0)$$

Суть этой формулы такова. Если мы уже совершили forward pass, то есть уже знаем

$$g_1(w_0), g_2(g_1(w_0)),\ldots,g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots),$$

то мы действуем следующим образом:

• берём производную $g_m$ в точке $g_{m-1}(\ldots g_1(w_0)\ldots)$;

• умножаем на производную $g_{m-1}$ в точке $g_{m-2}(\ldots g_1(w_0)\ldots)$;

• и так далее, пока не дойдём до производной $g_1$ в точке $w_0$.

Проиллюстрируем это на картинке, расписав по шагам дифференцирование по весам $w_i$ функции потерь логистической регрессии на одном объекте (то есть для батча размера 1):

Собирая все множители вместе, получаем:

$$\frac{\partial f}{\partial w_0} = (-y)\cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}\cdot\frac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial w_1} = x_1\cdot(-y)\cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}\cdot\frac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial w_2} = x_2\cdot(-y)\cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}\cdot\frac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

Таким образом, мы видим, что сперва совершается forward pass для вычисления всех промежуточных значений (и да, все промежуточные представления нужно будет хранить в памяти), а потом запускается backward pass, на котором в один проход вычисляются все градиенты.

Почему же нельзя просто пойти и начать везде вычислять производные?

В главе, посвящённой матричным дифференцированиям, мы поднимаем вопрос о том, что вычислять частные производные по отдельности — это зло, лучше пользоваться матричными вычислениями. Но есть и ещё одна причина: даже и с матричной производной в принципе не всегда хочется иметь дело. Рассмотрим простой пример. Допустим, что $X^r$ и $X^{r+1}$ — два последовательных промежуточных представления $N\times M$ и $N\times K$, связанных функцией $X^{r+1} = f^{r+1}(X^r)$. Предположим, что мы как-то посчитали производную $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X^{r+1}_{ij}}$ функции потерь $\mathcal{L}$, тогда

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X^{r}_{st}} = \sum_{i,j}\frac{\partial f^{r+1}_{ij}}{\partial X^{r}_{st}}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X^{r+1}_{ij}}$$

И мы видим, что, хотя оба градиента $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{ij}^{r+1}}$ и $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{st}^{r}}$ являются просто матрицами, в ходе вычислений возникает «четырёхмерный кубик» $\frac{\partial f_{ij}^{r+1}}{\partial X_{st}^{r}}$, даже хранить который весьма болезненно: уж больно много памяти он требует ($N^2MK$ по сравнению с безобидными $NM + NK$, требуемыми для хранения градиентов). Поэтому хочется промежуточные производные $\frac{\partial f^{r+1}}{\partial X^{r}}$ рассматривать не как вычисляемые объекты $\frac{\partial f_{ij}^{r+1}}{\partial X_{st}^{r}}$, а как преобразования, которые превращают $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{ij}^{r+1}}$ в $\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X_{st}^{r}}$. Целью следующих глав будет именно это: понять, как преобразуется градиент в ходе error backpropagation при переходе через тот или иной слой.

  Вы спросите себя: надо ли мне сейчас пойти и прочитать главу учебника про матричное дифференцирование?

Встречный вопрос. Найдите производную функции по вектору $x$:

$$f(x) = x^TAx,\ A\in Mat_{n}{\mathbb{R}}\text{ — матрица размера }n\times n$$

А как всё поменяется, если $A$ тоже зависит от $x$? Чему равен градиент функции, если $A$ является скаляром? Если вы готовы прямо сейчас взять ручку и бумагу и посчитать всё, то вам, вероятно, не надо читать про матричные дифференцирования. Но мы советуем всё-таки заглянуть в эту главу, если обозначения, которые мы будем дальше использовать, покажутся вам непонятными: единой нотации для матричных дифференцирований человечество пока, увы, не изобрело, и переводить с одной на другую не всегда легко.

Мы же сразу перейдём к интересующей нас вещи: к вычислению градиентов сложных функций.

Градиент сложной функции

Напомним, что формула производной сложной функции выглядит следующим образом:

$$\left[D_{x_0} (\color{#5002A7}{u} \circ \color{#4CB9C0}{v}) \right](h) = \color{#5002A7}{\left[D_{v(x_0)} u \right]} \left( \color{#4CB9C0}{\left[D_{x_0} v\right]} (h)\right)$$

Теперь разберёмся с градиентами. Пусть $f(x) = g(h(x))$ – скалярная функция. Тогда

$$\left[D_{x_0} f \right] (x-x_0) = \langle\nabla_{x_0} f, x-x_0\rangle.$$

С другой стороны,

$$\left[D_{h(x_0)} g \right] \left(\left[D_{x_0}h \right] (x-x_0)\right) = \langle\nabla_{h_{x_0}} g, \left[D_{x_0} h\right] (x-x_0)\rangle = \langle\left[D_{x_0} h\right]^* \nabla_{h(x_0)} g, x-x_0\rangle.$$

То есть $\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f} = \color{#348FEA}{\left[D_{x_0} h \right]}^* \color{#FFC100}{\nabla_{h(x_0)}}g$ — применение сопряжённого к $D_{x_0} h$ линейного отображения к вектору $\nabla_{h(x_0)} g$.

Эта формула — сердце механизма обратного распространения ошибки. Она говорит следующее: если мы каким-то образом получили градиент функции потерь по переменным из некоторого промежуточного представления $X^k$ нейронной сети и при этом знаем, как преобразуется градиент при проходе через слой $f^k$ между $X^{k-1}$ и $X^k$ (то есть как выглядит сопряжённое к дифференциалу слоя между ними отображение), то мы сразу же находим градиент и по переменным из $X^{k-1}$:

Таким образом слой за слоем мы посчитаем градиенты по всем $X^i$ вплоть до самых первых слоёв.

Далее мы разберёмся, как именно преобразуются градиенты при переходе через некоторые распространённые слои.

Градиенты для типичных слоёв

Рассмотрим несколько важных примеров.

Примеры

1. $f(x) = u(v(x))$, где $x$ — вектор, а $v(x)$ – поэлементное применение $v$:

   $$v\begin{pmatrix}
   x_1 \\
   \vdots\\
   x_N
   \end{pmatrix}
   = \begin{pmatrix}
   v(x_1)\\
   \vdots\\
   v(x_N)
   \end{pmatrix}$$

   Тогда, как мы знаем,

   $$\left[D_{x_0} f\right] (h) = \langle\nabla_{x_0} f, h\rangle = \left[\nabla_{x_0} f\right]^T h.$$

   Следовательно,

   $$
   \left[D_{v(x_0)} u\right] \left( \left[ D_{x_0} v\right] (h)\right) = \left[\nabla_{v(x_0)} u\right]^T \left(v'(x_0) \odot h\right) =\\
   $$

   $$
   = \sum\limits_i \left[\nabla_{v(x_0)} u\right]_i v'(x_{0i})h_i
   = \langle\left[\nabla_{v(x_0)} u\right] \odot v'(x_0), h\rangle.
   ,$$

   где $\odot$ означает поэлементное перемножение. Окончательно получаем

   $$\color{#348FEA}{\nabla_{x_0} f = \left[\nabla_{v(x_0)}u\right] \odot v'(x_0) = v'(x_0) \odot \left[\nabla_{v(x_0)} u\right]}$$

   Отметим, что если $x$ и $h(x)$ — это просто векторы, то мы могли бы вычислять всё и по формуле $\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_j\big(\frac{\partial z_j}{\partial x_i}\big)\cdot\big(\frac{\partial h}{\partial z_j}\big)$. В этом случае матрица $\big(\frac{\partial z_j}{\partial x_i}\big)$ была бы диагональной (так как $z_j$ зависит только от $x_j$: ведь $h$ берётся поэлементно), и матричное умножение приводило бы к тому же результату. Однако если $x$ и $h(x)$ — матрицы, то $\big(\frac{\partial z_j}{\partial x_i}\big)$ представлялась бы уже «четырёхмерным кубиком», и работать с ним было бы ужасно неудобно.

2. $f(X) = g(XW)$, где $X$ и $W$ — матрицы. Как мы знаем,

   $$\left[D_{X_0} f \right] (X-X_0) = \text{tr}, \left(\left[\nabla_{X_0} f\right]^T (X-X_0)\right).$$

   Тогда

   $$
   \left[ D_{X_0W} g \right] \left(\left[D_{X_0} \left( \ast W\right)\right] (H)\right) =
   \left[ D_{X_0W} g \right] \left(HW\right)=\\
   $$ $$
   = \text{tr}\, \left( \left[\nabla_{X_0W} g \right]^T \cdot (H) W \right) =\\
   $$ $$
   =
   \text{tr} \, \left(W \left[\nabla_{X_0W} (g) \right]^T \cdot (H)\right) = \text{tr} \, \left( \left[\left[\nabla_{X_0W} g\right] W^T\right]^T (H)\right)
   $$

   Здесь через $\ast W$ мы обозначили отображение $Y \hookrightarrow YW$, а в предпоследнем переходе использовалось следующее свойство следа:

   $$
   \text{tr} , (A B C) = \text{tr} , (C A B),
   $$

   где $A, B, C$ — произвольные матрицы подходящих размеров (то есть допускающие перемножение в обоих приведённых порядках). Следовательно, получаем

   $$\color{#348FEA}{\nabla_{X_0} f = \left[\nabla_{X_0W} (g) \right] \cdot W^T}$$

3. $f(W) = g(XW)$, где $W$ и $X$ — матрицы. Для приращения $H = W — W_0$ имеем

   $$
   \left[D_{W_0} f \right] (H) = \text{tr} , \left( \left[\nabla_{W_0} f \right]^T (H)\right)
   $$

   Тогда

   $$
   \left[D_{XW_0} g \right] \left( \left[D_{W_0} \left(X \ast\right) \right] (H)\right) = \left[D_{XW_0} g \right] \left( XH \right) = \
   $$ $$
   = \text{tr} , \left( \left[\nabla_{XW_0} g \right]^T \cdot X (H)\right) =
   \text{tr}, \left(\left[X^T \left[\nabla_{XW_0} g \right] \right]^T (H)\right)
   $$

   Здесь через $X \ast$ обозначено отображение $Y \hookrightarrow XY$. Значит,

   $$\color{#348FEA}{\nabla_{X_0} f = X^T \cdot \left[\nabla_{XW_0} (g)\right]}$$

4. $f(X) = g(softmax(X))$, где $X$ — матрица $N\times K$, а $softmax$ — функция, которая вычисляется построчно, причём для каждой строки $x$

   $$softmax(x) = \left(\frac{e^{x_1}}{\sum_te^{x_t}},\ldots,\frac{e^{x_K}}{\sum_te^{x_t}}\right)$$

   В этом примере нам будет удобно воспользоваться формализмом с частными производными. Сначала вычислим $\frac{\partial s_l}{\partial x_j}$ для одной строки $x$, где через $s_l$ мы для краткости обозначим $softmax(x)_l = \frac{e^{x_l}} {\sum_te^{x_t}}$. Нетрудно проверить, что

   $$\frac{\partial s_l}{\partial x_j} = \begin{cases}
   s_j(1 — s_j),\ & j = l,\
   -s_ls_j,\ & j\ne l
   \end{cases}$$

   Так как softmax вычисляется независимо от каждой строчки, то

   $$\frac{\partial s_{rl}}{\partial x_{ij}} = \begin{cases}
   s_{ij}(1 — s_{ij}),\ & r=i, j = l,\
   -s_{il}s_{ij},\ & r = i, j\ne l,\
   0,\ & r\ne i
   \end{cases},$$

   где через $s_{rl}$ мы обозначили для краткости $softmax(X)_{rl}$.

   Теперь пусть $\nabla_{rl} = \nabla g = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial s_{rl}}$ (пришедший со следующего слоя, уже известный градиент). Тогда

   $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{ij}} = \sum_{r,l}\frac{\partial s_{rl}}{\partial x_{ij}} \nabla_{rl}$$

   Так как $\frac{\partial s_{rl}}{\partial x_{ij}} = 0$ при $r\ne i$, мы можем убрать суммирование по $r$:

   $$\ldots = \sum_{l}\frac{\partial s_{il}}{\partial x_{ij}} \nabla_{il} = -s_{i1}s_{ij}\nabla_{i1} — \ldots + s_{ij}(1 — s_{ij})\nabla_{ij}-\ldots — s_{iK}s_{ij}\nabla_{iK} =$$

   $$= -s_{ij}\sum_t s_{it}\nabla_{it} + s_{ij}\nabla_{ij}$$

   Таким образом, если мы хотим продифференцировать $f$ в какой-то конкретной точке $X_0$, то, смешивая математические обозначения с нотацией Python, мы можем записать:

   $$\begin{multline*}
   \color{#348FEA}{\nabla_{X_0}f =}\\
   \color{#348FEA}{= -softmax(X_0) \odot \text{sum}\left(
   softmax(X_0)\odot\nabla_{softmax(X_0)}g, \text{ axis = 1}
   \right) +}\\
   \color{#348FEA}{softmax(X_0)\odot \nabla_{softmax(X_0)}g}
   \end{multline*}
   $$

Backpropagation в общем виде

Подытожим предыдущее обсуждение, описав алгоритм error backpropagation (алгоритм обратного распространения ошибки). Допустим, у нас есть текущие значения весов $W^i_0$ и мы хотим совершить шаг SGD по мини-батчу $X$. Мы должны сделать следующее:

1. Совершить forward pass, вычислив и запомнив все промежуточные представления $X = X^0, X^1, \ldots, X^m = \widehat{y}$.
2. Вычислить все градиенты с помощью backward pass.
3. С помощью полученных градиентов совершить шаг SGD.

Проиллюстрируем алгоритм на примере двуслойной нейронной сети со скалярным output’ом. Для простоты опустим свободные члены в линейных слоях.

Обучаемые параметры – матрицы $U$ и $W$. Как найти градиенты по ним в точке $U_0, W_0$?

$$\nabla_{W_0}\mathcal{L} = \nabla_{W_0}{\left({\vphantom{\frac12}\mathcal{L}\circ h\circ\left[W\mapsto g(XU_0)W\right]}\right)}=$$

$$=g(XU_0)^T\nabla_{g(XU_0)W_0}(\mathcal{L}\circ h) = \underbrace{g(XU_0)^T}_{k\times N}\cdot
\left[\vphantom{\frac12}\underbrace{h’\left(\vphantom{\int_0^1}g(XU_0)W_0\right)}_{N\times 1}\odot
\underbrace{\nabla_{h\left(\vphantom{\int_0^1}g(XU_0)W_0\right)}\mathcal{L}}_{N\times 1}\right]$$

Итого матрица $k\times 1$, как и $W_0$

$$\nabla_{U_0}\mathcal{L} = \nabla_{U_0}\left(\vphantom{\frac12}
\mathcal{L}\circ h\circ\left[Y\mapsto YW_0\right]\circ g\circ\left[ U\mapsto XU\right]
\right)=$$

$$=X^T\cdot\nabla_{XU^0}\left(\vphantom{\frac12}\mathcal{L}\circ h\circ [Y\mapsto YW_0]\circ g\right) =$$

$$=X^T\cdot\left(\vphantom{\frac12}g'(XU_0)\odot
\nabla_{g(XU_0)}\left[\vphantom{\in_0^1}\mathcal{L}\circ h\circ[Y\mapsto YW_0\right]
\right)$$

$$=\ldots = \underset{D\times N}{X^T}\cdot\left(\vphantom{\frac12}
\underbrace{g'(XU_0)}_{N\times K}\odot
\underbrace{\left[\vphantom{\int_0^1}\left(
\underbrace{h’\left(\vphantom{\int_0^1}g(XU_0)W_0\right)}_{N\times1}\odot\underbrace{\nabla_{h(\vphantom{\int_0^1}g\left(XU_0\right)W_0)}\mathcal{L}}_{N\times 1}
\right)\cdot \underbrace{W^T}_{1\times K}\right]}_{N\times K}
\right)$$

Итого $D\times K$, как и $U_0$

Схематически это можно представить следующим образом:

Backpropagation для двуслойной нейронной сети

Подробнее о предыдущих вычисленияхЕсли вы не уследили за вычислениями в предыдущем примере, давайте более подробно разберём его чуть более конкретную версию (для $g = h = \sigma$).

Рассмотрим двуслойную нейронную сеть для классификации. Мы уже встречали ее ранее при рассмотрении линейно неразделимой выборки. Предсказания получаются следующим образом:

$$
\widehat{y} = \sigma(X^1 W^2) = \sigma\Big(\big(\sigma(X^0 W^1 )\big) W^2 \Big).
$$

Пусть $W^1_0$ и $W^2_0$ — текущее приближение матриц весов. Мы хотим совершить шаг по градиенту функции потерь, и для этого мы должны вычислить её градиенты по $W^1$ и $W^2$ в точке $(W^1_0, W^2_0)$.

Прежде всего мы совершаем forward pass, в ходе которого мы должны запомнить все промежуточные представления: $X^1 = X^0 W^1_0$, $X^2 = \sigma(X^0 W^1_0)$, $X^3 = \sigma(X^0 W^1_0) W^2_0$, $X^4 = \sigma(\sigma(X^0 W^1_0) W^2_0) = \widehat{y}$. Они понадобятся нам дальше.

Для полученных предсказаний вычисляется значение функции потерь:

$$
l = \mathcal{L}(y, \widehat{y}) = y \log(\widehat{y}) + (1-y) \log(1-\widehat{y}).
$$

Дальше мы шаг за шагом будем находить производные по переменным из всё более глубоких слоёв.

1. Градиент $\mathcal{L}$ по предсказаниям имеет вид

   $$
   \nabla_{\widehat{y}}l = \frac{y}{\widehat{y}} — \frac{1 — y}{1 — \widehat{y}} = \frac{y — \widehat{y}}{\widehat{y} (1 — \widehat{y})},
   $$

   где, напомним, $ \widehat{y} = \sigma(X^3) = \sigma\Big(\big(\sigma(X^0 W^1_0 )\big) W^2_0 \Big)$ (обратите внимание на то, что $W^1_0$ и $W^2_0$ тут именно те, из которых мы делаем градиентный шаг).

2. Следующий слой — поэлементное взятие $\sigma$. Как мы помним, при переходе через него градиент поэлементно умножается на производную $\sigma$, в которую подставлено предыдущее промежуточное представление:

   $$
   \nabla_{X^3}l = \sigma'(X^3)\odot\nabla_{\widehat{y}}l = \sigma(X^3)\left( 1 — \sigma(X^3) \right) \odot \frac{y — \widehat{y}}{\widehat{y} (1 — \widehat{y})} =
   $$

   $$
   = \sigma(X^3)\left( 1 — \sigma(X^3) \right) \odot \frac{y — \sigma(X^3)}{\sigma(X^3) (1 — \sigma(X^3))} =
   y — \sigma(X^3)
   $$

3. Следующий слой — умножение на $W^2_0$. В этот момент мы найдём градиент как по $W^2$, так и по $X^2$. При переходе через умножение на матрицу градиент, как мы помним, умножается с той же стороны на транспонированную матрицу, а значит:

   $$
   \color{blue}{\nabla_{W^2_0}l} = (X^2)^T\cdot \nabla_{X^3}l = (X^2)^T\cdot(y — \sigma(X^3)) =
   $$

   $$
   = \color{blue}{\left( \sigma(X^0W^1_0) \right)^T \cdot (y — \sigma(\sigma(X^0W^1_0)W^2_0))}
   $$

   Аналогичным образом

   $$
   \nabla_{X^2}l = \nabla_{X^3}l\cdot (W^2_0)^T = (y — \sigma(X^3))\cdot (W^2_0)^T =
   $$

   $$
   = (y — \sigma(X^2W_0^2))\cdot (W^2_0)^T
   $$

4. Следующий слой — снова взятие $\sigma$.

   $$
   \nabla_{X^1}l = \sigma'(X^1)\odot\nabla_{X^2}l = \sigma(X^1)\left( 1 — \sigma(X^1) \right) \odot \left( (y — \sigma(X^2W_0^2))\cdot (W^2_0)^T \right) =
   $$

   $$
   = \sigma(X^1)\left( 1 — \sigma(X^1) \right) \odot\left( (y — \sigma(\sigma(X^1)W_0^2))\cdot (W^2_0)^T \right)
   $$

5. Наконец, последний слой — это умножение $X^0$ на $W^1_0$. Тут мы дифференцируем только по $W^1$:

   $$
   \color{blue}{\nabla_{W^1_0}l} = (X^0)^T\cdot \nabla_{X^1}l = (X^0)^T\cdot \big( \sigma(X^1) \left( 1 — \sigma(X^1) \right) \odot (y — \sigma(\sigma(X^1)W_0^2))\cdot (W^2_0)^T\big) =
   $$

   $$
   = \color{blue}{(X^0)^T\cdot\big(\sigma(X^0W^1_0)\left( 1 — \sigma(X^0W^1_0) \right) \odot (y — \sigma(\sigma(X^0W^1_0)W_0^2))\cdot (W^2_0)^T\big) }
   $$

Итоговые формулы для градиентов получились страшноватыми, но они были получены друг из друга итеративно с помощью очень простых операций: матричного и поэлементного умножения, в которые порой подставлялись значения заранее вычисленных промежуточных представлений.

Автоматизация и autograd

Итак, чтобы нейросеть обучалась, достаточно для любого слоя $f^k: X^{k-1}\mapsto X^k$ с параметрами $W^k$ уметь:

• превращать $\nabla_{X^k_0}\mathcal{L}$ в $\nabla_{X^{k-1}_0}\mathcal{L}$ (градиент по выходу в градиент по входу);
• считать градиент по его параметрам $\nabla_{W^k_0}\mathcal{L}$.

При этом слою совершенно не надо знать, что происходит вокруг. То есть слой действительно может быть запрограммирован как отдельная сущность, умеющая внутри себя делать forward pass и backward pass, после чего слои механически, как кубики в конструкторе, собираются в большую сеть, которая сможет работать как одно целое.

Более того, во многих случаях авторы библиотек для глубинного обучения уже о вас позаботились и создали средства для автоматического дифференцирования выражений (autograd). Поэтому, программируя нейросеть, вы почти всегда можете думать только о forward-проходе, прямом преобразовании данных, предоставив библиотеке дифференцировать всё самостоятельно. Это делает код нейросетей весьма понятным и выразительным (да, в реальности он тоже бывает большим и страшным, но сравните на досуге код какой-нибудь разухабистой нейросети и код градиентного бустинга на решающих деревьях и почувствуйте разницу).

Но это лишь начало

Метод обратного распространения ошибки позволяет удобно посчитать градиенты, но дальше с ними что-то надо делать, и старый добрый SGD едва ли справится с обучением современной сетки. Так что же делать? О некоторых приёмах мы расскажем в следующей главе.

Применение алгоритма обратного распространения ошибки — один из известных методов, используемых для глубокого обучения нейронных сетей прямого распространения (такие сети ещё называют многослойными персептронами). Этот метод относят к методу обучения с учителем, поэтому требуется задавать в обучающих примерах целевые значения. В этой статье мы рассмотрим, что собой представляет метод обратного распространения ошибки, как он реализуется, каковы его плюсы и минусы.

Сегодня нейронные сети прямого распространения используются для решения множества сложных задач. Если говорить об обучении нейронных сетей методом обратного распространения, то тут пользуются двумя проходами по всем слоям нейросети: прямым и обратным. При выполнении прямого прохода осуществляется подача входного вектора на входной слой сети, после чего происходит распространение по нейронной сети от слоя к слою. В итоге должна осуществляться генерация набора выходных сигналов — именно он, по сути, является реакцией нейронной сети на этот входной образ. При прямом проходе все синаптические веса нейросети фиксированы. При обратном проходе все синаптические веса настраиваются согласно правил коррекции ошибок, когда фактический выход нейронной сети вычитается из желаемого, что приводит к формированию сигнала ошибки. Такой сигнал в дальнейшем распространяется по сети, причём направление распространения обратно направлению синаптических связей. Именно поэтому соответствующий метод и называют алгоритмом с обратно распространённой ошибкой. Синаптические веса настраивают с целью наибольшего приближения выходного сигнала нейронной сети к желаемому.

Общее описание алгоритма обратного распространения ошибки

К примеру, нам надо обучить нейронную сеть по аналогии с той, что представлена на картинке ниже. Естественно, задачу следует выполнить, применяя алгоритм обратного распространения ошибки:

В многослойных персептронах в роли активационной функции обычно применяют сигмоидальную активационную функция, в нашем случае — логистическую. Формула:

Причём «альфа» здесь означает параметр наклона сигмоидальной функции. Меняя его, мы получаем возможность строить функции с разной крутизной.

Сигмоид может сужать диапазон изменения таким образом, чтобы значение OUT лежало между нулем и единицей. Нейронные многослойные сети характеризуются более высокой представляющей мощностью, если сравнивать их с однослойными, но это утверждение справедливо лишь в случае нелинейности. Нужную нелинейность и обеспечивает сжимающая функция. Но на практике существует много функций, которые можно использовать. Говоря о работе алгоритма обратного распространения ошибки, скажем, что для этого нужно лишь, чтобы функция была везде дифференцируема, а данному требованию как раз и удовлетворяет сигмоид. У него есть и дополнительное преимущество — автоматический контроль усиления. Если речь идёт о слабых сигналах (OUT близко к нулю), то кривая «вход-выход» характеризуется сильным наклоном, дающим большое усиление. При увеличении сигнала усиление падает. В результате большие сигналы будут восприниматься сетью без насыщения, а слабые сигналы будут проходить по сети без чрезмерного ослабления.

Цель обучения сети

Цель обучения нейросети при использовании алгоритма обратного распространения ошибки — это такая подстройка весов нейросети, которая позволит при приложении некоторого множества входов получить требуемое множество выходов нейронов (выходных нейронов). Можно назвать эти множества входов и выходов векторами. В процессе обучения предполагается, что для любого входного вектора существует целевой вектор, парный входному и задающий требуемый выход. Эту пару называют обучающей. Работая с нейросетями, мы обучаем их на многих парах.

Также можно сказать, что алгоритм использует стохастический градиентный спуск и продвигается в многомерном пространстве весов в направлении антиградиента, причём цель — это достижение минимума функции ошибки.

При практическом применении метода обучение продолжают не до максимально точной настройки нейросети на минимум функции ошибки, а пока не будет достигнуто довольно точное его приближение. С одной стороны, это даёт возможность уменьшить количество итераций обучения, с другой — избежать переобучения нейронной сети.

Пошаговая реализация метода обратного распространения ошибки

Необходимо выполнить следующие действия:
1. Инициализировать синаптические веса случайными маленькими значениями.
2. Выбрать из обучающего множества очередную обучающую пару; подать на вход сети входной вектор.
3. Выполнить вычисление выходных значений нейронной сети.
4. Посчитать разность между выходом нейросети и требуемым выходом (речь идёт о целевом векторе обучающей пары).
5. Скорректировать веса сети в целях минимизации ошибки.
6. Повторять для каждого вектора обучающего множества шаги 2-5, пока ошибка обучения нейронной сети на всём множестве не достигнет уровня, который является приемлемым.

Виды обучения сети по методу обратного распространения

Сегодня существует много модификаций алгоритма обратного распространения ошибки. Возможно обучение не «по шагам» (выходная ошибка вычисляется, веса корректируются на каждом примере), а «по эпохам» в offline-режиме (изменения весовых коэффициентов происходит после подачи на вход нейросети всех примеров обучающего множества, а ошибка обучения neural сети усредняется по всем примерам).

Обучение «по эпохам» более устойчиво к выбросам и аномальным значениям целевой переменной благодаря усреднению ошибки по многим примерам. Зато в данном случае увеличивается вероятность «застревания» в локальных минимумах. При обучении «по шагам» такая вероятность меньше, ведь применение отдельных примеров создаёт «шум», «выталкивающий» алгоритм обратного распространения из ям градиентного рельефа.

Преимущества и недостатки метода

К плюсам можно отнести простоту в реализации и устойчивость к выбросам и аномалиям в данных, и это основные преимущества. Но есть и минусы:
• неопределенно долгий процесс обучения;
• вероятность «паралича сети» (при больших значениях рабочая точка функции активации попадает в область насыщения сигмоиды, а производная величина приближается к 0, в результате чего коррекции весов почти не происходят, а процесс обучения «замирает»;
• алгоритм уязвим к попаданию в локальные минимумы функции ошибки.

Значение метода обратного распространения

Появление алгоритма стало знаковым событием и положительно отразилось на развитии нейросетей, ведь он реализует эффективный с точки зрения вычислительных процессов способ обучения многослойного персептрона. В то же самое время, было бы неправильным сказать, что алгоритм предлагает наиболее оптимальное решение всех потенциальных проблем. Зато он действительно развеял пессимизм относительно машинного обучения многослойных машин, который воцарился после публикации в 1969 году работы американского учёного с фамилией Минский.

Источники:
— «Алгоритм обратного распространения ошибки»;
— «Back propagation algorithm».

Рад снова всех приветствовать, и сегодня продолжим планомерно двигаться в выбранном направлении. Речь, конечно, о масштабном разборе искусственных нейронных сетей для решения широкого спектра задач. Продолжим ровно с того момента, на котором остановились в предыдущей части, и это означает, что героем данного поста будет ключевой процесс — обучение нейронных сетей.

Тема эта крайне важна, поскольку именно процесс обучения позволяет сети начать выполнять задачу, для которой она, собственно, и предназначена. То есть нейронная сеть функционирует не по какому-либо жестко заданному на этапе проектирования алгоритму, она совершенствуется в процессе анализа имеющихся данных. Этот процесс и называется обучением нейронной сети. Математически суть процесса обучения заключается в корректировке значений весов синапсов (связей между имеющимися нейронами). Изначально значения весов задаются случайно, затем производится обучение, результатом которого будут новые значения синаптических весов. Это все мы максимально подробно разберем как раз в этой статье.

На своем сайте я всегда придерживаюсь концепции, при которой теоретические выкладки по максимуму сопровождаются практическими примерами для максимальной наглядности. Так мы поступим и сейчас 👍

Итак, суть заключается в следующем. Пусть у нас есть простейшая нейронная сеть, которую мы хотим обучить (продолжаем рассматривать сети прямого распространения):

То есть на входы нейронов I1 и I2 мы подаем какие-либо числа, а на выходе сети получаем соответственно новое значение. При этом нам необходима некая выборка данных, включающая в себя значения входов и соответствующее им, правильное, значение на выходе:

Допустим, сеть выполняет суммирование значений на входе, тогда данный набор данных может быть таким:

Эти значения и используются для обучения сети. Как именно — рассмотрим чуть ниже, пока сконцентрируемся на идее процесса в целом. Для того, чтобы иметь возможность тестировать работу сети в процессе обучения, исходную выборку данных делят на две части — обучающую и тестовую. Пусть имеется 1000 образцов, тогда можно 900 использовать для обучения, а оставшиеся 100 — для тестирования. Эти величины взяты исключительно ради наглядности и демонстрации логики выполнения операций, на практике все зависит от задачи, размер обучающей выборки может спокойно достигать и сотен тысяч образцов.

Итак, итог имеем следующий — обучающая выборка прогоняется через сеть, в результате чего происходит настройка значений синаптических весов. Один полный проход по всей выборке называется эпохой. И опять же, обучение нейронной сети — это процесс, требующий многократных экспериментов, анализа результатов и творческого подхода. Все перечисленные параметры (размер выборки, количество эпох обучения) могут иметь абсолютно разные значения для разных задач и сетей. Четкого правила тут просто нет, в этом и кроется дополнительный шарм и изящность )

Возвращаемся к разбору, и в результате прохода обучающей выборки через сеть мы получаем сеть с новыми значениями весов синапсов.

Далее мы через эту, уже обученную в той или иной степени, сеть прогоняем тестовую выборку, которая не участвовала в обучении. При этом сеть выдает нам выходные значения для каждого образца, которые мы сравниваем с теми верными значениями, которые имеем.

Анализируем нашу гипотетическую выборку:

Таким образом, для тестирования подаем на вход сети значения x_{(M+1)1}, x_{(M+1)2} и проверяем, чему равен выход, ожидаем очевидно значение y_{(M+1)}. Аналогично поступаем и для оставшихся тестовых образцов. После чего мы можем сделать вывод, успешно или нет работает сеть. Например, сеть дает правильный ответ для 90% тестовых данных, дальше уже встает вопрос — устраивает ли нас данная точность или процесс обучения необходимо повторить, либо провести заново, изменив какие-либо параметры сети.

В этом и заключается суть обучения нейронных сетей, теперь перейдем к деталям и конкретным действиям, которые необходимо осуществить для выполнения данного процесса. Двигаться снова будем поэтапно, чтобы сформировать максимально четкую и полную картину. Поэтому начнем с понятия градиентного спуска, который используется при обучении по методу обратного распространения ошибки. Обо всем этом далее…

Обучение нейронных сетей. Градиентный спуск.

Рассмотрев идею процесса обучения в целом, на данном этапе мы можем однозначно сформулировать текущую цель — необходимо определить математический алгоритм, который позволит рассчитать значения весовых коэффициентов таким образом, чтобы ошибка сети была минимальна. То есть грубо говоря нам необходима конкретная формула для вычисления:

Здесь \Delta w_{ij} — величина, на которую необходимо изменить вес синапса, связывающего нейроны i и j нашей сети. Соответственно, зная это, необходимо на каждом этапе обучения производить корректировку весов связей между всеми элементами нейронной сети. Задача ясна, переходим к делу.

Пусть функция ошибки от веса имеет следующий вид:

Для удобства рассмотрим зависимость функции ошибки от одного конкретного веса:

В начальный момент мы находимся в некоторой точке кривой, а для минимизации ошибки попасть мы хотим в точку глобального минимума функции:

Нанесем на график вектора градиентов в разных точках. Длина векторов численно равна скорости роста функции в данной точке, что в свою очередь соответствует значению производной функции по данной точке. Исходя из этого, делаем вывод, что длина вектора градиента определяется крутизной функции в данной точке:

Вывод прост — величина градиента будет уменьшаться по мере приближения к минимуму функции. Это важный вывод, к которому мы еще вернемся. А тем временем разберемся с направлением вектора, для чего рассмотрим еще несколько возможных точек:

Находясь в точке 1, целью является перейти в точку 2, поскольку в ней значение ошибки меньше (E_2 < E_1), а глобальная задача по-прежнему заключается в ее минимизации. Для этого необходимо изменить величину w на некое значение \Delta w (\Delta w = w_2 — w_1 > 0). При всем при этом в точке 1 градиент отрицательный. Фиксируем данные факты и переходим к точке 3, предположим, что мы находимся именно в ней.

Тогда для уменьшения ошибки наш путь лежит в точку 4, а необходимое изменение значения: \Delta w = w_4 — w_3 < 0. Градиент же в точке 3 положителен. Этот факт также фиксируем.

А теперь соберем воедино эту информацию в виде следующей иллюстрации:

Вывод напрашивается сам собой — величина, на которую необходимо изменить значение w, в любой точке противоположна по знаку градиенту. И, таким образом, представим эту самую величину в виде:

\Delta w = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw}

Имеем в наличии:

• \Delta w — величина, на которую необходимо изменить значение w.
• \frac{dE}{dw} — градиент в этой точке.
• \alpha — скорость обучения.

Собственно, логика метода градиентного спуска и заключается в данном математическом выражении, а именно в том, что для минимизации ошибки необходимо изменять w в направлении противоположном градиенту. В контексте нейронных сетей имеем искомый закон для корректировки весов синаптических связей (для синапса между нейронами i и j):

\Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}}

Более того, вспомним о важном свойстве, которое мы отдельно пометили. И заключается оно в том, что величина градиента будет уменьшаться по мере приближения к минимуму функции. Что это нам дает? А то, что в том случае, если наша текущая дислокация далека от места назначения, то величина, корректирующая вес связи, будет больше. А это обеспечит скорейшее приближение к цели. При приближении к целевому пункту, величина \frac{dE}{dw_{ij}} будет уменьшаться, что поможет нам точнее попасть в нужную точку, а кроме того, не позволит нам ее проскочить. Визуализируем вышеописанное:

Скорость же обучения несет в себе следующий смысл. Она определяет величину каждого шага при поиске минимума ошибки. Слишком большое значение приводит к тому, что точка может «перепрыгнуть» через нужное значение и оказаться по другую сторону от цели:

Если же величина будет мала, то это приведет к тому, что спуск будет осуществляться очень медленно, что также является нежелательным эффектом. Поэтому скорость обучения, как и многие другие параметры нейронной сети, является очень важной величиной, для которой нет единственно верного значения. Все снова зависит от конкретного случая и оптимальная величина определяется исключительно исходя из текущих условий.

И даже на этом еще не все, здесь присутствует один важный нюанс, который в большинстве статей опускается, либо вовсе не упоминается. Реальная зависимость может иметь совсем другой вид:

Из чего вытекает потенциальная возможность попадания в локальный минимум, вместо глобального, что является большой проблемой. Для предотвращения данного эффекта вводится понятие момента обучения и формула принимает следующий вид:

\Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}} + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}

То есть добавляется второе слагаемое, которое представляет из себя произведение момента на величину корректировки веса на предыдущем шаге.

Итого, резюмируем продвижение к цели:

• Нашей задачей было найти закон, по которому необходимо изменять величину весов связей между нейронами.
• Наш результат — \Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}} + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t — 1} — именно то, что и требовалось 👍

И опять же, полученный результат логичным образом перенаправляет нас на следующий этап, ставя вопросы — что из себя представляет функция ошибки, и как определить ее градиент.

Обучение нейронных сетей. Функция ошибки.

Начнем с того, что определимся с тем, что у нас в наличии, для этого вернемся к конкретной нейронной сети. Пусть вид ее таков:

Интересует нас, в первую очередь, часть, относящаяся к нейронам выходного слоя. Подав на вход определенные значения, получаем значения на выходе сети: O_{net, 1} и O_{net, 2}. Кроме того, поскольку мы ведем речь о процессе обучения нейронной сети, то нам известны целевые значения: O_{correct, 1} и O_{correct, 2}. И именно этот набор данных на этом этапе является для нас исходным:

• Известно: O_{net, 1}, O_{net, 2}, O_{correct, 1} и O_{correct, 2}.
• Необходимо определить величины \Delta w_{ij} для корректировки весов, для этого нужно вычислить градиенты (\frac{dE}{dw_{ij}}) для каждого из синапсов.

Полдела сделано — задача четко сформулирована, начинаем деятельность по поиску решения.

В плане того, как определять ошибку, первым и самым очевидным вариантом кажется простая алгебраическая разность. Для каждого из выходных нейронов:

E_k = O_{correct, k} - O_{net, k}

Дополним пример числовыми значениями:

Недостатком данного варианта является то, что в том случае, если мы попытаемся просуммировать ошибки нейронов, то получим:

E_{sum} = e_1 + e_2 = -0.4 + 0.4 = 0

Что не соответствует действительности (нулевая ошибка, говорит об идеальной работе нейронной сети, по факту оба нейрона дали неверный результат). Так что вариант с разностью откидываем за несостоятельностью.

Вторым, традиционно упоминаемым, методом вычисления ошибки является использование модуля разности:

E_k = | O_{correct, k} - O_{net, k} |

Тут в действие вступает уже проблема иного рода:

Функция, бесспорно, симпатична, но при приближении к минимуму ее градиент является постоянной величиной, скачкообразно меняясь при переходе через точку минимума. Это нас также не устраивает, поскольку, как мы обсуждали, концепция заключалась в том числе в том, чтобы по мере приближения к минимуму значение градиента уменьшалось.

В итоге хороший результат дает зависимость (для выходного нейрона под номером k):

E_k = (O_{correct, k} - O_{net, k})^2

Функция по многим своим свойствам идеально удовлетворяет нуждам обучения нейронной сети, так что выбор сделан, остановимся на ней. Хотя, как и во многих аспектах, качающихся нейронных сетей, данное решение не является единственно и неоспоримо верным. В каких-то случаях лучше себя могут проявить другие зависимости, возможно, что какой-то вариант даст большую точность, но неоправданно высокие затраты производительности при обучении. В общем, непаханное поле для экспериментов и исследований, это и привлекательно.

Краткий вывод промежуточного шага, на который мы вышли:

• Имеющееся: \frac{dE}{dw_{jk}} = \frac{d}{d w_{jk}}(O_{correct, k} — O_{net, k})^2.
• Искомое по-прежнему: \Delta w_{jk}.

Несложные диффернциально-математические изыскания выводят на следующий результат:

\frac{dE}{d w_{jk}} = -(O_{correct, k} - O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(\sum_{j}w_{jk}O_j) \cdot O_j

Здесь эти самые изыскания я все-таки решил не вставлять, дабы не перегружать статью, которая и так выходит объемной. Но в случае необходимости и интереса, отпишите в комментарии, я добавлю вычисления и закину их под спойлер, как вариант.

Освежим в памяти структуру сети:

Формулу можно упростить, сгруппировав отдельные ее части:

• (O_{correct, k} — O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(\sum_{j}w_{jk}O_j) — ошибка нейрона k.
• O_j — тут все понятно, выходной сигнал нейрона j.

f{\Large{\prime}}(\sum_{j}w_{jk}O_j) — значение производной функции активации. Причем, обратите внимание, что \sum_{j}w_{jk}O_j — это не что иное, как сигнал на входе нейрона k (I_{k}). Тогда для расчета ошибки выходного нейрона: \delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_k).

Итог: \frac{dE}{d w_{jk}} = -\delta_k \cdot O_j.

Одной из причин популярности сигмоидальной функции активности является то, что ее производная очень просто выражается через саму функцию:

f{'}(x) = f(x)\medspace (1\medspace-\medspace f(x))

Данные алгебраические вычисления справедливы для корректировки весов между скрытым и выходным слоем, поскольку для расчета ошибки мы используем просто разность между целевым и полученным результатом, умноженную на производную.

Для других слоев будут незначительные изменения, касающиеся исключительно первого множителя в формуле:

\frac{dE}{d w_{ij}} = -\delta_j \cdot O_i

Который примет следующий вид:

\delta_j = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j)

То есть ошибка для элемента слоя j получается путем взвешенного суммирования ошибок, «приходящих» к нему от нейронов следующего слоя и умножения на производную функции активации. В результате:

\frac{dE}{d w_{ij}} = -(\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j) \cdot O_i

Снова подводим промежуточный итог, чтобы иметь максимально полную и структурированную картину происходящего. Вот результаты, полученные нами на двух этапах, которые мы успешно миновали:

• Ошибка:
  • выходной слой: \delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_k)
  • скрытые слои: \delta_j = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j)
• Градиент: \frac{dE}{d w_{ij}} = -\delta_j \cdot O_i
• Корректировка весовых коэффициентов: \Delta w_{ij} = -\alpha \cdot \frac{dE}{dw_{ij}} + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t — 1}

Преобразуем последнюю формулу:

\Delta w_{ij} = \alpha \cdot \delta_j \cdot O_i + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}

Из этого мы делаем вывод, что на данный момент у нас есть все, что необходимо для того, чтобы произвести обучение нейронной сети. И героем следующего подраздела будет алгоритм обратного распространения ошибки.

Метод обратного распространения ошибки.

Данный метод является одним из наиболее распространенных и популярных, чем и продиктован его выбор для анализа и разбора. Алгоритм обратного распространения ошибки относится к методам обучение с учителем, что на деле означает необходимость наличия целевых значений в обучающих сетах.

Суть же метода подразумевает наличие двух этапов:

• Прямой проход — входные сигналы двигаются в прямом направлении, в результате чего мы получаем выходной сигнал, из которого в дальнейшем рассчитываем значение ошибки.
• Обратный проход — обратное распространение ошибки — величина ошибки двигается в обратном направлении, в результате происходит корректировка весовых коэффициентов связей сети.

Начальные значения весов (перед обучением) задаются случайными, есть ряд методик для выбора этих значений, я опишу в отдельном материале максимально подробно. Пока вот можно полистать — ссылка.

Вернемся к конкретному примеру для явной демонстрации этих принципов:

Итак, имеется нейронная сеть, также имеется набор данных обучающей выборки. Как уже обсудили в начале статьи — обучающая выборка представляет из себя набор образцов (сетов), каждый из которых состоит из значений входных сигналов и соответствующих им «правильных» значений выходных величин.

Процесс обучения нейронной сети для алгоритма обратного распространения ошибки будет таким:

1. Прямой проход. Подаем на вход значения I_1, I_2, I_3 из обучающей выборки. В результате работы сети получаем выходные значения O_{net, 1}, O_{net, 2}. Этому целиком и полностью был посвящен предыдущий манускрипт.
2. Рассчитываем величины ошибок для всех слоев:
   • для выходного: \delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_k)
   • для скрытых: \delta_j = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_j)
3. Далее используем полученные значения для расчета \Delta w_{ij} = \alpha \cdot \delta_j \cdot O_i + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t — 1}
4. И финишируем, рассчитывая новые значения весов: w_{ij \medspace new} = w_{ij} + \Delta w_{ij}
5. На этом один цикл обучения закончен, данные шаги 1 — 4 повторяются для других образцов из обучающей выборки.

Обратный проход завершен, а вместе с ним и одна итерация процесса обучения нейронной сети по данному методу. Собственно, обучение в целом заключается в многократном повторении этих шагов для разных образцов из обучающей выборки. Логику мы полностью разобрали, при повторном проведении операций она остается в точности такой же.

Таким образом, максимально подробно концентрируясь именно на сути и логике процессов, мы в деталях разобрали метод обратного распространения ошибки. Поэтому переходим к завершающей части статьи, в которой разберем практический пример, произведя полностью все вычисления для конкретных числовых величин. Все в рамках продвигаемой мной концепции, что любая теоретическая информация на порядок лучше может быть осознана при применении ее на практике.

Пример расчетов для метода обратного распространения ошибки.

Возьмем нейронную сеть и зададим начальные значения весов:

Здесь я задал значения не в соответствии с существующими на сегодняшний день методами, а просто случайным образом для наглядности примера.

В качестве функции активации используем сигмоиду:

f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}

И ее производная:

f{\Large{\prime}}(x) = f(x)\medspace (1\medspace-\medspace f(x))

Берем один образец из обучающей выборки, пусть будут такие значения:

• Входные: I_1 = 0.6, I_1 = 0.7.
• Выходное: O_{correct} = 0.9.

Скорость обучения \alpha пусть будет равна 0.3, момент — \gamma = 0.1. Все готово, теперь проведем полный цикл для метода обратного распространения ошибки, то есть прямой проход и обратный.

Прямой проход.

Начинаем с выходных значений нейронов 1 и 2, поскольку они являются входными, то:

O_1 = I_1 = 0.6 \\
O_2 = I_2 = 0.7

Значения на входе нейронов 3, 4 и 5:

I_3 = O_1 \cdot w_{13} + O_2 \cdot w_{23} = 0.6 \cdot (-1\medspace) + 0.7 \cdot 1 = 0.1 \\
I_4 = 0.6 \cdot 2.5 + 0.7 \cdot 0.4 = 1.78 \\
I_5 = 0.6 \cdot 1 + 0.7 \cdot (-1.5\medspace) = -0.45

На выходе этих же нейронов первого скрытого слоя:

O_3 = f(I3\medspace) = 0.52 \\
O_4 = 0.86\\
O_5 = 0.39

Продолжаем аналогично для следующего скрытого слоя:

I_6 = O_3 \cdot w_{36} + O_4 \cdot w_{46} + O_5 \cdot w_{56} = 0.52 \cdot 2.2 + 0.86 \cdot (-1.4\medspace) + 0.39 \cdot 0.56 = 0.158 \\
I_7 = 0.52 \cdot 0.34 + 0.86 \cdot 1.05 + 0.39 \cdot 3.1 = 2.288 \\
O_6 = f(I_6) = 0.54 \\
O_7 = 0.908

Добрались до выходного нейрона:

I_8 = O_6 \cdot w_{68} + O_7 \cdot w_{78} = 0.54 \cdot 0.75 + 0.908 \cdot (-0.22\medspace) = 0.205 \\
O_8 = O_{net} = f(I_8) = 0.551

Получили значение на выходе сети, кроме того, у нас есть целевое значение O_{correct} = 0.9. То есть все, что необходимо для обратного прохода, имеется.

Обратный проход.

Как мы и обсуждали, первым этапом будет вычисление ошибок всех нейронов, действуем:

\delta_8 = (O_{correct} - O_{net}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_8) = (O_{correct} - O_{net}) \cdot f(I_8) \cdot (1-f(I_8)) = (0.9 - 0.551\medspace) \cdot 0.551 \cdot (1-0.551\medspace) = 0.0863 \\
\delta_7 = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_7) = (\delta_8 \cdot w_{78}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_7) = 0.0863 \cdot (-0.22\medspace) \cdot 0.908 \cdot (1 - 0.908\medspace) = -0.0016 \\
\delta_6 = 0.086 \cdot 0.75 \cdot 0.54 \cdot (1 - 0.54\medspace) = 0.016 \\
\delta_5 = (\sum_{k}{}{\delta_k\medspace w_{jk}}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_5) = (\delta_7 \cdot w_{57} + \delta_6 \cdot w_{56}) \cdot f{\Large{\prime}}(I_7) = (-0.0016 \cdot 3.1 + 0.016 \cdot 0.56) \cdot 0.39 \cdot (1 - 0.39\medspace) = 0.001 \\
\delta_4 = (-0.0016 \cdot 1.05 + 0.016 \cdot (-1.4)) \cdot 0.86 \cdot (1 - 0.86\medspace) = -0.003 \\
\delta_3 = (-0.0016 \cdot 0.34 + 0.016 \cdot 2.2) \cdot 0.52 \cdot (1 - 0.52\medspace) = -0.0087

С расчетом ошибок закончили, следующий этап — расчет корректировочных величин для весов всех связей. Для этого мы вывели формулу:

\Delta w_{ij} = \alpha \cdot \delta_j \cdot O_i + \gamma \cdot \Delta w_{ij}^{t - 1}

Как вы помните, \Delta w_{ij}^{t — 1} — это величина поправки для данного веса на предыдущей итерации. Но поскольку у нас это первый проход, то данное значение будет нулевым, соответственно, в данном случае второе слагаемое отпадает. Но забывать о нем нельзя. Продолжаем калькулировать:

\Delta w_{78} = \alpha \cdot \delta_8 \cdot O_7 = 0.3 \cdot 0.0863 \cdot 0.908 = 0.0235 \\
\Delta w_{68} = 0.3 \cdot 0.0863 \cdot 0.54= 0.014 \\
\Delta w_{57} = \alpha \cdot \delta_7 \cdot O_5 = 0.3 \cdot (−0.0016\medspace) \cdot 0.39= -0.00019 \\
\Delta w_{47} = 0.3 \cdot (−0.0016\medspace) \cdot 0.86= -0.0004 \\
\Delta w_{37} = 0.3 \cdot (−0.0016\medspace) \cdot 0.52= -0.00025 \\
\Delta w_{56} = \alpha \cdot \delta_6 \cdot O_5 = 0.3 \cdot 0.016 \cdot 0.39= 0.0019 \\
\Delta w_{46} = 0.3 \cdot 0.016 \cdot 0.86= 0.0041 \\
\Delta w_{36} = 0.3 \cdot 0.016 \cdot 0.52= 0.0025 \\
\Delta w_{25} = \alpha \cdot \delta_5 \cdot O_2 = 0.3 \cdot 0.001 \cdot 0.7= 0.00021 \\
\Delta w_{15} = 0.3 \cdot 0.001 \cdot 0.6= 0.00018 \\
\Delta w_{24} = \alpha \cdot \delta_4 \cdot O_2 = 0.3 \cdot (-0.003\medspace) \cdot 0.7= -0.00063 \\
\Delta w_{14} = 0.3 \cdot (-0.003\medspace) \cdot 0.6= -0.00054 \\
\Delta w_{23} = \alpha \cdot \delta_3 \cdot O_2 = 0.3 \cdot (−0.0087\medspace) \cdot 0.7= -0.00183 \\
\Delta w_{13} = 0.3 \cdot (−0.0087\medspace) \cdot 0.6= -0.00157

И самый что ни на есть заключительный этап — непосредственно изменение значений весовых коэффициентов:

w_{78 \medspace new} = w_{78} + \Delta w_{78} = -0.22 + 0.0235 = -0.1965 \\
w_{68 \medspace new} = 0.75+ 0.014 = 0.764 \\
w_{57 \medspace new} = 3.1 + (−0.00019\medspace) = 3.0998\\
w_{47 \medspace new} = 1.05 + (−0.0004\medspace) = 1.0496\\
w_{37 \medspace new} = 0.34 + (−0.00025\medspace) = 0.3398\\
w_{56 \medspace new} = 0.56 + 0.0019 = 0.5619 \\
w_{46 \medspace new} = -1.4 + 0.0041 = -1.3959 \\
w_{36 \medspace new} = 2.2 + 0.0025 = 2.2025 \\
w_{25 \medspace new} = -1.5 + 0.00021 = -1.4998 \\
w_{15 \medspace new} = 1 + 0.00018 = 1.00018 \\
w_{24 \medspace new} = 0.4 + (−0.00063\medspace) = 0.39937 \\
w_{14 \medspace new} = 2.5 + (−0.00054\medspace) = 2.49946 \\
w_{23 \medspace new} = 1 + (−0.00183\medspace) = 0.99817 \\
w_{13 \medspace new} = -1 + (−0.00157\medspace) = -1.00157\\

И на этом данную масштабную статью завершаем, конечно же, не завершая на этом деятельность по использованию нейронных сетей. Так что всем спасибо за прочтение, любые вопросы пишите в комментариях и на форуме, ну и обязательно следите за обновлениями и новыми материалами, до встречи!