Как посчитать вероятность ошибки первого рода - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Проверка корректности А/Б тестов

Время на прочтение
8 мин

Количество просмотров 10K

Хабр, привет! Сегодня поговорим о том, что такое корректность статистических критериев в контексте А/Б тестирования. Узнаем, как проверить, является критерий корректным или нет. Разберём пример, в котором тест Стьюдента не работает.

Меня зовут Коля, я работаю аналитиком данных в X5 Tech. Мы с Сашей продолжаем писать серию статей по А/Б тестированию, это наша третья статья. Первые две можно посмотреть тут:

Стратификация. Как разбиение выборки повышает чувствительность A/Б теста
Бутстреп и А/Б тестирование

Корректный статистический критерий

В А/Б тестировании при проверке гипотез с помощью статистических критериев можно совершить одну из двух ошибок:

ошибку первого рода – отклонить нулевую гипотезу, когда на самом деле она верна. То есть сказать, что эффект есть, хотя на самом деле его нет;
ошибку второго рода – не отклонить нулевую гипотезу, когда на самом деле она неверна. То есть сказать, что эффекта нет, хотя на самом деле он есть.

Совсем не ошибаться нельзя. Чтобы получить на 100% достоверные результаты, нужно бесконечно много данных. На практике получить столько данных затруднительно. Если совсем не ошибаться нельзя, то хотелось бы ошибаться не слишком часто и контролировать вероятности ошибок.

В статистике ошибка первого рода считается более важной. Поэтому обычно фиксируют допустимую вероятность ошибки первого рода, а затем пытаются минимизировать вероятность ошибки второго рода.

Предположим, мы решили, что допустимые вероятности ошибок первого и второго рода равны 0.1 и 0.2 соответственно. Будем называть статистический критерий корректным, если его вероятности ошибок первого и второго рода равны допустимым вероятностям ошибок первого и второго рода соответственно.

Как сделать критерий, в котором вероятности ошибок будут равны допустимым вероятностям ошибок?

Вероятность ошибки первого рода по определению равна уровню значимости критерия. Если уровень значимости положить равным допустимой вероятности ошибки первого рода, то вероятность ошибки первого рода должна стать равной допустимой вероятности ошибки первого рода.

Вероятность ошибки второго рода можно подогнать под желаемое значение, меняя размер групп или снижая дисперсию в данных. Чем больше размер групп и чем ниже дисперсия, тем меньше вероятность ошибки второго рода. Для некоторых гипотез есть готовые формулы оценки размера групп, при которых достигаются заданные вероятности ошибок.

Например, формула оценки необходимого размера групп для гипотезы о равенстве средних:

$n > \frac{\left[ \Phi^{-1} \left( 1-\alpha / 2 \right) + \Phi^{-1} \left( 1-\beta \right) \right]^2 (\sigma_A^2 + \sigma_B^2)}{\varepsilon^2}$

где $\alpha$ и $\beta$ – допустимые вероятности ошибок первого и второго рода, $\varepsilon$ – ожидаемый эффект (на сколько изменится среднее), $\sigma_A$ и $\sigma_B$ – стандартные отклонения случайных величин в контрольной и экспериментальной группах.

Проверка корректности

Допустим, мы работаем в онлайн-магазине с доставкой. Хотим исследовать, как новый алгоритм ранжирования товаров на сайте влияет на среднюю выручку с покупателя за неделю. Продолжительность эксперимента – одна неделя. Ожидаемый эффект равен +100 рублей. Допустимая вероятность ошибки первого рода равна 0.1, второго рода – 0.2.

Оценим необходимый размер групп по формуле:

import numpy as np
from scipy import stats

alpha = 0.1                     # допустимая вероятность ошибки I рода
beta = 0.2                      # допустимая вероятность ошибки II рода
mu_control = 2500               # средняя выручка с пользователя в контрольной группе
effect = 100                    # ожидаемый размер эффекта
mu_pilot = mu_control + effect  # средняя выручка с пользователя в экспериментальной группе
std = 800                       # стандартное отклонение

# исторические данные выручки для 10000 клиентов
values = np.random.normal(mu_control, std, 10000)

def estimate_sample_size(effect, std, alpha, beta):
    """Оценка необходимого размер групп."""
    t_alpha = stats.norm.ppf(1 - alpha / 2, loc=0, scale=1)
    t_beta = stats.norm.ppf(1 - beta, loc=0, scale=1)
    var = 2 * std ** 2
    sample_size = int((t_alpha + t_beta) ** 2 * var / (effect ** 2))
    return sample_size

estimated_std = np.std(values)
sample_size = estimate_sample_size(effect, estimated_std, alpha, beta)
print(f'оценка необходимого размера групп = {sample_size}')

оценка необходимого размера групп = 784

Чтобы проверить корректность, нужно знать природу случайных величин, с которыми мы работаем. В этом нам помогут исторические данные. Представьте, что мы перенеслись в прошлое на несколько недель назад и запустили эксперимент с таким же дизайном, как мы планировали запустить его сейчас. Дизайн – это совокупность параметров эксперимента, таких как: целевая метрика, допустимые вероятности ошибок первого и второго рода, размеры групп и продолжительность эксперимента, техники снижения дисперсии и т.д.

Так как это было в прошлом, мы знаем, какие покупки совершили пользователи, можем вычислить метрики и оценить значимость отличий. Кроме того, мы знаем, что эффекта на самом деле не было, так как в то время эксперимент на самом деле не запускался. Если значимые отличия были найдены, то мы совершили ошибку первого рода. Иначе получили правильный результат.

Далее нужно повторить эту процедуру с мысленным запуском эксперимента в прошлом на разных группах и временных интервалах много раз, например, 1000.

После этого можно посчитать долю экспериментов, в которых была совершена ошибка. Это будет точечная оценка вероятности ошибки первого рода.

Оценку вероятности ошибки второго рода можно получить аналогичным способом. Единственное отличие состоит в том, что каждый раз нужно искусственно добавлять ожидаемый эффект в данные экспериментальной группы. В этих экспериментах эффект на самом деле есть, так как мы сами его добавили. Если значимых отличий не будет найдено – это ошибка второго рода. Проведя 1000 экспериментов и посчитав долю ошибок второго рода, получим точечную оценку вероятности ошибки второго рода.

Посмотрим, как оценить вероятности ошибок в коде. С помощью численных синтетических А/А и А/Б экспериментов оценим вероятности ошибок и построим доверительные интервалы:

def run_synthetic_experiments(values, sample_size, effect=0, n_iter=10000):
    """Проводим синтетические эксперименты, возвращаем список p-value."""
    pvalues = []
    for _ in range(n_iter):
        a, b = np.random.choice(values, size=(2, sample_size,), replace=False)
        b += effect
        pvalue = stats.ttest_ind(a, b).pvalue
        pvalues.append(pvalue)
    return np.array(pvalues)

def print_estimated_errors(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha):
    """Оценивает вероятности ошибок."""
    estimated_first_type_error = np.mean(pvalues_aa < alpha)
    estimated_second_type_error = np.mean(pvalues_ab >= alpha)
    ci_first = estimate_ci_bernoulli(estimated_first_type_error, len(pvalues_aa))
    ci_second = estimate_ci_bernoulli(estimated_second_type_error, len(pvalues_ab))
    print(f'оценка вероятности ошибки I рода = {estimated_first_type_error:0.4f}')
    print(f'  доверительный интервал = [{ci_first[0]:0.4f}, {ci_first[1]:0.4f}]')
    print(f'оценка вероятности ошибки II рода = {estimated_second_type_error:0.4f}')
    print(f'  доверительный интервал = [{ci_second[0]:0.4f}, {ci_second[1]:0.4f}]')

def estimate_ci_bernoulli(p, n, alpha=0.05):
    """Доверительный интервал для Бернуллиевской случайной величины."""
    t = stats.norm.ppf(1 - alpha / 2, loc=0, scale=1)
    std_n = np.sqrt(p * (1 - p) / n)
    return p - t * std_n, p + t * std_n

pvalues_aa = run_synthetic_experiments(values, sample_size, effect=0)
pvalues_ab = run_synthetic_experiments(values, sample_size, effect=effect)
print_estimated_errors(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha)

оценка вероятности ошибки I рода = 0.0991
  доверительный интервал = [0.0932, 0.1050]
оценка вероятности ошибки II рода = 0.1978
  доверительный интервал = [0.1900, 0.2056]

Оценки вероятностей ошибок примерно равны 0.1 и 0.2, как и должно быть. Всё верно, тест Стьюдента на этих данных работает корректно.

Распределение p-value

Выше рассмотрели случай, когда тест контролирует вероятность ошибки первого рода при фиксированном уровне значимости. Если решим изменить уровень значимости с 0.1 на 0.01, будет ли тест контролировать вероятность ошибки первого рода? Было бы хорошо, если тест контролировал вероятность ошибки первого рода при любом заданном уровне значимости. Формально это можно записать так:

Для любого $\alpha \in [0, 1]$ выполняется $\mathbb{P}(pvalue < \alpha | H_0) = \alpha$ .

Заметим, что в левой части равенства записано выражение для функции распределения p-value. Из равенства следует, что функция распределения p-value в точке X равна X для любого X от 0 до 1. Эта функция распределения является функцией распределения равномерного распределения от 0 до 1. Мы только что показали, что статистический критерий контролирует вероятность ошибки первого рода на заданном уровне для любого уровня значимости тогда и только тогда, когда при верности нулевой гипотезы p-value распределено равномерно от 0 до 1.

При верности нулевой гипотезы p-value должно быть распределено равномерно. А как должно быть распределено p-value при верности альтернативной гипотезы? Из условия для вероятности ошибки второго рода $\mathbb{P}(pvalue \geq \alpha | H_1) = \beta$ следует, что $\mathbb{P}(pvalue < \alpha | H_1) = 1 - \beta$ .

Получается, график функции распределения p-value при верности альтернативной гипотезы должен проходить через точку $[\alpha, 1 - \beta]$ , где $\alpha$ и $\beta$ – допустимые вероятности ошибок конкретного эксперимента.

Проверим, как распределено p-value в численном эксперименте. Построим эмпирические функции распределения p-value:

import matplotlib.pyplot as plt

def plot_pvalue_distribution(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha, beta):
    """Рисует графики распределения p-value."""
    estimated_first_type_error = np.mean(pvalues_aa < alpha)
    estimated_second_type_error = np.mean(pvalues_ab >= alpha)
    y_one = estimated_first_type_error
    y_two = 1 - estimated_second_type_error
    X = np.linspace(0, 1, 1000)
    Y_aa = [np.mean(pvalues_aa < x) for x in X]
    Y_ab = [np.mean(pvalues_ab < x) for x in X]

    plt.plot(X, Y_aa, label='A/A')
    plt.plot(X, Y_ab, label='A/B')
    plt.plot([alpha, alpha], [0, 1], '--k', alpha=0.8)
    plt.plot([0, alpha], [y_one, y_one], '--k', alpha=0.8)
    plt.plot([0, alpha], [y_two, y_two], '--k', alpha=0.8)
    plt.plot([0, 1], [0, 1], '--k', alpha=0.8)

    plt.title('Оценка распределения p-value', size=16)
    plt.xlabel('p-value', size=12)
    plt.legend(fontsize=12)
    plt.grid()
    plt.show()

plot_pvalue_distribution(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha, beta)

P-value для синтетических А/А тестах действительно оказалось распределено равномерно от 0 до 1, а для синтетических А/Б тестов проходит через точку $[\alpha, 1 - \beta]$ .

Кроме оценок распределений на графике дополнительно построены четыре пунктирные линии:

диагональная из точки [0, 0] в точку [1, 1] – это функция распределения равномерного распределения на отрезке от 0 до 1, по ней можно визуально оценивать равномерность распределения p-value;
вертикальная линия с $x=\alpha$ – пороговое значение p-value, по которому определяем отвергать нулевую гипотезу или нет. Проекция на ось ординат точки пересечения вертикальной линии с функцией распределения p-value для А/А тестов – это вероятность ошибки первого рода. Проекция точки пересечения вертикальной линии с функцией распределения p-value для А/Б тестов – это мощность теста (мощность = 1 — $\beta$ ).
две горизонтальные линии – проекции на ось ординат точки пересечения вертикальной линии с функцией распределения p-value для А/А и А/Б тестов.

График с оценками распределения p-value для синтетических А/А и А/Б тестов позволяет проверить корректность теста для любого значения уровня значимости.

Некорректный критерий

Выше рассмотрели пример, когда тест Стьюдента оказался корректным критерием для случайных данных из нормального распределения. Может быть, все критерии всегда работаю корректно, и нет смысла каждый раз проверять вероятности ошибок?

Покажем, что это не так. Немного изменим рассмотренный ранее пример, чтобы продемонстрировать некорректную работу критерия. Допустим, мы решили увеличить продолжительность эксперимента до 2-х недель. Для каждого пользователя будем вычислять стоимость покупок за первую неделю и стоимость покупок за второю неделю. Полученные стоимости будем передавать в тест Стьюдента для проверки значимости отличий. Положим, что поведение пользователей повторяется от недели к неделе, и стоимости покупок одного пользователя совпадают.

def run_synthetic_experiments_two(values, sample_size, effect=0, n_iter=10000):
    """Проводим синтетические эксперименты на двух неделях."""
    pvalues = []
    for _ in range(n_iter):
        a, b = np.random.choice(values, size=(2, sample_size,), replace=False)
        b += effect
        # дублируем данные
        a = np.hstack((a, a,))
        b = np.hstack((b, b,))
        pvalue = stats.ttest_ind(a, b).pvalue
        pvalues.append(pvalue)
    return np.array(pvalues)

pvalues_aa = run_synthetic_experiments_two(values, sample_size)
pvalues_ab = run_synthetic_experiments_two(values, sample_size, effect=effect)
print_estimated_errors(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha)
plot_pvalue_distribution(pvalues_aa, pvalues_ab, alpha, beta)

оценка вероятности ошибки I рода = 0.2451
  доверительный интервал = [0.2367, 0.2535]
оценка вероятности ошибки II рода = 0.0894
  доверительный интервал = [0.0838, 0.0950]

Получили оценку вероятности ошибки первого рода около 0.25, что сильно больше уровня значимости 0.1. На графике видно, что распределение p-value для синтетических А/А тестов не равномерно, оно отклоняется от диагонали. В этом примере тест Стьюдента работает некорректно, так как данные зависимые (стоимости покупок одного человека зависимы). Если бы мы сразу не догадались про зависимость данных, то оценка вероятностей ошибок помогла бы нам понять, что такой тест некорректен.

Итоги

Мы обсудили, что такое корректность статистического теста, посмотрели, как оценить вероятности ошибок на исторических данных и привели пример некорректной работы критерия.

Таким образом:

корректный критерий – это критерий, у которого вероятности ошибок первого и второго рода равны допустимым вероятностям ошибок первого и второго рода соответственно;
чтобы критерий контролировал вероятность ошибки первого рода для любого уровня значимости, необходимо и достаточно, чтобы p-value при верности нулевой гипотезы было распределено равномерно от 0 до 1.

Источник

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

Принятие неправильного решения

Мощность и связанные факторы

Проверка множественных гипотез

Общий обзор

Большинство проверяемых гипотез сравнивают между собой группы объектов, которые испытывают влияние различных факторов.

Например, можно сравнить эффективность двух видов лечения, чтобы сократить 5-летнюю смертность от рака молочной железы. Для данного исхода (например, смерть) сравнение, представляющее интерес (например, различные показатели смертности через 5 лет), называют эффектом или, если уместно, эффектом лечения.

Нулевую гипотезу выражают как отсутствие эффекта (например 5-летняя смертность от рака молочной железы одинаковая в двух группах, получающих разное лечение); двусторонняя альтернативная гипотеза будет означать, что различие эффектов не равно нулю.

Критериальная проверка гипотезы дает возможность определить, достаточно ли аргументов, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Можно принять только одно из двух решений:

отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу
остаться в рамках нулевой гипотезы

Важно: В литературе достаточно часто встречается понятие «принять нулевую гипотезу». Хотелось бы внести ясность, что со статистической точки зрения принять нулевую гипотезу невозможно, т.к. нулевая гипотеза представляет собой достаточно строгое утверждение (например, средние значения в сравниваемых группах равны ).

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

Возможно неправильное решение, когда отвергают/не отвергают нулевую гипотезу, потому что есть только выборочная информация.

	Верная гипотеза
H₀	H₁
Результат применения критерия	H₀	H₀ верно принята	H₀ неверно принята (Ошибка второго рода)
H₁	H₀ неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	H₀ верно отвергнута

Ошибка 1-го рода: нулевую гипотезу отвергают, когда она истинна, и делают вывод, что имеется эффект, когда в действительности его нет. Максимальный шанс (вероятность) допустить ошибку 1-го рода обозначается α (альфа). Это уровень значимости критерия; нулевую гипотезу отвергают, если наше значение p ниже уровня значимости, т. е., если p < α.

Следует принять решение относительно значения а прежде, чем будут собраны данные; обычно назначают условное значение 0,05, хотя можно выбрать более ограничивающее значение, например 0,01.

Шанс допустить ошибку 1-го рода никогда не превысит выбранного уровня значимости, скажем α = 0,05, так как нулевую гипотезу отвергают только тогда, когда p< 0,05. Если обнаружено, что p > 0,05, то нулевую гипотезу не отвергнут и, следовательно, не допустят ошибки 1-го рода.

Ошибка 2-го рода: не отвергают нулевую гипотезу, когда она ложна, и делают вывод, что нет эффекта, тогда как в действительности он существует. Шанс возникновения ошибки 2-го рода обозначается β (бета); а величина (1-β) называется мощностью критерия.

Следовательно, мощность — это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ложна, т.е. это шанс (обычно выраженный в процентах) обнаружить реальный эффект лечения в выборке данного объема как статистически значимый.

В идеале хотелось бы, чтобы мощность критерия составляла 100%; однако это невозможно, так как всегда остается шанс, хотя и незначительный, допустить ошибку 2-го рода.

К счастью, известно, какие факторы влияют на мощность и, таким образом, можно контролировать мощность критерия, рассматривая их.

Мощность и связанные факторы

Планируя исследование, необходимо знать мощность предложенного критерия. Очевидно, можно начинать исследование, если есть «хороший» шанс обнаружить уместный эффект, если таковой существует (под «хорошим» мы подразумеваем, что мощность должна быть по крайней мере 70-80%).

Этически безответственно начинать исследование, у которого, скажем, только 40% вероятности обнаружить реальный эффект лечения; это бесполезная трата времени и денежных средств.

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Объем выборки: мощность критерия увеличивается по мере увеличения объема выборки. Это означает, что у большей выборки больше возможностей, чем у незначительной, обнаружить важный эффект, если он существует.

Когда объем выборки небольшой, у критерия может быть недостаточно мощности, чтобы обнаружить отдельный эффект. Эти методы также можно использовать для оценки мощности критерия для точно установленного объема выборки.

Вариабельность наблюдений: мощность увеличивается по мере того, как вариабельность наблюдений уменьшается.

Интересующий исследователя эффект: мощность критерия больше для более высоких эффектов. Критерий проверки гипотез имеет больше шансов обнаружить значительный реальный эффект, чем незначительный.

Уровень значимости: мощность будет больше, если уровень значимости выше (это эквивалентно увеличению допущения ошибки 1-го рода, α, а допущение ошибки 2-го рода, β, уменьшается).

Таким образом, вероятнее всего, исследователь обнаружит реальный эффект, если на стадии планирования решит, что будет рассматривать значение р как значимое, если оно скорее будет меньше 0,05, чем меньше 0,01.

Обратите внимание, что проверка ДИ для интересующего эффекта указывает на то, была ли мощность адекватной. Большой доверительный интервал следует из небольшой выборки и/или набора данных с существенной вариабельностью и указывает на недостаточную мощность.

Проверка множественных гипотез

Часто нужно выполнить критериальную проверку значимости множественных гипотез на наборе данных с многими переменными или существует более двух видов лечения.

Ошибка 1-го рода драматически увеличивается по мере увеличения числа сравнений, что приводит к ложным выводам относительно гипотез. Следовательно, следует проверить только небольшое число гипотез, выбранных для достижения первоначальной цели исследования и точно установленных априорно.

Можно использовать какую-нибудь форму апостериорного уточнения значения р, принимая во внимание число выполненных проверок гипотез.

Например, при подходе Бонферрони (его часто считают довольно консервативным) умножают каждое значение р на число выполненных проверок; тогда любые решения относительно значимости будут основываться на этом уточненном значении р.

Связанные определения:
p-уровень
Альтернативная гипотеза, альтернатива
Альфа-уровень
Бета-уровень
Гипотеза
Двусторонний критерий
Критерий для проверки гипотезы
Критическая область проверки гипотезы
Мощность
Мощность исследования
Мощность статистического критерия
Нулевая гипотеза
Односторонний критерий
Ошибка I рода
Ошибка II рода
Статистика критерия
Эквивалентные статистические критерии

В начало

Содержание портала

Источник

5.6. Вероятность ошибки р

Если следовать подразделению статистики на описательную и аналитическую, то задача аналитической статистики — предоставить методы, с помощью которых можно было бы объективно выяснить,
например, является ли наблюдаемая разница в средних значениях или взаимосвязь (корреляция) выборок случайной или нет.

Например, если сравниваются два средних значения выборок, то можно сформулировать две предварительных гипотезы:

Гипотеза 0 (нулевая): Наблюдаемые различия между средними значениями выборок находятся в пределах случайных отклонений.
Гипотеза 1 (альтернативная): Наблюдаемые различия между средними значениями нельзя объяснить случайными отклонениями.

В аналитической статистике разработаны методы вычисления так называемых тестовых (контрольных) величин, которые рассчитываются по определенным формулам на основе данных,
содержащихся в выборках или полученных из них характеристик. Эти тестовые величины соответствуют определенным теоретическим распределениям
(t-pacnpeлелению, F-распределению, распределению X2 и т.д.), которые позволяют вычислить так называемую вероятность ошибки. Это вероятность равна проценту ошибки,
которую можно допустить отвергнув нулевую гипотезу и приняв альтернативную.

Вероятность определяется в математике, как величина, находящаяся в диапазоне от 0 до 1. В практической статистике она также часто выражаются в процентах. Обычно вероятность обозначаются буквой р:

0 < р < 1

Вероятности ошибки, при которой допустимо отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу, зависит от каждого конкретного случая.
В значительной степени эта вероятность определяется характером исследуемой ситуации. Чем больше требуемая вероятность, с которой надо избежать ошибочного решения,
тем более узкими выбираются границы вероятности ошибки, при которой отвергается нулевая гипотеза, так называемый доверительный интервал вероятности.
Обычно в исследованиях используют 5% вероятность ошибки.

Существует общепринятая терминология, которая относится к доверительным интервалам вероятности:

Высказывания, имеющие вероятность ошибки р <= 0,05 — называются значимыми.
Высказывания с вероятностью ошибки р <= 0,01 — очень значимыми,
А высказывания с вероятностью ошибки р <= 0,001 — максимально значимыми.

В литературе такие ситуации иногда обозначают одной, двумя или тремя звездочками.

Вероятность ошибки	Значимость	Обозначение
р > 0.05	Не значимая	ns
р <= 0.05	Значимая	*
р <= 0.01	Очень значимая	**
р <= 0.001	Максимально значимая	***

В SPSS вероятность ошибки р имеет различные обозначения; звездочки для указания степени значимости применяются лишь в немногих случаях. Обычно в SPSS значение р обозначается Sig. (Significant).

Времена, когда не было компьютеров, пригодных для статистического анализа, давали практикам по крайней мере одно преимущество. Так как все вычисления надо было выполнять вручную,
статистик должен был сначала тщательно обдумать, какие вопросы можно решить с помощью того или иного теста. Кроме того, особое значение придавалось точной формулировке нулевой гипотезы.

Но с помощью компьютера и такой мощной программы, как SPSS, очень легко можно провести множество тестов за очень короткое время. К примеру, если в таблицу сопряженности свести 50 переменных
с другими 20 переменными и выполнить тест X², то получится 1000 результатов проверки значимости или 1000 значений р. Некритический подбор значимых величин может
дать бессмысленный результат, так как уже при граничном уровне значимости р = 0,05 в пяти процентах наблюдений, то есть в 50 возможных наблюдениях, можно ожидать значимые результаты.

Этим ошибкам первого рода (когда нулевая гипотеза отвергается, хотя она верна) следует уделять достаточно внимания. Ошибкой второго рода называется ситуация,
когда нулевая гипотеза принимается, хотя она ложна. Вероятность допустить ошибку первого рода равна вероятности ошибки р. Вероятность ошибки второго рода тем меньше, чем больше вероятность ошибки р.

Источник

Перед тем, как ответить на вопрос о том, как посчитать значение ошибки 1 рода для распределения, необходимо рассмотреть основные понятия и определения, связанные с этим показателем.

Ошибка 1 рода – это ошибка, которая происходит, когда нулевая гипотеза (гипотеза о равенстве средних значений, медиан, дисперсий и т.д. двух выборок) отвергается, когда она на самом деле верна. Ошибка 1 рода также известна как «ложное срабатывание» или «ложная тревога». Она связана с вероятностью попадания в критическую область при проверке статистических гипотез.

Распределение – это функция вероятности, которая определяет, как часто возникают различные значения случайной величины. Распределение может иметь различные формы, включая нормальное распределение, биномиальное распределение, Пуассоново распределение и др.

Теперь, касательно вопроса о том, как посчитать значение ошибки 1 рода для распределения, необходимо отметить, что это можно сделать, используя уровень значимости и критическую область.

Уровень значимости (α) – это вероятность того, что будет допущена ошибка 1 рода. Обычно уровень значимости равен 0,05 или 0,01.

Критическая область – это область на графике распределения, которая определяется, используя значения уровня значимости и степеней свободы, и в которой нулевая гипотеза отвергается в пользу альтернативной гипотезы.

Для расчета значения ошибки 1 рода по распределению, необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Определить уровень значимости (α) и степени свободы (df) для соответствующего распределения.

Шаг 2: Определить критическую область на графике распределения, используя значения уровня значимости и степеней свободы.

Шаг 3: Определить значение ошибки 1 рода, используя следующую формулу:

Ошибка 1 рода = Вероятность того, что нулевая гипотеза верна, но она все равно отвергнута = α

Таким образом, значение ошибки 1 рода по распределению можно рассчитать, используя уровень значимости и критическую область, которые определяются для соответствующего распределения. Ошибка 1 рода может быть уменьшена путем увеличения объема выборки (для уменьшения стандартной ошибки) или уменьшения уровня значимости. Однако, при этом возрастает вероятность допущения ошибки 2 рода (ошибки неотвержения нулевой гипотезы, когда она на самом деле неверна).

Источник