Как посчитать ошибку репрезентативности

В
статистике выделяют два основных метода
исследования — сплошной и выборочный.
При проведении выборочного исследования
обязательным является соблюдение
следующих требований: репрезентативность
выборочной совокупности и достаточное
число единиц наблюдений. При выборе
единиц наблюдения возможны ошибки
смещения,
т.е. такие события, появление которых
не может быть точно предсказуемым. Эти
ошибки являются объектив­ными и
закономерными. При определении степени
точности выборочно­го исследования
оценивается величина ошибки, которая
может прои­зойти в процессе выборки
— случайная
ошибка репрезентативности (m)
— является
фактической разностью между средними
или относительными величинами, полученными
при проведении выборочного исследования
и аналогичными величинами, которые были
бы получены при проведении исследования
на гене­ральной совокупности.

Оценка
достоверности результатов исследования
предусматривает определение:

1.
ошибки репрезентативности

2.
доверительных границ средних (или
относительных) величин в генеральной
совокупности

3.
достоверности разности средних (или
относительных) величин (по критерию t)

Расчет
ошибки репрезентативности
(m_м)
средней арифмети­ческой величины
(М):

,
где σ
— среднее квадратическое отклонение; n
— численность выборки (>30).

Расчет
ошибки репрезентативности (m_Р)
относительной величины (Р):

,
где Р — соответствующая относительная
величина (рассчитанная, например, в %);

q
=100 — Ρ%
— величина, обратная Р; n
— численность выборки (n>30)

В
клинических и экспериментальных работах
довольно часто приходится использовать
малую
выборку, когда
число наблюдений меньше или равно 30.
При малой выборке для расчета ошибок
репрезентатив­ности, как средних, так
и относительных величин,
число
наблюде­ний уменьшается на единицу,
т.е.

;
.

Величина
ошибки репрезентативности зависит от
объема выборки: чем больше число
наблюдений, тем меньше ошибка. Для оценки
достоверности выборочного показателя
принят следующий подход: показатель
(или средняя величина) должен в 3 раза
превышать свою ошибку, в этом случае он
считается достоверным.

83. Определение доверительных границ средних и относительных величин.

Знание
величины ошибки недостаточно для того,
чтобы быть уве­ренным в результатах
выборочного исследования, так как
конкрет­ная ошибка выборочного
исследования может быть значительно
больше (или меньше) величины средней
ошибки репрезентативности. Для
оп­ределения точности, с которой
исследователь желает получить ре­зультат,
в статистике используется такое понятие,
как вероят­ность безошибочного
прогноза, которая является характеристикой
надежности результатов выборочных
медико-биологических статистических
исследований. Обычно, при проведении
медико-биологических статистических
исследований используют вероятность
безошибочного прогноза 95% или 99%. В
наиболее ответственных случаях, когда
необходимо сделать особенно важные
выводы в теоретическом или практическом
отношении, используют вероятность
безошибочного прогноза 99,7%

Определенной
степени вероятности безошибочного
прогноза соот­ветствует определенная
величина предельной
ошибки случайной выборки (Δ
— дельта),
которая определяется по формуле:

Δ=t
* m
, где t
— доверительный коэффициент, который
при большой выборке при вероятности
безо­шибочного прогноза 95% равен 2,6;
при вероятности безоши­бочного
прогноза 99% — 3,0; при вероятности
безошибочно­го прогноза 99,7% — 3,3, а при
малой выборке определяется по специальной
таблице значений t
Стьюдента.

Используя
предельную ошибку выборки (Δ),
можно определить до­верительные
границы,
в которых с определенной вероятностью
безо­шибочного прогноза заключено
действительное значение статистичес­кой
величины,
характеризующей
всю генеральную совокупность (сред­ней
или относительной).

Для
определения доверительных границ
используются следующие формулы:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Лекция 2. Ошибка репрезентативности и доверительный интервал для
генерального параметра
Выборочные характеристики, представляющие собой числа (точки на
шкале) называют точечными оценками (существуют также и интервальные
оценки). Оценки должны удовлетворять следующим требованиям: быть
состоятельными, эффективными, несмещенными. Только при удовлетворении
этих требований оценки хорошо представляют соответствующие параметры.
В математической статистике введено понятие статистической ошибки
или ошибки репрезентативности; она связана с точностью, с которой
выборочная оценка представляет, репрезентирует свой параметр.
Когда ошибка оценивания генерального параметра стремится к нулю при
возрастании объема выборки, т.е. значение оценки стремится к значению
параметра, то такая оценка называется состоятельной. Оценка называется
эффективной,
если
она
имеет
наименьшую
дисперсию
выборочного
распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.
К примеру,
из трех показателей, описывающих положение центра
нормального распределения (средняя, медиана, мода), наиболее эффективной
является средняя арифметическая, наименее эффективной — мода.
Оценка
ожидание)
называется
ее
несмещенной,
выборочного
если
распределения
среднее
совпадает
(математическое
со
значением
генерального параметра. Выборочная средняя является несмещенной оценкой
генеральной средней, а тогда как выборочная дисперсия представляет собой
смещенную оценку.
Например, чтобы получить несмещенную оценку, надо при вычислении
выборочной дисперсии использовать формулу, где в знаменателе (N — 1):
D=S2=
1
2
( Xi  X )

N 1
Для понимания смысла этих требований нужно рассмотреть понятие
выборочного распределения оценок какого-либо параметра.
Рассмотрим
условный
пример
для
такого
понятия,
как
арифметическое среднее: пусть ГС представляет собой 5 результатов
выполнения некоторого психологического теста: 8 16 20 24 32:
=
8  16  20  24  32
= 20
5
Таким образом, 20 — это значение генерального параметра.
Заменим изучение генеральной совокупности изучением выборок объемом
n = 4. Рассмотрим все возможные варианты таких выборок:
1) 8
16 20 24
 = 17
2) 16 20 24 32
 = 23
3) 8
16 24 32
 = 20
4) 8
16 20 32
 = 19
Из нашего примера видно, что из 5 оценок средних лишь одна совпала
с параметром. Заранее мы не можем знать, как составить (отобрать) выборку,
чтобы оценка параметра по ней была близка к параметру.
Однако очевидно, что чем больше объем выборки, тем меньше вероятность
того, что  , определяемое по выборке, будет значительно отличаться от
генерального среднего (крайние случаи n=N-1 и n=2 ,т.е. N>>n) .
Когда
генеральная совокупность велика и, соответственно, число
возможных выборок велико, то совокупность выборочных оценок средних для
каждой
из
этих
концентрирующееся
выборок
вокруг
«концентрация» (дисперсия)
Дисперсия
образует
генерального
тем
выше,
нормальное
среднего,
чем
больше
распределение,
причем
эта
объемы выборок.
распределения средних имеет особое название, она именуется
ошибкой репрезентативности.
Выше речь шла о распределении выборочных средних.
Это же
рассуждение можно повторить для оценок дисперсии, моды, коэффициентов
корреляции и т.д.
В теории математической статистики доказано, что нормального
распределения при достаточном объеме выборки (на практике n  30),
стандартное отклонение среднего арифметического равно:
Sx =
S
N
; где
S — стандартное отклонение
N — объем выборки.
Эту величину называют также статистической ошибкой или ошибкой
репрезентативности, т.е. это средняя ошибка, которая допускается, когда 
рассматривается как генеральный параметр.
Для других параметров ошиб ки репрезентативности таковы:
Ошибка репрезентативности дисперсии:
Ss2=S2/ 2N
Ошибка репрезентативности стандартного отклонения
Ss=S/ 2N
Ошибка репрезентативности показателя асимметрии:
Sa= 6 / N
Ошибка репрезентативности показателя эксцесса:
Se= 24 / N
Теперь перейдем к понятию доверительного интервала, которое применяется
для любого параметра. Мы рассмотрим его для генеральной средней. По
известным выборочным характеристикам можно построить интервал, в котором
с той или иной степенью вероятности находится генеральное среднее. Понятие
доверительного интервала связано с понятием доверительной вероятности.
Согласно этому принципу, маловероятные события считаются практически
невозможными,
а
события,
вероятность
которых
близка
к
единице,
принимаются за почти достоверные. Обычно в психологии в качестве
доверительных используют вероятности р = 0,95 и р = 0,99. Это означает, что
при оценивании генерального параметра по известной выборочной оценке риск
ошибиться в первом случае — один раз на 20 испытаний, во втором случае 1 раз
на 100 испытаний.
С доверительной вероятностью связано понятие уровня значимости
 = 1- р
Геометрически — это площадь под нормальной кривой выборочного
распределения, выходящая за пределы той его части, которая соответствует
Р%, поскольку в сумме они соответствуют всей площади под кривой. Иначе
говоря,

означает площадь двух хвостов под кривой нормального
распределения. При при р = 0,95 и  = 0, 05 на каждый «хвост» приходится
по 2,5 % площади.
Вероятность того, что  будет находиться в пределах
доверительного интервала x — t SX     + t SX,
описывается
особой функцией, которая сведена в таблице (обычно это таблица 1 в
приложении учебников по математической статистике)
для р= 0,95
t=1,96
для р=0,99
t = 2,58
для p=0, 999 t =3,29
График нормальной кривой
Выбор того или иного уровня доверительной вероятности зависит от
исследователя, от его оценки ответственности за ошибочность выводов
относительно генерального параметра .
Пример: При измерении объема памяти у 100 испытуемых
получено среднее значение числа запоминаемых сигналов
было
= 9 и
стандартное отклонение S = 3. 27. Построить доверительный
интервал для генеральной средней .
Вычисления проводятся по формуле:
x — t SX     + t SX
9 — 1,96
3271
.
327
.
   92+1,96
100
100
или 9+ 0.196  3,27    9 + 1..96  3,27 или 8. 36    9.64.
Таким образом, с вероятностью р = 0.95 генеральный параметр 
находится в интервале 8.36 — 9.64.
95%

Выборка. Типы выборок. Расчет ошибки выборки

Калькуляторы

Калькулятор расчета ошибки и размера выборки
Калькулятор расчета статистической значимости различий

Генеральная совокупность

Суммарная численность объектов наблюдения (люди, домохозяйства, предприятия, населенные пункты и т.д.), обладающих
определенным набором признаков (пол, возраст, доход, численность, оборот и т.д.), ограниченная в пространстве и
времени. Примеры генеральных совокупностей

• Все жители Москвы (10,6 млн. человек по данным переписи 2002 года)
• Мужчины-Москвичи (4,9 млн. человек по данным переписи 2002 года) 
• Юридические лица России (2,2 млн. на начало 2005 года)
• Розничные торговые точки, осуществляющие продажу продуктов питания (20 тысяч на начало 2008 года) и
  т.д. 

Выборка (Выборочная совокупность)

Часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение обо всей
генеральной совокупности. Для того чтобы заключение, полученное путем изучения выборки, можно было распространить на
всю генеральную совокупность, выборка должна обладать свойством репрезентативности. 

Репрезентативность выборки

Свойство выборки корректно отражать генеральную совокупность. Одна и та же выборка может быть репрезентативной и
нерепрезентативной для разных генеральных совокупностей.
Пример:

• Выборка, целиком состоящая из москвичей, владеющих автомобилем, не репрезентирует все население
  Москвы. 
• Выборка из российских предприятий численностью до 100 человек не репрезентирует все предприятия России.
• Выборка из москвичей, совершающих покупки на рынке, не репрезентирует покупательское поведение всех москвичей.

В то же время, указанные выборки (при соблюдении прочих условий) могут отлично репрезентировать
москвичей-автовладельцев, небольшие и средние российские предприятия и покупателей, совершающих покупки на рынках
соответственно.
Важно понимать, что репрезентативность выборки и ошибка выборки – разные явления. Репрезентативность, в отличие от
ошибки никак не зависит от размера выборки.
Пример:
Как бы мы не увеличивали количество опрошенных москвичей-автовладельцев, мы не сможем репрезентировать этой выборкой
всех москвичей.

Ошибка выборки (доверительный интервал)

Отклонение результатов, полученных с помощью выборочного наблюдения от истинных данных генеральной совокупности.
Ошибка выборки бывает двух видов – статистическая и систематическая. Статистическая ошибка зависит от размера
выборки. Чем больше размер выборки, тем она ниже.
Пример:
Для простой случайной выборки размером 400 единиц максимальная статистическая ошибка (с 95% доверительной
вероятностью) составляет 5%, для выборки в 600 единиц – 4%, для выборки в 1100 единиц – 3% Обычно, когда говорят об
ошибке выборки, подразумевают именно статистическую ошибку.
Систематическая ошибка зависит от различных факторов, оказывающих постоянное воздействие на исследование и смещающих
результаты исследования в определенную сторону.
Пример:

• Использование любых вероятностных выборок занижает долю людей с высоким доходом, ведущих активный образ жизни.
  Происходит это в силу того, что таких людей гораздо сложней застать в каком-либо определенном месте (например,
  дома).
• Проблема респондентов, отказывающихся отвечать на вопросы 
  анкеты (доля «отказников» в Москве, для разных опросов,
  колеблется от 50% до 80%)

В некоторых случаях, когда известны истинные распределения, систематическую ошибку можно нивелировать введением квот
или перевзвешиванием данных, но в большинстве реальных исследований даже оценить ее бывает достаточно проблематично.  

Типы выборок

Выборки делятся на два типа:

• вероятностные
• невероятностные 

1. Вероятностные выборки
1.1 Случайная выборка (простой случайный отбор)
Такая выборка предполагает однородность генеральной совокупности, одинаковую вероятность доступности всех элементов,
наличие полного списка всех элементов. При отборе элементов, как правило, используется таблица случайных чисел. 
1.2 Механическая (систематическая) выборка
Разновидность случайной выборки, упорядоченная по какому-либо признаку (алфавитный порядок, номер телефона, дата
рождения и т.д.). Первый элемент отбирается случайно, затем, с шагом ‘n’ отбирается каждый ‘k’-ый элемент. Размер
генеральной совокупности, при этом – N=n*k 
1.3 Стратифицированная (районированная)
Применяется в случае неоднородности генеральной совокупности. Генеральная совокупность разбивается на группы
(страты). В каждой страте отбор осуществляется случайным или механическим образом. 
1.4 Серийная (гнездовая или кластерная) выборка
При серийной выборке единицами отбора выступают не сами объекты, а группы (кластеры или гнёзда). Группы отбираются
случайным образом. Объекты внутри групп обследуются сплошняком. 

2.Невероятностные выборки
Отбор в такой выборке осуществляется не по принципам случайности, а по субъективным критериям – доступности,
типичности, равного представительства и т.д.. 
2.1. Квотная выборка
Изначально выделяется некоторое количество групп объектов (например, мужчины в возрасте 20-30 лет, 31-45 лет и 46-60
лет; лица с доходом до 30 тысяч рублей, с доходом от 30 до 60 тысяч рублей и с доходом свыше 60 тысяч рублей) Для
каждой группы задается количество объектов, которые должны быть обследованы. Количество объектов, которые должны
попасть в каждую из групп, задается, чаще всего, либо пропорционально заранее известной доле группы в генеральной
совокупности, либо одинаковым для каждой группы. Внутри групп объекты отбираются произвольно. Квотные выборки
используются в маркетинговых исследованиях достаточно
часто. 
2.2. Метод снежного кома
Выборка строится следующим образом. У каждого респондента, начиная с первого, просятся контакты его друзей, коллег,
знакомых, которые подходили бы под условия отбора и могли бы принять участие в исследовании. Таким образом, за
исключением первого шага, выборка формируется с участием самих объектов исследования. Метод часто применяется, когда
необходимо найти и опросить труднодоступные группы респондентов (например, респондентов, имеющих высокий доход,
респондентов, принадлежащих к одной профессиональной группе, респондентов, имеющих какие-либо схожие хобби/увлечения
и т.д.) 
2.3 Стихийная выборка
Опрашиваются наиболее доступные респонденты. Типичные примеры стихийных выборок – опросы в газетах/журналах, анкеты, отданные респондентам на самозаполнение, большинство
интернет-опросов. Размер и состав стихийных выборок заранее не известен, и определяется только одним параметром –
активностью респондентов. 
2.4 Выборка типичных случаев
Отбираются единицы генеральной совокупности, обладающие средним (типичным) значением признака. При этом возникает
проблема выбора признака и определения его типичного значения. 

Курс лекций по теории статистики

Более подробную информацию по выборочным наблюдениям можно получить просмотрев видеокурс по теории статистики:
Выборочное наблюдение Способы формирование выборки
Специальные виды отбора

Калькулятор расчета ошибки и размера выборки (для простой случайной выборки)

Пояснения к полям:
Доверительная вероятность
Вероятность того, что доверительный интервал накроет неизвестное истинное значение параметра, оцениваемого по
выборочным данным. В практике исследований чаще всего используют 95%-ую доверительную вероятность
Ошибка выборки (доверительный интервал)
Интервал, вычисленный по выборочным данным, который с заданной вероятностью (доверительной) накрывает неизвестное
истинное значение оцениваемого параметра распределения.
Доля признака
Ожидаемая доля признака, для которого рассчитывается ошибка. В случае, если данные о доле признака отсутствуют,
необходимо использовать значение равное 50, при котором достигается максимальная ошибка.

Калькулятор расчета статистической значимости различий

Калькулятор позволяет проверить есть ли статистически значимая разница между долями признака, полученными из
независимых выборок. 
Например, если до начала рекламной кампании марку знали 55% респондентов, а по окончании – 60% — есть ли между этими
долями статистически значимая разница, или же эта разница укладывается в ошибку выборки? 
Примечание. Эта процедура может законно использоваться, только если обе выборки удовлетворяют следующему условию:
произведения n*p и n*(1-p), где n=размер выборки а p=доля признака, должны быть не меньше 5. 

Оставить свои комментарии по затронутой теме Вы можете на наших страницах в Facebook и Вконтакте.