Как определить полную абсолютную ошибку измерения - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Загрузить PDF

Абсолютная ошибка – это разность между измеренным значением и фактическим значением.^[1] Эта ошибка характеризует точность измерений. Если вам известны фактическое и измеренное значения, можно с легкостью вычислить абсолютную ошибку. Но иногда фактическое значение не дано, поэтому в качестве абсолютной ошибки пользуются максимально возможной ошибкой.^[2] Если даны фактическое значение и относительная ошибка, можно вычислить абсолютную ошибку.

1

Запишите формулу для вычисления абсолютной ошибки. Формула: $\Delta x=x_{{0}}-x$ , где $\Delta x$ – абсолютная ошибка (разность между измеренным и фактическим значениями), $x_{{0}}$ – измеренное значение, – фактическое значение.^[3]
2
Подставьте в формулу фактическое значение. Фактическое значение должно быть дано; в противном случае используйте принятое опорное значение. Фактическое значение подставьте вместо .
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м: $\Delta x=x_{{0}}-105$ .
3
Подставьте в формулу измеренное значение. Оно будет дано; в противном случае измерьте величину (длину или ширину и так далее). Измеренное значение подставьте вместо $x_{0}$ .
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м: $\Delta x=104-105$ .
4
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[4] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- В нашем примере: $\Delta x=104-105=-1$ , то есть абсолютная ошибка измерения равна 1 м.
Реклама

1

Запишите формулу для вычисления относительной ошибки. Формула: $\delta x={\frac {x_{{0}}-x}{x}}$ , где $\delta x$ – относительная ошибка (отношение абсолютной ошибки к фактическому значению), $x_{{0}}$ – измеренное значение, – фактическое значение.^[5]
2
Подставьте в формулу относительную ошибку. Скорее всего, она будет дана в виде десятичной дроби. Относительную ошибку подставьте вместо $\delta x$ .
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так: $0,02={\frac {x_{{0}}-x}{x}}$ .
3
Подставьте в формулу фактическое значение. Оно будет дано. Фактическое значение подставьте вместо .
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так: $0,02={\frac {x_{{0}}-105}{105}}$ .
4

Умножьте обе стороны уравнения на фактическое значение. Так вы избавитесь от дроби.
5

Прибавьте фактическое значение к каждой стороне уравнения. Так вы найдете $x_{{0}}$ , то есть измеренное значение.
6
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[6] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так: . Таким образом, абсолютная ошибка равна 2,1 м.
Реклама

1
Определите единицу измерения. То есть выясните, было ли значение измерено с точностью до сантиметра, метра и так далее. Возможно, эта информация будет дана (например, «длина поля измерена с точностью до метра»). Чтобы определить единицу измерения, посмотрите на то, как округлено данное значение.^[7]
- Например, если измеренная длина поля равна 106 м, значение было округлено до метров. Таким образом, единица измерения равна 1 м.
2
3
Используйте максимально возможную ошибку в качестве абсолютной ошибки.^[9] Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[10] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренная длина поля равна $106\pm 0,5$ м, то есть абсолютная ошибка равна 0,5 м.
Реклама

Советы

Если фактическое значение не указано, найдите принятое опорное или теоретическое значение.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 26 271 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Расчет погрешностей прямых измерений

Систематические
погрешности.
Систематические ошибки закономерным
образом изменяют значения измеряемой
величины. Наиболее просто поддаются
оценке погрешности, вносимые в
измерения
приборами, если они связаны с конструктивными
особенностями самих приборов. Эти
погрешности указываются в паспортах к
приборам. Погрешности некоторых приборов
можно оценить и не обращаясь к паспорту.
Для многих электроизмерительных приборов
непосредственно на шкале указан
их класс
точности.

Класс
точности прибора

– это отношение абсолютной погрешности
прибора

к максимальному значению измеряемой
величины
,
которое можно определить с помощью
данного прибора (это систематическая
относительная погрешность данного
прибора, выраженная в процентах от
номинала шкалы
).

Тогда
абсолютная погрешность

такого прибора определяется соотношением:

Для
электроизмерительных приборов введено
8 классов точности: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0;
2,5; 4.

Чем
ближе измеряемая величина к номиналу,
тем более точным будет результат
измерения. Максимальная точность (т.е.
наименьшая относительная ошибка),
которую может обеспечить данный прибор,
равна классу точности. Это обстоятельство
необходимо учитывать при использовании
многошкальных приборов. Шкалу надо
выбирать с таким расчетом, чтобы
измеряемая величина, оставаясь в пределах
шкалы, была как можно ближе к номиналу.

Если
класс точности для прибора не указан,
то необходимо руководствоваться
следующими правилами:

Абсолютная
погрешность приборов с нониусом равна
точности нониуса.
Абсолютная
погрешность приборов с фиксированным
шагом стрелки равна цене деления^¹.
Абсолютная
погрешность цифровых приборов равна
единице минимального разряда.
Для
всех остальных приборов абсолютная
погрешность принимается равной половине
цены деления.

Случайные
погрешности.
Эти погрешности имеют статистический
характер и описываются теорией
вероятности. Установлено, что при очень
большом количестве измерений вероятность
получить тот или иной результат в каждом
отдельном измерении можно определить
при помощи нормального распределения
Гаусса. При малом числе измерений
математическое описание вероятности
получения того или иного результата
измерения называется распределением
Стьюдента (более подробно об этом можно
прочитать в пособии Скворцовой И.Л.
«Ошибки измерений физических величин»).

Как
же оценить истинное значение измеряемой
величины?

Пусть
при измерении некоторой величины

мы получили N
результатов:
.
Среднее арифметическое серии измерений
ближе к истинному значению измеряемой
величины, чем большинство отдельных
измерений. Для получения результата
измерения некоторой величины

используется следующий алгоритм.

1).
Вычисляется
среднее арифметическое
серии из N
прямых измерений:

2).
Вычисляется абсолютная
случайная погрешность каждого измерения

– это разность между средним арифметическим
серии из N
прямых измерений и данным измерением:

3).
Вычисляется
средняя квадратичная абсолютная
погрешность
:

4).
Вычисляется
абсолютная
случайная погрешность
.
При
небольшом числе измерений абсолютную
случайную погрешность можно рассчитать
через среднюю квадратичную погрешность

и некоторый коэффициент
,
называемый коэффициентом Стъюдента:

Коэффициент
Стьюдента зависит от числа измерений
N
и коэффициента надежности

(в таблице 1 отражена зависимость
коэффициента Стьюдента от числа измерений
при фиксированном значении коэффициента
надежности
).

Коэффициент
надежности

– это вероятность, с которой истинное
значение
измеряемой величины попадает в
доверительный интервал.

Доверительный
интервал

– это числовой интервал, в который с
определенной вероятностью попадает
истинное значение измеряемой величины.

Таким
образом, коэффициент Стъюдента – это
число, на которое нужно умножить среднюю
квадратичную погрешность, чтобы при
данном числе измерений обеспечить
заданную надежность результата.

Чем
большую надежность необходимо обеспечить
для данного числа измерений, тем больше
коэффициент Стъюдента. С другой стороны,
чем больше число измерений, тем меньше
коэффициент Стъюдента при данной
надежности. В лабораторных работах
нашего практикума будем считать
надежность заданной и равной 0,9. Числовые
значения коэффициентов Стъюдента при
этой надежности для разного числа
измерений приведены в таблице 1.

Таблица
1

Число измерений N	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	…
Коэффициент Стъюдента	6,3	2,9	2,4	2,1	2,0	1,9	1,9	1,9	1,8	1,8	1,8	1,8

5).
Вычисляется
полная абсолютная погрешность.
При любых измерениях существуют и
случайные и систематические погрешности.
Расчет общей (полной) абсолютной
погрешности измерения дело непростое,
так как эти погрешности разной природы.

Для
инженерных измерений имеет смысл
суммировать систематическую и случайную
абсолютные погрешности

Для
простоты расчетов принято оценивать
полную абсолютную погрешность как сумму
абсолютной случайной и абсолютной
систематической (приборной) погрешностей,
если погрешности одного порядка величины,
и пренебрегать одной из погрешностей,
если она более
чем
на порядок (в 10 раз) меньше другой.

6).
Округляется погрешность и результат.
Поскольку результат измерений
представляется в виде интервала значений,
величину которого определяет полная
абсолютная погрешность, важное значение
имеет правильное округление результата
и погрешности.

Округление
начинают с абсолютной погрешности!!!
Число значащих цифр, которое оставляют
в значении погрешности, вообще говоря,
зависит от коэффициента надежности и
числа измерений. Однако даже для очень
точных измерений (например, астрономических),
в которых точное значение погрешности
важно, не оставляют более двух значащих
цифр. Бóльшее число цифр не имеет смысла,
так как определение погрешности само
имеет свою погрешность. В
нашем практикуме сравнительно небольшой
коэффициент надежности

и малое число измерений. Поэтому при
округлении (с избытком) полной абсолютной
погрешности оставляют одну значащую
цифру.

Разряд
значащей цифры абсолоютной погрешности
определяет разряд первой сомнительной
цифры в
значении
результата. Следовательно, само значение
результата нужно округлять (с поправкой)
до той значащей цифры, разряд которой
совпадает с разрядом значащей цифры
погрешности.
Сформулированное правило следует
применять и в тех случаях, когда некоторые
из цифр являются нулями.

Пример.

Если
при измерении массы тела получен
результат
,
то писать нули в конце числа 0,900 необходимо.
Запись

означала бы, что о следующих значащих
цифрах ничего не известно, в то время
как измерения показали, что они равны
нулю.

7).
Вычисляется
относительная
погрешность
.

При
округлении относительной погрешности
достаточно оставить две значащие цифры.

результат
серии измерений некоторой физической
величины представляют в виде интервала
значений с указанием вероятности
попадания истинного значения в данный
интервал, то
есть результат необходимо записать в
виде:

; ; .

Здесь

– полная, округленная до первой значащей
цифры, абсолютная погрешность и

– округленное с учетом уже округленной
погрешности среднее значение измеряемой
величины. При
записи результата измерений обязательно
нужно указать единицу измерения величины.

Рассмотрим
несколько примеров:

Пусть
при измерении длины отрезка мы получили
следующий результат:

см и

см. Как грамотно записать результат
измерений длины отрезка? Сначала
округляем с избытком абсолютную
погрешность, оставляя одну значащую
цифру

см. Значащая цифра погрешности в разряде
сотых. Затем округляем с поправкой
среднее значение с точностью до сотых,
т.е. до той значащей цифры, разряд которой
совпадает с разрядом значащей цифры
погрешности

см. Вычисляем относительную погрешность

Результат
измерений записываем так:

см;
; .

Пусть
при расчете сопротивления проводника
мы получили следующий результат:

и
.
Сначала округляем абсолютную погрешность,
оставляя одну значащую цифру
.
Затем округляем среднее значение с
точностью до целых
.
Вычисляем относительную погрешность

Результат
измерений записываем так:

;
; .

Пусть
при расчете массы груза мы получили
следующий результат:

кг и

кг. Сначала округляем абсолютную
погрешность, оставляя одну значащую
цифру

кг. Затем округляем среднее значение
с точностью до десятков

кг. Вычисляем относительную погрешность

Результат
измерений массы груза записываем так:

кг; ; .

Из
приведенных примеров видно, что округление
абсолютной погрешности производится
до первой значащей цифры в сторону
увеличения (с избытком). Среднее значение
измеряемой величины округляется с
поправкой до той значащей цифры, разряд
которой совпадает с разрядом значащей
цифры погрешности. При округлении
относительной погрешности оставляем
две значащие цифры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Вычисление погрешностей измерений

Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин, т. е. определением значений величин опытным путём с помощью измерительных приборов (средств измерения), и обработкой результатов измерений.

Различают прямые и косвенные измерения. При этом результат любого измерения является приблизительным, т. е. содержит погрешность измерения. Точность измерения физической величины характеризуют абсолютная и относительная погрешности.

Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно с помощью измерительного прибора.

Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δ_иx + Δ_оx при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.

Абсолютная инструментальная погрешность Δ_иx связана с классом точности прибора. Абсолютные инструментальные погрешности некоторых средств измерений представлены в таблице 1.

Таблица 1

Средства измерений	Диапазон измерений	Абсолютная инструментальная погрешность
Линейки: металлические деревянные пластмассовые	150, 300, 500 мм 400, 500, 750 мм 200, 250, 300 мм	0,1 мм 0,5 мм 1 мм
Лента измерительная	150 см	0,5 см
Мензурки 2-го класса	100, 200, 250 см³	5 см³
Амперметр школьный	2 А	0,05 А
Миллиамперметр	от 0 до I_max	4 % максимального предела измерений I_max
Вольтметр школьный	6 В	0,15 В
Термометр лабораторный	100 °С	1 °С
Барометр-анероид	720–780 мм рт. ст.	3 мм рт. ст.
Штангенциркули с ценой деления 0,1; 0,05 мм	155, 250, 350 мм	0,1; 0,05 мм в соответствии с ценой деления нониуса
Микрометры с ценой деления 0,01 мм	0–25, 25–50, 50–75 мм	0,004 мм

Абсолютная погрешность отсчёта Δ_оx связана с дискретностью шкалы прибора. Если величину измеряют с точностью до целого деления шкалы прибора, то погрешность отсчёта принимают равной цене деления. Если при измерении значение величины округляют до половины деления шкалы, то погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления.

Абсолютная погрешность определяет значение интервала, в котором лежит истинное значение измеренной величины:

Относительную погрешность прямого измерения определяют отношением абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:

$straight epsilon subscript x equals fraction numerator increment x over denominator x subscript изм end fraction times 100 percent sign.$

Относительная погрешность характеризует точность измерения: чем она меньше, тем точность измерения выше.

Косвенное измерение — определение значения физической величины с использованием формулы, связывающей её с другими величинами, измеренными непосредственно с помощью приборов.

Одним из методов определения погрешности косвенных измерений является метод границ погрешностей. Формулы для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей представлены в таблице 2.

Таблица 2

Вид функции y	Абсолютная погрешность Δy	Относительная погрешность $fraction numerator bold increment bold y over denominator bold y end fraction$
x₁ + x₂	Δx₁ + Δx₂	$fraction numerator increment x subscript 1 plus increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 1 plus x subscript 2 close vertical bar end fraction$
x₁ − x₂	Δx₁ + Δx₂	$fraction numerator increment x subscript 1 plus increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 1 minus x subscript 2 close vertical bar end fraction$
Cx	CΔx	$fraction numerator increment x over denominator x end fraction$
x₁x₂	\|x₁\| Δx₂ + \|x₂\| Δx₁	$fraction numerator increment x subscript 1 over denominator open vertical bar x subscript 1 close vertical bar end fraction plus fraction numerator increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 2 close vertical bar end fraction$
	$fraction numerator open vertical bar x subscript 1 close vertical bar increment x subscript 2 plus open vertical bar x subscript 2 close vertical bar increment x subscript 1 over denominator x subscript 2 superscript 2 end fraction$	$fraction numerator increment x subscript 1 over denominator open vertical bar x subscript 1 close vertical bar end fraction plus fraction numerator increment x subscript 2 over denominator open vertical bar x subscript 2 close vertical bar end fraction$
xⁿ	\|n\|\|x\|ⁿ⁻¹Δx	$open vertical bar n close vertical bar fraction numerator increment x over denominator open vertical bar x close vertical bar end fraction$
lnx	$fraction numerator increment x over denominator x end fraction$	$fraction numerator increment x over denominator x open vertical bar ln x close vertical bar end fraction$
sinx	\|cosx\| Δx	$fraction numerator increment x over denominator open vertical bar tg x close vertical bar end fraction$
cosx	\|sinx\| Δx	\|tgx\| Δx
tgx	$fraction numerator increment x over denominator cos squared x end fraction$	$fraction numerator 2 increment x over denominator open vertical bar sin 2 x close vertical bar end fraction$

Абсолютную погрешность табличных величин и фундаментальных физических постоянных определяют как половину единицы последнего разряда значения величины.

Источник

Download Article

Absolute error is the difference between the measured value and the actual value.^[1] It is one way to consider error when measuring the accuracy of values. If you know the actual and measured values, calculating the absolute error is a simple matter of subtraction. Sometimes, however, you may be missing the actual value, in which case you should use the maximum possible error as the absolute error.^[2] If you know the actual value and the relative error, you can work backwards to find the absolute error.

1

Set up the formula for calculating the absolute error. The formula is $\Delta x=x_{{0}}-x$ , where $\Delta x$ equals the absolute error (the difference, or change, in the measured and actual value), $x_{{0}}$ equals the measured value, and equals the actual value.^[3]
2
Plug the actual value into the formula. The actual value should be given to you. If not, use a standardly accepted value. Substitute this value for .^[4]
- For example, you might be measuring the length of a football field. You know that the actual, or accepted length of a professional American football field is 360 feet (including both end zones). So, you would use 360 as the actual value: $\Delta x=x_{{0}}-360$ .
Advertisement
3
Find the measured value. This will be given to you, or you should make the measurement yourself. Substitute this value for $x_{{0}}$ .
- For example, if you measure the football field and find that it is 357 feet long, you would use 357 as the measured value: $\Delta x=357-360$ .
4
Subtract the actual value from the measured value. Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.^[5]
- For example, since $\Delta x=357-360=-3$ , the absolute error of your measurement is 3 feet.

1

Set up the formula for relative error. The formula is $\delta x={\frac {x_{{0}}-x}{x}}$ , where $\delta x$ equals the relative error (the ratio of the absolute error to the actual value), $x_{{0}}$ equals the measured value, and equals the actual value.^[6]
2
Plug in the value for the relative error. This will likely be a decimal. Make sure you substitute it for $\delta x$ .
- For example, if you know that the relative error is .025, your formula will look like this: $.025={\frac {x_{{0}}-x}{x}}$ .
3
Plug in the value for the actual value. This information should be given to you. Make sure you substitute this value for .
- For example, if you know that the actual value is 360 ft, your formula will look like this: $.025={\frac {x_{{0}}-360}{360}}$ .
4

Multiply each side of the equation by the actual value. This will cancel out the fraction.
5

Add the actual value to each side of the equation. This will give you the value of $x_{{0}}$ , giving you the measured value.
6
Subtract the actual value from the measured value. Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.^[7]
- For example, if the measured value is 369 ft, and the actual value is 360 feet, you would subtract . So, the absolute error is 9 feet.

1
Determine the measuring unit. This is the “to the nearest” value. This might be explicitly stated (for example, “The building was measured to the nearest foot.”), but it doesn’t have to be. To determine the measuring unit, just look at what place value the measurement is rounded to.
- For example, if the measured length of a building is stated as 357 feet, you know that the building was measured to the nearest foot. So, the measuring unit is 1 foot.
2
3
Use the maximum possible error as the absolute error.^[9] Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.
- For example, if you find the measurement of a building to be $357\pm .5ft$ , the absolute error is .5 ft.

Add New Question

Question

How do I find absolute error of any equation?

An equation does not contain an «absolute error.» Re-read the introduction above.
Question

How do I find the root value of a 6-digit number?
Question

What is the absolute error in 2.11?

As explained above, the concept of «absolute error» involves both a measured value and an «actual» value.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

If the actual value is not given, you can look for the accepted or theoretical value.

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate the absolute error, use the formula, “Absolute Error = Measured Value — Actual Value.” Begin by plugging the actual value into the formula, which will either be given to you or is the standardly accepted value. Then, make a measurement and put the measured value into the formula. Finally, subtract the actual value from the measure value to calculate the absolute error. If there are any negative signs, ignore them when you record your answer. To learn how to find the absolute error if you don’t have the measured value, keep reading.

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 210,614 times.

Did this article help you?

Источник

Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».

Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.

Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это
разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:

ΔА = А — А_пр .

Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной
погрешности мы можем определить лишь приблизительно. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.

Относительная погрешность измерения
ε_Аравна:

При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:

В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из
множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.

Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:

ΔА = ε_A· А.

«Правило ничтожных погрешностей»

при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟4 от другого.

Запись результата с указанием погрешности.

Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.

Пример:

Результат записывается в виде:

А = А_изм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.

При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении
погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения). Значение величины и погрешность следует
выражать в одних и тех же единицах!

Пример:

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?

Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за
топливо?

Источник