Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».
Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.
Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это
разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:
ΔА = А — Апр .
Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной
погрешности мы можем определить лишь приблизительно. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.
Относительная погрешность измерения
εА равна:
При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:
В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из
множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.
Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:
ΔА = εA· А.
«Правило ничтожных погрешностей»
при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟4 от другого.
Запись результата с указанием погрешности.
Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.
Пример:
Результат записывается в виде:
А = Аизм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.
При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении
погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения). Значение величины и погрешность следует
выражать в одних и тех же единицах!
Пример:
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?
Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за
топливо?
Определение относительной погрешности косвенных измерений
Мы
уже отмечали, что часто бывает удобно
сначала определить относительную
погрешность косвенного измерения
,
а затем абсолютную. Покажем это на
примерах.
Пример.
Пусть x,
y
и z
– прямо измеренные величины, а f
– косвенно определяемая через них
величина. Вывести формулы для определения
относительной погрешности косвенных
измерений:
а)
f=(xy)z; б)
f=sin(x2+y2); в)
.
Значения
,
,
и
считать
известными.
Решение:
Напомним,
что
рассчитывается по формуле:
.
а)
Сначала прологарифмируем функцию
f=(xy)z
:
.
Теперь
найдем частные производные
,
и
:
;
;
.
Тогда:
,
.
Теперь,
зная
и
,
рассчитаем
:
.
б)
Прологарифмировав данную функцию
f=sin(x2+y2),
получим:
.
Мы видим, что выражение лишь усложнилось,
искать производную от исходной функции
проще, чем от ее логарифма. Поэтому
запишем частные производные функции:
; 
.
Подставим
эти данные в формулу для определения
абсолютной погрешности косвенного
измерения. Напомним, что
рассчитывается
так:
.Получим:
.
Теперь,
зная
и
,
можно рассчитать
:
.
в)
В этом примере исходную функцию удобно
прологарифмировать:
.
Теперь
будет проще искать частные производные.
Итак:
,
,
.
Подставим
полученные значения в формулу для
определения
.
Получим:
,
.
Теперь,
зная
и
,
рассчитаем
:
.
ПРИЛОЖЕНИЕ
5
Погрешности элементарных функций
Таблица 4
|
№ |
Вид функции
z |
Абсолютная z |
Относительная
|
|
1 |
ca, c = const |
ca |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
Наиболее часто
встречаются следующие случаи определения
погрешностей:
1.
Погрешности в суммах и разностях.
Если а1
и а2
измерены с погрешностями Δа1
и Δа2
и измеренные значения используются для
вычисления суммы или разности А
= а1
± а2,
то суммируются абсолютные погрешности
(без учета знака):
ΔА
= Δа1
+ Δа2.
2.
Погрешности в произведениях и частных.
Если измеренные значения а1
и а2
используются для вычисления А
= а1
а2
или А =
а1
/ а2,
то суммируются относительные погрешности:
εА
= εа1
+ εа2,
где ε = Δа
/ а.
3.
Измеренная величина умножается на
точное число.
Если а
используется для вычисления произведения
А
= В
а,
в котором В
не имеет погрешности, то А
= | В
|
εа.
4.
Возведение в степень.
Если а
используется для вычисления степени А
= аn,
то А
= n
εа.
5.
Погрешности в произвольной функции
одной переменной.
Если а
используется для вычисления функции
А(а),
то:
.
Пример
1. Производится
косвенное измерение электрической
мощности, рассеиваемой на резисторе
сопротивлением R
при протекании по нему тока I.
Так как P
= I2
R,
то, применяя правила 2 и 4, получим εP
= εR
+ 2εI.
Пример
2. Измерением
найдено значение угла α = (20±3).
Необходимо найти cosα.
Наилучшая оценка для cos20
= 0,94. Погрешности Δα = 3
= 0,05 рад. Тогда по правилу 5 имеем εcosα
= (sin20)
0,05 = 0,34
0,05 = 0,02. Окончательно cosα
= 0,94 ± 0,02.
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
В
приведенной таблице представлены
экспериментальные данные, с помощью
которых можно определить сопротивление
некоторого образца:
Таблица
5
-
I,
мАU,
ВI2,(
мА)2U2,
В2IU,
мАВ12,1
2,7
146,41
7,29
32,67
15,9
3,3
252,81
10,98
52,47
21,8
3,2
475,24
10,24
69,76
25,0
3,2
625,00
10,24
80,00
29,8
3,5
888,04
12,25
104,30
33,5
4,3
1122,25
18,49
144,05
38,3
4,0
1466,89
16,00
153,20
41,0
4,6
1681,00
21,16
188,60
46,6
5,1
2171,56
26,01
237,66
54,8
5,1
3003,04
26,01
279,48
1.
В качестве переменной x
выступает сила тока I,
переменной y
является напряжение U.
По формулам
и
вычисляют средние значения переменных:
,
.
2.
По формулам
и
вычисляют средние квадраты:
,
3.
Рассчитывают <xy>
как
:
4.
Определить оптимальные значения
коэффициентов а
и b
по формулам:
,
,
.
5.
Определяют квадрат среднего квадратичного
отклонения σ2:
4.Определить
квадраты средних квадратичных отклонений
σа2
и σb2:
,
.
,
5.
Вычислить погрешности
и
:
,
.
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
Значения
tα,n
для различных
значений доверительной вероятности
α
и числа
измерений n
(распределение Стьюдента)
Таблица 6
|
α n |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
|
2 |
1,000 |
1,376 |
1,963 |
3,08 |
6,31 |
12,71 |
31,8 |
63,7 |
636,6 |
|
3 |
0,816 |
1,061 |
1,336 |
1,886 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
9,92 |
31,6 |
|
4 |
0,765 |
0,978 |
1,250 |
1,638 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
12,94 |
|
5 |
0,741 |
0,941 |
1,190 |
1,533 |
2,13 |
2,77 |
3,75 |
4,60 |
8,61 |
|
6 |
0,727 |
0,920 |
1,156 |
1,476 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
6,86 |
|
7 |
0,718 |
0,906 |
1,134 |
1,440 |
1,943 |
2,45 |
3,14 |
4,71 |
5,96 |
|
8 |
0,711 |
0,896 |
1,119 |
1,415 |
1,895 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
5,40 |
|
9 |
0,706 |
0,889 |
1,108 |
1,397 |
1,860 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
5,04 |
|
10 |
0,703 |
0,883 |
1,110 |
1,383 |
1,833 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,78 |
|
11 |
0,700 |
0,879 |
1,093 |
1,372 |
1,812 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,59 |
|
12 |
0,697 |
0,876 |
1,088 |
1,363 |
1,796 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
4,49 |
|
13 |
0,695 |
0,873 |
1,083 |
1,356 |
1,782 |
2,18 |
2,68 |
3,06 |
4,32 |
|
14 |
0,694 |
0,870 |
1,079 |
1,350 |
1,771 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
4,22 |
|
15 |
0,692 |
0,868 |
1,076 |
1,345 |
1,761 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
4,14 |
|
16 |
0,691 |
0,866 |
1,074 |
1,341 |
1,753 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
4,07 |
|
17 |
0,690 |
0,868 |
1,071 |
1,337 |
1,746 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
4,02 |
|
18 |
0,689 |
0,863 |
1,069 |
1,333 |
1,740 |
2,11 |
2,57 |
2,92 |
3,96 |
|
19 |
0,688 |
0,862 |
1,067 |
1,330 |
1,734 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,92 |
|
20 |
0,688 |
0,861 |
1,066 |
1,328 |
1,729 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,88 |
|
|
0,674 |
0,842 |
1,036 |
1,282 |
1,645 |
1,960 |
2,33 |
2,58 |
3,29 |
1
Более подробно о классе точности прибора
см. Сысоев С.М. Лабораторный практикум
по электричеству и магнетизму:
Методические указания к лабораторным
работам по курсу общей физики. Для
студентов всех специальностей / Сысоев
С.М., Манина Е.А., Никонова Н.О.; Под ред.
С.М. Сысоева. – Сургут: Изд-во СурГУ,
2004.
52
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Вычисление погрешностей измерений
Выполнение лабораторных работ связано с измерением физических величин, т. е. определением значений величин опытным путём с помощью измерительных приборов (средств измерения), и обработкой результатов измерений.
Различают прямые и косвенные измерения. При этом результат любого измерения является приблизительным, т. е. содержит погрешность измерения. Точность измерения физической величины характеризуют абсолютная и относительная погрешности.
Прямое измерение — определение значения физической величины непосредственно с помощью измерительного прибора.
Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δиx + Δоx при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.
Абсолютная инструментальная погрешность Δиx связана с классом точности прибора. Абсолютные инструментальные погрешности некоторых средств измерений представлены в таблице 1.
| Средства измерений | Диапазон измерений | Абсолютная инструментальная погрешность |
| Линейки: металлические деревянные пластмассовые |
150, 300, 500 мм 400, 500, 750 мм 200, 250, 300 мм |
0,1 мм 0,5 мм 1 мм |
| Лента измерительная | 150 см | 0,5 см |
| Мензурки 2-го класса | 100, 200, 250 см3 | 5 см3 |
| Амперметр школьный | 2 А | 0,05 А |
| Миллиамперметр | от 0 до Imax | 4 % максимального предела измерений Imax |
| Вольтметр школьный | 6 В | 0,15 В |
| Термометр лабораторный | 100 °С | 1 °С |
| Барометр-анероид | 720–780 мм рт. ст. | 3 мм рт. ст. |
| Штангенциркули с ценой деления 0,1; 0,05 мм | 155, 250, 350 мм | 0,1; 0,05 мм в соответствии с ценой деления нониуса |
| Микрометры с ценой деления 0,01 мм | 0–25, 25–50, 50–75 мм | 0,004 мм |
Абсолютная погрешность отсчёта Δоx связана с дискретностью шкалы прибора. Если величину измеряют с точностью до целого деления шкалы прибора, то погрешность отсчёта принимают равной цене деления. Если при измерении значение величины округляют до половины деления шкалы, то погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления.
Абсолютная погрешность определяет значение интервала, в котором лежит истинное значение измеренной величины:
Относительную погрешность прямого измерения определяют отношением абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:
Относительная погрешность характеризует точность измерения: чем она меньше, тем точность измерения выше.
Косвенное измерение — определение значения физической величины с использованием формулы, связывающей её с другими величинами, измеренными непосредственно с помощью приборов.
Одним из методов определения погрешности косвенных измерений является метод границ погрешностей. Формулы для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений методом границ погрешностей представлены в таблице 2.
| Вид функции y | Абсолютная погрешность Δy | Относительная погрешность  |
| x1 + x2 | Δx1 + Δx2 |  |
| x1 − x2 | Δx1 + Δx2 | |
| Cx | CΔx |  |
| x1x2 | |x1| Δx2 + |x2| Δx1 |  |
 |
 |
|
| xn | |n||x|n−1Δx |  |
| lnx | |
 |
| sinx | |cosx| Δx |  |
| cosx | |sinx| Δx | |tgx| Δx |
| tgx |  |
 |
Абсолютную погрешность табличных величин и фундаментальных физических постоянных определяют как половину единицы последнего разряда значения величины.