Как найти абсолютную ошибку косвенных измерений

Погрешности косвенных измерений

Теперь
необходимо рассмотреть вопрос о том,
как находить погрешность физической
величины ,
которая определяется путем косвенных
измерений. Общий вид уравнения измерения

Y=f(Х₁,Х₂, … ,Х_n), (1.4)

где Х_j– различные физические
величины, которые получены экспериментатором
путем прямых измерений, или физические
константы, известные с заданной точностью.
В формуле они являются аргументами
функции.

В
практике измерений широко используют
два способа расчета погрешности косвенных
измерений. Оба способа дают практически
одинаковый результат.

Способ
1. Сначала находится абсолютная,
а затем относительнаяпогрешности. Этот способ рекомендуется
для таких уравнений измерения, которые
содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной
погрешности при косвенных измерениях
физической величины Yдля произвольного
видаf функции имеет вид:

(1.5)

где частные производные функцииY=f(Х₁,Х₂, … ,Х_n) по
аргументуХ_j,

общая погрешность прямых измерений
величиныХ_j.

Для
нахождения относительной погрешности
нужно прежде всего найти среднее значение
величины Y. Для этого в уравнение
измерения (1.4) надо подставить средние
арифметические значения величинX_j.

То есть
среднее значение величины Yравно:.
Теперь легко найти относительную
погрешность:.

Пример: найти погрешность измерения
объёмаVцилиндра. Высотуhи
диаметрDцилиндра считаем определёнными
путём прямых измерений, причём пусть
количество измеренийn=10.

Формула
для расчета объёма цилиндра, то есть
уравнение измерения имеет вид:

Пусть
приР=0,68;

приР=0,68.

Тогда,
подставляя в формулу (1.5) средние значения,
найдём:

Погрешность
_Vв
данном примере зависит, как видно, в
основном от погрешности измерения
диаметра.

Средний объём
равен:,
относительная погрешность_V
равна:

, или_V=19%.

Окончательный результат после округления:

V=(479)
мм³, _V=19%,
Р=0,68.

Способ
2.Этот способ определения погрешности
косвенных измерений отличается от
первого способа меньшими математическими
трудностями, поэтому его чаще используют.

В начале
находят относительную погрешность ,
и только затем абсолютную.
Особенно удобен этот способ, если
уравнение измерения содержит только
произведения и отношения аргументов.

Порядок
действий можно рассмотреть на том же
конкретном примере — определение
погрешности при измерении объёма
цилиндра

.

Все
численные значения входящих в формулу
величин сохраним теми же, что и при
расчетах по способу 1.

Пусть
мм,;
приР=0,68;

;
при Р=0,68.

-погрешность
округления числа
(см. рис. 1.1)

При
использовании способа 2следует
действовать так:

1) прологарифмировать
уравнение измерения (берём натуральный
логарифм)

.

найти
дифференциалы от левой и правой частей,
считаянезависимыми переменными,

;

2) заменить
дифференциал каждой величины на
абсолютную погрешность этой же величины,
а знаки “минус”, если же они есть перед
погрешностями на “плюс”:

;

3)
казалось бы, что с помощью этой формулы
уже можно дать оценку для относительной
погрешности
,
однако это не так. Требуется так оценить
погрешность, чтобы доверительная
вероятность этой оценки совпадала с
доверительными вероятностями оценки
погрешностей тех членов, которые стоят
в правой части формулы. Для этого, чтобы
это условие выполнялось, нужно все члены
последней формулы возвести в квадрат,
а затем извлечь корень квадратный из
обеих частей уравнения:

.

Или в других
обозначениях относительная погрешность
объёма равна:

,

причём вероятность этой оценки
погрешности объёма будет совпадать с
вероятностью оценки погрешностей
входящих в подкоренное выражение членов:

Сделав
вычисления, убедимся, что результат
совпадает с оценкой по способу 1:

Теперь,
зная относительную погрешность, находим
абсолютную:

_V=0,19
· 47=9,4мм³,P=0,68.

Окончательный результат после округления:

V=
(47 ± 9) мм³,_V
= 19%,P=0,68.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Обработка результатов косвенных измерений
Косвенным называется измерение, при котором искомое значение физической величины (ФВ) находят опосредованно по известной зависимости между искомой величиной и величинами, найденными в результате прямых измерений (многократных или однократных).
Определение результатов косвенных измерений и оценивание их погрешностей производится в соответствии с рекомендациями МИ 2083-90 «Измерения косвенные определение результатов измерений и оценивание их погрешностей». Эти рекомендации базируются на том, что аргументы, от которых зависит измеряемая величина, принимаются за постоянные физические величины; известные систематические погрешности результатов измерений аргументов исключены, а неисключенные систематические погрешности распределены равномерно внутри заданных границ.
Поскольку методы строго математически обоснованного анализа погрешности косвенных измерений отличаются значительной сложностью, то рассматривается упрощенный порядок расчета погрешностей [37].
При косвенных измерениях искомая величина х определяется зависимостью
х = f (a, b, c, …), 3.15
где a, b, c, … – прямо измеряемые величины, являющиеся аргумента-
ми функции x.
За принимается значение функции (3.15), вычисленное по измеренным значениям аргументов
3.16
где – результаты прямых измерений.
Обработка результатов косвенных измерений состоит из следующих этапов:
1. Нахождение значения входящих в расчетную формулу величин, а также их абсолютную и относительную погрешности:
δa ; δb; δc ; …
2. По уравнению (3.16) находится значение измеряемой величины при измеренных значениях аргументов
3. Вывод формулы для расчета погрешности искомой величины х как функции погрешностей прямо измеренных величин. Нахождение этой функции и расчет погрешностей величины х можно выполнить одним из двух способов.
Способ 1. Нахождение абсолютной погрешности
где – частные производные искомой функции х . Для расчета частных производных необходимо использовать измеренные значения величин
, , представляют собой частные погрешности результата косвенного измерения, вызванные погрешностями ∆a, ∆b, ∆c измерения величины x. Частные производные носят название коэффициентов влияния соответствующих погрешностей.
Абсолютные погрешности определяются для доверительной вероятности P = 0,95.
Способ 2. Определение относительной погрешности
3.17
Абсолютная погрешность вычисляется по формуле
3.18
4. Определяется количество значащих цифр в абсолютной погрешности и в значении измеряемой величины.
Конечный результат измерений представляется в следующем виде
x = (25,46±0,24) мм, при P = 0,95
Выбор первого или второго способа определяется простотой математических расчетов.
Способ 1 рекомендуется использовать при вычислении абсолютной погрешности суммы и разности.
Способ 2 – при получении относительной погрешности произведения или частного от деления нескольких прямо измеряемых величин. В общем случае такая функция представляет собой одночлен вида
3.19
где K – постоянная величина; a, b, c, …– символы прямо измеренных величин; α, β, γ – показатели степени, выраженные целыми, дробными, отрицательными или положительными числами.
Выражение (3.19) после логарифмирования примет вид
ln х = ln K + αlna + βlnb + γ lnc + …
Учитывая, что производная от постоянной величины равна нулю, а
производная от натурального логарифма по формуле (3.17) находится выражение для относительной погрешности
3.20
Затем по формуле (3.17) вычисляем абсолютную погрешность.
При расчетах погрешностей косвенных измерений формулу (3.20) для относительной погрешности одночлена вида (3.19) можно записывать без промежуточных выкладок. Поэтому рекомендуется расчетные формулы привести к виду (3.19) и сразу записать общую формулу для относительной погрешности по подобию выражения (3.20).
Погрешности констант (таких как: число π, число e, масса электрона, заряд электрона, скорость света в вакууме и т. п.), как правило, много меньше погрешностей измеряемых нами величин, поэтому погрешностями констант пренебрегают и их не учитывают.
Способы выражения и формы представления результатов измерений
Любая измерительная информация – результаты (в том числе результаты, полученные в различных лабораториях) и погрешности измерений, эмпирические зависимости и т. д. – должна сопровождаться показателями точности измерений. В целях единообразия отражения результатов и погрешностей измерений необходимо применять однотипные формы представления результатов измерений и показатели точности измерений. При этом любой результат измерения величины принято записывать с указанием соответствующей абсолютной погрешности измерения, которая выражается в тех же единицах, что и сама величина. Например, при измерении силы тока в амперах результат измерения записывают так: I = (0,25 ± 0,02) А, где Δl = 0,02 А – модуль абсолютной погрешности измерения.
Важным вопросом является запись результатов и погрешностей измерений с различным числом значащих цифр. При этом, значащими цифрами числа считаются все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней справа цифры (включая нули), при этом нули, записанные в виде множителя 10″, не учитываются. Например:
• число 12,0 имеет три значащие цифры;
• число 30 имеет две значащие цифры;
• число 120 • 103 имеет три значащие цифры;
• число 0,514 • 102 имеет три значащие цифры;
• число 0,050 имеет две значащие цифры.
В связи с этим распространенной ошибкой при расчете результатов и погрешностей измерений является вычисление их и запись с большим числом значащих цифр. Этому способствует использование для расчетов компьютеров, позволяющих получать результаты с десятью и более значащими цифрами. Однако погрешности измерений не всегда требуется знать с очень высокой точностью. В частности, для технических измерений допустима погрешность в 15…20 %. Например, вычислив значение погрешности 0,2359, а результата измерения – 12,7254, надо подумать, имеет ли смысл запись результата с такой погрешностью. Ведь если исходить из того, что недостоверность результата уже характеризуется десятыми долями (0,2…), то вклад последующих значащих цифр в оцененную погрешность будет все менее весом и почти ничего не добавит к информации об измеряемой величине. Поэтому-то и необходимо ограничивать число значащих цифр в записи результата измерения. Необходимо также пользоваться основным правилом: погрешность, получаемая в результате вычислений, должна быть на порядок (в 10 раз) меньше суммарной погрешности измерений.
При округлении (округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда) результата измерений используют правила математики.
В теоретической метрологии установлен ряд следующих правил округления.
1. Результат измерения округляют до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Если десятичная дробь в значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасывают до того разряда, который соответствует разряду значения погрешности. Например, результат 4,0800, погрешность ±0,001; результат округляют до 4,080. Результат 25,6341, погрешность ±0,01; результат округляют до 25,63. Тот же результат при погрешности в ±0,015 округляют до 25,634.
2. Лишние цифры в целых числах заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают. Например, число 165245 при сохранении четырех значащих цифр округляется до 165200, а число 165,245 – до 165,2.
3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остающиеся цифры в числе не изменяют. Если эта цифра равна или больше 5, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. Лишние цифры в целых числа заменяют нулями, а в десятичных дробях отбрасывают. Например, численное значение результата измерения составляет 15,458 при погрешности результата, выраженной пределами ± 0,02; округление результата будет 15,46. Если пределы погрешности имеют ± 0,002, то числовое значение результата сохраняется полностью. Числовое значение результата 125553 получено с погрешностью ± 0,0005. В нем сохраняются четыре значащие цифры и округление даст число 125600; если числовое значение результата 105,553, то при тех же условиях округление дает число 105,6.
4. Погрешность позволяет определить те цифры результата измерений, которые являются достоверными. Часто исходными данными для расчета являются нормируемые значения погрешности используемого средства измерений, которые указывают всего с одной или двумя значащими цифрами. Вследствие этого и в окончательном значении рассчитанной погрешности не следует удерживать более двух значащих цифр.
5. Округление производят лишь в окончательном ответе, а все промежуточные результаты целесообразно представлять тем числом разрядов, которые удается получить.
Особенно внимательно следует относиться к записи результата измерений без указания погрешности, так как, например, записи результата измерений сопротивления 5,410 кОм и 5400 Ом не являются тождественными. Первая запись означает, что верны цифры тысяч и сотен Ом и истинное значение может находиться в интервале 5,351…5,449 кОм (так как расчетные значения 5,351 и 5,449 будут округлены до 5,4). Запись 5400 Ом означает, что верны и единицы Ом, следовательно, истинное значение сопротивления может находиться в интервале 5399,51…5400,49 Ом (так как в обоих случаях результат будет округлен до 5400 Ом). Поэтому запись результата без указания погрешности крайне нежелательна.
Установлены следующие правила, рекомендованные к соблюдению только при округлении расчетного значения погрешности [41].
Погрешность оценки измеряемой величины следует выражать не более чем двумя значащими цифрами. 
Две значащие цифры в погрешности оценки измеряемой величины сохраняют:
• при точных измерениях;
• если первая значащая цифра не более трех.
Число цифр в промежуточных вычислениях при обработке результатов измерений должно быть на две больше, чем в окончательном результате.
Погрешность при промежуточных вычислениях должна быть выражена не более чем тремя значащими цифрами.
Примеры ограничения числа значащих цифр в погрешности и в измеренном значении представлены в табл. 34 и 35.
Таблица 34
Примеры ограничения числа значащих цифр и округления
погрешности
Пример
Пояснения
0,154 ≈ 0,15
1,967 ≈ 2,0
19,37 ≈ 19
144,1 ≈ 0,14⋅103
Первая значащая цифра погрешности “1”, поэтому оставляем две значащие цифры.
Замечание. При необходимости число записывают с множителем 10n , где n – показатель степени.
0,394 ≈ 0,39
3,94 ≈ 3,9
Первая значащая цифра погрешности “3”, поэтому оставляем две значащие цифры.
0,397 ≈ 0,4
3,97 ≈ 4
Первая значащая цифра погрешности “3”, поэтому оставляем две значащие цифры, но так как при округлении
цифра “3” превращается в цифру “4”, то оставляем только одну значащую цифру.
0,461 ≈ 0,5
4,78 ≈ 5
41,1 ≈ 4⋅10
4123 ≈ 4⋅103
Первая значащая цифра погрешности “4”, поэтому остав-
ляем одну значащую цифру.
0,917 ≈ 0,9
9,17 ≈ 9
91,7 ≈ 9⋅10
9123 ≈ 9⋅103
Первая значащая цифра погрешности “9”, поэтому оставляем одну значащую цифру.
0,0977 ≈ 0,10
0,956 ≈ 1,0
956 ≈ 1,0⋅103
Первая значащая цифра погрешности “9”, поэтому оставляем одну значащую цифру, но так как при округлении цифра “9” превращается в число “10”, т.е. первая значащая цифра “1”, то оставляем две значащие цифры.
Таблица 35
Примеры ограничения количества значащих цифр
в измеренном значении и его погрешности
Пример
Пояснения
43,234 ± 0,0417 ≈ 43,23 ± 0,04
32,3754 ± 0,0917 ≈ 32,38 ± 0,09
В погрешности оставляем одну значащую цифру, младший разряд – сотые.
В измеренном значении оставляем также младший разряд – сотые
4,3234 ± 0,0397 ≈ 4,32 ± 0,04
43,2364 ± 0,0522 ≈ 43,24 ± 0,05
432,37 ± 0,0917 ≈ 432,37 ± 0,09
В погрешности оставляем одну значащую цифру, младший разряд – сотые.
В измеренном значении оставляем также младший разряд – сотые.
432,37 ± 0,956 ≈ 432,4 ±1,0
432,3477 ± 2,45 ≈ 432,3± 2,4
432,134 ± 2,86 ≈ 432,1± 2,9
43,234 ± 3,94 ≈ 43,2 ± 3,9
В погрешности оставляем две значащие цифры, последний разряд – десятые.
В измеренном значении оставляем также младший разряд – десятые
43,234 ± 0,297 ≈ 43,2 ± 3,0
В погрешности оставляем две значащие цифры, младший разряд – десятые.
В измеренном значении оставляем также младший разряд – десятые.
432,345 ±1,441 ≈ 4323,4 ±1,4
43,234 ± 3,97 ≈ 43 ± 4
432,364 ± 5,55 ≈ 432 ± 6
432,34 ± 39,4 ≈ 432 ± 39
432,34 ±19,37 ≈ 432 ±19
В погрешности оставляем одну значащую цифру, младший разряд – единицы.
В измеренном значении оставляем также младший разряд – единицы.
432,34 ± 49,1 ≈ (43 ± 5)⋅10
426,34 ± 41,1 ≈ (43 ± 4)⋅10
В погрешности оставляем одну значащую цифру. Так как за скобки выносим общий множитель “10”, то младший разряд – единицы.
В измеренном значении оставляем также младший разряд – единицы.
432,34 ± 39,7 ≈ (4,3 ± 0,4) ⋅102
437,34 ± 59,7 ≈ (4,4 ± 0,6)⋅102
В погрешности оставляем одну значащую цифру. Так как за скобки выносим общий множитель “102”, то младший
разряд – десятые.
В измеренном значении оставляем также младший разряд – десятые.
4326,4 ± 211 ≈ (4,33 ± 0,21)⋅103
4323,4 ± 219 ≈ (4,32 ± 0,22)⋅103
В погрешности оставляем две значащие цифры. Так как за скобки выносим общий множитель “103”, то младший раз-
ряд – сотые.
В измеренном значении оставляем также младший разряд – сотые.
0,0004623 ± 0,00017≈
≈(4,6 ± 1,7) 10–4
В погрешности оставляем две значащих цифры. Так как за скобки выносим общий множитель “10–4”, то младший разряд – десятые.
В измеренном значении оставляем также младший разряд – десятые.