Интервальные оценки доверительная вероятность и предельная ошибка выборки - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Оценка генеральной дисперсии.

Теорема. Выборочная
дисперсия σ_в²
повторной и бесповторной выборок
является смещенной и состоятельной
оценкой генеральной дисперсия _.

Замечание.В процессе
доказательства теоремы получено, что,
т.е. выборочная дисперсия уменьшает
генеральную дисперсию. При замененадопускается систематическая погрешность
в сторону уменьшения. В связи с этим
вводится «исправленная дисперсия»,
которая является несмещенной оценкой_.

Пример.Предельная
нагрузка на стальной болтХ_і,
которая измерялась в лабораторных
условиях, задана как интервальное
статистическое распределение:

X_i,

кг/мм²

4,5-5,5

5,5-6,5

6,5-7,5

7,5-8,5

8,5-9,5

10,5-11,5

11,5-12,5

12,5-13,5

Определить точечные несмещенные и
состоятельные оценки для
и_.

6. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная погрешность выборки

Точечная оценка
_n
является приближенным значением
неизвестного параметра
и в том случае, когда она несмещенная
(в среднем совпадает с),
состоятельная (приближается кс ростомn)
и эффективная (характеризуется наименьшей
степенью отклонений от)
и при выборке малого объема возможная
значительная разность между оценкой
параметра и параметром, т.е. привести к
грубым ошибкам.

По этой причине, для получения более
точной и достоверной оценки
_nпараметра,
используют интервальную оценку параметра.

Интервальной оценкой параметра
называется числовой интервал, который с заданной вероятностьюнакрывает неизвестное значение параметра.

Границы интервала
его длина, определяются по выборочным
данным и потому являются случайными
величинами, в отличие от параметра— величины неслучайной и в связи с этим
правильнее говорить, что интервал
«накрывает», а не «содержит» значение.

Интервальная оценка определяется двумя
числами — концами интервала.

Интервал
называютдоверительным (его
концы – доверительными границами),
а вероятность
–доверительной вероятностью
или надежностью оценки.

Длина доверительного интервала
значительно зависит от объема выборки
n (уменьшается
с ростомn)
и от значения доверительной вероятности(увеличивается с приближениемк единице). В большинстве, но не всегда,
доверительный интервал выбирается
симметричным относительно параметра,
т.е..
Метод доверительных интервалов разработал
американский статистик Ю. Нейман на
основании идей Р.Фишера.

Предельной ошибкой выборки
называется наибольшее отклонение ∆
выборочной средней (доли) от генеральной
средней (доли), которое возможно с
заданной доверительной вероятностью
.

Ошибка
является ошибкойрепрезентативностивыборки. Она возникает только вследствие
того, что исследуется не вся генеральная
совокупность, а только ее часть.

Нахождение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам.

Построение доверительных интервалов
для параметров генеральных совокупностей
можно осуществить с помощью прямогометода (если исходить из генерального
распределения, откуда как следствие
получать выборочное распределение и
из него распределение статистик), иликосвенногометода, который позволяет
при некоторых общих предположениях
получить асимптотические (приn→∞)
распределения статистик. Рассмотрим
второй метод.

Теорема. Вероятность
того, что отклонение выборочной средней
(доли) от генеральной средней (доли) на
величину, которая не превышает по
абсолютной величиной число ∆>0 равна:

,где, (2.12)

,где.
(2.13)

Доказательство.

Формулы (2.12) и (2.13) называются формулами
доверительной вероятности для средней
и доли.

Средней квадратической ошибкой
называется среднее квадратическое
отклонение выборочной средней и
выборочной доли собственно случайной
выборки.

Формулы для вычисления
для разных статистик и разных выборок
можно получить из формул 2.14, 2.15, 2.18, 2.19
и они имеют вид:

а) выборка собственно случайная повторная:

для средней –
(2.14)

для доли –
(2.15)

б) выборка собственно случайная без
повторная:

для средней –
(2.16)

для доли –
(2.17)

Замечание.Из рассмотренной
теоремы следует, что доверительные
интервалы для генеральной средней и
генеральной доли находятся по формулам:

,(2.18)

,.
(2.19)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ( $\mu$ ).

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения $\mu$ , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то $\mu$ определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки ( $\Delta$ ) равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

$\Delta =t \mu$ .

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

степени вариации единиц генеральной совокупности;
объема выборки;
выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Таблица
11.2.

Значение доверительной вероятности P	0,683	0,954	0,997
Значение коэффициента доверия t	1,0	2,0	3,0

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Таблица
11.3.
Формулы для расчета средней ошибки собственно случайной и механической выборки ( $\mu$ )

где $\sigma^{2}$ — дисперсия признака в выборочной совокупности.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

Таблица
11.4.

Уровень фондоотдачи, руб.	До 1,4	1,4-1,6	1,6-1,8	1,8-2,0	2,0-2,2	2,2 и выше	Итого
Количество предприятий	13	15	17	15	16	14	90

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Таблица
11.5.

Результаты наблюдения	Расчетные значения
уровень фондоотдачи, руб., x_i	количество предприятий, f_i	середина интервала, x_i^\xb4	x_i^\xb4f_i	x_i^\xb4²f_i
До 1,4	13	1,3	16,9	21,97
1,4-1,6	15	1,5	22,5	33,75
1,6-1,8	17	1,7	28,9	49,13
1,8-2,0	15	1,9	28,5	54,15
2,0-2,2	16	2,1	33,6	70,56
2,2 и выше	14	2,3	32,2	74,06
Итого	90	—	162,6	303,62

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки
Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна
$\delta_{x}= t\mu_{x}= 2*0.035 = 0.07$
Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

$\delta_{x}= t\mu_{x}= 2*0.027 = 0.054$

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

$\sigma_{w}^{2}= w(1 - w) = 0,667(1 - 0,667) = 0,222$ ;

средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

$\delta_{x}= t\mu_{x}= 3*0.04 = 0.12$

установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Таблица
11.6.
Формулы для расчета средней ошибки выборки ( $\mu$ ) при использовании типического отбора, пропорционального объему типических групп

Здесь $\sigma^{2}$ — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Таблица
11.7.

Номер курса	Всего студентов, чел., N_i	Обследовано в результате выборочного наблюдения, чел., n_i	Среднее число посещений библиотеки одним студентом за семестр, x_i	Внутригрупповая выборочная дисперсия, $\sigma_{i}^{2}$
1	650	33	11	6
2	610	31	8	15
3	580	29	5	18
4	360	18	6	24
5	350	17	10	12
Итого	2 550	128	8	—

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

общий объем выборочной совокупности:
n = 2550/130*5 =128 (чел.);
количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:
Средняя из внутригрупповых дисперсий
Средняя ошибка выборки:

С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

$\delta_{x} = t\mu_{x} = 2*0.334 = 0.667$
Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

$\delta_{MB}= t\mu_{MB}$

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

Среднее значение признака в выборке равно
Значение среднего квадратического отклонения составляет
Средняя ошибка выборки:
Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
Предельная ошибка выборки:
$\delta_{MB}= t\mu_{MB}=2,365*0,344 = 0,81356 ~ 0,81 (ч)$
Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

вид предполагаемой выборки;
способ отбора (повторный или бесповторный);
выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Таблица
11.8.
Формулы для определения численности выборочной совокупности

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.

Источник

Тематический план

Общее
Общее
Дисциплина «Основа теории вероятности и математической статистики» рассчитана для студентов II курса, обучающихся по направлению 09.03.03 Прикладная информатика, профиль Прикладная информатика в дизайне

Распределение часов по курсу:
- Лекция 32 часа
- Практические занятия 32 часа
Вид контроля — зачет

Рабочая программа дисциплины: http://std.tatngpi.ru:85/Plans/Plan.aspx?id=26127
Лекция 1. Предмет и содержание ТВ. Основные понятия
Практика 1. Основные понятия и формулы
Лекция 2. Геометрическая вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Практика 2. Теорема сложения и умножения вероятностей
Лекция 3. Формула полной вероятности, формулы Бейеса
Практика 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
Лекция 4. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Практика 4. Формулы Бернулли, теоремы Лапласа
Лекция 5. Случайные величины, дискретная случайная величина. Основные законы распределения
Практика 5. Дискретная случайная величина
Лекция 6. Математическое ожидание и его свойства
Практика 6. Математическое ожидание дискретной случайной величины
Лекция 7. Дисперсия и ее свойства
Практика 7. Дисперсия
Лекция 8. Подготовка к контрольной работе
Практика 8. Контрольная работа по теории вероятностей
Лекция 9. Предмет и содержание МС, её основные задачи. Статистическое распределение выборки. Графическое представление выборки (полигон, гистограмма).
Практика 9. Контрольная работа
Лекция 10. Статистические оценки параметров распределения, генеральная и выборочная средняя, генеральная и выборочная дисперсия
Практика 10. Размах выборки, среднее арифметическое, мода, медиана, дисперсия и среднее квадратичное отклонение, их свойства и вычисление
Лекция 11. Сложение дисперсий, точность оценки, доверительная вероятность, доверительный интервал
Практика 11. Точечные оценки и их свойства. Основные методы оценивания. Понятие интервальной оценки Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки. Доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии, вероятности «успеха»
Лекция 12. Оценка вероятности по относительной частоте. Метод наибольшего правдоподобия. Мода, размах, медиана
Практика 12. Принцип практической уверенности. Статистическая гипотеза. Основные типы гипотез: основная и альтернативная, простая и сложная. Статистический критерий и критическое множество. Статистика критерия
Лекция 13. Принцип практической уверенности. Статистическая гипотеза. Основные типы гипотез: основная и альтернативная, простая и сложная. Статистический критерий и критическое множество. Статистика критерия
Практика 13. Проверка гипотез о числовых значениях неизвестных параметров генеральной совокупности (средних, дисперсий, вероятностей «успеха»).
Лекция 14. Проверка гипотез о числовых значениях неизвестных параметров генеральной совокупности (средних, дисперсий, вероятностей «успеха»).
Практика 14. Критерий «хи- квадрат» и его применение для проверки гипотез о согласии эмпирического распределения и выбранной модели.
Лекция 15. Критерий «хи- квадрат» и его применение для проверки гипотез о согласии эмпирического распределения и выбранной модели.
Практика15. Парная регерссия и кореляция. Средняя ошибка аппроксимации линейной регресии. Определение значимости уравнения регрессии по критерию Фишера
Лекция 16. Парная регерссия и кореляция. Средняя ошибка аппроксимации линейной регресии. Определение значимости уравнения регрессии по критерию Фишера
Практика 16. Тест

Источник

Оценка генеральной дисперсии.

6. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная погрешность выборки

Нахождение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам.

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Тематический план

Общее