Именованное число получаемое при измерении это относительная ошибка

1. Погрешности измерений физических величин

При измерении
любой физической величины возникают
погрешности (ошибки) измерений.

Погрешностью
измерения называется отклонение
результата измерения от истинного
значения измеряемой величины.

В приведенном
определении погрешности измерения
использованы понятия «результат
измерения» и «истинное значение
измеряемой величины». Под результатом
измерения
понимается оценка измеряемой физической
величины в виде некоторого числа принятых
для нее единиц, полученная путем
измерения. Истинное
значение измеряемой величины
– значение физической величины, которое
идеальным образом отражало бы в
качественном и количественном отношении
соответствующее свойство объекта.

Для истинного
значения формулируются постулаты:

• Истинное значение
  измеряемой величины существует.

• Истинное значение
  измеряемой величины отыскать невозможно.

• Истинное значение
  измеряемой величины постоянно.

По форме выражения
погрешностей измерений различают
погрешности абсолютные
и относительные.
Абсолютная
погрешность измерений – это погрешность,
выраженная в единицах измеряемой
величины. Так, если х₀
– истинное значение измеряемой величины,
х_i
– результат измерения, Δх_i
– абсолютная погрешность измерения,
то

Δх_i
= х₀
– х_i.
(2.1)

Относительная
погрешность измерения – это погрешность,
выраженная в долях истинного значения
измеряемой величины:

.
(2.2)

Чаще всего на
практике относительные погрешности
выражают в процентах:

(2.3)

Из вышесказанного
следует, что абсолютная погрешность
измеряется теми же единицами, что и
измеряемая величина. Поэтому нельзя
сравнивать абсолютные погрешности
измерения разнородных величин, имеющих
разную размерность. Для сравнения
погрешностей разнородных величин
используют относительную погрешность.

Измерение тем
более точно, чем меньше его погрешность.
Однако абсолютные погрешности в общем
случае зависят от значения измеряемой
величины и поэтому не годятся для
количественной характеристики точности
измерений. Этого недостатка не имеют
относительные погрешности. Поэтому —

Точностью
измерений называют число обратное
значению относительной погрешности.

Так, например, если
относительная погрешность измерения
составляет 2% = 2·10^-2,
то точность этого измерения будет равна
50.

Для нахождения
погрешности измерения соотношение
(2.1) нельзя использовать по той простой
причине, что истинное значение измеряемой
величины всегда неизвестно (второй
постулат); если же его можно считать
известным, то измерение не
нужно.

Поэтому погрешности
измерений приходится оценивать с
использованием косвенных данных.

Классификация погрешностей измерений

Обязательными
компонентами всякого измерения являются
метод измерения
и средства
измерения;
очень часто измерения выполняются с
участием человека.
Несовершенство каждого компонента
измерения вносит вклад в погрешность
измерения. Поэтому в общем виде

Δх
= Δх_м
+ Δх_и
+ Δх_л
,
(2.4)

где Δх_м
– погрешность методическая; Δх_и
– погрешность инструментальная; Δх_л
– погрешность личная.

Каждая из
составляющих погрешности измерения в
свою очередь может вызываться рядом
причин. Так, методические
погрешности
могут возникать вследствие недостаточной
разработанности теории тех явлений,
которые положены в основу измерения, и
неточности тех соотношений, которые
используются для нахождения оценки
измеряемой величины.

Инструментальные
погрешности
измерения – погрешности из-за
несовершенства средств измерений.
Обычно различают основную погрешность
средств измерений – погрешность в
условиях принятых за нормальные
(давление, температура, влажность и
т.д., которые указываются в паспорте
прибора), и дополнительные погрешности,
обусловленные отклонением влияющих
величин от их нормальных значений или
старением средств измерений.

Личные
погрешности.
Обычно измерения выполняются людьми.
Человек отсчитывает показания приборов,
фиксирует момент исчезновения нити
накаливания на экране оптического
пирометра и т.д. Индивидуальные особенности
лица, выполняющего измерения, обуславливают
появление индивидуальных, свойственных
данному лицу погрешностей.

Приведенная
классификация погрешностей измерений
– классификация по
причинам возникновения погрешностей.
Для Вас это будет важно, если будете
профессионально заниматься научной
работой (например, при планировании
эксперимента) или будете работать в
метрологических учреждениях.

При выполнении
лабораторного практикума, т.е. при
проведении эксперимента для Вас будет
важна другая классификация – это
классификация погрешностей измерений
по их свойствам.
В этом отношении различают погрешности
систематические,
случайные и грубые.

Систематические
и случайные (статистические) погрешности
подчиняются абсолютно разным
закономерностям, поэтому различаются
и «способы борьбы» с этими погрешностями.

Систематической
погрешностью измерения
называется
составляющая погрешности измерения,
которая остается постоянной
или закономерно
изменяется
при повторных измерениях одной и той
же величины.

Величина и знак
систематической погрешности одинаковы
во всех повторных измерениях, выполненных
в тех же условиях, посредством одних и
тех же средств измерения (приборов) и
тем же экспериментатором (или закономерно
изменяются). Причинами систематических
погрешностей могут являться: недостатки
выбранного метода измерений, неточности
изготовления прибора и т.п. Так как эти
причины в большинстве случаев известны,
то систематические погрешности можно
в принципе устранить путем введения
поправки.

Однако существуют
такие виды погрешностей, которые
невозможно устранить и на которые нельзя
ввести поправку. Эти погрешности,
определяемые точностью измерительного
прибора, называют приборными
(инструментальными).
Они частично относятся к статистическим,
и частично к случайным погрешностям.
Любой прибор обладает определенной
погрешностью, обусловленной свойствами
конкретного физического явления, а
также допусками при изготовлении его
деталей. Об оценке приборной погрешности
мы будем говорить позже.

Случайной
погрешностью измерения называется
составляющая погрешности измерения,
величину и знак которой заранее
предсказать невозможно, т.е. меняется
случайным образом от измерения к
измерению.

Случайные
погрешности
тоже имеют вполне определенные причины,
обычно довольно многочисленные,
определяемые как свойствами исследуемого
объекта, так и неконтролируемым
воздействием факторов внешней среды.
Взаимодействие этих причин приводит к
такому разбросу измеряемых значений,
который зависит уже только от случая.
Предсказать величину случайной ошибки
для одного измерения в принципе
невозможно. Поэтому приходится повторять
измерения до определенного разумного
предела, а полученную совокупность
данных обрабатывать с помощью методов
теории вероятностей и математической
статистики. Обе
математические дисциплины образуют
основу так называемой теории
погрешностей.

К погрешностям
третьего типа относят так называемые
грубые
погрешности или промахи,
которые могут быть вызваны ошибками
экспериментатора или отказами
измерительного оборудования. Эти
погрешности в принципе легко заметить,
а дефектные измерения исключить.

И последнее, но
принципиальное
замечание в этом разделе:

Невозможно
провести измерения с любой точностью
(нулевой погрешностью). Существуют
естественно – физические пределы
точности измерений.

Это связано со
следующими ограничениями:

а) квантовомеханическим
принципом неопределенностей;

б) случайными
флуктуациями измерительных устройств,
называемых шумами.

Причины случайных
флуктуаций:

• Броуновское
  движение.

• Шумы сопротивлений
  (тепловые шумы Джонсона). Всякое
  электрическое сопротивление R
  представляет источник случайных ЭДС,
  которые возникают в результате теплового
  движения электронов проводимости.
  Чтобы исключить случайные ЭДС, возникающие
  в металле, его нужно охладить до Т = 0,
  что невозможно.

• Шумы, обусловленные
  дискретностью вещества. Эти шумы связаны
  с тем, что, например, ток переносится
  отдельными электронами, или дырками
  (полупроводники).

• Помехи. Помехи
  могут возникать при скоплении статического
  электричества, при появлении паразитных
  колебаний напряжения в сети, внешним
  электромагнитным излучением и т.д.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

ПРИМЕР:

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями  0,5 см  и линейка с
делениями  1 мм. В обоих случаях получен результат  3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины  3,5
см  от истинной, не
должно по модулю превышать  0,5 см, во втором случае 
0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае  ∆l = 0,5  и, следовательно,

3
≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1  и

3,4
≤ l ≤ 3,6.

ПРИМЕР:

Длина листа бумаги формата  А4  равна  (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно  (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.

РЕШЕНИЕ:

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной  погрешности не
превышает  1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает  0,1 см на  29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%

измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 
1 км 
на  650 км, что в процентном соотношении составляет

1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%

измеряемой величины.

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата  А4.

Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.

Относительная погрешность.

Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах. 

Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.

ПРИМЕР:

Округлим дробь  14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:

14,7 ≈ 15,

Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.

ПРИМЕР:

При измерении в (сантиметрах) толщины 
b 
стекла и длины  l  книжной полки
получили следующие результаты:

b ≈ 0,4 с
точностью до  0,1,

l ≈ 100 с
точностью до  0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит  0,1. Однако  0,1  составляет
существенную часть числа  0,4  и
ничтожную часть числа  100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.

В результате измерения нашли,
что  b ≈ 0,4  с точностью до  0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит  0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно

то есть относительная погрешность приближения не превосходит  25%.

Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до  25%,
а во втором – с относительной точностью до  0,1%.

ПРИМЕР:

Если взять абсолютную погрешность в  1
см,  при измерении длины отрезков  10
см  и  10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны  10%  и  0,1%. Для
отрезка длиной в  10 см  погрешность
в  1
см  очень велика, это ошибка в  10%. А для десятиметрового отрезка  1 см  не имеет значения, эта ошибка всего в   0,1%.

Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.

Различают
систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.

В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

ПРИМЕР:

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало  3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает  50
г. Относительная погрешность не превосходит 

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈
1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.

В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять  50 г, а за предельную относительную погрешность  1,4%.

Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность 
100 г, 150 г  и вообще всякое
число, большее чем  50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число  4,78  без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет  0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.

Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой  ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой  δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой  а, 

Раздел
1

Приближенные
числа и действия над ними

Лекция 1.

1.1.
Приближенное
значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

План лекции

1.       Приближенное значение величины. Погрешность

2.       Численные методы

3.       Абсолютная и относительная погрешности

1. Приближенное значение величины.
Погрешность

В процессе решения задачи вычислитель сталкивается с
различными числами, которые могут быть точными или приближенными. Точные числа
дают истинное значение величины числа, приближенные – близкое к истинному,
причем степень близости определяется погрешностью вычисления.

Например, в утверждениях: «куб имеет 6 граней»; «на руке 5
пальцев»; «в классе 32 ученика»; «в книге 582 страницы» числа 6, 5, 32, 582 –
точные. В утверждениях: «ширина дома 14,25 м»; «вес коробки 50 г»; «в лесу
около 5000 деревьев» числа 14,25; 50; 5000 – приближенные. Измерение ширины
дома производится измерительными средствами, которые сами могут быть неточными;
кроме того, измеритель при измерении допускает ошибку (погрешность). При
взвешивании коробки также допускается ошибка, так как автоматические весы не
чувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г. Произвести точно
подсчет количества деревьев в лесу невозможно, так как некоторые деревья могут
быть подсчитаны дважды; другие совсем не включались в счет; некоторые деревья
были отнесены к кустарникам и исключены из счета, и, наоборот, кустарники
включены в счет количества деревьев.

Во многих случаях жизни невозможно найти точное значение
величины числа и вычислителю приходится довольствоваться его приближенным
значением. Кроме того, очень часто вычислитель сознательно заменяет точное
значение приближенным в целях упрощения вычислений.

Таким образом, приближенным
числом а называется число, незначительно
отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.

При решении той или иной задачи вручную или на
вычислительной машине мы получаем числовой результат, который, как правило, не
является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с
массовыми действиями над числами, может быть решена с той или иной степенью
точности. В связи с этим при постановке задачи должна быть указана точность ее
решения, т. е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.

Источниками погрешностей (ошибок) могут быть:

1) неточное отображение реальных процессов с помощью
математики, в связи с чем рассматривается не сам процесс, а его
идеализированная математическая модель. Не всегда реальные явления природы
можно точно отобразить математически. Поэтому принимаются условия, упрощающие
решение задачи, что вызывает появление погрешностей. Некоторые задачи
невозможно решить в точной постановке и они могут заменяться другими задачами,
близкими по результатам первым. При этом также возникают погрешности;

2) приближенное выражение величин, входящих в условие
задачи, вследствие их неточного измерения. Это погрешности исходных данных,
физических констант, чисел π, е и др.;

3) замена бесконечных процессов, пределами которых являются
искомые величины, конечной последовательностью действий. Сюда относятся
погрешности, образующиеся в результате обрыва какого-то бесконечного процесса
на некотором этапе. Например, если в ряде

sin x = x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+…

взять определенное количество членов и принять их сумму за
sin х, то мы, естественно, допускаем погрешность;

4) округление исходных данных, промежуточных или
окончательных результатов, когда при вычислениях используется лишь конечное
число цифр числа.

При отбрасывании младших разрядов числа имеет место
погрешность. Пусть, например, число 0,7835478931 требуется записать в ячейку
электронной цифровой вычислительной машины с разрядной сеткой, допускающей
запись семизначного десятичного числа. Поэтому данное число нужно округлить
так, чтобы в нем осталось не более семи знаков после запятой. Тогда округленное
число примет следующий вид: 0,7835479;

5) кроме указанных выше случаев, погрешности могут
появляться в результате действий над приближенными числами. В этом случае
погрешности исходных данных в какой-то мере переносятся на результат
вычислений.

Полная погрешность является результатом сложного
взаимодействия всех видов погрешностей. При решении конкретных задач те или
иные погрешности могут отсутствовать или мало влиять на образование полной
погрешности. Однако для полного анализа погрешностей необходимо учитывать все
их виды.

Во всех случаях полная погрешность не может превышать по
своей абсолютной величине суммы абсолютных величин всех видов погрешностей, но
обычно она редко достигает такой максимальной величины.

Таким образом, погрешности можно подразделить на три
большие группы:

1) исходные, или неустранимые, к которым относятся
погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных процессов
и неточного задания исходных данных, а также погрешности, связанные с
действиями над приближенными числами. Эти погрешности проходят через все
вычисления и, являются неустранимыми;

2) погрешности округления (зарождающиеся), которые
появляются в результате округления исходных данных, промежуточных и
окончательных результатов;

3) остаточные, возникающие в результате замены бесконечных
процессов конечной последовательностью действий;

2. Численные методы

На практике в большинстве случаев найти точное решение
математических задач не удается. Это происходит главным образом не потому, что
мы не умеем это сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в
привычным для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное
значение приобрели методы, особенно в связи с возрастанием роли математических
методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных
ЭВМ.

Под численными методами подразумевается методы решения
задач, сводящиеся к арифметическим и некоторых логическим действиям над
числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

В зависимости от сложности задачи, заданной точности,
применяемого метода и т.д. может потребоваться выполнить от нескольких десятков
многих миллиардов действий. Если число действий не превышают тысячи, то с такой
задачей обычно может справиться человек, имя в распоряжении калькулятор и набор
таблиц элементарных функций. Однако без ЭВМ явно не обойтись, если для решения
задач нужно выполнить, скажем, порядка миллиона действий и тем более, когда
решение должно быть найдено в жатые сроки.

Решение, полученное численным методом, обычно является
приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность.

Оценка погрешности может быть произведена: с помощью
абсолютной погрешности; с помощью относительной погрешности; с помощью
остаточного члена; с помощью статистических оценок.

При работе с приближенными величинами вычислитель должен
уметь:

а) давать математические характеристики точности
приближенных величин;

б) зная степень точности исходных данных, оценить степень
точности результатов;

в) брать исходные данные с такой степенью точности, чтобы
обеспечить заданную точность результата. В этом случае не следует слишком
завышать точность исходных данных, чтобы избавить вычислителя от бесполезных
расчетов;

г) уметь правильно построить вычислительный процесс, чтобы
избавить его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры
результата.

3. Абсолютная и относительная
погрешности

Пусть a – точное, вообще говоря, неизвестное
числовое значение некоторой величины.

a* –
известное приближенное числовое значение этой величины (приближенное число).

Абсолютная величина разности между точным числом и его
приближенным значением  называется абсолютной погрешностью приближенного числа:

                                    
                                                                                   (1)

Здесь возможны два случая.

1. Точное чиcло а нам известно. Тогда абсолютная;
погрешность приближенного числа легко находится по формуле (1).

Пример 1. Пусть a
= 784,2737, a* = 784,274; тогда; абсолютная погрешность Δа
= |а- a*| = |784,2737—784,274| = 0,0003.

2. Точное число a нам неизвестно, тогда вычислить
абсолютную погрешность по формуле (1) нельзя. Поэтому пользуются понятием
границы абсолютной погрешности, удовлетворяющей неравенству

|a — a*|  Δ_а*

Граница абсолютной погрешности, т. е. число, заведомо
превышающее абсолютную погрешность (или в крайнем случае равное ей), называется
предельной абсолютной погрешностью.

Следовательно, если Δ_а* – предельная
абсолютная погрешность, то

Δ(а*) = |а- a*| Δ_а*                                                                                                                 (2)

Значение точного числа А всегда заключено в следующих
границах:

a* — Δ_а* a  a* + Δ_а*.                                                                                                            (3)

Выражение a* — Δ_а* есть приближение числа
a по недостатку, а а + Δ_а* – приближение числа a
по избытку. Значение числа a записывается так:

a = а ± Δ_а*                                                                                                                                 (3′)

На
практике часто применяют выражения типа: «с точностью до 0,01»; «с точностью до
1 см и т. д. Это означает, что предельная абсолютная погрешность соответственно
равна 0,01; 1 см и т. д.

Пример 4. Если длина отрезка l = 184 см измерена с точностью до 0,05
см, то пишут l= 184 см ±0,05 см. Здесь предельная абсолютная
погрешность Δ_l*= 0,05 см, а точная величина
длины l отрезка заключена в следующих
границах: 183,95 см  l  184,05 см.

По
абсолютной и предельной абсолютной погрешностям нельзя судить о том, хорошо или
плохо произведено измерение.

Пример 5. Пусть при измерении книги и
длины стола были получены результаты: l₁ =
28,4 ±0,1 (см) и l₂ = 110,3 ±0,1 (см). И в первом, и во
втором случае предельная абсолютная погрешность составляет 0,1 см. Однако
второе измерение было произведено более точно, чем первое.

Для
того чтобы определить качество произведенных измерений, необходимо определить,
какую долю составляет абсолютная или предельная абсолютная погрешность от
измеряемой величины, В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.

Относительной
погрешностью _а приближенного числа а называется
отношение абсолютной погрешности Δ_а к модулю точного числа А
(А0), т.е.

_а=                                          (4)

Отсюда

Δ_а = |A| _а                                         (4’)

Число
^*_а, заведомо
превышающее относительную погрешность (или в крайнем случае равное ей),
называется предельной относительной погрешностью:

_а^*_а
.         
                               (5)

Из
соотношений (4) и (5) вытекает, что

^*_а; Δ_а|A| _а*.

Из
определения предельной абсолютной погрешности следует, что Δ_аΔ_а^*_.
Тогда можно записать

Δ_а^*=|A| _а*.          
                        (6)

и
за предельную относительную погрешность приближенного числа а можно
принять

_а* = .                                         (7)

Учитывая,
что А, как правило, неизвестно и  что А  а,
равенства (6) и (7) можно записать так:

Δ_а^*=|a| _а*,                                        
(6′)

_а* = .                                         (7’)

Очевидно, что как
относительная погрешность, так и предельная относительная погрешность
представляют собой отвлеченные числа, не зависящие от единиц, в которых
выражаются результаты измерений.