График функции ошибок - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Error function
Plot of the error function
General information
General definition	$\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$
Fields of application	Probability, thermodynamics
Domain, Codomain and Image
Domain	$\mathbb {R}$
Image	$\left(-1,1\right)$
Basic features
Parity	Odd
Specific features
Root	0
Derivative	${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}$
Antiderivative	$\int \operatorname {erf} z\,dz=z\operatorname {erf} z+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C$
Series definition
Taylor series	$\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}$

In mathematics, the error function (also called the Gauss error function), often denoted by erf, is a complex function of a complex variable defined as:^[1]

$\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.$

Some authors define $\operatorname {erf}$ without the factor of $2/{\sqrt {\pi }}$ .^[2]
This nonelementary integral is a sigmoid function that occurs often in probability, statistics, and partial differential equations. In many of these applications, the function argument is a real number. If the function argument is real, then the function value is also real.

In statistics, for non-negative values of x, the error function has the following interpretation: for a random variable Y that is normally distributed with mean 0 and standard deviation 1/√2, erf x is the probability that Y falls in the range [−x, x].

Two closely related functions are the complementary error function (erfc) defined as

$\operatorname {erfc} z=1-\operatorname {erf} z,$

and the imaginary error function (erfi) defined as

$\operatorname {erfi} z=-i\operatorname {erf} iz,$

where i is the imaginary unit.

Name[edit]

The name «error function» and its abbreviation erf were proposed by J. W. L. Glaisher in 1871 on account of its connection with «the theory of Probability, and notably the theory of Errors.»^[3] The error function complement was also discussed by Glaisher in a separate publication in the same year.^[4]
For the «law of facility» of errors whose density is given by

$f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-cx^{2}}$

(the normal distribution), Glaisher calculates the probability of an error lying between p and q as:

$\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int _{p}^{q}e^{-cx^{2}}\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname {erf} \left(p{\sqrt {c}}\right)\right).$

Plot of the error function Erf(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

Applications[edit]

When the results of a series of measurements are described by a normal distribution with standard deviation σ and expected value 0, then erf (a/σ √2) is the probability that the error of a single measurement lies between −a and +a, for positive a. This is useful, for example, in determining the bit error rate of a digital communication system.

The error and complementary error functions occur, for example, in solutions of the heat equation when boundary conditions are given by the Heaviside step function.

The error function and its approximations can be used to estimate results that hold with high probability or with low probability. Given a random variable X ~ Norm[μ,σ] (a normal distribution with mean μ and standard deviation σ) and a constant L < μ:

${\begin{aligned}\Pr[X\leq L]&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\\&\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\end{aligned}}$

where A and B are certain numeric constants. If L is sufficiently far from the mean, specifically μ − L ≥ σ√ln k, then:

$\Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}$

so the probability goes to 0 as k → ∞.

The probability for X being in the interval [L_a, L_b] can be derived as

${\begin{aligned}\Pr[L_{a}\leq X\leq L_{b}]&=\int _{L_{a}}^{L_{b}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} {\frac {L_{b}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}-\operatorname {erf} {\frac {L_{a}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).\end{aligned}}$

Properties[edit]

Integrand exp(−z²)

erf z

The property erf (−z) = −erf z means that the error function is an odd function. This directly results from the fact that the integrand e^−t² is an even function (the antiderivative of an even function which is zero at the origin is an odd function and vice versa).

Since the error function is an entire function which takes real numbers to real numbers, for any complex number z:

$\operatorname {erf} {\overline {z}}={\overline {\operatorname {erf} z}}$

where z is the complex conjugate of z.

The integrand f = exp(−z²) and f = erf z are shown in the complex z-plane in the figures at right with domain coloring.

The error function at +∞ is exactly 1 (see Gaussian integral). At the real axis, erf z approaches unity at z → +∞ and −1 at z → −∞. At the imaginary axis, it tends to ±i∞.

Taylor series[edit]

The error function is an entire function; it has no singularities (except that at infinity) and its Taylor expansion always converges, but is famously known «[…] for its bad convergence if x > 1.»^[5]

The defining integral cannot be evaluated in closed form in terms of elementary functions (see Liouville’s theorem), but by expanding the integrand e^−z² into its Maclaurin series and integrating term by term, one obtains the error function’s Maclaurin series as:

${\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{aligned}}$

which holds for every complex number z. The denominator terms are sequence A007680 in the OEIS.

For iterative calculation of the above series, the following alternative formulation may be useful:

${\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}\end{aligned}}$

because −(2k − 1)z²/k(2k + 1) expresses the multiplier to turn the kth term into the (k + 1)th term (considering z as the first term).

The imaginary error function has a very similar Maclaurin series, which is:

${\begin{aligned}\operatorname {erfi} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{aligned}}$

which holds for every complex number z.

Derivative and integral[edit]

The derivative of the error function follows immediately from its definition:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.$

From this, the derivative of the imaginary error function is also immediate:

${\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.$

An antiderivative of the error function, obtainable by integration by parts, is

$z\operatorname {erf} z+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.$

An antiderivative of the imaginary error function, also obtainable by integration by parts, is

$z\operatorname {erfi} z-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.$

Higher order derivatives are given by

$\operatorname {erf} ^{(k)}z={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {d} ^{k-1}}{\mathrm {d} z^{k-1}}}\left(e^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots$

where H are the physicists’ Hermite polynomials.^[6]

Bürmann series[edit]

An expansion,^[7] which converges more rapidly for all real values of x than a Taylor expansion, is obtained by using Hans Heinrich Bürmann’s theorem:^[8]

${\begin{aligned}\operatorname {erf} x&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right).\end{aligned}}$

where sgn is the sign function. By keeping only the first two coefficients and choosing c₁ = 31/200 and c₂ = −341/8000, the resulting approximation shows its largest relative error at x = ±1.3796, where it is less than 0.0036127:

$\operatorname {erf} x\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).$

Inverse functions[edit]

Inverse error function

Given a complex number z, there is not a unique complex number w satisfying erf w = z, so a true inverse function would be multivalued. However, for −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf⁻¹ x satisfying

$\operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}x\right)=x.$

The inverse error function is usually defined with domain (−1,1), and it is restricted to this domain in many computer algebra systems. However, it can be extended to the disk |z| < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series^[9]

$\operatorname {erf} ^{-1}z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},$

where c₀ = 1 and

${\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\\&=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.\end{aligned}}$

So we have the series expansion (common factors have been canceled from numerators and denominators):

$\operatorname {erf} ^{-1}z={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).$

(After cancellation the numerator/denominator fractions are entries OEIS: A092676/OEIS: A092677 in the OEIS; without cancellation the numerator terms are given in entry OEIS: A002067.) The error function’s value at ±∞ is equal to ±1.

For |z| < 1, we have erf(erf⁻¹ z) = z.

The inverse complementary error function is defined as

$\operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}z.$

For real x, there is a unique real number erfi⁻¹ x satisfying erfi(erfi⁻¹ x) = x. The inverse imaginary error function is defined as erfi⁻¹ x.^[10]

For any real x, Newton’s method can be used to compute erfi⁻¹ x, and for −1 ≤ x ≤ 1, the following Maclaurin series converges:

$\operatorname {erfi} ^{-1}z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},$

where c_k is defined as above.

Asymptotic expansion[edit]

A useful asymptotic expansion of the complementary error function (and therefore also of the error function) for large real x is

${\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}\right)\\[6pt]&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}},\end{aligned}}$

where (2n − 1)!! is the double factorial of (2n − 1), which is the product of all odd numbers up to (2n − 1). This series diverges for every finite x, and its meaning as asymptotic expansion is that for any integer N ≥ 1 one has

$\operatorname {erfc} x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}+R_{N}(x)$

where the remainder is

$R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t,$

which follows easily by induction, writing

$e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left(e^{-t^{2}}\right)'$

and integrating by parts.

The asymptotic behavior of the remainder term, in Landau notation, is

$R_{N}(x)=O\left(x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}\right)$

as x → ∞. This can be found by

$R_{N}(x)\propto \int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t=e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx}\,\mathrm {d} t\leq e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }x^{-2N}e^{-2tx}\,\mathrm {d} t\propto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.$

For large enough values of x, only the first few terms of this asymptotic expansion are needed to obtain a good approximation of erfc x (while for not too large values of x, the above Taylor expansion at 0 provides a very fast convergence).

Continued fraction expansion[edit]

A continued fraction expansion of the complementary error function is:^[11]

$\operatorname {erfc} z={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}},\qquad a_{m}={\frac {m}{2}}.$

Integral of error function with Gaussian density function[edit]

$\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {erf} \left(ax+b\right){\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x=\operatorname {erf} {\frac {a\mu +b}{\sqrt {1+2a^{2}\sigma ^{2}}}},\qquad a,b,\mu ,\sigma \in \mathbb {R}$

which appears related to Ng and Geller, formula 13 in section 4.3^[12] with a change of variables.

Factorial series[edit]

The inverse factorial series:

${\begin{aligned}\operatorname {erfc} z&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2}+1)}^{\bar {n}}}}\\&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}}-\cdots \right)\end{aligned}}$

converges for Re(z²) > 0. Here

${\begin{aligned}Q_{n}&{\overset {\text{def}}{{}={}}}{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-{\frac {1}{2}}}e^{-\tau }\,d\tau \\&=\sum _{k=0}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{\bar {k}}s(n,k),\end{aligned}}$

zⁿ denotes the rising factorial, and s(n,k) denotes a signed Stirling number of the first kind.^[13]^[14]
There also exists a representation by an infinite sum containing the double factorial:

$\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}$

Numerical approximations[edit]

Approximation with elementary functions[edit]

Abramowitz and Stegun give several approximations of varying accuracy (equations 7.1.25–28). This allows one to choose the fastest approximation suitable for a given application. In order of increasing accuracy, they are:

$\operatorname {erf} x\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\right)^{4}}},\qquad x\geq 0$

(maximum error: 5×10⁻⁴)

where a₁ = 0.278393, a₂ = 0.230389, a₃ = 0.000972, a₄ = 0.078108

$\operatorname {erf} x\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}},\qquad x\geq 0$

(maximum error: 2.5×10⁻⁵)

where p = 0.47047, a₁ = 0.3480242, a₂ = −0.0958798, a₃ = 0.7478556

$\operatorname {erf} x\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6}\right)^{16}}},\qquad x\geq 0$

(maximum error: 3×10⁻⁷)

where a₁ = 0.0705230784, a₂ = 0.0422820123, a₃ = 0.0092705272, a₄ = 0.0001520143, a₅ = 0.0002765672, a₆ = 0.0000430638

$\operatorname {erf} x\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}$

(maximum error: 1.5×10⁻⁷)

where p = 0.3275911, a₁ = 0.254829592, a₂ = −0.284496736, a₃ = 1.421413741, a₄ = −1.453152027, a₅ = 1.061405429

All of these approximations are valid for x ≥ 0. To use these approximations for negative x, use the fact that erf x is an odd function, so erf x = −erf(−x).
Exponential bounds and a pure exponential approximation for the complementary error function are given by^[15]

${\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&\leq {\tfrac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\tfrac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},&\quad x&>0\\\operatorname {erfc} x&\approx {\tfrac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{2}},&\quad x&>0.\end{aligned}}$
The above have been generalized to sums of N exponentials^[16] with increasing accuracy in terms of N so that erfc x can be accurately approximated or bounded by 2Q̃(√2x), where

${\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.$

In particular, there is a systematic methodology to solve the numerical coefficients {(a_n,b_n)}^N
_{n = 1} that yield a minimax approximation or bound for the closely related Q-function: Q(x) ≈ Q̃(x), Q(x) ≤ Q̃(x), or Q(x) ≥ Q̃(x) for x ≥ 0. The coefficients {(a_n,b_n)}^N
_{n = 1} for many variations of the exponential approximations and bounds up to N = 25 have been released to open access as a comprehensive dataset.^[17]
A tight approximation of the complementary error function for x ∈ [0,∞) is given by Karagiannidis & Lioumpas (2007)^[18] who showed for the appropriate choice of parameters {A,B} that

$\operatorname {erfc} x\approx {\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}.$

They determined {A,B} = {1.98,1.135}, which gave a good approximation for all x ≥ 0. Alternative coefficients are also available for tailoring accuracy for a specific application or transforming the expression into a tight bound.^[19]
A single-term lower bound is^[20]

$\operatorname {erfc} x\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\quad \beta >1,$

where the parameter β can be picked to minimize error on the desired interval of approximation.
Another approximation is given by Sergei Winitzki using his «global Padé approximations»:^[21]^[22]^: 2–3

$\operatorname {erf} x\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}$

where

$a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.$

This is designed to be very accurate in a neighborhood of 0 and a neighborhood of infinity, and the relative error is less than 0.00035 for all real x. Using the alternate value a ≈ 0.147 reduces the maximum relative error to about 0.00013.^[23]

This approximation can be inverted to obtain an approximation for the inverse error function:

$\operatorname {erf} ^{-1}x\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)}}.$
An approximation with a maximal error of 1.2×10⁻⁷ for any real argument is:^[24]

$\operatorname {erf} x={\begin{cases}1-\tau &x\geq 0\\\tau -1&x<0\end{cases}}$

with

${\begin{aligned}\tau &=t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}\right)\end{aligned}}$

and

$t={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}|x|}}.$
An approximation of $\operatorname {erfc}$ with a maximum relative error less than $2^{-53}$ $\left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)$ in absolute value is:^[25]
for $x\geq 0$ ,

${\begin{aligned}\operatorname {erfc} \left(x\right)&=\left({\frac {0.56418958354775629}{x+2.06955023132914151}}\right)\left({\frac {x^{2}+2.71078540045147805x+5.80755613130301624}{x^{2}+3.47954057099518960x+12.06166887286239555}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+3.47469513777439592x+12.07402036406381411}{x^{2}+3.72068443960225092x+8.44319781003968454}}\right)\left({\frac {x^{2}+4.00561509202259545x+9.30596659485887898}{x^{2}+3.90225704029924078x+6.36161630953880464}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+5.16722705817812584x+9.12661617673673262}{x^{2}+4.03296893109262491x+5.13578530585681539}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.95908795446633271x+9.19435612886969243}{x^{2}+4.11240942957450885x+4.48640329523408675}}\right)e^{-x^{2}}\\\end{aligned}}$

and for

$\operatorname {erfc} \left(x\right)=2-\operatorname {erfc} \left(-x\right)$

Table of values[edit]

x	erf x	1 − erf x
0	0	1
0.02	0.022564575	0.977435425
0.04	0.045111106	0.954888894
0.06	0.067621594	0.932378406
0.08	0.090078126	0.909921874
0.1	0.112462916	0.887537084
0.2	0.222702589	0.777297411
0.3	0.328626759	0.671373241
0.4	0.428392355	0.571607645
0.5	0.520499878	0.479500122
0.6	0.603856091	0.396143909
0.7	0.677801194	0.322198806
0.8	0.742100965	0.257899035
0.9	0.796908212	0.203091788
1	0.842700793	0.157299207
1.1	0.880205070	0.119794930
1.2	0.910313978	0.089686022
1.3	0.934007945	0.065992055
1.4	0.952285120	0.047714880
1.5	0.966105146	0.033894854
1.6	0.976348383	0.023651617
1.7	0.983790459	0.016209541
1.8	0.989090502	0.010909498
1.9	0.992790429	0.007209571
2	0.995322265	0.004677735
2.1	0.997020533	0.002979467
2.2	0.998137154	0.001862846
2.3	0.998856823	0.001143177
2.4	0.999311486	0.000688514
2.5	0.999593048	0.000406952
3	0.999977910	0.000022090
3.5	0.999999257	0.000000743

[edit]

Complementary error function[edit]

The complementary error function, denoted erfc, is defined as

Plot of the complementary error function Erfc(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

${\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&=1-\operatorname {erf} x\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} x,\end{aligned}}$

which also defines erfcx, the scaled complementary error function^[26] (which can be used instead of erfc to avoid arithmetic underflow^[26]^[27]). Another form of erfc x for x ≥ 0 is known as Craig’s formula, after its discoverer:^[28]

$\operatorname {erfc} (x\mid x\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .$

This expression is valid only for positive values of x, but it can be used in conjunction with erfc x = 2 − erfc(−x) to obtain erfc(x) for negative values. This form is advantageous in that the range of integration is fixed and finite. An extension of this expression for the erfc of the sum of two non-negative variables is as follows:^[29]

$\operatorname {erfc} (x+y\mid x,y\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .$

Imaginary error function[edit]

The imaginary error function, denoted erfi, is defined as

Plot of the imaginary error function Erfi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

${\begin{aligned}\operatorname {erfi} x&=-i\operatorname {erf} ix\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{x^{2}}D(x),\end{aligned}}$

where D(x) is the Dawson function (which can be used instead of erfi to avoid arithmetic overflow^[26]).

Despite the name «imaginary error function», erfi x is real when x is real.

When the error function is evaluated for arbitrary complex arguments z, the resulting complex error function is usually discussed in scaled form as the Faddeeva function:

$w(z)=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz).$

Cumulative distribution function[edit]

The error function is essentially identical to the standard normal cumulative distribution function, denoted Φ, also named norm(x) by some software languages^{[citation needed]}, as they differ only by scaling and translation. Indeed,

the normal cumulative distribution function plotted in the complex plane

${\begin{aligned}\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}$

or rearranged for erf and erfc:

${\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\[6pt]\operatorname {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)\\&=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}$

Consequently, the error function is also closely related to the Q-function, which is the tail probability of the standard normal distribution. The Q-function can be expressed in terms of the error function as

${\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} {\frac {x}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}$

The inverse of Φ is known as the normal quantile function, or probit function and may be expressed in terms of the inverse error function as

$\operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).$

The standard normal cdf is used more often in probability and statistics, and the error function is used more often in other branches of mathematics.

The error function is a special case of the Mittag-Leffler function, and can also be expressed as a confluent hypergeometric function (Kummer’s function):

$\operatorname {erf} x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}M\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).$

It has a simple expression in terms of the Fresnel integral.^{[further explanation needed]}

In terms of the regularized gamma function P and the incomplete gamma function,

$\operatorname {erf} x=\operatorname {sgn} x\cdot P\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)={\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right).$

sgn x is the sign function.

Generalized error functions[edit]

Graph of generalised error functions E_n(x):
grey curve: E₁(x) = 1 − e^−x/√π
red curve: E₂(x) = erf(x)
green curve: E₃(x)
blue curve: E₄(x)
gold curve: E₅(x).

Some authors discuss the more general functions:^{[citation needed]}

$E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}.$

Notable cases are:

E₀(x) is a straight line through the origin: E₀(x) = x/e√π
E₂(x) is the error function, erf x.

After division by n!, all the E_n for odd n look similar (but not identical) to each other. Similarly, the E_n for even n look similar (but not identical) to each other after a simple division by n!. All generalised error functions for n > 0 look similar on the positive x side of the graph.

These generalised functions can equivalently be expressed for x > 0 using the gamma function and incomplete gamma function:

$E_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right),\qquad x>0.$

Therefore, we can define the error function in terms of the incomplete gamma function:

$\operatorname {erf} x=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right).$

Iterated integrals of the complementary error function[edit]

The iterated integrals of the complementary error function are defined by^[30]

${\begin{aligned}\operatorname {i} ^{n}\!\operatorname {erfc} z&=\int _{z}^{\infty }\operatorname {i} ^{n-1}\!\operatorname {erfc} \zeta \,\mathrm {d} \zeta \\[6pt]\operatorname {i} ^{0}\!\operatorname {erfc} z&=\operatorname {erfc} z\\\operatorname {i} ^{1}\!\operatorname {erfc} z&=\operatorname {ierfc} z={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}-z\operatorname {erfc} z\\\operatorname {i} ^{2}\!\operatorname {erfc} z&={\tfrac {1}{4}}\left(\operatorname {erfc} z-2z\operatorname {ierfc} z\right)\\\end{aligned}}$

The general recurrence formula is

$2n\cdot \operatorname {i} ^{n}\!\operatorname {erfc} z=\operatorname {i} ^{n-2}\!\operatorname {erfc} z-2z\cdot \operatorname {i} ^{n-1}\!\operatorname {erfc} z$

They have the power series

$\operatorname {i} ^{n}\!\operatorname {erfc} z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}},$

from which follow the symmetry properties

$\operatorname {i} ^{2m}\!\operatorname {erfc} (-z)=-\operatorname {i} ^{2m}\!\operatorname {erfc} z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}$

and

$\operatorname {i} ^{2m+1}\!\operatorname {erfc} (-z)=\operatorname {i} ^{2m+1}\!\operatorname {erfc} z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.$

Implementations[edit]

As real function of a real argument[edit]

In POSIX-compliant operating systems, the header math.h shall declare and the mathematical library libm shall provide the functions erf and erfc (double precision) as well as their single precision and extended precision counterparts erff, erfl and erfcf, erfcl.^[31]

The GNU Scientific Library provides erf, erfc, log(erf), and scaled error functions.^[32]

As complex function of a complex argument[edit]

libcerf, numeric C library for complex error functions, provides the complex functions cerf, cerfc, cerfcx and the real functions erfi, erfcx with approximately 13–14 digits precision, based on the Faddeeva function as implemented in the MIT Faddeeva Package

References[edit]

^ Andrews, Larry C. (1998). Special functions of mathematics for engineers. SPIE Press. p. 110. ISBN 9780819426161.
^ Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press. p. 341. ISBN 978-0-521-58807-2.
^ Glaisher, James Whitbread Lee (July 1871). «On a class of definite integrals». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (277): 294–302. doi:10.1080/14786447108640568. Retrieved 6 December 2017.
^ Glaisher, James Whitbread Lee (September 1871). «On a class of definite integrals. Part II». London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (279): 421–436. doi:10.1080/14786447108640600. Retrieved 6 December 2017.
^ «A007680 – OEIS». oeis.org. Retrieved 2 April 2020.
^ Weisstein, Eric W. «Erf». MathWorld.
^ Schöpf, H. M.; Supancic, P. H. (2014). «On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion». The Mathematica Journal. 16. doi:10.3888/tmj.16-11.
^ Weisstein, Eric W. «Bürmann’s Theorem». MathWorld.
^ Dominici, Diego (2006). «Asymptotic analysis of the derivatives of the inverse error function». arXiv:math/0607230.
^ Bergsma, Wicher (2006). «On a new correlation coefficient, its orthogonal decomposition and associated tests of independence». arXiv:math/0604627.
^ Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2.
^ Ng, Edward W.; Geller, Murray (January 1969). «A table of integrals of the Error functions». Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B. 73B (1): 1. doi:10.6028/jres.073B.001.
^ Schlömilch, Oskar Xavier (1859). «Ueber facultätenreihen». Zeitschrift für Mathematik und Physik (in German). 4: 390–415.
^ Nielson, Niels (1906). Handbuch der Theorie der Gammafunktion (in German). Leipzig: B. G. Teubner. p. 283 Eq. 3. Retrieved 4 December 2017.
^ Chiani, M.; Dardari, D.; Simon, M.K. (2003). «New Exponential Bounds and Approximations for the Computation of Error Probability in Fading Channels» (PDF). IEEE Transactions on Wireless Communications. 2 (4): 840–845. CiteSeerX 10.1.1.190.6761. doi:10.1109/TWC.2003.814350.
^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2020). «Global minimax approximations and bounds for the Gaussian Q-function by sums of exponentials». IEEE Transactions on Communications. 68 (10): 6514–6524. arXiv:2007.06939. doi:10.1109/TCOMM.2020.3006902. S2CID 220514754.
^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2020). «Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]». Zenodo. doi:10.5281/zenodo.4112978.
^ Karagiannidis, G. K.; Lioumpas, A. S. (2007). «An improved approximation for the Gaussian Q-function» (PDF). IEEE Communications Letters. 11 (8): 644–646. doi:10.1109/LCOMM.2007.070470. S2CID 4043576.
^ Tanash, I.M.; Riihonen, T. (2021). «Improved coefficients for the Karagiannidis–Lioumpas approximations and bounds to the Gaussian Q-function». IEEE Communications Letters. 25 (5): 1468–1471. arXiv:2101.07631. doi:10.1109/LCOMM.2021.3052257. S2CID 231639206.
^ Chang, Seok-Ho; Cosman, Pamela C.; Milstein, Laurence B. (November 2011). «Chernoff-Type Bounds for the Gaussian Error Function». IEEE Transactions on Communications. 59 (11): 2939–2944. doi:10.1109/TCOMM.2011.072011.100049. S2CID 13636638.
^ Winitzki, Sergei (2003). «Uniform approximations for transcendental functions». Computational Science and Its Applications – ICCSA 2003. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 2667. Springer, Berlin. pp. 780–789. doi:10.1007/3-540-44839-X_82. ISBN 978-3-540-40155-1.
^ Zeng, Caibin; Chen, Yang Cuan (2015). «Global Padé approximations of the generalized Mittag-Leffler function and its inverse». Fractional Calculus and Applied Analysis. 18 (6): 1492–1506. arXiv:1310.5592. doi:10.1515/fca-2015-0086. S2CID 118148950. Indeed, Winitzki [32] provided the so-called global Padé approximation
^ Winitzki, Sergei (6 February 2008). «A handy approximation for the error function and its inverse» (Document).
^ Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing (ISBN 0-521-43064-X), 1992, page 214, Cambridge University Press.
^ Dia, Yaya D. (2023). Approximate Incomplete Integrals, Application to Complementary Error Function. Available at SSRN: https://ssrn.com/abstract=4487559 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.4487559, 2023
^ ^a ^b ^c Cody, W. J. (March 1993), «Algorithm 715: SPECFUN—A portable FORTRAN package of special function routines and test drivers» (PDF), ACM Trans. Math. Softw., 19 (1): 22–32, CiteSeerX 10.1.1.643.4394, doi:10.1145/151271.151273, S2CID 5621105
^ Zaghloul, M. R. (1 March 2007), «On the calculation of the Voigt line profile: a single proper integral with a damped sine integrand», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 375 (3): 1043–1048, Bibcode:2007MNRAS.375.1043Z, doi:10.1111/j.1365-2966.2006.11377.x
^ John W. Craig, A new, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations Archived 3 April 2012 at the Wayback Machine, Proceedings of the 1991 IEEE Military Communication Conference, vol. 2, pp. 571–575.
^ Behnad, Aydin (2020). «A Novel Extension to Craig’s Q-Function Formula and Its Application in Dual-Branch EGC Performance Analysis». IEEE Transactions on Communications. 68 (7): 4117–4125. doi:10.1109/TCOMM.2020.2986209. S2CID 216500014.
^ Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, p 484
^ «math.h — mathematical declarations». opengroup.org. 2018. Retrieved 21 April 2023.
^ «Special Functions – GSL 2.7 documentation».

External links[edit]

A Table of Integrals of the Error Functions

Источник

Функция ошибок (также упоминается как интеграл вероятности) — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

$\operatorname {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{2}}}\,{\mathrm d}t$

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая $\operatorname {erfc}\,x$ (иногда применяется обозначение $\operatorname {Erf}\,x$ ), определяется через функцию ошибок:

$\operatorname {erfc}\,x=1-\operatorname {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{x}^{{\infty }}e^{{-t^{2}}}\,{\mathrm d}t$

Комплексная функция ошибок, обозначаемая w(x) , также определяется через функцию ошибок:

$w(x)=e^{{-x^{2}}}\operatorname {erfc}\,(-ix)$

СвойстваПравить

Функция ошибок нечётна:

Для любого комплексного выполняется

где черта обозначает комплексное сопряжение числа .

Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного , так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

поскольку — сомножитель, превращающий -й член ряда в -й, считая первым членом .

Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой.

Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

Первообразная функции ошибок, получаемая способом интегрирования по частям:

Обратная функция ошибок представляет собой ряд

где c₀ = 1 и

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

[1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Дополнительная функция ошибок

ПрименениеПравить

Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением , то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на , равна .

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложениеПравить

При больших полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

Хотя для любого конечного этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

где

Родственные функцииПравить

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым

Обратная функция к , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

Обобщённые функции ошибокПравить

График обобщённых функций ошибок :
серая линия:
красная линия:
зелёная линия:
синяя линия:
жёлтая линия: .

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

Примечательными частными случаями являются:

— прямая линия, проходящая через начало координат:
— функция ошибок .

После деления на все с нечётными выглядят похоже (но не идентично). Все с чётными тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на . Все обобщённые функции ошибок с выглядят похоже на полуоси .

На полуоси все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

Повторные интегралы дополнительной функции ошибокПравить

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как^[1]

для .

Их можно разложить в ряд:

откуда следуют свойства симметрии

РеализацииПравить

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок и дополнительная функция ошибок . Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost».

В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math не содержит^[2] функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой^[3] Apache Software Foundation.

Системы компьютерной алгебры Maple[2], Matlab[3], Mathematica и Maxima[4] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функция ошибок доступна^[4] из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy[5].

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math^[5].

См. такжеПравить

Функция Гаусса
Функция Доусона
Гауссов интеграл

ПримечанияПравить

↑ Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, p 484
↑ Math (Java Platform SE 6)
↑ Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано 9 апреля 2008 года.
↑ 9.2. math — Mathematical functions — Python 2.7.10rc0 documentation
↑ Язык Erlang. Описание функций стандартного модуля math.

ЛитератураПравить

Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. — Т. 7.
Nikolai G. Lehtinen. Error functions (April 2010). Дата обращения: 25 мая 2019.

СсылкиПравить

MathWorld — Erf
Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf

Источник

График функции ошибок

В математике функция ошибок — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

$\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,dt$

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая $\operatorname{erfc}\,x$ (иногда применяется обозначение $\operatorname{Erf}\,x$ , определяется через функцию ошибок:

$\operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt$

Комплексная функция ошибок, обозначаемая w(x), также определяется через функцию ошибок:

$w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix)$

Содержание

1 Свойства
2 Применение
3 Асимптотическое разложение
4 Родственные функции
- 4.1 Обобщённые функции ошибок
- 4.2 Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок
5 Реализация
6 См. также
7 Литература
8 Внешние ссылки

Свойства

Функция ошибок нечётна:

$\operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x.$

Для любого комплексного x выполняется

$\operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x}$

где черта обозначает комплексное сопряжение числа x.

Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

$\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)$

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного x, так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

$\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}$

поскольку $\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}$ — сомножитель, превращающий i-й член ряда в (i + 1)-й, считая первым членом x.

Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка $z=\infty$ будет для неё существенно особой.

Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

$\frac{d}{dx}\,\operatorname{erf}\,x=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}.$

Обратная функция ошибок представляет собой ряд

$\operatorname{erf}^{-1}\,x=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right )^{2k+1}, \,\!$

где c₀ = 1 и

$c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}.$

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

$\operatorname{erf}^{-1}\,x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7\pi^2 x^5}{480}+\frac{127\pi^3 x^7}{40320}+\frac{4369\pi^4 x^9}{5806080}+\frac{34807\pi^5 x^{11}}{182476800}+\dots\right ). \,\!$

[1]

Дополнительная функция ошибок

Применение

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением σ, то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на a, равна $\operatorname{erf}\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}$ .

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

Асимптотическое разложение

При больших x полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

$\operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.\,$

Хотя для любого конечного x этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления $\operatorname{erfc}\,x$ с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

$(\operatorname{erf}\,x)^2\approx 1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)$

где

$a = \frac{-8}{3\pi}\frac{\pi-3}{\pi-4}.$

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым Φ(x)

$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left(1+\operatorname{erf}\,\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\,.$

Обратная функция к Φ, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается $\operatorname{probit}$ и выражается через нормальную функцию ошибок как

$\operatorname{probit}\,p = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1).$

$\operatorname{erf}\,x= \frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).$

$\operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right).$

Обобщённые функции ошибок

График обобщённых функций ошибок E_n(x):
серая линия: $E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi}$
красная линия: $E_2(x)=\operatorname{erf}\,x$
зелёная линия: E₃(x)
синяя линия: E₄(x)
жёлтая линия: E₅(x).

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

$E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x e^{-t^n}\,dt =\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.$

Примечательными частными случаями являются:

После деления на n! все E_n с нечётными n выглядят похоже (но не идентично). Все E_n с чётными n тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на n!. Все обощённые функции ошибок с n > 0 выглядят похоже на полуоси x > 0.

На полуоси x > 0 все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

$E_n(x) = \frac{x\left(x^n\right)^{-1/n}\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi}, \quad \quad x&gt;0$

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

$\operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}$

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

$i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \int\limits_z^\infty i^{n-1}\,\operatorname{erfc}\,\zeta\,d\zeta.\,$

Их можно разложить в ряд:

$i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,$

откуда следуют свойства симметрии

$i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z) = -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}$

$i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z) =i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z + \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.$

Реализация

В стандартах языков Си и C++ функция ошибок $\operatorname{erf}$ и дополнительная функция ошибок $\operatorname{erfc}$ отсутствуют в стандартной библиотеке. Однако в GCC (GNU Compilier Collection) эти функции реализованы как double erf(double x) и double erfc(double x). Функции находятся в заголовочных файлах math.h или cmath. Там же есть пары функций erff(),erfcf() и erfl(),erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта Boost.

В языке [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.

Matlab[4] и

В языке Special проекта scipy [5].

См. также

Функция Гаусса

Литература

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)

Внешние ссылки

MathWorld — Erf
Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf

Wikimedia Foundation.
2010.

Источник

Материал из энциклопедии Руниверсалис

Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — не элементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt }[/math].

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая [math]\displaystyle{ \operatorname{erfc}\,x }[/math] (иногда применяется обозначение [math]\displaystyle{ \operatorname{Erf}\,x }[/math]), определяется через функцию ошибок:

[math]\displaystyle{ \operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt }[/math].

Комплексная функция ошибок, обозначаемая [math]\displaystyle{ w(x) }[/math], также определяется через функцию ошибок:

[math]\displaystyle{ w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix) }[/math].

Свойства

Функция ошибок нечётна:

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x. }[/math]

Для любого комплексного [math]\displaystyle{ x }[/math] выполняется

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x} }[/math]

где черта обозначает комплексное сопряжение числа [math]\displaystyle{ x }[/math].

Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right) }[/math]

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного [math]\displaystyle{ x }[/math], так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i} }[/math]

поскольку [math]\displaystyle{ \frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)} }[/math] — сомножитель, превращающий [math]\displaystyle{ i }[/math]-й член ряда в [math]\displaystyle{ (i+1) }[/math]-й, считая первым членом [math]\displaystyle{ x }[/math].

Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка [math]\displaystyle{ z=\infty }[/math] будет для неё существенно особой.

Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\,\operatorname{erf}\,x=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}. }[/math]

Первообразная функции ошибок, получаемая способом интегрирования по частям:

[math]\displaystyle{ F(x)=x\operatorname{erf}(x) + \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}. }[/math]

Обратная функция ошибок представляет собой ряд

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}^{-1}\,x=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right )^{2k+1}, }[/math]

где c₀ = 1 и

[math]\displaystyle{ c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}. }[/math]

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}^{-1}\,x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7\pi^2 x^5}{480}+\frac{127\pi^3 x^7}{40320}+\frac{4369\pi^4 x^9}{5806080}+\frac{34807\pi^5 x^{11}}{182476800}+\dots\right ). }[/math][1]

Дополнительная функция ошибок

Применение

Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением [math]\displaystyle{ \sigma }[/math], то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на [math]\displaystyle{ a }[/math], равна [math]\displaystyle{ \operatorname{erf}\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}} }[/math].

Асимптотическое разложение

При больших [math]\displaystyle{ x }[/math] полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

[math]\displaystyle{ \operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}. }[/math]

Хотя для любого конечного [math]\displaystyle{ x }[/math] этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления [math]\displaystyle{ \operatorname{erfc}\,x }[/math] с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

[math]\displaystyle{ (\operatorname{erf}\,x)^2\approx 1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right) }[/math]

где

[math]\displaystyle{ a = \frac{8}{3\pi}\frac{\pi — 3}{4 — \pi}. }[/math]

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым [math]\displaystyle{ \Phi(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \Phi(x) = \frac{1}{2}\biggl(1+\operatorname{erf}\,\frac{x}{\sqrt{2}}\biggl). }[/math]

Обратная функция к [math]\displaystyle{ \Phi }[/math], известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается [math]\displaystyle{ \operatorname{probit} }[/math] и выражается через нормальную функцию ошибок как

[math]\displaystyle{
\operatorname{probit}\,p = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1).
}[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}\,x=
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right). }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right). }[/math]

Обобщённые функции ошибок

График обобщённых функций ошибок [math]\displaystyle{ E_n(x) }[/math]:
серая линия: [math]\displaystyle{ E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi} }[/math]
красная линия: [math]\displaystyle{ E_2(x)=\operatorname{erf}\,x }[/math]
зелёная линия: [math]\displaystyle{ E_3(x) }[/math]
синяя линия: [math]\displaystyle{ E_4(x) }[/math]
жёлтая линия: [math]\displaystyle{ E_5(x) }[/math].

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

[math]\displaystyle{ E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x e^{-t^n}\,\mathrm dt
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,. }[/math]

Примечательными частными случаями являются:

[math]\displaystyle{ E_0(x) }[/math] — прямая линия, проходящая через начало координат: [math]\displaystyle{ E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}} }[/math]
[math]\displaystyle{ E_2(x) }[/math] — функция ошибок [math]\displaystyle{ \operatorname{erf}\,x }[/math].

После деления на [math]\displaystyle{ n! }[/math] все [math]\displaystyle{ E_n }[/math] с нечётными [math]\displaystyle{ n }[/math] выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про [math]\displaystyle{ E_n }[/math] с чётными [math]\displaystyle{ n }[/math]. Все обобщённые функции ошибок с [math]\displaystyle{ n\gt 0 }[/math] выглядят похоже на полуоси [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math].

На полуоси [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

[math]\displaystyle{ E_n(x) = \frac{\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
\quad \quad
x\gt 0 }[/math]

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

[math]\displaystyle{ \operatorname{erf}\,x = 1 — \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi} }[/math]

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы [math]\displaystyle{ \operatorname{I^n erfc} }[/math] дополнительной функции ошибок определяются как^[1]

[math]\displaystyle{ \operatorname{I^0 erfc}\,z = \operatorname{erfc}\,z }[/math],

[math]\displaystyle{ \operatorname{I^n erfc}\,z = \int\limits_z^\infty \operatorname{I^{n-1}erfc}\,\zeta\,d\zeta, }[/math] для [math]\displaystyle{ n\gt 0 }[/math].

Их можно разложить в ряд:

[math]\displaystyle{
\operatorname{I^nerfc}\,z
=
\sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,
}[/math]

откуда следуют свойства симметрии

[math]\displaystyle{
\operatorname{I^{2m}erfc}\,(-z)
= -\operatorname{I^{2m}erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}
}[/math]

[math]\displaystyle{
\operatorname{I^{2m+1}erfc}\,(-z)
=\operatorname{I^{2m+1}erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.
}[/math]

Реализации

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок [math]\displaystyle{ \operatorname{erf} }[/math] и дополнительная функция ошибок [math]\displaystyle{ \operatorname{erfc} }[/math]. Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost».

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math^[5].

В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН^[6]

См. также

Функция Гаусса
Функция Доусона
Гауссов интеграл

Примечания

↑ Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, p 484
↑ Math (Java Platform SE 6). Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано 29 августа 2009 года.
↑ Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано 9 апреля 2008 года.
↑ 9.2. math — Mathematical functions — Python 2.7.10rc0 documentation
↑ Язык Erlang. Описание Архивная копия от 20 июня 2012 на Wayback Machine функций стандартного модуля math.
↑ Функция ФОШ. support.microsoft.com. Дата обращения: 15 ноября 2021. Архивировано 15 ноября 2021 года.

Литература

Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. — Т. 7.
Nikolai G. Lehtinen. Error functions (April 2010). Дата обращения: 25 мая 2019.

Ссылки

MathWorld — Erf
Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf

Источник

В математике функция ошибок (также называемая функцией ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf , является сложной функцией комплексной переменной, определяемой как:

${\ displaystyle \ operatorname {erf} z = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} \, dt.}$

Этот интеграл представляет собой специальную ( неэлементарную ) сигмовидную функцию, которая часто встречается в уравнениях вероятности , статистики и дифференциальных уравнений в частных производных . Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, то значение функции также является действительным.

В статистике для неотрицательных значений x функция ошибок имеет следующую интерпретацию: для случайной величины Y, которая нормально распределена со средним значением 0 и стандартным отклонением
1/√ 2, erf x — вероятность того, что Y попадает в диапазон [- x , x ] .

Две тесно связанные функции — это дополнительная функция ошибок ( erfc ), определяемая как

${\ Displaystyle \ OperatorName {ERFC} Z = 1- \ OperatorName {ERF} Z,}$

и функция мнимой ошибки ( erfi ), определяемая как

${\ displaystyle \ operatorname {erfi} z = -i \ operatorname {erf} iz,}$

где i — мнимая единица .

Имя

Название «функция ошибок» и ее сокращение erf были предложены Дж. В. Л. Глейшером в 1871 г. в связи с его связью с «теорией вероятности и, в частности, теорией ошибок ». Дополнение к функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. Для «закона удобства» ошибок, плотность которых определяется как

${\ displaystyle f (x) = \ left ({\ frac {c} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}$

( нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p и q, как:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {c} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } \, dx = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ operatorname {erf} \ left (q {\ sqrt {c}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (p {\ sqrt {c}} \ right) \ right).}$

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением σ и ожидаемым значением 0, тогда erf (а/σ √ 2) — вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между — a и + a для положительного a . Это полезно, например, при определении частоты ошибок по битам в цифровой системе связи.

Ошибки и дополнительные функции ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные условия задаются ступенчатой функцией Хевисайда .

Функция ошибок и ее приближения могут использоваться для оценки результатов, которые имеют высокую или низкую вероятность. Дана случайная величина X ~ Norm [ μ , σ ] (нормальное распределение со средним μ и стандартным отклонением σ ) и константа L < μ :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Pr [X \ leq L] & = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} {\ frac {L - \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} \\ & \ приблизительно A \ exp \ left (-B \ left ({\ frac {L- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} \ right) \ end {выравнивается}}}$

где A и B — некоторые числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, а именно μ — L ≥ σ √ ln k , то:

${\ Displaystyle \ Pr [Икс \ Leq L] \ Leq A \ ехр (-B \ ln {k}) = {\ frac {A} {k ^ {B}}}}$

поэтому вероятность стремится к 0 при k → ∞ .

Вероятность того, что X находится в интервале [ L _a , L _b ], может быть получена как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Pr [L_ {a} \ leq X \ leq L_ {b}] & = \ int _ {L_ {a}} ^ {L_ {b}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma}} \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) \, dx \\ & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ operatorname {erf} {\ frac {L_ {b} - \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} - \ operatorname {erf} {\ frac {L_ {a} - \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right). \ end {align}}}$

Характеристики

Интегрируем exp (- z ² )

erf z

Свойство erf (- z ) = −erf z означает, что функция ошибок является нечетной функцией . Это напрямую связано с тем, что подынтегральное выражение e ^{— t ²} является четной функцией (интегрирование четной функции дает нечетную функцию и наоборот).

Для любого комплексного числа z :

${\ displaystyle \ operatorname {erf} {\ overline {z}} = {\ overline {\ operatorname {erf} z}}}$

где г представляет собой комплексно сопряженное из г .

Подынтегральное выражение f = exp (- z ² ) и f = erf z показано на комплексной плоскости z на рисунках справа с раскраской области .

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. Интеграл Гаусса ). На действительной оси erf z стремится к единице при z → + ∞ и −1 при z → −∞ . На мнимой оси он стремится к ± i ∞ .

Серия Тейлора

Функция ошибок — это целая функция ; у него нет сингулярностей (кроме бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[…] его плохая сходимость, если x > 1 ».

Определяющий интеграл не может быть вычислен в замкнутой форме в терминах элементарных функций , но, раскладывая подынтегральное выражение e ^{— z ²} в его ряд Маклорена и интегрируя член за членом, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erf} z & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- 1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} \\ [6pt] & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ left (z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {10}} - {\ frac {z ^ {7}} {42}} + {\ frac { z ^ {9}} {216}} - \ cdots \ right) \ end {align}}}$

которое выполняется для любого комплексного числа z . Члены знаменателя — это последовательность (последовательность A007680 в OEIS ) в OEIS .

Для итеративного расчета вышеуказанного ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erf} z & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (z \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {2 } {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z} {2n + 1}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {-z ^ {2}} {k}} \ end {align}}}$

потому что — (2 к — 1) z ²/к (2 к + 1)выражает множитель для превращения k- го члена в ( k + 1) -й член (считая z первым членом).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена, а именно:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfi} z & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} \\ [6pt] & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ left (z + {\ frac {z ^ {3 }} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {10}} + {\ frac {z ^ {7}} {42}} + {\ frac {z ^ {9}} {216} } + \ cdots \ right) \ end {выровнены}}}$

которое выполняется для любого комплексного числа z .

Производная и интеграл

Производная функции ошибок сразу следует из ее определения:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {erf} z = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.}$

Отсюда немедленно вычисляется производная мнимой функции ошибок:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {erfi} z = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {z ^ {2}}.}$

Первообразная функции ошибки, получаемый путем интегрирования по частям , является

${\ displaystyle z \ operatorname {erf} z + {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}}.}.$

Первообразной функции мнимой ошибки, которую также можно получить интегрированием по частям, является

${\ displaystyle z \ operatorname {erfi} z - {\ frac {e ^ {z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}}.}.$

Производные высшего порядка даются формулами

${\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {(k)} z = {\ frac {2 (-1) ^ {k-1}} {\ sqrt {\ pi}}} {\ mathit {H}} _ { k-1} (z) e ^ {- z ^ {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} {\ frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k -1}}} \ left (e ^ {- z ^ {2}} \ right), \ qquad k = 1,2, \ dots}$

где H — полиномы Эрмита физиков .

Серия Bürmann

Разложение, которое сходится быстрее для всех действительных значений x, чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erf} x & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} x \ cdot {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} \ left (1 - {\ frac {1} {12}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) - {\ frac {7} {480} } \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) ^ {2} - {\ frac {5} {896}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ справа) ^ {3} - {\ frac {787} {276480}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) ^ {4} - \ cdots \ right) \\ [10pt] & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} x \ cdot {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} \ left ({\ frac { \ sqrt {\ pi}} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} \ right). \ end {align}}}$

где sgn — знаковая функция . Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая c ₁ =31 год/200и c ₂ = —341/8000, полученное приближение показывает свою наибольшую относительную ошибку при x = ± 1,3796 , где она меньше 0,0036127:

${\ displaystyle \ operatorname {erf} x \ приблизительно {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} x \ cdot {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}} }} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} + {\ frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} - {\ frac {341} {8000 }} e ^ {- 2x ^ {2}} \ right).}$

Обратные функции

Для комплексного числа z не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего erf w = z , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x <1 существует уникальное действительное число, обозначенное erf ⁻¹ x, удовлетворяющее

${\ displaystyle \ operatorname {erf} \ left (\ operatorname {erf} ^ {- 1} x \ right) = x.}$

Функция обратной ошибки обычно определяется с помощью области (-1,1) , и она ограничена этой областью во многих системах компьютерной алгебры. Однако его можно распространить на диск | z | <1 комплексной плоскости, используя ряд Маклорена

${\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} z = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k}} {2k + 1}} \ left ({\ frac { \ sqrt {\ pi}} {2}} z \ right) ^ {2k + 1},}$

где c ₀ = 1 и

${\ displaystyle {\ begin {align} c_ {k} & = \ sum _ {m = 0} ^ {k-1} {\ frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1)}} \\ & = \ left \ {1,1, {\ frac {7} {6}}, {\ frac {127} {90}}, {\ frac {4369} { 2520}}, {\ frac {34807} {16200}}, \ ldots \ right \}. \ End {align}}}$

Итак, у нас есть расширение в ряд (общие множители из числителей и знаменателей удалены):

${\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} z = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ left (z + {\ frac {\ pi} {12}} z ^ {3} + {\ frac {7 \ pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + {\ frac {127 \ pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + {\ frac {4369 \ pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + {\ frac {34807 \ pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + \ cdots \ right).}$

(После отмены дроби числителя / знаменателя представляют собой записи OEIS : A092676 / OEIS : A092677 в OEIS ; без отмены члены числителя приведены в записи OEIS : A002067 .) Значение функции ошибок при ± ∞ равно ± 1 .

Для | z | <1 , имеем erf (erf ⁻¹ z ) = z .

Обратная дополнительная функция ошибок определяются как

${\ displaystyle \ operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = \ operatorname {erf} ^ {- 1} z.}$

Для действительного x существует уникальное действительное число erfi ⁻¹ x, удовлетворяющее erfi (erfi ⁻¹ x ) = x . Функция обратной мнимой ошибки определяется как erfi ⁻¹ x .

Для любого вещественного х , метод Ньютона может быть использован для вычисления ЕрФИ ^-1 х , а для -1 ≤ х ≤ 1 , следующие сходится ряд Маклорена:

${\ displaystyle \ operatorname {erfi} ^ {- 1} z = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1} } \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} z \ right) ^ {2k + 1},}$

где c _k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезное асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (и, следовательно, также функции ошибок) для больших действительных x :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfc} x & = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ left (1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1)} {\ left (2x ^ {2} \ right) ^ {n}}} \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {\ left (2x ^ {2} \ right) ^ {n}}}, \ end {выровнено} }}$

где (2 n — 1) !! — двойной факториал числа (2 n — 1) , который является произведением всех нечетных чисел до (2 n — 1) . Этот ряд расходится для любого конечного x , и его смысл как асимптотического разложения состоит в том, что для любого целого числа N ≥ 1 выполняется

${\ displaystyle \ operatorname {erfc} x = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1 } (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {\ left (2x ^ {2} \ right) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}$

где остаток в обозначениях Ландау равен

${\ displaystyle R_ {N} (x) = O \ left (x ^ {- (1 + 2N)} e ^ {- x ^ {2}} \ right)}$

при x → ∞ .

Действительно, точное значение остатка равно

${\ displaystyle R_ {N} (x): = {\ frac {(-1) ^ {N}} {\ sqrt {\ pi}}} 2 ^ {1-2N} {\ frac {(2N)!} {N!}} \ Int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} \, dt,}$

что легко следует по индукции, записывая

${\ displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = - (2t) ^ {- 1} \ left (e ^ {- t ^ {2}} \ right) '}$

и интеграция по частям.

Для достаточно больших значений x необходимы только первые несколько членов этого асимптотического разложения, чтобы получить хорошее приближение erfc x (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Непрерывное расширение фракции

Цепная дробь расширение дополнительной функции ошибок является:

${\ displaystyle \ operatorname {erfc} z = {\ frac {z} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}} {\ cfrac {1} {z ^ {2} + {\ cfrac {a_ {1}} {1 + {\ cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {1+ \ dotsb}}}}}}}}, \ qquad a_ {m} = {\ frac {m} {2}}.}$

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {erf} \ left (ax + b \ right) {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}} }} \ exp \ left (- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right) \, dx = \ operatorname {erf} {\ frac {a \ mu + b} {\ sqrt {1 + 2a ^ {2} \ sigma ^ {2}}}}, \ qquad a, b, \ mu, \ sigma \ in \ mathbb {R}}$

которая, по-видимому, связана с Нг и Геллером, формула 13 в разделе 4.3 с заменой переменных.

Факторный ряд

Обратный факторный ряд :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfc} z & = {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} +1)} ^ {\ bar {n}}}} \\ & = {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z}} \ left (1 - {\ frac {1} {2}} {\ frac {1 } {(z ^ {2} +1)}} + {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) (z ^ {2} +2)} } - \ cdots \ right) \ end {align}}}$

сходится при Re ( z ² )> 0 . Здесь

${\ displaystyle {\ begin {align} Q_ {n} & {\ overset {\ text {def}} {{} = {}}} {\ frac {1} {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ tau (\ tau -1) \ cdots (\ tau -n + 1) \ tau ^ {- {\ frac {1} { 2}}} e ^ {- \ tau} \, d \ tau \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right) ^ { \ bar {k}} s (n, k), \ end {align}}}$

z ⁿ обозначает возрастающий факториал , а s ( n , k ) обозначает число Стирлинга первого рода со знаком . Также существует представление бесконечной суммой, содержащее двойной факториал :

${\ displaystyle \ operatorname {erf} z = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-2) ^ {n} (2n-1) !!} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}}$

Численные приближения

Приближение с элементарными функциями

Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с различной точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности это:

${\ displaystyle \ operatorname {erf} x \ приблизительно 1 - {\ frac {1} {\ left (1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {4} x ^ {4} \ right) ^ {4}}}, \ qquad x \ geq 0}$

(максимальная ошибка: 5 × 10 ⁻⁴ )

где a ₁ = 0,278393 , a ₂ = 0,230389 , a ₃ = 0,000972 , a ₄ = 0,078108

${\ displaystyle \ operatorname {erf} x \ приблизительно 1- \ left (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3} \ right) e ^ {- x ^ {2}}, \ quad t = {\ frac {1} {1 + px}}, \ qquad x \ geq 0}$

(максимальная ошибка: 2,5 × 10 ⁻⁵ )

где p = 0,47047 , a ₁ = 0,3480242 , a ₂ = −0,0958798 , a ₃ = 0,7478556

${\ displaystyle \ operatorname {erf} x \ приблизительно 1 - {\ frac {1} {\ left (1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {6} x ^ {6} \ right) ^ {16}}}, \ qquad x \ geq 0}$

(максимальная ошибка: 3 × 10 ⁻⁷ )

где a ₁ = 0,0705230784 , a ₂ = 0,0422820123 , a ₃ = 0,0092705272 , a ₄ = 0,0001520143 , a ₅ = 0,0002765672 , a ₆ = 0,0000430638

${\ displaystyle \ operatorname {erf} x \ приблизительно 1- \ left (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + \ cdots + a_ {5} t ^ {5} \ right) e ^ { -x ^ {2}}, \ quad t = {\ frac {1} {1 + px}}}$

(максимальная ошибка: 1,5 × 10 ⁻⁷ )

где p = 0,3275911 , a ₁ = 0,254829592 , a ₂ = −0,284496736 , a ₃ = 1,421413741 , a ₄ = −1,453152027 , a ₅ = 1,061405429.

Все эти приближения верны для x ≥ 0 . Чтобы использовать эти приближения для отрицательного x , используйте тот факт, что erf x — нечетная функция, поэтому erf x = −erf (- x ) .
Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительной функции ошибок даются формулами

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfc} x & \ leq {\ tfrac {1} {2}} e ^ {- 2x ^ {2}} + {\ tfrac {1} {2}} e ^ {-x ^ {2}} \ leq e ^ {- x ^ {2}}, & \ quad x &> 0 \\\ имя оператора {erfc} x & \ приблизительно {\ tfrac {1} {6}} e ^ { -x ^ {2}} + {\ tfrac {1} {2}} e ^ {- {\ frac {4} {3}} x ^ {2}}, & \ quad x &> 0. \ end {выровнено }}}$
Вышеупомянутое было обобщено до сумм из N экспонент с возрастающей точностью в терминах N, так что erfc x может быть точно аппроксимирован или ограничен величиной 2 Q̃ ( √ 2 x ) , где

${\ displaystyle {\ tilde {Q}} (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} e ^ {- b_ {n} x ^ {2}}.}$

В частности, существует систематическая методология решения числовых коэффициентов {( a _n , b _n )}^N
_{n = 1}которые дают минимаксное приближение или оценку для тесно связанной Q-функции : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) или Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) для x ≥ 0 . Коэффициенты {( a _n , b _n )}^N
_{n = 1}для многих вариаций экспоненциальных приближений и границ до N = 25 были выпущены в открытый доступ в виде исчерпывающего набора данных.
Точная аппроксимация дополнительной функции ошибок для x ∈ [0, ∞) дана Karagiannidis & Lioumpas (2007), которые показали для соответствующего выбора параметров { A , B }, что

${\ displaystyle \ operatorname {erfc} x \ приблизительно {\ frac {\ left (1-e ^ {- Ax} \ right) e ^ {- x ^ {2}}} {B {\ sqrt {\ pi}} Икс}}.}$

Они определили { A , B } = {1.98,1.135} , что дает хорошее приближение для всех x ≥ 0 . Также доступны альтернативные коэффициенты для настройки точности для конкретного приложения или преобразования выражения в жесткую границу.
Одноканальная нижняя граница

${\ displaystyle \ operatorname {erfc} x \ geq {\ sqrt {\ frac {2e} {\ pi}}} {\ frac {\ sqrt {\ beta -1}} {\ beta}} e ^ {- \ beta x ^ {2}}, \ qquad x \ geq 0, \ quad \ beta> 1,}$

где параметр β может быть выбран так, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале аппроксимации.
Другое приближение дает Сергей Виницкий, используя свои «глобальные приближения Паде»:

${\ displaystyle \ operatorname {erf} x \ приблизительно \ operatorname {sgn} x \ cdot {\ sqrt {1- \ exp \ left (-x ^ {2} {\ frac {{\ frac {4} {\ pi}) } + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2}}} \ right)}}}$

куда

${\ displaystyle a = {\ frac {8 (\ pi -3)} {3 \ pi (4- \ pi)}} \ приблизительно 0,140012.}$

Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестности 0 и в окрестности бесконечности, а относительная ошибка меньше 0,00035 для всех действительных x . Использование альтернативного значения a ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013.

Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для обратной функции ошибок:

${\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} x \ приблизительно \ operatorname {sgn} x \ cdot {\ sqrt {{\ sqrt {\ left ({\ frac {2} {\ pi a}} + {\ frac {\ ln \ left (1-x ^ {2} \ right)} {2}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ ln \ left (1-x ^ {2} \ right)} {a}}}} - \ left ({\ frac {2} {\ pi a}} + {\ frac {\ ln \ left (1-x ^ {2} \ right)} {2}} \ right) }}.}$
Приближение с максимальной погрешностью 1,2 × 10 ⁻⁷ для любого действительного аргумента:

${\ displaystyle \ operatorname {erf} x = {\ begin {cases} 1- \ tau & x \ geq 0 \\\ tau -1 & x <0 \ end {cases}}}$

с участием

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tau & = t \ cdot \ exp \ left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368t + 0,37409196t ^ {2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} \ right. \\ & \ left. \ Qquad \ qquad \ qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1,48851587t ^ {7} -0,82215223t ^ {8} + 0,17087277t ^ {9} \ right) \ end {выравнивается}}}$

а также

${\ displaystyle t = {\ frac {1} {1 + {\ frac {1} {2}} | x |}}.}$

Таблица значений

Икс	erf x	1 — эрф х
0	0	1
0,02	0,022 564 575	0,977 435 425
0,04	0,045 111 106	0,954 888 894
0,06	0,067 621 594	0,932 378 406
0,08	0,090 078 126	0,909 921 874
0,1	0,112 462 916	0,887 537 084
0,2	0,222 702 589	0,777 297 411
0,3	0,328 626 759	0,671 373 241
0,4	0,428 392 355	0,571 607 645
0,5	0,520 499 878	0,479 500 122
0,6	0,603 856 091	0,396 143 909
0,7	0,677 801 194	0,322 198 806
0,8	0,742 100 965	0,257 899 035
0,9	0,796 908 212	0,203 091 788
1	0,842 700 793	0,157 299 207
1.1	0,880 205 070	0,119 794 930
1.2	0,910 313 978	0,089 686 022
1.3	0,934 007 945	0,065 992 055
1.4	0,952 285 120	0,047 714 880
1.5	0,966 105 146	0,033 894 854
1.6	0,976 348 383	0,023 651 617
1,7	0,983 790 459	0,016 209 541
1,8	0,989 090 502	0,010 909 498
1.9	0,992 790 429	0,007 209 571
2	0,995 322 265	0,004 677 735
2.1	0,997 020 533	0,002 979 467
2.2	0,998 137 154	0,001 862 846
2.3	0,998 856 823	0,001 143 177
2,4	0,999 311 486	0,000 688 514
2,5	0,999 593 048	0,000 406 952
3	0,999 977 910	0,000 022 090
3.5	0,999 999 257	0,000 000 743

Дополнительная функция ошибок

Дополнительная функция ошибок , обозначаемая ERFC , определяется как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfc} x & = 1- \ operatorname {erf} x \\ [5pt] & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ { x} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dt \\ [5pt] & = e ^ {- x ^ {2}} \ operatorname {erfcx} x, \ end {выровнено}} }$

который также определяет erfcx , масштабированную дополнительную функцию ошибок (которую можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметического переполнения ). Другая форма erfc x для x ≥ 0 известна как формула Крейга в честь ее первооткрывателя:

${\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x \ mid x \ geq 0) = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \, d \ theta.}$

Это выражение действительно только для положительных значений x , но его можно использовать вместе с erfc x = 2 — erfc (- x ) для получения erfc ( x ) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для erfc суммы двух неотрицательных переменных выглядит следующим образом:

${\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x + y \ mid x, y \ geq 0) = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2} } \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} - {\ frac {y ^ {2}} {\ cos ^ {2} \ theta}} \ right) \, d \ theta.}$

Функция мнимой ошибки

Функция мнимой ошибки , обозначаемая erfi , определяется как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfi} x & = - i \ operatorname {erf} ix \\ [5pt] & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ { 0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} \, dt \\ [5pt] & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (х), \ конец {выровнено}}}$

где D ( x ) — функция Доусона (которую можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметического переполнения ).

Несмотря на название «мнимая функция ошибок», erfi x реально, когда x реально.

Когда функция ошибок оценивается для произвольных комплексных аргументов z , результирующая комплексная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как функция Фаддеева :

$w (z) = e ^ {- z ^ {2}} \ operatorname {erfc} (-iz) = \ operatorname {erfcx} (-iz).$

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок по существу идентична стандартной нормальной кумулятивной функции распределения , обозначаемой Φ , также называемой нормой ( x ) в некоторых языках программного обеспечения, поскольку они различаются только масштабированием и преобразованием. Действительно,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi (x) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {x} e ^ {\ tfrac { -t ^ {2}} {2}} \, dt \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ operatorname {erf} {\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right) \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erfc} \ left (- {\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right ) \ конец {выровнено}}}$

или переставил для erf и erfc :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erf} (x) & = 2 \ Phi \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) -1 \\ [6pt] \ operatorname {erfc} (x ) & = 2 \ Phi \ left (-x {\ sqrt {2}} \ right) \\ & = 2 \ left (1- \ Phi \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) \ right) . \ end {выровнено}}}$

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией , которая является вероятностью хвоста стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

${\ displaystyle {\ begin {align} Q (x) & = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} {\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \\ & = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erfc} {\ frac {x} {\ sqrt {2}}}. \ End {align}}}$

Обратное из Ф называется нормальной функции квантиль , или пробит функции и могут быть выражены в терминах функции обратной ошибки как

${\ displaystyle \ operatorname {probit} (p) = \ Phi ^ {- 1} (p) = {\ sqrt {2}} \ operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1) = - {\ sqrt {2}} \ operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}$

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятностях и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и также может быть выражена как конфлюэнтная гипергеометрическая функция ( функция Куммера):

${\ displaystyle \ operatorname {erf} x = {\ frac {2x} {\ sqrt {\ pi}}} M \ left ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {3} {2}} , -x ^ {2} \ right).}$

Он имеет простое выражение в терминах интеграла Френеля .

С точки зрения регуляризованном гамма — функции P и неполной гамма — функции ,

${\ displaystyle \ operatorname {erf} x = \ operatorname {sgn} x \ cdot P \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x ^ {2} \ right) = {\ frac {\ operatorname {sgn } x} {\ sqrt {\ pi}}} \ gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x ^ {2} \ right).}$

sgn x — знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E _n ( x ) :
серая кривая: E ₁ ( x ) =1 — е ^{— х}/√ π
красная кривая: E ₂ ( x ) = erf ( x )
зеленая кривая: E ₃ ( x )
синяя кривая: E ₄ ( x )
золотая кривая: E ₅ ( x ) .

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:

${\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {n!} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} \, dt = {\ frac {n!} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {p} {\ frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}$

Известные случаи:

E ₀ ( x ) — прямая линия, проходящая через начало координат: E ₀ ( x ) =Икс/е √ π
E ₂ ( x ) — функция ошибок, erf x .

После деления на п ! , все E _n для нечетных n похожи (но не идентичны) друг на друга. Точно так же E _n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга после простого деления на n ! . Все обобщенные функции ошибок для n > 0 выглядят одинаково на положительной стороне графика x .

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x > 0 с использованием гамма-функции и неполной гамма-функции :

${\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \ Gamma (n) \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) - \ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}}, x ^ {n} \ right) \ right), \ qquad x> 0.}$

Следовательно, мы можем определить функцию ошибок в терминах неполной гамма-функции:

${\ displaystyle \ operatorname {erf} x = 1 - {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x ^ {2} \ right ).}$

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {i} ^ {n} \! \ operatorname {erfc} z & = \ int _ {z} ^ {\ infty} \ operatorname {i} ^ {n-1} \ ! \ operatorname {erfc} \ zeta \, d \ zeta \\ [6pt] \ operatorname {i} ^ {0} \! \ operatorname {erfc} z & = \ operatorname {erfc} z \\\ operatorname {i} ^ {1} \! \ Operatorname {erfc} z & = \ operatorname {ierfc} z = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}} - z \ operatorname {erfc } z \\\ operatorname {i} ^ {2} \! \ operatorname {erfc} z & = {\ tfrac {1} {4}} \ left (\ operatorname {erfc} z-2z \ operatorname {ierfc} z \ вправо) \\\ конец {выровнено}}}$

Общая рекуррентная формула

${\ displaystyle 2n \ cdot \ operatorname {i} ^ {n} \! \ operatorname {erfc} z = \ operatorname {i} ^ {n-2} \! \ operatorname {erfc} z-2z \ cdot \ operatorname { i} ^ {n-1} \! \ operatorname {erfc} z}$

У них есть степенной ряд

${\ displaystyle \ operatorname {i} ^ {n} \! \ operatorname {erfc} z = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ {j}} {2 ^ {nj} j! \, \ Gamma \ left (1 + {\ frac {nj} {2}} \ right)}},}$

откуда следуют свойства симметрии

${\ displaystyle \ operatorname {i} ^ {2m} \! \ operatorname {erfc} (-z) = - \ operatorname {i} ^ {2m} \! \ operatorname {erfc} z + \ sum _ {q = 0} ^ {m} {\ frac {z ^ {2q}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q)! (mq)!}}}$

а также

${\ displaystyle \ operatorname {i} ^ {2m + 1} \! \ operatorname {erfc} (-z) = \ operatorname {i} ^ {2m + 1} \! \ operatorname {erfc} z + \ sum _ {q = 0} ^ {m} {\ frac {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (Mq)!}}.}.}$

Реализации

Как реальная функция реального аргумента

В Posix -совместимый операционных систем, заголовок math.h возвестят и математическая библиотека libm должна обеспечивать функции erfи erfc( двойной точности ), а также их одинарной точности и повышенной точности аналогов erff, erflи erfcf, erfcl.
GNU Scientific Library предоставляет erf, erfc, log(erf), и масштабируемые функции ошибок.

Как сложная функция сложного аргумента

libcerf , цифровая библиотека C для сложных функций ошибок, обеспечивает комплексные функцииcerf,cerfc,cerfcxи реальные функцииerfi,erfcxпримерно с 13-14 точностью цифр, на основе функции Фаддеева , как реализовано в MIT Фаддеевого пакете

Смотрите также

Гауссовский интеграл по всей действительной прямой
Функция Гаусса , производная
Функция Доусона , перенормированная функция мнимой ошибки
Интеграл Гудвина – Стэтона

По вероятности

Нормальное распределение
Нормальная кумулятивная функция распределения , масштабированная и сдвинутая форма функции ошибок
Пробит , обратная или квантильная функция нормального CDF
Q-функция , хвостовая вероятность нормального распределения

использованная литература

дальнейшее чтение

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

внешние ссылки

MathWorld — Эрф
Таблица интегралов функций ошибок

Источник

Name[edit]

Applications[edit]

Properties[edit]

Taylor series[edit]

Derivative and integral[edit]

Bürmann series[edit]

Inverse functions[edit]

Asymptotic expansion[edit]

Continued fraction expansion[edit]

Integral of error function with Gaussian density function[edit]

Factorial series[edit]

Numerical approximations[edit]

Approximation with elementary functions[edit]

Table of values[edit]

[edit]

Complementary error function[edit]

Imaginary error function[edit]

Cumulative distribution function[edit]

Generalized error functions[edit]

Iterated integrals of the complementary error function[edit]

Implementations[edit]

As real function of a real argument[edit]

As complex function of a complex argument[edit]

See also[edit]

[edit]

In probability[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

External links[edit]

СвойстваПравить

ПрименениеПравить

Асимптотическое разложениеПравить

Родственные функцииПравить

Обобщённые функции ошибокПравить

Повторные интегралы дополнительной функции ошибокПравить

РеализацииПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

Содержание

Свойства

Применение

Асимптотическое разложение

Родственные функции

Обобщённые функции ошибок

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Реализация

См. также

Литература

Внешние ссылки

Свойства

Применение

Асимптотическое разложение

Родственные функции

Обобщённые функции ошибок

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок

Реализации

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Имя

Приложения

Характеристики

Серия Тейлора

Производная и интеграл

Серия Bürmann

Обратные функции

Асимптотическое разложение

Непрерывное расширение фракции

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

Факторный ряд

Численные приближения

Приближение с элементарными функциями

Таблица значений

Дополнительная функция ошибок

Функция мнимой ошибки

Кумулятивная функция распределения

Обобщенные функции ошибок